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第五章数列质量检测

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2015高考数学(文)一轮复习质量检测 数列 (北师大版)

2015高考数学(文)一轮复习质量检测 数列 (北师大版)

2015高考数学（文）一轮复习质量检测数列(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013年青岛期末)等差数列{a n}中，已知a1＝－6，a n＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为() A．7 B．6C．5 D．8解析：在等差数列中a n＝a1＋(n－1)d＝0，可化简得n＝6d＋1，因为d∈N*，故d min＝1，则n max＝7，选A.答案：A2．等比数列{a n}中，若a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于() A．－4 B．4C．±4 D.17 2解析：由等比数列的性质易得a4a5，a6a7，a8a9三项也成等比数列，由等比中项可得(a6a7)2＝(a4a5)·(a8a9)，解得a6a7＝±4，又a6a7＝a4a5·q4＝q4>0，故a6a7＝4.答案：B3．(2013年合肥高三联考)已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝a·2n－1＋1 6，则a的值为()A．－13 B.13C．－12 D.12解析：因为等比数列前n项和可写为形如S n＝kq n－k，所以－a2＝16，解得a＝－13.选A.答案：A4．(2013年广州高三调研)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．－55B ．－5C ．5D ．55解析：a 1＋a 2＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－…＋11＝5，故选C. 答案：C5．(2013年兰州高三诊断)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8S 4＝3，则S 12S8＝( )A ．2 B.73 C.83D ．3解析：∵q ≠1，∴S 8S 4＝1－q 81－q4＝1＋q 4＝3，q 4＝2，S 12S 8＝1－q 121－q 8＝73，选B. 答案：B6．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋1n 的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在解析：设a n ＝a 1q n －1，代入a 3＝a 2＋a 1得q 2－q －2＝0，∴q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，得2m ＋n ＝8，m ＋n ＝6， ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥32，选A.答案：A7．设数列{a n }满足：a n ＋1＝1＋a n1－a n ，a 2 011＝2，那么a 1等于( )A ．－12B ．2 C.13D ．－3解析：a 2＝1＋a 11－a 1，a 3＝1＋a 21－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋a 11－a 1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋a 11－a 1＝－1a 1，a 4＝a 1－1a 1＋1，a5＝a 1，…，归纳得数列{a n }的周期为4，进而a 2 011＝a 3＝2，a 1＝－1a 3＝－12.答案：A8．(2013年合肥质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 012＝( )A ．22 012－1B ．3×21 006－3C ．3×21 006－1D ．3×21 005－2解析：由题设可得a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2a n －2，奇数项是公比为2，首项是1的等比数列，偶数项是公比为2，首项也是2的等比数列，所以S 2 012＝1×(21 006－1)2－1＋2×(21 006－1)2－1＝3×21 006－3.答案：B9．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式为b n ＝( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．2n ＋1－1D ．2n －1＋2解析：据已知易得a n ＝2n －1，故由b n ＋1＝ab n 可得b n ＋1＝2b n －1，变形为b n＋1－1＝2(b n －1)，即数列{b n －1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b n －1＝2n ，解得b n ＝2n ＋1.答案：B10．已知正项等比数列{a n }满足log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2 009＝2 009，则log 2(a 1＋a 2 009)的最小值为( )A ．1B.32C ．2D ．log 22 009解析：本题可先由对数的运算性质得到a 1a 2a 3…a 2 009＝22 009，又由等比数列的性质得a 1a 2 009＝a 2a 2 008＝…＝a 21 005，故由上式可得a 2 0091 005＝22 009，∴a 1 005＝2，∴a 1a 2 009＝4，而后再由基本不等式可确定所求式子的最小值．∴log 2(a 1＋a 2 009)≥log 22a 1a 2 009＝2. 答案：C11．（2014·河北质检）已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( )A. 2B. 4C. 5D. 52解析：依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4，选B 。

2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,52. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 13. 已知．若，则（ ）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b=A.B.D. 4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件5.此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C.D.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A. B. C. 1D. 11e+e 1-e二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C 17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE V AE BD CD 4BD=（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,5【正确答案】B【分析】首先把集合用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.P 【详解】若，，则是的正因数，而的正因数有，，，，61y x =+y ∈N 1x +661236所以，{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N 因为，{}15Q x x =-≤<所以，{}0,1,2P Q ⋂=故选：B.2. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 1【正确答案】C【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模.z 【详解】由题意知，()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+所以，z ==故选：C.3. 已知．若，则（）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b =A.B.D. 【正确答案】B【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果.32a b ⋅=-【详解】因为，且，()2a b a+⊥1a = 则，可得，()2220a a a ab b +⋅=+⋅= 21322a b a⋅=-=-rr r 所以.cos ,a b a b a b⋅===⋅r r r r r r 故选：B.4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 由，得，()223123111111S a a a a a q a q a q q ma =++=++=++=21q q m ++=当时，，解得或，充分性不成立；7m =217q q ++=2q =3q =-当时，，必要性成立.2q =217q q m ++==所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件.7m ={}n a 故选：A5. 此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【正确答案】B【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，1111ABCD A B C D -1O ABCD -设底边边长，高AB a =1OO =则，1O E ==又正四棱柱的侧面积，114S AB OO =⋅=正四棱锥的侧面积，21142S AB O E a=⋅⋅=则，解得，a=a =所以正四棱锥体积，2113ABCD V S OO =⋅==故选：B.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对 B. 2对C. 3对D. 4对【正确答案】C【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭合判断即可.【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭22,0,y x x x =-+<图象上关于原点对称的点有3对.()fx故选：C7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π【正确答案】A【分析】先化简，根据图象变换求出，将方程转化为()f x ()g x ()21g x m -=，由函数图象的对称性求出答案.()12m g x +=()g x 【详解】根据题意可得，()1πcos sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，7π012x ≤≤ππ3π2332x ∴≤+≤所以在上单调递增，在上单调递减，关于对称，()g x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x π12x =且，，()π06g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方程等价于有两个不同的解，()21g x m -=()12m g x +=12,x x .12ππ2126x x ∴+=⨯=故选：A.8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A.B. C. 1D. 11e +e 1-e【正确答案】C【分析】构建，分析可知的定义域为，且在()()ln f x ax x b=--()f x (0,+∞)()0f x ≤内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建(0,+∞)ln 1a b ≤+1e ln ln b a a a +-≥-，利用导数求其最值即可.()1ln ,ee g a a a a =-≤≤【详解】设，()()ln f x ax x b=--因为，可知的定义域为，所以在内恒成立，1e e a ≤≤()f x (0,+∞)()0f x ≤(0,+∞)又因为，()111xf x x x -=-='令，解得；令，解得；f ′(x )>001x <<f ′(x )<01x >可知在内单调递增，在内单调递减，()f x (0,1)(1,+∞)则，可得，则，()()1ln 10f x f a b ≤=--≤ln 1a b ≤+1ln e e b aa +≥=可得，当且仅当时，等号成立，1e ln ln b a a a +-≥-ln 1a b =+令，则，()1ln ,e e g a a a a =-≤≤()111a g a a a '-=-=令，解得；令，解得；()0g a '>1e a <≤()0g a '<11e a <≤可知在内单调递增，在内单调递减，则，()g a (]1,e 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()11g a g ≥=即，当且仅当时，等号成立，1eln ln 1b a a a +-≥-≥1,1a b ==-所以的最小值为1.1eln b a +-故选：C.方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>【正确答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得，，33log 15log 310a =>=>55log 15log 510b =>=>，即，所以，1515110log 3log 5a b ∴<=<=110a b <<0a b >>对于A ，因为，所以，故A 正确；0a b >>lg lg a b >对于B ，，，故B 正确；15151511log 3log 5log 151a b +=+== a b ab ∴+=对于C ，因为，所以，故C 错误；0a b >>1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，因为，，0a b >>111a b +=所以，()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D 正4b aa b =2a b =35a b =49a b +>确.故选：ABD.10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 【正确答案】AC【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得，，，，，故A 正确；32a =43a =55a =68a =713a =对于B ，因为，又，21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+12n n n a a a --=+所以，即，故B 错误；21213n n n n n a a a a a +---++=+223n n n a a a +-=+对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++ ，故C 正确；2023202131a a a a =++++ 对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++ ，故D 错误.20242022421a a a a a =+++++ 故选：AC.11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π【正确答案】ACD【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，//BDNM CEF 求出长度即可判断；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断，A B 将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到CEF 1111D C B A PC EF Q PQ CQ +最小值，利用勾股定理求出即可判断，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求,PQ CQ C 出外接球的表面积即可判断.D 【详解】如图，取，的中点为，连接，，11A D 11A B ,N M ,,,,MN DN BD BM NE 11B D所以，又E ，F 分别是棱，的中点，11//MN B D 11B C 11C D 所以，所以，11//EF B D //MN EF 平面，平面，MN ⊄CEF EF ⊂CEF 平面，//MN ∴CEF 因为分别是棱，的中点，所以，且，,N E 11A D 11B C //NE CD NE CD =所以四边形为平行四边形，CDNE 所以，又平面，平面，//ND CE ND ⊄CEF CE ⊂CEF 平面，//ND ∴CEF 又，平面，MN ND N = ,MN ND ⊂BDNM 所以平面平面，//BDNM CEF点P 是正方形内的动点，且平面，1111D C B A //DP CEF 所以点P 的轨迹为线段，由勾股定理得，故正确；MN MN ==A 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，A 1,,AB AD AA x y z 由题意得，设，(0,0,0)A (,,4)P x y，AP ==所以，所以点的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，221x y +=P 1A 14所以点P 的轨迹长度为.故错误；1π2π42⋅=B 如图，将平面翻折到与平面共面，CEF 1111DC B A 连接，与交于点，此时取到最小值，PC EF Q PQ CQ+，且，CE CF === 2PE PF ==所以点为的中点，所以Q EFPQ EQ ===所以，CQ ===即的最小值为，故正确；PQ CQ +C如图，连接，交于点，连接，PF 11B D 1O PE 若P 是棱的中点，则，11A B 90FEP ∠= 所以是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，FP PEF !1O PEF !过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在该垂线上，1O ABCD P CEF -O 连接，设，则，OP 1OO t =2222t R +=连接，，所以，OC 12AC ==()(2224t R -+=所以，解得，()(222224t t +=-+52=t 所以，222541244R =+=所以三棱锥的外接球的表面积为，故正确.P CEF -24π41πS R ==D 故选.ACD方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++【正确答案】.430x y -+=【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意，223673(1)4y x x x '=++=++所以时，，又时，，1x =-min4y '=1x =-1y =-所以所求切线的方程为，即．14(1)y x +=+430x y -+=故．430x y -+=13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =【正确答案】【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求PO h =Rt POA △Rt POB △Rt POC △出，最后利用余弦定理进行求解即可.,,OA OB OC 【详解】设塔的高，PO h =在中，，同理可得，，Rt POA △otan 30OP OA ==OB =OC h =在中，，则，OAC πOBA OBC ∠+∠=cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC +-+-∴=-⋅⋅.=h =所以塔的高度为米.故答案为.14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ【正确答案】23【分析】根据中点坐标公式可得，进而可得为等比数列，()*122n n n a a a n +++=∈N {}1n n a a +-即可利用累加法求解,由极限即可求解.121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】不妨设点、，设点，()10,0A ()21,0A ()(),0n n A a n *∈N 则数列满足，，，{a n }10a =21a =()*122n n n a a a n +++=∈N 所以，，1212n nn n a a a a +++--=-所以，数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n n a a +-211a a -=12-所以，，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当时，2n ≥()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+也满足，故对任意的，.10a =121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n *∈N 121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，，故11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭23λ≥故答案为.23四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d 数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【正确答案】（1），，24a =2n n a =*N n ∈（2）332n nn T +=-【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算1n =12a =2n =出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可2a 2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；{}n a 22{}n a （2）先根据第题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，()1n a 1n a +()11n n n a a n d +-=+通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前项和．n n T 【小问1详解】由题意，当时，，解得，1n =111222S a a +=+=12a =当时，，即，解得，2n =2222S a +=12222a a a ++=24a =当时，由，可得，两式相减，可得，2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=122n n n a a a -=-整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a a -={}n a ∴，.1222n n n a -=⋅=*N n ∈【小问2详解】由（1）可得，，，2nn a =112n n a ++=在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，n a 1n a +n ()2+n n d 则有，()11n n na a n d +-=+∴，∴，1211nn n n a a d n n +-==++112n n n d +=∴，1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得，2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=--∴.332n n n T +=-16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C【正确答案】（1）π3B =（2）18-【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小;B （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由22b ac =sin sin A C ，可得的值.cos cos()B A C =-+cos cos A C 【小问1详解】因为，π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭由正弦定理可得，12sin cos sin sin 2B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即，sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+在三角形中，，sin 0A >，cos 1B B -=即，因为，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)B π∈ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得，则.ππ66B -=π3B =【小问2详解】因为边上的高，AC h =所以①21122ABC S b h b =⋅==又②11sin 22ABC S ac B ac === 由①②可得，22b ac =由正弦定理可得，2sin 2sin sin B A C =结合（1）中可得，π3B =3sin sin 8A C =因为，()1cos cos cos cos sin sin 2B A C A C A C =-+=-+=所以.1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE VAE BD CD 4BD =（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定BE ,BE DE BE AE ⊥⊥理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；BE ⊥ADE （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.E【小问1详解】连接，BE 由题意，2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒则为等边三角形，ADE V 由余弦定理得，所以2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BE =则，222222,DE BE BD AE BE BD +=+=所以，,BE DE BE AE ⊥⊥又平面，,,AE DE E AE DE ⋂=⊂ADE 所以平面，BE ⊥ADE 又平面，所以平面平面；BE ⊂ABCE ADE ⊥ABCE 【小问2详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，E 则，()()()(()2,0,0,0,,,,0,0,0A B CD E -设，()01DF DB λλ=≤≤故，()((,,1,EC ED DB=-==-，((()1,1,AD AD DF λλ=+=-+-=--因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，z ABCE ABCE ()0,0,1m =所以，cos ,m AF m AF m AF⋅===化简得，解得或（舍去），23830λλ+-=13λ=3λ=-所以，1133DF DB ⎛==- ⎝ 设平面的法向量为，DEC (),,n x y z =则有，可取，00n EC x n ED x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩)1n =- 所以点到平面FDEC18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=【正确答案】（1），最大值为0 2a =（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用导数求出函数的单调(0)0f '=a ()f x 区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当时，记，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin ln(1)2x x ++>1()sin ln(1)2m x x x =++-，当时直接说明即可，当，利用导数说明函数的单调π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦性，即可得证；（3）设，，当时，由（1）知，()()h x f x x =+()1,x ∞∈-+(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=则，当时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函()0f x x +<π()0,x ∈数的零点，当时，，令，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥利用导数说明在区间上单调递减，即可得到，从而说明函数在()l x [π,)+∞()0l x <无零点，即可得解.[π,)+∞【小问1详解】由题意知，且，(0)0f =(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，解得，(0)20f a '∴=-=2a =，，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-()1,x ∞∈-+则，1()cos 21f x x x '=+-+当时，，．故，0x ≥cos 1≤x 111x ≤+()0f x '≤所以在区间上单调递减，所以．()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=当时，令，10x -<<1()cos 21g x x x =+-+则，21()sin (1)g x x x '=--+，，，sin (0,1)x -∈ 211(1)x >+()0g x '∴<在区间上单调递减，则，()f x '∴(1,0)-()(0)0f x f ''>=在区间上单调递增，则，则．()f x ∴(1,0)-()(0)0f x f <=()()max 00f x f ==综上所述，，的最大值为．2a =()f x 0【小问2详解】因为，()sin ln(1)2f x x x x =++-要证当时，即证，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>1sin ln(1)2x x ++>记，，1()sin ln(1)2m x x x =++-π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，，，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 12x ≤≤ln(1)0x +>；1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->当时，，5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1()cos 1m x x x '=++记，则，1()()cos 1n x m x x x '==++21()sin 0(1)n x x x '=--<+在区间上单调递减，则，()m x '∴5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦5π6()065π6m x m ⎛⎫<=+< '+⎝'⎪⎭则在区间上单调递减，()m x 5π,π6⎛⎤⎥⎝⎦，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->综上所述，当时，．π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>【小问3详解】设，，()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+当时，由（1）知，(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=故，()()0f x x f x +<<故在区间上无实数根．()0f x x +=(1,0)-当时，，因此为的一个实数根．0x =(0)0h =0()0f x x +=当时，单调递减，π()0,x ∈1()cos 11h x x x '=+-+又，，(0)10h '=>1(π)20π1h '=-<+存在，使得，∴0(0,π)x ∈()00h x '=所以当时，当时，00x x <<ℎ′(x )>00πx x <<ℎ′(x )<0在区间上单调递增，在区间上单调递减，()h x ∴()00,x ()0,πx ，又，()0(0)0h x h ∴>=(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．()0f x x ∴+=()0,πx (]00,x 当时，，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-令，()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++故在区间上单调递减，，()l x [π,)+∞()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<于是恒成立．故在区间上无实数根，()0f x x +<()0f x x +=[π,)+∞综上所述，有2个不相等的实数根．()0f x x +=方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈【正确答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18m（3）证明见解析【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；9m a m =-m （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】以内的质数为，202,3,5,7,11,13,17,19，故，所以为“理想数”；212=21a =2，而，故不是“理想数”；33110⨯+=1052=3，而，故是“理想数”；35116⨯+=41612=5，而，故不是“理想数”；37122⨯+=22112=7，而，故不是“理想数”；311134⨯+=34172=11，而，故不是“理想数”；313140⨯+=4058=13，而，故不是“理想数”；317152⨯+=52134=17，而，故不是“理想数”；319158⨯+=58292=19和5为两个质数“理想数”；2∴【小问2详解】由题设可知必为奇数，必为偶数，9m a m =-m ∴存在正整数，使得，即：∴p 92p m m =-9921p m =+-，且，921p ∈-Z211p-≥，或，或，解得，或，211p ∴-=213p -=219p-=1p =2p =，或，即的值为12或18．1991821m ∴=+=-2991221m =+=-m 【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如的整数，()*2k k ∈N 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，((((0224462222,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦若奇数，不妨设，1m >(2222,2k k m -⎤∈⎦若为"理想数"，则，且，即，且，m (*3112s m s +=∈N )2s >(*213s m s -=∈N )2s >①当，且时，；(*2s t t =∈N )1t >41(31)133t t m -+-==∈Z ②当时，；()*21s t t =+∈N 2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ，且，(*413t m t -∴=∈N )1t >又，即，22241223t k k--<<1344134k t k-⨯<-≤⨯易知为上述不等式的唯一整数解，t k =区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，(2222,2k k -(*413k m k -=∈N )1k >显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，()*413k m k -=∈N 所有的奇数"理想数"的倒数为，∴()*341kk ∈-N 1133134144441k k k ++<=⨯---1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即．21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯=⎪⎝⎭-- ()*73n S n <∈N 知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。

北师大版高二数学必修5质量检测题及答案

北师大版高二数学必修5质量检测题及答案

高二数学必修5质量检测题姓名：_________班级：________ 得分：________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 3,…那么A .第12项B .第13项C ．第14项D ．第15项2. 已知数列{a n }中，12n n a a -= (n ≥2)，且a 1=1，则这个数列的第7项为A ．512B ．256C ．128D ．643. 已知等差数列}{n a 中，610416,2,a a a +==则6a 的值是A . 15B . 10 C. 5 D. 84. 数列{n a }的通项公式是n a ＝331n n -(n ∈*N )，则数列{n a }是 A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定该数列的增减性5.在ABC ∆中，6016A AB ∠=︒=，，面积S =，则AC 等于A.50B.C.100D. 6.对于任意实数a 、b 、c 、d ，以下四个命题中的真命题是A ．若,0,a b c >≠则ac bc >B ．若0,,a b c d >>>则ac bd >C ．若,a b >则11a b< D ．若22,ac bc >则a b > 7. 在等比数列{a n }中，3S =1，6S =4，则101112a a a ++的值是A ．81B ．64C ．32D ．278. 已知等比数列{}n a 满足1223412a a a a +=+=，，则5a =A ．64B ．81C ．128D ．2439.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f > 的解集是A.()()3,13,-+∞ B. ()()3,12,-+∞ C. ()()1,13,-+∞ D. ()(),31,3-∞-10. 用铁丝制作一个面积为1 m 2的直角三角形铁框，铁丝的长度最少是A. 5.2 mB. 5 mC. 4.8 mD. 4.6 m11.已知点P （x ，y ）在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动， 则12z x y =-+的取值范围是 A ．[－1，－1] B ．[－1，1] C ．[1，－1] D ．[1，1]12．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为x 米和3千米，测得灯塔A 在观察站C 的正西方向，灯塔B 在观察站C 西偏南30，若两灯塔A 、B千米，则x 的值为C.或二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上．13. 不等式2(2)(23)0x x x ---<的解集为14. 已知数列{}n a 的前n 项和23n S n n =-，则其通项公式为=n a ________ 15. 在29和34之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则插入的2个数的乘积为 16．已知点（3，1）和（-1，1）在直线320x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是17．若2＋22＋ (2)>130，n ∈N*，则n 的最小值为_______.高二数学必修5质量检测题（卷）2009.11第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.把答案填在题中横线上.13． ; 14. .15. . 16. ； 17.__________.三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分15分）设不等式2430x x -+<的解集为A ，不等式260x x +->的解集为B.（1）求A∩B； （2）若不等式20x ax b ++<的解集为A∩B，求,a b 的值.19. （本题满分15分）在锐角△ABC 中，已知AC =2AB =， 60A ∠=. 求:(1)BC 边的长；（2）分别用正弦定理、余弦定理求B ∠的度数.20. （本题满分15分）已知a ∈R, 解关于x 的不等式：220x x a a ---<21. （本题满分15分）某种汽车购买时费用为16．9万元，每年应交付保险费及汽油费共1万元；汽车的维修费第一年为1千元，以后每年都比上一年增加2千元．（Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为n S ，试写出n S 的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.高二数学必修5质量检测题参考答案及评分标准2009.11一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分．1. B （根据石油中学 魏有柱供题改编）2. D （根据铁一中张爱丽供题改编）3. C （根据金台高中高二数学组供题改编）4.B （根据铁一中周粉粉供题改编）5.A. （根据十二厂中学闫春亮供题改编）6.D （根据金台高中高二数学组供题改编）7. D （根据石油中学夏战灵供题改编）8. B （根据石油中学高建梅供题改编）9.A （ 09天津高考题 ）10. B （根据教材第94页练习改编）11. B （根据铁一中周粉粉供题改编）12．D （根据金台高中高二数学组及斗鸡中学张永春供题改编）二、填空题：13.{}123或x x x <-<< （根据铁一中孙敏供题改编）;14. 64n -（根据铁一中周粉粉供题改编）;15. 16（根据铁一中孙敏供题改编）; 16．{|}75或a a a <->（根据斗鸡中学张永春、铁一中张爱丽、石油中学高建梅供题改编）; 17．7（根据石油中学夏战灵供题改编）.三、解答题：本大题共5小题，共60分．18．设不等式2430x x -+<的解集为A ，不等式260x x +->的解集为B.（1）求A∩B； （2）若不等式20x ax b ++<的解集为A∩B，求,a b 的值.（根据斗鸡中学张永春、石油中学高建梅等供题改编）解:(1) A={}13x x <<, （3分） B={}32或x x x <->（6分）A∩B ={}23x x << （9分）（2）∵不等式20x ax b ++<的解集为A∩B∴ 23a +=-（11分） 23b ⨯= （13分）得5a =-，6b = （15分）19.在锐角△ABC 中，已知AC =AB =， 60A ∠=. 求:(1)BC 边的长；（2）分别用正弦定理、余弦定理求B ∠的度数. 解：（1）由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-∠ （3分）=22122+-⨯ =3 （6分）∴BC =（7分）（2）45B ∠= ，能用正弦定理求出B ∠的度数得4分，过程略.能用余弦定理求出B ∠的度数得4分，过程略.（根据铁一中张爱丽供题改编）20. 已知a ∈R, 解关于x 的不等式：220x x a a ---<解：由题意得(1)()0x a x a --+< (3分)∴ 当1a a +<-时,即12a <-时,解集为(1,)a a +- (7分) 当1a a +>-时,即12a >-时,解集为(,1)a a -+ (11分) 当1a a +=-时,即12a =-时,解集为φ (15分) （根据铁一中孙敏、金台高中高二数学组。

阶段质量检测(二)数 列

阶段质量检测(二)数 列

阶段质量检测(二)数 列一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共6０分、在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得)1。

等比数列｛a n }得公比q =—14,ａ1＝２,则数列｛ａｎ}就是( )A.递增数列 ﻩB.递减数列 Ｃ、常数数列ﻩ D.摆动数列解析:选Ｄ 因为等比数列{a ｎ}得公比为q =-错误!,a 1＝错误!,故ａ2〈0,ａ3〉0,…,所以数列{a ｎ｝就是摆动数列.2.若互不相等得实数a ,b ,c 成等差数列,a 就是ｂ,c 得等比中项,且ａ＋3b ＋c =10,则a 得值就是( )A 、1ﻩB 、－1 Ｃ。

—３D 、-4解析:选Ｄ 由题意,得错误! 解得a ＝－4,ｂ=2,c ＝８、3.等差数列{a n }中,a 3＝２,ａ５=7,则a 7＝( ) Ａ、１０ﻩ Ｂ.20 C.16D.12解析:选D ∵｛ａn }就是等差数列, ∴d ＝＼f(a 5-a 3,5－３)=错误!, ∴a 7＝2+4×52＝１2.4。

在数列{a n }中,a 1=＼f(1,3),ａn ＝(－1)ｎ·２ａn —１(n ≥2),则a 5等于( ) A.—１63B 。

163C.－8３D 、83解析:选B ∵a １=＼f(１,３),a ｎ=(－1)n ·2ａn —1, ∴a ２＝(-1)2×2×13＝错误!,a 3=(-１)３×2×＼f(2,3)＝－43,a 4=(－1)4×２×错误!=—错误!,a 5＝(-１)5×2×错误!=错误!。

5.设等比数列｛a n }得前n 项与为Ｓn ,若Ｓ10∶S 5＝1∶２,则S 15∶S 5=( ) A.3∶4 B 。

2∶3 C 、1∶2D.1∶3解析:选A 在等比数列{a n ｝中,S 5,S 10—Ｓ5,S 15—S 10,…成等比数列,因为S 10∶S 5＝１∶2,所以Ｓ5＝2S 10,S １5=３4Ｓ5,得Ｓ15∶Ｓ5=３∶4,故选Ａ。

安徽省马鞍山市重点中学2022-2023学年高二年级第二学期期中教学质量检测数学试题(A)及参考答案

安徽省马鞍山市重点中学2022-2023学年高二年级第二学期期中教学质量检测数学试题(A)及参考答案

安徽省马鞍山市重点中学2022-2023学年高二年级第二学期期中教学质量检测数学试题（A ）及参考答案考试范围：第四章《数列》第五章《一元函数的导数》第六章《计数原理》一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一质点做直线运动，其位移s 与时间t 的关系为22s t t =+，设其在[]2,3t ∈内的平均速度为1v ，在t ＝3时的瞬时速度为2v ，则12v v =（）A ．76B ．78C ．67D ．872．有2男2女共4名大学毕业生被分配到A ，B ，C 三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A 工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（）A ．12B ．14C ．36D ．723．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 19＞0，a 7+a 14＜0，则当S n 取得最大值时，n ＝（）A ．8B ．9C ．10D ．114．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，34n n a S =+，那么5a =（）A.－4B.18C.18-D.14-5．5(2)x y -+的展开式中，3x y 的系数为（）A ．80B ．40C ．80-D ．40-6．若函数2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．12a >B ．102a -<<C ．12a <D ．102a <<7．已函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，且()()0f x f x '->，()01f =，则关于x 的不等式)(x f ＞x e 的解集为（）A ．{}0x x >B ．{}0x x <C ．{}1x x <D ．{}1x x >8．已知函数221ln )(x x a x f +=，若对任意正数1x ，2x （21x x ≠），都有1)()(2121>--x x x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围（）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知数列}{n a 的前n 项和121-⎪⎭⎫⎝⎛=nn S ，则下列说法正确的有（）A ．}{n S 是递减数列B ．}{n a 是等比数列C ．n a ＜0D ．1=+n n a S 10．如图是函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图像，则以下说法正确的是（）A ．－2是函数()y f x =的极值点；B.函数()y f x =在1x =处取最小值；C ．函数()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；D ．函数)(x f y =在区间（－2，2）上单调递增11．在91⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第6项和第7项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为256C ．常数项为84D ．有理项有2项12．已知数列}{n a 满足1)2(4+-+=n nn a λ．若对*N n ∈∀，都有1+n a ＞n a 成立，则整数λ的值可能是（）A ．－2B ．－1C ．0D ．1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数xx x f 1ln )(-=在点（1，－1）处的切线方程为____________．14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）15．若函数x ax x x h 221ln )(2+-=在（0，3）上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为．16．已知函数()e xf x =与函数()lng x x b =+存在一条过原点的公共切线，则b =.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17．已知数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()2212211log log n n n b a a -+⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明12n T <．18．设3-=x 是函数c x bx ax x f +-+=3)(23的一个极值点，曲线)(x f y =在1=x 处的切线斜率为8．（1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在闭区间［－1，1］上的最大值为10，求c 的值．19．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．已知+++=-2210)12(x a x a a x n…nn x a +（*N x ∈），．（1）求++22122a a …nn a 2+的值：（2）求+++32132a a a …n na +的值．20．已知数列}{n a 中，31=a ，221-=+n n a a （*N n ∈）．（1）求证：数列}2{-n a 是等比数列；（2）若数列}{n b 满足n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前n 项和n T .21．已知函数x a x x f ln 21)(2-=（R a ∈，0≠a ）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若对任意的[∈x 1，∞+)，都有)(x f ≥21成立，求a 的取值范围．22．已知函数()e xf x a x =-，R a ∈．（1）当ea 1=时，证明：()ln 10f x x x -+-≥在（0，∞+）上恒成立；（2）若()x f 有2个零点，求a 的取值范围．参考答案一、单项选择题1．【答案】B【详解】因为t t t s 2)(2+=，22)('+=t t s ，所以781523)2()3(1=-=--=S S v ，8)3('2==s v ，所以8721=v v ．2．【答案】B【详解】根据题意，将2男2女分为三组，有（男男、女、女）、（男、男、女女）、（男女、男、女）三种情况，由此分3种情况讨论：①分为（男男、女、女）的三组，男男这一组只能安排在B 或C 工厂，有42212=A C 种安排方法；②分为（男、男、女女）的三组，女女这一组只能安排在A 工厂，有222=A 种安排方法；③分为（男女、男、女）的三组，有8221212=A C C 种安排方法；则共有4+2+8＝14种安排方法．3．【答案】C【详解】在等差数列{a n }中，由S 19＞0，得02)(19191>+a a ，则0210191>=+a a a ，又01110147<+=+a a a a ，∴10a ＞0，11a ＜0，则当n S 取得最大值时，n ＝10．4．【答案】Ｃ【详解】因为34n n a S =+，当1n =时，12a =-，当2n ≥时，由34n n a S =+得4311+=--n n S a ，两式相减得()1133n n n n n a a S S a ---=-=，即112n n a a -=-，又2112a a =-，所以{}n a 是等比数列，所以812124314-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-==q a a ．5．【答案】D【详解】()55(2)2x y x y -+--⎡⎤⎣⎦=的展开式中含3x 的项为()23252x C y -，()22y -的展开式中含y 的项为()122C y -，所以5(2)x y -+的展开式中，3x y 的系数为()2152240C C ⋅-=-⋅．6．【答案】D【详解】∵2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，∴222()2202a x x af x x x-+'=-+==在(0,)+∞有2个不同的零点，∴2220x x a -+=在(0,)+∞有2个不同的零点，∴Δ4800a a =->⎧⎨>⎩，解得102a <<．7．【答案】B 【详解】令x e x f x g )()(=，则xe xf x f xg )()(')('-=，因为0)(')(>-x f x f ，所以0)('<x g ，)(x g 在R 上单调递减．因为1)0(=f ，所以1)0(=g ，所以不等式)0()(1)()(g x g ex f e x f x x >⇔>⇔>，所以0<x ，即不等式x e x f <)(的解集为（∞-，0）．8．【答案】C【详解】不妨令0＜1x ＜2x ，则22112121)()(1)()(x x f x x f x x x f x f -<-⇔<--，令x x x a x x f x F -+=-=221ln )()(，则)(x F 在（0，∞+）上单调递增，即≥-+=1)('x xax F 0在（0，∞+）上恒成立，即x x a +-≥2在（0，∞+）上恒成立．因为414121(22≤+--=+-x x x ，当且仅当21=x 时，等号成立，所以()41max2=+-xx ，故41≥a ，即a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41．二、多项选择题9．【答案】ABC【详解】因为数列{a n }的前n 项和121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n S ，n⎪⎭⎫⎝⎛21随着n 的增大而减小，所以}{n S 是递减数列，A 正确；因为数列{a n }的前n 项和121-⎪⎭⎫⎝⎛=nn S ，当n ≥2时，nn nn n n S S a ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=--21212111，当n ＝1时，2111-==S a ，上式也成立，所以nn a ⎪⎭⎫⎝⎛-=21，所以}{n a 是等比数列，0<n a ，故BC 正确；又121121-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nnn n a S ，故D 错误．10．【答案】AD【详解】根据导函数()y f x '=的图象可得，当(),2x ∞∈--上，()0f x '<，在()()+∞-∈,11,2 x 上，()0f x '>，故函数在(),2x ∞∈--上函数()f x 单调递减；在()2,1-，()1,+∞函数()f x 单调递增，所以2-是函数()y f x =的极小值点，所以A 正确；其中1x =两侧函数的单调性不变，则在1x =处不是函数()y f x =的最小值，所以B 不正确；由()y f x '=图象得()00f '>，所以函数()y f x =在0x =处的切线的斜率大于零，所以C 不正确；由()y f x '=图象可得，当()2,2x ∈-时，()0f x '≥，所以函数()y f x =在()2,2x ∈-上单调递增，所以D 是正确的，11．【答案】BC【详解】91⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可知，展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A 错误；由已知可得二项式系数之和为92，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为25628=，故B 正确；由展开式的通项23999911rrrr r r x C x x C T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=（0≤r ≤9，N r ∈）可知，当0239=-r ，即6=r 时，常数项为843969==C C ，C 正确；而有理项中x 的系数为整数，故=r 0，2，4，6，8，故有理项有5项，D 错误．12．【答案】BC【详解】∵1)2(4+-+=n nn a λ，即211)2(4+++-+=n n n a λ，若对*N x ∈∀+，都有1+n a ＞na 成立，即121)2(4)2(4+++-+>-+n n n n λλ，∴121)2(3)2()2(43+++-=--->⨯n n n n λλλ，即n4＞1)2(+-n λ对*N x ∈∀都成立；当n 为奇数时，112)2(4-+=-<n n nλ恒成立，则1)2(min 1=<-n λ，即1<λ；当n 为偶数时，112)2(4-+-=->n n n λ恒成立，则2)2(max 1-=->-n λ，即2->λ；故整数λ的取值范围是－2＜λ＜1，则整数λ的值可能是－1，0，故选BC ．三、填空题13．【答案】32-=x y 【详解】211)('xx x f +=，则2)1('=f ，又1)1(-=f ，所以切线方程为)1(2)1(-=--x y ，即32-=x y ．14．【答案】72【详解】按照使用颜色的种类分类，第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有1424C A 48=（种）；第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有34A 24=（种），所以共有48＋24＝72（种）．15．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛+∞,97【详解】()12h x ax x'=-+，因为函数()21ln 22h x x ax x =-+在()0,3上存在单调递减区间，所以()120h x ax x '=-+<在()0,3上有解，即不等式212a x x>+在()0,3上有解，令11,,3t t x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，令()()221211,,3f t t t t t ⎛⎫=+=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，则()1739f t f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以79a >，即实数a 的取值范围为7,9∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.16．【答案】2【详解】设该公切线过函数()e xf x =､函数()lng x x b =+的切点分别为()11,e xx ，()22,ln b x x +.因为()e xf x '=，所以该公切线的方程为()1111111e ee e e x x x x x y x x x x =-+=+-同理可得，该公切线的方程也可以表示为()2222211ln ln 1y x x x b x x b x x =-++=⋅++-因为该公切线过原点，所以()112121e e 10ln 10x x xx x b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎪⎩，解得1211,e ,2x x b ===．四、解答题17．【解析】（1）24a ，32a ，4a 成等差数列，32444a a a ∴=+，设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，则21123111644S a a q a q a q a q =+=⎧⎨=+⎩，解得：122a q =⎧⎨=⎩，112n n n a a q -∴==．……………………5分（2）由（1）得：()()21212211111log 2log 2212122121n n n b n n n n -+⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，1111111111123355723212121n T n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪---+⎝⎭24121121121+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n ，1042n >+ ，1112422n ∴-<+，即12n T <.……………………………………10分18．【解析】（1）323)('2-+=bx ax x f ，由已知得⎩⎨⎧==-8)1('0)3('f f ，即⎩⎨⎧=-+=--032303627b a b a ，解得1=a ，4=b ．经检验可知符合题意．于是)13)(3(383)('2-+=-+=x x x x x f ，由0)('>x f ，得3-<x 或31>x ，由0)('<x f ，得313<<-x ，所以)(x f 的单调递增区间是（∞-，－3）和（31，∞+），单调递减区间是（－3，31）．…………6分（2）由（1）知c x x x x f +-+=34)(23，因为)(x f 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡-31,1上单调递减，在⎥⎦⎤ ⎝⎛1,31上单调递增，又c f +=2)1(＜c f +=-6)1(，所以)(x f 在闭区间［－1，1］上的最大值106)1(=+=-c f ，解得4=c ．……12分19．【解析】若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以91=+n ，解得n ＝8，若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以53n n C C =，则n =+53，解得n ＝8，若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，所以12821=-n ，解得n ＝8，……3分（1）因为+++=-22108)12(x a x a a x (8)8x a +，令21=x ，则8)1212(-⨯＝+0a ++22122a a …882a +，即+0a ++22122a a (8)82a +＝0，令0=x ，则08)1(a =-，即a 0＝1，所以++22122a a (8)82a +＝10-=-a ．…………………………7分（2）对+++=-22108)12(x a x a a x (8)8x a +两边同时求导，可得+++=-2321732)12(16x a x a a x (7)88x a +，令x ＝1，可得+++32132a a a …88a +＝16．………………………12分20．【解析】（1）证明：因为()*+∈-=N n a a n n 221,所以)2(221-=-+n n a a，又122=-a ，所以2221=--+n n a a ，所以}2{-n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．………………4分（2）由（1）知122-=-n n a ，则)12(22)12()22)(12(11-+⋅-=+-=--n n n b n n n ，令12)12(-⋅-=n n n c ，数列}{n c 的前n 项和为n P ，则+⨯+⨯+⨯=210252321n P …12)12(--+n n ，+⨯+⨯+⨯=3212523212n P …n n 2)12(-+，两式相减，得n n nn n n n P 2)12(21)21(412)12()222(22111210⋅----+=⋅--++++⨯=--- ，n n 2)32(3⋅---=，所以32)32(+⋅-=n n n P ．所以322)32()]12(531[22++⋅-=-+++++=n n n P T nn n ．………………12分21．【解析】（1）该函数的定义域为（0，+∞），xax x a x x f -=-=2)(（x ＞0），①当a ＜0时，0)(2>-=xax x f 恒成立，函数)(x f 的递增区间为（0，+∞）；②当a ＞0时，令0)('=x f ，解得a x =或a x -=，所以函数)(x f 的递增区间为（a ，+∞），递减区间为（0，a ），所以当a ＜0时，函数f （x ）的递增区间为（0，+∞）；当a ＞0时，函数f （x ）的递增区间为（a ，+∞），递减区间为（0，a ）．………5分（2）对任意的[∈x 1，+∞），都有21)(≥x f 成立，只需任意的[∈x 1，+∞），21)(min ≥x f ，11①当a ＜0时，f （x ）在［1，+∞）上是增函数，所以21)1()(=≥f x f ，∴a ＜0满足题意；②当0＜a ≤1时，0＜a ≤1，f （x ）在［1，+∞）上是增函数，所以21)1()(=≥f x f ，所以0＜a ≤1满足题意；③当a ＞1时，a ＞1，f （x ）在［1，a ］上是减函数，此时在区间［1，a ］上，21)1()(=≤f x f ．从而a ＞1不满足题意；综上①②③可得：实数a 的取值范围为()(]1,00, ∞-．………………12分22．【解析】（1）当1e a =时，设()()1ln 1e ln 1x g x f x x x x -=-+-=--，则()()11e 0x g x x x -'=->，设()()11e 0x u x x x-=->，由函数1e x y -=和1y x -=在()0,∞+上单调递增，知函数()u x 在()0,∞+上单调递增，且()()011e 10u g ==-='，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10g x g ==即()ln 10f x x x -+-≥在()0,∞+上恒成立；………………………………6分（2）由()e 0x f x a x =-=，得e x x a =，令()e xx h x =，则()f x 有2个零点，等价于函数()y h x =与y a =的图象有2个交点，令()10e xx h x -'==，得1x =，当(),1x ∈-∞时()0h x '>，当()1,x ∈+∞时()0h x '<，则函数()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()max 11eh x h ==，且当0x <时，()0h x <，当x 趋向于正无穷时，e x y =趋向于正无穷的速率远远比y x =大，故()h x 趋向于0，作出函数()h x 的大致图象如下：结合图象可知，当10e a <<时，()ex x h x =与y a =的图象有2个交点，故a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………………12分。

数学质量检测实验报告

数学质量检测实验报告

实验名称：数学质量检测实验实验时间：2023年4月10日实验地点：某中学数学实验室实验目的：1. 了解学生数学学习的基本情况，为后续教学提供依据。

2. 评估当前数学教学方法的适用性和有效性。

3. 发现学生在数学学习中的薄弱环节，为改进教学策略提供参考。

实验对象：某中学高一年级全体学生实验工具：1. 数学试卷：包括选择题、填空题、解答题等，共计100分。

2. 统计软件：SPSS 26.0实验方法：1. 实验前，向学生说明实验目的和注意事项，确保学生能够认真作答。

2. 实验过程中，监考老师负责监督学生作答，确保实验的公正性。

3. 实验结束后，收集学生试卷，进行批改和统计。

实验结果与分析：一、学生数学学习基本情况1. 优秀率：20%2. 良好率：40%3. 中等率：30%4. 差等率：10%从以上数据可以看出，本年级学生数学学习整体水平较好，但仍有部分学生成绩较差。

二、教学方法适用性和有效性评估1. 选择题：正确率90%，说明学生在基础知识掌握方面较好。

2. 填空题：正确率85%，说明学生在基础知识和基本技能掌握方面较好。

3. 解答题：正确率70%，说明学生在应用知识解决实际问题的能力方面存在不足。

通过分析，当前数学教学方法在基础知识掌握方面较为适用，但在培养学生解决实际问题的能力方面存在不足。

三、学生数学学习薄弱环节分析1. 学生在解答题方面存在较大困难，主要表现为：a. 逻辑思维能力不足，无法准确理解题意；b. 解题方法单一，缺乏灵活运用知识的能力；c. 时间管理能力较差，导致解答题时间不足。

2. 学生在数学学习过程中，对概念、公式、定理等基础知识掌握不够扎实，导致在实际应用中出现问题。

四、改进教学策略建议1. 加强基础知识教学，提高学生对概念、公式、定理等基础知识的掌握程度。

2. 培养学生的逻辑思维能力，提高解题技巧。

3. 加强实践环节，让学生在实际操作中提高解决实际问题的能力。

4. 关注学生个体差异，针对不同层次的学生制定相应的教学策略。

第五章 数列 阶段质量检测

第五章 数列 阶段质量检测

第五章 数列(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 3＝15，则数列{a n }的通项公式为 ( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n ＋3 解析：法一：设数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝9，S 3＝3a 1＋3×22d ＝15，解得a 1＝3，d ＝2， 所以a n ＝2n ＋1；法二：令n ＝4代入四个选项，只有C 中a 4＝9. 答案：C2．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为 ( )A ．4 B.14C ．－4D ．－14解析：∵{a n }为等差数列， ∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝55， ∴a 3＝11， ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝a 4－a 3＝15－11＝4. 答案：A3．(2009·辽宁高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( )A ．2 B.73C.83 D ．3 解析：由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是，由S 6＝3S 3，可推出S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 答案：B4．(2010·安庆模拟)已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)＝ ( )A ．－ 3 B. 3 C ．±3 D ．－33解析：∵a 1＋a 7＋a 13＝4π， ∴a 7＝43π，∴tan(a 2＋a 12)＝tan2a 7＝tan 83π＝tan 23π＝－ 3.答案：A5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝ ( )A ．7B ．8C ．15D ．16 解析：不妨设数列{a n }的公比为q ，则4a 1,2a 2，a 3成等差数列可转化为2(2q )＝4＋q 2， 得q ＝2. S 4＝1－241－2＝15.答案：C6．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5(25)2n －2－4(25)n －1(n ∈N ＋)，{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y 等于 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：a n ＝5·[(25)n －1]2－4·(25)n －1＝5[(25)n －1－25]2－45，∴当(25)n －1＝25，即n ＝2时，a n 最小，当(25)n －1＝1时，即n ＝1时，a n 最大． ∴x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3. 答案：A7．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S nn}的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：由等差数列{a n }的通项公式得a 1＝－1， 所以其前n 项和 S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－1＋1－2n )2＝－n 2. 则S n n ＝－n .所以数列{S nn }是首项为－1， 公差为－1的等差数列，所以其前11项的和为 11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66. 答案：D8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝ ( )A ．0 B.12C.23D ．2 解析：由已知可得1a 3＋1＝13，1a 7＋1＝12是等差数列{1a n ＋1}的第3项和第7项，其公差d ＝12－137－3＝124，由此可得1a 11＋1＝1a 7＋1＋(11－7)d ＝12＋4×124＝23解之得a 11＝12.答案：B9．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 29a 11的值为 ( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 解析：由等比数列的性质得a 3·a 11＝a 5·a 9＝a 27，所以a 7＝2，故a 29a 11＝a 7·a 11a 11＝a 7＝2.答案：B10．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N ＋)，故n ＝1,2,3,5,11时，a n b n 为整数． 答案：D11．已知{a n }是递增数列，对任意的n ∈N ＋，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则λ的取值范围是 ( ) A ．(－72，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)解析：数列{a n }是递增数列，且a n ＝n 2＋λn ，则a n ＋1－a n ＝2n ＋1＋λ>0在n ≥1时恒成立，只需要λ>(－2n －1)max ＝－3，故λ>－3. 答案：D12．设M (cos π3x ＋cos π4x ，sin π3x ＋sin π4x )(x ∈R)为坐标平面上一点，记f (x )＝|OM ―→|2－2，且f (x )的图象与射线y ＝0(x ≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数列{a n }，则|a n ＋3－a n |＝ ( ) A ．24π B ．36π C ．24 D ．36解析：f (x )＝| O M|2－2＝[(cos π3x ＋cos π4x )2＋(sin π3x ＋sin π4x )2]－2＝2cos π12x ，令f (x )＝2cos π12x ＝0，∴π12x ＝kπ＋π2，x ＝12k ＋6. ∴a n ＝12n ＋6(n ∈N ＋)． ∴|a n ＋3－a n |＝36. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)13．(2009·济南一测)设P 1，P 2，…，P n ，…顺次为函数y ＝1x (x >0)图象上的点(如右图)，Q 1，Q 2，…，Q n ，…顺次为x 轴上的点，且△OP 1Q 1， △Q 1P 2Q 2，…△Q n －1P n Q n ，…均为等腰直角三 角形(其中P n 为直角顶点)．设Q n 的坐标为(x n,0) (n ∈N ＋)，则数列{x n }的通项公式为________．解析：由图形很容易得P 1(1,1)，Q 1(2,0)，依次类推，可得直线Q n P n ＋1的方程为：y ＝x －x n .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x n y ＝1x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧xP n ＋1＝x n ＋x 2n ＋42xPn ＋1＝x n －x 2n ＋42(舍)，又由点Q n 、P n ＋1、Q n ＋1的横坐标成等差数列， ∴x n ＋1＝2xP n ＋1－x n ＝x 2n ＋4即x 2n ＋1－x 2n ＝4，∴数列{x 2n }成等差数列，∴x 2n ＝x 21＋4(n －1)＝4＋4(n －1)＝4n ，∴x n ＝2n ，n ∈N ＋. 答案：2n14．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝a n －1＋1n 2－1(n ≥2)，则{a n }的通项公式为________．解析：a n －a n －1＝1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝12(1n －1－1n ＋1＋1n －2－1n …＋1－13＋1)，得：a n ＝54－2n ＋12n (n ＋1).答案：a n ＝54－2n ＋12n (n ＋1)15．已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ∈N ＋)．若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，则通项公式a n ＝________.解析：由a 1>1，a 4>3，S 3≤9得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1>1a 1＋3d >3a 1＋d ≤3，令x ＝a 1，y ＝d 得，⎩⎪⎨⎪⎧x >1x ＋3y >3x ＋y ≤3x ，y ∈Z，在平面直角坐标系中作出可行域可知符合要求的整数点只有(2,1)，即a 1＝2，d ＝1，所以a n ＝2＋n －1＝n ＋1. 答案：n ＋116．(文)将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________． 解析：前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋6216．(理)下面给出一个“直角三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 …满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N ＋)，则a 83等于________． 解析：由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a 83＝2×(12)2＝12.答案：12三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且n ，a n ，S n 成等差数列(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求S n >57时n 的取值范围． 解：(1)∵n ，a n ，S n 成等差数列，∴S n ＝2a n －n ，S n －1＝2a n －1－(n －1) (n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1－1 (n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)，两边加1得a n ＋1＝2(a n －1＋1) (n ≥2)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2 (n ≥2)． 又由S n ＝2a n －n 得a 1＝1.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，S n ＝2a n －n ＝2n ＋1－2－n ，∴S n ＋1－S n ＝2n ＋2－2－(n ＋1)－(2n ＋1－2－n ) ＝2n ＋1－1>0，∴S n ＋1>S n ，{S n }为递增数列． 由题设，S n >57，即2n ＋1－n >59. 又当n ＝5时，26－5＝59，∴n >5.∴当S n >57时，n 的取值范围为n ≥6(n ∈N ＋)．18．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝t ，a 2＝t 2，前n 项和为S n ，且S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0(n ∈N ＋)．(1)证明数列{a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)当12t <2时，比较2n ＋2－n 与t n ＋t －n 的大小；(3)若12t <2，b n ＝2a n 1＋a 2n ，求证：1b 1＋1b 2＋…＋1b n <2n－2－n 2. 解：(1)由S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，得tS n ＋1－tS n ＝S n ＋2－S n ＋1，即a n ＋2＝ta n ＋1， 而a 1＝t ，a 2＝t 2，∴数列{a n }是以t 为首项，t 为公比的等比数列， ∴a n ＝t n.(2)∵(t n ＋t －n )－(2n ＋2－n )＝(t n －2n )[1－(12t )n ]，又12<t <2，∴14<12t <1，则t n －2n <0且1－(12t)n >0， ∴(t n －2n )[1－(12t )n ]<0，∴t n ＋t －n <2n ＋2－n .(3)证明：∵1b n ＝12(t n ＋t －n)，∴2(1b 1＋1b 2＋…＋1b n )<(2＋22＋…2n )＋(2－1＋2－2＋…＋2－n )＝2(2n －1)＋1－2－n ＝2n ＋1－(1＋2－n )<2n ＋1－22－n ， ∴1b 1＋1b 2…＋1b n <2n－2－n 2.19．(本小题满分12分) 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列，lg b n ，lg a n ＋1，lg b n ＋1成等差数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求通项a n 、b n . 解：∵5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列，∴(5b n )2＝5a n ·5a n ＋1，即2b n ＝a n ＋a n ＋1. ① 又∵lg b n ，lg a n ＋1，lg b n ＋1成等差数列，∴2lg a n ＋1＝lg b n ＋lg b n ＋1，即a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1. ② 由②及a i ＞0，b j ＞0(i 、j ∈N ＋)可得a n ＋1＝b n ·b n ＋1， ③ ∴a n ＝b n －1b n (n ≥2)． ④ 将③④代入①可得2b n ＝b n －1·b n ＋b n ·b n ＋1(n ≥2)， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)． ∴数列{b n }为等差数列．∵b 1＝2，a 2＝3，a 22＝b 1·b 2，∴b 2＝92. ∴b n ＝2＋(n －1)( 92－2) ＝12(n ＋1)(n ＝1也成立)．∴b n ＝(n ＋1)22.∴a n ＝b n －1·b n ＝n 22·(n ＋1)22＝n (n ＋1)2(n ≥2)． 又当n ＝1时，a 1＝1也成立． ∴a n ＝n (n ＋1)2.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N ＋.(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n －1·a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)经计算a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝18.当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2， 即数列{a n }的奇数项成等差数列， ∴a 2n －1＝a 1＋(n －1)·2＝2n －1. 当n 为偶数时，a n ＋2＝12a n ，即数列{a n }的偶数项成等比数列， ∴a 2n ＝a 2·(12)n －1＝(12)n.因此，数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，(12)n 2(n 为偶数).(2)∵b n ＝(2n －1)·(12)n ，∴S n ＝1·12＋3·(12)2＋5·(12)3＋…＋(2n －3)·(12)n －1＋(2n －1)·(12)n， ①12S n ＝1·(12)2＋3·(12)3＋5·(12)4＋…＋(2n －3)·(12)n ＋(2n －1)·(12)n ＋1， ② ①②两式相减，得12S n ＝1·12＋2[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]－(2n －1)·(12)n ＋1 ＝12＋12·[1－(12)n －1]1－12－(2n －1)·(12)n ＋1 ＝32－(2n ＋3)·(12)n ＋1. ∴S n ＝3－(2n ＋3)·(12n .21．(本小题满分12分)某地区位于沙漠边缘地带，到2010年年底该地区的绿化率只有30%，计划从2011年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16%，将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化．(1)设该地区的面积为1,2010年年底绿洲面积为a 1＝310，经过一年绿洲面积为a 2，…，经过n 年绿洲面积为a n ＋1，求证：a n ＋1＝45a n ＋425；(2)求证：{a n ＋1－45}是等比数列；(3)探究至少需要经过多少年努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？ (取lg2＝0.3)解：(1)证明：设2010年年底沙漠面积为b 1，经过n 年治理后沙漠面积为b n ＋1，则a n ＋b n ＝1.依题意，a n ＋1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积，a n －4%a n ＝96%a n ，另一部分是新植树绿洲化的面积15%b n ，于是 a n ＋1＝96%a n ＋16%b n ＝96%a n ＋16%(1－a n ) ＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425.(2)证明：由于a a ＋1＝45a n ＋425两边减去45得：a n ＋1－45＝45(a n －45)．∴{a n ＋1－45}是以a 1－45＝－12为首项，45为公比的等比数列．(3)由(2)可知a n ＋1＝45－12(45)n ，依题意45－12(45)n >60%，即(45)n <25，两边取对数得 n >log4525＝lg2－lg52lg2－lg5＝1－2lg21－3lg2＝1－0.61－0.9＝4. 故至少需要5年才能达到目标．22．(文)(本小题满分14分)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，且f (x )＝x 2－x ＋b ，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋log 3n ＝log 3b n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)设P n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2，Q n ＝a 10＋a 12＋a 14＋…＋a 2n ＋8，其中n ∈N ＋，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论．解：(1)因为y ＝f (x )的图象过原点，所以f (x )＝x 2－x . 所以S n ＝n 2－n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n －(n －1)2＋(n －1)＝2n －2， 又因为a 1＝S 1＝0适合a n ＝2n －2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －2(n ∈N ＋)． (2)由a n ＋log 3n ＝log 3b n 得：b n ＝n ·3a n ＝n ·32n －2(n ∈N ＋)，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝30＋2·32＋3·34＋…＋n ·32n －2，9T n ＝32＋2·34＋3·36＋…＋n ·32n .两式相减得：8T n ＝n ·32n －(1＋32＋34＋36＋…＋32n －2)＝n ·32n －32n －18， 所以T n ＝n ·32n 8－32n －164＝(8n －1)32n ＋164. (3)a 1，a 4，a 7，…，a 3n －2组成以0为首项，6为公差的等差数列，所以P n ＝n (n －1)2×6＝3n 2－3n ； a 10，a 12，a 14，…，a 2n ＋8组成以18为首项，4为公差的等差数列，所以Q n ＝18n ＋n (n －1)2×4＝2n 2＋16n . 故P n －Q n ＝3n 2－3n －2n 2－16n ＝n 2－19n ＝n (n －19)，所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n >Q n ；当n ＝19时，P n ＝Q n ；当n <19时，P n <Q n .22．(理)(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ＋2，S n ＋1)在直线y ＝4x－5上，其中n ∈N ＋.令b n ＝a n ＋1－2a n ，且a 1＝1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，求f ′(1)的表达式，并比较f ′(1)与8n 2－4n 的大小．解：(1)∵S n ＋1＝4(a n ＋2)－5，∴S n ＋1＝4a n ＋3，∴S n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)，∴b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(n ≥2)． ∴数列{b n }为等比数列，其公比为q ＝2，首项b 1＝a 2－2a 1，而a 1＋a 2＝4a 1＋3，且a 1＝1，∴a 2＝6，∴b 1＝6－2＝4，∴b n ＝4×2n －1＝2n ＋1.(2)∵f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，∴f ′(x )＝b 1＋2b 2x ＋3b 3x 2＋…＋nb n x n －1，∴f ′(1)＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ，∴f ′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， ①∴2f′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2，②①－②得－f′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝4(1－2n)1－2－n·2n＋2＝－4(1－2n)－n·2n＋2，∴f′(1)＝4＋(n－1)·2n＋2，∴f′(1)－(8n2－4n)＝4(n－1)·2n－4(2n2－n－1)＝4(n－1)[2n－(2n＋1)]．当n＝1时，f′(1)＝8n2－4n；当n＝2时，f′(1)－(8n2－4n)＝4(4－5)＝－4<0，f′(1)<8n2－4n；当n＝3时，f′(1)－(8n2－4n)>0，结合指数函数y＝2x与一次函数y＝2x＋1的图象知，当x>3时，总有2x>2x＋1，故当n≥3时，总有f′(1)>8n2－4n.综上：当n＝1时，f′(1)＝8n2－4n；当n＝2时，f′(1)<8n2－4n；当n≥3时，f′(1)>8n2－4n.。

河南省濮阳市2024-2025学年高三9月质量检测考试数学试题(含解析)

河南省濮阳市2024-2025学年高三9月质量检测考试数学试题(含解析)

2024—2025学年高三9月质量检测考试数 学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C. 3D.2.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 3. 半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（ ）A.B. C. D.4. 已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C. 51D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且，，则（ ）A. 5B. C. 4D. 36. 已知点在抛物线C：上，则C 的焦点与点之间的距离为（ ）A. 4B.C. 2D.7. 已知a ，且，，，则（ ）24i z =+z 1z -=(){}3log 22M x y x ==+<{}2024x N y y ==M N = ()2,7-()2,3-()0,7()7,+∞1O 2O 224π376π75π215π3()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()a ab ⋅+=ABC △20ac =4cos 5B =b =121,34A p p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()220x py p =>()1,2b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 1a b a bα-=+ab =A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线与圆D ：有两个交点，则整数m 的可能取值有（ ）A. 0B. －3C. 1D. 310. 已知对数函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 11. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 被10除的余数为______.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆C ：的焦距为.（1）求C 的标准方程；1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 42α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x x x a -≥(],1-∞(21,e ⎤⎦(],2-∞[)e,+∞y x =22224x y my m +-=-()()log 1x f x x =+()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x >+>[]0,15x ∈*x ∈N 21e1x y x -=-()1,0203111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △()222210x y a b a b +=>>（2）若，直线l ：交椭圆C 于E ，F 两点，且，求t 的值.16.（15分）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l 上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.（1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P 的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：车站编号满意不满意合计102840113合计85完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？（2）根据以往调图经验，列车P 在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P 经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X ，求X 的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82817.（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，.（1）仅用无刻度直尺作出四棱锥的高PH ，写出作图过程并证明；（2）若平面平面PCD ，平面平面PBC ，证明：四边形ABCD 是菱形.18.（17分）已知.（1）证明：是奇函数；5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()302x ty t =+>AEF △0.001α=1323()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -AP CP =BP DP =P ABCD -PAB ⊥PAD ⊥()()ln 0x a f x ax a x a -⎛⎫=+>⎪+⎝⎭()f x（2）若，证明在上有一个零点，且.19.（17分）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.（1）若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；（2）若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.()()()12120f x f x x x =<<()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤{}n a λ*n ∀∈N 2n ≥121n n a a a a λ-+++≥ {}n a λ{}n a 11a =21a =()123n n n a a a n --=+≥{}n a {}n a λ0M ∃>*n ∀∈N 2n ≥n a M ≤222111121111n i in a a M a a a a λ=⎛⎫≥+- ⎪+++⎝⎭∑2024—2025学年高三9月质量检测考试数学参考答案1. A 【解析】由，可得.故选A.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. A【解析】由题意可知体积之差的绝对值为.故选A.4. C 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选C.5. B 【解析】由题意可得，，由余弦定理可得，，解得.故选B.6. D 【解析】因为点在抛物线C 上，所以，整理得，解得或（舍去），故焦点为，故C 的焦点与点之间的距离为故选D.7. D 【解析】由题意可得，解得.24i z =+24i 11i 14z --=-==-=()3log 22x +<029x <+<()2,7M =-20240xy =>()0,N =+∞()0,7M N = 334425632224π4π2πππ33333⨯-⨯=-=()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()1,43,121341251a a b ⋅+=⋅=⨯+⨯= 20ac =2b a c =+()2222282cos 24725b ac ac B a c ac ac b =+-=+--=-b =121,34A p p ⎛⎫++⎪⎝⎭()2121234p p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭272102p p --=2p =14-()0,1()1,2=1sin 1ab a bα-=+2222sin cos 2sincos1sin 22221sin sin cos 2sin cos 2222a b αααααααααα+++==-+-22222sin cos 1tan π222tan 42sin cos 1tan 222ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. AC 【解析】联立，消去x 可得，则，解得故选AC.10. BCD 【解析】对于A 选项，由对数函数的定义知的定义域为，故A 错误.对于B 选项，令，则，即，解得（负值舍去），故B 正确.对于C 选项，，可知，ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭1ln e x x ≥-ln t x x =()1e e t g t t t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e 1t g t '=-10e t -≤<()0g t '<0t >()0g t '>()g t 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()0,+∞()()min 01g t g ==1a ≤22224y xx y my m=⎧⎨+-=-⎩222240y my m -+-=()()222840m m ∆=--->m -<<()f x ()()0,11,+∞ ()log 12x x +=21x x =+210x x --=x =()()()ln 1log 1ln x x f x x x+=+=()()()()2ln 1ln 11ln x x x x f x x x x-+++'=设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，，易得，则，且，则，不妨设最大.对于A 选项，若，则不成立，故A 错误；对于B 选项，若，例如7，7，7，7，12，满足题意，故B 正确；对于C 选项，若，例如5，7，8，9，11，满足题意，故C 正确；对于D 选项，若，则，可得，可知该方程组无正整数解，故D 错误.故选BC.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处的切线方程为.13. 1 【解析】()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()()()11log 1log 2x x f x f x x x +-+=+-+()()()2ln 1ln ln 2ln ln 1x x x x x +-⋅+⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x >+>1x 2x 3x 4x 5x ()12345185x x x x x x =++++=1234540x x x x x ++++=()()()()()2222212243588814588x s x x x x -+-+-+-+⎡⎤==⎣⎦-()()()()()22222123458888820x x x x x -+-+-+-+-=5x 513x =()()()()2222123488885x x x x -+-+-+-=-512x =511x =510x =()()()()22221234888816x x x x -+-+-+-=12342222123430496x x x x x x x x +++=⎧⎨+++=⎩33y x =-()212e x y x x -'=+1x =3y '=21e 1x y x -=-()1,033y x =-()10201010192891010103910110C 10C 10C 101==-=-⨯+⨯--⨯+，所以被10除的余数为1.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ.15. 解：（1）由题意得，，（2分）又，（4分）则，（5分）所以C 的标准方程为.（6分）（2）由题意设，，联立，整理得，（7分）则，，（8分）故.（10分）设直线l 与x 轴的交点为，()9182791010101010C 10C 10C 1⨯-⨯+⨯--=+ 2031-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =1-2c =c =c e a ==2a =2222b a c =-=22142x y +=()11,E x y ()22,F x y 2232142x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2272304t y ty ++-=12232ty y t +=-+()122742y y t =-+12y y -===3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭又，则，（11分）故，（12分）解得.（13分）16. 解：（1）补充列联表如下：车站编号满意不满意合计102812401157360合计8515100（3分）零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，（6分）所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联.（7分）（2）经分析，X 的可能取值为8，10，12，14.（8分）；（9分）；（10分）；（11分），（12分）则X 的分布列为X 8101214P（13分）所以.（15分）17. 解：（1）连接AC ，BD 交于点H ，连接PH ，5,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭35422AD ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭12122AEF S AD y y =⋅-==△t =0H ()220.001100283571220010.8284060851517x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯0.001α=0H ()3288327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2214103339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()2122123339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()31114327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭8274929127()8421810121410279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=则PH 是四棱锥的高.（2分）由于该四棱锥底面为平行四边形，故点H 为AC 与BD 的中点.（3分）又，，故有，，（4分）又，AC ，平面ABCD ，故平面ABCD ，即PH 为四棱锥的高.（6分）（2）（方法一）证明：以H 为原点，以、的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，以垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（7分）设，，，，.则，，.（8分）设平面PAB 、平面PCD 的法向量分别为，，则，，（9分）令，解得，.所以，.（10分）因为平面平面PCD ，所以，①（11分）同理可得平面PAD 、平面PBC 的一个法向量分别为，.故，即，②（12分）P ABCD -AP CP =BP DP =PH AC ⊥PH BD ⊥AC BD H = BD ⊂PH ⊥P ABCD -BC HP (),,0A a d (),,0B b d -(),,0C a d --(),,0D b d -()0,0,P h (),2,0BA CD a b d ==- (),,BP b d h =- (),,DP b d h =-()1111,,n x y z = ()2222,,n x y z =()11111200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-++=⎩()22222200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-+=⎩122x x dh ==1112()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩2222()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩()()()12,,n dh b a h b a d =-+ ()()()22,,n dh b a h b a d =--+PAB ⊥()()2222221240n n d h b a h a b d ⋅=+--+= ()30,,n h d = ()40,,n h d =-22340n n h d ⋅=-= h d =①②联立解得.（13分）因此，.（14分）故，而四边形ABCD 是平行四边形，故四边形ABCD 是菱形.（15分）（方法二）证明：过点H 作交AB 于点E ，交CD 于点F ，过点H 作交BC 于点M ，交AD 于点N ，连接PE ，PF ，PM ，PN ，因为平面ABCD ，AB ，平面ABCD ，所以，.（7分）因为EF ，平面PEF ，所以平面PEF ，又平面PEF ，所以.（8分）易得平面PAB 与平面PCD 的交线平行于AB ，又平面平面PCD ，平面PAB ，所以平面PCD ，又平面PCD ，所以.（10分）因为MN ，平面PMN ，所以平面PMN ，又平面PMN ，所以.（11分）易得平面PAD 与平面PBC 的交线平行于BC ，又平面平面PBC ，平面PBC ，所以平面PAD ，又平面PAD ，所以.（13分）因为H 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以，，所以，所以，（14分）又，所以，所以平行四边形ABCD 是菱形.（15分）18. 证明：（1）易得的定义域为，（2分）.由奇函数的定义知是奇函数.（6分）2ab d =AD a b =--AB a b ===--AB AD =EF AB ⊥MN BC ⊥PH ⊥BC ⊂PH AB ⊥PH BC ⊥PH ⊂AB ⊥PE ⊂AB PE ⊥PAB ⊥PE ⊂PE ⊥PF ⊂PE PF ⊥PH ⊂BC ⊥PM ⊂BC PM ⊥PAD ⊥PM ⊂PM ⊥PN ⊂PM PN ⊥HE HF =HM HN =1122PH EF MN ==EF MN =AB EF BC MN ⋅=⋅AB BC =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()ln x a f x a x x a --⎛⎫--=--- ⎪-+⎝⎭()ln ln x a x a ax ax f x x a x a -+-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=--()f x（2）由对称性，不妨取，则，（7分）而.（8分）下证，设，，，，则（当且仅当，，即时取等号）.（14分）另一方面，的定义域为，.由对称性，不妨取，则，故在上单调递增.（15分）当时，；当时，.由零点存在定理知在上有一个零点，（16分）故.（17分）19. 证明：（1）当时，；（2分）当时，，（6分）故数列是1-有限数列.（7分）（2）由，得，（9分）31x x =-()()()()()()()23232323ln 0x a x a f x f x a x x x a x a ⎡⎤--+=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()()()2232323232ln 2x a x a x x f a x x x a x a ⎡⎤-+-+⎛⎫=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2323202x x f f x f x +⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭2x a m -=3x a n -=2x a p +=3x a q +=()()()()()()()()()()22232322323x a x a x a x a m n mn x a x a x a x a pq p q ⎡⎤-+---+-=-⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦()()()()()()2222pq m n mn p q pm qn qm pn p q pq p q pq +-+--++==()()()22323220a x x x x p q pq +-=≥+m n =p q =23x x =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()()2a f x a x a x a =++-'x a >()0f x a '>>()f x (),a +∞x a →()f x →-∞x →+∞()f x →+∞()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤2n =121a a ==2n >122121n n n n n a a a a a a a ----++++>+= {}n a 121n n a a a a λ-+++≥ ()2221211n n a a a a λ-≥+++于是有（13分）.（17分）()222212112111nn i i i i a a a a a λ==-≥++++∑∑ ()()2221121121n i i i a a a a a a a λ=-≥+++++++∑ 222112112111n i i i i a a a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅-≥ ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭=∑222112112111n i i i a M a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅- ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭∑221112111n a M a a a a λ⎛⎫+- ⎪+=++⎝⎭。

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第五章 数列（时间120分钟，满分150分）-、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1.已知实数列一1, x , y , z,— 2成等比数列，则 xyz 等于 （）A. — 4B. ±C. — 2 2D.塑 2解析：■/ xz = （— 1） 2） = 2, y 1 2 = 2,「. y =— 2（正不合题意），二 xyz =— 2 2. 答案：C2.等差数列｛a n ｝的通项公式是a n =1 — 2n ，其前n 项和为S *，则数列｛石｝的前11项和为二｛半｝的前11项的和为一66. 答案：D1 BQ解析：••• ｛an ｝是等差数列, 二 S 5= 5a 3= 55,「. a 3= 11. --a 4 — a 3 = 15 — 11= 4, .,a 4— a 3 4 ,・・ k pQ4. PQ4— 31答案：A1在4.等差数列｛a n ｝中，若a 2 + a 4 + a 6+ a 8 + a 10= 80,则a 7— [ a 8的值为1 111为 a 1,公差为 d ,则 a 7 — ?a 8= a 1+ 6d — ^(a 1 + 7d)= ~(a 1+ 5d) =歹6 = 8.A.4解析： B.6 C.8 D.10由已知得：（a 2+ a 10） + （a 4 + a 8） + a 6= 5a 6= 80?牝一16,又分别设等差数列首A. — 45B. — 50C. — 55D. — 66解析：S n =⑻,.S na 1+ a n=—n ,，3.已知｛a n ｝是等差数列，a 4= 15, S 5= 55,则过点 P(3,a s ）, Q （4, a 4）的直线斜率为（A.4C. — 4(答案：C5.记数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n = 2n(n — 1),则该数列是 ( )1A.公比为2的等比数列B.公比为Q 的等比数列C.公差为2的等差数列D.公差为4的等差数列解析：由条件可得 n >2 时，a n = S n — S n -1= 2n(n — 1)— 2(n — 1)(n — 2)= 4(n — 1)，当 n =1时，a 1 = S 1= 0，代入适合，故 a n = 4(n — 1),故数列｛a n ｝表示公差为4的等差数列. 答案：D6.定义：在数列｛a n ｝中，a n > 0且a n ^1若aa n + m 为定值，则称数列｛a “｝为"等幕数列”. 已知数列｛a n ｝为"等幕数列”，且 a 1 = 2, a 2= 4, S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，贝U S 2019 =A.6026B .6024C.2解析：a ；2 = 24= 16= aa 32 = 4a 3， 得 a 3= 2，同理得 a 4= 4， a 5= 2，…， 这是一个周期数列. 二 S 2019 = 200； — 1已2 + 4) + 2 = 6026.答案：A7.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).试问三角形数的一般表达式为 A. nB?2n(n + 1)解析：由 1+ 2+ 3 +••• + n 1=2n(n + 1)可得. 答案：B8.在数列｛a n ｝中，a 1= 1， a 2 = 2， a n + 2—an = 1+ (—1)，那么 S 100 的值等于(解析：据已知当n 为奇数时， a n + 2—an = 0?an = 1，当 n 为偶数时，a n +2— a n = 2? a n= n ，( )D.4(D.^n(n — 1)A.2500B.2600C.2700D.2800故an 二 1 l n 故 S 100 =仁_y (1)+ 2+4+6： . +1005050=50 + 50，+ J 0= 2600.2 答案：B9.在函数y = f(X )的图象上有点列｛x n , y n ｝，若数列｛x n ｝是等差数列，数列｛y n ｝是等比数列, 贝y 函数y = f(x)的解析式可能为解析：结合选项，对于函数f(x)= (4)x 上的点列｛x n , y n ｝，有y n = (^X n .由于｛X n ｝是等差数3 "=(4)X n + 1- X n = (3)d ，这是一个与n 无关的常(严数，故｛y n ｝是等比数列. 答案：D+ •••+ 丄a 2008a n n(n +1)」+ 1 + 1 +•••+丄 a 1 a 2 a 3 a 2oo81 , 1 1 , 1 12(1— 2 + 2 - 3+ …+ 2008- 2009)= 2(1 - 答案：D解析：设｛a n ｝的公比为 q(q >0)，由 a 3= a 2 + a j ，得 q 2- q - 1= 0,(n 奇数) (n 这偶数)，A.f(x)= 2x + 1B.f(x)= 4x 2C.f(x)= log 3x3 xD.f(x) = (4)列，所以 X n + 1-X n = d ,因此 yn ^-(4^-y n10.数列｛a n ｝满足: a 1= 1,且对任意的m , n € N *都有: a m +n = a m + a “+ mn ,则 丄+丄+丄a 1 a 2 a 3A 20°7 A.20082007 B.而C 2008 C.2009D 业 D .2009解析：因为 a n +m = a n + a m + mn ，则可得 a i = 1, a 2 = 3, a 3= 6, a 4= 10,…，则可猜得数列的通项 n(n + 1)an = 2 ,11.各项都是正数的等比数列 ｛a n ｝中, a 2,2a 3, a 1成等差数列，则 aSJ 的值为()5- 1 A h5+ 1 B hC.-宁D.号或号2 24016 2009解得q = 宁.从而竺存=q = 1±严.2 a3 + a4 2答案：B12.已知等比数列｛a n ｝的各项均为不等于 1的正数，数列｛b n ｝满足b n = lga n , 12,则数列｛b n ｝前n 项和的最大值等于 A.126B.130C.132D.134解析：由题意可知，lga 3= b 3, lga 6= b 6.又■/ b 3= 18, b 6= 12，贝V a j q 2= 1018, a 1q 5= 1012, •••q 3= 10「6.即 q = 10「2,「. a 1= 1022.又••• ｛a n ｝为正项等比数列， 二｛bn ｝为等差数列，且d =- 2, b 1 = 22.故 b n = 22+ (n — 1)入—2) =- 2n + 24. • Sn = 22n + 咛 X( — 2)223 2 529=—n + 23n =— (n —)+ . 2 4又••• n € N *，故 n = 11 或 12 时， (S n )max = 132. 答案：C:■、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上 13.设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 1= 1, S 6= 4S 3,则a 4 = ________________ 解析：设等比数列的公比为 q ,则由S 6= 4S 3知q z 1.b 3= 18, b 6 =( ).• q 3= 3.二 ag 3= 3.答案：3a n +1 n + 2 * —r14.已知数列｛a n ｝满足 = (n € N ),且a 1= 1,贝V a “= _____________ a n n解析:由已知得业 a n —1 n + 1n — a n —1 = n a n —2n — 2’a 2= 3 a 1=1‘ a 1= 1,左右两边分别相乘得4(1 - q)1 — q^13/ / *- /解析：注意到数1,9,17,25,…，分别都对应着大拇指，且 数到2 008时对应的指头是食指.对应中指的数依次是: 通项公式是 a n = 3+ (n — 1) >4 = 4n — 1. 答案：食指 4n — 116. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且a 4— a 2= 8, a 3+ a 5= 26.记T n =爭，如果存在正整数 M ，使得对一切正整数 n , T n < M 都成立，则 M 的最小值是 ____________ . 解析：■/ ｛a n ｝为等差数列，由 a 4— a 2= 8, a 3+ a 5= 26, 可解得S n = 2n 2— n ,1••• T n = 2 - 1,若2 M对一切正整数n 恒成立，则只需T n 的最大值三M 即可.1又T n = 2 —肩<2 ,•••只需2< M ，故M 的最小值是2. 答案：2三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤）17. （本小题满分12分）已知｛a n ｝是一个等差数列，且 a 2= 1, a 5=— 5. （1） 求数列｛a n ｝的通项a n ； （2） 求｛a n ｝前n 项和S n 的最大值. 解：（1）设｛a n ｝的公差为d ,a<）+ d = 1,由已知条件得，丿 解得a^, = 3,d = -2,® +4d =弋6L 45-3 4L23』4n — 1 n n +1n — 3 n — 2 n —115.“欢欢” 按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为 ｛a n ｝，则数到 2 008时对应的指头是 __________ .（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、_,数列｛a n ｝的通项公式a n食指、中指、无名指、小 指).£ \ 广\ \1 + 8 凡251 — 1) =2 001，因此 3,7,11,15,…，因此数列｛a n ｝的所以 a n = a i + (n — 1)d = — 2n + 5.n( n 一 1) 2 2(2)S n = na i + 2 d =— n + 4n = 4 — (n — 2). 所以n = 2时，S n 取到最大值4.13*18.(本小题满分 12 分)已知数列｛a n ｝满足：a i = 4，a 2= 4，a n +1 = 2a n — a n -i (n >2, n € N ), 数列｛b n ｝满足 b 1< 0,3b — b n -1= n(n >2, n € N )，数列｛b n ｝的前 n 项和为 S n . (1) 求数列｛a n ｝的通项a n ；(2) 求证：数列｛b n — a n ｝为等比数列.解：(1)证明••• 2a n = a n +1+ a n -1(n >2, n € N *), 二｛a n ｝是等差数列. 1 2n — 1 • = 41 n *(2)证明：T b n = 3b n -1 + 3(n >2, n € N ),1 n + 1 2n + 1 12n — 1bn +1— an +1=3bn+"V — ~~T =3bn—1 2n — 1 1=3(&—-)= 3(b n— an ).1八 b1— a1= b1—4刊•I ｛b n — a n ｝是以 b1 1 31 - 4为首项，以1为公比的等比数列.19.（本小题满分12分）（2019苏北三市联考）已知数列｛a n ｝是等差数列，a 2= 3, a 5= 6,数列 □ 1｛b n ｝的前n 项和是T n ,且T n + ?b n = 1.（1）求数列｛a n ｝的通项公式与前 n 项的和M n ； ⑵求数列｛b n ｝的通项公式.解：(1)设｛a n ｝的公差为 d ,则：a 2= a 1+ d , a 5 = a 1+ 4d.a 1 = 2, d = 1(2)证明：当 n = 1 时，b 1 = T 1, 由 T 1+' =仁得 b 1=：.二 3,a 5所以：14二,--a n = 2+ (n — 1) = n + 1.M n = na 1 +n(n — 1)2 d =n 2+ 3n 2又•••1 an = 4+ 5T )1 1当 n > 2 时，••• T n = 1 — 2b n , T n -1= 1 — ?b n-1,1 _…T n— T n -1 = 2(b n -1 — g),1即 b n=2(bn-1— b n )._ 1…b n = 3b n —1.二｛b n ｝是以3为首项，1为公比的等比数列3 320.（本小题满分12分）用分期付款的方式购买一批总价为 2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息， 设月利率为1%，若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ 解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分 20次付清， 则每次交付欠款的数额顺次构成数列｛a n ｝,故 a 1= 100 + 2000X0.01= 120（万元）, a 2= 100+ （2000 — 100） X0.01 =119（万元）,a 3= 100+ （2000 — 100X2） X .01 =118（万元）,a 4= 100+ （2000 — 100X3） X .01 =117（万元）,a n = 100+ [2000 — 100（n — 1）] X .01= 120 — （n — 1） =121 — n （万元）（1 < n w 20, n € N *）. 因此｛a n ｝是首项为120,公差为一1的等差数列. 故 a 10= 121 — 10= 111（万元）, a 20 = 121 — 20= 101（万元）, 20次分期付款的总和为 S 20=『d 禽=（120+ ；01） X 0= 2210（万元）.•••实际要付 300 + 2210= 2510（万元）.即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2510万元.1 n —1(1)221.（本小题满分12分）已知数列｛a n｝的每一项都是正数，满足a1= 2且a^+勺一a“a n+1 —2a^= 0;等差数列｛bj 的前n 项和为T n , 6= 3, T 5= 25. ⑴求数列｛a n ｝、｛b n ｝的通项公式; 1 1 1⑵比较T ；+〒•••+讥与2的大小;(3)［理］若b1+匹十…十bn v c 恒成立，求整数c 的最小值.a 1 a 2 a n 解：(1)由 a 2+1 — a n a n +1 — 2a ^= 0,得(a n +1 — 2a n )(a n + 1 + a n )= 0, 由于数列｛a n ｝的每一项都是正数，•••5 X4设 b n = b 1+ (n — 1)d ,由已知有 b 1+ d = 3,5b 1 + 52~d = 25, 解得 6= 1, d = 2,A b n = 2n — 1. ⑵由⑴得Tn =• T n =*,1 1 1 1产(n — 1)n = n — 1一 n .1v 1+ 1— 2 +III IV V VI—知…+宀—1 = 2—2.T n 1 2 2 3 n — 1 n n____ b 1 b 2b n 135 2n — 1(3)［理】记pn = b 1+二+…+ b n = 2+尹尹…+ "VIII 1 3 2n — 3 2n — 1•产=^2+尹…+―+尹T , 两式相减得P n = 3— 2^2^ 3 T Pn 递增」卜P nV 3, P 4=器〉2,•••最小的整数c = 3.22.(本小题满分14分)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n 且满足a 2= 3, S 6= 36. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵若数列｛b n ｝是等比数列且满足 b 1 + 6= 3, b 4+ b s = 24.设数列｛a n b n ｝的前n 项和为T n , 求T n .解: (1)数列｛a n ｝是等差数列, •- S 6= 3(a 1 + a 6)= 3(a 2+ a 5)= 36.a n + 1 =2an,A an = 2：当n = 1时,1丄=1 v 2. T 1M +U CMM ——UZ)HU1M ——U Z (U Z ——CO )H U Z(L ——uz) ——(z——UZ)Z +LHU CM(l——uz)——(lU00++*+D)2+L H H——品・UE(L——UZ)——T U 0・ z +—u e z + :・+z燹 z+zxz+lxlh h(z——l)eM栗¥W(L ——u z )+cxi(2——UZ)十…十"义 g+z燹CO +ZX L H HZLU Q(L——uz)+z &(2——UZ)++39+燹CO +L X L H UI.• LU CM(L ——uz)Huque...Luznuq・L H ^M H b L q + L q .M H z q +L qZ H b w J b• a2= 3,「. a5= 9,「. 3d= a5—a2= 6,「. d= 2,又T a1= a2—d= 1 ,• a n= 2n —1.⑵由等比数列｛b n｝满足b1 + b2= 3, b4+ b5= 24,。

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