高中数学恒成立与存在性问题难

高中恒成立问题总结

解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法;

②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。

核心思想:

1.恒成立问题的转化:

afx恒成立maxafx; minafxafx恒成立

2.能成立问题的转化:

afx能成立minafx; maxafxafx能成立

3.恰成立问题的转化:

若AxfDx)(,在D上恰成立)(xf在D上的最小值Axf)(min;

若,DxBxf)(在D上恰成立 )(xf在D上的最大值Bxf)(max.

4. 设函数xf,xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin;

设函数xf,xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax;

设函数xf,xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmax;

设函数xf,xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmin;

5.若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方;

若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方.

6.常见二次函数

①.若二次函数2()(0)0fxaxbxca（或0）在R上恒成立，则有00a（或00a）;

②.若二次函数2()(0)0fxaxbxca（或0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解.

一﹑主参换位法例1．对于满足40p的一切实数，不等式342pxpxx恒成立，试求x的取值范围．

二﹑二次不等式恒成立问题

例2．已知关于x的不等式03)1(4)54(22xmxmm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

例3．已知函数22241,fxmxmxgxmx，若对于任一实数x，()fx与()gx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ )

A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)

例4．已知函数222fxxkx，在1x恒有fxk，求实数k的取值范围。

三、分离参数法

形如“()afx”或“()afx”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“)(xfa在Dx上恒成立，则max)]([xfa(Dx);)(xfa在Dx上恒成立，则min)]([xfa(Dx)”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型．

例5.当(1,2)x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是 .

例6．已知二次函数xaxxf2)(，若1,0x时，恒有1)(xf，求a的取值范围．

例7．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

例8．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )

A.－235，＋∞ B.－235，1 C．(1，＋∞) D.－∞，－235

四、数形结合（对于()()fxgx型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）

例9.若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是

(A) 1a (B) ||1a (C) ||1a （D）1a

三﹑绝对值不等式恒成立问题

例10．对于任意实数x，不等式axx21恒成立，求实数a的取值范围．

例11.若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是

(A) 1a (B) ||1a (C) ||1a （D）1a

四﹑含对数﹑指数不等式恒成立问题

例12．当)21,0(x时，不等式xxalog2恒成立，求a的取值范围．

五.形如“()()fxgx”型不等式

例8．已知函数)1lg(21)(xxf，)2lg()(txxg，若当1,0x时，)()(xgxf恒成立，求实数t的取值范围．

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【推荐精选】2018年高中数学黄金100题系列第23题函数中存在性与恒成立问题理

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推荐精选K12资料第23题函数中存在性与恒成立问题

函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点．在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分．

解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．

恒成立：关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立．

若函数()fx在区间D上存在最小值min()fx和最大值max()fx，则:

①不等式()fxa在区间D上恒成立min()fxa；

②不等式()fxa在区间D上恒成立min()fxa；

③不等式()fxb在区间D上恒成立max()fxb；

④不等式()fxb在区间D上恒成立max()fxb；

若函数()fx在区间D上不存在最大（小）值，且值域为(,)mn，则：

①不等式()fxa（或()fxa）在区间D上恒成立ma；

②不等式()fxb（或()fxb）在区间D上恒成立nb．

一、函数性质法

【例1】1）已知函数12)(2axxxf，xaxg)(，其中0a，0x．对任意]2,1[x，都有)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围；

2）已知两函数2)(xxf，mxgx21)(，对任意2,01x，存在2,12x，使得21)(xgxf，求实数m的取值范围．

【分析】1）根据题意条件中的x是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数0)()(xgxf恒成立，在通过推荐精选K12资料

浅议“恒成立”问题的解法

胡忠南

【期刊名称】《福建中学数学》

【年(卷),期】2005(000)006

【摘要】在一定条件下,某个命题恒成立,这是高中数学里常见的题型,几乎在高中数学的各个知识点中都有出现,更是历年高考的主要考试题型之一.对这类题型解题思路、方法的分析、归纳、总结,将有助于提高学生的解题能力.1“大大小小”法例1已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在(?∞,+∞)上是增函数,对任意实数θ∈R,问是否存在这样的实数m,使得f(cos2θ?3)+f(4m?2m cosθ)>f(0)对一切的θ恒成立?证明你的结论.解∵f(x)为奇函数,且x∈R,∴f(0)=0.∴原不等式可化为f(cos2θ?3)>f(2m cosθ?4m).又f(x)在R上是增函数,∴cos2θ?3>2m cosθ?4m.于是,问题转化为是否存在实数m,使不等式2cosθ?m cosθ+2m?2>0恒成立,变形为2cos2m>?2?coθs+θ.令2cos2y=?2?coθs+θ,要使m>y恒成立,只需maxm>y.因此问题又转化为求函数2cos2y=?2?cθos+θ的最大值.又y=?(2?cosθ)?2/(2?cosθ)+4,≤?22+4,当cosθ=2?2时,等号成立.∴当m>4?22时,不等式f(cos2θ?3)+f(4m?2m...

【总页数】2页(P)

【作者】胡忠南

【作者单位】福建霞浦职业中专

【正文语种】中文【中图分类】G63

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一组恒成立与存在性问题的求解

２００９年第１０期　福建中学数学　３５　

同时又在直线兰＋　：ｌ上，所以直线　＋　：ｌ　ａ　Ｄ　ａ　Ｄ　与圆　＋Ｙ　＝ｌ恒相交，　

故　≤１，　

即√　＋古　

从而　１　１≥１．　同学Ｆ证明：　由柯西不等式有　

（　１＋－￣２）（ｃｏｓ２ａ＋ｓｉｎ２ａ）＞（　＋　）　

－ＣＯＳ　＋ｓｉｎ　ｔ２＇＝１．　ＣＯＳ　Ｓｌｎ　．　～１－一一Ｊ‘　ａ　ｂ　

．・．　＋古　

此时。教师对以上同学的解法作出如下点评：　

方法Ａ从结论出发，将条件两边平方，然后比　

较　＋　１与１的大小，采用作差法，考虑问题直接，　ａ　Ｄ　思路也自然．　方法Ｂ在ｓｉｎａ与ＣＯＳａ的影响下，注意到“１”的　变换，也是平常所强调的重要转化方法．　

方法Ｃ直接从基本不等式出发，巧妙地证明．　

方法Ｄ从三角的角度利用辅助角公式　

ａｓｉｎ０＋ｂｃｏｓＯ＝ａ　＋ｂ　ｓｉｎ（０＋　）及三角函数的有　

界性巧妙地加以证明．　方法Ｅ数形结合是解决数学问题的重要思想，　

看到代数式能联想到其几何意义，从解析几何角度　

找到解决问题的突破口．　

方法Ｆ利用柯西不等式直接加以证明，激发学　

习选修的兴趣．　’　

在这道例题的讲解过程中。教师并没有平铺直　

叙地分析思路，请学生板演．而是以学生为主体。发　挥学生的主观能动性，教师是学生学习活动的参与　

者与评价者．这种高效的教学方法正是当前课堂所需　

要的教学方式．而往往一线的教师所采取的是包办　

式教学，代替学生的思维，害怕学生想不到．学浪　费了课堂时间．素不知。这不但苦了自己（每堂要讲　

个不停），同时也束缚了学生的思维．影响了教学的　

效果．　以上仅是笔者想通过一道例题的教学起抛砖引　玉的作用。其实如何提高课堂效益。每个教师均有　

自己独特的方法．希望与大家共享．　

＿组恒成立与存在性问题的求解　

陈言　

福建省福州格致中学（３５０００１）　

“恒成立”与“存在性”问题是中学数学中的常见　

问题，经常与求参数的范围联系在一起，在高考中　频频出现．是中学数学的一个难点．这两类问题常　

2020 年恒成立、存在性问题(存在量词)

第1页,共2页高中数学恒成立、存在性问题的等价转化方法

此类问题经常涉及到诸如“已知不等式恒成立，或不等式、方程有解，求参数的取值范围”等问题，我们不妨将之称之为“恒成立”问题与“有解”问题。“恒成立”问题与“有解”问题的处理思路是将其等价转化为与函数最值或值域有关，当函数的最大或最小值不存在时，该如何思考？

例1)2,1(x，0ln212axx，则实数a的取值范围是 .

分析 )2,1(x，0ln212axx)2,1(x，xxaln212.

∵)2,1(x时, xxxfln21)(2递增, 其值域为)2ln2,21(,∴21a.

例2 ),1(x，0ln212axx，则实数a的取值范围是 .

分析 ),1(x，0ln212axx),1(x，xxaln212.

∵),1(x时, 函数xxxfln21)(2递增, 其值域为),21(,∴a.

例3 )2,1(x，0ln212axx，则实数a的取值范围是 .

分析 )2,1(x，0ln212axx)2,1(x，xxaln212.

∵)2,1(x时, xxxfln21)(2递增, 其值域为)2ln2,21(,∴2ln2a.

小结当函数)(xf的最值不存在时的“恒成立”和“有解”问题可以这样处理:

(1)当Ix时, 函数)(xf的值域为),(nm, 则

Ix，)(xfama； Ix，)(xfana；

Ix，)(xfama； Ix，)(xfana；

Ix，)(xfana； Ix，)(xfama；

Ix，)(xfana； Ix，)(xfama；

专题26 含参不等式的存在性与恒成立问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析精品

【高考地位】

含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.

【方法点评】

方法一判别式法

使用情景：含参数的二次不等式

解题模板：第一步首先将所求问题转化为二次不等式；

第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；

第三步得出结论.

例1 设22)(2mxxxf，当),1[x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围.

1220)1(0mF解得23m。

综上可得实数m的取值范围为)1,3[.

【点评】一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有1）0)(xf对Rx恒成立00a；2）0)(xf对Rx恒成立00a . 例2 若fx为二次函数，-1和3是方程04xxf的两根，10f.

（1）求fx的解析式；

（2）若在区间1,1上，不等式2fxxm有解，求实数m的取值范围.

【答案】（1）21fxxx；（2）,5m.

（2）∵在区间1,1上，不等式2fxxm有解，

∴231mxx在区间1,1上有解，

故只需m小于函数231gxxx在区间1,1上的最大值，

由二次函数可知当1x时，函数gx取最大值5,

∴实数m的取值范围为5，考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.

【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为maxmgx来求参数m的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.

高中数学恒成立问题方法总结

前言

高中数学中常有恒成立问题，即判断某个等式或不等式是否在一定情况下恒成立。这类问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧，下面总结了一些常用的方法。

正文

1. 代入法

将恒成立问题中的未知数代入不同的值，观察等式或不等式是否始终成立。通过选择不同的数值，可以对问题进行测试，以确定是否恒成立。

2. 辅助线法

对于几何图形中的恒成立问题，可以利用辅助线的方法进行分析。通过引入辅助线，可以将问题转化为更简单的形式，从而判断恒成立性。

3. 推理法

利用已知条件和数学推理，进行逻辑推导和演绎，求解恒成立问题。例如，通过运用数学公式、定理以及逻辑推理，可以得出结论。 4. 反证法

假设恒成立的结论不成立，推导出矛盾，从而得出恒成立的结论。这种方法常用于证明等式或不等式的恒成立性，尤其是在缺乏直接证明的情况下。

5. 数学归纳法

对于涉及数列或递推关系的恒成立问题，可以使用数学归纳法进行解决。首先证明基本情况下结论成立，然后假设某个情况成立，推导出下一个情况也成立，从而证明恒成立。

6. 全局分析法

对于复杂的恒成立问题，可以采用全局分析的方法，通过综合考虑多个因素，观察整体趋势和规律，得出恒成立结论。

结尾

高中数学恒成立问题需要深入理解数学知识，掌握解题技巧。通过代入法、辅助线法、推理法、反证法、数学归纳法和全局分析法等方法，我们可以更好地解决这类问题，提升数学思维能力和解题能力。希望以上总结对于解决高中数学恒成立问题有所帮助。

7. 对称性分析法

在某些问题中，可以利用对称性进行分析。通过观察等式或不等式在对称情况下的表现，可以推断出恒成立的结论。例如，如果等式关于某个点对称，那么等式两边在该点处的取值应相等。 8. 变量替换法

对于一些复杂的恒成立问题，可以通过变量替换的方法进行简化。通过引入新的变量或表达式来代替原先的复杂表达式，可以化繁为简，从而更方便地判断恒成立性。

高中数学-导数中的恒成立问题

导数的恒成立问题

一、不等式的恒成立问题

1.若,xD()fxm在D上恒成立，等价于()fx在D上的最小值min()fxm成立．

2.若,xD()fxm在D上恒成立，等价于()fx在D上的最大值max()fxm成立．

3.对任意xD，都有()()fxgx成立，等价于构造()()()Fxfxgx，max()0Fx．

4.对任意xD，都有()()fxgx成立，等价于构造()()()Fxfxgx，max()0Fx

5.对任意12,xxD，都有12()()fxgx成立的充要条件是maxmin()()fxgx．

【例1】已知()2ln1fxaxbx

(1)若函数()fx在3x处取得极值，且曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线

与直线:230lxy平行，求a的值。

(2)若12b，试讨论函数()yfx的单调性。

(3)若对定义域内的任意实数x，都有1()()12fxbx成立，求a的取值范围。

【解析】 (1)2()afxbx 由已知可得2(3)03(1)22afbfab 解得3,12ab

（2）()fx的定义域为(0,)，当12b时，214()22axafxxx

所以当0a时，可得()fx在(0,)上单调递增

当0a时，()fx在(0,4)a上单调递减，在(4,)a上单调递增

（3）原不等式可以等价转化为4ln0axx

令函数()4ln(0)gxaxxx 所以只需要min()0gx即可

当0a时显然符合题意

当0a时，易知()gx在(0,)上单调递增，且当14axe 时，14()10agxe

所以也不符合题意

当0a时，()fx在(0,4)a上单调递减，在(4,)a上单调递增

所以此时只需要(4)4ln(4)40gaaaa 解得04ea

高中数学重点专项：经典的恒成立和存在性6道经典问题

1. （1）若关于x的不等式02aaxx的解集为R，求实数a的取值范围；

（2）若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，求实数a的取值范围．

2. 设aR，二次函数2()22.fxaxxa若()0fx的解集为A，

|13,BxxAB，求实数a的取值范围.

3. 对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。

4. 已知函数()fx是定义在1,1上的奇函数，且(1)1f，若,1,1ab，0ab，有()()0fafbab，（1）证明()fx在1,1上的单调性；（2）若2()21fxmam对所有1,1a恒成立，求m的取值范围。

5. 若函数268ymxmxm在R上恒成立，求m的取值范围。

6. 已知函数2()3fxxaxa，

⑴在R上()0fx恒成立，求a的取值范围。

⑵若2,2x时，()0fx恒成立，求a的取值范围。

⑶若2,2x时，()2fx恒成立，求a的取值范围。

参考答案

1.（1）设aaxxxf2.则关于x的不等式02aaxx的解集为),(0xf在,上恒成立0minxf,

即,0442minaaxf解得04a

（2）设aaxxxf2.则关于x的不等式32aaxx的解集不是空集3xf在,上能成立3minxf,

即,3442minaaxf解得6a或2a.

4. 解法1.由题意2335gxxaxa，这一问表面上是一个给出参数a的范围，解不等式0gx的问题，实际上，把以x为变量的函数gx，改为以a为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即

高中数学——恒成立与存在性问题(教案)

1 恒成立与存在性问题

1、恒成立问题的转化：afx恒成立maxafx；minafxafx恒成立

2、能成立问题的转化：afx能成立minafx；maxafxafx能成立

3、恰成立问题的转化：afx在M上恰成立afx的解集为MRafxMafxCM在上恒成立在上恒成立

另一转化方法：若AxfDx)(,在D上恰成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min，若,DxBxf)(在D上恰成立，则等价于)(xf在D上的最大值Bxf)(max.

4、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin

5、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax

6、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则maxminfxgx

7、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则minmaxfxgx

8、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，设xf在区间,ab上的值域为A，xg在区间,cd上的值域为B,则AB.

9、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方；

10、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方；

专题训练：

1．函数221fxaxx，若对任意1,x，0fx恒成立，则实数a的取值范围是。

高中数学x恒成立、存在性问题解决办法

1 恒成立、存在性问题解决办法总结

1、恒成立问题的转化：afx恒成立maxafx；minafxafx恒成立

2、能成立问题的转化：afx能成立minafx；maxafxafx能成立

3、恰成立问题的转化：afx在M上恰成立afx的解集为MRafxMafxCM在上恒成立在上恒成立

另一转化方法：若AxfDx)(,在D上恰成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min，若

,DxBxf)(在D上恰成立，则等价于)(xf在D上的最大值Bxf)(max.

4、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin

5、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax

6、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmax

7、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmin

8、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方；

9、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方；

题型一、简单型

1、已知函数12)(2axxxf，xaxg)(，其中0a，0x．

1）对任意]2,1[x，都有)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围；（构造新函数）

2）对任意]4,2[],2,1[21xx，都有)()(21xgxf恒成立，求实数a的取值范围；（转化）

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