2018-2019初中数学竞赛专题复习 极限几何100题
60道初中数学几何压轴题，吃透这些题上重点不是问题！收藏好
60道初中数学几何压轴题，吃透这些题上重点不是问题！收藏
好
通常情况下，趣学君会将几何、函数、方程，却也是中考数学的重要考点。
而且这三类题型在数学试卷中的占分比例也特别大。
特别是几何，很多同学在考试的时候都是束手无策，所以导致每次数学考试也拿不到高分。
作为初中数学学习的重点和难点，几何一直是初中生们最感到头疼的知识点之一，难归难，几何却是中考数学的必考知识点，所以哪怕几何知识再难，咱们也得硬着头皮去解决。
要想学好几何，除了要有一定的空间想象力，还要有非常扎实的基础知识，而趣学君发现很多同学在学习几何知识的时候，对于定理法则这些基础的几何知识不怎么重视，这就导致同学们在作答几何问题的时候，总是找不准方向，也没有解题思路。
笔者总结了一份60道初中数学几何压轴题资料！希望能对大家的小学数学学习，有所帮助。
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极限必做150题
极限必做150题极限必做150解答刘刈17级刈⾔：我的个⼈解答，经过⽼司机（柯）检查，如果还有错误，欢迎⼤佬联系我及时改正，我的QQ：198924030 033002020001021111.lim ()x sin tan tan sin tan (1cos )1lim lim 2ln()ln()2ln 2.lim 1121lim lim 22()()l x x x x x x x x x ax x x x x x x x a x a x a x x a x a x x x a x a x a→→→→→→→→→---===++----+-===-+-===00002201tan 6.lim(sin lim ln(1)ln(1x x )7.lim secx cosxl x ax ax a x x x x x x mxm nx mx m nx n x x →→→→→→→→→+=+==-==+++-+-=、n 为正整数)=2224222002020ln (1)im lim 1sec (1cos )1..8.lim ln()1111121lim ....2x x x x nx x x x nx x x x x x x x xe e e x n e e e n n x nn n n n n →→→→??+-+??==-+++??---+=+++=+++=)22(1)22(1)6(1)lim2312li 9.limsinlim(1))lim(1)03210.lim 346lim 1312111.lim 212lim 121n n nnn n n n n n n n n n n nn nn n n n ee n n n e n π→∞→∞→∞→∞+→∞+-+-+→∞→∞→∞=--=-=??- ?+??=-== ++ -=+= -2m 21ln ln lim lim ()2211(2)(2)22(2)(2)2(2)(2)(2)(2200012.lim 13.lim 212lim lim lim 2n n n n n n n a ba bn n n nn nn t t t t t t t t t e ee en e e e t ne e e e e e e t t →∞→∞→∞-→∞++??+-→∞+-+-+-→→→=??====??+-=+--+===令)21lim 1lim 1214.lim 1 (a ln lim ln 15.lim 1n n n n n n nn n n e n a a n a nn eeee →∞→∞→∞→∞→∞??-=??-=? ?+??====为整数)=[]211lim21116.lim ln()ln()2ln 1,n17.lim lim (1)lim 1118.lim (1)19.lim ln(1)ln 1lim ln lim n n a b n n n abnn n n nn n n n n n n a a a n n t n e e n e n e a b e n ne n e e nn n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞??++--=??-=---=-+ ?=+-=+-+??== 令同第⼆题[]211120201ln(1)1120.limln (1)(1)(1)(1)limlim 2ln()(1)21.lim ln(1)ln(1)122lim ln()lim ln(1)lim 2111ln cos 22.limln(1cosx 1)lim li x x x x x x x x x n n x x x x x x x x x x xx xx x x x x xx x →∞→-→-→-→+∞→+∞→+∞→+∞→→+=-+-+-===--++--+==+==---+-==[]2022cos 11m 223.lim (2)ln(2)2(1)ln(1)ln 2lim ln(2)ln(1)ln ln(1)2ln()121lim ln ln 2lim ln(1)221111(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→+∞→+∞→+∞→+∞-=-++-++++?=+-++-++++??=++=-+=-=??+++?)20cos 10001011lim110112lim lim 2cot 0sin()cos()44limcos()tan 2lim cos()sin()24424.lim25.lim(cos )26.lim tan()427.lim sin x x x x x xx x xx x xxx x x x x x x x xe ex e eex e ee x ππππππ→-→→→→→+-+→--→---------→+=====??-===()22222221sin cos 1cos 1limlim1tan2sin 1cos limlim12cos cos 2222122lim 1lim 2121cos 28.lim(sin )2129.lim 21x x x x x x x x x x xxx x x x xxx x x x x x x x x x x eeex e eex x x x eeπππ→→→→→∞→∞+--+→---→∞??-+-+??- ? ? +-+-??+======??-+ ?+-??==132lim 3621122130.lim 212lim(1)2131.lim(12)x xx x x x xx e x x e e x x e →∞?-→∞??+→∞-→=+??-=+=+-=22lim cos 1lim ()221cos cos sin limlimtan cos ()cos 000220032.lim cos cos 33.lim cos ln()ln()2ln 134.lim35.lim x x x a x ax x x x x xx ax a x ax aa x a ax x ee ex a eee x x x x x x x ππ→+∞→+∞→→→+∞----→----→→+===?? ???===++--+同第⼆题-[]00001 1211121ln(1)ln(1)ln(1)lim ln(1)lim lim 1ln(sec tan )36.lim sin ln (1sin )cos ln(1sin )ln cos lim lim lim 137.lim () lim (ax ax ax ax ax x x x x x x x xx x x x be xb b e abe e abx x e x x xx x x x x x xx a ax aa∞→+∞→+∞→+∞→→→→+→+∞+→+∞+++=+===++++==+=-=221221101(ln ln )00050111)lim ()ln lim ln ln 1(1)138.lim 111lim explim explim 1(1)139.lim 5x x x x xx xx xxx x x x x a b x x x x x x x x x a a ax x x x xa xb xa xb a b a b ae xb x xb x x b e x-+→+∞→+∞→-→→→→-=-==++??+ ?+??----===-==++-=20000tan 30tan 300300240.lim 1111lim lim lim 12222241.lim sin 11lim lim 132142.lim 3ln lim 3ln 43.lim ()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x a a x a x a x e e x e e e e x x x e e x e e x x a x x a a x a a x a a a x a -→--→→→→→→→→→-→→+----==-=+=---=-=-=--==--==-0000100101000()ln ln ln ln 144.lim145.lim11(1)1lim lim 46.lim 2112x 47.lim()11explim explim a a a x x n x n t t xxxx bx x x bx bx a bx x a x a a a a x a x x x x x x x x tt nt n t t a b t ax e ax e e a e x x→→→→→→+→→-=--=----=+-===??+ =++--==+=令令，如题31148.ln 1 n ()ln(1)1()10,[0,)11()[0,)()(0),[0,)11ln(1)0ln(1)ln(1)()32,()(x 1),()n n nf x x xxf x x x xf x f x f x x x x x n nx x x x c c x αβα??+< =+--'=-=≤∈+∞+++∞<∈+∞+-=-+=-→证明不等式：其中为正整数解：令当所以在递减所以即证毕49.设确定及n,使当x 1时，3211111211~()()3233lim 1lim 1lim 1()(1)(1)3(1)(x 1)3(1)lim1lim 1(1)(1)612,c 350.()221,(),A ()~()l n n x x x n n x x kx x x x x x c x cn x x x cn x cn x n cn Af x x x xg x f x g x x βαβ-→→→--→→-+-=?=?=--+-+?=?=--=?===+-++=→∞解：所以n-2=0,设确定K 及，使当x +,解：()( )()()()()1212()221im1lim1()2212112~,211211()221lim1lim 1()lim12111111,,1,224k x x k x x kx f x x x xg x Ax x x x x x x xx x xx x x x xx x x xf x x x xg x Axx x Ax x x xk A A-→+∞→+∞-→+∞→+∞→+∞+-++=?=+-++=-+++++-+=→∞+++++++++++-++=?=?=+++++==--==-所以k+ 4。
初中几何难度题100道(上)(PDF版 含解答)
BA＝BE，由∠ADB＝45°得∠EDB＝45°
E
∴A、D、E、B 四点共圆，∠ABE＝∠ADE＝
90°
即 AB⊥BC。
A
D
C
第五题：
如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 交于点 E ， BAC 50 ， ABD 60 ，
CBD 20 ， CAD 30 ， ADB 40 。求 ACD 。
证明：过 C 作 CG⊥PO 于 G，
则由∠AEC＝∠PGC＝90°得
A
E、B、G、C 四点共圆
同理 F、D、G、C 四点共圆
PC 是⊙O 切线，PC 2 PE PF
P
BG O
D
在 RT△PCO 中，PC 2 PG PO
E
∴PE PF PG PO ，
F
∴E、G、O、F 四点共圆。∴∠OGF
＝∠OEF，∠BGE＝∠OEF，∴∠
BCP ACQ 30 ， ABR BAR 15 。求证： RQ 与 RP 垂直且相等。
简证：以 BR 为边作正三角形（如图）
则△ORA 是等腰直角三角形，
C
△OAB∽△PCB，△OBP∽△ABC
△ORP≌△ARQ
∴RQ＝RP，RQ⊥RP。
P
Q
O
A
B
R
第十八题：
如图，已知 AD 是⊙ O 的直径，D 是 BC 中点，AB 、AC 交⊙ O 于点 E 、F ，EM 、FM
C
OGF＝∠BGE
又 CG⊥PO 得∠EGC＝∠FGC，∠EGF＝∠EOF＝2∠EAF，∴∠EGC＝∠FGC＝∠EAF
又∠EGC＝∠EBC，∠FGC＝∠FDC，∴∠EBC＝∠FDC＝∠EAF
∴AF∥BC，AE∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形。
2018-2019初中数学竞赛专题复习 极限几何100题 无答案
EDFEG1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是 BC 边的中点，EF ⊥AD 于点 F ，CG ⊥AD 于点 G ， 3若 tan ∠CAD= 4，AB ＝20，则线段 EF 的长为GEDC2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在 BC 边上，∠DAE ＝ 1∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点2F 在线段 AE 的延长线上，AF ＝AD ，若 CD ＝4，CF ＝2，则 AC 边的长为3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点 D 、E 分别在 AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点 F 在 BC 边上，DF 与 BE 1交于点 G 。
若 BG=1，∠BDF= 2 ∠ACB ，则线段 EG 的长为D4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线 BD 、CE 交于点 F ，若 BC ＝3CD ，BF ＝2，则 BC 边的长为EB5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝45°，点 E 在射线 BD 上，AE//CD ，AE ＝DE ，若 BD ＝1，CD ＝ 5，则 AE 的长为6. 如图，△ABC 中，∠AB ＝90°，CD 是 AB 边上的中线，点 F 在线段 AD 上，点 F 在 CD 延长线上，AE ＝ DF ，连接 CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝ 2 3 ，DF ＝ 1，则线段 CE 的长为A B7. 如图，在等边△ABC 中，D 为 AB 边上一点，连接 CD ，在 CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若3CE ＝5，△ACD 的面积为35 43 ，则线段 DB 的长为B8. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝6，点 D 是 AB 的中点，DE//BC ， 点 F 为 BC 上一动点，连接 AF 交 DG 于 E ，∠AEC 恰好为 90°，连接 CE ，当 DE ＝2 时，线段AB 的长为BFC9. 如图，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，点C 为∠ADB 的角平分线上一点，连接 AC 、DC ，过点 A 作DB 的 平行线，分别交 DC 、BC 于点E 、F ，若 BE ＝BF ，AC ＝ 2 5 ，则 AE 的长为N10. 已知：在△ABC 中，∠ACB ＝2∠ABC ，AD 为∠BAC 的平分线，E 为线段 AC 上一点，DE ＝DB ，过E 作 AD 的垂线交直线AB 于 F ，取BF 的中点 M ，连接 DM 。
初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做100题第一部
初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做100题第一部一、想一想、思一思、多种方法全等证明之割补法，（截取或延长）。
例1、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，点E是BC中点，∠BAE=∠CDE ，求证：AB=CD证明：把CE绕C点顺时针旋转交DE于F，如图，∴CE=CF，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=CF，在△BAE和△CDF中∠BAE＝∠CDF∠3＝∠4BE＝CF∴△BAE≌△CDF（AAS），∴AB=CD．证明二：延长DE到G，使BE＝BG证明三：延长DE到G，使AB＝BG例2、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，点E是BC上一点，BE=k·EC，∠BAE=∠CDE ，猜想 AB、CD 的数量关系.证明：把CE绕C点顺时针旋转交DE于F，如图，∴CE=CF，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3，∴△BAE∽△CDF∴AB= k·CD例3、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= AC,CD∥BA，，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE⊥AP交CD于E. 想一想、思一思、咱来探究PE与PA的数量关系.答：PE=PA，理由如下：证明：过点P作PM⊥AC，垂足为M，过点P作PN⊥CD，垂足为N，∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵CD∥BA，∴∠B=∠BCN=45°，∴∠ACB=∠BCN=45°，∵PM⊥AC，PN⊥CD，∴PM=PN，∵∠PMC=∠PNC=90°，∠ACB=∠BCN=45°，∴△PMC与△PNC都为等腰直角三角形，∴∠MPC=∠NPC=45°，即∠MPN=90°，∵∠APE=90°，∴∠APE-∠MPE=∠MPN-∠MPE，即∠APM=∠EPN，在△APM和△EPN中，∠AMP＝∠EPN＝90°PM＝PN∠APM＝∠EPN∴△APM≌△EPN（ASA），∴AP=EP．例4、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= k·AC,CD∥BA，，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE⊥AP交CD于E.想一想、思一思、咱来探究PE与PA的数量关系.证明：连接AE∵∠APE＝∠ACE＝90°∴AＰＣＥ四点共圆∴∠AＣＰ＝∠AEＰ∴△ＡＢＣ∽△ＰＡＥ∴k·ＰＥ＝ＰＡ证明二：过点Ｐ作ＡＣ，ＣＤ垂线，垂足Ｆ、Ｇ∴△ＡＢＣ∽△ＦＰＣ△ＡＰＦ∽△ＥＰＧＰＧ＝ＣＦ∴k·ＰＥ＝ＰＡ如图，在△ABC中，AI为BC边上的中线。
初中难度几何100题
第一题：已知：ABC ∆外接于⊙O ，︒=∠60BAC ，BC AE ⊥，AB CF ⊥，AE 、CF 相交于点H ，点D 为弧BC 的中点，连接HD 、AD 。
求证：AHD ∆为等腰三角形第二题：如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连接AC、AF，延长AF交AC的平行线DE于点E，连接CE,且AC=AE。
CE求证：CFE第三题：已知：ABC ∆中，AC AB =，︒=∠20BAC ，︒=∠30BDC 。
求证：BC AD =B第四题：已知：ABC ∆中，D 为AC 边的中点，C A ∠=∠3，︒=∠45ADB 。
求证：BC AB ⊥AC第五题：如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于点E ，︒=∠50BAC ，︒=∠60ABD ，︒=∠20CBD ，︒=∠30CAD ，︒=∠40ADB 。
求ACD ∠。
BD第六题：已知，︒=∠30ABC ，︒=∠60ADC ，DC AD =。
求证：222BD BC AB =+DB第七题：如图，PC切⊙O于C，AC为圆的直径，PEF为⊙O的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D。
求证：四边形ABCD为平行四边形第八题：已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠80A ，︒=∠10OBC ，︒=∠20OCA 。
求证：OB AB =CB第九题：已知：正方形ABCD 中，︒=∠=∠15ODA OAD ，求证：OBC ∆为正三角形。
第十题：已知：正方形ABCD中，E、F为AD、DC的中点，连接BE、AF，相交于点P，连接PC。
PC求证：BC第十一题：如图，ACB ∆与ADE ∆都是等腰直角三角形，︒=∠=∠90ACB ADE ，︒=∠45CDF ，DF 交BE 于F ，求证：︒=∠90CFDEB第十二题：已知：ABC ∆中，CAB CBA ∠=∠2，CBA ∠的角平分线BD 与CAB ∠的角平分线AD 相交于点D ，且AD BC =。
求证：︒=∠60ACBA第十三题：已知：在ABC ∆中，BC AC =，︒=∠100C ，AD 平分CAB ∠。
初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第17章 几何不等式与极值问题试题 新人教版
第17章 几何不等式与极值问题17.1.1★ 一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n 的最大值．解析考虑这个凸行边形的n 个外角，有4n -个角90︒≥，故有()490360n -⨯︒<︒（严格小于是由于4个钝角的外角和大于0︒），因此8n <，n 的最大值是7．易构造这样的例子。
如果恰好有k 个钝角，则n 的最大值是3k +. 17.1.2★ 在ABC △中，A B A C >，P 为BC 边的高AD 上的一点，求证：AB AC PB PC -<-.PCDB A解析易知AB AC PB PC +>+，又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-，故有AB AC PB PC -<-．评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况．17.1.3 已知四边形ABCD ，AC 、BD 交于O ，ADO △和BCO △的面积分别为3、12，求四边形ABCD 面积的最小值．CB ODA解析易知ABO BCOADO DCOS S BO S DO S ==△△△△，故36ABO CDO ADO BCO S S S S ⋅=⋅=△△△△.从而12ABO CDO S S +=△△≥，且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立，所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27.17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中，斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()22BC h AB AC ++-. 解析()()22BC h AB AC +-+222222BC h BC h AB AC AB AC =++⋅---⋅，由条件，知242ABC BC h S AB AC ⋅==⋅△，且222AB AC BC +=， 于是()()22236BC h AB AC h +-+==.注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5★ 设矩形ABCD ，10BC =，7CD =，动点F 、E 分别在BC 、CD 上，且4BF ED +=，求AFE △面积的最小值．B FCED A解析设 BF x=，()4DE y x ==-，则()()()117101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+⎡⎤⎣⎦△△△。
全国2018年中考数学真题分类汇编 专题复习(六)几何最值问题(答案不全)
（2018荆州）（2018新疆建设兵团）轴对称求最值（2018苏州）二次函数最值（2018铜仁）（2018十堰）垂线段最短（2018贵阳）二次函数求最值（2018泸州）如图5，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 13 .轴对称求最短路径（2018天津）轴对称求最短路径（2018滨州）轴对称求最短路径（2018宜宾）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立。
依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4,EF=3,点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2 +PG 2的最小值为（ D ） 应用结论在GF 边找一点即可A.10B.192C.34D.10（2018内江）圆中直径最长（2018兰州）（2018龙东地区）（2018自贡）如图，在⊿ABC 中，AC BC 2,AB 1===,将它沿AB 翻折得到⊿ABD ,则四边形ADBC 的形状是 菱 形，点P E F 、、分别为线段AB AD DB 、、的任意点，则PE PF +的最小值是.平行线之间垂线段最短（2018泰安）（2018广州）如图11，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹，不写作法) （2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE;②若CD=2，AB=4，点M,N分别是AE,AB上的动点，求BM+MN的最小值。
（2018荆门）（2018陕西）（2018扬州）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AO BC ⊥于点O ，OE AB ⊥于点E ，以点O 为圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F .（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点F 是AO 的中点，3OE =，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE PF +取最小值时，直接写出BP 的长.。
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1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是 BC 边的中点，EF ⊥AD 于点 F ，CG ⊥AD 于点 G ， 3若 tan ∠CAD= 4，AB ＝20，则线段 EF 的长为CF2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在 BC 边上，∠DAE ＝ 1∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点2F 在线段 AE 的延长线上，AF ＝AD ，若 CD ＝4，CF ＝2，则 AC 边的长为3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点 D 、E 分别在 AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点 F 在 BC 边上，DF 与 BE 1交于点 G 。
若 BG=1，∠BDF= 2 ∠ACB ，则线段 EG 的长为4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线 BD 、CE 交于点 F ，若 BC ＝3CD ，BF ＝2，则 BC 边的长为EB5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝45°，点 E 在射线 BD 上，AE//CD ，AE ＝DE ，若 BD ＝1，CD ＝ 5，则 AE 的长为6. 如图，△ABC 中，∠AB ＝90°，CD 是 AB 边上的中线，点 F 在线段 AD 上，点 F 在 CD 延长线上，AE ＝ DF ，连接 CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝ 2 3 ，DF ＝ 1，则线段 CE 的长为A B7. 如图，在等边△ABC 中，D 为 AB 边上一点，连接 CD ，在 CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若3CE ＝5，△ACD 的面积为35 43 ，则线段 DB 的长为B8. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝6，点 D 是 AB 的中点，DE//BC ， 点 F 为 BC 上一动点，连接 AF 交 DG 于 E ，∠AEC 恰好为 90°，连接 CE ，当 DE ＝2 时，线段AB 的长为BFC9. 如图，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，点C 为∠ADB 的角平分线上一点，连接 AC 、DC ，过点 A 作DB 的 平行线，分别交 DC 、BC 于点E 、F ，若 BE ＝BF ，AC ＝ 2 5 ，则 AE 的长为N10. 已知：在△ABC 中，∠ACB ＝2∠ABC ，AD 为∠BAC 的平分线，E 为线段 AC 上一点，DE ＝DB ，过E 作 AD 的垂线交直线AB 于 F ，取BF 的中点 M ，连接 DM 。
若 DC ＝4， S ∆ABD : S ∆ACD = 3 : 2 ，则 DM 的长为B11. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，∠DCB ＝90°，CD ＝ 1AB ，若∠DAE ＝45°，GD 为∠EDC2的角平分线，连接 CG ，AB ＝8，则 EG 的长为C12. 如图，四边形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C ＝120°，AB ＝10，CD ＝6。
M 为BC 中点，N 为 AD 中点，则 MN 的长为M13. Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点，过D 作 DE ⊥DF ，交 BA 延长线于点 E ，交 AC 延长线于点 7F ，若 CF ＝ 2，AC ＝4，AB ＝2，则 AE 的长为10F14.如图，已知四边形ABCD 为正方形，E 是BC 边上一点，射线DE 交AB 的延长线于点F，若DE＝BE＋BF，DF＝6，则CE 的长为CA B F15.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，E 在AC 上，AD＝DE，若BD＝3，CD＝2 ，AB＋CE＝7，则AE 的长为B D C16.如图，正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，连接DE，在DE 上取一点G，连接BG，使BG＝BC，连接CG 并延长与AD 交于点F，在CG 上取一动点P（不与点C，点G 重合），过点P 分别作BG 和BC 的垂线，垂M21足分别为点 M 、点 N ，若四边形 AEGF 的面积是 4 5，则 PM ＋PN 的值为FDAE17. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点 D 在 AC 边的右侧，连接 DA 、DB 、DC ，若 AD ＝DC ，∠ADB ＝∠ ACB ，AD ＝5，BD ＝11，则 BC 边的长为D18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝30°，BD 平分∠ABC ，点 E 在CB 边的延长线上，∠ADE ＝120°，若AE ＝ ，BE ＝1，则线段 BD 的长为AE19. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，将 AB 边绕点A 按逆时针方向旋转 90°，得到线段 AD ，AD 交BC 边于点 E ，过点D 作AD 的垂线，交 AC 边的延长线于点 F ，若AE ＝9，DF ＝8，则线段 DE 的长为2F20. 在△ABC 中，D 为AB 的中点，∠CDA=45°，E 在 AC 上，连接 BE 交 CD 于F ，满足 EF=EC ，△CBF 的面积为 8，则CF=C21. 如图，在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝30°，点D 在BC 上，BD ＝E ，使 DE ＝AD ，连接 BE 、CE ，则 BE 2+ CE 2＝+ 1，CD ＝-1，延长 AD 至点22. 如图，四边形ABCD 是正方形，以 AB 为边向内部做等边△ABE ，连接 DE 并延长交 BC 于点 F ，若 CF ＝-1，则BF 的长为AB 23. 如图，△ABC 是等边三角形，点D 为 BC 的中点，点P 在△ABC 的内部，连接 PA 、PB 、PC 、PD ，∠BPC ＝105°，PC ＝2，PB ＝ 2 ，则△APD 的面积为3 3 324. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点 D 在 BC 上，过点 B 作 BC 的垂线，交 AD 的延长线于点 E ，若 AD ：DE ＝3：2，BD ＝2，则 AC 的长为BCE25. 如图，在△ACD 中，∠ACD ＝90°，AC ＝CD ，∠ABC ＝75°，若 AB ＝ 32 ，BC ＝5，则 BD 的长为B26. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，过点 C 作直线 L//AB ，点D 在线段 BC 上，点 E 在直线 L 上，若∠ADE ＝120°，CE ＝1，则 DC 的长为27. 如图，在△ABC 中，点D 在 AC 上，过点D 作DE ⊥BD 交 AB 于点 E ，点 F 为 BE 的中点，连接CF ，CF平分∠BCA ，若 BC ＝BE ，AD ＝3，CD ＝4，则 AE 的长为C28. 如图，在△ABC 中，点D 为△ABC 内一点，连接 AD 、BD 、CD ，∠DBC ＝∠ACD ＝30°，∠ADC ＝90°， DB ＝3，BC ＝8，则 AB 的长为C29. 如图，在四边形 ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，连接 AC ，且∠ACD ＝30°，tan ∠BAC= 的长为，CD ＝3，则 AC330. 如图，在△ABC 中，点D 为 BC 延长线上一点，BC ＝2AD ，AB ＝8，AC ＝4，∠D ＝2∠B ，则 CD 的长为2 36 2BCD31. 已知在 Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝3，∠ACB 的角平分线 CD 交 AB 于D ，过点 D 作 CD 的垂线交 CB 于 E ，过点D 作 CD 的垂线交 CB 于E ，连接 AE 交 CD 于 F ，当 BD ＝6 时，则EF 的长为C B32. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，△ABD 、△BCE 均为等边三角形， DE 、AB 交于点 F ，AF ＝ 3 ，则△ACE 的面积为B33. 如图，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点 E 、F 分别在BC 、AC 上，连接 AE 、EF 。
若∠BAE ＝2∠CEF ，CE ＝ 4，AF ＝ 4 ，则 AC 的长为2AC34.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E 分别在线段BC 和线段AC 上，BD=AE，连接AD，EF⊥AD 垂足为G 交线段AB 于F，连接CG、BG，若AG：CG=。
：3，BG= 2 5 ，则线段BD 的长为B35.已知：等腰直角三角形BFG 的斜边FG 所在直线经过正方形ABCD 的顶点A，若BF＝2 ，tan∠CDG= 3，线段DG 的长为736.在△ABC 中，AB＝AC，点D、E 为AB、BC 边上的点，连接AE、CD 交于点F，BH⊥AE 于H，交AC3于G，∠BAE＝∠ACD，tan∠BAC＝4，AF＝7，则线段BH 的长度为237. 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝ 5 ，点 E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是边长为 2的等边三角形，则 AB 的长为。
AFB 38. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交 AB 于E ，若 BC=4，△AOE 的面积为 5。
sin ∠BOE 的值为AEB39. 如图，点D 在△ABC 的边 BC 上，∠C+∠BAD=∠DAC ，tan ∠BAD= 4，AD= 65 ，CD=13，则线段 AC7 的长为7C 40. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝ 2 D3 ，∠B ＝90°，∠C ＝120°，则线段 AD 的长为B 41. 在△ABC 中，AD 为角平分线，∠B ＝2∠ADB ，AB ＝3，CD ＝6，则线段 AC 的长为C A42. 已知△ABC ，∠ABC ＝60°，AB ＝5，BC ＝8，P 为∠ABC 平分线上一点，连接 AP 、PC ，当∠APC ＝60° 时，则 AP ＝43. 如图，在△ABC 中，以 AC 为边在△ABC 外部作等腰△ACD ，使 AC ＝AD ，且∠DAC ＝2∠ABC ，连接 3 BD ，作 AH ⊥BC 于点H ，若 AH ＝ 2 。
BC ＝4，则 BD ＝44. 如图，在△ABC 中，AC ＝ 3 2 ，将△ABC 绕点 C 逆时针转至△DEC 的位置，其中，点 A 和点D 是对应 点，点D 在 AB 边上，∠BCD ＝15°，延长 EC 交 AB 于点 F ，若∠E ＝30°，则 FD ＝A B45. 如图，在△ABC 中，AB=AC=12，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，当 BE 2 DE 2 最大时，则DE 长为。