初中数学一元二次方程的应用题型分类——行程问题(附答案)
∵
∴汽车刹车后1.25秒，行驶的距离是9.375米后停下来。
故答案为： .
【点睛】
考查了配方法求最值，把一般式配方成顶点式是解题的关键.
4．
【解析】
【分析】
汽车行驶的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系是：s=10t+3t2，可以根据这个关系式，把已定要行使s=200m路程代入关系式求得时间t．
【详解】
依题意：10t+3t2=200，
整理得3t2+10t−200=0，
解得t1=−10(不合题意舍去),t2= .
即行驶200m需要 s.
故答案为：
【点睛】
考查一元二次方程的应用，读懂题目，根据题目列出方程是解题的关键.
5．12
【解析】
【详解】
设乙每小时走x千米，则甲每小时走(x+3)千米，
根据题意得： ，
注：步数×平均步长＝距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．
8．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.
【详解】
依题意得s= ×t= t2，
把s=18代入，得18= t2，
解得t= ，或t=- （舍去）．
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
3．
【解析】
【分析】
利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
3．汽车刹车后行驶的距离 （米）与行驶的时间 （秒）函数关系式是 ，汽车刹车后停下来前进了________米．
4．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 和时间 之间的关系为： ，那么行驶 需要________ ．
5．甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车去B地，已知甲比乙每小时多走3
千米，结果比乙早到0.5小时，若A、B两地相距30千米，则乙每小时_______千米.
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米?
（2）专家建议：从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 小时，求m的值.
9．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 、 ，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 与时间 满足关系 ，乙以 的速度匀速运动，半圆的长度为 ．
11．李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收29.10元”．该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价N(N<12)．
12．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速平均每秒小球的运动速度减少多少?
解得x=12或x=﹣15（舍去），
故答案为12.
6．
【解析】
【分析】
由题意可知乙的运动路程为 ，甲、乙第一次相遇时一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，利用总路程等于甲的路程加乙的路程列方程即可.
【详解】
如下图所示：红色线为甲走的路程，蓝色线为乙走的路程，虚线位置是第一次相遇时，箭头位置是第二次相遇时，
由图可知：甲、乙第一次相遇时，一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，故甲、乙行驶的总路程为：
∵乙以 的速度匀速运动
∴乙的运动路程为 ，
根据总路程等于甲的路程加乙的路程列方程
∴
解得： （不符合实际，舍去）
故答案为
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用：行程问题，解决此题的关键是找到图中的等量关系是列出方程.
（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】
解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，
因为BC2+DC2＝BD2，
则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，
（1）甲运动 后的路程是多少?
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?
10．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？
解得：x1＝x2＝0.4．
答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
2．
【解析】
【分析】
根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度 时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t的值．
6．如图，甲、乙两点分别从直径的两端点 ， 出发以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 与时间 满足关系： ，乙以 的速度匀速运动，半圆的长度为 .则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是______.
7．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．
初中数学一元二次方程的应用题型分类——行程问题（附答案）
1．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过()小时，甲、乙两人相距6千米？
A． B． C．1.5D．
2．再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度 时间t， ，其中 是开始时的速度， 是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为________s.
【苏科版】九年级数学上册第一章一元二次方程第13讲一元二次方程的应用课后练习(含答案)
第13讲一元二次方程的应用（二）题一：一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行40m后停车，并且均匀减速．(1)汽车速从20m/s到0m/s是均匀减速，则这段时间内平均车速是多少？(2)从刹车到停车用了多少时间？(3)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？(4)刹车后汽车滑行到17.5m时用了多少时间？题二：一列火车以20m/s的速度行驶，司机发现前方40m处铁路边有人以1m/s的速度横穿铁道，列车宽2.5m．(1)列车不减速，此人是否有生命危险？为什么？(2)若列车需刹车，则从刹车后到停车平均每秒车速减少多少？(3)刹车后列车滑行到25m时约用多少时间(精确到0.1s)题三：一个小球以10m/s的速度开始滑动，并且均匀减速，滑动10m后小球停下来．(1)小球滑动了多少时间？(2)小球滑动过程中，平均每秒速度的变化量是多少？(3)小球滑动到6m时约用了多少时间？(精确到0.1s)题四：一个物体以10m/s的速度开始在冰面上滑动，并且均匀减速，滑动10m后物体停下来．(1)物体滑动了多少时间？(2)物体滑动到8m时约用了多少时间(精确到0.1s)？第13讲 一元二次方程的应用（二）题一： 见详解．详解：(1)2002+=10，答：这段时间内平均车速是10m/s ；(2)t =s v =4010=4，答：从刹车到停车用了4s ； (3)2004-=5，答：从刹车到停车平均每秒车速减少5m/s ；(4)设刹车后滑行到17.5m 时用了x s ，根据题意，得20(205)17.52x x +-⋅=，解得x 1=7，x 2=1，∵x =7时，20-5x =-15＜0(舍去)，∴x =1．答：刹车后汽车行驶到17.5m 时用1s ．题二： 见详解．详解：(1)行人穿过铁路所用的时间为2.5÷1=2.5秒， 火车行驶40米所用的时间为40÷20=2秒， ∵2.5＞2，∴此人有生命危险； (2)2002.5-=8(m/s)，答：从刹车到停车平均每秒车速减少8m/s ；(3)设刹车后汽车滑行25m 时约用了x s 时间，根据题意，得 20(208)252x x +-⋅=，解得x 1=x 2=2.5，所以x =2.5，即刹车后汽车滑行25米用了2.5秒．题三： 见详解．详解：(1)设小球滑动的时间是x s ，根据题意，得 (1002-)x =10，解得x =2，答：小球滑动的时间是2s ；(2)设平均每秒速度的变化量是a m/s ，依题意，得10=0+a •2，解得a =5，答：平均每秒速度的变化量是5m/s ；(3)设用的时间是t 秒，题意，有10-6 =10t 12-×5×t 2，解得t ≈3.2s ，t ≈0.7s ，当t =3.2时，3.2＞2不合题意，舍去， 因此滑动到6m 用的时间是0.7秒．题四： 见详解．详解：(1)物体滑动的平均速度为(10+0)÷2=5m/s ，物体滑动的时间为10÷5=2s．(2)物体滑动到8m时约用了x s，平均速度为10(105)20522x x +--=，由题意，得(205)2x x-=8，解得x1=1.1，x2=2.9(不合题意，舍去)，答：物体滑动了2s；物体滑动到8m时约用了1.1s．。
七年级数学上册专题提分精练一元一次方程应用之行程问题(解析版)
专题31 一元一次方程应用之行程问题1．甲、乙两地相距300千米，从甲地开出一辆快车，速度为100千米/时，从乙地开出一辆慢车，速度为 65千米/时，如果两车相向而行，慢车先开出1小时后，快车开出，那么再经过多长时间两车相遇？若设再经过x 小时两车相遇，则根据题意列方程为（ ） A ．()10010065300x ++= B ．()100165300x x -+= C ．()6510065300x ++= D ．()6510065300x +-=【答案】C【分析】根据两车相遇共行驶270千米列出方程即可．【详解】解：设经过x 小时两车相遇，依题意得()6510065300x ++=． 故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解相遇问题中的等量关系． 2．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，经过t 小时两车相距50千米．则t 的值是（ ） A ．2 B ．2或2．25 C ．2．5 D ．2或2．5钟，但由于堵车，所以实际车速比预计的每小时慢了10千米，且路上多用了5分钟．设预计车速为x 千米/时，根据题意可列方程为（ ） A ．2530(10)6060x x =+ B ．2530(10)6060x x += C ．25x ＝30x ﹣10 D ．2530(10)6060x x =- 【答案】D【分析】由实际车速比预计的每小时慢了10千米可得出实际车速为(10)x -千米/时，利用路程=速度⨯时间，结合路程不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：预计车速为x 千米/时，实际车速比预计的每小时慢了10千米，时，水速为2千米/时，则A 港和B 港相距______千米．．如图，在ABC 中，的速度沿着三角形的边按A B C A →→→的方向行走，甲出发1s 后蚂蚁乙从点A 出发，以2cm/s 的速度沿着三角形的边按A C B A →→→的方向行走，那么甲出发________s 后，甲乙第一次相距2cm ．【答案】4【分析】根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵3cm AB =，6cm BC ，5cm AC =， ∵周长为：35614++=（cm ），∵甲乙第一次相距2cm ，则甲乙没有相遇，设甲行走的时间为t ，则乙行走的时间为(1)t -， ∵1.52(1)214t t +-+=， 解得：4t =；∵甲出发4秒后，甲乙第一次相距2cm ． 故答案为：4．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程．三、解答题 6．列方程解应用题一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是80千米/小时，卡车的行驶速度是60千米/小时，客车比卡车早2小时经过B 地，A 、B 两地间的路程是多少千米？秒后，两点相距15个单位长度．已知点B 的速度是点A 的速度的4倍(速度单位：单位长度/秒)．(1)求出点A 、点B 运动的速度，并在数轴上标出A 、B 两点从原点出发运动3秒时的位置；(2)若A 、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A 、点B 的正中间？(3)若A 、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C 同时从B 点位置出发向A 点运动，当遇到A 点后，立即返回向B 点运动，遇到B 点后又立即返回向A 点运动，如此往返，直到B 点追上A 点时，C 点立即停止运动.若点C 一直以15单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？【答案】(1)点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒4个单位长度，图见解析(2)运动1.8秒时，原点恰好处在A、B两点的正中间(3)点C行驶的路程为75单位长度【分析】（1）设点A的速度为每秒t个单位长度，则点B的速度为每秒4t个单位长度．由甲的路程+乙的路程=总路程建立方程求出其解即可；（2）设x秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间．根据两点离原点的距离相等建立方程求出其解即可；（3）先根据追及问题求出A，B相遇的时间就可以求出C行驶的路程．（1）设点A的速度为每秒t个单位长度，则点B的速度为每秒4t个单位长度．依题意有：3t+3×4t=15，解得t=1，4t=4，∵点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒4个单位长度．画图，如图所示：（2）设x秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间，根据题意，得3+x=12-4x，解得x=1.8，即运动1.8秒时，原点恰好处在A、B两点的正中间．（3）设运动y秒时，点B追上点A，根据题意，得4y-y=15，解得y=5，即点B追上点A共用去5秒，而这个时间恰好是点C从开始运动到停止运动所花的时间，因此点C行驶的路程为：15575⨯=（单位长度）．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，数轴的运用，行程问题的相遇问题和追及问题的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．8．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．()1求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？(列方程或者方程组解答)()2若两人相遇后，甲立即以每分钟300m 的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min 两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？【答案】()1甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米；()250米． 【分析】(1) 设乙的速度为每分钟x 米，则甲的速度为每分钟(200)x +米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系：甲的路程与乙的路程之差等于环形场地的路程，即可列出方程． （2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系：甲的路程加上乙的路程等于环形场地的路程，列出算式即可．【详解】解：()1 设乙的速度为每分钟x 米，则甲的速度为每分钟(200)x +米，依题意有31502003x +=⨯，解之得：150x = ，200150200350x +=+= ．答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米． （2）(2003300 1.2) 1.2⨯-⨯÷240 1.2=÷200()m = ， 20015050()m -=答：乙的速度至少要提高每分钟50米．【点睛】本题主要考查了环形跑道上的追及问题和相遇问题，明确相遇问题和追及问题的等量关系（追及问题的等量关系：甲路程-乙路程=环形跑道的长度；相遇问题的等量关系：甲路程+乙路程=环形跑道长度）是解题关键． 9．列方程解应用题如图，在数轴上的点A 表示4-，点B 表示5，若有两只电子蜗牛甲、乙分别从A 、B 两点同时出发，保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度/秒，乙的平均速度为1单位长度/秒.请问：()1两只蜗牛相向而行，经过______秒相遇，此时对应点上的数是______．()2两只蜗牛都向正方向而行，经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙？【答案】（1）3，2；（2）9秒．【分析】()1可设两只蜗牛相向而行，经过x 秒相遇，根据等量关系：两只蜗牛的速度和⨯时间()54=--，列出方程求解即可；()2可设两只蜗牛都向正方向而行，经过y 秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，根据等量关系：两只蜗牛的速度差⨯时间()54=--，列出方程求解即可．【详解】解：()1设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，依题意有()()+=--，21x54=．解得x3-+⨯=-+=．423462答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是2．()2设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有()()21y54-=--，=．解得y9答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙．【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．10．一列匀速前进的火车，通过列车隧道.（1）如果通过一个长300米的隧道AB，从车头进入隧道到车尾离开隧道，共用15秒的时间（如图1），又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车2.5秒，求这列火车的长度；（2）如果火车以相同的速度通过了另一个隧道CD，从火车车尾全部进入隧道到火车车头刚好到达隧道出口（如图2），其间共用20秒时间，求这个隧道CD的长.【答案】（1）火车长度为60米；（2）CD的长为540米答：这列火车的长度为60米.（2）火车的速度60 2.524=÷=米/秒，另一隧道的长242060540=⨯+=米.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x ，然后用含x 的式子表示相关的量，列出等式方程，即可解答.11．列方程解应用题：某校组织七年级师生共300人乘车前往“故乡”农场进行劳动教育活动. （1）他们早晨8：00从学校出发，原计划当天上午10：00便可以到达“故乡”农场，但实际上他们当天上午9：40便达到了“故乡”农场，已知汽车实际行驶速度比原计划行驶速度快10km/h.求汽车原计划行驶的速度.（2）到达“故乡”农场后，需要购买门票，已知该农场门票票价情况如右表，该校购买门票时共花了3100元，那么参加此次劳动教育的教师、学生各多少人？数轴上对应的数.若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动，动点Q 同时从点B 出发也沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度.（1）求a、b、c的值；（2）P、Q同时出发，求运动几秒后，点P可以追上点Q？（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒6个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动，追上后点M再运动几秒，M到Q的距离等于M到P距离的两倍？5min 后，爸爸以180m/min 的速度去追小明，并且在途中追上了他.（1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时距离学校有多远？ 【答案】（1）2.5min （2）650m【分析】(1)可以设爸爸追上小明用了x 分钟，根据爸爸追上小明时的行程＝小明5分钟的行程+x 分钟的行程列出方程求解即可；(2)根据(1)中的时间可求得行程，即可得距离学校的距离＝总路程一已行路程 【详解】（1）设爸爸追上小明用了min x . 依题意，得(18060)605x -=⨯， 解得 2.5x =.答：爸爸追上小明用了2.5min . （2）1100180 2.5-⨯1100450=-650(m)=答：追上小明时，距离学校还有650m 远.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.14．如图，AB=12cm ，点C 在线段AB 上，AC=3BC ，动点P 从点A 出发，以4cm/s 的速度向右运动，到达点B 之后立即返回，以4cm/s 的速度向左运动；动点Q 从点C 出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC=______cm，BC=______cm；（2）当t=______秒时，点P与点Q第一次重合；当t=______秒时，点P与点Q第二次重合；（3）当t为何值时，AP=PQ？39933动点P 从点A 出发，以每秒6个单位的速度沿A →B向终点B匀速运动；动点Q 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿C →B 向终点B 匀速运动，当P、Q都到达终点后停止运动．设点P 的运动时间为t(s) ．（1）当点P 到达点B 时，点Q 所表示的数是；（2）当t= 0.5时，线段PQ 的长为；（3）在整个运动过程中，当P ，Q 两点到点C 的距离相等时，求t 的值．44。
一元二次方程的应用8类模型(增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)(解析版)
专题09一元二次方程的应用压轴题八种模型全攻略(传播,增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)【考点导航】目录【典型例题】 (1)【题型一一元二次方程的应用--传播问题】 (1)【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】 (3)【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】 (4)【题型四一元二次方程的应用--数字问题】 (6)【题型五一元二次方程的应用--营销问题】 (8)【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】 (10)【题型七一元二次方程的应用--工程问题】 (13)【题型八一元二次方程的应用--行程问题】 (14)【过关检测】 (17)【典型例题】【题型一一元二次方程的应用--传播问题】例题：（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【答案】15人【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮传染中平均每人传染了x 人，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设每轮传染中平均每人传染了x 人，依题意，得1(1)256x x x +++=，即2(1)256x +=，解方程，得115x =，217x =-（舍去）．【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x ，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×21+月（藏书的平均增长率），即可得出关于x 的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x ，根据题意，得()2500017200x +=解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）该校这两个月藏书的月均增长率为20%；（2）()7200120%8640⨯+=（册），所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是8640册．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】例题：（2023春·北京石景山·八年级统考期末）如图，矩形草地ABCD 中，16AB =m ，10AD =m ，点O 为边AB 中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（PO PQ =，OM QN =），若草地总面积（两部分阴影之和）为2132m ，求甬路的宽．【答案】2m【分析】设甬路的宽为x m ，先得出8PQ OB ==，即8MB OB OM x =-=-，再据题意列一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设甬路的宽为x m ，∵矩形ABCD 中，PO PQ =，OM QN =，∴四边形OPQB 是正方形，∵点O 为边AB 中点，16AB =m ，【答案】()()20218x x --=【分析】由花园的长、宽及雨道的宽，可得出种植花卉的部分可合成长为形，结合花卉种植面积共为【详解】解：∵花园长20直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD 的一边长CD 为x 米．(1)求矩形ABCD 的另一边长BC 是多少米？（用含x 的代数式表示）(2)矩矩形ABCD 的面积能否为272m ？若能，求出CD 的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)（30﹣3x ）米(2)能，6m【分析】（1）根据题中条件即可求出BC 的长；（2）根据矩形ABCD 的面积为272m ，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．【详解】（1） 修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），2283(303)BC x x ∴=+-=-米，即另一边长BC 是(303)x -米；（2）矩形ABCD 的面积能为272m ，理由如下：由题意得：(303)72x x -=，整理得：210240x x -+=，解得：14x =，26x =，当4x =时，30330341815x -=-⨯=>，不符合题意，舍去；当6x =时，30330361215x -=-⨯=<，符合题意；答：矩形ABCD 的面积能为272m ，CD 的长为6m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型四一元二次方程的应用--数字问题】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（）A ．25B ．36C ．25或36D ．64【答案】C【分析】设十位数字为x ，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为()3x +．依题意得：2103(3)x x x ++=+，解得:122,3x x ==.∴这个两位数为25或36．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为x ，可得方程________．【答案】()2323x x ⋅+=或()2323x x ⋅-=【分析】已知设其中的一个奇数为x ，且设其中的一个奇数为x ，分两种情况讨论：若x 为较小的奇数，则另一个奇数为(2)x +，即可列出方程()2323x x ⋅+=；若x 为较大的奇数，则另一个奇数为(2)x -，即可列出方程()2323x x ⋅-=，即可正确解答．【详解】①若x 为较小的奇数，则另一个奇数为(2)x +，∵两个连续奇数的积为323，∴()2323x x ⋅+=；②若x 为较大的奇数，则另一个奇数为(2)x -，∴()2323x x ⋅-=；故答案为：()2323x x ⋅+=或()2323x x ⋅-=【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【答案】98【分析】设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为()1x +，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为()1x +，依题意，得：()172x x +=，整理，得：2720x x +-=，解得：19x =-（不合题意，舍去），28x =，∴()()1011081898x x ++=⨯++=．故答案为：98【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．【题型五一元二次方程的应用--营销问题】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）某水果批发商店经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商店要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】每千克水果应涨价5元【分析】设每千克应涨价x 元，根据每千克盈利5元，每天可售出600千克，每天盈利5000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：(5)(60020)5000x x +-=，解得：5x =或20x =，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；答：每千克水果应涨价5元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x ，则有：()21196x +=+％，解得：120.4, 2.4x x ==-（不符合题意，舍去），答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40％．（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m 万元，由题意得：()()15822596m m -+-=⎡⎤⎣⎦解得：1223,21m m ==，∵尽量让利于顾客，∴21m =；答：下调后每辆汽车的售价为21万元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】例题：（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在ABC 中，9016cm 12cm ACB AC BC ∠=︒==，，，动点M 、N 分别从点A 和点C 同时开始移动，点M 的速度为2cm /秒，点N 的速度为3cm /秒，点M 移动到点C 后停止，点N 移动到点B 后停止．问经过几秒钟，MCN △的面积为236cm【答案】2秒【分析】设经过x 秒钟后，MCN △的面积为236cm ，则()162cm 3cm CM AC AM x CN x =-=-=，，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可.【详解】解：设经过x 秒钟后，MCN △的面积为236cm ，【答案】4cm【分析】设cm AP x =，则形面积公式求解出AP 的值即可．【详解】设cm AP x =，则(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q 是10cm？(2)若点P沿着AB BC CD→→移动，点探求经过多长时间PBQ的面积为12cm【答案】(1)8s5或24s5；【题型七一元二次方程的应用--工程问题】例题：（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A ，B 两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B 型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了()25m +小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m 米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值．【答案】(1)A 型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)m 的值为10【分析】（1）设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“A 型设备铺设的路面长度B +型设备铺设的路面长度3600750=+”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意得，()30302303600x x ++=，解得：30x =，则23090x +=，答：A 型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，()()()303025903303600750m m m +++-+=+，整理得，2100m m -=，解得：110m =，20m =（舍去），∴m 的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x 条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x 的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）2780001625x x -；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：()2780001625780001625x x x x -=-个/天故答案为：2780001625x x -；（2）根据题意，得：2780001625702000x x -=12x =或36x =∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．【题型八一元二次方程的应用--行程问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（）【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽淮北·八年级统考期末）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（）个球队参加比赛．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】设应邀请x 个球队参加比赛，则总共需安排()112x x -场比赛，根据计划安排28场比赛建立方程，解方程即可得．【详解】解：设应邀请x 个球队参加比赛，则总共需安排()112x x -场比赛，由题意得：()11282x x -=，解得8x =或70x =-<（不符合题意，舍去），故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）电影《长津湖之水门桥》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役的一部分为背景，上演了一段可歌可泣的历史，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约6亿元，以后每天票房按相同的增长率增长；三天后累计票房收入达14.7亿元，若设平均每天票房的增长率为x ，则可以列方程为（）A ．()6114.7x +=B ．26(1)14.7x +=C ．266(1)14.7x ++=D ．()26616(1)14.7x x ++++=【答案】D【分析】设平均每天票房的增长率为x ，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解．【详解】设平均每天票房的增长率为x ，则可以列方程为()()26616114.7x x ++++=，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．3．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（）A ．22元B ．24元C ．26元D ．28元【答案】A 【分析】根据题意可知：标价⨯（折数÷10）－成本=利润，可以列出相应方程，然后求解即可；【详解】设每本《几何原本》的进价为x 元，则：由题意可得：400.810x ⨯-=，解得：22x =；故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；对于本题运用到的公式：标价⨯（折数÷10）－成本=利润，一定要熟记并能够在题目中合理运用．4．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，某景区计划在一个长为72m ，宽为40m 的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为21792m ，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m ？设行车通道的宽度是m x ，则可列方程为（）A ．()()72401792x x --=B ．()()7244021792x x --=C ．()()7234021792x x --=D ．()()724401792x x --=【答案】B 【分析】设行车通道的宽度为m x ，再根据停车区域面积之和为21792m 列出一元二次方程，然后求解即可．【详解】解：设行车通道的宽度为m x ．根据题意，得()()7244021792x x --=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（）A ．36B ．26C ．24D ．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了4t 步，甲斜向北偏东方向走了(610)t -步，利用勾股定理即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值，将其值代入4t 中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了4t 步，甲斜向北偏东方向走了(610)t -步，依题意得：22210(4)(610)t t +=-，整理得：2201200t t -=，解得：126,0t t ==（不合题意，舍去），∴44624t =⨯=．故乙走的步数是24．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题（1）BC=三、解答题11．（2023春·安徽六安·八年级校联考期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【答案】若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x 台电脑，则第一轮后共有(1)x +台被感染，第二轮后共有(1)(1)x x x +++即2(1)x +台被感染，利用方程即可求出x 的值，并且3轮后共有3(1)x +台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则经过1轮后有()1x +台被染上病毒，2轮后就有()21x +台被感染病毒，依题意，得()2181x +=，解得18x =，210x =-（舍去）．所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．由此规律，经过3轮后，有()()33118729x +=+=台电脑被感染．由于729700>，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【点睛】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．12．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，求平均每月的增长率是多少？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？【答案】(1)20%(2)6元【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x ，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量⨯（1+该工厂平均每月生产量的增长率）的平方，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每个“冰墩墩”降价y 元，则每个盈利()20y -元，平均每天可售出(20)5y +个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润=每个的销售利润⨯平均每天的销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之取其符合(1)DC=___________米（用含(2)若长方形围栏ABCD(3)长方形围栏ABCD面积是否有可能达到(1)用含t 的式子表示线段的长：CQ =__________；PB =__________．(2)当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离为13cm ？(3)当t 为何值时，四边形APQD 的形状可能为矩形吗？若可能，求出t 的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)2cm t ，()153cmt -(2)P 、Q 出发0.6和5.4秒时，P ，Q 间的距离是13cm(3)P 、Q 出发3秒时四边形APQD 为矩形【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）可通过构建直角三角形来求解．过Q 作QM AB ⊥于M ，如果设出发t 秒后，13cm QP =．那么可根据路程=速度⨯时间，用未知数表示出PM 的值，然后在直角三角形PMQ 中，求出未知数的值．（3）利用矩形的性质得出当AP DQ =时，四边形APQD 为矩形求出即可【详解】（1）解：由题意得：2cm,3cm CQ t AP t ==，∵15cm AB =，∴()153cm PB t =-；故答案为2cm t ，()153cm t -；（2）解：设出发t 秒后P 、Q 两点间的距离是13cm ．则3AP t =，2CQ t =，作QM AB ⊥于M ，∵四边形ABCD 是矩形，。
湘教版九年级数学上学期(第一学期)《一元二次方程》应用题归类练习及答案解析.docx
（新）湘教版九年级数学上册 一元二次方程 应用题归类练习前言：（新）湘教版九年级数学上册一元二次方程的应用主要讲了三种类型的应用题：①增长率问题，引例（动脑筋）和例1。
②销售、利润问题，例2。
③几何图形的面积与动点移动形成的几何图形的面积，引例（动脑筋）例3，例4。
复习题中还出现了数字方面的应用题。
无论哪一种题型都离不开教材第50页的议一议，要建立好一元二次方程的模型，才能去很好的解一元二次方程。
在这里把（新）湘教版九年级数学上册一元二次方程的应用归一下类，供大家参考！一、 增长率问题：1、某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为 ．2、2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x ，可列方程为 ．3、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的平均增长率x 相同，则下列方程正确的是（ ）A.250(1)196x +=B. 25050(1)196x ++=C.()()250501501196+x x +++=D. ()()505015012196+x x +++=4、满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？5、全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元购买药品？（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．①求2014年社区购买药品的总费用；②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．二、销售、利润问题：6、新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为．7、百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，现在一天可售出件，每件盈利元．8、水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？9、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？10、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．11、随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？12、某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格=150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y=﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格一成本）×日销售量）（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．三、面积、动点问题：13、在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②），使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为．14、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程．15、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？16、如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）17、已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：（1）经过秒时，求△PBQ的面积；（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．18、如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，则四边形APQC的面积是．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，以P、Q、B三点为顶点的△与△ABC相似？19、如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q 分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= 6cm，BQ= 12cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？（4）经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值．四、数字问题：20、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为．21、根据题意，列出方程：已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数；五、行程问题：22、“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m小时，求m的值．一元二次方程应用题归类练习参考答案：1、8100×（1﹣x）2=7600 ．2、1585（1+x）2=2180 ．3、C4、解：（1）设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，5000（1﹣x）2=4050，解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为10%．（2）方案一的房款是：4050×100×0.98+3600=400500（元）；方案二的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元）∵400500元＜401400元．5、解：（1）设2014年购买药品的费用为x万元，根据题意得：30﹣x≤×30，解得：x≥10，则2014年最低投入10万元购买药品；（2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y=30，解得：y=16，30﹣y=14，则2014年购买药品的总费用为16万元；②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的户数为200（1+m），2015年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元，依题意得：200（1+m）•（1﹣m）=（1+50%）×14×，解得：m=±，∵m＞0，∴m==50%，∴200（1+m）=300（户），则2015年该社区健身家庭的户数为300户．6、（40﹣x）（20+2x）=1200 ．7、请先填空后再列方程求解：设每件童装降价x 元，那么平均每天就可多售出2x 件，现在一天可售出20+2x 件，每件盈利40﹣x 元．解：设每件童装降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200即：x2﹣30x+200=0解得：x1=10，x2=20∵要扩大销售量，减少库存∴舍去x1=10答：每件童装应降价20元．8、（1）100+200x （用含x的代数式表示）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．9、解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理得2x2﹣60x+400=0解得x1=20，x2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]=﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．10、解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得﹣10x2+1300x﹣30000利润w（元）（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000，解之得：x1=50 x2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．11、解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．12、解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，依题意得：150（1﹣12%）=（1+10%）z，解得：z=120，答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]=660，整理得：x2+8x﹣20=0，解得：x1=2，x2=﹣10，此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；（3）根据题意得：1≤a≤6．13、（2x+6）（2x+8）=80 ．14、（80+2x）（50+2x）=5400 ．15、解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．16、解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．17、解：（1）经过秒时，AP=cm，BQ=cm，∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，∴AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=3﹣=cm，∴△PBQ的面积=BP•BQ•sin∠B=×××=；（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3﹣t）cm，△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，当∠BQP=90°时，BQ=BP，即t=（3﹣t），t=1（秒），当∠BPQ=90°时，BP=BQ，3﹣t=t，t=2（秒），答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．（3）过P作PM⊥BC于M，△BPM中，sin∠B=，∴PM=PB•sin∠B=（3﹣t），∴S△PBQ=BQ•PM=•t•（3﹣t），∴y=S△ABC﹣S△PBQ=×32×﹣×t×（3﹣t）=t2﹣t+，∴y与t的关系式为y=t2﹣t+，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，则S四边形APQC=S△ABC，∴t2﹣t+=××32×，∴t2﹣3t+3=0，∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，∴方程无解，∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．18、解：（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积=×6×8﹣×6×3=24﹣9=15（cm2）．故答案为15cm2；（2）设经过x秒钟，S△PBQ=8cm2，BP=6﹣x，BQ=2x，∵∠B=90°，∴BP×BQ=8，∴×（6﹣x）×2x=8，∴x1=2，x2=4，答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，S△PBQ=8cm2；（3）设经过y秒后，以P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似：①若△PBQ～△ABC，则有=，即=，解得：y=；②若△QBP～△ABC，则有=，即=，解得：y=．答：经过或秒后，以P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．19、解：（1）由题意，得AP=6cm，BQ=12cm，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∴BP=12﹣6=6cm．（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，当∠PQB=90°时，∴∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=12﹣x，BQ=2x，∴12﹣x=2×2x，解得x=，当∠QPB=90°时，∴∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴2x=2（12﹣x），解得x=6．答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；（3）作QD⊥AB于D，∴∠QDB=90°，∴∠DQB=30°，∴DB=BQ=x，在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=x，∴=10，解得x1=10，x2=2，∵x=10时，2x＞12，故舍去，∴x=2．答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2．；（4）∵△BPQ的面积==﹣x2+6x，∴当x==6时，△BPQ的面积最大，此时最大值为﹣×62+6×6=18．故答案为：6cm、12cm．20、x（x﹣1）=1640 ．21、解：设个位数字为x，则十位数字为12﹣x，由题意得：x（12﹣x）=32；22、解：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，解得：，答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m）=1600，解得：m1=20，m2=0（不合题意舍去），答：m的值为20．。
初中列方程解应用题(行程问题)专题
初中列方程解应用题（行程问题）专题行程问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的问题。
我们常用的基本公式是:路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度.行程问题是个非常庞大的类型,多年来在考试中屡用不爽,所占比例居高不下。
原因就是行程问题可以融入多种练习,熟悉了行程问题的学生,在多种类型的习题面前都会显得得心应手。
下面我们将行程问题归归类，由易到难，逐步剖析。
1. 单人单程：例1：甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从h km /80提高到h km /100,运行时间缩短了h 3。
甲，乙两城市间的路程是多少?【分析】如果设甲，乙两城市间的路程为x km ,那么列车在两城市间提速前的运行时间为h x 80，提速后的运行时间为h x 100. 【等量关系式】提速前的运行时间—提速后的运行时间=缩短的时间. 【列出方程】310080=-x x .例2：某铁路桥长1000m ，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min ，整列火车完全在桥上的时间共s 40。
求火车的速度和长度。
【分析】如果设火车的速度为x s m /，火车的长度为y m ，用线段表示大桥和火车的长度，根据题意可画出如下示意图：【等量关系式】火车min 1行驶的路程=桥长+火车长；火车s 40行驶的路程=桥长-火车长 【列出方程组】⎩⎨⎧-=+=y x y x 100040100060举一反三：1．小明家和学校相距km15。
小明从家出发到学校，小明先步行到公共汽车站，步行的速度为60min/m，再乘公共汽车到学校，发现比步行的时间缩短了km/40，求小明从家到学校用了多长时间。
20，已知公共汽车的速度为hmin2．根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高km1）km/260.求提速后的火车速度。
中考数学之一元二次方程应用题精选含答案解析
2014、一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6-x），根据题意可知，[10（6-x）+x][10x+（6-x）]=1008，即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∴6-x=4，或6-x=2，∴10（6-x）+x=42或10（6-x）+x=24，答：这个两位数是42或24．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据题意得w=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250（1）当w=1200时，-2x2+60x+800=1200，解之得x1=10，x2=20．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利（40-x ）（20+2x ）=-2（x-15）2+1250．当x=15时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？解：设每台冰箱应降价x 元 ,那么(8+50x×4) ×(2400－x －2000)=4800 所以(x - 200)(x - 100)=0x = 100或200 所以每台冰箱应降价100或200元.5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元根据题意，得：20024)401.0200)(23(=-⨯+--x x 解得：1x ＝0.2，2x ＝0.3答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。
初中数学二元一次方程组的应用题型分类汇编——行程问题2(附答案)
故可得方程组：
5
6 2
3
x y (x 6)
y
，
10
x 36
解得：
y
30
．
故选 C．
【点睛】
此题主要考查方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组.
3．B
【解析】
【分析】 根据甲乙两人在相距 18 千米的两地，若同时出发相向而行，经 2 小时相遇，可得 2x+2y=18， 根据甲比乙先出发 1 小时，那么在乙出发后经 4 小时甲追上乙，可得 5x-4y=18，从而可以 列出相应的方程组． 【详解】 由题意可得，
初中数学二元一次方程组的应用题型分类汇编——行程问题 2（附答案） 1．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时 15 分钟．他 骑自行车的平均速度是 250 米/分钟，步行的平均速度是 80 米/分钟．他家离学校的距离 是 2900 米．如
果他骑车和步行的时间分别为 x, ?y 分钟，列出的方程是（ ）
xy 1
A．{
4
250x 80 y 2900
x y 15 B．{
80x 250 y 2900
xy 1
C．{
4
80x 250 y 2900
x y 15 D．{
250x 80 y 2900
2．公司职员小王和小陈在同一办事处工作，某天下午 2 点整要参加公司总部的西部大
开发研讨会．下午小陈 1 点整从办事处出发，乘出租车于 1 点 50 分提前到达公．28 和 12
D．30 和 10
5．某部队第一天行军 5 h，第二天行军 6 h，两天共行军 120 km，且第二天比第一天多
走 2 km，设第一天和第二天行军的速度分别为 xkm/h 和 ykm/h，则符合题意的二元一次
九年级数学上册知识点----应用一元二次方程行程问题及几何问题
变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知 两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到 0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
(1 x)2= 1 2
解这个方程，得
x1=1+
2 2
,
x2
=1
2 2
x =1+ 2 ＞1(舍去),x =1 2 29.3%.
0
10×少 1 10×卖 2
十
10×3
斤
10×4
10x
100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4
100-10x
w=(3-2) ×100
w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+2)× (100-10×2）
w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4)
列方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的 年平均下降率约为22.5％.
解后反思
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率 （百分数）就大呢？
答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降 额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的 年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然， 乙种药品成本的年平均下降额较大．
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的 大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降 率大呢?
答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的 年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很 多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．
人教版九年级数学上册 期末复习(易错题精选、一元二次方程)二套含答案
人教版九年级数学上册期末复习01—易错题精选一、选择题（每小题3分，共24分）1.关于x 的方程22210m x x --+=（）有实数解，那么m 的取值范围是（ ）A .2m ≠B .3m ≤C .3m ≥D .32m m ≤且≠2.某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日（可以不同年）进行统计，则正确的说法是（ ）A .至少有两名学生生日相同B .不可能有两名学生生日相同C .可能有两名学生生日相同，但可能性不大D .可能有两名学生生日相同，且可能性很大3.如图①是33⨯正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）A .4种B .5种C .6种D .7种4.如图，在正方体的表面展开图中，要将a -、b -、c -填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为（ ） A .12 B .13C .14D .16 5.有两个一元二次方程：2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中0a c +=，下列四个结论中，错误的是（ ）A .如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B .如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C .如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D .如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =6.如图，在ABC △中，AB AC =，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是（ ）A .线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点B .线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点C .线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点D .线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点7.已知二次函数2y x bx c =++的图象过点1A m （，），3B m （，），若点12M y -（，），21N y -（，），38K y （，）也在二次函数2y x bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ）A .123y y y ＜＜B .213y y y ＜＜C .312y y y ＜＜D .132y y y ＜＜8.已知抛物线20y ax bx c a =++（＞）过20-（，），23（，）两点，那么抛物线的对称轴（ ） A .只能是1x =- B .可能是y 轴 C .在y 轴右侧 D .在y 轴左侧二、填空题（每小题4分，共32分）1.请写出一个符合下列全部条件的函数解析式________；（1）图象不经过第三象限；（2）当1x -＜时，y 随x 的增大而减小；（3）图象经过点11-（，）. 2.若抛物线2y ax c =+与x 轴交于点0A m （，），0B n （，），与y 轴交于点0C c （，），则ABC △称为“抛物三角形”.特别地，当0mnc ＜时，称ABC △为“倒抛物三角形”，此时a ，c 应分别满足条件________.3.已知圆的两条平行弦分别长6dm 和8dm ，若这圆的半径是5dm ，则两条平行弦之间的距离为________.4.如图，AB 是O e 的弦，6AB =，点C 是O e 上的一个动点，且°45ACB ∠=.若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是________.5.有四张正面分别标有数字3-，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有正整数解的概率为________.6.如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转°60得到FC ，连接DF .则在点E 运动过程中，DF 的最小值是________.7.如图，已知二次函数20y ax bx c a =++（≠）的图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -＜＜，212x ＜＜，下列结论：①0abc ＜；②2a b a -＜＜；③284b a ac +＜；④10a -＜＜，其中正确结论的序号是________.8.如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是________.三、解答题（共64分）1.（6分）用四块如图①所示的瓷砖拼铺一个成正方形的地板，使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形，请你在图②和③中各画出一种拼法.（要求两种拼法各不相同）2.（8分）张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，商量后计划通过转盘游戏来决定，并各自设计了一种方案：张彬：将一个可以自由转动并标有阴影区域面积的转盘（如图①），随意转动，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；王华：将分成4等分且分别标有数字1，2，3，4的转盘，随意转动两次，当指针所指两个数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券.（1）使用张彬设计的方案，随机转动转盘一次，指针指向阴影区域的概率是多少？（2）请你运用所学的概率知识，帮助张彬和王华选出公平的游戏方案.3.（11分）如图①所示，AB 是O e 的直径，AC 是弦，直线EF 和O e 相切于点C ，AD EF ⊥，垂足为D .（1）求证：DAC BAC ∠=∠；（2）若把直线EF 向上平行移动，如图②所示，EF 交O e 于G ，C 两点，若题中的其他条件不变，试探究与DAC ∠相等的角是哪一个？说明理由.4.（12分）等腰ABC △的直角边10cm AB BC ==，点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，均以1cm /秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D .设P 点运动时间为t ，PCQ △的面积为S .（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，PCQ ABC S S =△△？（3）作PE AC ⊥于点E ，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论.5.（13分）已知Rt ABO △中，边1AB OB ==，°90ABO ∠=.【问题探究】（1）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作正方形ABCD ，如图①，则点O 与点D 的距离为________.（2）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作等边三角形ABC ，如图②，求点O 与点C 的距离.【问题解决】（3）若线段1DE =，线段DE 的两个端点D ，E 分别在射线OA ，OB 上滑动，以DE 为边向外作等边三角形DEF ，如图③，则点O 与点F 的距离有没有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，说明理由.6.（14分）如图，抛物线2:L y x bx c =++经过A （0，3），B （1，0）4两点，点M 为顶点.（1）求b ，c 的值；（2）将OAB △绕点B 顺时针旋转：①当旋转°90时，点A 落在点C 的位置，将抛物线L 通过向上或向下平移后经过点C .求平移后所得抛物线1L 的表达式；②记OAB △绕点B 顺时针旋转过程中点A 的对应点为A '，点O 的对应点为O '，在抛物线1L 上是否存在A '，使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点A '的坐标；若不存在，请说明理由.期末复习—易错题精选参考答案一、1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D .二、1.【答案】211y x =--（）（答案不唯一） 2.【答案】0a ＜，0c ＞3.【答案】1dm 7dm 或4.【答案】5.【答案】146.【答案】1.57.【答案】①②8.【答案】4144-+-或或三、1.【答案】答案不唯一.2.【答案】解：（1）根据转盘中阴影部分扇形的圆心角度数和°°°10070170+=则P （指针指向阴影区域）°°1701736036==.（2）由（1）得张彬设计的方案中，张彬得到入场券的概率为1736P =，王华得到入场券的概率为171913636P =-=，则张彬的方案不公平. 利用王华的方案画树状图如下：由树状图得，共有16种等可能的结果，两次数字之和为偶数的有8种，则王华得到入场券的概率为81162P ==，张彬得到入场券的概率为12P =，∴王华的设计方案公平. 3.【答案】（1）证明：如图①，连接OC .EF Q 与O e 相切于点C ，OC EF ∴⊥...AD EF AD OC OCA DAC ∴∴∠=∠Q ⊥，∥.OA OC OCA BAC DAC BAC =∴∠=∠∴∠=∠Q ，，（2）解：BAG ∠与DAC ∠相等.理由如下：如图②，连接BC ，则B AGD ∠=∠.AB Q 是直径，AD EF ⊥，°90BCA GDA ∴∠=∠=，°90B BAC ∴∠+∠=，°90AGD DAG ∠+∠=.BAC DAG ∴∠=∠，BAC CAG DAG CAG ∴∠-∠=∠-∠.即BAG DAC ∠=∠.4.【答案】解：（1）当10t ＜秒时，P 在线段AB 上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. 当10t ＞秒时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. （2）1502ABC S AB BC ==Q g △， 211010502PCQ t S t t ∴=-=△当＜秒时，（）. 整理，得2101000t t -+=，无解.当10t ＞秒时，2110502PCQ S t t =-=△（）.整理，得2101000t t --=，解得5t =±.∴当点P 运动5±（秒时，PCQ ABC S S =△△.（3）当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.证明：过Q 作QM AC ⊥，交直线AC 于点M .易证APE QCM △≌△，2AE PE CM QM ∴====. ∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半.又EM AC ==Q ，DE ∴=.∴当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.同理，当点P 在点B 右侧时，DE =综上所述，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.5.【答案】（1（2）过点C 作CD OB ⊥，垂足为点D .连接OC ，则°30CBD ∠=.1AB BC ==Q ，∴在Rt CBD △中，12CD =，BD =，1OD ∴=+.∴在Rt CDO △中，OC ==.（3）点O 与点F 的距离有最大值. 作ODE △的外接圆M e ，连接MD ，ME ，MF ，MO ，OF ，则OF MO MF +≤. 设MF 与DE 交于点N .°°4590AOB DME ∠=∴∠=Q ，.1DE =Q ，∴可得M e 的半径为2MD ME MO ===. MD ME =Q ，DF EF =，MF ∴垂直平分DE .1122MN DE ∴==，22NF EF ==.12OF OM MF ∴+=+≤OF ∴最大值. 6.【答案】解：（1）已知抛物线L 经过点A （0，3），B （1，0），将其代入2y x bx c =++，得310c b c =⎧⎨++=⎩，，解得43.b c =-⎧⎨=⎩， 即b ，c 的值分别为4-和3.（2）①根据点A ，B 坐标，可知3OA =，1OB =，如图，将OAB △绕点B 顺时针旋转°90后，可得点C 坐标为（4，1）.当4x =时，由243y x x =-+得3y =，可知抛物线L 经过点（4，3），∴将原抛物线沿y 轴向下平移2个单位后过点C .∴平移后的抛物线1L 的表达式为241y x x =-+.②存在.如图，OAB △绕点B 旋转过程中，当点A '，B ，A 三点在同一直线上时满足以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.AB A B '=Q ，OB O B '=，∴四边形OAO A ''为平行四边形.根据图形的旋转性质，可知3O A OA ''==，1OB O B '==，且°90AOB A O B ''∠=∠=， ∴点A '的坐标为23-（，）. 又Q 抛物线1L 的表达式为241y x x =-+，∴抛物线1L 的顶点坐标为23-（，）. ∴点A '坐标与抛物线1L 的顶点坐标重合.∴抛物线1L 上存在一点23A '-（，），使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.人教版九年级数学上册期末专项复习02—一元二次方程考点1 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知231m x -=（）是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A .3m ≠B .3m ≥C .2m -≥D .23m m -≥且≠2.已知关于x 的方程211210m xm m x +++--=（）（）.（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1.若一元二次方程2243680a x a x a -+++-=（）（）没有常数项，则a 的值为________.2.已知关于x 的一元二次方程221510m x x m -++-=（）的常数项为0，求m 的值.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1.已知关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），则a b -的值为（） A .1- B .0 C .1 D .22.已知关于x 的一元二次方程2243160k x x k +++-=（）的一个根为0，求k 的值.3.已知实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，求代数式22120152016a a a +--的值.题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1.已知m ，n 是方程2210x x --=的两个根，是否存在实数a 使22714367m m a n n -+--（）（）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.考点2 一元二次方程的解法归类类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如20x m n n +=（）（≥）的一元二次方程用直接开平方法求解1.方程24250x -=的解为（）A .25x = B .52x = C .52x =± D .25x =±2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）A .255x -=B .230x -=C .240x +=D .210x +=（）方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解1.用配方法解方程234x x +=，配方后的方程变为（）A .227x -=（）B .221x +=（）C .221x -=（）D .222x +=（）2.解方程：2420x x +-=.3.已知221016890x x y y -+-+=，求x y的值.方法3 能化成形如0x a x b ++=（）（）的一元二次方程用因式分解法求解1.一元二次方程22x x x -=-（）的根是（）A .1-B .0C .1和2D .1-和22．解下列一元二次方程：（1）220x x -=；（2）21690x -=；（3）2441x x =-.方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解1.用公式法解一元二次方程2124x x =-，方程的解应是（）A .x =B .xC .xD .x2.用公式法解下列方程.（1）23170x x +-=（）；（2）24352x x x --=-.类型2 选择合适的方法解一元二次方程1.方程24490x -=的解为（） A .27x = B .72x =C .172x =，272x =-D .127x =，227x =- 2.一元二次方程293x x -=-的根是（）A .3B .4-C .3和4-D .3和43.方程135x x +-=（）（）的解是（）A .11x =，23x =-B .14x =，22x =-C .11x =-，23x =D .14x =-，22x = 4.解下列方程.（1）23360y y --=；（2）22310x x -+=.类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1.解方程：2619100x x ++=.2.若m ，n ，p 满足8m n -=，2160mn p ++=，求m n p ++的值.方法2 换元法a .整体换元1.若280a b a b +++-=（）（），则a b +的值为（）A .4-或2B .3或32- C .2-或4 D .3或2- 2.已知22260x xy y x y -++--=，则x y -的值是（）A .2-或3B .2或3-C .1-或6D .1或6-3.解方程：223220x x ---+=（）（）.4.解方程：123448x x x x ----=（）（）（）（）.b .降次换元1.解方程：432635623560x x x x -+-+=.c .倒数换元1.解方程：2322x x x x --=-.方法3 特殊值法1.解方程：2013201420152016x x --=⨯（）（）.考点3 根的判别式的四种常见应用题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知关于x 的方程2110kx k x +--=（），下列说法正确的是（）A .当0k =时，方程无解B .当1k =时，方程有一个实数解C .当1k =-时，方程有两个相等的实数解D .当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解2.已知方程220x x m --=没有实数根，其中m 是实数，试判断方程2210x mx m m +++=（）有无实数根.题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.2．已知关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），（1）证明：不论m 为何值，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.题型3 利用根的判别式求代数式的值1.已知关于x 的方程22140x m x +-+=（）有两个相等的实数根，求21212m m m--+（）的值.2.已知关于x 的一元二次方程2200mx nx m +-=（≠）有两个相等的实数根，求222416mn m n ++-（）的值.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.2.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程204a c a c x bx -+++=（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.考点4 一元二次方程与三角形的综合题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1.三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程27120x x -+=的解，则第三边的长为（）A .3B .4C .3或4D .无法确定 2.根据一元二次方程根的定义，解答下列问题.一个三角形两边长分别为3cm 和7cm ，第三边长为cm a ，且整数a 满足210210a a -+=，求三角形的周长.题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程217600x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________.2.已知a ，b ，c 分别是ABC △的三边，当0m ＞时，关于x 的一元二次方程220c x m b x m ++--=（）（）有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由.3.已知ABC △的三边a ，b ，c 中，1a b =-，1c b =+，又已知关于x 的方程2420120x x b -++=的根恰为b 的值，求ABC △的面积.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1.等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两个根，则k 的值是（）A .27B .36C .27或36D .182.已知关于x 的一元二次方程220a c x bx a c +++-=（）（），其中a ，b ，c 分别为ABC △的三边的长.（1）如果1x =-是方程的根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（3）如果ABC △是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.考点5 根与系数的关系的四种应用类型 题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1.设方程24730x x --=的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值. （1）1233x x --（）（）； （2）211211x xx x +++； （3）12x x -.题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1.构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22210x mx m --+=的两根的平方和是294，求m 的值.2.已知关于x 的方程2220x x a ++-=.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4.已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，是否存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用 题型1 营销问题1.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）题型2 行程问题3.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？应用3 工程问题4.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；（2）若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天（用含a 的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？考点7 几种常见的热门考点 题型1 一元二次方程的根1.若一元二次方程220150ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=________.2.若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一根为1-，且2a =，求20162015a b c+（）的值.题型2 一元二次方程的解法1.用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（）A .210x +=（）B .210x -=（）C .212x +=（）D .212x -=（）2.一元二次方程2230x x --=的解是（） A .11x =-，23x =B .11x =，23x =-C .11x =-，23x =-D .11x =，23x =3.选择适当的方法解下列方程：（1）21210x x x -+-=（）（）；（2）221327x x x -=+-（）（）.题型3 一元二次方程根的判别式1.若关于x 的方程220x x a ++=不存在实数根，则a 的取值范围是（） A .1a ＜B .1a ＞C .1a ≤D .1a ≥2.已知关于x 的一元二次方程210x m +-=（）有两个实数根，则m 的取值范围是（）A .34m -≥ B .0m ≥ C .1m ≥ D .2m ≥3.在等腰三角形ABC 中，三边长分别为a ，b ，c .其中5a =，若关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（） 有两个相等的实数根，求ABC △的周长.题型4 一元二次方程根与系数的关系1.已知α，β是关于x 的一元二次方程22230x m x m +++=（）的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（） A .3B .1C .3或1-D .3-或12.关于x 的方程231210ax a x a -+++=（）（）有两个不相等的实数根1x ，2x ，且有12121x x x x a +-=-，求a 的值.3.设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222420x ax a a +++-=的两个实数根，当a 为何值时，2212x x +有最小值？最小值是多少？题型5 一元二次方程的应用1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？2.某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程1cm （）与时间t s （）满足关系：2131022t t t =+（≥），乙以4cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为21cm .（1）甲运动4s 后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？题型6 新定义问题1.若1x ，2x 是关于x 的方程20x bx c ++=的两个实数根，且122x x k +=（k 是整数），则称方程20x bx c ++=为“偶系二次方程”．如方程26270x x --=，2280x x --=，227304x x +-=，26270x x +-=，2440x x ++=都是“偶系二次方程”.判断方程2120x x +-=是否是“偶系二次方程”，并说明理由.期末专项复习—一元二次方程答案解析考点1 题型1 1.【答案】D【解析】由题意，得3020m m -⎧⎨+⎩≠，≥，解得2m -≥且3m ≠.2.【答案】解：（1）当21210m m ⎧+=⎨+⎩，≠时，它是一元二次方程，解得1m =.当1m =时，原方程可化为2210x x --=.（2）当22010m m ⎧-⎨+=⎩≠，或者当120m m ++-（）≠且211m +=时，它是一无一次方程.解得1m =-或0m =.故当1m =-或0m =时，它是一元一次方程. 题型2 1.【答案】8【解析】由题意得80240.a a -=⎧⎨-⎩，≠解得8a =.2.【答案】由题意，得21010m m ⎧-=⎨-⎩，≠，解得1m =-.题型3 1.【答案】A【解析】∵关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），20a ab a ∴-+=.10a a b ∴-+=（）.0a Q ≠，1.a b ∴-=-2.【答案】解：把0x =代入2243160k x x k +++-=（），得2160k -=，解得14k =，24k =-.40k +Q ≠，4k ∴-≠，4k ∴=.3.【答案】解：∵实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，2201610a a ∴-+=.221201620161a a a a ∴+=-=-，.22222120162015201520152016120162016a aa a a a a a a a a +∴--=--=--=-=-题型41.【答案】解：由题意可知22210210m m n n --=--=，，22227143677232773747m m a n n m m a n n a a ⎡⎤⎡⎤∴-+--=-+--=+-=-+⎣⎦⎣⎦（）（）（）（）（）（）（），由 478a -+=（）得9a =-，故存在满足要求的实数a ，且a 的值等于9-.考点2 类型1 方法1 1.【答案】C 2.【答案】C 方法2 1.【答案】C2.【答案】解：22242042262x x x x x x +-=+=+=+=，，（），1222x x =-=-3.【答案】解：2222221016890102516640580x x y y x x y y x y -+-+=-++-+=-+-=，（）（），（）（），558.8x x y y ∴==∴=，，方法3 1.【答案】D2.【答案】解：（1）21220200 2.x x x x x x -=-===，（），， （2）21233169043430.44x x x x x -=+-==-=，（）（），， （3）2221214414410210.2x x x x x x x =--+=-===，，（），方法4 1.【答案】B2.【答案】解：（1）2231703730x x x x +-=-+=（），，224743313b ac ∴-=--⨯⨯=（），12x x x ∴=∴= （2）2243524430x x x x x --=---=，，224444364b ac x ∴-=--⨯⨯-=∴=（）（），1231.22x x ∴==-，类型2 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B4.【答案】解：（1）22221919133360200442422y y y y y y y y --=--=-+-=-=-=±，，，（），，122 1.y y ∴==-，（2）2223231043421122x x b ac x ±-+=-=--⨯⨯=∴=⨯，（），，即1211.2x x ∴==， 类型3 方法11.【答案】解：将原方程两边同乘6，得26196600x x +⨯+=（）（）.解得615x =-或64x =-.1252.23x x ∴=-=-，2.【答案】解：因为8m n -=，所以8m n =+.将8m n =+代入2160mn p ++=中，得28160n n p +++=（），所以228160n n p +++=，即 2240n p ++=（）.又因为240n +（）≥，20p ≥，所以400n p +=⎧⎨=⎩，，解得40.n p =-⎧⎨=⎩，所以84m n =+=，所以4400m n p ++=+-+=（） 方法2 a1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】223220.x x ---+=（）（）设2x y -=，原方程化为2320y y -+=， 解得121 2.y y ==，当1y =时，213x x -==，， 当2y =时，22 4.x x -==， 原方程的解为1234x x ==，.4.【答案】解：原方程即[][]142348x x x x ----=（）（）（）（），即22545648x x x x -+-+=（）（）.设255y x x =-+，则原方程变为1148y y -+=（）（）. 解得1277y y ==-，.当2557x x -+=时，解得12x x ==当2557x x -+=-时，254112230∆=--⨯⨯=-（）＜，方程无实数根．∴原方程的根为12x x = b1.【答案】解：经验证0x =不是方程的根，原方程两边同除以2x ，得22356635620x x x x -+-+=， 即2211635620x x x x +-++=（）（）. 设1y x x =+，则22212x y x+=-，原方程可变为26235620y y --+=（）. 解得152y =，2103y =. 当152x x +=时，解得12x =，212x =；当1103x x +=时，解得33x =，413x =.经检验，均符合题意.∴原方程的解为12x =，212x =，33x =，413x =. c1.【答案】解：设2x y x-=，则原方程化为32y y -=，整理得2230y y --=，∴13y =，21y =-.当3y =时，23x x -=，∴1x =-. 当1y =-时，21x x-=-，∴1x =.经检验，1x =±都是原方程的根， ∴原方程的根为11x =，21x =-. 方法31.【答案】解：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩，的解一定是原方程的解，解得4029x =.方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，的解也一定是原方程的解，解得2x =-.∵原方程最多有两个实数解， ∴原方程的解为14029x =，22x =-.【解析】解本题也可采用换元法．设2014x t -=，则20131x t -=+，原方程可化为120152016t t +=⨯（），先求出t ，进而求出x . 考点3 题型1 1.【答案】C【解析】当0k =时，方程为一元一次方程，解为1x =；当0k ≠时，因为222141211k k k k k ∆=--⋅-=++=+（）（）（）≥0，所以当1k =时，4∆=，方程有两个不相等的实数解；当1k =-时，0∆=，方程有两个相等的实数解； 当0k ≠时，0∆≥，方程总有两个实数解.故选C . 2.【答案】解：220x x m --=Q 没有实数根，2124440m m ∴∆=--⋅-=+（）（）＜，即1m -＜.对于方程2210x mx m m +++=（），2224144m m m m ∆=-⋅+=-（）（）＞，∴方程2210x mx m m +++=（）有两个不相等的实数根. 题型21.【答案】解：（1）根据题意得2444242080b ac k k -=--=-（）＞， 解得25k ＜.（2）由k 为正整数，可得1k =或2k =.利用求根公式可求出方程的根为1x =- ∵方程的根为整数，∴52k -为完全平方数， ∴k 的值为2.2.【答案】（1）证明：[]22228442m m m m m ∆=-+-=-+=-（）（）. ∵不论m 为何值，220m -（）≥，即0△≥.∴不论m 为何值，方程总有实数根.（2）解：解关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），得222m m x m +±-=（）.∴12x m=，21x =. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 是正整数，∴1m =或2m =.又∵方程的两个根不相等，∴2m ≠，∴1m =. 题型31.【答案】解：∵关于x 的方程22140x m x +-+=（）两个相等的实数根，∴2214140m ∆=--⨯⨯=（），即214m -=±.∴52m =或32m =-. 当52m =时，25111221216514m m m --==-++（）； 当32m =-时，231152********m m m ---==--+-（）. 2.【答案】解：由题意可知，22480b ac n m -=+=， ∴28m n =-，∴222222222222222416816168mn mn mn mn mn m n m m n m m n m n n m ====++-+++-++-+（）. ∵0m ≠，2228mn n m m∴==-.题型41.【答案】解：∵一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根， ∴[]2240a b b c b a ---⋅-=（）（）（）， ∴40a b a c --=（）（）， ∴a b =或a c =， ∴此三角形是等腰三角形.2.【答案】解：∵方程204a ca c x bx -+++=（）有两个相等的实数根， ∴2222404a cb ac b a c -∆=-+⋅=--=（）（）， 即222b c a +=，∴此三角形是直角三角形. 考点4 题型1 1.【答案】C2.【答案】解：由已知可得410a ＜＜，则a 可取5，6，7，8，9.（第一步） 当5a =时，代入2210215105210a a -+=-⨯+≠，故5a =不是方程的根. 同理可知6a =，8a =，9a =都不是方程的根，7a =是方程的根．（第二步） ∴ABC △的周长是37717cm ++=（）. 题型2 1.【答案】132.【答案】解：ABC △是直角三角形．理由如下：原方程可化为20b c x cm bm +-+-=（）， 2222444ma m c b c b m a b c ∆--++-=（）（）=（）. ∵0m ＞，且原方程有两个相等的实数根，∴2220a b c +-=，即222a b c +=∴ABC △是直角三角形.3.【答案】解：将x b =代入原方程，整理得2419120b b -+=，解得14b =，234b =.当14b =时，3a =，5c =，∵222345+=，即222a b c +=，∴ABC △为直角三角形，且°90C ∠=.∴1134622ABC S ab ==⨯⨯=△； 当234b =时，3104a =-＜，不合题意，舍去.因此，ABC △的面积为6. 题型3 1.【答案】B2.【答案】解：（1）ABC △是等腰三角形.理由如下：把1x =-入原方程，得20a c b a c +-+-=，所以a b =，故ABC △是等腰三角形.（2）ABC △是直角三角形.理由如下：方程有两个相等的实数根，则2240b a c a c ∆=-+-=（）（）（），所以2220b a c -+=，所以222a b c =+，故ABC △是直角三角形.（3）如果ABC △是等边三角形，则a b c ==，所以方程可化为2220ax ax +=，所以210ax x +=（），所以方程的解为10x =，21x =-. 考点5 题型11.【答案】解：根据一元二次方程根与系数的关系，有1274x x +=，1234x x =-. （1）12121237333939344x x x x x x --=-++=--⨯+=（）（）（）. （2）2222122111212121212122112121212112====111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++-+++++++++++++（）（）（）（）（）（）（）27372101444=3732144-⨯-+-++（）（）.（3）222121212127397=4=4=4416x x x x x x x x -+--⨯-∴-==Q（）（）（）（），. 题型21.【答案】解：设方程25230x x +-=的两根为1x ，2x ， 则1225x x +=-，1235x x =-. 设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y ，2y ， 令111y x =-，221y x =-.∴121212*********==3x x p y y x x x x x x +=-+=--=+（）（），12121211153q y y x x x x ==--==-（）（）. ∴所求的方程为225+033y y -=，即23250y y +-=. 题型31.【答案】解：设方程两根为1x ，2x ，由已知得1212=221=.2m x x m x x ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩，∵222121212292=4x x x x x x +=+-（），即221292224m m -+-⨯=（）， ∴28330m m +-=. 解得111m =-，23m =.当111m =-时，方程为2211230x x ++=，21142230∆=-⨯⨯＜，方程无实数根，∴11m =-不合题意，舍去；当3m =时，方程为22235034250x x --=∆=--⨯⨯-，（）（）＞，方程有两个不相等的实数根，符合题意. ∴m 的值为3.2.【答案】解：（1）∵224121240a a -⨯⨯-=-（）＞，解得3a ＜. ∴a 的取值范围是3a ＜.（2）设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，，解得113.a x =-⎧⎨=-⎩，题型44.【答案】解：不存在.理由如下：∵一元二次方程24410kx kx k -++=有两个实数根，∴0k ≠，且24441160k k k k ∆=--⨯+=-（）（）≥，∴0k ＜.∵1x ，2x 是方程24410kx kx k -++=的两个实数根， ∴121x x +=，1214k x x k+=.∴212121212922294k x x x x x x x x k+--=+-=-（）（）（）. 又∵12123222x x x x --=-（）（）， ∴939425k k k +-=-∴=，. 又∵0k ＜，∴不存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立. 考点61.【答案】解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具10x -（）件，由题意得1001500.510x x+=-. 整理得211030000x x -+=， 解得150x =，260x =，经检验150x =，260x =都是原方程的解.当50x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为150503÷=（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去； 当60x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为15060 2.5÷=（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件.方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具10x +（）件，由题意得1001500.510x x +=+， 整理得29020000x x -+=， 解得140x =，250x =，经检验，140x =，250x =都是原方程的解.第一次采购40件时，第二次采购401050+=（件），批发价为150503÷=（元），不合题意，舍去； 第一次采购50件时，第二次采购401060+=（件），批发价为15060 2.5÷=（元），符合题意.因此第二次采购玩具60件. 题型23.【答案】解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶12x +（）千米，依题意得150150251260x x -=+.解得172x =-（不合题意，舍去），260x =.所以1272x +=.∴快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米. 应用34.【答案】解：（1）设乙工程队单独施工x 天完成此项工程，则甲工程队单独施工30x +（）天完成此项工程，由题意得1120130x x +=+（），整理，得2106000x x --=， 解得130x =，220x =-.经检验130x =，220x =-都是分式方程的解，但220x =-不符合题意，应舍去，故30x =，3060x +=. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天. （2）203a -（）（3）由题意得11 2.520643a a +++-（）（）≤，解得36a ≥.故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元. 考点7 题型11.【答案】2015【解析】把1x =-代入方程中得到20150a b +-=，即2015a b +=.2.【答案】解：∵2a =，∴40c -≥且40c -≥，即4c =，则2a =-.又∵1-是一元二次方程20ax bx c ++=的根，∴0a b c -+=，∴242b a c =+=-+=.∴原式201622020154-+==⨯（）.题型2 1.【答案】D 2.【答案】A3.【答案】解：（1）21210x x x -+-=（）（），1120x x x --+=（）（）， 1310x x --=（）（），12113x x ==，.（2）221327x x x -=+-（）（），22441327x x x x -+=+-， 2680x x -+=，1224x x ==，.题型3 1.【答案】B 2.【答案】B3.【答案】解：∵关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（）有两个相等的实数根，∴22460b b ∆=+--=（）（），∴12b =，210b =-（舍去）.当a 为腰时，ABC △周长为55212=++. 当b 为腰时，225+＜，不能构成三角形． ∴ABC △的周长为12. 题型4 1.【答案】A2.【答案】解：由题意，得1231a x x a ++=，1221a x x a +=（），∴31211a a a a a++-=-（），∴210a -=，即1a =±.又∵方程有两个不相等的实数根，∴[]2314210a a a ∆=-+-⋅+（）（）＞，即210a -（）＞，∴1a ≠，∴1a =-.3.【答案】解：∵方程有两个实数根，∴2224420a a a ∆=-+-（）（）≥，∴12a ≤.又∵122x x a +=-，21242x x a a =+-，∴22221212122224x x x x x x a +=+-=--（）（）. ∵12a ≤，且2220a -（）≥，∴当12a =时，2212x x +的值最小． 此时222121122422x x +=--=（），即最小值为12.【解析】本题中考虑0△≥从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略. 题型51.【答案】解：设每件商品降价x 元，则售价为每件60x -（）元，每星期的销量为30020x +（）件. 根据题意，得6040300206080x x --+=（）（）. 解得11x =，24x =.又要顾客得实惠，故取4x =，即销售单价为56元. 答：应将销售单价定为56元.2.【答案】解：（1）当4t =时，221313144142222t t =+=⨯+⨯=. 答：甲运动4s 后的路程是14cm . （2）设它们运动了s m ，根据题意， 得21342122m m m ++=.解得：13m =，214m =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s .（3）设它们运动了s n 后第二次相遇，根据题意，得213421322n n n ++=⨯（）. 解得17n =，218n =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s . 题型61.【答案】解：不是.理由如下：解方程2120x x +-=，得14x =-，23x =.12432 3.5x x +=+=⨯.∵3.5不是整数，∴方程2120x x +-=不是“偶系二次方程”.。
一元二次方程的应用(行程问题)2
一元二次方程的应用（行程问题）2一、行程问题路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间二、（1）相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。
（2）追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。
三、列一元二次方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际情况；⑥作答。
12、《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何？”大意是说：甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向东北方向走了一段后与乙相遇，相遇时甲乙各走多远？13、某人骑自行车由A城向B城出发，到B城后立即返回，他以同样的速度往回骑了1小时后，休息了20分钟，继续上路后速度每小时增加4千米．已知A、B两地相距60千米，他从B返回A所用的时间和从A到B的时间一样，问自行车的原来速度是多少？14、某河的水流速度为2千米/时，A、B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航后1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟54分钟，求橡皮船在静水中的速度？15、《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为，为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时(即任一时刻的车速都不能超过110千米/时).以下是张师傅和李师傅行驶完全程为400千米的高速公路的对话片段.张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少一个小时就跑完了全程，应该慢点啊！”李：“虽然我的时速快，但是最大的时速不超过我平均时速的10%，可没有超速违法啊！”李师傅超速违法吗？为什么？16、一只船在静水中速度为每小时a千米，水速为每小时b千米，则这只船顺流速度为____________千米/时，逆流速度为_________千米/时．17、甲、乙两人从A、B两地相向而行，甲的速度为a千米/时，乙的速度为b千米/时，经过t小时相遇，则A、B两地相距_________千米；二人相遇后，甲到达B地还需________小时，乙走完全程需_________小时．18、A、B两物体位于半径为r的圆周上的同一位置，它们分别以a米/秒，b米/秒的速度沿圆周运动(a＞b)．如果同向则需______秒首次相遇；如果反向，则需_____秒首次相遇．19、从A站到B站有120千米，一辆客车和一辆货车同时从A站出发，1小时后，客车在货车前面24千米；客车到达B站比货车早25分钟．求客车和货车每小时各走多少千米？20、一列货车要在一定时间内行驶840千米，但行驶到中点时，被阻30分钟，为按时到达，必须每小时多行2千米，求驶完全程原定时间为多少？21、雁塔中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走，40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达科技馆．已知汽车的速度是自行车的3倍，求汽车的速度．。