初中数学竞赛辅导-竞赛训练题
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（A）24 条 （B）30 条 （C）36 条 （D）42 条
3．用数码 2、4、5、7 可以组成四位数，在每个四位数中，每个数码只出现一次，一共 有 24 个四位数，将这些四位数从小到大排列，则排在第 17 位的四位数是（ ）。
（A）4527 （B）5724 （C）5742 （D）7245
4．在 x y 2009 的正整数解（x，y）中，x+y 的最大值是（ ）。
4．∵ 2009 7 41 ，且 x、y 为正整数，
∴ x m 41 ， y n 41，m、n 为正整数。
则 m 41 n 41 7 41 。
∴m+n=7。
∴ x y 41 6 41 2 41 5 41 3 41 4 41 。
当 x y 41 6 41 41 1476 时，x+y=1517，
*3=________。 7．为了给一本书的各页标上页码，排版人员一共打击了 3289 个数码，则这本书的页数
是_________页。 8．y=|x+1|+|x-2|+|x+3|，则 y 的最小值是_________。
9．已知 y 11 6 2 ，x 表示 y 的小数部分，则 x 2 2 y 的值为_________。
当 x y 2 41 5 41 164 1025 时，x+y=1189。
当 x y 3 41 4 41 369 656 时，x+y=1025，
∴x+y 的最大值为 1517。故应选 B。
5．由于 n n n n ，若 x 不是整数，则[x]＜x，所以要使[ n] n ，[ n] n ，[ n] n
∴PE 平分∠DEA。
设 AB′交 CD 于点 P，连结 BP，则△ABP 的面积等于 1 20 10 100 ，由 AB∥CD 2
及由对称性知∠PAC=∠PCA，
∴AP=PC，设 AP=PC=x，则 DP=20-x，根据勾股定理，得 x 2 (20 x)2 10 2 ，解得
x=12.5。
又 1 AP BH' 1 10 20 ，
11．因为 2 倍的三位数 ABC 大于 1000 而小于 2000，所以 ABC 一定是大于 500 而小于
1000，因此 A 为 5、6、7、8 或 9，整数 A 又必须是偶数，所以 A 是 6 或 8。如果 A 是 6，
这样我们需要找出 B 和 C 使得 2 6BC 1BC6 ，
这等价于1200 2BC 1006 10BC ，化简后即为194 8BC ，而 194 不是 8 的倍
236
2 23 36 6
都成立，必须有 n 是 2、3、6 的倍数，即 n 是 6 的倍数。这里 1≤n＜100，所以 n 可取其中
的[99] 16 个数。故应选 D。 6
6．∵1 2 12 2 3 ， 3 3 33 3 30 。
7．从 1~9 页用了 9 个数码，10~99 页用了 2×90=180 个数码。100~999 用了 2700 个数 码，而排版人员点击了 3289 个数码，从而知有 400 个数码用于标四位数的页码。只能从 1000 标到 1099 页，所以这本书的页码为 1099 页。
13．如图 3，ABCD 是正方形，点 P 是正方形的中心，以正方形的一边 AD 为斜边，向 外作直角三角形 AED，连结 PE，证明：PE 平分∠DEA。
参考答案 1．∵x≤y＜z， ∴z+y＞2x。
又 x2 y2 z2 ，
∴ x2 z 2 y 2 (z y)( z y) ，
而（z+y）（z-y）＞2x（z-y）
Leabharlann Baidu
2
2
∴ BH' 200 16 。 12.5
故 BM+MN 的最小值是 16。
13．如图 6，过 C 作 ED 延长线的垂线，交于 F，过 B 作 EA 延长线的垂线，交于 H。
HB 的延长线和 FC 的延长线交于 G。易证 Rt△CFD≌Rt△DEA≌Rt△AHB≌Rt△BGC，
∴四边形 EHGF 也是正方形，P 也是正方形 EHGF 的中心。
∴ x2 2x(z y) ，
∴x＞2（z-y）。 ∴应选 A。 2．原长方体有 12 条棱，每砍去一个角增加 3 条棱，所以新的立体一共有 36 条棱（12+8 ×3）， 3．从第 1 到第 6 个数，开头的数码是 2，从第 7 到第 12 个数，开头的数码是 4，从第 13 到第 18 个数的开头的数码是 5。5 开头的四位数按大小排列应为 5247，5427，5472，5724， 5742。故应选 B。
8．如图 4，
-1，2，3 在数轴上的对应点分别为 A、B、C 由绝对值的意义知即要在数轴上找一点， 使得这一点与 A、B、C 三点的距离之和最小，显然这一点就是 B 点。当 x=2 时，
y最小 | 2 1 | | 2 2 | | 2 3 | 4 。
9． y (3 2)2 | 3 2 | 3 2 ，则 x 2 1， 于是 x 2 2 y ( 2 1)2 2(3 2) 9 。
数，所以 A 不能是 6。如果 A=8，我们就有 2 8BC 1BC8 ，
这就等价于1600 2BC 1008 10BC ，即 592 8BC ，因此， BC 等于 74，所以
B=7，C=4，所以所求的三位数是 874。
12．如图 5，作 B 关于 AC 的对称点 B′，连结 AB′，则 N 关于 AC 的对称点 N′在 AB′上，过 B 作 AB′的垂线，垂足为 H′，则 BM+MN=BM+MN′≥BH′，即 BM+MN 的最小值为 BH′。
学科：奥数
教学内容：竞赛训练题
一、选择题 1．如果一个直角三角形的两条直角边为 x 和 y，并且 x≤y，z 是斜边，则下面的关系 式中一定成立的是（ ）。 （A）x＞2（z-y） （B）x=2（z-y） （C）x＜2（z-y） （D）不能确定
2．如图 1 所示为一个长方体砍去两个角后的立体图形，如果照这样砍去长方体的八个 角，则新的立体的棱有（ ）。
（A）1189 （B）1517 （C）1657 （D）1749
5．正整数 n 小于 100，并且满足[ n ] [ n ] [ n] n ，其中[x]表示不超过 x 的最大整 236
数，这样的正整数n 有（ ）。 （A）2 个 （B）3 个 （C）12 个 （D）16 个 二、填空题
6．如果*表示一种运算，它是由下面的式子来定义的， a * b ab b ，则（1*2）
10 ． 设 1 x2 A ， 1 y2 B ， 则 A+B=S ， A2 B 2 1 x 2 1 y 2 ， 将 x 2 y 2 a 2 代入上式，得 A2 B2 2 a2 ，
∴ S 2 1 [(A B)2 (A B)2 ] 2 a2 ， 2
S 2 4 2a2 ( A B)2 0 ， ∴ S 2 4 2a2 ，易知 S＞0， ∴ S 4 2a2 ， ∴S 的最大值为 4 2a2 。
10．设 x 2 y 2 a 2 ，且 a2 1，设 S 1 x2 1 y 2 ，则 S 的最大值是_________。
三、解答题
11．求出所有的三位正整数 ABC 使得 2 ABC 1BCA 。
12．矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC、AB 上各取一点 M、N（如图 2），使 BM+MN 的值最小，求这个最小值。
3．用数码 2、4、5、7 可以组成四位数，在每个四位数中，每个数码只出现一次，一共 有 24 个四位数，将这些四位数从小到大排列，则排在第 17 位的四位数是（ ）。
（A）4527 （B）5724 （C）5742 （D）7245
4．在 x y 2009 的正整数解（x，y）中，x+y 的最大值是（ ）。
4．∵ 2009 7 41 ，且 x、y 为正整数，
∴ x m 41 ， y n 41，m、n 为正整数。
则 m 41 n 41 7 41 。
∴m+n=7。
∴ x y 41 6 41 2 41 5 41 3 41 4 41 。
当 x y 41 6 41 41 1476 时，x+y=1517，
*3=________。 7．为了给一本书的各页标上页码，排版人员一共打击了 3289 个数码，则这本书的页数
是_________页。 8．y=|x+1|+|x-2|+|x+3|，则 y 的最小值是_________。
9．已知 y 11 6 2 ，x 表示 y 的小数部分，则 x 2 2 y 的值为_________。
当 x y 2 41 5 41 164 1025 时，x+y=1189。
当 x y 3 41 4 41 369 656 时，x+y=1025，
∴x+y 的最大值为 1517。故应选 B。
5．由于 n n n n ，若 x 不是整数，则[x]＜x，所以要使[ n] n ，[ n] n ，[ n] n
∴PE 平分∠DEA。
设 AB′交 CD 于点 P，连结 BP，则△ABP 的面积等于 1 20 10 100 ，由 AB∥CD 2
及由对称性知∠PAC=∠PCA，
∴AP=PC，设 AP=PC=x，则 DP=20-x，根据勾股定理，得 x 2 (20 x)2 10 2 ，解得
x=12.5。
又 1 AP BH' 1 10 20 ，
11．因为 2 倍的三位数 ABC 大于 1000 而小于 2000，所以 ABC 一定是大于 500 而小于
1000，因此 A 为 5、6、7、8 或 9，整数 A 又必须是偶数，所以 A 是 6 或 8。如果 A 是 6，
这样我们需要找出 B 和 C 使得 2 6BC 1BC6 ，
这等价于1200 2BC 1006 10BC ，化简后即为194 8BC ，而 194 不是 8 的倍
236
2 23 36 6
都成立，必须有 n 是 2、3、6 的倍数，即 n 是 6 的倍数。这里 1≤n＜100，所以 n 可取其中
的[99] 16 个数。故应选 D。 6
6．∵1 2 12 2 3 ， 3 3 33 3 30 。
7．从 1~9 页用了 9 个数码，10~99 页用了 2×90=180 个数码。100~999 用了 2700 个数 码，而排版人员点击了 3289 个数码，从而知有 400 个数码用于标四位数的页码。只能从 1000 标到 1099 页，所以这本书的页码为 1099 页。
13．如图 3，ABCD 是正方形，点 P 是正方形的中心，以正方形的一边 AD 为斜边，向 外作直角三角形 AED，连结 PE，证明：PE 平分∠DEA。
参考答案 1．∵x≤y＜z， ∴z+y＞2x。
又 x2 y2 z2 ，
∴ x2 z 2 y 2 (z y)( z y) ，
而（z+y）（z-y）＞2x（z-y）
Leabharlann Baidu
2
2
∴ BH' 200 16 。 12.5
故 BM+MN 的最小值是 16。
13．如图 6，过 C 作 ED 延长线的垂线，交于 F，过 B 作 EA 延长线的垂线，交于 H。
HB 的延长线和 FC 的延长线交于 G。易证 Rt△CFD≌Rt△DEA≌Rt△AHB≌Rt△BGC，
∴四边形 EHGF 也是正方形，P 也是正方形 EHGF 的中心。
∴ x2 2x(z y) ，
∴x＞2（z-y）。 ∴应选 A。 2．原长方体有 12 条棱，每砍去一个角增加 3 条棱，所以新的立体一共有 36 条棱（12+8 ×3）， 3．从第 1 到第 6 个数，开头的数码是 2，从第 7 到第 12 个数，开头的数码是 4，从第 13 到第 18 个数的开头的数码是 5。5 开头的四位数按大小排列应为 5247，5427，5472，5724， 5742。故应选 B。
8．如图 4，
-1，2，3 在数轴上的对应点分别为 A、B、C 由绝对值的意义知即要在数轴上找一点， 使得这一点与 A、B、C 三点的距离之和最小，显然这一点就是 B 点。当 x=2 时，
y最小 | 2 1 | | 2 2 | | 2 3 | 4 。
9． y (3 2)2 | 3 2 | 3 2 ，则 x 2 1， 于是 x 2 2 y ( 2 1)2 2(3 2) 9 。
数，所以 A 不能是 6。如果 A=8，我们就有 2 8BC 1BC8 ，
这就等价于1600 2BC 1008 10BC ，即 592 8BC ，因此， BC 等于 74，所以
B=7，C=4，所以所求的三位数是 874。
12．如图 5，作 B 关于 AC 的对称点 B′，连结 AB′，则 N 关于 AC 的对称点 N′在 AB′上，过 B 作 AB′的垂线，垂足为 H′，则 BM+MN=BM+MN′≥BH′，即 BM+MN 的最小值为 BH′。
学科：奥数
教学内容：竞赛训练题
一、选择题 1．如果一个直角三角形的两条直角边为 x 和 y，并且 x≤y，z 是斜边，则下面的关系 式中一定成立的是（ ）。 （A）x＞2（z-y） （B）x=2（z-y） （C）x＜2（z-y） （D）不能确定
2．如图 1 所示为一个长方体砍去两个角后的立体图形，如果照这样砍去长方体的八个 角，则新的立体的棱有（ ）。
（A）1189 （B）1517 （C）1657 （D）1749
5．正整数 n 小于 100，并且满足[ n ] [ n ] [ n] n ，其中[x]表示不超过 x 的最大整 236
数，这样的正整数n 有（ ）。 （A）2 个 （B）3 个 （C）12 个 （D）16 个 二、填空题
6．如果*表示一种运算，它是由下面的式子来定义的， a * b ab b ，则（1*2）
10 ． 设 1 x2 A ， 1 y2 B ， 则 A+B=S ， A2 B 2 1 x 2 1 y 2 ， 将 x 2 y 2 a 2 代入上式，得 A2 B2 2 a2 ，
∴ S 2 1 [(A B)2 (A B)2 ] 2 a2 ， 2
S 2 4 2a2 ( A B)2 0 ， ∴ S 2 4 2a2 ，易知 S＞0， ∴ S 4 2a2 ， ∴S 的最大值为 4 2a2 。
10．设 x 2 y 2 a 2 ，且 a2 1，设 S 1 x2 1 y 2 ，则 S 的最大值是_________。
三、解答题
11．求出所有的三位正整数 ABC 使得 2 ABC 1BCA 。
12．矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC、AB 上各取一点 M、N（如图 2），使 BM+MN 的值最小，求这个最小值。