文科数学高考压轴题

1.（门头沟一模20.） （本小题满分14分）

已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件

①0≠∈?n a N n ,*

；②点),(n n n S a P 在函数2

2x

x x f +=)(的图象上；

（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ； （II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．

解：（I ）由题意 2

2

n

n n a a S +=……2分，当2≥n 时

2

21

21

21

---+-+=-=n n n n n n n a a a a S S a

整理得0111=--+--))((n n n n a a a a ……5分，又0≠∈?n a N n ,*，所以01=+-n n a a 或011=---n n a a

01

=+-n n a a 时，11=a ，11

-=-n n a a ，得1

1--=n n a )(，211n n S )(--=

……7分

011=---n n a a 时，11=a ，11

=--n n a a ，得n a n =，2

2n

n S n +=

……9分

（II ）证明：

01=+-n n a a 时，))(,)((2

1111

n

n n P ----，5121==+++||||n n n n P P P P ，

所以0121=-+++||||n n n n P P P P

…11分，011=---n n a a 时，),(2

2n

n n P n +，22121)(||++=++n P P n n ，2111)(||++=+n P P n n 2

2222

2

121112*********)()()()()()(||||++++++--++=

++-++=-+++n n n n n n P P P P n n n n 2

211213

2)()(++++++=

n n n 13分，因为

11122122+>+++>++n n n n )(,)(

所以111213

202

2

<++++++<)

()(n n n ，综上

10121<-≤+++||||n n n n P P P P

……14分．

2.（2011年高考20．）（本小题共13分）若数列12:,,,(2)n n A a a a n ???≥满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==???-，

则称n A 为E 数列，记12()n n S A a a a =++???+. （Ⅰ）写出一个E 数列A 5满足130a a ==；

（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；

（Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()n S A =0成立得n 的最小值.

解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E 数列A 5.（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，

±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E 的数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，所以)1999,,2,1(11Λ==-+k a a k k ． 所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列．所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011． 充分性，由于a 2000—a 1000≤1，a 2000—a 1000≤1,……a 2—a 1≤1

所以a 2000—a t ≤19999，即a 2000≤a 1+1999．又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999． 故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011Λ=>=-+是递增数列．综上，结论得证. （Ⅲ）对首项为4的E 数列A k ，由于

,3112=-≥a a ,2123≥-≥a a …….3175-≥-≥a a ……所以)8,,3,2(021ΛΛ=>+++k a a a k ，

所以对任意的首项为4的E 数列A m ，若,0)(=m A S 则必有9≥n .

又41=a 的E 数列,0)(4,3,2,1,0,1,2,3,4:11=----A S A 满足所以n 是最小值是9.

3.（2012年高考，20）（本小题共13分）

设A 是如下形式的2行3

满足性质:,,,,,[1,1]P a b c d e f ∈-，且0a b c d e f +++++=。

记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1,2)i =，()j c A 为第j 列各数之和(1,2,3)j =；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值。

（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值

（Ⅱ）设数表A 形如

其中10d -≤≤。求()k A 的最大值；

（Ⅲ）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值

4（海淀一模20. ）（本小题满分13分）

已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()

f x y x

=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”.

(Ⅰ) 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；

(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ?∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+； （Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.

解：（I ）由题2()f x ax ax

y ax a x x

+===+在(0,)+∞是增函数，

由一次函数性质知

当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，

所以0a > ………………3分 （Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即

()

f x x

在(0,)+∞上是增函数，

又12,(0,)x x ?∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+ 所以

112112()()f x f x x x x x +<+， 212212

()()

f x f x x x x x +<

+ ………………5分 所以112112

()

()x f x x f x x x +<

+，212212()()x f x x f x x x +<+

所以11221212121212

()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<

+=+++ 所以1212()()()f x f x f x x +<+…8分

（Ⅲ）设0()0f x =，其中00x >.

因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，

00

()()

0f x f x x x >= 法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =

由（Ⅱ）知(2)2f t m >，同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >> 所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >?>，

所以()2013f x > 一定有解 ………………13分 法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()

f t k t

= 因为当x t >时，

()()

f x f t k x t

>=，所以()f x kx >对x t >成立 只要 2013

x k

>，则有()2013f x kx >>，所以()2013f x > 一定有解

5.（朝阳二模20）（本小题满分13分）

已知实数12,,,n x x x L （n *

∈N 且2n ≥）满足||1i x ≤ ()1,2,,i n =???，记121(,,,)n i j i j n

S x x x x x ≤<≤=

∑

L .

（Ⅰ）求2(1,1,)3

S --及(1,1,1,1)S --的值； （Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值； （Ⅲ）当n 为奇数时，求12(,,,)n S x x x L 的最小值． 注：

1i j i j n

x x ≤<≤∑

表示12,,,n x x x L 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.

解：（Ⅰ）由已知得222

(1,1,)113

33

S --=-+

-=-．(1,1,1,1)1111112S --=----+=-…3分 （Ⅱ）3n =时，12312132313

(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤==

=++∑．

固定23,x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数，因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-． 同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．

以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是

12311,2,3

min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．

当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2

S x x x x x x =

++-++212313()22x x x =++-．

因为123||1x x x ++≥，所以13

122

S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-，时1S =-，因此min 1S =-．…7分

（Ⅲ）121(,,,)n i j i j n

S S x x x x x ≤<≤==∑L 121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++L L L .

固定23,,,n x x x L ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数， 因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-L L ．

同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-L L L ．

2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---L L L ．

以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的12,,,n x x x L 所达到，于是

1211,2,,min {(,,,)}k n x k n

S S x x x =±=≥L L ．

当1k x =±（1,2,,k n =L ）时，2222

12121[()()]2n n S x x x x x x =

+++-+++L L 2121()22

n n x x x =+++-L ．

当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥L ， 所以1

(1)2S n ≥-

-，另一方面，若取1212

1n x x x -====L ， 11

1

2

22

1n n n x x x --++====-L ，那么1(1)2S n =--，因此min 1

(1)2

S n =--．

…………………………………………………………13分

6.（朝阳一模，20）（本小题满分13分）

由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=L ，设

10

11

()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.

（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求证：()55S τ≥； （Ⅲ）求()S τ的最大值.

(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b -≤±≤+都成立.) 解：（Ⅰ）10

11

()|23|7654321012857k

k k S x

x τ+==

-=+++++++++=∑.………3分

（Ⅱ）证明：由a b a b +≥+及其推广可得，

12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++-L 121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++L L

=121010(110)

552

x x x ++++=

=L . ……………………………7分 （Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,

30,27,24,21,18,15,12,9,6,3

其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤， 对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131S τ=，

所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………13分

注：使得()S τ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求. 7.（大兴一模20．）（13分）（2013?大兴区一模）已知数列{a n }的各项均为正整数，且a 1＜a 2＜…＜a n ，设集合A k ={x|x=

λi a i ，λi =﹣1或λi =0，或λi =1}（1≤k≤n ）．

性质1：若对于?x ∈A k ，存在唯一一组λi ，（i=1，2，…，k ）使x=λi a i 成立，则称数列{a n }为完备数列，当k

取最大值时称数列{a n }为k 阶完备数列． 性质2：若记m k =

a i （1≤k≤n ），且对于任意|x|≤m k ，k ∈Z ，都有x ∈A K 成立，则称数列P{a n }为完整数列，当

k 取最大值时称数列{a n }为k 阶完整数列．

性质3：若数列{a n }同时具有性质1及性质2，则称此数列{a n }为完美数列，当K 取最大值时{a n }称为K 阶完美数列；

（Ⅰ）若数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣1，求集合A 2，并指出{a n }分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

（Ⅱ）若数列{a n }的通项公式为a n =10n ﹣

1，求证：数列{a n }为n 阶完备数列，并求出集合A n 中所有元素的和S n ． （Ⅲ）若数列{a n }为n 阶完美数列，试写出集合A n ，并求数列{a n }通项公式

解：（Ⅰ）}4,3,2,1,0,1,2,3,4{2----=A ；}{n a 为2阶完备数列，n 阶完整数列，2阶完美数列； （Ⅱ）若对于∈?x n A ，假设存在2组i λ及i μ（n i ,2,1Λ=）使∑==

n

i i

i a

x 1

λ成立，则有

1220112201101010101010--+++=+++n n n n μμμλλλΛΛ，即

10)(10)(10)(1122011=-++-+--n n n μλμλμλΛ，

其

中

}

1,0,1{,-∈i i μλ，必有

n n μλμλμλ===Λ2211,，

所以仅存在唯一一组

i λ（n i ,2,1Λ=）使∑==n

i i i a x 1

λ成立，即数列}{n a 为n 阶完备数列；

0=n S ，对∈?x n A ，∑==n

i i i a x 1

λ，则∑∑==-=-=-n

i i i n i i i a a x 1

1)(λλ，因为}1,0,1{-∈i λ，则}1,0,1{-∈-i λ，

所以n A x ∈-，即0=n S

（Ⅲ）若存在n 阶完美数列，则由性质1易知n A 中必有n

3个元素，由（Ⅱ）知n A 中元素成对出现（互为相反

数），且n A ∈0，又}{n a 具有性质2，则n A 中n

3个元素必为

31333331{,,1,0,1,,}2222n n n n n A ----=---L L ，n m 2

13-=n 。

下面用数学归纳法证明13-=n n a

显然2,1=n 时命题成立，假设当k n =（),1N k k ∈>时命题成立，即

}2

1

3,233,1,0,1,233,213{-------=k k k k k A ΛΛ，当1+=k n 时，只需证

1113(32)31313323(32)31

{,0,,,,,,3,,}222222

k k k k k k k k k n k A +++---++----=L L L L 由于对称性只

写出了1+k A 元素正的部分，其中2

)

23(31--=k k

既k A 中正的部分的213-k 个元素统一为2

3i k -，其中23,,5,3,1-=k

i Λ

则1

+k A 中从213+k ，到2

233-+k k 这213-k 个元素可以用23233i i k k k

+=--唯一表示其中

23,,5,3,1-=k i Λ，

1+k A 中从（k

3+1）到最大值2131-+k 这213-k 个元素可用2

32331i i k k k

-=-++唯一表示

其中23,,5,3,1-=k

i Λ

1+k A 中正的部分21

31-+k 个元素都存在唯一一组i λ（n i ,2,1Λ=）使∑==n

i i i a x 1

λ成立，

所以当1+=k n 时命题成立。即{n a }为n 阶完美数列，13n n a -=

8.（东城二模，20，本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=（*n ∈N ）．

⑴ 求4a ，7a ；

⑵ 是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 解：（Ⅰ）

4211

a a a ===；

74210

a a ?-==．

（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n

a a +=．

则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有

n T n

a a +=．

设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ），则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====．与

已知411

n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ），则22n T n n

a a a +==，

而

222n T n t n t a a a +++== 从而

n t n

a a +=． 而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾．

综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有

n T n

a a +=．…………13分

9.（东城一模，20）（本小题共13分）

设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：

12(,,,,,)i n A a a a a =L L .其中i a (1,2,,)i n =L 称为数组A 的“元”，i 称为i a 的下标. 如果数组S 中的每个“元”都是来自 数组A 中不同下标的“元”，则称S 为A 的子数组. 定义两个数组12(,,,)n A a a a =L ，12(,,,)n B b b b =L 的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =+++L . （Ⅰ）若11

(,)22

A =-，(1,1,2,3)

B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)

C A S 的最大值；

（Ⅱ）若(

333

A =，(0,,,)

B a b c =，且2221a b c ++=，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求(,)

C A S 的最大值.

解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(-=S 时，(,)C A S 取得最大值为2．

（Ⅱ）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中c b a ,,三个“元”的对称性，可以只计

算(,))C A S a b =

+的最大值，其中1222=++c b a ．

由22222222()22()2()2a b a b ab a b a b c +=++≤+≤++=，得 a b ≤+≤

当且仅当0c =，且a b ==

b a +(,))C A S a b =+=．

②当0不是S 中的“元”时，计算(,))C A S a b c =

++的最大值，

由于1222=++c b a ，所以bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 3)(32

22=++≤c b a ， 当且仅当c b a ==时，等号成立．

即当33=

==c b a 时，c b a ++(,))1C A S a b c =

++=． 综上所述，(,)C A S 的最大值为1．

10.（丰台二模20.）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+.记集合

{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =?，

把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c . （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}n c 的前50项和50S ；

（Ⅲ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，写出数列{}n d 的通项公式，并说明理由. 解：（Ⅰ）设等比数列{}n b 的公比为q ，

Q 11431,18b a b a ===+=，则q 3=8，∴q=2，∴b n =2n-1， ………………………3分

（Ⅱ）根据数列{a n }和数列{}n b 的增长速度，数列{}n c 的前50项至多在数列{a n }中选50项，数列{a n }的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，由2n-1<148得，n≤8，数列{b n }的前8项构成的集合为{1，2，4，8，

16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a n }中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a 46=136>128，故数列{c n }的前50项应包含数列{a n }的前46项和数列{b n }中的2，8，32，128这4项． ………………6分

所以S 50=14646()

28321282

a a +++++=3321; ………………………8分

（Ⅲ）据集合B 中元素2，8，32，128?A ，猜测数列{}n d 的通项公式为d n =22n-1． …9分 Q d n =b 2n ，∴只需证明数列{b n }中，b 2n-1∈A ，b 2n ?A （n N *∈） ……………………11分

证明如下：Q b 2n+1-b 2n-1=22n -22n-2=4n -4n-1=3×4n-1，即b 2n+1=b 2n-1+3×4n-1， 若?m ∈N *，使b 2n-1=3m-2，那么b 2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2，所以，若b 2n-1∈A ，则b 2n+1∈A ．因为b 1∈A ，重复使用上述结论，即得b 2n-1∈A （n N *∈）。

同理，b 2n+2-b 2n =22n+1-22n-1=2×4n -2×4n-1=3×2×4n-1，即b 2n+2=b 2n +3×2×4n-1，因为“3×2×4n-1” 数列{}n a 的公差3的整数倍，所以说明b 2n 与b 2n+2()n N *∈同时属于A 或同时不属于A ，

当n=1时，显然b 2=2?A ，即有b 4=2?A ，重复使用上述结论，

即得b 2n ?A ，∴d n =22n-1； ………………………………………14分

11.（丰台一模20．)设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ???为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：

① 1230n a a a a ++++=L ；

②

1231n a a a a ++++=L .

（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（Ⅱ）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =L ，试证：2

1

≤

k S .

解：（Ⅰ）数列11,0,22-为三阶期待数列…1分数列3113

,,,8888

--为四阶期待数列,…3分(其它答案酌情给分)

（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d ， 因为12

320130a a a a ++++=L ,120132013()0,2

a a +∴=120130a a ∴+=，即10070a =，1008a d ∴=

当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾，

当d>0时，据期待数列的条件①②可得1008

10092013

1,2

a a a +++=L ∴1006100511

1006,2210061007

d d d ?+

==

?即, ………………………………………………6分 ∴该数列的通项公式为10071007

(1007).10061007

n n a a n d -=+-=

?()*2013n N n ∈≤且，…7分

当d<0时，同理可得1007

.10061007

n n a -+=

?()*2013n N n ∈≤且.…………………………………8分

（Ⅲ）当k=n 时，显然

1

02

n S =≤

成立；……9分,当k

即n

k k k k a a a a a a S +++=+++=++ΛΛ2121，……………………………………11分

1212121221,k k k k n k k k n S a a a a a a a a a a a a ++++∴=+++++++≤+++++++=L L L L

1

(1,2,3,,).2k S k n ≤=L ………………………………………………………………………14分

12.（2013年北京，20）（本小题共13分）

给定数列12,,,n a a a L 。对1,2,,1i n =-L ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++L 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.

（Ⅰ）设数列{}n a {a n }为3，4，7，1，写出123,,d d d 的值.

（Ⅱ）设()12,,,4n a a a n ≥L 是公比大于1的等比数列，且10a ＞.证明：121,,,n d d d -L 是等比数列。 （Ⅲ）设121,,,n d d d -L 是公差大于0的等差数列，且10d ＞，证明：121,,,n a a a -L 是等差数列。

13.（海淀二模20.（本小题满分13分） 设A 是由m n ?个整数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一

列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1

(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若经过任意．．

一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的值；

表2

(Ⅲ) 对由m n ?个整数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 法1

42123712371237210121012101

-?????→?????→

----改变第列改变第行

2222

1212a a a a a a a a ------

法2：

14123712371237210121012101

----?????→?????→--改变第列改变第列

（写出一种即可）…3分

(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1;①如果操作第三列，则

22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210

520a a -≥??

-≥?,解得1,2a a ==.…6分 ② 如果操作第一行

2

2

2

2

1212a a a a a a a a -----

则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a 解得1a = ……9分,综上1a = …10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）

由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||m

n

ij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止

之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分

14.（石景山一模20．（本小题满分13分）

给定有限单调递增数列{x n }（n ∈N *，n≥2）且x i ≠0（1≤ i ≤n ），定义集合A={（x i ，x j ）|1≤i ，j≤n ，且i ，j ∈N *}．若

对任意点A 1∈A ，存在点A 2∈A 使得OA 1⊥OA 2（O 为坐标原点），则称数列{x n }具有性质P 。 （I ）判断数列{x n }：-2，2和数列{y n }：-2，-l ，1，3是否具有性质P ，简述理由。 （II ）若数列{x n }具有性质P ，求证： ①数列{x n }中一定存在两项x i ，x j 使得x i +x j =0： ②若x 1=-1, x n >0且x n >1，则x 2=l 。

15.（顺义二模20．（本小题满分13分）

已知函数()21x

f x ae =+，()ln ln 1ln 2

g x x a =-+-，其中a 为常数， 2.718e =……，函数()y f x =的图象与坐标轴交点处的切线为1l ，函数()y g x =的图象与直线1y =交点处的切线为2l ，且12//l l 。

（Ⅰ）若对任意的[]

1,5x ∈，不等式()x m x ->

-成立，求实数m 的取值范围.

（Ⅱ）对于函数()y f x =和()y g x =公共定义域内的任意实数x 。我们把00()()f x g x - 的值称为两函数在

0x 处的偏差。求证：函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域的所有偏差都大于2.

解（Ⅰ）函数()y f x =的图象与坐标轴的交点为(0,21)a +, 又'()2x

f x ae = '

(0)2f a ∴= 函数()y g x =的图象与直线1y =的交点为(2,1)a ， 又'

1(),g x x =

'1(2)2g a a

∴= 由题意可知， 211

2,24

a a a =

∴= 又0a >，所以12a =...................3分

不等式()x m x ->-()m x x <-+即x m x <-

令()x h x x =-

，则'()1

x h x e =-， 0,x >+≥Q

又0x >时，1x

e >，1

x e ∴+>, 故'()0h x <()h x ∴在(0,)+∞上是减函数

即()h x 在[]1,5上是减函数，因此，在对任意的[]

1,5x ∈，不等式()x m x ->-

只需5(15)5m h <=-，所以实数m 的取值范围是5

(,5)-∞-.................8分

（Ⅱ）证明：()y f x =和()y g x =的公共定义域为(0,)+∞，由（Ⅰ）可知1a =，

()()ln x f x g x e x ∴-=- 令()1x q x e x =--，则'()10x q x e =->， ()q x ∴在(0,)+∞上是增函数，

故()(0)0q x q >=，即10x e -> ………①。令()ln 1m x x x =-+，则'

1

()1m x x

=

-， 当1x >时，'

()0m x <；当01x <<时，'

()0m x >，()m x ∴有最大值(1)0m =，因此ln 1x x +<…② 由①②得1ln 1x

e ->+，即ln 2x

e x ->，又由①得1x

e x x >+>， 由②得ln 1x x x <-<

ln x e x ∴>，()()ln 2x f x g x e x ∴-=->

故函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域的所有偏差都大于2............13分

16.（西城二模，20．（本小题满分13分）

已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =L L 是正整数1,2,3,,n L 的一个排列}(2)n ≥，函数

1,0,

()1,0.x g x x >?=?

-

对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈L L ，10b =，称

i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b L 为排列12,,,n a a a L 的生成列．

（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；

（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a L 和1

2,,,n a a a '''L 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a L ，进行如下操作：将排列12,,,n a a a L 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．

（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-． ………………3分

（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a L 的生成列是12,,,n b b b L ；1

2,,,n a a a '''L 的生成列是与12,,,n b b b '''L ． 从右往左数，设排列12,,,n a a a L 与1

2,,,n a a a '''L 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，L ，11k k

a a ++'=，k k a a '≠． 显然 n n

b b '=，11n n b b --'=，L ，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a L 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．

由于排列12,,,n a a a L 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而

(1)21k b l k l l k =---=-+．

同理，设排列1

2,,,n a a a '''L 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a L 与1

2,,,k a a a '''L 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k k

b b '≠． 所以排列12,,,n a a a L 和1

2,,,n a a a '''L 的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a L 的生成列为12,,,n b b b L ，且k a 为12,,,n a a a L 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-L ． ………………9分

依题意进行操作，排列12,,,n a a a L 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+L L ，设该排列的生成列为

12

,,,n b b b '''L ． ………………10分 所以 1

212()()n n b b b b b b '''+++-+++L L 121121[()()()][()()()]

k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++-L L

1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-L

22k b =-≥．

所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．

………………13分

17.（西城一模，20．（本小题满分13分）

已知集合*

12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N L L ．

对于12(,,,)n A a a a =L ，12(,,,)n n B b b b S =∈L ，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---u u u r

L ；

1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R L L λλλλλ；A 与B 之间的距离为1

(,)||n

i i i d A B a b ==-∑．

（Ⅰ）当5n =时，设(1,2,1,2,5)A =，(2,4,2,1,3)B =，求(,)d A B ；

（Ⅱ）证明：若,,n A B C S ∈，且0?>λ，使AB BC λ=u u u r u u u r

，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；

（Ⅲ）记20(1,1,,1)I S =∈L ．若A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，求(,)d A B 的最大值． （Ⅰ）解：当5n =时，由5

1

(,)||i

i

i d A B a b ==

-∑，

得 (,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=，

所以 (,)7d A B =． ………………3分 （Ⅱ）证明：设12(,,,)n A a a a =L ，12(,,,)n B b b b =L ，12(,,,)n C c c c =L ．

因为 0?>λ，使AB BC λ=u u u r u u u r

，

所以 0?>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---L L λ,,， 所以 0?>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =L ．

所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=L 同为非负数或同为负数． ………………6分

所以 11

(,)(,)||||n n

i

i

i

i

i i d A B d B C a b b c ==+=

-+-∑∑

1(||||)n

i i i i i b a c b ==-+-∑

1

||(,)n

i i i c a d A C ==-=∑． ………………8分

（Ⅲ）解法一：20

1

(,)||i

i

i d A B b a ==

-∑．

设(1,2,,20)i i b a i -=L 中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数．不妨设1,2,,i m =L 时

0i i b a -≥；1,2,,20i m m =++L 时，0i i b a -<．

所以 20

1

(,)||i

i

i d A B b a ==

-∑

121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++L L L L

因为 (,)(,)13d I A d I B ==， 所以

202011(1)(1)i

i

i i a b ==-=-∑∑， 整理得 2020

11

i

i

i i a b ===∑∑．

所以 20

1

2

121

(,)||2[()]i

i

m m i d A B b a b b

b a a a ==-=+++-+++∑L L ．……………10分

因为 1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++L L L (1320)(20)113m m ≤+--?=+； 又 121m a a a m m +++≥?=L ，

所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++L L 2[(13)]26m m ≤+-=．

即 (,)26d A B ≤． ……………12分

对于 (1,1,,1,14)A =L ，(14,1,1,,1)B =L ，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．

综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分 解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有||||||x y x y +≤+． 证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤， 所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，

即 ||||||x y x y +≤+． 所以 2020

1

1

(,)|||(1)(1)|i

i

i

i

i i d A B b a b a ===

-=-+-∑∑

20

1

(|1||1|)i i i b a =≤-+-∑

2020

1

1

|1||1|26i i i i a b ===-+-=∑∑． ……………11分

上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)26d A B ≤． ……………12分

对于 (1,1,,1,14)A =L ，(14,1,1,,1)B =L ，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．

综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分