初中数学竞赛辅导-竞赛训练题
八年级数学竞赛训练题4
练习卷41.如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 2．如果22a =-+，那么11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B ）2 （C ）2 （D ）223．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）4．在平面直角坐标系xOy 中满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）55．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12（D ）146．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30A D C ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）．（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.57．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 89．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 10．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 11.下列运算正确的是（ ）A ．x 2‧x 3=x 6B ． 2x +3x =5x 2C ．(x 2)3=x 6D ． x 6÷x 2=x 312.有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．96 13.实数a ＝20123－2012，下列各数中不能整除a 的是（ ） A ．2013 B ．2012 C ．2011 D ．201014.如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（ ） A ．251 B ．252 C ．256 D ．252415.一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ） 16.要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为A ．321 x ≤≤B ．321 ＜x≤C ．321x ＜≤D ． 321＜x＜17.菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ） A ．SL 4212- B ．SL 2212- C ．SL 4221-D ．2421LS -123 45123 45 图 1速度时间OA速度时间OBO速度时间C 速度时间OD18.按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 . 19.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a bb cc a++=+++，那么a bc b cc a a b+++++的值为 ．20.如图，正方形ABCD 的边长为215， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 21.如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 ．22．设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 . 23. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .24．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c（，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a c的取值范围是 .25．已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．26.x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________. 27.一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________.28.若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________. 29.一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）．30.如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．31.如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B、xy －1 o图4C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．32.如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________.33.如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________.34. 已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.35. 求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，， ，，满足122012x x x <<< ，且122012122012n x x x +++= .36.某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？ （4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.图7ABCDE图5A E DC F O B图6 AMl图8B ＇ ED ＇ABC DG。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
九年级数学竞赛综合训练题(1)(含解答)-
九年级数学竞赛综合训练题(1)（满分120分，考试时间120分）学校 班级 姓名一、选择题:（每小题5分，共30分）1．过点P （-1，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）条 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 2．方程13++x x －y=0的整数解有（ ）组 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．如图，若将图（a ）的正方形剪成四块，恰能拼成图(b)的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）（A ）2537+ （B ）253+（C ）251+ （D ）21(+)24．关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）－6＜a ＜－211 （B ）－6≤a ＜－211 （C ）－6＜a ≤－211 （D ）－6≤a ≤－2115．已知四边形ABCD ，从下列条件：（1）AB ∥CD （2）BC ∥AD （3）AB ＝CD （4）BC ＝AD （5）∠A ＝∠C （6）∠B ＝∠D中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有（ ）种（A ）4 （B ）9 （C ）13 （D ）15 6．已知x 、y 、z 都是实数，且x 2+y 2+z 2=1，则m=xy+yz+zx （ ）(A)只有最大值 （B ）只有最小值 （C ）既有最大值又有最小值 （D ）既无最大值又无最小值 二、填空题:（每小题5分，共30分）jab a b ⅠⅡⅢⅣⅣⅢⅡⅠ(b)(a)ba7．已知x=1313+-，y=1313-+, 则x 4+y 4等于 .8．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花 元.9．若1≤p ≤20， 1≤q ≤10，且方程4x 2－px+q=0的两根均为奇数，则此方程的根为 . 10．在1、2、……，2003中有些正整数n ，使得x 2+x －n 能分解为两个整系数一次式的乘积，则这样的n 共有 个.11．已知如图所示，∠MON=40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当△PAB 的周长取最小值时，∠APB 的度数为 .12．若关于x 的方程rx 2－(2r+7)x+r+7=0的根是正整数，则整数r 的值可以是 .三、解答题:（每小题15分，共60分）13．已知a 、b 、c满足方程组2848a b ab c +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩, 试求方程bx 2+cx-a=0的根.PNMBOA14．已知两个二次函数y1 和y2，当x=a（a＞0）时，y1取得最大值5，且y2=25. 又y2的最小值为-2，y1+y2=x2+16x+13. 求a的值及二次函数y1、y2的解析式.15．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2.求：（1）∠MAN的大小;（2）△MAN面积的最小值.ND CMAB16．如图所示，四边形ABCD 是矩形，甲、乙两人分别从A 、B 同时出发，沿矩形按逆时针方向前进，即按A →B →C →D →……顺序前进，已知甲的速度为每分钟65米，乙的速度为每分钟74米，问乙至少在跑第几圈时才有可能第一次追上甲？又乙至多在跑第几圈时一定能追上甲？请说明理由。
初中数学竞赛辅导资料(七年级用)
初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
初中数学竞赛辅导资料(七年级上)
数的整除（一）内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2．若四位数a 987能被3整除，那么 a=_______________ 3．若五位数3412X 能被11整除，那么 X ＝__________- 4．当 m=_________时，535m 能被25整除5．当 n=__________时，n 9610能被7整除 6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9． 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。
八年级数学竞赛辅导训练题(一)(无答案)
八年级 数 学 竞 赛 辅 导 训 练 题(一)一、 填空题：（1）、若a 、b 、c 是三角形的三边，化简c b a -+－c b a --＝ 。
（2）、多项式42++mx x 有一个因式是1-x ，则=m 。
（3）、 6、如图1，已知BD AC =，要使得DCB ABC ∆≅∆，只需增加的一个条件是（只填一种）: 。
（4）、将两个全等的有一个角为︒30的直角三角形如图2拼放，使其两条较长直角边在同一直线上，那么图中的等腰三角形共有 个。
(5)、如图3，已知︒=∠35A ，︒=∠20B ，︒=∠25C ，则BDC ∠的度数为 。
(6)、已知AD 是ABC ∆的中线，︒=∠45ADC ，把ADC ∆沿AD 所在直线对折，点C 落在点E 的位置(如图4)，则EBC ∠等于 度。
(7)、对于两个有理数x 与y ，定义一种运算“*”： y x yx xy y x -++=3*，则3*2的值为 。
（8）、如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以达到建筑物的高度是( )A.10mB.11mC.12mD.13m（9）、如果点A(-3,a)是点B(3,-4)关于原点的对称点，那么a 的值是( )A.-4B.4C.4或-4D.3或-3二、选择题：（1）、若0136422=++-+y x y x 则=y x （ ） B C图1 图2BC 图3B C D 图4A 、 8B 、 - 8C 、 81D 、- 81 （2）、如果三角形一个内角等于其它两个内角的差，那么这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定（3）、设a 、b 、c 是三角形的三边长，且ca bc ab c b a ++=++222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形 ②是等边三角形 ③是锐角三角形 ④是斜三角形其中正确说法的个数是（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个（4）、下列说法正确的是（ ）A 、 全等三角形的中线相等B 、 有两边对应相等的两个等腰三角形全等C 、 有两边和一角对应相等的两个三角形全等D 、周长相等的两个等边三角形全等（5）、若16-m 表示一个整数，则整数m 可取值的个数是（ ）。
初中奥林匹克数学竞赛训练题(7套)
数学奥林匹克初中训练题第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P ,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第 二 试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边B 小 C 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC =且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论。
初二数学竞赛训练题5
练习卷51. 1．若实数a 、b 、c 、d 满足a ＋1＝b －2＝c ＋3＝d －4，则a 、b 、c 、d 这四个实数中最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d2．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ）A 、42条B 、54条C 、66条D 、78条3．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（ ）A ．1B ．1或2C ．2D ．2或34．关于x 满足32537213x x x +-≥--，且23+--x x 的最大值为p ，最小值为q ，则pq 的值是（ ）A ．6B ．5C ．－5D ．45．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝3，BC ＝5，将腰DC 绕点D 的逆时针方向旋转90°至DE ，连结AE ，则△ADE 的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ， 若∠CAE=15°则∠BOE=（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°7. 若不等式a x x ≤-+-3312有解，则实数a 最小值是（ ）A 、1B 、2C 、4D 、68. 若实数a 、b 、c 、d 满足4321-=+=-=+d c b a ，则a 、b 、c 、d 这四个实数中最大的是（ ）A 、aB 、bC 、cD 、d9.已知=++++++++2009200913312211112222 （ ） A 、1 B 、20092008 C 、20102009 D 、20092010 10. 已知51=-a a ，则aa 1-=______________. 11. 一次函数)(111为正整数k k x k k y +++-=的图像与x 轴、y 轴的交点是A 、B ，O 为原点，设Rt△AB O 的面积是k S ，则=++++2009321S S S S ____________.12. 规定任意两个实数对()()d c b a ,,和：当且仅当a=c 且b=d 时，()()d c b a ,,=.定义运算“⊗”: ()()()bc ad bd ac d c b a +-=⊗,,,.若()()()0,5,2,1=⊗q p ,则=+q p _____.13. 已知△ABC 中，AB=39；BC=6；CA=3.点M 是BC 中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是 .14. 一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手，每位参赛者与其110-n 个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。
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5．正整数 n 小于 100，并且满足[ n ] [ n ] [ n] n ，其中[x]表示不超过 x 的最大整 236
数，这样的正整数n 有（ ）。 （A）2 个 （B）3 个 （C）12 个 （D）16 个 二、填空题
6．如果*表示一种运算，它是由下面的式子来定义的， a * b ab b ，则（1*2）
（A）24 条 （B）30 条 （C）36 条 （D）42 条
3．用数码 2、4、5、7 可以组成四位数，在每个四位数中，每个数码只出现一次，一共 有 24 个四位数，将这些四位数从小到大排列，则排在第 17 位的四位数是（ ）。
（A）4527 （B）5724 （C）5742 （D）7245
4．在 x y 2009 的正整数解（x，y）中，x+y 的最大值是（ ）。
*3=________。 7．为了给一本书的各页标上页码，排版人员一共打击了 3289 个数码，则这本书的页数
是_________页。 8．y=|x+1|+|x-2|+|x+3|，则 y 的最小值是_________。
9．已知 y 11 6 2 ，x 表示 y 的小数部分，则 x 2 2 y 的值为_________。
8．如图 4，
-1，2，3 在数轴上的对应点分别为 A、B、C 由绝对值的意义知即要在数轴上找一点， 使得这一点与 A、B、C 三点的距离之和最小，显然这一点就是 B 点。当 x=2 时，
y最小 | 2 1 | | 2 2 | | 2 3 | 4 。
9． y (3 2)2 | 3 2 | 3 2 ，则 x 2 1， 于是 x 2 2 y ( 2 1)2 2(3 2) 9 。
10．设 x 2 y 2 a 2 ，且 a2 1，设 S 1 x2 1 y 2 ，则 S 的最大值是_________。
三、解答题
11．求出所有的三位正整数 ABC 使得 2 ABC 1BCA 。
12．矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC、AB 上各取一点 M、N（如图 2），使 BM+MN 的值最小，求这个最小值。
4．∵ 2009 7 41 ，且 x、y 为正整数，
∴ x m 41 ， y n 41，m、n 为正整数。
则 m 41 n 41 7 41 。
∴m+n=7。
∴ x y 41 6 41 2 41 5 41 3 41 4 41 。
当 x y 41 6 41 41 1476 时，x+y=1517，
10 ． 设 1 x2 A ， 1 y2 B ， 则 A+B=S ， A2 B 2 1 x 2 1 y 2 ， 将 x 2 y 2 a 2 代入上式，得 A2 B2 2 a2 ，
∴ S 2 1 [(A B)2 (A B)2 ] 2 a2 ， 2
S 2 4 2a2 ( A B)2 0 ， ∴ S 2 4 2a2 ，易知 S＞0， ∴ S 4 2a2 ， ∴S 的最大值为 4 2a2 。
13．如图 3，ABCD 是正方形，点 P 是正方形的中心，以正方形的一边 AD 为斜边，向 外作直角三角形 AED，连结 PE，证明：PE 平分∠DEA。
参考答案 1．∵x≤y＜z， ∴z+y＞2x。
又 x2 y2 z2 ，
∴ x2 z 2 y 2 (z y)( z y) ，
而（z+y）（z-y）＞2x（z-y）
236
2 23 36 6
都成立，必须有 n 是 2、3、6 的倍数，即 n 是 6 的倍数。这里 1≤n＜100，所以 n 可取其中
的[99] 16 个数。故应选 D。 6
6．∵1 2 12 2 3 ， 3 3 33 3 30 。
7．从 1~9 页用了 9 个数码，10~99 页用了 2×90=180 个数码。100~999 用了 2700 个数 码，而排版人员点击了 3289 个数码，从而知有 400 个数码用于标四位数的页码。只能从 1000 标到 1099 页，所以这本书的页码为 1099 页。
11．因为 2 倍的三位数 ABC 大于 1000 而小于 2000，所以 ABC 一定是大于 500 而小于
1000，因此 A 为 5、6、7、8 或 9，整数 A 又必须是偶数，所以 A 是 6 或 8。如果 A 是 6，
这样我们需要找出 B 和 C 使得 2 6BC 1BC6 ，
这等价于1200 2BC 1006 10BC ，化简后即为194 8BC ，而 194 不是 8 的倍
∴ x2 2x(z y) ，
∴x＞2（z-y）。 ∴应选 A。 2．原长方体有 12 条棱，每砍去一个角增加 3 条棱，所以新的立体一共有 36 条棱（12+8 ×3）， 3．从第 1 到第 6 个数，开头的数码是 2，从第 7 到第 12 个数，开头的数码是 4，从第 13 到第 18 个数的开头的数码是 5。5 开头的四位数按大小排列应为 5247，5427，5472，5724， 5742。故应选 B。
设 AB′交 CD 于点 P，连结 BP，则△ABP 的面积等于 1 20 10 100 ，由 AB∥CD 2
及由对称性知∠PAC=∠PCA，
∴AP=PC，设 AP=PC=x，则 DP=20-x，根据勾股定理，得 x 2 (20 x)2 10 AP BH' 1 10 20 ，
当 x y 2 41 5 41 164 1025 时，x+y=1189。
当 x y 3 41 4 41 369 656 时，x+y=1025，
∴x+y 的最大值为 1517。故应选 B。
5．由于 n n n n ，若 x 不是整数，则[x]＜x，所以要使[ n] n ，[ n] n ，[ n] n
∴PE 平分∠DEA。
2
2
∴ BH' 200 16 。 12.5
故 BM+MN 的最小值是 16。
13．如图 6，过 C 作 ED 延长线的垂线，交于 F，过 B 作 EA 延长线的垂线，交于 H。
HB 的延长线和 FC 的延长线交于 G。易证 Rt△CFD≌Rt△DEA≌Rt△AHB≌Rt△BGC，
∴四边形 EHGF 也是正方形，P 也是正方形 EHGF 的中心。
数，所以 A 不能是 6。如果 A=8，我们就有 2 8BC 1BC8 ，
这就等价于1600 2BC 1008 10BC ，即 592 8BC ，因此， BC 等于 74，所以
B=7，C=4，所以所求的三位数是 874。
12．如图 5，作 B 关于 AC 的对称点 B′，连结 AB′，则 N 关于 AC 的对称点 N′在 AB′上，过 B 作 AB′的垂线，垂足为 H′，则 BM+MN=BM+MN′≥BH′，即 BM+MN 的最小值为 BH′。
学科：奥数
教学内容：竞赛训练题
一、选择题 1．如果一个直角三角形的两条直角边为 x 和 y，并且 x≤y，z 是斜边，则下面的关系 式中一定成立的是（ ）。 （A）x＞2（z-y） （B）x=2（z-y） （C）x＜2（z-y） （D）不能确定
2．如图 1 所示为一个长方体砍去两个角后的立体图形，如果照这样砍去长方体的八个 角，则新的立体的棱有（ ）。