2014丰台区高三一模理科数学试题含答案
2014年北京市丰台区高三数学一模理试题及答案(word版)
q :函数g(x)在区间(a,b)内有最值.则命题 p 是命题q 成立的丰台区2012年高三年级第二学期统一练习(一)2012.3数学(理科)第一部分(选择题共40 分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.21.已知集合 A={x I x <1}, B={a}，若A n B=._ ,则a 的取值范围是(A) ( -：：， (C) (-1,1)(D) [-1,1]2.若变量x ,卄 八0,卄y 满足约束条件{x-2yX1,则z=3x+5y 的取值范围是X —4層 3,(B) [-8,3](D) [-8,9]的二项展开式中，常数项是(C) 201I4.已知向量 a = (sin ,cosR , b = (3,4)，若 a _ b ，则 tan2二等于(A) 10(B) 15(D) 3024 6 24 (A)(B)(C)77255•若正四棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的表面积是24(D)(A) 4 (B) 4 4,10 (C) 8(D) 4 4116.学校组织高一年级 4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁 四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有 (A) (B) A A 2 种(C)2 2(D) C 4 A 3 种7.已知 a :: b ，函数 f(x)二sin X ， g(x)=cos X .命题 p ： f (a) f(b) ：： 0，命题(A)充分不必要条件(C)充要条件(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件8.已知定义在R 上的函数y=f(x)满足 f(x+2)= f(x),当-1<x < 1 时,f(x)=x 3.若函数 g(x) = f (x) _ log a x 恰有6个零点，贝U a114.定义在区间［a,b ］上的连续函数y 二f(x)，如果 ［a,b ］，使得f (b) - f (a)二f'( J(b - a)，则称 为区间［a,b ］上的"中值点”.下列函数：① f (x) =3x 2 :②f (x) = x 2 -x • 1 :③f (x)二ln(x 1):④f (x) ^(x-1)3中，在区间［0,1］上“中值点”多于一个的函数序号为2(A) a= 5 或 a=—(B) a (0,：)U ［5,：：)5 1 1(D) a 匕,匚山［5,7)7 5二、填空题共6小题，每小题 第二部分(非选择题共110分)5分，共30分.9.已知双曲线的中心在原点,3焦点在x 轴上，一条渐近线方程为 y x , 4则该双曲线的离心率是10.已知等比数列{a n }的首项为1，若4a i , 2a 2,觅成等差数列，则数列 {-} 的前5项和为 a n11.在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程是y 占 x=1 旦，2 (t 为参数)1. -2，.以O 为极点，x 轴正方向极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程是 p -4 pcos 肝3=0 .则圆心到直线的距离是12.如图所示，Rt △ ABC 内接于圆，• ABC =60；, PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于E ,交圆于 D .若 FA=AE , PD=、3 , BD=3.3 , 贝UAF= ____13.执行如下图所示的程序框图，则输出的 i 值为.(写出所有.满足条件的函数2 的菱形，侧面 FAD 丄底面 ABCD ，/ BCD=60o, FA=PD=、2 ,E 是BC 中点，点Q 在侧棱FC 上.（I ）求证：AD 丄FB ;（n ）若Q 是FC 中点，求二面角 E-DQ-C 的余弦值；FQ（川）若，当FA //平面DEQ 时，求入的值.FC17.（本小题共13分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示. （I ）请根据图中所给数据，求出a 的值；（n ）从成绩在［50,70）内的学生中随机选 3名学生，求这3名学生的成绩都在［60,70）内的概率；的序号）三、解答题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题共13分）在厶ABC 中，角A , B, C 所对的边分别为 （I ）判断△ ABC 的形状； 12 1f （x ） cos2x cosx ,2 32(n)若16.（本小题共14分）a ,b ,c ,且 a sin B _bcosC =ccosB . 求f （A ）的取值范围.四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是边长为AB（川）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在［50,70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在［60,70）内的人数，求X的分布列和数学期望.即 sin As in B = si n C cos B cosCs in B ,......................... 2分 所以 sin(C B) = sin Asin B .................... 4分因为在△ ABC 中，A • B • C 二二， 所以 sin A =sinAsinB 又sinA = 0,................... 5分JI所以 sin B = 1 , B =— 2所以△ ABC 为B的直角三角形.2................... 6分(法 2)因为 asin B —bcosC =ccosB ,2.2 2 2 a ____ —j- rq a由余弦疋理可得 asin B = bc2abc 2- b 22ac '................... 4分即 a sin B = a . 因为a = 0,所以sin B =1 ................... 5分所以在△ ABC 中，B =~ .2所以△ ABC 为B的直角三角形.2................... 6分1 2 1 2 2n)因为 f (x) cos2x cosxcos xcosx......2 3 23................... 8分 = (cosx _丄)2.3 9................ 10分所以 0 :： A ，且 0 :：: cos A ：1 ,........................ 11 分211所以 当cos A 时，f(A)有最小值是.............. 12分391 1所以f (A)的取值范围是［-1,1) ......................... 13分9 316.证明：(I)取AD 中点O ,连结OP , OB , BD .因为PA=PD , 所以PO 丄AD . ........................... 1分因为菱形 ABCD 中，/ BCD=60o,所以AB=BD , 所以BO 丄AD . ........................... 2分 因为 BO n PO=O ,........................... 3 分 所以AD 丄平面POB. ................................. 4分 A所以AD 丄PB. ........................... 5分(H)由(I)知 B0 丄 AD , PO 丄 AD . 因为 侧面PAD 丄底面ABCD ,且平面 PAD n 底面 ABCD=AD , 所以PO 丄底面ABCD ............................以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 O.......................... 7分则 D(-1,0,0) , E(-1,、3,0)，P(0,0,1),C （-2八 3,0）,因为Q 为PC 中点，所以Q (_1，乜，丄).2 2所以"DE =（0^3,0）, DQ =（0,^」）,2 2所以平面DEQ 的法向量为m = (1,0,0).因为 DC=（-1八 3,0） , DQ^。
2014北京市丰台区高三(一模)数学(文)
2014北京市丰台区高三（一模）数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x∈R|﹣1≤x≤1}，B={x∈R|x（x﹣3）≤0}，则A∩B等于（）A．{x∈R|﹣1≤x≤3} B．{x∈R|0≤x≤3} C．{x∈R|﹣1≤x≤0} D．{x∈R|0≤x≤1}2．（5分）已知等比数列{a n}中，a2+a3=1，a4+a5=2，则a6+a7等于（）A．2 B．2 C．4 D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数．则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（﹣3）＞f（2） C．f（﹣1）＞f（3） D．f（﹣2）＜f（﹣3）5．（5分）设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．18B．36C．12D．248．（5分）在同一直角坐标系中，方程ax2+by2=ab与方程ax+by+ab=0表示的曲线可能是（）A．B． C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知tanα=2，则的值为．10．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．11．（5分）以点（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为．12．（5分）已知函数f（x）=2x，点P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，那么f（a）?f（b）的最小值是．13．（5分）A，B两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务．A机到达甲地完成任务后原路返回；B 机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回．如图中折线分别表示A，B两架直升机离甲地的距离s与时间t之间的函数关系．假设执行任务过程中A，B均匀速直线飞行，则B机每小时比A机多飞行公里．14．（5分）设不等式组表示的平面区域为M，不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率为P．①当t=1时，P= ；②P的最大值是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值．16．（13分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 34 1380岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．17．（14分）如图，四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，AN⊥AB，F为线段BN的中点，E为线段BC上的动点．（Ⅰ）当E为线段BC中点时，求证：NC∥平面AEF；（Ⅱ）求证：平面AEF⊥BCMN平面；（Ⅲ）设=λ，写出λ为何值时MF⊥平面AEF（结论不要求证明）．18．（13分）已知曲线f（x）=ax﹣e x（a＞0）．（Ⅰ）求曲线在点（0，f（0））处的切线；（Ⅱ）若存在实数x0使得f（x0）≥0，求a的取值范围．19．（14分）如图，已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F（﹣，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k，使得四边形AOBC为平行四边形？若存在求出k的值，若不存在说明理由．20．（13分）从数列{a n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a n}的一个子列．（Ⅰ）写出数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）设{a n}是无穷等比数列，首项a1=1，公比为q．求证：当0＜q＜1时，数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】B={x∈R|x（x﹣3）≤0}={x∈R|0≤x≤3}，则A∩B={x∈R|0≤x≤1}，故选：D．2．【解答】设等比数列{a n}的公比为q，则q2==2，∴a6+a7=（a4+a5）q2=2×2=4故选：C3．【解答】由程序框图知：程序第一次运行i=0+1=1，x=1+=2；第二次运行i=1+1=2，x=1+=；第三次运行i=2+1=3，x=1+=；第四次运行i=3+1=4，x=1+=．满足条件i≥4，输出x=．故选：A．4．【解答】∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数；∴当0＜6时，f（0）＞f（6），∴命题A错误；又∵f（﹣3）=f（3），且3＞2，∴f（3）＜f（2），命题B错误；又∵f（﹣1）=f（1），且1＜3，∴f（1）＞f（3），即f（﹣1）＞f（3），∴命题C正确；又∵f（﹣2）=f（2），f（﹣3）=f（3），且2＜3，∴f（2）＞f（3），即f（﹣2）＞f（﹣3），∴命题D错误；故选：C．5．【解答】当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件．故选A6．【解答】有茎叶图中的数据可知，甲的数据主要集中85以下，乙的数据主要集中在86以上，∴根据数据分布可知＜，乙比甲成绩稳定，故选：乙参加比较，故选：D．7．【解答】由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的高为6，底面三角形的底边长为3+3=6，高为3，∴几何体的体积V=××6××6=18．故选：A．8．【解答】方程ax2+by2=ab 即；方程ax+by+ab=0，即y=﹣x﹣a．考察A选项，椭圆的焦点在x轴上，即b＞a＞0，直线的斜率小于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，符合题意；考察B选项，椭圆的焦点在y轴上，即a＞b＞0，直线的斜率大于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，不符合题意；考察C选项，双曲线的焦点在y轴上，则a＞0，b＜0，直线的斜率大于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，但截距﹣a＜0，不符合题意；考察D选项，双曲线的焦点在x轴上，则b＞0，a＜0，直线的斜率小于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，不符合题意；故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵tanα=2，∴===，故答案为：．10．【解答】=．∴复数在复平面内对应的点的坐标是．故答案为：．11．【解答】设点（﹣1，1）为圆心的圆的半径为r，依题意知，圆心（﹣1，1）到直线x﹣y=0的距离d=r==，∴所求的圆的方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．12．【解答】∵P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，∴b=，即ab=1，∴f（a）?f（b）==22=4，即f（a）?f（b）的最小值是4，故答案为： 413．【解答】设机场到甲地的距离为s，则A机的速度是（公里/小时），B机的速度是：（公里/小时），B机每小时比A机多飞行=20公里．故答案为：20．14．【解答】①不等式组表示的平面区域为M，则对应三角形的面积S M=．不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为矩形，则对应的矩形面积为2t（4﹣t）=﹣2t2+8t=﹣2（t﹣2）2+8，当t=1时，对应的面积S1=2×3=6，此时对应的概率P=．②当t=2时，区域N的面积最大为8，此时区域N的最大面积为8，则由几何概型的概率公式可知P的最大值是，故答案为：①，②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1=cos2x+sin2x=sin（2x+），∴函数的周期为T==π．（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最小值为﹣1，当2x+=时，函数f（x）取得最大值为．16．【解答】（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵F为线段NB的中点，E为线段BC中点，∴NC∥EF，又NC不包含平面AEF，EF?平面AEF，∴NC∥平面AEF．（4分）（Ⅱ）证明：四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，∴AD⊥NA，AD⊥AB，NA∩AB=A，∴AD⊥平面NAB，AF?平面NAB，故AD⊥AF，AD∥BC，∴BC⊥AF，由题意NA=AB，F为线段NB的中点，∴AF⊥NB，NB∩BC=B，∴AF⊥平面BCMN，∵AF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCMN．（11分）（Ⅲ）解：λ=时，MF⊥平面AEF．（14分）18．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣e x（a＞0），∴f（0）=﹣1，则切点为（0，﹣1）．f′（x）=a﹣e x，f′（0）=a﹣1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y=（a﹣1）x﹣1；（Ⅱ）∵a＞0，由f′（x）＞0得，x＜lna，由f′（x）＜0得，x＞lna，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（lna）=alna﹣a．∵存在x0使得f（x0）≥0，∴alna﹣a≥0，∴a≥e．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知，c=，于是a=2，∴．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y1），M（x0，y0），由，即．，，，于是．∵，∴M在直线l上；（Ⅲ）设存在这样的平行四边形，则M为OC中点，设点C的坐标为（x3，y3），则．∵，解得．于是，解得，即．∴当时四边形AOBC的对角线互相平分，即当时四边形AOBC是平行四边形．20．【解答】（Ⅰ）解：数列{3n﹣1}中的2，8，32是一个等比数列，∵，，a3=32=22×3﹣1，由此猜想，∴数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列为{22n﹣1}．（若只写出2，8，32三项．给满分）．（5分）（Ⅱ）证明：假设存在是等差数列的子列{b n}，∵a1=1，0＜q＜1，∴，且数列{a n}是递减数列，∴{b n}也为递减数列且b n∈（0，1]，d＜0，令b1+（n﹣1）d＜0，得n＞1﹣，即存在n∈N*（n＞1），使得b n＜0，这与b n∈（0，1]矛盾．∴数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．（13分）。
北京市丰台区2014学年度高三年级第一学期期末考试理科数学
丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习高 三 数 学（理科） 2014.1第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数1i i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 函数11(0)=++>y x x x的最小值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43. 已知命题p: ∀21x x >,22x >12x ，则p ⌝是（A ）∀21x x >,22x ≤12x （B ）∃21x x >,22x ≤12x（C ）∀21x x >,22x <12x （D ）∃21x x >,22x <12x4. 过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行其渐近线的直线方程是 （A ） 3(5)4y x =±- （B ） 4(5)3y x =±- （C ） 3(5)4y x =±+ （D ） 3(5)4y x =±+5.如图，已知曲边梯形ABCD 的曲边DC 所在的曲线方程 为1(0)y x x=>，e 是自然对数的底，则曲边梯形的面积是 （A ）1 （B ）e （C ）1e （D ）126. 已知平行四边形ABCD 中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则且⋅AC AB uu u r uu u r 等于（A ）1 （B （C ）2 （D ）7.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,||)ωϕπ><的部分图象如图所示,那么()f x 的表达式为（A ）5()2sin(2)6π=+f x x （B ）5()2sin(2)6π=-f x x （C ）()2sin(2)6f x x π=+（D ）()2sin(2)6f x x π=-8. 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为θ（00090θ<<）的平面所截，截面是一个椭圆.当θ为30o 时，这个椭圆的离心率为 （A ）12 （B（C（D ）23第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年北京市各区高三一模试题汇编理科解析几何
2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2 BCD答案：C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =___8__；C 的准线方程为__4x =-___．3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（A ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ B ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m ____34___．6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m的取值范围是（D ）A．(-UB．(⎡--⎣UC ．[2,2]-D．[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（D ） A ．2B ．8C D ．410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（A ）A B ．3C ．125D ．111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m=___16___1． 13 (2014年东城一模理科) （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，， 得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+． 由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+． 化简得223k =，满足0>△．所以k = 因此直线l的方程为32y =+． 14 (2014年西城一模理科)（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*） …… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-， …………10分解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k-==， 解得m =.……… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =，或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)（本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0)．（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形． 解：（Ⅰ）设00(,)A x y ，00(,)-B x y ，————————————————1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|=-y x ．————————2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，———————————3分 得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，—————————4分 当02=x时，||=AB 当043=-x时，||=AB ．———————————————————5分 {说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在．设直线AB ：=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分 所以122623+=-+km x x k ，121224()223+=++=+my y k x x m k ，——————8分 所以2232(,)2323-++km mN k k，又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ，————————————9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，—————————————10分 化简2320k km ++=，②—————————————11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形．——————————14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ==———8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =，————————————11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠．所以||||MA MB ≠，————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形．———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+， 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(．………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E 于C,D 两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是. 所以，椭圆的标准方程为程.------ ---------3分（Ⅱ）设，，，22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以，，，， 于是.，所以在直线上----8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等，若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为，则.因为，解得. 于是，解得，所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，称圆心在原点O ，半C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值． 解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，．………………………………7分 ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =1l：x =与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直．………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=． 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直．………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直． 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．解：（Ⅰ）．椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，………………4分 从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ，………………7分 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-，得2214182k k x +-=，………………8分 从而21414k k y +=，即)414,4182(222kkk k S ++-，………………9分 又)0,2(B ，故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -，………………11分 故kk MN 216||+=，………………12分 又∵0>k ，∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ，………………13分 当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32．……………………14分。
2014年北京高考预测—理科数学试题及答案
为偶函数”
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
n≤ 3
否
是
4. 执行如图所示的程序框图，若输出 x 的值为 23，则输入 的 x 值为（ ） A． 0 B．1 C． 2 D．11
2
输出x 结束
y
1 2
5 ．如果存在正整数 和实数 使得函数 f ( x) cos (x ) （ ， 为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0） ） ，那么 的 值为 （ ） A． 1 6. 已知椭圆 B． 2
k1 , k 2 ,试证明
1 1 为定值,并求出这个定值； kk1 kk2
（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作 F2 Q F2 P ，设 F2 Q 交 l 于点 Q ， 证明:当点 P 在椭圆上移动时，点 Q 在某定直线上.
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20． （本小题满分 13 分） 已知数列 {cn } 满足（i） cn cn 2 ≤ cn 1 ,(ii)存在常数 M ( M 与 n 无关)，使得 cn M 恒成立，则称 数列 {cn } 是和谐数列. （1） 已知各项均为正数的等比数列 {an } ， S n 为其前 n 项和；且 a3 4 ， S3 28 ，求证：数列
1 AD=1，CD= 3 ． 2
P
M D Q
C B
A
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18． （本小题满分 13 分） 已知 P x, y 为函数 y 1 ln x 图象上一点， O 为坐标原点，记直线 OP 的斜率 k f x ． (Ⅰ)若函数 f x 在区间 a, a
2
A． 0,
B． ( , )
北京市丰台区2014届高三下学期统一练习(二)数学(理)(无答案)
丰台区2014年高三年级第二学期统一练习(二)数学(理科)第一部分(选择题 共40分)一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项｡(1)若复数(1)(2)m m -+-i(m ∈R)是纯虚数,则实数m 等于 (A)0 (B)1 (C)2 (D)1或2(2) 已知数列{}n a 是等差数列,且394a a +=,那么数列{}n a 的前11项和等于(A)22 (B)24 (C)44 (D)48(3)直线1:0l x y +-=与直线2,:(2x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)的交点到原点O 的距离是 (A)1(C)2(D)2(4)将函数2()log (2)f x x =的图象向左平移1个单位长度,那么所得图象的函数解析式为(A)2log (21)y x =+ (B)2log (21)y x =- (C)2log (1)1y x =++ (D)2log (1)1y x =-+ (5)已知sin()cos 2y x x π=+-,则y 的最小值和最大值分别为(A)9,28- (B)-2,98 (C)3,24- (D)-2,34(6)设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 (A)m ⊥α,n ⊂β,m ⊥n ⇒α⊥β (B)α⊥β,α∩β=m ,n ⊥m ⇒n ⊥β (C)α⊥β,m ⊥α,n ∥β⇒m ⊥n (D)α∥β,m ⊥α,n ∥β⇒m ⊥n(7)已知抛物线C :)0(22>=p px y 的焦点为F ,过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一､四象限分别交于A ､B 两点,则||||BF AF 的值等于 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(8)定义在R 上的函数()f x 和()g x 的导函数分别为'()f x ,'()g x ,则下面结论正确的是①若'()'()f x g x >,则函数()f x 的图象在函数()g x 的图象上方;②若函数'()f x 与'()g x 的图象关于直线x a =对称,则函数()f x 与()g x 的图象关于点(a ,0)对称;③函数()()f x f a x =-,则'()'()f x f a x =--; ④若'()f x 是增函数,则1212()()()22x x f x f x f ++≤. (A)①② (B)①②③ (C)③④ (D)②③④第二部分(非选择题 共110分)二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分｡(9)已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-,那么该数列的通项公式为n a =_______. (10)已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示, 那么样本数据落在[40,60)内的样本 的频数为 ____ ; 估计总体的众数为_________.(11)已知圆C :(x +1)2+(y -3)2=9上的两点P ,Q 关于直线x+my+4=0对称,那么m =_________. (12)将6位志愿者分配到甲､已､丙3个志愿者工作站,每个工作站2人,由于志愿者特长不同,A不能去甲工作站,B 只能去丙工作站,则不同的分配方法共有__________种.(13)已知向量(1,2)a =-,M 是平面区域0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩内的动点,O 是坐标原点,则a OM ⋅的最小值是 .(14)数列}{n a 的首项为1,其余各项为1或2,且在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2,即数列}{n a 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列}{n a 的前n 项和为n S ,则20S = __ ;2014S ___ .样本数据三､解答题: 本大题共6小题,共80分｡解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程｡ (15)(本小题满分13分)已知△ABC 中,∠A , ∠B , ∠C 的对边长分别为,,a b c ,且223a b ab +=+,60o C =. (Ⅰ)求c 的值;(Ⅱ)求a b +的取值范围. (16)(本小题满分13分)某超市进行促销活动,规定消费者消费每满100元可抽奖一次.抽奖规则:从装有三种只有颜色不同的球的袋中随机摸出一球,记下颜色后放回,依颜色分为一､二､三等奖,一等奖奖金15元,二等奖奖金10元,三等奖奖金5元.活动以来,中奖结果统计如图所示:消费者甲购买了238元的商品,准备参加抽奖.以频率作为概率,解答下列各题. (Ⅰ)求甲恰有一次获得一等奖的概率; (Ⅱ)求甲获得20元奖金的概率;(Ⅲ)记甲获得奖金金额为X ,求X 的分布列及期望EX . (17)(本小题满分14分)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD =AB ∠BAD =90o ,∠BCD =45o ,E 为对角线BD 的中点.现将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位 置,使平面PBD ⊥平面BCD ,如图2. (Ⅰ)求证直线PE ⊥平面BCD ;(Ⅱ)求异面直线BD 和PC 所成角的余弦值;(Ⅲ) 已知空间存在一点Q 到点P ,B ,C ,D 的距离相等,写出这个距离的值(不用说明理由).(18)(本小题满分13分)已知函数21()()2xf x xe a x x =-+(e=2.718---). (Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的极值; (Ⅱ)求函数在区间[-1,1]上的最小值. (19)(本小题满分13分)已知椭圆E:22184x y +=与直线l :y kx m =+交于A ,B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线l 椭圆的左焦点,且k =1,求△ABC 的面积;(Ⅱ)若OA OB ⊥,且直线l 与圆O :222x y r +=相切,求圆O 的半径r 的值. (20)(本小题满分14分)已知函数()f x 的定义域为D ,若它的值域是D 的子集,则称()f x 在D 上封 闭.(Ⅰ)试判断()2x f x =,2()log g x x =是否在()1,+∞上封闭;(Ⅱ)设1()()f x f x =,1()(())(N*,2)n n f x f f x n n -=∈≥, 若()n f x (*N n ∈)的定义域均为D ,求证:()n f x 在D 上封闭的充分必要条件是1()f x 在D 上封闭; (Ⅲ)若0a >,求证:)()sin cos 2h x x x x x =+在[]0,a 上封闭,并指出值域为[]0,a 时a 的值.图2图1。
2014年北京高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)
2014年北京高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）【2014年北京卷（理01）】已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D【答案】C【解析】∵A={x|x 2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A ∩B={0，2}故选C【2014年北京卷（理02）】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+【答案】A【解析】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x ﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log 0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件， 故选：A【2014年北京卷（理03）】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x 上，【2014年北京卷（理04）】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k 的值，当m=7，n=3时，m ﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k 值为4， ∴输出S=7×6×5=210．【2014年北京卷（理05）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n }”不是递增数列，充分性不成立．若a n =﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q ＞1”是“{a n }”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D【2014年北京卷（理06）】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，由kx ﹣y+2=0，得x=，∴B （﹣）．由z=y ﹣x 得y=x+z ．由图可知，当直线y=x+z 过B （﹣）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小．此时，解得：k=﹣．故选：D【2014年北京卷（理07）】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠【答案】D 【解析】设A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），D （1，1，），则各个面上的射 影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S 1=．在yOz 坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S 2=.在zOx 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S 3=，则S 3=S 2且S 3≠S 1，故选：D【2014年北京卷（理08）】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 得也最多只有一个，得C 最多只有一个，因此学生最多只有3人， 显然（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多有3个．故选：B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）【2014年北京卷（理09）】复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】﹣1 【解析】（）2=．故答案为：﹣1【2014年北京卷（理10）】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.【答案】【解析】设=（x ，y ）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R ），∴=λ（x ，y ）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：【2014年北京卷（理11）】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 【答案】y=±2x 【解析】与﹣x 2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x 2=m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x 2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x ，故答案为：，y=±2x【2014年北京卷（理12）】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8＞0，∴a 8＞0，又a 7+a 10=a 8+a 9＜0，∴a 9＜0，∴等差数列{a n }的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n }的前8项 和最大，故答案为：8【2014年北京卷（理13）】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.【答案】36【解析】根据题意，分3步进行分析：①、产品A 与产品B 相邻，将AB 看成一个整体，考虑AB 之间的顺序，有A 22=2种情况，②、将AB 与剩余的2件产品全排列，有A 33=6种情况，③、产品A 与产品C 不相邻，C 有3个空位可选，即有3种情况， 故不同的摆法有12×3=36种【2014年北京卷（理14）】 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在学科网区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π 【解析】由f （）=f （），可知函数f （x ）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f （）=﹣f （），且f （x ）在区间[，]上具有单调性，∴x=离最近对称轴的距离也为．函数图象的大致形状如图，∴．则T=π．故答案为：π三．解答题（共6题，满分80分）【2014年北京卷（理15）】如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。
2014年北京理科数学试卷及其内容规范标准答案
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件.B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B -1.2C 1.2D -在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ （D ）23S S =且13S S ≠有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.已知向量a r 、b r 满足1a =r ，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论） 17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈， 求证：()0f x ≤；若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.（本小题14分）已知椭圆22:24C x y +=，求椭圆C 的离心率. 设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数，对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）-1 （10）5（11）221312x y -= 2y x =± （12）8（13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。
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丰台区2014学年度第二学期期中练习高 三 数 学（理科） 2014.3第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{|11}A x R x =∈-≤≤,{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于 （A ） {|13}x R x ∈-≤≤ （B ） {|03}x R x ∈≤≤ （C ） {|10}x R x ∈-≤≤ （D ） {|01}x R x ∈≤≤ （2）在极坐标系中，点A （1,π）到直线cos 2=ρθ的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）85 （B ）2912（C ）53 （D ）138（4）已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中 一定成立的是（A ）(0)(6)f f < （B ）(-3)(-2)f f > （C ）(1)(3)f f -< （D ）(-2)(1)f f > （5） “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 （A ）x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （B ）x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 （C ）x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D ）x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）3（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年 年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有（A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个侧视图俯视图主视图第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9） 已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________.(10)已知等比数列{}n a 中, 358a a +=，154a a =，则139a a = . (11) 如图,已知圆的两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点, 且DF =CFAF :FB :BE =4：2：1.若CE 与圆相切,则线段CE 的长 为 ．(12) 已知点F ,B 分别为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.(13)已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =u u u r u u u r，AN nAD =u u u r u u u r (0m n ⋅≠),若MN u u u r ∥BE uu u r ，则nm=______________.(14)设不等式组22100x y y ⎧+-≤⎨≥⎩，表示的平面区域为M，不等式组0t x t y -≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，表示的平面区域为N .在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值 是_________.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. (15)(本小题共13分)已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.EA年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。
（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。
（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数X 分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”. (17) (本小题共14分)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱AB 上的动点. （Ⅰ）求证：DA 1⊥ED 1 ；（Ⅱ）若直线DA 1与平面CED 1成角为45o ，求AEAB的值； （Ⅲ）写出点E 到直线D 1C 距离的最大值及此时点E 的位置（结论不要求证明）.(18) (本小题共13分)已知曲线()x f x ax e =-(0)a ≠.（Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程； （Ⅱ）若存在0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围.1A A如图，已知椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为2，过左焦点(F且斜率为k的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线l：40x ky+=交椭圆E于C,D两点.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.(20) (本小题共13分)从数列{}na中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{}na的一个子列.（Ⅰ）写出数列{31}n-的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若{}na是无穷等比数列，首项11a=，公比0q>且1q≠，则数列{}na是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一）数学（理科）答案2014.3一、选择题二、填空题9．13 10. 9 11. 12.13. 2 14.2π三、解答题 15.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 22x x x =+32cos 22x x =+13(sin 22)2x x =2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+--------------------------------------------------------------5分 所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x 取π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-.所以，函数()f x 在区间[0,]2π32-.--------------13分16.解：（Ⅰ）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为2502606523250260652524++=+++，所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为2324.--------------5分（Ⅱ）该地区老龄人健康指数X 的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计概率)：E X =270210(1)700700700700⨯+⨯+⨯+-⨯=1.15 因为E X <1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分 17. 解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0),A （1，0，0）， B (1,1,0)，C (0,1,0),D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设E (1,m,0)（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =-- 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯= 所以DA 1⊥ED 1.-------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设平面CED 1的一个法向量为(,,)v x y z =,则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而1(0,1,1)CD =-，(1,1,0)CE m =- 所以0,(1)0,y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取z=1,得y=1,x=1-m ， 得(1,1,1)v m =-.因为直线DA 1与平面CED 1成角为45o ，所以1sin 45|cos ,|DA v ︒=<> 所以11||22||||DA v DA v ⋅=⋅=m=12.-----11分 （Ⅲ）点E 到直线D 1C E 在A 点处.------14分 18.解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）.()x f x a e '=-，(0)1f a '=-， 所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y =(a -1)x -1.-------------------4分 （Ⅱ）（1）当a>0时，令()0fx '=，则ln x a =.因为()x f x a e '=-在(,)-∞+∞上为减函数，所以在(,ln )a -∞内()0f x '>，在(ln ,)a +∞内()0f x '<，所以在(,ln )a -∞内()f x 是增函数，在(ln ,)a +∞内()f x 是减函数， 所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a =-因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥. （2）当0a <时，()x f x a e '=-<0恒成立，函数()f x 在R 上单调递减,而11()10a f e a=->，即存在0x 使得0()0f x ≥，所以0a <.综上所述，a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分 19. 解：（Ⅰ）由题意可知2c e a ==，c =2,1a b ==. 所以，椭圆的标准方程为2214x y +=程.---------------------------------3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，22()14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩即2222(41)1240k x x k +++-=.所以，212241x x k -+=+，21202241x x x k +-==+，002(41y k x k =+=+，于是222(,)4141M k k -∴++.40k +=，所以M 在直线l 上. --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等， 若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM |=3|CM |，因为|OD |=|OC |，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为33(,)x y ，则302y y =.因为22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =2|41k k =+，解得218k =，所以4k =±.----------------14分20. 解：（Ⅰ）212n n a -=（若只写出2,8,32三项也给满分）.----------------------4分 （Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为{}n b ，通项公式为1(1)n b b n d =+-.因为11a =，所以1n n a q -=.（1）当01q <<时，1n n a q -=∈（0，1]，且数列{}n a 是递减数列，所以{}n b 也为递减数列且n b ∈（0，1]，0d <, 令1(1)0b n d +-<，得111b n d>->， 即存在*(1)n N n ∈>使得0n b <，这与n b ∈（0，1]矛盾. （2）当1q >时，1n n a q -=≥1，数列{}n a 是递增数数列，所以{}n b 也为递增数列且n b ≥1，0d >. 因为d 为正的常数，且1q >，所以存在正整数m 使得11(1)m m m a a q q d -+-=->. 令()k p b a p m =>，则11k p b a ++≥，因为111(1)(1)p m p p a a q q q q d --+-=->->=1k k b b +-，所以1p p a a +->1k k b b +-，即11p k a b ++>，但这与11k p b a ++≥矛盾，说明假设不成立.综上，所以数列{}n a 不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分。