中考数学专题复习二次函数与圆、三角函数 训练 (含答案)
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。
二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)
二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。
2023年九年级数学中考专题训练二次函数与角度问题含答案解析
中考专题训练——二次函数与角度问题1．已知二次函数232y ax bx =+-（0a ≠）的图象经过A （1，0）、B （−3，0）两点，顶点为点C ．(1)求二次函数的解析式； (2)如二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点G ，抛物线上是否存在点Q ，使得∠QAB=∠ABG ，若存在求出Q 点坐标，若不存在请说明理由；(3)经过点B 并且与直线AC 平行的直线BD 与二次函数232y ax bx =+-图象的另一交点为D ，DE ∠AC ，垂足为E ，DF y 轴交直线AC 于点F ，点M 是线段BC 之间一动点，FN ∠FM 交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为△NFH 的外心，求点M 从点B 运动到点C 的过程中，P 点经过的路线长． 2．在平面直角坐标系中，抛物线l ：()2220y x mx m m =--->与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON = (1)求m 的值；(2)设点G 是抛物线在第三象限内的动点，若GBC ACO ∠=∠，求点G 的坐标；(3)将抛物线222y x mx m =---向上平移3个单位，得到抛物线l '，设点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点，射线PO 、QO 分别交直线=2y -于点P '、Q '，设P '、Q '的横坐标分别为P x '、Q x '，且4P Q x x ''⋅=，求证：直线PQ 经过定点．3．已知二次函数y ＝x 2十（k ﹣2）x ﹣2k ．(1)当此二次函数的图像与x 轴只有一个交点时，求该二次函数的解析式；(2)当k ＞0时，直线y ＝kx +2交抛物线于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 在线段AB 上，过点P 做PM 垂直x 轴于点M ，交抛物线于点N ． ∠求PN 的最大值（用含k 的代数式表示）；∠若抛物线与x 轴交于E ，F 两点，点E 在点F 的左侧．在直线y ＝kx +2上是否存在唯一一点Q ，使得∠EQO ＝90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；(3)在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '，将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线'l 与线段BM '交于点C ，设点B 、M '到直线l '的距离分别为1d 、2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即BAC ∠的度数）． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y =12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y =−12x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点， ∠连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，求DEEB的最大值； ∠过点D 作DF ∠AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的∠DCF ＝2∠BAC ，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为D ，且过C （－4，m ）． (1)求点A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点P 在该抛物线上（与点B ，C 不重合），设点P 的横坐标为t ．∠当点P 在直线BC 的下方运动时，求∠PBC 的面积的最大值， ∠连接BD ，当∠PCB ＝∠CBD 时，求点P 的坐标．7．如图所示，抛物线y =−x 2+bx +3经过点B (3，0)，与x 轴交于另一点A ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)如图，设点D 是x 轴正半轴上一个动点，过点D 作直线l ∠x 轴，交直线BC 于点E ，交抛物线于点F ，连接AC 、FC ．∠若点F 在第一象限内，当∠BCF =∠BCA 时，求点F 的坐标； ∠若∠ACO +∠FCB =45°，则点F 的横坐标为______．8．已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点，交x 轴于另一点B ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接AD ，BD ，PD ，当BD 平分ADP 时，求P 点坐标； (3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M ，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E 、F 是旋转前后抛物线的交点． ∠直线EF 的解析式是______；∠点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称，则线段GH 的最大值是______．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -，连接AB ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点P 在直线AB 上方的抛物线上，过点P 作PE AD ∥交x 轴于点E ，交线段AB 于点G ，连接PD 交线段AB 于点Q ．(1)求抛物线的表达式；(2)当GQ AQ =时，设点P 的横坐标为m ，求m 的值；(3)在（2）的条件下，线段BE 上有一点F ，直线AD 上有一点K ，连接KF 、GF ，当2FKD FGB ∠=∠，且8KF =时，直接写出．．．．点K 的纵坐标．．．． 10．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，OA =OC =3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 为直线AC 下方抛物线上一点，连接BP 并交AC 于点Q ，若AC 分ABP 的面积为1：2两部分，请求出点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点N ，使得45BCO BNO ∠+∠=︒，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y =ax 2+2x −3与x 轴交于A 、B 两点，且B (1，0)．(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标；(2)如图1，点P 是直线y =x 上在x 轴上方的动点，当直线y =x 平分∠APB 时，求点P 的坐标；(3)如图2，已知直线y =23x −49分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点，点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线段CD 的延长线上，连接QE ．问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 12．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点()0,5C -．(1)求a ，b 的值；(2)已知点M 在射线CB 上，直线AM 与抛物线2y ax bx c =++的另一公共点是点P ．∠抛物线上是否存在点P ，满足:2:1=AM MP ，如果存在，求出点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由； ∠连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．13．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若()1,0A -且3OC OA =．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是该抛物线的顶点，点(),P m n 是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、BP ，当2PBA CBD ∠=∠时，求m 的值；(3)如图2，BAC ∠的角平分线交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与射线AB ，AC 分别交于E ，F ，已知当直线l 绕点M 旋转时，11AE AF+为定值，请直接写出该定值． 14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1L ：2y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，且经过点(1,3)-，点C 是抛物线1L 的顶点，将抛物线1L 向右平移得到抛物线2L ，且点B 在抛物线2L 上．(1)求抛物线1L 的表达式；(2)在抛物线2L 上是否存在一点P ，使得90PAC ∠=︒，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()4,0，抛物线的对称轴为直线32x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当BCD △的面积为74时，求点D 的坐标；(3)过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由． 16．抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,4)，与x 轴交于点,(3,0)A B 两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线上的动点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 在直线BC 上方抛物线上，连接AM 交BC 于点E ，求MEAE的最大值及此时点M 的坐标；(3)如图2，已知点(0,1)Q ，是否存在点M ，使得1tan 2MBQ ∠=？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，直线4y x =+恰好经过B 、C 两点．(1)求二次函数的表达式；(2)点D 为第三象限抛物线上一点，连接BD ，过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ，若2OE BE =，求点D 的坐标；(3)设F 是抛物线上的一个动点，连结AC 、AF ，若2BAF ACB ∠=∠，求点F 的坐标．18．抛物线y 1=x 2+（3-m ）x +c 与直线l ：y 2=kx +b 分别交于点A （-2，0）和点B （m ，n ），当-2≤x ≤4时，y 1≤y 2．(1)求c 和n 的值（用含m 的式子表示）；(2)过点P （1，0）作x 轴的垂线，分别交抛物线和直线l 于M ，N 两点，则∠BMN 的面积是否存在最大值或者最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由；(3)直线x =m +1交抛物线于点C ，过点C 作x 轴的平行线交直线l 于点D ，交抛物线另一点于E ，连接BE ，求∠DBE 的度数．19．如图，抛物线2323y x x -=-+与x 轴交于点A 和点B ，直线:l y kx b =+与抛物线2323y x x -=-+交于点D和点12F n ⎛⎫⎪⎝⎭，，且与y 轴交与点()02E ，．(1)求直线l 的函数表达式；(2)若P 为抛物线上一点，当POE OED =∠∠时，求点P 的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、B 两点，且与x 轴的负半轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点D 为直线AB 上方抛物线上的一点，2ABD BAC ∠=∠，直接写出点D 的坐标．参考答案1．(1)21322y x x =+- (2)542⎛⎫- ⎪⎝⎭，或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(3)1【分析】（1）将A （1，0）、B （-3，0）代入232y ax bx =+-，即可求解； （2）先求出BG 的解析式为13y x 22=--，然后再进行分类讨论，分别求得点Q 的坐标即可；（3）可知△DNH 与△FNH 是直角三角形，外心P 在斜边NH 的中点，分别求出直线AC 及直线BD 的函数关系式，再分为当M 运动到C 点时及当点M 运动到B 点时两种情况进行讨论，求解即可．【解析】（1）∠二次函数232y ax bx =+-的图像经过A （1,0）、B （-3,0）， ∠30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∠二次函数的解析式为213y x x 22=+-； （2）由题可知G 点坐标30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线BG 的解析式为y px q =+，得： 30302k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∠BG 的解析式为13y x 22=--，∠AQ ∥BG ，直线AQ 的解析式11y x 22=-+，联立直线AQ 与二次函数解析式2112213x 22y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得1110x y =⎧⎨=⎩或22452x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩此时Q 的坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∠直线11y x 22=-+与y 轴的交点为K 102⎛⎫⎪⎝⎭，，其关于x 轴的对称点为11K 02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 直线1AK 的解析式为：11y x 22=- 与二次函数解析式联立得 2112213x 22y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 解得1110x y =⎧⎨=⎩或22232x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，此时Q 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 综上,抛物线上存在点Q 使得∠QAB =∠BAG ，Q 点坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭，或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（3）如图，易知△DNH 与△FNH 是直角三角形，外心P 在斜边NH 的中点，∠PD =PF =12NH ，所以点P 是线段DF 的垂直平分线上的动点， ∠直线AC 的解析式为y =x -1，BD ∥AC ， ∠直线BD 的解析式为y =x +3， ∠D （3,6），∠当M 运动到C 点时1H 与点E 重合，1FN AC ⊥，则1FN BD ⊥，又因为∠DEF =90°，DE =EF ， ∠四边形1DN FE 为正方形， ∠1P 是线段DF 的中点（3,4）；∠当点M 运动到B 点时，22FN FH ⊥，∠四边形DN 1FE 是正方形∠122190N FN BFC N N F BCF ∠=∠∠=∠=︒，，∠21N N F BCF ∽， ∠121CF BC N F N N =， ∠四边形DN 1FE 是正方形，∠11,4N （），∠2112BC CF N N N F ==，∠12N N =∠22,5N （）， 同理26,3H （）， 所以22N H 的中点2P （4，4），∠134P （，）， ∠121PP =【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，会求函数的交点坐标，根据点M 的运动情况确定P 点的轨迹是线段是解题的关键．2．(1)1m =(2)点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)见解析【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由x =0处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）连接AC 、BC ，过点C 作CT CB ⊥，设BG 交CT 于点T ，作TH y ⊥轴于点H ，由抛物线解析式求得A 、B 、C 坐标，可得∠OBC 、∠CHT 是等腰直角三角形，由BC 和tan tan GBC ACO ∠=∠可得TC ，进而可得T 点坐标，再由B 点坐标可得直线BC 解析式，然后与二次函数解析式联合求得交点坐标即可解答；（3）设点()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -，由原点可得直线PO 、QO 的解析式，再由y =-2可得点Q '、P '横坐标，由4P Q x x ''⋅=可得()1212230x x x x -++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立可得()220x m x n -+-=，利用根与系数的关系可得122x x m +=+，12x x n =-，代入()1212230x x x x -++=求得21n m =--，于是直线PQ 为()21y m x =--经过定点2,1；(1)解：依题意得：()222y x m m m =----，∠抛物线的对称轴为直线x m =， ∠ON m m ==，在222y x mx m =---中，令0x =，则2y m =--，∠()0,2C m --， ∠22OC m m =--=+，∠3OC ON =，∠23m m +=，解得1m =；(2)解：如图，连接AC 、BC ，过点C 作CT CB ⊥，设BG 交CT 于点T ，作TH y ⊥轴于点H ，由（1）得1m =，∠抛物线的解析式为2=23y x x --，()0,3C -，3OC =，令0y =，则2230x x --=，解得11x =-，23x =，∠点A 在点B 的左侧，∠()1,0A -，()3,0B ，3OB =，在Rt AOC 中，1tan 3OA ACO OC ∠==， 3OB OC ==，则OBC △是等腰直角三角形，BC =∠OCB =45°，∠TCB =90°，则∠TCH =45°，∠CHT △是等腰直角三角形，∠GBC ACO ∠=∠，∠1tan tan 3GBC ACO ∠=∠=， ∠13CT BC =，1133CT BC ==⨯=∠sin451TH CH ==︒=，∠()1,2T --，由点()1,2T --与点()3,0B ，可求得1322TB y x =-， 联立得2132223y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩， 解得：1130x y =⎧⎨=⎩，221274x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∠点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)解：如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到抛物线l '：22y x x =-，∠点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点，∠设点()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -，由()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -分别可求得：()12OP y x x =-，()22OQ y x x =- ∠点P '、Q '在直线=2y -上，∠点12,22P x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭，22,22Q x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭， ∠4P Q x x ''⋅= ∠1222422x x --⋅=--，即()()12221x x --=，整理得()1212230x x x x -++=， 设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立得：22,y x x y mx n⎧=-⎨=+⎩，22x x mx n -=+， 整理得()220x m x n -+-=，由根与系数的关系可得：122x x m +=+，12x x n =-，∠()1212230x x x x -++=，∠()2230n m --++=，∠21n m =--，∠直线PQ 的解析式为21y mx m =--，()21y m x =--，∠当2x =时，1y =-，∠直线PQ 经过定点2,1；【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系；此题综合性较强，正确作出辅助线并掌握函数图象交点坐标的意义是解题关键． 3．(1)244y x x =-+(2)∠32k +，∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90EQO ∠=︒【分析】（1）根据函数图像与x 轴只有一个交点，结合Δ0=求出k 值即可；（2）∠根据题意，求出()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--，利用两点之间距离公式求出PQ ,得出11m ≤∠二次函数综合中的直角三角形分两种情况：当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时；当圆与直线相交且一个交点为A 时；分情况求解即可．(1)解：二次函数的图像与x 轴只有一个交点，∠22(2)8(2)0k k k ∆=-+=+=，解得2k =-，∠所求抛物线的解析式为244y x x =-+；(2)解：如图所示：∠∠点P 在线段AB 上，且直线AB 解析式为2y kx =+，∠设点M 的横坐标为m ，则()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--，∠22(2)2PN mk m k m k ⎡⎤=+-+--⎣⎦2222m m k =-+++2(1)32m k =--++，把2y kx =+代入2(2)2y x k x k =+--得：2(2)22x k x k kx +--=+，∠222220,(1)2(1)x x k x k ---=-=+，∠0k >，∠2(1)0k +>，∠1x =∠x 的值可以取到1，即11m ≤≤∠m 的值可以取到1，∠当1m =时PN 的最大值为32k +；∠设直线2y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ，则()22,0,0,2,,2G H OG OH k k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭．在Rt GOH 中，由勾股定理得：GH = 令2(2)20y x k x k =+--=，即()(2)0x k x +-=，解得：x k =-或2x =．∠(),0E k -，OE k =．（∠）当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时，如图∠所示：设直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切的切点为Q ，此时90,90GQM EQO ∠∠=︒=︒．设OE 中点为点M ，连接MQ ，如图∠所示，则,0.5MQ GH MQ ME OM k ⊥===．∠22k GM OG OM k =-=-， ∠,90∠=∠∠=∠=︒MGQ HGO MQG HOG ， ∠∽MOG HOG ， ∠=MQ GM OH GH ，即22222k k k -=， ∠2221618k k k +=-+ ∠2169k =，解得：43k =±， ∠0k >， ∠43k =． （∠）当圆与直线相交且一个交点为A 时，如图∠所示，设另一个交点为Q ，∠OE 是圆的直径，∠90EQO ∠=︒，此时可得：OG OE =， ∠2k k=，解得：k = ∠0k >，∠k =∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90EQO ∠=︒． 【点评】本题考查二次函数综合，涉及到利用判别式求二次函数解析式、二次函数综合中的线段最值问题、二次函数综合中的直角三角形问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，并掌握解决相关二次函数综合问题题型的方法技巧是解决问题的关键．4．(1)223y x x =-++ (2)21525()228S m =--+，最大值为258(3)45°【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出a 的值；（2）设M 的坐标为（m ，-m 2+2m +3），然后根据面积关系将∠ABM 的面积进行转化；（3）由（2）可知m =52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．（1）解：令x =0代入y =-3x +3，∠y =3，∠B （0，3），把B （0，3）代入223y ax ax a =--，∠3=-3a ，∠a =-1，∠二次函数解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）令y =0代入y =-x 2+2x +3，∠0=-x 2+2x +3，∠x =-1或3，∠抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3，∠M 在抛物线上，且在第一象限内，∠0＜m ＜3，令y =0代入y =-3x +3，∠x =1，∠A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，-m2+2m+3），S=S四边形OAMB-S△AOB=S△OBM+S△OAM-S△AOB=1 2×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3=-12（m-52）2+258∠当m=52时，S取得最大值258．（3）由（2）可知：M′的坐标为（52，74）；过点M′作直线l1∠l′，过点B作BF∠l1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，∠∠BFM′=90°，∠点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∠点C在线段BM′上，∠F在优弧BM H'上，∠当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′∠l1，∠A（1，0），B（0，3），M′（52，74），∠由勾股定理可求得：AB M B M A''===过点M′作M′G∠AB于点G，设BG =x ，∠由勾股定理可得：M ′B 2-BG 2=M ′A 2-AG 2，∠2285125)1616x x -=-，∠,x =cos BG M BG M B ''∠==， ∠l 1∠l ′，∠∠BCA =90°，∠BAC =45°．【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目，化动为静去解决问题．5．(1)213222y x x =--+ (2)∠45；∠存在，D （-2，3）【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y =-12x 2+bx +c ，于是得到结论； （2）∠如图1，令y =0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ∠x 轴于M ，过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；∠根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到P A =PC =PB =52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，解直角三角形即可得到结论．(1)解：对于函数：y =12x +2， 令x =0，则y =2，令y =0，则x =-4，∠A （-4，0），C （0，2），∠抛物线y =-12x 2+bx +c 经过A ．C 两点， ∠1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩，∠b =-32，c =2， ∠y =-12x 2-32x +2； (2)解：∠如图，令y ＝0， ∠213x x 2022--+=， ∠14x =-，21x =，∠B （1，0），过D 作DM ∠x 轴交AC 于点M ，过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ，∠DM BN ∥，∠DME BNE ∽△△， ∠DE DM BE BN=， 设()213,222D a a a --+， ∠1,22M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∠B （1，0）， ∠51,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∠()221214225552a a DE DM a BE BN --===-++， ∠-15<0， ∠当a ＝-2时，DE BE 的最大值是45； ∠∠A （-4，0），B （1，0），C （0，2），∠AC =BC =AB ＝5，∠222AC BC AB +=，∠∠ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ， ∠3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∠52PA PC PB ===， ∠∠CPO ＝2∠BAC ，∠()4tan tan 23CPO BAC ∠=∠=， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∠∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC +∠CDG ，∠∠CDG ＝∠BAC ， ∠1tan tan 2CDG BAC ∠=∠=，即12RC DR =， 令213,222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∠DR ＝-a ，21322RC a a =--， ∠2131222a a a --=-，∠10a =（舍去），22a =-，∠2D x =-，3D y =．∠D （-2，3）．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．6．(1)A （-5，0），B （-1，0）；C （-4，-3）；D （-3，-4） (2)∠278；∠（0，5）或（32-，74-）【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式即可求出点D 的坐标，令y =0，求出x 的值即可得到A 、B 的坐标，把x =-4代入抛物线解析式求出y 即可求出点C 的坐标；（2）∠先求出直线BC 的解析式为1y x =+，过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ，则点P 的坐标为（t ，265t t ++），点F 的坐标为（t ，t +1），254PF t t =---，再根据=PBC PFC PFB S S S +△△△23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，进行求解即可；∠分如图1所示，当点P 在直线BC 上方时，如图2所示，当点P 在直线BC 下方时，两种情况讨论求解即可．(1)解：∠抛物线解析式为()226534y x x x =++=+-，∠抛物线顶点D 的坐标为（-3，-4）；令y =0，则2650x x ++=，解得=1x -或5x =-，∠抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），∠点A 的坐标为（-5，0），点B 的坐标为（-1，0）；令4x =-，则()()246453y =-+⨯-+=-，∠点C 的坐标为（-4，-3）；(2)解：∠设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∠043k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， ∠11k b =⎧⎨=⎩， ∠直线BC 的解析式为1y x =+，过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ，∠点P 的横坐标为t ，∠点P 的坐标为（t ，265t t ++），点F 的坐标为（t ，t +1），∠2216554PF t t t t t =+---=---，∠=PBC PFC PFB S S S +△△△()()11=22P C B P PF x x PF x x ⋅-+⋅- ()12B C PF x x =⋅- ()23542t t =-++ 23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ∠当52t =-时，∠PBC 的面积最大，最大为278；∠如图1所示，当点P 在直线BC 上方时，∠∠PCB =∠CBD ，∠PC BD ∥，设直线BD 的解析式为11y k x b =+，∠1111034k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， ∠1122k b =⎧⎨=⎩， ∠直线BD 的解析式为22y x =+，∠可设直线PC 的解析式为22y x b =+，∠()2243b ⨯-+=-，∠25b =，∠直线PC 的解析式为25y x =+，联立22565y x y x x =+⎧⎨=++⎩得240x x +=， 解得0x =或4x =-（舍去），∠5y =，∠点P 的坐标为（0，5）；如图2所示，当点P 在直线BC 下方时，设BD 与PC 交于点M ，∠点C 坐标为（-4，-3），点B 坐标为（-1，0），点D 坐标为（-3，-4），∠()()22241318BC =---+-=⎡⎤⎣⎦,()()22231420BD =---+-=⎡⎤⎣⎦，()()22243342CD =---+---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∠222BC CD BD +=，∠∠BCD =90°，∠∠BCM +∠DCM =90°，∠CBD +∠CDB =90°，∠∠CBD =∠PCB ，∠MC =MB ，∠MCD =∠MDC ，∠MC =MD ，∠MD =MB ，∠M 为BD 的中点，∠点M 的坐标为（-2，-2），设直线CP 的解析式为23y k x b =+，∠23234322k b k b -+=-⎧⎨-+=-⎩， ∠23121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∠直线CP 的解析式为112y x =-， 联立211265y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=++⎩得2211120x x ++=， 解得32x =-或4x =-（舍去）， ∠74y =-， ∠点P 的坐标为（32-，74-）； 综上所述，当∠PCB ＝∠CBD 时，点P 的坐标为（0，5）或（32-，74-）；【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．7．(1)y =−x 2+2x +3(2)∠532,39⎛⎫⎪⎝⎭；∠73或5【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）∠作点A关于直线BC的对称点G，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，求得G(3，4)，利用待定系数法求得直线CF的解析式为：y=13x+3，联立方程组，即可求解；∠分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求CF的解析式，联立方程可求解．（1）解：∠B(3，0)在抛物线y=−x2+bx+3上，∠y=−32+3b+3，解得b=2，∠所求函数关系式为y=−x2+2x+3；（2）解：∠作点A关于直线BC的对称点G，AG交BC于点H，过点H作HI∠x轴于点I，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，如图：令x=0，y=3；令y=0，−x2+2x+3=0，解得：x=3或x=-1，∠A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∠OB=OC，AB=4，∠△OCB是等腰直角三角形，则∠OCB=∠OBC=45°，∠∠HAB=∠OBC=∠AHI=∠BHI=45°，∠HI= AI=BI=12AB=2，∠H(1，2)，∠G(3，4)，设直线CG的解析式为：y=kx+3，把G(3，4)代入得：4=3k+3，解得：k=13，∠直线CF的解析式为：y=13x+3，∠223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=+⎪⎩，解得：53329xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以F点的坐标为(53，329)；∠当点F在x轴上方时，如图，延长CF交x轴于N，∠点B（3，0），点C（0，3），∠OB=OC=3，∠∠CBO=∠BCO=45°，∠点A（-1，0），∠OA=1，∠∠FCE+∠ACO=45°，∠CBO=∠FCE+∠CNO=45°，∠∠ACO=∠CNO，又∠∠COA=∠CON=90°，∠∠CAO∠∠NCO，∠CO NO AO CO=，∠313NO =，∠ON=9，∠点N（9，0），同理可得直线CF解析式为：y=-13x+3，∠-13x+3=-x2+2x+3，∠x1=0（舍去），x2=73，∠点F的横坐标为73；当点F在x轴下方时，如图，设CF与x轴交于点M，∠∠FCE+∠ACO=45°，∠OCM+∠FCE=45°，∠∠ACO=∠OCM，又∠OC=OC，∠AOC=∠COM，∠∠COM∠∠COA（ASA），∠OA=OM=1，∠点M（1，0），同理直线CF解析式为：y=-3x+3，∠-3x+3=-x2+2x+3，∠x1=0（舍去），x2=5，∠点F的横坐标为5，综上所述：点F的横坐标为5或73．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．8．(1)24y x=-+(2)232,39 P⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)∠y x =；∠4【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ，过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F ．证明DAB DEB ≌△△，求得点E 的坐标，进而求得直线DE 的解析式为11033y x =+，联立抛物线解析式即可求解； （3）∠根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为y x =；∠连接GH ，交EF 于点M ，则2GH GM =，过点G 作x 轴的垂线，交EF 于点N ，当GM 最大时，∠GFE面积最大，设()2,4G m m -+，则(),N m m ，根据()12GFE E F S GN x x =⋅-△以及二次函数的性质求得当12m =-时，∠GFE 面积最大，115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据∠的方法求得H 的坐标，根据中点公式求得M 的坐标，根据勾股定理求得GH ，由2GH GM =即可求解．（1）∠2y ax c =+过()2,0A -，()1,3D -∠403a c a c +=⎧⎨+=⎩ 解之得14a c =-⎧⎨=⎩∠抛物线解析式为24y x =-+（2）过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ，过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F ．由24y x =-+，令0y =，得122,2x x =-=，则()2,0BD B D y x x =-，即DF BF =，∠45DBF ∠=︒，∠45DBE ∠=︒又∠DB DB =，BD 平分ADP ，∠DAB DEB ≌△△，∠BA BE =，()2,0B∠()2,4E设直线DE 的解析式为y kx b =+，324k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得13103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∠直线DE 的解析式为11033y x =+ 联立2411033y x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩解得213,3329x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩则232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）∠直线EF 解析式为y x =．抛物线关于y 轴对称，所以旋转后图形关于x 轴对称， ∠对于抛物线上任意一点(),P a b 关于原点旋转90°后对应点为()1,P b a -在旋转后图形上，()1,P b a -关于x 轴对称的点()2,P b a 在旋转后图形上，∠(),P a b 与()2,P b a 关于y x =对称， ∠图形2关于y x =对称，∠直线EF 解析式为y x =故答案为：y x =∠GH如图，连接GH ，交EF 于点M ，则2GH GM =，过点G 作x 轴的垂线，交EF 于点N ，∠当GM 最大时，∠GFE 面积最大，又∠()12GFE E F S GN x x =⋅-△ 设()2,4G m m -+，则(),N m m ∠22117424G N GN y y m m m ⎛⎫=-=-+-=-++ ⎪⎝⎭ ∠当12m =-时，∠GFE 面积最大，115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭由∠可知115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y x =的对称点H 15142⎛⎫ ⎪⎝⎭，- ∴1313,88M ⎛⎫ ⎪⎝⎭8GM ∴=∠GH 的最大值为：2GH GM ==【点评】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键．9．(1)234y x x =-++(2)1m = (3)227或227【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式为1y x =+，然后证明∠PGQ ∠∠DAQ 得到PG =AD =4，再由点P 的坐标为()234m m m ++，-，点G 的坐标为（m ，m +1），得到23414PG m m m =-++--=，由此求解即可；（3）如图所示，过点F 作FH ∠AB 于H ，过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ，过点Q 作QM ∠KF 于M ，连接FG ，设2BF t QD s KD k ===，，，则42DF t =-，先证明∠HBF =∠HFB =45°，得到HB HF ==，再由（2）得1m =，求得BG =HG =，tan =2HF t FGH HG t=-∠；根据角平分线的定义和性质得到QM QD s ==，∠FGH =∠QKD ，再由111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△，推出()428k t s k -=+，则tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠，可以推出()222282168t t t t k t t---+==， 在Rt ∠FKD 中，22264DF DK KF +==，得到()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，由此即可求出t 的值即可得到答案．(1) 解：∠抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -，∠934440a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， ∠13a b =-⎧⎨=⎩， ∠抛物线解析式为234y x x =-++；(2)解：设直线AB 的解析式为1y kx b =+，∠11034k b k b -+=⎧⎨+=⎩， ∠11k b =⎧⎨=⎩， ∠直线AB 的解析式为1y x =+，∠PE AD ∥，∠∠PGQ =∠DAQ ，∠GPQ =∠ADQ ，又∠AQ =GQ ，∠∠PGQ ∠∠DAQ （AAS ），∠PG =AD =4，∠点P 的横坐标为m ，∠点P 的坐标为()234m m m ++，-，点G 的坐标为（m ，m +1），∠23414PG m m m =-++--=，∠2210m m -+=，解得1m =；(3)解：如图所示，过点F 作FH ∠AB 于H ，过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ，过点Q 作QM ∠KF 于M ，连接FG ，设2BF t QD s KD k ===，，，则42DF t =-，∠点B 的坐标为（-1，0），点A 的坐标为（3，4），∠BD =AD =4，∠∠ABD =45°，∠FH ∠AB ，∠∠HBF =∠HFB =45°， ∠HB HF ==，由（2）得1m =，∠点G 的坐标为（1，2），∠BE =GE =2，∠BG = ∠HG BG HB =-=， ∠tan =2HF t FGH HG t=-∠； ∠KQ 平分∠FKD ，QM ∠FK ，QD ∠DK ，∠FKD =2∠FGB ，∠QM QD s ==，∠FGH =∠QKD ， ∠111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△， ∠()111428222k t s sk -=⨯+， ∠()428k t s k-=+， ∠tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠， ∠4282t t k t-=+-， ∠()222282168t t t t k t t---+==， 在Rt ∠FKD 中，22264DF DK KF +==，∠()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭， ∠43222464288256641616464t t t t t t t -+-+-++=， ∠2344322161644642882566464t t t t t t t t -++-+-+=，∠432880240256640t t t t -+-+=，∠43210243280t t t t -+-+=，∠()()2221016143280t t t t t -++-+=，∠()()()()22827220t t t t t --+--=，∠()()32814420t t t t -+--=，∠()()()28122220t t t t t ⎡⎤-++--=⎣⎦，∠()()()()262220t t t t t --+--=⎡⎤⎣⎦，∠()()226220t t t -+-=， ∠点F 在BE 上，∠22BF t BE =≤=，∠1t ≤，∠2620t t -+=，解得3t =-3t =，∠()22262442168442t t t t t t k t t t -+-+-+-=====，∠2DK =，∠点K 的纵坐标为227或227．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．10．(1)223y x x =+-(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）【分析】（1）先求出A 、C 的坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC 的解析为3y x =--，根据AC 把△ABP 的面积分成1:2两部分，得到=12APQ ABQ S S △△：：，如图所示，过点P 作PD ∠x 轴于D ，过点Q 作DE ∠x 轴于E ， 先求出23EQ PD =，设点P 的坐标为（m ，223m m +-），则点D 的纵坐标为224233m m +-，点D 的坐标为（224133m m ---，224233m m +-），然后求出点B 的坐标，从而求出∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭，，证明∠BEQ ∠∠BDP ，得到224223313m m m ++=-，据此求解即可； （3）分两种情况当点N 在x 轴上方时，过点N 作NH ∠直线BC 于H ，过点H 作HE ∠y 轴于E ，HF ∠x 轴于F ，求出直线BC 的解析式为33y x =-，证明HN =HF ，四边形EOFH 是矩形，得到∠EHF =90°，OE =HF ，证明∠NEH ∠∠BFH 得到NE =BF ，设H 坐标为（m ，3m -3），则NE =BF =m -1，OE =3m -3ON =EN +OE =4m -4，CE =3m -3+3=3m ，点N 的坐标为（0，4m -4），NC =4m -1在Rt ∠NCH 中，由222NH CH CN +=，得到()()222221941m m m m m +-++=-，由此求解即可；当点N 在x 轴下方时，利用等腰三角形的性质求解即可．（1）解：∠OA =OC =3，∠点A 的坐标为（-3，0），点C 的坐标为（0，-3）， ∠9303b c c -+=⎧⎨=-⎩， ∠23b c =⎧⎨=-⎩， ∠抛物线解析式为223y x x =+-；（2）解：设直线AC 的解析式为1y kx b =+，∠11303k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∠113k b =-⎧⎨=-⎩， ∠直线AC 的解析为3y x =--，∠AC 把∠ABP 的面积分成1:2两部分，∠=12APQ ABQ S S △△：：或=2APQ ABQ S S △△：：1（此种情况不符合题意，舍去），如图所示，过点P 作PD ∠x 轴于D ，过点Q 作QE ∠x 轴于E ，∠=32APB ABQ S S △△：：，∠132122AB PD AB EQ ⋅=⋅， ∠23EQ PD =， 设点P 的坐标为（m ，223m m +-），则点Q 的纵坐标为224233m m +-， ∠点Q 的坐标为（224133m m ---，224233m m +-）， 令y =0，则2230x x +-=，解得1x =或3x =-，∠点B 的坐标为（1，0）， ∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭，， ∠PD ∠x 轴，QE ∠x 轴，∠DP QE ∥，∠∠BEQ ∠∠BDP ， ∠23BE QE BD PD ==， ∠224223313m m m ++=-， 解得2m =-或1m =-，∠点P 的坐标为（-2，-3）或（-1，-4）；（3）解：如图1所示，当N 在x 轴上方时，过点N 作NH ∠直线BC 于H ，过点H 作HE ∠y 轴于E ，HF ∠x 轴于F ， 设直线BC 的解析式为12y k x b =+，∠12203k b b +=⎧⎨=-⎩， ∠1233k b =⎧⎨=-⎩， ∠直线BC 的解析式为33y x =-，∠∠BNO +∠BCO =45°，∠∠NBH =45°，∠∠HNB =45°=∠HBN ，∠HN =HF ，∠EH ∠OE ，FH ∠OF ，OE ∠OF ，∠四边形EOFH 是矩形，∠∠EHF =90°，OE =HF ，∠∠NHE +∠BHE =90°=∠BHF +∠BHE ，∠∠NHE =∠BHF ，又∠∠HEN =∠HFB =90°，∠∠NEH ∠∠BFH （AAS ），∠NE =BF ，设H 坐标为（m ，3m -3），∠NE =BF =m -1，OE =3m -3∠ON =EN +OE =4m -4，CE =3m -3+3=3m ，∠点N 的坐标为（0，4m -4），NC =4m -1在Rt ∠NCH 中，222NH CH CN +=，∠()()222221941m m m m m +-++=-，∠222222191681m m m m m m m +-+++=-+，∠2460m m -=， 解得32m =或0m =（舍去）， ∠点N 的坐标为（0，2）；如图2所示，当点N 在x 轴下方的1N 点时，由等腰三角形的性质可知当1N B BN =（N 点为图1中的N ）时，1BN O BNO =∠∠，∠1OB NN ⊥，∠12ON ON ==，∠点1N 的坐标为（0，-2），综上所述，在y 轴上是否存在一点N （0，2）或（0，-2），使得45BCO BNO ∠+∠=︒．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．11．(1)抛物线解析式为y =x 2+2x -3，A 点坐标为（-3，0）；(2)P 点坐标为（32，32）；(3)以QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为5413． 【分析】（1）把B 点坐标代入抛物线解析式可求得a 的值，可求得抛物线解析式，再令y =0，可解得相应方程的根，可求得A 点坐标；（2）当点P 在x 轴上方时，连接AP 交y 轴于点B ′，可证△OBP ∠∠OB ′P ，可求得B ′坐标，利用待定系数法可求得直线AP 的解析式，联立直线y =x ，可求得P 点坐标；（3）过Q 作QH ∠DE 于点H ，由直线CF 的解析式可求得点C 、F 的坐标，结合条件可求得tan∠QDH ，可分别用DQ 表示出QH 和DH 的长，分DQ =DE 和DQ =QE 两种情况，分别用DQ 的长表示出∠QDE 的面积，再设出点Q 的坐标，利用二次函数的性质可求得∠QDE 的面积的最大值．(1)解：把B （1，0）代入y =ax 2+2x -3，可得a +2-3=0，解得a =1，∠抛物线解析式为y =x 2+2x -3，令y =0，可得x 2+2x -3=0，解得x =1或x =-3，∠A 点坐标为（-3，0）；(2)解：若y =x 平分∠APB ，则∠APO =∠BPO ，如图1，若P 点在x 轴上方，P A 与y 轴交于点B ′，由于点P 在直线y =x 上，可知∠POB =∠POB ′=45°，在∠BPO 和∠B ′PO 中POB POB OP OP BPO B PO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩'， ∠∠BPO ∠∠B ′PO （ASA ），∠BO =B ′O =1，设直线AP 解析式为y =kx +b ，把A 、B ′两点坐标代入可得301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∠直线AP 解析式为y =13x +1， 联立113y x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠P 点坐标为（32，32）； (3)解：如图2，作QH ∠CF ，交CF 于点H ，设抛物线交y 轴于点M ．∠CF 为y =23x −49， ∠可求得C （23，0），F （0，-49）， ∠tan∠OFC =OC OF =32， ∠DQ ∠y 轴，∠∠QDH =∠MFD =∠OFC ，∠tan∠HDQ =32， 不妨设DQ =t ，DH，HQ， ∠∠QDE 是以DQ 为腰的等腰三角形，∠若DQ =DE ，则S △DEQ =12DE •HQ =12×t2，。
专题四 二次函数综合题(含答案)2025年中考数学一轮题型专练(陕西)
专题四 二次函数综合题题型1 二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1 抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南 (1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2 以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南 (1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3 以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2 图形面积探究类型1 面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南 (1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2 面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南 (1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南 (1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3 特殊三角形问题探究类型1 等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一 几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二 代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2 直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3 等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南 第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4 三角形关系问题类型1 与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2 与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南 当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5 特殊四边形问题探究类型1 平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2 菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3 矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一 对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二 有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4 正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南 (1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6 角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南 以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1 二次函数的实际应用类型1 抛物线运动轨迹问题例1 解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2 以建筑为背景的“过桥”问题例2 解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问 解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3 以“悬挂线”为背景解决高度问题例3 解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问 解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2 图形面积探究类型1 面积、线段最值探究例1 解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问 1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。
(完整版)初三中考复习二次函数专题练习题含答案
二次函数专题练习题一、选择题1 抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( )A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝－2 D．直线x＝22．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上(下)或向左(右)平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．63．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A．2 B．4 C．8 D．164. 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )A．b2＞4acB．ax2＋bx＋c≥－6C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－15. 如图，观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：①a＋b＋c＞0；②2a＋b＞0；③b2－4ac＞0；④ac＞0.其中正确的是( )A．①② B．①④ C．②③ D．③④6. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )7. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以 1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )二、填空题8．若y＝(2－m)xm2－3是二次函数，且开口向上，则m的值为．9．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上，若x1>x2>1，则y1____y2.(填或“＝”）“>”“<”10．已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当－3≤x≤0时，它的最大值是____，最小值是____．11．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系h＝at2＋19.6t，已知足球被踢出后经过 4 s落地，则足球距地面的最大高度是____m.12. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．三、解答题13．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．14．用铝合金材料做一个形状如图①所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图②所示．(1)观察图象，当x为何值时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？(2)要使窗户的透光面积不小于 1 m2，则窗框的一边长x应该在什么范围内取值？15. 某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y(元)与种植面积m(亩)之间的函数关系如图①所示，小李种植水果所得报酬z(元)与种植面积n(亩)之间的函数关系如图②所示．(1)如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是____元，小张应得的工资总额是____元；此时，小李种植水果____亩，小李应得的报酬是____元；(2)当10<n≤30时，求z与n之间的函数关系式；(3)设农庄支付给小张和小李的总费用为W(元)，当10<m≤30时，求W与m之间的函数关系式．16. 如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，顶点为点P.(1)求抛物线的解析式；(2)动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H，当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标．答案：一、1. B2. B3. B4. C5. C6. A7. B二、8. －59. >10. 3 －511. 19.612. (1＋2，2)或(1－2，2)三、13. 解：(1)答案不唯一，如y＝x2－2x＋2(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b，b2＋c＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1，∴c＝1－2b，∵顶点纵坐标c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝(b－1)2＋1，∴当b＝1时，c＋b2＋1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x14. 解：(1)由图象可知当x＝1时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是 1.5 m2(2)由题意可设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋1.5，将(0，0)代入可求a＝－1.5，∴解析式为y＝－1.5(x－1)2＋1.5，令y＝1，则－1.5(x－1)2＋1.5＝1，解得x1＝1－33，x2＝1＋33，由图象可知，当1－33≤x≤1＋33时，透光面积不小于 1 m215. (1) 140 2800 10 1500(2) z＝120n＋300(10<n≤30)(3)当10<m≤30时，y＝－2m＋180，∵m＋n＝30，又∵当0≤n＜10时，z＝150n；当10≤n＜20时，z＝120n＋300，∴当10<m≤20时，10≤n＜20，∴W＝m(－2m＋180)＋120n＋300＝m(－2m＋180)＋120(30－m)＋300＝－2m2＋60m＋3900；当20<m≤30时，0≤n＜10，∴W＝m(－2m＋180)＋150n＝m(－2m＋180)＋150(30－m)＝－2m2＋30m＋4500，∴W＝－2m2＋60m＋3900（10<m≤20）－2m2＋30m＋4500（20<m≤30）16. 解：(1)y＝－12x2＋x＋4(2)根据题意可设ON＝OM＝t，则MH＝－12t2＋t＋4，∵ON∥MH，∴当ON＝MH时，四边形OMHN为矩形，即t＝－12t2＋t＋4，解得t＝22或t＝－22(不合题意，舍去)，把t＝22代入y＝－12t2＋t＋4得y＝22，∴H(22，22)。
二次函数和圆练习(含答案)(优选.)
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二次函数和圆一．解答题（共15小题）1．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A 两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题；动点型；数形结合．分析：（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数．（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值．（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C 点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC 的长，由此得解．解答：解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣，∴OA=1，OB=，∴=∴A的坐标是（0，1）∠ABO=30°．（2）∵△CDE为等边△，点A（0，1），∴tan30°=，∴，∴D的坐标是（﹣，0），E的坐标是（，0），把点A（0，1），D（﹣，0），E（，0）代入 y=a（x﹣m）2+n，解得：a=﹣3．（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x 轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足．∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30°∴∠BCE=90°，∠ECN=90°∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四边形MPCN为矩形，∵MP=MN∴四边形MPCN为正方形∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）．∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ．∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°∴∠EMQ=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（﹣3）a ∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2 a∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a，∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣∴E（﹣4a﹣，0）∴C（﹣3a﹣，﹣3a）设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）2﹣3a∵E在该抛物线上∴a（﹣4a﹣+3a+）2﹣3a=0得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1∵a＜0，∴a=﹣1∴AF=2，CF=2，∴AC=4∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切．点评：这道二次函数综合题目涉及的知识点较多，有：待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识．难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键．2．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A （2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．分析：（1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解．（2）①由于OP是⊙C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较⊙C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与⊙C的位置关系．②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）．在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被⊙C截得的弦最长（为直径），此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解．解解：（1）将点A（2，0）和点B（1，﹣）分别代入y=x2+mx+n中，得：答：，解得：，∴抛物线的解析式：y=x2﹣1；（2）①将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：x2﹣1=﹣+2t，x=，∴P（，﹣+2t），∴圆心C（，﹣+t），∴点C到直线l的距离：﹣+t﹣（﹣1）=t+；而OP2=8t+1+（﹣+2t）2，得OP=2t+，半径OC=t+；∴直线l与⊙C始终保持相切．②Ⅰ、当圆心C在直线l上时，﹣+t=﹣1+3t，t=；此时直线l与⊙C相交；当0＜t≤时，C到直线l的距离：﹣+t﹣（﹣1+3t）=﹣2t＜t+，∴直线l与⊙C相交；当t＞时，C到直线l的距离：﹣1+3t﹣（﹣+t）=2t﹣，若直线l与⊙C相交，则：2t﹣＜t+，t＜；综上，当0＜t＜时，直线l与⊙C相交；Ⅱ、若a2最大，则a为⊙C的直径，此时点C在直线l上，由Ⅰ知：此时t=，半径OC=t+=，直径a=，∵0＜t＜时，圆心C到直线l的距离为d=|2t﹣|，又半径为r=t+，∴a2=4（r2﹣d2）=4[（t+）2﹣|2t﹣|2]=﹣12t2+15t，∴t=时，a的平方取得最大值为．点评：该题是函数的动点问题，其中涉及直线与圆的位置关系等综合知识；在处理此类问题时，要注意寻找关键点以及分段进行讨论，以免出现漏解．3．（2012•南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B 运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度．当PQ⊥AD时，过点O作OF⊥AD于点F，此时四边形OFQP、OFAE均为矩形．则在Rt△ODF 中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；（3）因为OB为定值，欲使△ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可．按照这个思路解决本题．如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而△ROB 的面积最大．联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），∴，解得∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x．（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．∵AD为切线，∴AC⊥AD，∴AD∥OB．过O点作OF⊥AD于F，∴四边形OFAE是矩形，∵tan∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴AE=OA•sin∠AOB=4×=2.4，OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×=3．当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．过O点作OF⊥AD于F，则在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，由勾股定理得：DF===1.8，∴t=1.8秒；（3）如答图2，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．∵tan∠AOB=，∴直线OB的解析式为y=x，由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b．∵点R既在直线l上，又在抛物线上，∴x2﹣2x=x+b，化简得：2x2﹣11x﹣4b=0．∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切），∴判别式△=0，即112+32b=0，解得b=﹣，此时原方程的解为x=，即x R=，而y R=x R2﹣2x R=∴点R的坐标为R（，）．点评：本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图形与性质、待定系数法求函数解析式、一元二次方程根的判别式、圆、勾股定理和解直角三角形等重要知识点．难点在于第（3）问，判定何时△ROB的面积最大是解决问题的关键．本题覆盖知识面广，难度较大，同学们只有做到基础扎实和灵活运用才能够顺利解答．本题第（3）问亦可利用二次函数极值的方法解决，同学们有兴趣可深入探讨．4．（2012•荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题；分类讨论．分析：（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE 外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．解答：（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．∴y=﹣x2+2x+3．则点B（1，4）．（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE==3．在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线．（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．②DE为短直角边时，P2在x轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9 即：P2（9，0）；③DE为长直角边时，点P3在y轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．∴y=﹣2x+6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHG∽△FHM，得，即．解得HK=2t．∴S阴=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t．情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即，解得IQ=2（3﹣t）．∴S阴=IV•AQ=（3﹣t）2=t2﹣3t+．综上所述：s=．点评：该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．5．（2012•济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M 的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），∴，解得a=1，b=4，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=．在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==．如答图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，∴△BO1C为等腰直角三角形，∴⊙O1的半径O1B=BC=．（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，∴顶点P坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为x=﹣2．又∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），可知点A、B关于对称轴x=﹣2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（﹣4，3）．又∵点M为BD中点，B（﹣1，0），∴M（，），∴BM==；在△BPC中，B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．∵△BMN∽△BPC，∴，即，解得：BN=，MN=．设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，，，∴点N的坐标为（，）或（，）．点本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点评：在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标．6．（2011•遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，∴，解得：，∴y=x2﹣x+3；∴点C的坐标为：（0，3）；（2）假设存在，分两种情况：①当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°，如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，∵A（3，0），B（4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A点坐标为（3，0），∴D点的坐标为：（0，3），∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，∴x 2﹣3x=0，解得：x=0或3，∴y=3，y=0（不合题意舍去），∴P点坐标为（0，3），∴点P、C、D重合，②当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，∴∠DBF=45°，∴DF=4，∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：∴1=4k+b，b=5，∴k=﹣1，∴y=﹣x+5，∴y=x2﹣x+3=﹣x+5，∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1，x2=4（舍），∴y=6，∴P点坐标为（﹣1，6），∴点P的坐标为：（﹣1，6），（0，3）；（3）如图3：作EM⊥AO于M，∵直线AB的解析式为：y=x﹣3，∴tan∠OAC=1，∴∠OAC=45°，∴∠OAC=∠OAF=45°，∴AC⊥AF，∵S△FEO=OE×OF，OE最小时S△FEO最小，∵OE⊥AC时OE最小，∵AC⊥AF∴OE∥AF∴∠EOM=45°，∴MO=EM，∵E在直线CA上，∴E点坐标为（x，﹣x+3），∴x=﹣x+3，解得：x=，∴E点坐标为（，）．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．7．（2011•襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解．解答：（1）证明：连接O′C，∵CD是⊙O的切线，∴O′C⊥CD，∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA=∠CAD，∵O′A=O′C，∴∠CAB=∠O′CA，∴∠CAD=∠CAB；（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB=90°，∵OC⊥AB，∴∠CAB=∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴，即OC2=OA•OB，∵tan∠CAO=tan∠CAD=，∴AO=2CO，又∵AB=10，∴OC2=2CO（10﹣2CO），∵CO＞0，∴CO=4，AO=8，BO=2，∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，∴c=4，由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4；②设直线DC交x轴于点F，∴△AOC≌△ADC，∴AD=AO=8，∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴，∴8（BF+5）=5（BF+10），∴BF=，F（，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m，则，解得：，∴直线DC的解析式为y=﹣x+4，由y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+3）2+得顶点E的坐标为（﹣3，），将E（﹣3，）代入直线DC的解析式y=﹣x+4中，右边=﹣×（﹣3）+4==左边，∴抛物线顶点E在直线CD上；（3）存在，P1（﹣10，﹣6），P2（10，﹣36）．①∵A（﹣8，0），C（0，4），∴过A、C两点的直线解析式为y=x+4，设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=x+b，把B（2，0）代入得b=﹣1，∴直线PB的解析式为y=x﹣1，∴，解得，（舍去），∴P1（﹣10，﹣6）．②求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线，可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，与求P1同法，可求出x1=﹣8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=﹣36．∴P2的坐标（10，﹣36）．点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．8．（2011•潍坊）如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E 的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（3）分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数．解答：解：（1）令y=0，则﹣（x+m）（x﹣3m）=0，解得x1=﹣m，x2=3m；令x=0，则y=﹣（0+m）（0﹣3m）=m．故A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：解得，k=，b=m．∴直线ED的解析式为y=mx+m．将y=﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y=﹣（x﹣m）2+m．∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．∵OD=，OC=1，∴CD=2，D点在圆上又∵OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．∴∠EDC=90°∴直线ED与⊙C相切．（3）当0＜m＜3时，S△AED=AE．•OD=m（3﹣m）S=﹣m2+m．当m＞3时，S△AED=AE．•OD=m（m﹣3）．即S=m2_ m．S关于m的函数图象的示意图如右：点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．注意分析题意分情况讨论结果．9．（2011•邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（﹣，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C．（1）求∠ACB的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB的度数．（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后把A，B两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式．（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标．解答：解：（1）∵以AB为直径的圆恰好经过点C，∴∠ACB=90°．（2）∵△AOC∽△COB，∴OC2=AO•OB，∵A（﹣，0），点C（0，3），∴，OC=3，又∵CO2=AO•OB，∴，∴OB=4，∴B（4，0）把 A、B、C三点坐标代入得．（3）①OD=DB，如图：D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H，则H是OB中点．DH=，，∴D，②BD=BO，如图：过D作DG⊥OB，垂足是G，∴==，∵OB=4，CB=5，∴CD=BC﹣BD=BC﹣OB=5﹣4=1，∴=，∴=，=，∴OG=，DG=，∴D（，）．点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据圆周角的性质求出角的度数．（2）用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．10．（2011•泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．（1）当点A的坐标为（，p）时，①填空：p=1，m=，∠AOE=60°．②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由．考点：二次函数综合题；一次函数综合题；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；等腰梯形的判定；切线的性质；解直角三角形．专题：综合题．分析：（1）由点A（，p）在直线l上，得到p=1；点A在直线y=mx上，得到m=；在Rt△OBA中，OB=1，AB=，OA=，得到∠AOE=60°；（2）连接TM，ME，EN，ON，根据切线的性质得到QE⊥x轴，QT⊥OT，由QE⊥MN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，则四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME；同时有△QEN为等边三角形，则∠NQE=60°，∠QNF=30°；在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，可求出∠TQE=120°，于是有∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，即T、Q、N三点共线，得到TN为直径；得到∠TMN=90°，得到TN∥ME，所以∠MTN=60°=∠TNE，得到以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（3）连DM，ME，根据垂径定理和圆周定理的推论得到∠DME=90°，DM垂直平分MN，所以Rt△MFD∽Rt△EFM，得到MF2=EF•FD，设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，令y=1，得到x1=h﹣，x2=h+，则MF=MN=，得到（）2=1•（k﹣1），解得a=﹣1．解解：（1）∵点A的坐标为（，p），点A在直线l上，答：∴p=1，即点A坐标为（，1）；而点A在直线y=mx上，∴1=m，解得m=；在Rt△OBA中，OB=1，AB=，∴OA=，∴∠AOB=30°，∴∠AOE=60°．故答案为1，，60°；（2）连接TM，ME，EN，如图，∵OE和OT是⊙Q的切线，∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°，而l∥x轴，∴QE⊥MN，∴MF=NF，又∵当r=2，EF=1，∴QF=2﹣1=1，∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME，∴NQ=NE，即△QEN为等边三角形，∴∠NQE=60°，∠QNF=30°，在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，∴∠TQE=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，∴T、Q、N三点共线，即TN为直径，∴∠TMN=90°，∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE，∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化．理由如下：连DM，ME，如图，∵DE为直径，∴∠DME=90°，而DE垂直平分MN，∴Rt△MFD∽Rt△EFM，∴MF2=EF•FD，设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，又∵M、N的纵坐标都为1，当y=1，a（x﹣h）2+k=1，解得x1=h﹣，x2=h+，∴MN=2，∴MF=MN=，∴（）2=1•（k﹣1），∵k＞1，∴=k﹣1，∴a=﹣1．点评：本题考查了抛物线的顶点式：y=a（x﹣h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；也考查了等腰梯形的判定和三角形相似的判定与性质以及垂径定理．11．（2011•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，0），以点A为圆心的圆交x轴于O、B两点，直线y=x﹣3交x轴于点C，交y轴于点D，过A、C、D 三点作一条抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线CD与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）若点M以每秒4个单位长度的速度由点B沿x轴向点C运动，点N以每秒1个单位长度的速度由点C沿直线y=x﹣3向点D运动．设运动时间为t（t≤4），试问t为何值时△CMN与△CDB相似；（4）在抛物线上是否存在点P，使△APC的面积是△BCD面积的倍？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）根据直线CD的解析式求出点C、D的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式解答；（2）过圆心A作AE⊥CD于点E，利用勾股定理求出CD的长度，再根据∠DCO 的正弦值求出AE的长度，与⊙A的半径相比较，根据直线与圆的位置关系即可得出CD和⊙A的位置关系；（3）根据圆的对称性求出点B的坐标，并求出BC的长度，然后用t表示出CM、CN，再分①CM与CB是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；②CM与CD是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解（注意求出的t值要在t的取值范围内）；（4）首先求出△BCD的面积，通过三角形的面积公式，易求得P点纵坐标的绝对值，然后分①点P在x轴下方，点P的纵坐标是负数，代入抛物线的解析式进行计算求出点P的横坐标，从而得解，②点P在x轴上方，点P的纵坐标是正数，代入抛物线的解析式进行计算求出点P的横坐标，从而得解．解答：解：（1）当y=0时，x﹣3=0，解得x=4，当x=0时，y=﹣3，所以，点C（4，0），D（0，﹣3），设过A、C、D三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线解析式为y=x2+x﹣3；（2）如图，过圆心A作AE⊥CD于点E，∵C（4，0），D（0，﹣3），∴CD==5，∵A（﹣6，0），∴AC=4﹣（﹣6）=10，sin∠DCO==，即=，解得AE=6，∵⊙A的圆心为（﹣6，0）且经过点O，∴⊙A的半径为6，∴直线CD与⊙A相切；（3）根据圆的对称性，圆心为A（﹣6，0）的⊙A经过点O（0，0）与B，∴点B的坐标为（﹣12，0），∴CB=4﹣（﹣12）=4+12=16，根据题意，CM=CB﹣4t=16=4t，CN=t，①CM与CB是对应边时，∵△CMN∽△CBD，∴=，即=，解得t=秒；②CM与CD是对应边时，∵△CMN∽△CDB，∴=，即=，解得t=秒；∵与都小于4，∴t=或秒时，△CMN与△CDB相似；（4）存在．理由如下：∵BC=16，点D到BC的距离为3，∴S△BCD=×16×3=24，设点P到AC的距离为h，∵AC=10（已求），∴×10h=×24，解得h=3，①点P在x轴下方，点P的纵坐标是﹣3，所以，x2+x﹣3=﹣3，整理得，x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2，所以，点P的坐标为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3），②点P在x轴上方，点P的纵坐标是3，所以，x2+x﹣3=3，整理得，x2+2x﹣48=0，解得x1=﹣8，x2=6，所以，点P的坐标为（﹣8，3）或（6，3），综上所述，存在点P（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣8，3）或（6，3），使△APC 的面积是△BCD面积的倍．点评：本题是对二次函数的综合考查，主要涉及到待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，直线与圆的位置关系的判定，以及相似三角形的对应边成比例的性质，（3）题要注意根据对应边的不同分两两种情况讨论，（4）要分点P在x轴下方与上方两种情况讨论，本题难度不是很大，但运算较为复杂，希望同学们计算时要认真仔细．12．（2012•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为，求点M的坐标．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；分类讨论．分析：（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x+1）（x﹣2），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C 下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．解答：解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1，。
中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案
中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣7＜y＜﹣4B．﹣7＜y≤﹣3C．﹣7≤y＜﹣3D．﹣4＜y≤﹣3 2．已知二次函数y=3(x−2)2+ℎ，当自变量x分别取-2，2，5时，对应的值分别为y1，y2和y 3则y1，y2和y3的大小关系正确的是()A．y3<y2<y1B．y1<y2<y3C．y2<y3<y1D．y3<y1<y23．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数ℎ=3.5t−4.9t2（的单位：秒，h的单位：米）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A．0.71B．0.70C．0.63D．0.364．对于二次函数y=−14(x+2)2−1，下列说法正确的是（）A．当x>−2时，y随x的增大而增大B．当x=−2时，y有最大值−1C．图象的顶点坐标为(2，−1)D．图象与x轴有两个交点5．抛物线y=2x2−12x+22的顶点是（）A．(3,−4)B．(−3,4)C．(3,4)D．(2,4)6．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）下列结论：①ab＜0，②b2-4ac＞0，③a-b+c＜0，④c=1，⑤当x＞－1时，y＞0.其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④8．关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（）A．当x＞-2时，y随x增大而减小B．当x＞-2时，y随x增大而增大C．当x＞2时，y随x增大而减小D．当x＞2时，y随x增大而增大9．如图，双曲线y= k x经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A．a+b=k B．2a+b=0C．b＜k＜0D．k＜a＜010．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(−1，0)，(3，0)两点，则下列判断中，不正确的是（）A．图象的对称轴是直线x=1B．当x>2时，y随x的增大而减小C ．当−1<x <1时D ．一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根是−1和311．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)在y =−x 2+2x +m 的图象上，下列说法错误的是（ ）A ．当m >0时，二次函数y =−x 2+2x +m 与x 轴总有两个交点B ．若x 2=2，且y 1>y 2，则0<x 1<2C ．若x 1+x 2>2，则y 1>y 2D ．当−1≤x ≤2时，y 的取值范围为m −3≤y ≤m12．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是：h ＝30t ﹣5t 2这个函数图象如图所示，则小球从第3s 到第5s 的运动路径长为（ ）A ．15mB ．20mC ．25mD ．30m二、填空题(共6题；共6分)13．在二次函数 y =−x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 、n 的大小关系为 m n ．（填“＜”，“＝”或“＞”）14．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个）15．二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象与 x 轴相交于 (−1, 0) 和 (5, 0) 两点，则该抛物线的对称轴是 .16．函数y= {x 2+2x −3(x <0)x 2−4x −3(x ≥0) 的图象与直线y=﹣x+n 只有两个不同的公共点，则n 的取值为 ．17．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx+1，当﹣2≤x≤1时最大值为4，则m 的值为 ． 18．若函数y=（m ﹣2）x m 2−2+3是二次函数，则m=三、综合题(共6题；共70分)19．已知抛物线 y =a(x −4)2+2 经过点 (2,−2) ．（1）求a 的值；（2）若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<4)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．20．宁波地区最近雾霾天气频繁，使得空气净化器得以畅销，某商场代理销售某种空气净化器，其进价是500元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是1000元/台时，可售出50台，且售价每降低20元，就可多售出5台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件.（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？22．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中。
中考数学总复习《圆与二次函数结合型》专题训练-附答案
中考数学总复习《圆与二次函数结合型》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，二次函数()20y x bx c a =-++≠的图像经过点()1,0A -，()3,0B 交y 轴于点C ，点E 为该二次函数图象上第一象限内一动点．(1)b =__________，c =__________； (2)如图①，连接AE 与BC 相交于点P ，当PBEPACSS-的值最大时，求点E 的坐标；(3)如图①，过点E 作EH x ⊥轴于H 点，交直线BC 于点F ，以EF 为直径的M 与BC 交于点R ，当EFR 周长最大时，求点E 的坐标．2．已知半径为5的A 与平面直角坐标系交于O ，B 两点，二次函数2y ax bx c =++的图像顶点C 在A 上并经过O ，B 两点，且8OB =，如图1所示．(1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连结OC ，若点D 为A 上一点，当30BOD ∠=︒时，求线段OD 的长；(3)如图3，连结OC ，若A 上有一点N ，连结BN 使BN OC ∥，连结ON 并与CA 的延长线交于点M ，求:OM MN 的值．3．如图，已知二次函数2449y x =-的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，C 的半径为5，P 为C 上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B________，C________．（2）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值 ________．（3）是否存在点P，使得PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝12x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，P A，PC，若152PACS△＝，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作①M，过点P作PE①x轴，垂足为D，交①M于点E．点P 在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．5．如图，二次函数y＝﹣56x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB①AC．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD①AB，与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，连接AE，请判断①ADE的形状，并说明理由；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请直接写出k的值．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数21y x=-的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求22+的最大值；PA PB（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．7．如图，二次函数223y ax ax a=--（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A 的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．若以BD为直径的①M经过点C．（1）请直接写出C，D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求抛物线的函数表达式；（3）①M上是否存在点E，使得①EDB=①CBD？若存在，请求出所满足的条件的E的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，二次函数23y ax ax b =-+（a 、b 为参数，其中a<0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）若10b a =-，求tan CBA ∠的值（结果用含a 的式子表示）；（2）若ABC ∆是等腰三角形，直线AD 与y 轴交于点P ，且:2:3AP DP =．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知4b a =-，E 、F 分别是CA 和CB 上的动点，且35EF AB =，若以EF 为直径的圆经过点C ，并交x 轴于M 、N 两点，求MN 的最大值．9．如图，y 关于x 的二次函数()()333y x m x m m=-+-图象的顶点为M ，图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于点D ．以AB 为直径作圆，圆心为点C ，定点E 的坐标为()3,0-，连接ED ．（0m >）(1)求用m 表示的A 、B 、D 三点坐标；(2)当m 为何值时，点M 在直线ED 上？判定此时直线ED 与圆的位置关系； (3)当m 变化时，用m 表示AED △的面积．10．如图，抛物线22y ax x c =-+经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上的一个动点，求使APBABCSS=的点P 的坐标；(3)M 是过A 、B 、C 三点的圆，连接MC 、MB 、BC ，求劣弧CB 的长．11．如图，二次函数()21y x a =-+与x 轴相交于点A ，B ，点A 在x 轴负半轴，过点A 的直线y x b =+交该抛物线于另一点D ，交y 轴正半轴于点H ．(1)如图1，若1OH =，求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P 是线段HD 上一点，当113AH AD AP+=时，求点P 的坐标（用含b 的代数式表示）；(3)如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y 轴于点C ，过A ，B ，C 三点作Q ，经过点Q 的直线y hx q =+交Q 于点F ，I ，交抛物线于点E ，G ．当EI GI FI =+时，求22h 的值．12．如图（1），二次函数25y ax x c =-+的图像与x 轴交于()4,0A -，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C -．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E '是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E '不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E '，线段AE 的对应线段为A E ''，连接E C '，A A '，A A '的延长线交直线E C '于点N ，求AA CN'的值．13．如图，y 关于x 的二次函数3()(3)3y x m x m m=-+-图象的顶点为M ，图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于D 点．以AB 为直径作圆，圆心为C ．定点E 的坐标为(3,0)-，连接ED ．(0)m >（1）写出A 、B 、D 三点的坐标；（2）当m 为何值时M 点在直线ED 上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m 变化时，用m 表示AED △的面积S ，并在给出的直角坐标系中画出S 关于m 的函数图象的示意图．14．抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，(3,0)B 和(0,3)C -（1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．15．如图，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()3,0A -，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ，直线y x =-与该抛物线交于E ，F 两点．(1)求点C 坐标及抛物线的解析式．(2)P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH EF ⊥于点H ，求PH 的最大值．(3)以点C 为圆心，1为半径作圆，过点B 作C 的切线切点为点D ，求切点D 的坐标．参考答案： 1．(1)2，3(2)点E 的坐标为()1,4(3)点E 的坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)()21482y x =--+ (2)433+或433-(3)563．（1）()3,0 ()0,4-；（2）552+；（3）1122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,2--或4535,455⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或4535,455⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭4．（1）y ＝12x 2﹣x ﹣4；（2）P (3，﹣52)；（3）没有变化，2 5．（1）y ＝﹣56x 2﹣376x ﹣11；（2）①ADE 是等腰三角形，理由见解析；（3）k 的值为﹣12或26．（1）245y x x =-++；（2）38417+；（3）25． 7．（1）C 的坐标为（0，﹣3a ），D 的坐标为（1，﹣4a ）；（2）223y x x =-++；（3）（4，1）、（85，15-）． 8．（1）tan①CBA=－2a ；（2）26364622y x x =-++；（3）MN 的最大值=22 9．(1)()0A m -，，()30B m ，和()03D m ，(2)当1m =时，点M 在直线ED 上；直线ED 与C 相切(3)()()223330322333322m m m S m m m ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩10．(1)2=23y x x --(2)()1,0-或()4,5(3)52π11．(1)223y x x =-- (2)点P 的坐标为22223,11b b b b b b ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭(3)2220113h =-12．(1)254y x x =--- 1b(2)不存在(3)113．（1）(,0)A m -，(3,0)B m 和(0,3)D m ；（2）当1m =时，M 点在直线DE 上，直线ED 与C 相切（3）当03m <<时233322S m m =-+，当3m >时2_33322S m m =． 14．（1）2=23y x x --（2）(1,6)-（3）1172+或1172-+ 15．(1)()0,3C - 223y x x =+-(2)2128 (3)()1,3-或412,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
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与三角函数、圆的关系专题练习（含答案）一、与圆的问题1．（2018日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．2、（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．3、（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M 的坐标；（2）若直线AD 与⊙M 相切于点A ，交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式；（3）在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ∥y 轴，交直线AD 于点E ．若以PE 为半径的⊙P 与直线AD 相交于另一点F ．当EF ＝45时，求点P 的坐标．4.（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线y =ax 2+bx -2（a ≠0）与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y =-x 与该抛物线交于E ，F 两点． （1）求抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点M ，使得△BCM是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．二、三角函数的关系1、(2019·泰州)如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数图象的顶点坐标为(4,－3),该图象与x 轴相交于点A 、B,与y 轴相交于点C,其中点A 的横坐标为1. (1)求该二次函数的表达式; (2)求tan ∠ABC.xy C BAO2．（2019•滨州）如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠PAD 的值．答案与提示一、与圆的问题1、【分析】本题虽未直接与圆无关，但BC 和∠BAC 一定，可根据同弧所对的圆周角相等，解决此问题，因此转化成圆的问题去解决。
解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x +1）（x ﹣3），将C （0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣13，∴抛物线的解析式为y=﹣13x 2+23x +1．（2）过点P 作PD ⊥x ，交BC 与点D ． 设直线BC 的解析式为y=kx +b ，则，解得：k=﹣13，∴直线BC 的解析式为y=﹣13x +1．设点P （x ，﹣13x 2+23x +1），则D （x ，﹣13x +1）∴PD=（﹣13x 2+23x +1）﹣（﹣13x +1）=﹣13x 2+x ，∴S △PBC =12OB•DP=12×3×（﹣13x 2+x ）=﹣12x 2+32x ．又∵S△PBC =1，∴﹣12x2+32x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，43）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=5（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣5）．2、解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5 ∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1 ∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5 ∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5 ∴S△ABC＝12AB•OC＝12×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝12AB•MH＝12×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD ∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2 ∴∵∠PBD＝∠ABP ∴△PBD∽△ABP ∴∴PD＝12AP ∴PC+12P A＝PC+PD ∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+12P A＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+12P A413、解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝12＝tanα，则sinα＝15，cosα＝25，AC＝20，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝34，故抛物线的表达式为：y＝34x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝12EF＝25，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，34x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝34x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝143或2，则点P（143，193）或（2，1）．4.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，∴932020a b a b --=+-=⎧⎨⎩，，∴2,34,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y =23x 2+43x -2；（2）如图1，过点P 作直线l ，使l ∥EF ，过点O 作OP '⊥l ，当直线l 与抛物线只有一个交点时，PH 最大，等于OP '，∵直线EF 的解析式为y =-x ，设直线l 的解析式为y =-x +m ①， ∵抛物线的解析式为y =23x 2+43x -2②， 联立①②化简得，23x 2+73x -2-m =0， ∴∆=499-4⨯23⨯(-2-m )=0，∴m =9724-，∴直线l 的解析式为y =-x 9724-， 令y =0，则x =9724-，∴M （9724-，0），∴OM =9724-， 在Rt △OP 'M 中，OPPH 最大（3）①当∠CMB =90°时，如图2，∴BM 是⊙O 的切线， ∵⊙C 半径为1，B （1，0），∴BM 2∥y 轴，∴∠CBM 2=∠BCO ，M 2（1，-2），∴BM 2=2， ∵BM 1与BM 2是⊙C 的切线，∴BM 1=BM 2=2，∠CBM 1=∠BCM 2，∴∠CBM 1=∠BCO ，∴BD =CD ，在Rt △BOD 中，OD 2+OB 2=BD 2，∴OD 2+1=(2-OD )2，∴OD =34，∴BD =54，∴DM 1=34， 过点M 1作M 1Q ⊥y 轴，∴M 1Q ∥x 轴，∴△BOD ∽△M 1QD ， ∴1OB M Q =OD DQ =1BD DM ，∴11M Q =34DQ =5434，∴M 1Q =35，DQ =920， ∴OQ =34+920=65，∴M 1（35-，65-）， ②当∠BCM =90°时，如图3，∴∠OCM 3+∠OCB =90°， ∵∠OCB +∠OBC =90°，∴∠OCM 3=∠OBC ， 在Rt △BOC 中，OB =1，OC =2，∴tan ∠OBC =OCOB=2，∴tan ∠OCM 3=2， 过点M 3作M 3H ⊥y 轴于H ，在Rt △CHM 3中，CM 3=1，设CH =m ，则M 3H =2m ， 根据勾股定理得，m 2+(2m )2=1，∴m，∴M 3H =2m，OH =OC -CH =2-， ∴M 3（--2）， 而点M 4与M 3关于点C 对称，∴M 4，-2）， 即满足条件的点M 的坐标为（35-，65-）或（1，-2）或（--2，-2）．二、三角函数的关系1、解：(1)因为二次函数图像的顶点坐标为(4,－3),设该二次函数表达式为y＝a(x－4)2－3,因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为(1,0),把A的坐标代入y＝a(x－4)2－3,解得a＝13,所以y＝13(x－4)2－3;(2)令x＝0,得y＝73,所以C(0,73),OC＝73,令y＝0,得,x1＝1,x2＝7,所以B(7,0),OB＝,所以在Rt△OBC中,tan∠ABC＝OC OB ＝13;2、解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），当y＝0时，0＝﹣18x2+12x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得14kb=-⎧⎨=⎩，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣18t2+12t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣18t2+12t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣18t2+32t，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝22PN＝22（﹣18t2+32t）＝t＝﹣216（t﹣6）2+924，∴当t＝6时，PH取得最大值24，此时点P的坐标为（6，52），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，52）92②当点P到直线AD 的距离为524时，如右图②所示，则t＝524，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，92），P2的坐标为（10，﹣72），当P1的坐标为（2，92），则P1A＝＝172，∴sin∠P1AD＝＝534；当P2的坐标为（10，﹣72），则P2A＝227(100)(4)2-+--＝252，∴sin∠P2AD＝524252＝210；由上可得，sin∠P AD的值是534或2．。