高中数学选修2-2探究式导学案2：2.2.2反证法
(新课程)高中数学《2.2.2反证法》教案 新人教A版选修22
1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子例1、求证：2不是有理数例2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）例3、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。
人教版高中数学选修2-2学案：第二章2.22.2.2反证法
2． 2.2反证法预习课本P89～ 91，思虑并达成以下问题(1)反证法的定义是什么？有什么特色？(2)利用反证法证题的重点是什么？步骤是什么？[新知初探 ]反证法的定义及证题的重点[点睛 ]对反证法观点的理解(1)反证法的原理是“否认之否认等于必定”．第一个否认是指“否认结论 (假定 )”；第二个否认是指“逻辑推理结果否认”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证逆否命题”的差别与联系(1)联系：经过证明逆否命题建立来证明原命题建立和经过反证法说明原命题建立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)差别：证明逆否命题本质上就是从结论的反面出发，推出条件的反面建立．而反证法一般是假定结论的反面建立，而后经过推理导出矛盾．[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 反证法属于间接证明问题的方法．()(2) 反证法的证明过程既能够是合情推理也能够是一种演绎推理．()(3) 反证法的本质能否认结论导出矛盾．()答案： (1) √ (2) × (3) √2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把以下哪些作为条件使用()①结论的否认即假定；②原命题的条件；③公义、定理、定义等；④原命题的结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C3．假如两个实数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．起码有一个正数D．两个都是负数答案： C4．用反证法证明“假如a＞b，那么3a＞3b”，假定的内容应是________．3 3答案： a≤ b用反证法证明否认性命题[典例 ]已知三个正数a，b， c 成等比数列，但不行等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．[证明 ]假定a，b，c成等差数列，则a＋c＝ 2b，即 a＋ c＋ 2 ac＝4b.∵ a， b， c 成等比数列，∴ b2＝ac，即b＝ac，∴a＋ c＋ 2 ac＝ 4 ac，∴ ( a－ c)2＝ 0，即 a＝ c.进而 a＝ b＝ c，与 a， b， c 不行等差数列矛盾，故 a， b， c不行等差数列．1．用反证法证明否认性命题的合用种类结论中含有“不”“不是”“不行能”“不存在”等词语的命题称为否认性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较详细，合适使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[活学活用 ]已知 f(x)＝ a x＋x － 2 (a ＞ 1)，证明方程 f(x)＝ 0 没有负数根．x ＋ 1证明： 假定 x 0 是 f(x)＝ 0 的负数根，x 0－ 2则 x 0＜ 0且x0≠－ 1，且 ax 0＝－ x 0＋ 1，x 0－ 2由 0＜ ax 0＜ 1? 0＜－ x 0＋ 1＜ 1，解得12＜ x 0＜ 2，这与 x 0＜ 0 矛盾，所以假定不建立，故方程 f(x)＝ 0 没有负数根 .用反证法证明“至多 ”“至少 ”问题[典例 ]已知 a ≥－ 1，求证三个方程： x 2＋ 4ax － 4a ＋ 3＝ 0， x 2 ＋ (a － 1)x ＋ a 2＝ 0， x 2＋2ax － 2a ＝ 0 中起码有一个方程有实数解．[证明 ]假定三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的鉴别式都小于0，即：(4a)231 － 4(－4a ＋ 3)＜ 0，－ 2＜ a ＜ 2，－ 2－ 4a 2＜ 0，?1 3(a 1)a ＞ 3 或 a ＜－ 1， ? － ＜ a ＜－ 1，22(2a) ＋ 4×2a ＜ 0－ 2＜ a ＜ 0.这与已知 a ≥－ 1 矛盾，所以假定不建立，故三个方程中起码有一个方程有实数解．[一题多变 ]1．[变条件，变设问 ]将此题改为：已知以下三个方程x2＋ 4ax － 4a ＋ 3＝0，x 2＋ (a － 1)x＋ a 2＝ 0， x 2＋ 2ax － 2a ＝ 0 起码有一个方程有实数根，怎样务实数a 的取值范围？16a 2－ 4(3－ 4a)＜ 0，解： 若方程没有一个有实根，则(a － 1)2－ 4a 2＜ 0，4a 2＋ 8a ＜ 0，－3＜ a＜1，22解得13a＞3或 a＜－ 1，即－2＜ a＜－ 1，－ 2＜ a＜ 0.故三个方程起码有一个方程有实根，实数 a 的取值范围是a a≥－ 1或 a≤－3.22． [变条件，变设问 ]将此题条件改为三个方程中至多有 2 个方程有实数根，务实数a 的取值范围．解：假定三个方程都有实数根，则(4a)2－ 4(－4a＋ 3)≥0，－2－ 4a2≥0，(a1)(2a)2＋ 4×2a≥0，4a2＋ 4a－ 3≥0，即 3a2＋ 2a－ 1≤0，a2＋ 2a≥0，31a≤－或 a≥，22解得1－ 1≤a≤，3a≤－ 2或 a≥0.即 a∈?.所以实数 a 的取值范围为实数R.3． [变条件，变设问]已知 a，b， c， d∈ R，且 a＋ b＝ c＋ d＝ 1， ac＋ bd＞ 1，求证： a，b， c， d 中起码有一个是负数．证明：假定 a≥0， b≥0， c≥0， d≥0.∵a＋ b＝ c＋ d＝ 1，∴(a＋ b)(c＋ d)＝ 1，∴ac＋ bd＋ bc＋ ad＝ 1.而 ac＋ bd＋ bc＋ ad＞ ac＋ bd＞ 1，与上式矛盾，∴ 假定不建立，∴ a， b， c， d 中起码有一个是负数．用反证法证明“至多”“起码”等问题的两个关注点(1)反设状况要全面，在使用反证法时，一定在假定中摆列出与原命题相异的结论，缺乏任何一种可能，反证法都是不完整的．(2) 常用题型：对于否认性命题或结论中出现“至多”“起码”“不行能”等字样时，常用反证法．[典例 ] [证明 ]若直线用反证法证明独一性命题求证：两条订交直线有且只有一个交点．假定结论不建立，则有两种可能：无交点或不仅一个交点．a， b 无交点，则a∥ b 或 a， b 是异面直线，与已知矛盾．若直线a， b 不仅有一个交点，则起码有两个交点A和B，这样同时经过点A，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条订交直线有且只有一个交点．巧用反证法证明独一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“独一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，因为反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，假如欲证明命题的反面状况只有一种，那么只需将这类状况驳斥了就能够；若结论的反面状况有多种，则一定将全部的反面状况一一驳斥，才能推测结论建立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和独一性．[活学活用 ]求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．证明：已知：直线b∥ a， A?a， A∈ b，求证：直线 b 独一．假定过点 A 还有一条直线b′∥ a.依据平行公义，∵ b∥ a，∴ b∥ b′，与 b∩b′＝A 矛盾，∴假定不建立，原命题建立．层级一学业水平达标1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A， B， C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假定错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假定直线AC， BD是共面直线．则正确的序号次序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①分析：选 B 依据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知次序应为③①② .2．用反证法证明命题“假如 a，b∈ N， ab 可被 5 整除，那么 a， b 中起码有一个能被5整除”时，假定的内容应为()A． a， b 都能被 5 整除B． a， b 都不可以被5整除C． a， b 不都能被 5 整除D． a 不可以被 5 整除分析：选B “起码有一个”的否认是“一个也没有”，即“a， b 都不可以被 5 整除”，应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的选项是()A．三个内角中起码有一个钝角B．三个内角中起码有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或起码有两个钝角分析：选B“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“起码有两个”．4．已知 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 的地点关系为 ()A．必定是异面直线B．必定是订交直线C．不行能是平行直线D．不行能是订交直线分析：选C假定 c∥ b，而由 c∥ a，可得 a∥ b，这与 a， b 异面矛盾，故 c 与 b 不行能是平行直线，故应选 C.5．已知 a， b， c， d 为实数，且 c＞ d，则“a＞ b”是“a－ c＞ b－ d”的 ()A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：选 B ∵ c＞ d，∴－ c＜－ d，a＞ b，∴ a－ c 与 b－d 的大小没法比较．可采纳反证法，当 a－ c＞ b－ d 建即刻，假定 a≤b，∵－ c＜－ d，∴ a－ c＜ b－ d，与题设矛盾，∴ a＞b.综上可知，“a＞ b”是“a－ c＞ b－ d”的必需不充足条件．6．否认“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．答案：自然数 a， b， c 中起码有两个偶数或都是奇数7．命题“a，b∈ R，若 |a－ 1|＋|b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，所以设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠18．和两条异面直线AB，CD 都订交的两条直线AC， BD 的地点关系是____________ ．分析：假定 AC 与 BD 共面于平面α，则 A， C， B， D 都在平面α内，∴ AB?α， CD ?α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．答案：异面9．求证： 1，3， 2 不可以为同一等差数列的三项．证明：假定 1，3， 2 是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则 1＝ 3－ md,2＝ 3＋ nd，此中 m， n 为两个正整数，由上边两式消去 d，得 n＋ 2m＝ 3(n＋ m)．因为 n＋ 2m 为有理数，而3(n＋m)为无理数，所以 n＋ 2m≠ 3(n＋ m)，矛盾，所以假定不建立，即 1，3， 2 不可以为同一等差数列的三项．10．已知函数f( x)在 R 上是增函数，a， b∈ R.(1)求证：假如 a＋ b≥0，那么 f (a)＋ f(b) ≥f(－ a)＋ f(－ b)；(2)判断 (1) 中的命题的抗命题能否建立？并证明你的结论．解： (1)证明：当 a＋ b≥0 时， a≥－ b 且 b≥－a.∵ f( x)在 R 上是增函数，∴f( a)≥f(－ b)， f(b)≥f(－ a)，∴f( a)＋ f(b)≥f(－ a)＋ f(－ b)．(2)(1) 中命题的抗命题为“假如f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题建立．用反证法证明以下：假定 a＋ b＜ 0，则 a＜－ b，∴ f(a)＜ f(－ b)．同理可得f(b)＜ f(－ a)．∴f( a)＋ f(b)＜ f(－ a)＋ f(－b)，这与 f( a)＋ f(b)≥f(－ a)＋ f(－ b)矛盾，故假定不建立，∴a＋ b≥0 建立，即 (1) 中命题的抗命题建立．方程1．用反证法证明命题ax＝ b(a≠0)()“对于层级二应试能力达标x 的方程 ax＝ b( a≠ 0)有且只有一个解”时，反设是对于x 的A．无解C．起码有两解分析：选DB．有两解D．无解或起码有两解“独一”的否认是“起码两解或无解”．2．以下四个命题中错误的选项是()A．在△ ABC 中，若∠ A＝ 90°，则∠ B 必定是锐角B.17， 13， 11不行能成等差数列C．在△ ABC 中，若 a＞ b＞ c，则∠ C＞ 60°D．若 n 为整数且n2为偶数，则n 是偶数分析：选 C 明显 A、B、D 命题均真， C 项中若 a＞ b＞ c，则∠A＞∠ B＞∠ C，若∠C ＞ 60°，则∠ A＞ 60°，∠ B＞ 60°，∴∠ A＋∠ B＋∠ C＞ 180°与∠ A＋∠B＋∠ C＝ 180°矛盾，故 C.3． a， b， c∈ (－∞， 0)， a＋1， b＋1， c＋1()b caA．都不大于－ 2B．都不小于－ 2C．起码有一个不大于－2 D．起码有一个不小于－2分析： C假都大于－2， a＋1＋ b＋1＋ c＋1＞－ 6，但a＋1＋＋1＋＋1b c a b b c c a＝ a＋1＋ b＋1＋ c＋1≤－ 2＋ (－ 2)＋ (－2)＝－ 6，矛盾．a b c4．若△ ABC 能被一条直分红两个与自己相像的三角形，那么个三角形的形状是()A．角三角形B．直角三角形C．角三角形D．不可以确立分析：B分△ ABC 的直只好一个点且与订交，如直AD(点 D 在 BC 上 )，∠ ADB＋∠ ADC ＝π，若∠ ADB 角，∠ ADC 角．而∠ ADC＞∠ BAD ，∠ADC＞∠ ABD，△ABD 与△ACD 不行能相像，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ ADC＝∠BAC ＝π，才切合意．25．已知数列 {a n}， {b n}的通公式分 a n＝ an＋ 2， b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a＞b)，那么两个数列中序号与数均同样的有________个．分析：假存在序号和数均相等的，即存在n 使得 a ＝ b ，由意 a＞ b， n∈ N*，n n恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞ bn＋ 1 恒建立，所以不存在n 使 a n＝ b n.答案： 06．达成反法的全程．a1， a2，⋯， a7是 1,2，⋯， 7 的一个摆列，求：乘p＝ (a1－ 1)(a2－ 2) ⋯(a7－ 7)偶数．明：假 p 奇数，a1－ 1，a2－ 2，⋯， a7－ 7 均奇数．因奇数个奇数之和奇数，故有奇数＝ ________＝ ________＝ 0.但 0≠奇数，一矛盾明p 偶数．分析：据目要求及解步，∵ a1－ 1， a2－ 2，⋯， a7－ 7 均奇数，∴(a1－ 1)＋ (a2－ 2)＋⋯＋ (a7－ 7)也奇数．即 (a1＋ a2＋⋯＋ a7)－ (1＋ 2＋⋯＋ 7)奇数．又∵ a1， a2，⋯， a7是 1,2，⋯， 7 的一个摆列，∴ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋ a 7＝ 1＋ 2＋ ⋯＋ 7，故上式 0，所以奇数＝ ( a 1－ 1)＋ (a 2－ 2)＋ ⋯＋ (a 7－ 7)＝ (a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋ a 7)－ (1＋ 2＋ ⋯＋ 7)＝ 0.答案： (a 1－ 1)＋ (a 2－ 2)＋ ⋯ ＋ (a 7－ 7)(a 1＋ a 2＋⋯ ＋ a 7)－ (1＋ 2＋ ⋯＋ 7)17．已知 a ， b ， c ∈ (0,1)，求 ： (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 不可以都大于 4.明： 假 (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 都大于14.因 0＜ a ＜ 1,0＜ b ＜1,0＜ c ＜ 1，所以 1－ a ＞ 0.由基本不等式，(1－ a)＋ b1 1得2 ≥ (1－ a)b ＞ 4 ＝ 2.同理， (1－ b)＋ c 1 (1－ c)＋ a 1＞ ， 2＞ .2 2 2 将 三个不等式两 分 相加，得(1－ a)＋ b ＋ (1－ b)＋ c ＋ (1－ c)＋ a ＞ 1＋1＋ 1，2 2 2 2 2 2即 3＞ 3， 是不建立的， 2 21故 (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 不可以都大于 4.8．已知数列 {a n } 足： a 1＝1，3(1＋a n ＋1)＝2(1＋a n )， a n a n ＋1＜ 0(n ≥1)；数列 {b n } 足：2 1－ a n 1－ a n ＋1b n ＝ a 2n ＋ 1－ a 2n (n ≥ 1)．(1) 求数列 {a n }， {b n }的通 公式；(2) 明：数列 {b n }中的随意三 不行能成等差数列．解： (1)由 意可知，22 21－ a n ＋ 1＝(1－ a n )．322令 c n ＝ 1－a n ， c n ＋ 1＝ c n .323， 数列 {c n }是首 32的等比数列，即 3 2 n － 1又 c 1＝ 1－ a 1＝4 c 1＝ ，公比 3c n ＝·，4 4 32 3 2 n －1 23 2 n － 1故 1－ a n ＝ ·? a n ＝ 1－·.4 34 3又 a 1＝ 1＞ 0， a n a n ＋1＜ 0，2故 a n＝ (－ 1)n－11－3·2n－ 1.432232n32n－112n－1.b n＝ a n＋1－ a n＝1－·－1－·＝·434343(2)用反证法证明．假定数列 {b n}存在三项 b r，b s， b t(r＜ s＜ t)按某种次序成等差数列，因为数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，于是有b r＞ b s＞ b t，则只可能有2b s＝ b r＋ b t建立．4312 s－1 1 2 r－1 1 2 t－1∴ 2·4·3＝4·3＋4·3，两边同乘以3t－ 121－ r，化简得3t－ r＋2t－ r ＝2·2s－ r 3t－ s.因为 r＜ s＜ t，∴ 上式左侧为奇数，右侧为偶数，故上式不行能建立，致使矛盾．故数列{ b n}中随意三项不行能成等差数列．。
高中数学人教版选修2-2教学课件：2.2.2反证法
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与 假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． (3)适宜使用反证法的情况: 正难则反! (1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多----,” ,“至 少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问题;(4)结论的反 面比原结论更具体更容易研究的命题。
方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 由因导果:(已知) A B1 Bn B (结论)
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
⑵分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
证：假设 2是有理数，
2
∴ m = 2n
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
∴ m = 2n
2 2
2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k
2
2
∴n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
选做作业: 1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内 引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . 求证： PO . P
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是
不等于 至多有 一个 至少有 两个
小于或 大于或 等于（≤） 等于（≥） 不是
至少有 一个 一个也 没有 任意的 所有的
人教B版高中数学选修2-2 第二章2.2.2反证法-教案
2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法【提出问题】对于一个命题，如果直接证明比较困难，这时我们可以通过间接证明的方法来解决。
那么间接的证明方法有哪些呢？【获得新知】一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，再否定结论的基础上，运用演绎推理导出矛盾，从而肯定结论的真实性。
【概念领悟】①反证法证明过程中推出的“矛盾”：（1）与假设矛盾；（2）与公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（3）与公认的简单事实矛盾．②反证法的证明步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）做出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．【经典例题】例1 设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于41 证：假设(1 - a )b >41, (1 - b )c >41, (1 - c )a >41, 则三式相乘： (1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a >641 又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理，0<(1−b )b ≤[(1−b )+b 2]2=14 0<(1−c )c ≤[(1−c )+c 2]2=14三式相乘，得(1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a ≤641 这就与前式矛盾，所以假设不成立。
所以(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于41 【规律技巧】对于结论中含有“不可能”、“至多”、“至少”等词语的命题，如果直接从条件推证证明方向不明确且分类情况很复杂，这样的证明常采用反证法.。
人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2课堂探究 2.2.2反证法
课堂探究探究一 用反证法证明否定性命题所谓否定性命题，就是指所证问题的结论中含有“不”、“不是”、“不存在”、“不相等”、“不可能”等词语的命题，这类问题的结论的反面比较具体，适合用反证法进行证明．【典型例题1】 (1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1n(n ∈N ＋)，求证{a n }中任意连续的三项都不可能构成等差数列．(2)已知a 是整数，且a 2＋2a 是奇数，求证：a 不是偶数．思路分析：两个命题均是否定性命题，可用反证法证明．证明：(1)假设{a n }中存在连续的三项构成等差数列．设这连续三项为a k ，a k ＋1，a k ＋2(k ∈N ＋)，则2a k ＋1＝a k ＋a k ＋2，即2k ＋1＝1k ＋1k ＋2， 所以2k ＋1＝2k ＋2k 2＋2k. 所以2k 2＋4k ＝2k 2＋4k ＋2，即0＝2，这显然是矛盾的．因此假设不成立，即{a n }中任意连续三项不可能构成等差数列．(2)假设a 是偶数，不妨设a ＝2k (k ∈Z )，于是a 2＋2a ＝(2k )2＋2·2k ＝4k 2＋4k ＝4(k 2－k )，由于k ∈Z ，所以k 2＋k ∈Z .因此4(k 2＋k )是偶数，即a 2＋2a 是偶数．这与已知a 2＋2a 是奇数相矛盾，故假设不成立，即a 不是偶数．探究二 用反证法证明唯一性命题1．结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了．2．用反证法证明问题时，若结论的反面呈现多样性，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种情况时，反证都是不完全的．3．证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．【典型例题2】 (1)求证：经过平面α外一点M ，只能作一条直线与该平面垂直．(2)若函数f (x )在区间上的图象连续不断开，且f (a )＜0，f (b )＞0，且f (x )在上单调递增，求证：f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．思路分析：对于(1)可假设能作两条直线与该平面垂直，然后根据空间中有关定理推出矛盾；对于(2)，应先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a ，b )内有零点，再用反证法证明零点唯一．证明：(1)假设经过平面α外一点M ，能作两条直线a ，b 都与该平面垂直．那么由线面垂直的性质可知a ∥b ，且a ，b 在同一平面内，这与a ，b 相交(均过点M )矛盾，因此假设不成立，即经过平面α外一点M ，只能作一条直线与该平面垂直．(2)由于f (x )在上的图象连续不断开，且f (a )＜0，f (b )＞0，即f (a )·f (b )＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，m ∈(a ，b )，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，则f (n )＝0，且n ≠m .若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．探究三 用反证法证明至少、至多命题1．当命题出现“至多”“至少”等词语时，适合用反证法．2．常见的“结论词”与“反设词”至少有一个不大于14.思路分析：本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”，然后由假设入手，应用均值不等式证明．证明：方法1：假设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14. ∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴(1－a )b ＞12，(1－b )c ＞12，(1－c )a ＞12， ∴(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ＞32. 又∵(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a≤(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＝3－(a ＋b ＋c )＋(a ＋b ＋c )2＝32， 与上式矛盾．∴假设不成立，即原命题成立．方法2：假设三式同时大于14， 即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14， 三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ＞164. 又(1－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14. 同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14. 以上三式相乘得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164， 这与(1－a )a (1－b )b (1－c )c ＞164矛盾，故结论得证． 探究四 易错辨析易错点：运用反证法，结论否定不当而出错【典型例题4】 用反证法证明命题“a ，b 为整数，若ab 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”时，应假设________．错解：a，b不都是偶数．错因分析：a，b不都是偶数包括的情况有：(1)a是偶数，b是奇数；(2)a是奇数；b是偶数；(3)a，b都不是偶数．显然，否定的结论并不是结论的对立面，所以不正确，题目中“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”．正解：“a，b都是偶数”或“a，b不都是奇数”．。
人教A版选修2-2第二章 2.2.2反证法 教学设计
反证法(教学设计)【教学目标】知识与技能：1.通过实例理解反证法的概念；2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤。
过程与方法：通过反证法的应用体会“正难则反”的数学思想，提升逻辑推理能力。
情感态度价值观：渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【教学重难点】学习重点：理解反证法的概念、反证法的特点，把握反证法的适用范围。
学习难点：如何假设问题的反面，如何在证明过程中导出矛盾。
【学法指导】通过预习教材和导学案，理解反证法的概念及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤，理解反证法的原理。
合作探究反证法的证明过程和一般思路，掌握反证法的特点和表述的规律及适用题型，提升自己的分析能力和数学论证能力。
【教学过程】一.情景引入（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？分析：假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。
因此，假设不成立，无论怎样染，至少有5个球是同色的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
（引出反证法）二．基本概念一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明。
注：反证法是最常见的间接证明法。
反证法证题的基本步骤：①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾，与定义，公理，定理，事实等矛盾，与假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾等），从而否定假设；③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。
简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论（其中推出矛盾是反证法证明的关键）三．典型例题例1.求证：在三角形ABC中，至少有一个内角不小于60°。
人教B版高中数学选修2-2+2.2.2+反证法+教案
2.2.2 反证法一、教学目标1、知识目标：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2、能力目标：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3、情感、态度与价值观目标：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.二、教学重点.难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题.难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.三、学情分析反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程教学过程：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.分析归纳，抽象概括通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.知识应用，深化理解例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角(3)c b a ,,中至少有一个是正数例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列， 求证：c b a ,,不成等差数列.【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，0222=-+a ax x ，当23-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.例4、求证：方程32=x中有且只有一个根.【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.六、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1） 在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .（2） 如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）（3） 在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.（4） 在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教版高中数学选修2-22.2.2反证法学案
2．2.2反证法1．认识反法是接明的一种基本方法．2．理解反法的思虑程，会用反法明数学．基梳理1．定：一般地，由明 p? q 向明：綈 q? r ? ⋯ ? t， t 与假矛盾，或与某个真命矛盾．进而判断┐q 假，推出 q 真的方法，叫做反法．2．反法常的矛盾型：反法的关是在正确的推理下得出矛盾．个矛盾能够是与假矛盾或与数学公义、定理、公式、定或与公的事矛盾等．想想： (1) 反法的是什么？(2)反法属于直接明是接明？其明程属合情推理是演推理？(1)分析：反法的就能否认，推出矛盾，进而明原是正确的．(2)分析：反法是接明中的一种方法，其明程是特别密的演推理．自自1．用反法明命“三角形的内角中起码有一个大于60°” ，反正确的选项是(A)A ．假三内角都不大于60°B．假三内角都大于60°C．假三内角至多有一个大于60°D．假三内角至多有两个大于60°分析：“起码有一个”的否认是“一个都没有”，反“三个内角都不大于60°”．2．有以下：①已知 p3＋ q3＝ 2，求 p＋ q≤2，用反法明，可假p＋ q≥2；②已知a， b∈R，2|a|＋ |b|<1，求方程x ＋ ax＋ b＝ 0 的两根的都小于1，用反法明可假方程有一根x1的大于或等于1，即假|x1|≥ 1.以下法中正确的选项是(D)A ．①与②的假都B．①与②的假都正确C．①的假定正确；②的假定错误D．①的假定错误；②的假定正确分析：用反证法证明问题时，其假定是原命题的否认，故①的假定应为“的假定为“两根的绝对值不都小于1”，故①假定错误．②假定正确．3.“实数 a， b， c 不全大于0”等价于 (D)A ． a， b， c 均不大于0B．a， b， c 中起码有一个大于0C．a， b， c 中至多有一个大于0p＋ q>2”；②D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于零”即“起码有一个不大于0”，它包含“全不大于0”．应选 D.基础巩固1． (2014 微·山一中高二期中)用反证法证明命题“假如 a>b>0，那么 a2>b2”时，假定的内容应是 (C)A ． a2＝ b2B． a2<b222222＝ b 2C．a ≤ b D． a <b，且 a2．否认“至多有两个解”的说法中，正确的选项是(D)A ．有一个解B．有两个解C．起码有两个解D．起码有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，因此AB、 CD共面，这与AB、 CD是异面直线矛盾；②因此假定错误，即直线AC、 BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为(B)A ．①②③B ．③①②C．①③② D ．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若 |a－ 1|＋ |b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，因此设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠1能力提升5．以下命题不适适用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条订交直线垂直的两条直线必订交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线相互均分D．已知 x， y∈ R，且 x＋ y＞ 2，求证： x，y 中起码有一个大于 1.分析：选项 A 中命题条件较少，不足以正面证明；选项 B 中命题能否认性命题，能够反证法证明；选项 D 中命题是起码性命题，能够反证法证明．选项 C 不适适用反证法证明．故选 C.6．设 a、b、c∈R＋，P＝ a＋ b－ c，Q＝ b＋ c－a， R＝ c＋ a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 (C)A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：第一若 P、Q、R 同时大于零，则必有PQR>0 建立．其次，若 PQR>0，且 P、Q、R 不都大于 0，则必有两个为负，不如设P<0，Q<0，即 a＋b－ c<0，b＋ c－ a<0，∴ b<0 与b∈ R＋矛盾，故 P、Q、R 都大于 0.应选 C.7．已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为a n＝ an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n＝b n，由题意 a>b， n∈N *，则恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞bn＋ 1 恒建立，因此不存在n 使 a n＝ b n.答案： 08．有以下表达：①“ a>b”的反面是“a<b”；② “x＝ y”的反面是“ x>y 或 x<y”；③ “三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内” ；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角” ．此中正确的表达有__________( 填序号 ) ．分析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y 或 x<y”，因此②正确；“a>b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角” 的反面是“三角形起码有两个钝角”．因此这三个都错．答案：②9．假如非零实数 a ， b ，c 两两不相等，且2＝1＋1不建立．2b ＝ a ＋ c.证明： b a c证明：假定 2＝1＋ 1建立，则2＝ a ＋ c ＝2b ，∴ b 2＝ ac.b acb ac ac又∵ b ＝ a ＋ c ，∴ a ＋ c 2 2 2 22 2＝ac ，即 a ＋ c ＝ 2ac ，即 (a － c) ＝ 0，∴ a ＝ c ，这与 a ，b ， c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋ 1c 不建立．x x － 2 10．已知函数f(x)＝ a ＋x ＋ 1(a>1)．(1)证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝ 0 没有负实根．证明： (1)任取 x 1， x 2∈ (－ 1，＋ ∞)，不如设 x 1<x 2，则 x 2－ x 1>0 ， ax 2－ x 1>1，且 ax 1>0.因此 ax 2 －ax 1＝ ax 1 (ax 2－ x 1－ 1)>0. 又由于 x 1＋1>0 ， x 2＋ 1>0，因此 x 2－ 2－ x 1－ 2x 2＋ 1x 1＋ 1（ x 2－ 2）（ x 1＋ 1）－（ x 1－ 2）（ x 2＋ 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）3（ x 2－ x 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）>0.x 2－ 2 x 1－ 2于是 f(x 2)－ f(x 1)＝ax 2－ ax 1＋ x 2＋ 1－x 1＋1>0，故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数． (2)设存在 x 0<0(x 0≠－ 1)知足 f(x 0)＝ 0，则 ax 0＝－x 0 －2x 0 .＋1又 0<ax 0<1，因此 0<－x 0－ 21＋ 1<1，即 2<x 0<2.x 0与假定 x 0<0 矛盾，故 f(x)＝ 0 没有负实根．。
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《反证法》导学案
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点;
3. 会用反证法证明问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材，找出疑惑之处）
复习1：直接证明的两种方法: 和 ;
复习2： 是间接证明的一种基本方法.
二、新课导学
学习探究
探究任务：反证法
问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?
问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?
新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .
试试： 证明：5,3,2不可能成等差数列.
反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
典型例题
例1 已知0
=有且只有一个根.
a≠,证明x的方程ax b
变式：证明在ABC
∠一定是锐角.
∠是直角,那么B
∆中,若C
小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、
公理、定理、事实矛盾等）.
例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.
小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
动手试试
练1. 如果
1
2
x>,那么2210
x x
+-≠.
练2. ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B <︒.
三、总结提升
学习小结
1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.
2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
知识拓展
空城计与反证法
空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.
诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”. 学习评价
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）.
A ．假设三内角都不大于60︒
B ．假设三内角都大于60︒
C ．假设三内角至多有一个大于60︒
D ．假设三内角至多有两个大于60︒
2. 实数,,a b c 不全为0等价于为（ ）.
A ．,,a b c 均不为0
B ．,,a b c 中至多有一个为0
C ．,,a b c 中至少有一个为0
D ．,,a b c 中至少有一个不为0
3.设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a
+++（ ）. A ．都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2
4. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .
5. “4x >”是“240x x ->”的 条件.
课后作业
1. 已知,0x y >,且2x y +>.试证:
11,x y y x
++中至少有一个小于2.
2. 证明：2不是有理数.。