对数公式的推导(全)
对数的性质及推导
对数的性质及推导用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数*表示乘号，/表示除号定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-lo g(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2. MN=M*N 由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)推导如下N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)]综合两式可得N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)] 所以b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)性质二：log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]} 再由换底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]公式三: log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下: 由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a)还可变形得: log(a)(b)*log(b)(a)=1三角函数的和差化积公式sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2三角函数的积化和差公式sinα ·cosβ＝1/2 [sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα ·sinβ＝1/2 [sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα ·cosβ＝1/2 [cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα ·sinβ＝-1/2 [cos（α＋β）－cos（α－β）]公式分类公式表达式乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h。
对数函数导数推导过程
对数函数导数推导过程
现在我们来推导对数函数的导数，首先我们需要定义一下对数函数：
对数函数是比较特殊的一类函数，其核心形式可以表示为y=loga(x)，
其中a为底数，可以是10、E（2.71）、2等不同值，x为自变量。
接下来，我们开始推导对数函数的导数。
首先，我们用求导的方法求导：我们以y=log10x的函数为例，首先开始求他的导数：
假设：y=f(x)，f(x)=log10x
由导数的定义，可得：
f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h
即：
f'(x)=lim(h→0)(log10(x+h)-log10x)/h
令h=ln10；
即：
f'(x)=lim(h→0)log10(1+h/x)/h
令h/x=z，则：
f'(x)=lim(z→0)[log10(1+z)]/[(ln10)*z]
联立微分公式1/u*u'(v)：
即：
f'(x)=(ln10)[log10(1+z)]/[z(1+z)]
令z ＝ 0;
即：
f'(x)=(ln10)/x
最终可得对数函数导数的推导结果为：
f'(x)=(ln10)/x
那么我们就完成了对数函数的求导推导过程，其中ln10为常数。
最后，总结一下我们推导的对数函数的导数结果，我们知道我们求导的结果是：
f'(x)=(ln10)/x 。
通过这次推导，我们对对数函数的导数有了更深入的认识，也明白了它的数学原理和求解方法，希望能够给大家带来帮助和启发。
对数的性质及推导
对数的性质及推导定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)基本性质：1、a^log(a)(b)=b2、log(a)(a)=13、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n （注：下文^均为上标符号，例：a^1即为a）推导1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)4、与（3）类似处理MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)5、与（3）类似处理M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n)得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 再由换底公式log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导完）1.对数函数的图象都过(1,0)点.2.对于y=log(a)(n)函数, ①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着 a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1. 3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a) 推导如下：N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)] 综合两式可得N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] =b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因为N=b^[log(b)(N)] 所以b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下：由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1 在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进制整数或小数的对数。
对数运算的公式推导
对数运算的公式推导好嘞，以下是为您生成的关于“对数运算的公式推导”的文章：在咱们数学这个奇妙的世界里，对数运算就像是一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
今天咱们就一起来瞅瞅对数运算公式到底是咋推导出来的。
先来说说对数是啥。
假如有一个等式 a^b = N （这里 a 是底数，b是指数，N 是幂），那咱们就把 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐN 。
咱先从最简单的情况开始，假设底数相同，就是logₐM + logₐN 。
比如说有 log₂8 + log₂4 ，因为 2³ = 8 ，2² = 4 ，所以 log₂8 = 3 ，log₂4= 2 。
那 2³ × 2² = 2^(3 + 2) = 2^5 ，这就相当于 8×4 = 32 ，而 2^5 = 32 ，所以 log₂8 + log₂4 = log₂(8×4) = log₂32 = 5 。
这么一捣鼓，就发现logₐM + logₐN = logₐ(M×N) 。
再来看个例子，logₐM - logₐN 。
就拿 log₃9 - log₃3 来说，因为 3² = 9 ，3¹ = 3 ，所以 log₃9 = 2 ，log₃3 = 1 。
而 9÷3 = 3 ，3 = 3^1 ，所以log₃9 - log₃3 = log₃(9÷3) = log₃3 = 1 。
这么一来，就得出logₐM -logₐN = logₐ(M÷N) 。
还有个重要的，就是logₐM^n 。
比如说 log₂4³，因为 4 = 2²，所以4³ = (2²)³ = 2^6 ，那 log₂4³ = log₂2^6 = 6 。
而 log₂4 = 2 ，所以 log₂4³= 3×log₂4 ，这样就得出logₐM^n = n×logₐM 。
log公式大全计算公式
log公式大全计算公式
log运算法则是一种经典的数学运算，在各种高等数学课程中都有涉及。
log运算法则主要用于计算幂和对数。
以下是一些常见的log 运算法则公式：
1. 对数的乘法法则：loga(mn) = loga m + loga n。
2. 对数的除法法则：loga(m/n) = loga m - loga n。
3. 自然对数的性质：ln(1) = 0。
4. 换底公式：logb(a) = logc(a) / logc(b)。
5. 换底公式的推导公式：logb(a) * loga(b) = 1。
6. loge(x) = ln(x)。
7. lg(x) = log10(x)。
8. loga(b) * logb(a) = 1。
9. loga(b) / loga(c) = logc(b) / logc(a)。
10. logc(c^x) = x。
11. logc(a * b) = logc(a) + logc(b)。
12. logc(a / b) = logc(a) - logc(b)。
13. logc(sqrt[n](a)) = logc(a) / n。
14. logc(a^n) = n * logc(a)。
这些公式在计算对数和幂时非常有用，可以帮助我们快速得到结
果。
记住这些公式需要理解和练习，建议多做习题以加深对这些公式的理解和掌握。
常用对数求导公式
常用对数求导公式一、对数函数的基本形式及导数公式。
1. 自然对数函数。
- 对于y = ln x，其导数公式为y^′=(1)/(x)。
- 推导过程：根据导数的定义y^′=limlimits_Δ x→0(ln(x + Δ x)-ln x)/(Δ x)，利用对数运算法则ln a-ln b=ln(a)/(b)，则y^′=limlimits_Δ x→0(lnfrac{x+Δ x)/(x)}{Δx}=limlimits_Δ x→0(ln(1 +frac{Δ x)/(x))}{Δ x}。
- 令t=(Δ x)/(x)，当Δ x→0时，t→0，则y^′=limlimits_t→0(ln(1 +t))/(xt)=(1)/(x)limlimits_t→0(ln(1 + t))/(t)。
- 根据重要极限limlimits_t→0(ln(1 + t))/(t)=1，所以y^′=(1)/(x)。
2. 一般对数函数。
- 对于y=log_a x（a>0,a≠1），根据换底公式log_a x=(ln x)/(ln a)。
- 其导数y^′=(1)/(xln a)。
- 推导过程：因为y = log_a x=(ln x)/(ln a)，根据常数乘以函数的求导法则(cf(x))^′ = cf^′(x)，y^′=(1)/(ln a)×(1)/(x)=(1)/(xln a)。
二、对数求导法的应用。
1. 多个函数乘积或商的求导。
- 例如，求y = x^2sin xln x的导数。
- 先对函数两边取自然对数ln y=ln(x^2sin xln x)=ln x^2+ln(sin x)+ln(ln x)。
- 根据对数运算法则ln a^n=nln a，则ln y = 2ln x+ln(sin x)+ln(ln x)。
- 两边对x求导：(y^′)/(y)=2×(1)/(x)+(cos x)/(sin x)+(1)/(xln x)。
log函数的求导公式
log函数的求导公式
一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于n(n\ue0)，那么数b叫做以a为底n的对数，记作log an=b,读作以a为底n的对数，其中a叫做对数的底数，n叫做真数。
一般地，函数y=log(a)x，（其中a是常数，a\ue0且a不等于1）叫做对数函数。
log函数的运算公式主要有运算法则、换底公式和推导公式。
1.运算法则：
（1）log a(mn)=log am+logan
（2）log a(m/n)=log am-logan
（3）logann=nlogan
（4）(n,m,n∈r)
如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.…为自然对数的底，其为无穷不循环小数。
定义：若an=b（a\ue0，a≠1）则n=log ab。
2.换底公式（很重要）
log mn=log a m/log an
换底公式导出
log mn= -log nm
3推导公式
log (1/a) (1/b) = log (a^-1) (b^-1) = -1logab/-1 = log a(b)
log a(b)*log b(a) =1
loge(x)= ln (x)
lg(x)=log10(x)
介绍了log函数的运算公式，才能对函数公式有效率地展开转变，从而进一步提高运算的效率和准确性。
对数公式的推导（全）
对数函数公式的推导（全） 由指数函数(01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： ()log a b a b =对数恒等式性质1、log ()log log a a a MN M N =+ <证法1> 由于m n m n a a a +⋅= 设 ,m n M a N a == 则：log a M m = l o g aN n = m n MN a += 于是： ()log log log a a a M N MN m n =+=+ <证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =⋅=⋅对数恒等式 即： log log log a a a MN M N a a +=由于指数函数是单调函数，故： log ()log log a a a MN M N =+ 性质2、log log log M a a a N M N =-<证明> log log log log log M M N a a a a N a M N a M M N N a aa -=== 对数恒等式 由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N =- 性质3、log log ()(0,1)logb b a NN a b b >≠=换底公式 特例：1log log a b b a =<证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b =log log log log a b b a N a Na Nb b ⋅⎡⎤→==⎣⎦log log log b b a N a N N b b ⋅→== 由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =⋅ 故：log log log b b a NN a =性质4、log log n a a M n M =特例：1log log n a a n M M =<证明> n n M M = 可知：()log log a n a M n M a a = 即 ()log log n a a M n M a a ⋅=由于指数函数是单调函数，故：log log n a a M M n =⋅ 性质5、log log m m n n a a b b =<证明> lg lg log log lg lg m m n m m a n n n a b b b b a a==⋅= 性质6、1log log na n ab b = 注：性质4 和 性质6 都是 性质5的特例。
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对数函数公式的推导（全） 由指数函数
(01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： ()log a b a b =对数恒等式 性质1、log ()log log a a a MN M N =+
<证法1> 由于m n m n a a a +⋅= 设 ,m n M a N a == 则： log a M m = log a N n = m n MN a += 于是： ()log log log a a a M N MN m n =+=+ <证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =⋅=⋅对数恒等式 即：
log log log a a a MN M N a a +=由于指数函数是单调函数，故： log ()log log a a a MN M N =+
性质2、log log log M a
a a N M N =- <证明> log log log log log M M N a a a a N a M N a M M
N N a a a -==
=对数恒等式 由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N =-
性质3、log log ()(0,1)log b b a N N a b b >≠=
换底公式 特例：1log log a b b a =
<证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b =
log log log log a b b a N a N
a N
b b ⋅⎡⎤→==⎣⎦
log log log b b a N a N
N b b ⋅→==
由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =⋅ 故：log log log b b a N
N a =
性质4、log log n a a M n M =
特例：1
log log n a a n M M =
<证明> n n M M = 可知：()log log a n a M n M a a = 即 ()log log n a a M n M a a ⋅=
由于指数函数是单调函数，故：log log n a a M M n =⋅ 性质5、log log m m
n n a a b b =
<证明> lg lg log log lg lg m
m
n m m a n n n a b b b b a a ==⋅= 性质6、1log log n
a n a
b b = 注：性质4 和 性质6 都是 性质5的特例。