专题一：恒成立与存在性问题(精简型)

专题一：恒成立与存在性（精简型）

一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-----在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a ”与变量“x ”左右分离开------

模型------

αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈

口诀：大就大其最大，小就小其最小，即最终转换求函数最值

例1已知322)(2

+-=ax x x f ，若(],2,1∈x ()0f

例2 已知0l <-ax nx ，在定义上恒成立，求a 的取值范围.

二、恒成立之常用模型及方法二：（构造）函数利用函数图象（性质）分析法------此法关键在函数的构造上，常见于两种----一分为二

或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≤-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.

例4若不等式2

log 0m x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

内恒成立，则实数m 的取值范围

三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二

间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可

例5已知322)(2

+-=ax x x f ，若存在(],2,1∈x 使得()0f

四、其它常用模型及方法：

1.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则

()()x g x f min min ≥

2.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则

()()x g x f max max ≤

3.设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥

4.设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤

5.若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；

6.若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；

7.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则

()f x 在[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ⊆N 。

8.设函数()x f ，对任意的[]b a x ,∈，使得

m x f <)(恒成立，则

.

9.设函数()x f ，对任意的[]b a x ,∈，使得m x f x f ≤-)()(21恒成立，则 .

五、巩固训练

1.设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(2

3

．

的取值范围

求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.

,3)()1(-∞=

2.已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2

+4x ，其中k 为实数。 （1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；

（3）对任意x 1、x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。 （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；

3.已知函数3

2

()1f x x ax x =+++，a ∈R .（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函

数()f x 在区间2

133⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，

内是减函数，求a 的取值范围． 4.已知

是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a 的取值范

围是

5. 已知函数f(x)=⎩⎨⎧(3-a)x-3 x ≤7a

x-6 x>7, 数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N *

),且数列{a n }是递增数列,

则实数a 的取值范围是

6.函数F （x ）=log2（a x

x ++12

3)在定义域上F （x)≥4恒成立，求a 的取值范围

7. 设函数x x a x f 4)(2+-+-=,a ax x g +=)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,试求实数a 的取值范围. 8.若不等式1

42x

x a +--≥0在[1，2]上恒成立，则a 的取值范围为 ．

9.若对于任意1a ≤，不等式2

(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围

10.f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间⎝

⎛⎭

⎪⎫－1

2

，0上单调递增，则a 的取值范围是