有限元方法课件

第1讲 抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题：（1） ()⎩⎨⎧Ω∂∈=Ω∈=∆-x u x x f u ,0,问题（1）的变分形式：求()Ω∈10H u 使满足（2） ()()()Ω∈∀=1,,,H v v f v u a ()v u a ,的性质，广义解的正则性结果。

区域Ω的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。

剖分区域上分片k 次多项式构成的有限元空间()Ω⊂10H S h 。

h S 的逼近性质，逆性质：∞≤≤≤≤≤≤-+-+p k k m uCh uI u pk m k pm h 1,1,0,,11,h h pm hqn p n l m ql hS v l m q p v Chv ∈∀≤∞≤≤≤---,,,1,),0(max ,这里，h h S u I ∈为u 的插值逼近。

问题（2）的有限元近似：求h h S u ∈使满足 （3） ()()h h h h h S v v f v u a ∈∀=,,,（3）的解唯一存在，且满足f M u h ≤1。

（3）的解()()∑==Ni i i h x u x u 1φ所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：()()N j f u a jNi ijiΛ,2,1,,,1==∑=φφφ（4） f u K ϖϖ=刚度矩阵()()NN ji a K ⨯=φφ,的由单元刚度矩阵组装而成。

-1H 模误差分析：由（2）－（3）可得（5） h h h h S v v u u a ∈∀=-,0),(由（5）可首先得到()()1121,,u I u u u M u I u u u a u u u u a u u r h hh h h h h--≤--=--≤-则得到（6） 1,111≥≤-≤-+k uCh u I u C u u k k h h2L －模误差分析设210H H w I ∈ 满足h h u u C w win u u w -≤=Ω-=∆-Ω∂2,0,,用h u u -与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到()()w u u A u u w A u u h h h,,2-=-=-()hhhh h h h u u u u Ch wu u Ch w I w u u C w I w u u A --≤-≤--≤--=12111,再利用-1H 模误差估计结果，得到 （7） 1,111≥≤-≤-++k uCh u u Ch u u k k hh最优阶误差估计和超收敛估计概念。

当()t u u =与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） h h h t h S v v u u a ∈∀=-,0),)((利用（7），类似分析可得 （9）()()1,111≥≤-+-++k u Ch u u h u u k tk th t h2、抛物问题半离散有限元方法考虑抛物型方程初边值问题：（10） ()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Ω∈=Ω∂⨯∈=Ω⨯∈=∆-∂∂x x u x u T x t x u T x t x t f u t u,,0,0,,0,0,,,0（10）的变分形式：求 ()())()0(,],0(:010x u u H T t u =Ω→ 使满足（11） ()()()()Ω∈∀=+1,,,,H v v f v u a v u t（11）的半离散有限元近似：求 ()h h S T t u →],0(:使满足 （12） ()()()⎩⎨⎧∈∈∀=+hh hh h h h h t h S u S v v f v u a v u )0(,,,,,令()()()∑==Ni ii h x t u t u 1φ，代入（12），依次取j hv φ=可导出常微分方程组：（13） T t t f t u K dtt u d M ≤<=+0),()()(ρρρ其中N N j i M ⨯=)),((φφ为质量矩阵，K 为刚度矩阵。

()j j T N f f f f f φ,,),,(1==Λρ。

求解常微分方程组（13），得到()(),,,1TN u u t u Λρ=代回()t u h 的表达式，即得半离散有限元解()t u h 。

定理1. 问题（12）的解h u 唯一存在且满足稳定性估计：（14） ()()()0,00>+≤⎰t d f u t u th h ττ证明：在（12）中取h h u v =得到()()()h h h h u f u u a t u dtd ,,212=+ 整理为（注意()v u a ,是正定的）()f t u dtdh ≤ 对此式积分，证毕。

误差分析。

引进解u 的椭圆投影逼近：h h S u R ∈满足 （15） ()h h h h S v v u R u a ∈∀=-,0,根据椭圆问题的有限元结果可知 （16） ()1,1,0,11≥=≤-++k s uD Chu u D k s t k h st分解误差：θη+=-+-=-h h h h u u R u R u u uη的估计由（16）式给出，只须估计h S ∈θ。

由（11），（12）和（15）知，θ满足()()()h h h t h h t S v v v a v ∈∀-=+,,,,ηθθ取θ=h v ，类似稳定性论证可得（17） ()()()⎰+≤tt d t 00ττηθθ()()()()()()()0000000h h h h u u u u R u u R -+-=-=θ()0h u 可取为()()x u u 00=的2L 投影，插值逼近等。

由（17）式，三角不等式和（16），得到（18） ()()()()()())0(000111⎰+++++-≤-tk t k k h h d u u Chu u t u t u ττ3、抛物问题全离散有限元近似剖分时间区间：M T t t n t T t t t n M /,,010=∆∆==<<<=Λ。

引进差分算子：tu u u n n nt ∆-=∂-1规定，当()t u 为连续函数时，()n nt u u =，则有()⎰⎰-∆-=-∂n n nt t t tt n t nt dsd s u t t u u 11)(ττ()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-∆=-∂⎰⎰-----n n n n t t ttt n t t ttt n n t nt d u t d u t t t u u 212112212121)(ττττττ 由此得到（19） ()()⎰-∆=≤-∂nn t t tt n t nt t O ds s u t u u 1)(（20） ()()()22112)(t O ds s u t tu u n n t t ttt n t nt ∆=∆≤-∂⎰--定义问题（11）的全离散向后Euler 有限元近似：求h nh S u ∈，使满足（21） ()()()⎩⎨⎧=∈∈∀=+∂Λ,2,1,,,,,0n S u S v v f v u a v u h h hh h n h nh h n h t将 ()∑==Ni i n i nhx u u 1φ代入（21）可导出全离散方程组（22） Λ,2,1,1=∆+=∆+-n tF MU tKUMU n n nn其中()j nj TN nTnN nnf f f f F u u U φ,,),,(,),(11===ΛΛ。

系数矩阵tK M ∆+是对称正定的。

可逐层求解。

误差分析。

令()()()nn n h n h n h n n h n u t R t u R t u u t u θη-=-+-=-)(。

()t u R h 为u 的有限元椭圆投影，只须估计h n S ∈θ。

由方程（11）知()n nt u u = 满足（23） ()()()()h h h n h n h n h n t S v v R v f v u a v u ∈∀+=+∂,,,,,()nt n t nu t u R ∂-∂=ρ。

则利用()()h n h h n v u R a v u a ,,=，从（23）和（21）得到n θ满足()()()h n t n h n h ntv R v a v ,,,ηθθ∂-=+∂取nh v θ=得到()()nnt n nn nn n R t ta θηθθθθθ∂+∆≤∆+--ρ,),(12或写为()n t n n n R t ηθθ∂+∆+≤-1写 ()⎰-∆=∂nn t t t nt d t 11ττηη 对上式求和且利用（19）式得()()⎰⎰+∆+≤nn t t t tt n d d u t 00ττηττθθ利用椭圆投影的逼近性质得到()()⎰⎰∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-≤+++nnt tt t k t k k h n d u t d u uCh u u 00110100ττττθ 再利用三角不等式即得全离散误差估计（24）()()Λ,1,0,)(0110100=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∆+-≤-⎰⎰+++n d u uCh d u t u u u t u nnt k t k k t tt h nhn ττττ全离散向后Euler 格式关于时间方向只有一阶精度。

二阶精度的Crank-Nicolson 格式：求h nh S u ∈使满足（25） ()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∂-Λ,2,1,,,,,021n S u S v v f v u a v u h hhh h n h nh h n h t其中 ()121-+=n nnu u u 。

方程（25）的矩阵方程形式为21112---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-n n n n n F U U K t U U M K ,2,1,22211=∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+--n tF U K t M U K t M n n n21-=n tt 处，从方程（11）知，精确解满足()()()),(,),(,,21121h n nh n h n h nh ntv uu a v R v fv u a v u---++=+∂)(211-∂-∂=n t n t n tu u R 。

则椭圆投影满足()()),(),(,,21121h n nh n nt n h nh h nhtv uu a v R fv u R a v uR ---++∂-=+∂η分解误差：n h n h n n n nh n u t u R u t u -=+=-)(,)(θθη。

从（25）式得到（26） ()()()),(,,,211h n n h n n t h n h n t v u u a v R v a v --++∂-=+∂ηθθ在（26）中取nh v θ=，注意()()()112122121,---+-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∂n nn n n n nnttt θθθθθθθθ（27） ()()⎰⎰⎰--∆≤=-∆--nn nn t t tt s t s tt t tn nds s u t ds d u uu 1212121ττh n nh n nv u u C v uu a 22121||||),(---≤-则在（26）中取nh v θ= 得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∂∆≤---22111||||n n n n t n n u u C R t ηθθ求和，且利用（20），（27）和椭圆投影的逼近性质，得到()⎰⎰+∆++≤+nn t ttt tt t t k n d u ut C d u Ch 022010ττθθ再利用三角不等式，得Crank-Nicolson 格式的误差估计： （28） ()Λ,1,0)(12=+∆≤-+n h t C u t u k nhn第2讲 有限体积元方法一、 椭圆问题考虑椭圆边值问题：⎩⎨⎧Ω∂=Ω=∆-on u in f u ,0,设2R ⊂Ω为凸多边形区域。