高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第五节两角和与差的正弦余弦和正切公式课后作业理
2018年高考数学总复习第四章三角函数、解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式!
第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015²全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32B.32C.－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.答案 D2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1B.0C.1D.2解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°²tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°²tan 28°)＋tan 17°²tan 28° ＝1＋1＝2. 答案 D3.(2017²西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( )A.－31010B.31010C.－35D.35解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2³1010³⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 答案 C4.(2016²河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b解析 由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°， ∴c ＜a ＜b . 答案 D5.(2016²肇庆三模)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A.－195B.－519C.－3117D.－1731解析 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247³1＝－1731.答案 D 二、填空题6.(2016²石家庄模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值是________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2³19－1＝－79.答案 －797.(2017²杭州月考)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则sin θ＝________；tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ²sin π4＋cos θcos π4＝35，cos θcos π4－sin θsin π4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－152，cos θ＝752，∴tan θ＝－17，tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝－17－11－17³1＝－43. 答案 －210 －438.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________.解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 答案 －247三、解答题9.(2017²镇海中学模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1). (1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值.解 (1)由a ⊥b 可知，a ²b ＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13.(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝ 6－4cos θ＋2sin θ＝2， 即1－2cos θ＋sin θ＝0.又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，cos θ＝45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 10.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值. 解 法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13， 于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2³13＝1. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2016²云南统一检测)cos π9²cos 2π9²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( ) A.－18B.－116C.116D.18解析 cosπ9²cos 2π9²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos 20°²cos 40°²cos 100°＝－cos 20°²cos 40°²cos 80°＝－sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°sin 20°＝－12sin 40°²cos 40°²cos 80°sin 20°＝－14sin 80°²cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.答案 A12.(2017²武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A.[－2，1]B.[－1，2]C.[－1，1]D.[1，2]解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1， ∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C. 答案 C13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12³23－32³53＝2－156. 答案2－15614.已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ²b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围.解 (1)因为f (x )＝a ²b ＋λ＝(cos ωx －sin ωx )(－cos ωx －sin ωx )＋23sin ωx ²cos ωx ＋λ ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ²cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z ).又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6＋λ.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53³π4－π6＋λ＝0，所以λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53³π4－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－ 2.故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2].15.(2016²西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S . (1)求S 关于θ的函数关系式. (2)求S 的最大值及相应的θ角.解 (1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则四边形QEDP 为矩形. 由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝MN ²PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ²sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)由(1)得S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.当θ＝π6时，S max ＝36(m 2).。
高优指导高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 20 两角和与差的正弦、余弦与正切公式考点规范
考点规范练20考点规范练B册第12页基础巩固组1.计算cos 42°cos 18°-cos 48°sin 18°的结果等于()A. B. C. D.答案:A解析:原式=sin 48°cos 18°-cos 48°sin 18°=sin(48°-18°)=sin 30°=.2.(2015陕西,文6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:∵cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α),∴cos 2α=0⇔cos α=-sin α或cos α=sin α,故选A.3.(2015山西四校联考)已知sin,-<α<0,则cos的值是()A.B.C.-D.1答案:C解析:由已知得cos α=,sin α=-,coscos α+sin α=-.4.已知α∈,且cos α=-,则tan等于()A.7B.C.-D.-7答案:B解析:因为α∈,且cos α=-,所以sin α<0,即sin α=-,所以tan α=.所以tan=.5.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)=()A.1B.2C.-1D.-2〚导学号32470751〛答案:A解析:tan β==tan.又∵α,β均为锐角,∴β=-α,即α+β=.∴tan(α+β)=tan=1.6.已知cos+sin α=,则sin的值为()A. B. C.- D.-答案:C解析:∵cos+sin α=cos α+sin α=,∴cos α+sin α=.∴sin=-sin=-=-.7.(2015山东潍坊二模)若α∈,且cos2α+cos,则tan α=()A.B.C.D.答案:B解析:cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=.整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=或-7,又α∈,故tan α=.8.sin 15°+sin 75°的值是.答案:解析:(方法一)sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=2sin 45°cos 30°=2×.(方法二)sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=.9.函数f(x)=sin 2x sin-cos 2x cos上的单调递增区间为.答案:解析:f(x)=sin 2x sin-cos 2x cos=sin 2x sin+cos 2x cos=cos.当2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.取k=0得-≤x≤,故函数f(x)在上的单调递增区间为.10.(2015浙江,文11)函数f(x)=sin2x+sin x cos x+1的最小正周期是,最小值是.答案:π解析:f(x)=sin 2x+1=sin,所以函数f(x)的最小正周期T==π,最小值为.11.(2015广东,文16)已知tan α=2.(1)求tan的值;(2)求的值.解:(1)tan==-3.(2)=====1.〚导学号32470752〛12.(2015江苏常州一模)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cos β的值.解:(1)∵α,β∈,从而-<α-β<.又∵tan(α-β)=-<0,∴-<α-β<0.∴sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.∵α为锐角,且sin α=,∴cos α=.∴cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)==.能力提升组13.已知α,β∈,满足tan(α+β)=4tan β,则tan α的最大值是()A. B. C. D.〚导学号32470753〛答案:B解析:由tan(α+β)=4tan β,得=4tan β,解得tan α=.因为β∈,所以tan β>0.所以tan α=≤,当且仅当=4tan β,即tan2β=,tan β=时取等号,所以tan α的最大值是.14.函数f(x)=4cos2cos-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.〚导学号32470754〛答案:2解析:令f(x)=4··sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|=0,即sin 2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系作出y=sin 2x与y=|ln(x+1)|的图像.由图像知共2个交点,故f(x)的零点个数为2.15.化简:tan(18°-x)tan(12°+x)+[tan(18°-x)+tan(12°+x)]=.答案:1解析:∵tan[(18°-x)+(12°+x)]==tan 30°=,∴tan(18°-x)+tan(12°+x)=[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)],∴原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.16.已知函数f(x)=sin(x+θ)+a cos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.解:(1)f(x)=sincos=(sin x+cos x)-sin x=cos x-sin x=sin,因为x∈[0,π],从而-x∈.故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.(2)由得又θ∈,知cos θ≠0,解得。
高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下：
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式： 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式： sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2
高考数学一轮复习专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础知识融会贯通1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 【知识拓展】1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.重点难点突破【题型一】和差公式的直接应用【典型例题】求值：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°＝sin（24°﹣54°）＝sin（﹣30°）＝﹣sin30°，故选：C．【再练一题】若sinα，α∈（），则cos（）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα，α∈（），∴cosα，∴cos（）（cosα﹣sinα）．故选：A．思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【题型二】和差公式的灵活应用命题点1 角的变换【典型例题】已知tan（α）＝﹣2，则tan（）＝（）A．B．C．﹣3 D．3【解答】解：∵tan（α）＝﹣2，则tan（）＝tan[（α）]，故选：A．【再练一题】若sin（）＝2cos，则（）A．B．C．2 D．4【解答】解：∵sin（）＝2cos，∴sinαcos cosαsin2cos，即 sinαcos3cosαsin，∴tanα＝3tan，则，故选：B．命题点2 三角函数式的变换【典型例题】若，且，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵α，∴π＜2α，又，∴cos2α．∴，解得cosα，则sinα．∴．故选：D．【再练一题】已知sinα+3cosα，则tan（α）＝（）A．﹣2 B．2 C．D．【解答】解：∵（sinα+3cosα）2＝sin2α+6sinαcosα+9cos2α＝10（sin2α+cos2α），∴9sin2α﹣6sinαcosα+cos2α＝0，则（3tanα﹣1）2＝0，即．则tan（α）．故选：B．思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．基础知识训练1．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】已知α∈（22ππ-，），tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sin α＝（ ）A B ． C D ． 【答案】A 【解析】解：由tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=， 且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π），联立，解得sin α=． 故选：A ．2．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,4)P .若角β满足，则tan β=（ ）A ．-2B ．211 C ．613D ．12【答案】B 【解析】因为角α的终边过点()3,4P ，所以4tan 3α=，又，所以，即，解得2tan 11β=. 故选B3．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，故选：B4．【河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考】已知，则=（ ）A ．35B ．45C D 【答案】D 【解析】∵，∴12tan θ=．∴．故选D ．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟考试】已知，则sin α= ( )A B C ．45D ．35【答案】A 【解析】因为，所以，所以，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭解得，故选A.6．若，则tan α= ( )A ．17 B ．17-C ．1D ．1-【答案】D 【解析】tan （α-β）＝3，tan β＝2， 可得3，∴，解得tan α1=-． 故选：D ．7．【福建省三明市2019的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 解：选项A ：；选项B ：；选项C ：； 选项D ：，经过化简后，可以得出每一个选项都具有的形式，， 故只需要sin α接近于sin 45︒，根据三角函数图像可以得出sin 46︒最接近sin 45︒，故选D.8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题得.当在第一象限时，.当在第三象限时，.故选：C9．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)】已知为锐角，则()sin αβ+的值为（ ）A ．12B ．312- C ．12D ．312+ 【答案】D 【解析】 因为为锐角因为()cos 2β=所以2αβ+大于90°由同角三角函数关系，可得所以 =所以选D10．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试】若，且α是钝角，则（ ）A ．46B ．46- C ．46D ．46-【答案】D 【解析】 因为α是钝角，且，所以，故，故选:D11．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】________．【答案】2 【解析】 因为，又，所以，所以.故答案为212．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)】函数的最大值为_______【答案】1【解析】,所以，因此()f x的最大值为1.13．【吉林省2019届高三第一次联合模拟考试】已知，则m=______．【答案】【解析】由得：整理得：m=本题正确结果：14．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】已知,则＝_____．【答案】1 7 -【解析】，则3cos5α=-，所以4tan3α=-，则：，故答案为：17-． 15．【江西省新八校2019届高三第二次联考】在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则的最小值是_______．【答案】12 【解析】 由正弦定理可得：得：，即又令，得：ABC ∆为锐角三角形得：，即1t > 10t ∴->当且仅当，即时取等号本题正确结果：1216．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知函数，若对任意实数x ，恒有，则______．【答案】14- 【解析】对任意实数x ，恒有，则()1fα为最小值，()2f α为最大值.因为，而，所以当sin =1x -时，()f x 取得最小值；当1sin 4x =时，()f x 取得最大值. 所以.所以1cos 0α=.所以.17．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】在ABC ∆中，已知3AC =，cos B =，3A π=.（1）求AB 的长； （2）求的值.【答案】（1）2AB =（2）【解析】（1）在ABC ∆中，因为cos B =，所以02B π<<，所以，又因为，所以，由正弦定理，，所以.（2）因为，所以，所以.18．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45B =，b =cos C =． （1）求边a ；（2）求()sin 2A B -．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得：cos C =，，0C π<<，∴，∵45B =︒，，∴，∴由正弦定理，得a =．（2）由（1）得，，∴，，∴.19．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，.（1）求ABC △的面积； （2）若2c =，求的值.【答案】（1）4；（2） 【解析】 解：，，，，易得sin 0A ≠，3cos 5A ∴=，，又，可得，10bc =，可得ABC △的面积；（2），5b ∴=，由余弦定理可得，，a ∴=，，20．【天津市河北区2019届高三一模】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足，.（1）求cos A 的值； （2）求的值。
高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合篇课件新人教A版
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦、余弦定理,可得a2·b2 c2 a2 ·b=b2·a2 c2 b2 ·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a
(1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.
答案 C
例 (2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC= 2,∠C= ,则∠B=
6
()
A. B. 或 C. 3 D. 或 3
4
42
4
44
解析
由正弦定理得 AB
sin C
= AC
sin B
,即
1 sin
= 2,
sin B
B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
【精编】2020年高考数学一轮复习对点提分专题4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (文理科通用)(学
第四篇 三角函数与解三角形专题4.03 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考试要求】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 【知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 【微点提醒】1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )【教材衍化】2.(必修4P127T2改编)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.－210B.210 C.－7210D.72103.(必修4P146A4(2)改编)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.【真题体验】4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C.－79D.－895.(2019·青岛一模)已知角α是终边经过点P (sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝( ) A.12 B.32 C.－12D.－326.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.【考点聚焦】考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.【规律方法】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等. 【训练1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________.考点二 三角函数式的求值角度1 给角(值)求值【例2－1】 (1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.①求cos 2α的值； ②求tan(α－β)的值.角度2 给值求角【例2－2】 (1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________.【规律方法】 1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好. 【训练2】 (1)(2019·天津河西区模拟)tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1)等于( ) A.1B.2C.－1D.－2(2)已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________.(3)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3·sin 2θ，则sin 2θ＝( ) A.13 B.23C.－23D.－13考点三 三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·杭州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的最值.【规律方法】 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.【反思与感悟】1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. 【易错防范】1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，π)范围内，sin α＝22所对应的角α不是唯一的. 3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称. 【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】——缩小角的范围常用策略在运用平方关系和由三角函数值求角时都要注意角的范围.如果条件中角的范围恰好能够使用，那么就能顺势求解题目.但绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条件缩小范围.类型1 由三角函数值的符号缩小角的范围【例1】 (一题多解)已知α，β∈(0，π)，tan α＝2，cos β＝－7210，求2α－β的值.【评析】 三角函数值的符号与角的范围有直接关系，借助三角函数值的符号可有效缩小角的范围.本题缩小角的范围分为两层：先由条件中tan α，cos β的符号缩小α，β的范围，得到α－β的范围，再由α－β的范围，结合tan(α－β)的符号进而缩小α－β的范围，得到2α－β的范围.难点是想到缩小α－β的范围. 另外，本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围.法二较法一在求角的范围上运算量小了许多，这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势. 类型2 由三角函数值及特殊角的三角函数值缩小范围【例2】 设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________.【评析】 本题缩小角的范围分为两层：(1)由cos α＝35∈⎝⎛⎭⎫12，22，结合α∈(0，π)，缩小角α的范围，得到α＋β的范围；(2)由sin(α＋β)＝513∈⎝⎛⎭⎫0，12，结合α＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，4π3上不单调，解决办法是画图. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.452.(2019·北京海淀区)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝( ) A.2325 B.－2325C.725D.－7253.(2019·日照调研)sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14B.12C.32D.14.(2019·信阳一模)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A.5B.92C.52D.25.(2019·济南模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( )A.35B.45C.35或45D.34二、填空题6.(2017·江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________.7.化简：2sin （π－α）＋sin 2α2cos 2α2＝________.8.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.三、解答题9.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值.10.已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( ) A.1110 B.－1110C.1D.－112.(一题多解)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.43 B.－43C.－34D.3413.(2019·广东七校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝________.14.(2019·烟台二中月考)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x 2·cos(x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π). (1)求a ，θ的值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，f ⎝⎛⎭⎫α2＋π8＋25cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α＝0，求cos α－sin α的值.【新高考创新预测】15.(试题创新)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( ) A.[－2，1]B.[－1，2]C.[－1，1]D.[1，2]。
三角函数的概念与三角公式应用(4知识点+3重难点)(解析版)2025年高考数学一轮复习知识清单
专题06三角函数的概念与三角恒等变换（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1任意角与弧度制1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2、弧度制定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad知识点2任意角的三角函数有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线知识点3同角三角函数基本关系式与诱导公式1、同角三角函数基本关系式（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（3）商数关系：sin αcos α＝tan ≠π2＋k π，k ∈（3）基本关系式的几种变形①sin2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.③sin α＝tan αcos ≠k π＋π2，k ∈2、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
高中数学老师教案 第四章 三角函数、解三角形 - 第五节-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. [小题体验]1．cos 45°cos 15°－sin 45°sin 15°的值为( ) A ．12B ．32C ． 3D ．33答案：A2．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A ．2941B ．129 C ．141D ．1答案：D3．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.答案：54．(教材习题改编)已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.答案：7251．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围． [小题纠偏]1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．(2018·温州模拟)已知sin x ＋3cos x ＝65，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos π6cos x ＋sin π6sin x ＝32cos x ＋12sin x ＝12(sin x ＋3cos x )＝12×65＝35. 答案：35考点一 三角函数公式的基本应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B ．211C ．112D ．－112解析：选A 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.2．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43 C.43 D.34解析：选D ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为______． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α ＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.答案：－4＋33104．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解：(1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.所以sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35， sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝－725×12＋2425×32＝243－750.[谨记通法]三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·台州模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝( )A.23 B.43 C.34D.32解析：选D 由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴0＜π4－θ＜π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 2．计算：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析：选Bsin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.3．计算：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________. 解析：∵tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴3－3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°， 即tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 3[由题悟法]1．三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[即时应用]1．(2019·金华十校联考)sin 5°cos 55°－cos 175°sin 55°的值是( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选D sin 5°cos 55°－cos 175°sin 55°＝sin 5°cos 55°＋cos 5°sin 55°＝sin 60°＝32. 2．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为____________． 解析：由tan α＋1tan α＝103，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或tan α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以tan α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝22sin 2α＋22cos 2α＋2(1＋cos 2α)2＝22sin 2α＋2cos2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22＝22×2×332＋1＋2×1－3232＋1＋22＝0. 答案：0考点三 角的变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)． 解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. [由题悟法]利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[即时应用]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3的值为( ) A ．23B ．12C ．34D ．45解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．(2018·福建师大附中检测)若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C ．14D ．78解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－78.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·宁波模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A ．17B ．7C ．－17D ．－7解析：选A 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，所以tan α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17. 2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选D 依题意得cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 3．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B ．23C ．－13D ．13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.4．(2019·衢州模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan xtan 2x的值为________． 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝2，解得tan x ＝13，所以tan x tan 2x ＝1－tan 2x 2＝49. 答案：495．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A ．－43B ．43C ．－43或0D ．43或0解析：选D ∵⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1或⎩⎨⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.2．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B ．118C ．－1718D ．1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33B ．－33 C.539D ．－69解析：选C ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. 4．(2018·“七彩阳光”联盟适应性考试)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x －m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，2)B ．[－3，3)C ．[3，2)D ．[0,2)解析：选C 令f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝0，则有m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以有2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈[－3，2]．因为有两个不同的零点，结合图形可知，m ∈[3，2)．5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12B ．12C ．－13D ．2327解析：选D ∵cos α＝13，2α∈()0，π，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，sin 2α＝1－cos 22α＝429，又∵cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， ∴cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.6．(2018·杭州二中模拟)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________；tan 2α＝________.解析：由sin α＋2cos α＝102两边平方可得sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52，故sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝52，即tan 2α＋4tan α＋4tan 2α＋1＝52，解得tan α＝3或tan α＝－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 答案：3或－13 －347．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：－18．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：15169．(2019·杭州七校联考)已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210.(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值．解：(1)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.因为tan α＝2，所以cos 2α＝1－41＋4＝－35.(2)因为α∈(0，π)，tan α＝2， 所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为cos 2α＝－35，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin 2α＝45. 因为β∈(0，π)，cos β＝－7210，所以sin β＝210且β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.因为2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. 10．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，π3＜φ＜π，函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值． 解：(1)依题意有f (x )＝a ·b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)． ∵函数f (x )的最小正周期为2π，∴T ＝2πω＝2π，解得ω＝1. 将点M ⎝⎛⎭⎫π6，32代入函数f (x )的解析式，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝32， ∴π6＋φ＝π3＋2k π，k ∈Z 或π6＋φ＝2π3＋2k π，k ∈Z . ∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2. 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin β＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725，∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝－725×1213＋2425×513＝36325.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知平面向量a ＝(sin 2x ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，－cos 2x )，f (x )＝a ·b ＋4cos 2x ＋23sin x cos x ，若存在m ∈R ，对任意的x ∈R ，f (x )≥f (m )，则f (m )＝( )A ．2＋2 3B ．3C ．0D ．2－2 3解析：选C 依题意得f (x )＝sin 4x －cos 4x ＋4cos 2x ＋3sin 2x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2，因此函数f (x )的最小值是－2＋2＝0，即有f (m )＝0.2．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________(填序号)． 解析：f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba ，因为对一切x ∈R ，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，故f (x )＝±a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.而f ⎝⎛⎭⎫11π12＝±a 2＋b 2·sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12＋π6＝0，所以①正确；⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 47π30＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 17π30，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 17π30，所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f (x )＝a 2＋b 2·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可知(图略)，不存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交，故⑤错误．答案：①③3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
三角函数两角和与差公式
三角函数两角和与差公式三角函数两角和与差公式_高中数学学好数学的关键是公式的掌握，数学能让我们思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。
还能使我们的脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。
下面是小编为大家整理的三角函数两角和与差公式，希望能帮助到大家!三角函数两角和与差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)高三数学学习方法1、变介绍方法为选择方法高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复习的关键。
“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。
选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。
2、变全面覆盖为重点讲练第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。
要做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。
3、变以量为主为以质取胜高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。
只有重质减量，才能有利于学生更好的掌握知识，减少练习量，不是指不做或是少做，而是要在精选上下功夫，要做到非重点的就少做甚至是不做。
4、变以“补弱”为主为“扬长补弱”并举虽然影响学生的数学成绩的因素很多，但是学习兴趣和爱好与成绩绝对是相辅相成的。
所以一味的强调“补弱”是不科学的，要因人而异，因成绩而异。
一般，成绩居中上游的学生，应以“扬长”为主，居下游的学生，应以补弱为主。
处理好扬长、补弱的关系，才是正确的做法。
高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
第4章第四章三角函数、解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 高考数学一轮复习
【解析】
sin24°cos6°－sin66°sin6° sin21°cos39°－cos21°sin39°
＝sisnin212°4c°ocso3s69°°－ －ccooss2241°°ssiinn63°9°
＝ssiinn2214°°－－369°°＝sinsin－181°8°＝－1.
【答案】 －1
内容索引
所 以 A ∈ 0，π2 ， B ∈ 0，π2 ， tanA>0. 因 为 sinB ＝ 2sinAcos(A ＋ B) ＝
2sinAcosAcosB － 2sin2AsinB ， 所 以
tanB
＝
2sinAcosA 1＋2sin2A
＝
2tanA 1＋3tan2A
＝
ta1nA＋23tanA≤2
2 1
故 cos(β－α)＝－31010，所以 cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)
－sin2αsin(β－α)＝－2
5
5×－3
1010－
55×
1100＝
22.又
α＋β∈54π，2π，
故 α＋β＝74π.
【答案】
7π 4
内容索引
已知π2<α<π，－π2<β<0，且 tanα＝－13，tanβ＝－17，求 2α＋β 的值． 【解析】 由题意，得 α＋β∈(0，π)， tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ ＝1－－－13＋13×－1－7 17＝－12<0， 所以 α＋β∈π2，π.
内容索引
思考1►►► 如何利用公式进行求值？注意点是什么？
内容索引
1. 注意角的范围的确定． 2. 角的变换．
内容索引
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【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角
形 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课后作业 理
[全盘巩固]
一、选择题
1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－32 B.32C．－12 D.12
2．(2016·抚顺模拟)已知sin 2α＝13，则cos2α－π4＝( )
A.13B.23 C．－23D．－13
3．已知sinπ6－α＝13，则cos2π3＋α的值是( )
A.79B.13 C．－13 D．－79
4．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝
3，则α，β的大小关系是( )
A．α<π4<βB．β<π4<α
C.π4<α<β D.π4<β<α
5．(2016·成都模拟)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈
π，
3π
2
，则α＋β的值是( )
A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4
二、填空题
6.tanπ4＋αcos 2α2cos2π4－α＝________.
7．函数f(x)＝sin2x－π4－22sin2x的最小正周期是________．
8．已知cos4α－sin4α＝23，且α∈0，π2，则cos2α＋π3＝________.
三、解答题
9．已知α∈π2，π，且sinα2＋cosα2＝62.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈π2，π，求cos β的值．
10．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求fπ6的值；
(2)若sin α＝35，且α∈π2，π，求fα2＋π24.
[冲击名校]
1．已知tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈－π2，π2，则
α＋β＝()
A.π3B.π3或－2π3C．－π3或2π3D．－2π3
2．(2015·大连模拟)已知sinα－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝()
A.45B．－45 C.35D．－35
3．若0<α<π2，－π2<β<0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝
________.
4．已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.
(1)求f5π4的值；
(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．
答 案
[全盘巩固]
一、选择题
1．解析：选D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin
10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.
2．解析：选B cos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23.
3．解析：选D 法一：∵sinπ6－α＝13，∴cosπ3－2α＝cos2π6－α＝1－
2sin2π6－α＝79，∴cos2π3＋α＝cos2π3＋2α＝cosπ－π3－2α＝－cosπ3－2α＝
－79.
法二：∵sinπ6－α＝13，∴cosπ3＋α＝13，
∴cos2π3＋α＝2cos2π3＋α－1＝29－1＝－79.
4．解析：选B ∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan
αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<
π
4
<α.
5．解析：选A 因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α
∈π2，π，α∈π4，π2，故cos 2α＝－255.又β∈π，3π2，所以β－α∈π2，5π4，
故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)
－sin 2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22，且α＋β∈5π4，2π，故
α＋β＝7π4.
二、填空题