勾股定理(兰生复旦中学理科班教程)
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《勾股定理》课件
1，则在网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边有
（
A.0
C
）个.
C
B.1
C.2
D.3
解：如图， = 22 + 32 = 13,
B
= 12 + 52 = 26,
= 32 + 42 = 25 = 5.
A
课堂小结
运
用
勾
股
定
理
作长为 （n为大
构造边长为
于1的整数）的线
整数的直角
段.
三角形.
y
2 D（2，1）
E
O
1
F
x
(1)OA=OD= 5，所以点A（- 5，0）.
(2)OB=DB，在Rt△DFB中，根据勾股定理得：
2
2
2
+ = ，BF=OF-OB=2-DB,所以
(2 − )2 +12 =2 ，解得：
DB =
5
5
，则B（ ，0）.
4
4
y
2 D（2，1）
E
A
O
1
在数轴上表示
利用数轴和
（n为大于1的整数）
勾股定理.
的点.
拓展提升
1.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以
点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，
则点C 的坐标为 (-1，0) .
解析：因为点A(4，0)，B(3，0)，所
以OA=4，OB=3.在Rt∆中，由勾
2 ，
（1）作一条长度等于无理数的线段的方法不唯一，
应尽量利用直角边长为整数的直角三角形.
（2）并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法
《勾股定理》课件
《勾股定理》PPT课件
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。
勾股定理课件PPT
04 勾股定理的应用
在几何学中的应用
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重要工 具，通过已知的两边长度，可以计算 出第三边的长度，从而判断三角形是 否为直角三角形。
求解三角形问题
证明定理
勾股定理在几何学中经常被用于证明 其他定理或性质，例如角平分线定理、 余弦定理等。
勾股定理在求解三角形问题中也有广 泛应用，例如求解三角形的面积、周 长等。
03
02
解决实际问题
勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。例如，在建筑 、航空、航海等领域，都需要用到勾股定理来计算角度 、长度等参数。
数学史上的里程碑
勾股定理在数学史上具有重要地位，它是数学发展的一 个里程碑。它的证明和发展推动了数学的发展，为后来 的数学家提供了许多启示和灵感。
02 勾股定理的起源与历史
02
毕达哥拉斯证明法是基于三角形 的边长和角度之间的关系，通过 观察和归纳，证明了勾股定理。
欧拉证明法
欧拉是18世纪的瑞士数学家，他通过代数方法和函数论，给出了勾股定理的一个 新证明。
欧拉证明法不仅证明了勾股定理，还进一步揭示了勾股定理与其他数学概念之间 的联系，使得勾股定理在数学领域中更加重要。
勾股定理在复数域的推广
勾股定理在复数域的推广形式
在复数域中，勾股定理的形式有所变化，但基的勾股定理关系仍然成立。
证明方法
利用复数域的性质和几何意义，通过几何图形和代数运算相结合的方法进行证 明。
06 勾股定理的趣味问题与挑战
勾股定理的趣味题目
勾股定理的证明
通过几何图形和数学推理，证明勾股 定理的正确性，让学生深入理解定理 的本质。
美观性。
航海学
在航海学中，勾股定理被用于确 定船只的航向、航速等参数，以
17.1 勾股定理PPT课件01
不是直角三角形？如果是那么哪一个角是
直角？
(1) a=25 b=20 c=15是 ∠__A_=_900
_(_2_)__a=;13 b=14
_(3_)_a_=_1;b=2 c= 3
c=不15是 ____
_是___ ∠_B_=_9_0_0;
(4) a:b: c=3:4:5
是 ∠ C=900
_____ _____ ;
bc2a2(ca)(ca) a
精品课件
例题分析
勾股定理----理解
八年级下册
例1 在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.
∵ Rt△ABC中, ∠C是直角
∴ AC2+BC2=AB2
B
∴ A B A2 C B2 C 22 4 7 26 2 25 5
24 如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢？
b B
A 图乙 a
Bb
c C
图甲
SA+SB=SC
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 2.观察图乙，小方格
49
的边长为1.
4 16
⑵正方形A、B、C的
8 25 精品课件 面积有什么关系？
SA+SB=SC C
Aa c b
图甲 B
图乙 a
bc C
SA+SB=SC
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
精品课件
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
精品课件
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
精品课件
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
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知识点 1 勾股定理
问题1
知1－导
图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形 的三边之间有什么关系？
归纳
知1－导
可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的 小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形 的面积. 即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的 关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形； (2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关
系，已知其中任意两边可以求出第三边； (3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2； (4)运用勾股定理时，要分清斜边、直角边．
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知1－讲
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的 对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b， c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
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1．运用勾股定理时应注意以下几点： (1)遇到求线段长度的问题时，能想到用勾股定理. (2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角
三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切忌 乱用勾股定理. (3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条 是斜边.
知1－讲
赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下：如图(1)，把 边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2;另一 方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形(红色)和一 个正方形(黄色).把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所 示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形(图(3)).因为图 (1)与图(3)都由四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形 (黄色)组成，所以它们的面积相等.因此，a2 +b2 =c2.
《勾股定理》 完整版PPT课件
弦
勾
勾
股
股
证法三： 伽菲尔德证法:
a bc
a
c
1、整体看
b
2、分割看
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 D
bc c
C a
Aa
bD
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
练习
1.在RtABC中，AB=c，BC=a，AC=b，
B=90
(1)已知a=6,b=10,求c的长度（ B ）
A6
B8
C 10 D 12
(2)已知a=24,c=7,求b的长度（ D ）.
A 20
B 11 C 13
D 25
A
c
b
B
a
C
2.在Rt△ABC中, a=5,c=13,
则下列计算正确的是 （ B ）
2 、运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
拓展
在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出
水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐
及水面,如果知道红莲移动A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
H
┓
?x
B
美丽的勾股树
（×）
（2）若a、b、c为Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2.
（×）
C不一定代表 直角三角形
的斜边哦
练习
4.求下列直角三角形中未知边的长: 5
勾股定理ppt课件
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方(勾股定理)
2、你是通过什么方法得出这一结论的?
通过探索、发现、归纳、证明得出
3、这节课体现了哪些数学思想方法?
数形相结合,从特殊到一般.
作业布置
必做题：课本28页复习巩固1，2两题. 选做题：作业本第七页. 欧几里得证明勾股定理.
a2 + b2= c2
正方形A、B、C 所围成的等腰直角三角形的三边 之间有什么关系？
观察发现
AB
acb
C
SA + SB = SC
a2 +b2 = c2
等腰直角三角形的三边之间的关系：
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也 有这个性质吗？
P
Q CR
PQ Biblioteka R用了“补”的方法用了“割”的方法
如图，每个小方格的面积均为1.你能求出 正方形R的面积吗？ (1)
观察所得到的这组数据，你有什么发现？
P9
a
SP + SQ = SR
16Q b
c
2R5
a2 + b2 = c2
所围正成方的形直P角、三Q角、形R 的所三围边成之的间的直关角系三：角形的三 边之间两有条什直么角关边系的？平方和等于斜边的平方.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分
别为a、b，斜边长为ｃ，那么a2 + b2 = c2.
B
a
c
C
b
A
a2 = c2－b2
c a2 b2 a c2 b2
b2 = c2－a2 b c2 a2
2、你是通过什么方法得出这一结论的?
通过探索、发现、归纳、证明得出
3、这节课体现了哪些数学思想方法?
数形相结合,从特殊到一般.
作业布置
必做题：课本28页复习巩固1，2两题. 选做题：作业本第七页. 欧几里得证明勾股定理.
a2 + b2= c2
正方形A、B、C 所围成的等腰直角三角形的三边 之间有什么关系？
观察发现
AB
acb
C
SA + SB = SC
a2 +b2 = c2
等腰直角三角形的三边之间的关系：
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也 有这个性质吗？
P
Q CR
PQ Biblioteka R用了“补”的方法用了“割”的方法
如图，每个小方格的面积均为1.你能求出 正方形R的面积吗？ (1)
观察所得到的这组数据，你有什么发现？
P9
a
SP + SQ = SR
16Q b
c
2R5
a2 + b2 = c2
所围正成方的形直P角、三Q角、形R 的所三围边成之的间的直关角系三：角形的三 边之间两有条什直么角关边系的？平方和等于斜边的平方.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分
别为a、b，斜边长为ｃ，那么a2 + b2 = c2.
B
a
c
C
b
A
a2 = c2－b2
c a2 b2 a c2 b2
b2 = c2－a2 b c2 a2
勾股定理 (2)
通俗来说，就是分三步走： 第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、 能够架设水准仪器的测量点，先把这 些点的精确高程确定下来； 第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用 三角几何学中“勾股定理”的基本原 理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点 的高程差； 第三步，获得的高程数据要进行重力、 大气等多方面的改正计算，最终确定 珠峰高程测量的有效数据。
勾股定理
中文名： 勾股定理、勾股弦定理
外文名： Pythagoreans theorem
别名： 毕达哥拉斯定理、毕氏定理 学科： 平面几何
勾股定理的基本公式：
a²+b²=c²
1.定理推广 2.定理意义
3.生活中的应用 4.习题测试
1.定理推广
1.(a+b)² =c² +2ab 2.逆定理: 勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或 直角的一个简单的方法，其中C为最长边：
4.习题测试
一般来说在选购时可参照三点： 第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排 座位的距离的1/6； 第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的 高度； 屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般 视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一 个 72 英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出 屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。
2、2005年珠峰高度复测行动
测量珠峰的一种方法是传 统的经典测量方法，就是把 高 程引到珠峰脚下，当精确高程 传递至珠峰脚下的6个峰顶交 会测量点时，通过在峰顶竖立 的测量觇标，运用“勾股定理” 的基本原理测定珠峰高程，配 合水准测量、三角测量、导线 测量等方式，获得的数据进行 重力、大气等多方面改正计算， 最终得到珠峰高程的有效数据。
3.生活中的运用：
勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下： 1.挑选投影设备时需要选择最佳的 投影屏幕尺寸 以教室为例，最佳的屏幕尺寸 主要取决于使用空间的面积， 从而计划好学生座位的多少和位置 的安排。选购的关键则是选择 适合学生的屏幕而不是选择适合投 影机的屏幕，也就是说要把学 生的视觉感受放在第一位。
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勾股定理
1．如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少？
2．直角三角形PQR 的直角边为5厘米，9厘米。
问：图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？
3．机器猫从平面上的O 点出发，按下面规律行走：由O 向东走12厘米到1A ，由1A 向北走24厘米到2A ，由2A 向西走36厘米到3A ，由3A 向南走48厘米到4A ，由4A 向东走60
厘米到5A ……。
问：机器猫到达6A 点与O 点距离是多少厘米？
4．长方形长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起，压平，如图。
求重叠部分面积。
5．如图，P 是正方形ABCD 外一点，PB ＝12cm ，230APB S cm ∆=，248CPB S cm ∆=，
请问：正方形ABCD 的面积是多少平方？
P
D
C
B
A
6．如图大小两个半圆，它们的直径在一条直线上，弦AB与小半圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米。
求图中阴影部分面积。
7．如图一个直角三角形PQR的直角顶点为Q，以其三边为直径作三个半圆，矩形STUV 的各边与半圆相切且平行于PQ或者QR。
如果PQ＝6厘米，QR＝8厘米，则STUV 的面积是多少平方厘米？
8．如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC、BC为直径在ABC
外作半圆AEC和BFC。
当C点在什么位置上时，图中两个弯月形AEC和BFC的面积之和最大？。