第八章 扭 转

t G
剪切弹性模量
2、 圆轴扭转时横截面上的剪应力
推导圆轴扭转时横截面上的剪应力公式的思路： 通过实验观察变 形、提出假设 变形几何关系
变形的分布规律
物理关系 应力的分布规律
静力平衡关系
最终建立剪应力计算公式
在圆周中取出一个楔形体放大后见图（b）
根据几何关 系，有：
CC rd AC dx
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一样适用， 但是，空心部分没有应力存在。
扭转剪应力的计算：
圆截面上任意一点剪应力：
T
T t Ip
Ip
R
定义：W p 极惯性矩
t max
圆截面上最大剪应力： 剪应力具有最大值
t max
T R Ip
Ip R
称为抗扭截面模量
t max
T Wp
由：
距离为l 的两个 横截面之间的相 对扭转角则为：
l
d T dx GI P
抗扭刚度
T dx 0 GI p
Tl GI p
1）若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
TL (单位：rad) GI P
2）若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆
Ti Li (单位：rad) i1 G i I Pi
实验：
将一薄壁圆筒表面用纵向平行 线和圆周线划分
两端施以大小相等方向相反 一对力偶矩
各圆周线的形状、大小不变；各圆周线间距不 变，仅绕轴线作相对转动。
观察到：
各纵向线仍为直线，且倾斜同一角度，使原来 的矩形变成平行四边形。
平面假设：圆轴受扭后，轴 的横截面仍保持为平面，其 大小和形状不变，并发生刚 性转动，半径保持为直线， 相邻两截面间的距离不变。 结果说明：
变形特点：
杆件的各个横截面绕杆轴发生相对转动。
§8-2
圆轴扭转时横截面上的剪应力
外力偶矩的计算（功率与扭转外力偶矩的换算关系）:
输入功率：Np(kW) 转速：n (转/分)
m
m 9550
Np n
N m
2 、内力分析（确定危险横截面）
例1、传动轴如图所示，转速n＝300rpm,主动轮输 入功率PA=500kW,从动轮功率分别为PB＝150kW， PC＝150kW，PD＝200kW，试作轴的扭矩图。
GG d EG dx
根据物理关系，即 剪切Hooke定律：
d t G G dx
再根据静力学关系：

A
t dA T
2
d A t dA A G dx dA T
d 2 G dA T dx A
2 I 令： p A dA
横截面上没有截面法线方向的 应力，即不存在正应力； 横截面上分布有与截面相切的 应力，即存在剪应力。
由于壁很薄，可以假设剪应力 沿壁厚均匀分布。
剪应力互等定律：
在薄壁圆筒上，围绕一点 处取出边长分别为dx、dy、 dz的微小正六面体，如图 （c、d）所示。
A
B A
C

D
பைடு நூலகம்
B
t´
t D
C
剪应力互等定理： 由静力平衡方程可以得到：
例3（同例2）若AD轮互换位置，试校核轴的强度。
解：互调AD轮位
置后，扭矩图如图 所示，
Tmax=15.9 kN.m
Tmax τ max 60.8MPa [τ ] WP
∴强度不符合要求。
例4（同例2）若BD轴改用内外径之比为9:10的空心 轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径 d与D。
解：①内力分析
由扭矩图得知T2=9.56kN.m
危险横截面在AC段， Tmax=9.56kN.m ②应力计算
T2 ρ 9560 40 10 τρ 26.6MPa 4 12 Ip π 110 10 / 32
3
③ 强度计算
τ max Tmax 9560 36.6MPa ＜[τ] 3 9 Wp π 110 10 / 16
t
t
t =t

两互相垂直截面上，剪应力总是成对存在的，且数值相 等、方向要么同时指向两平面的交线，要么同时背离这一交 线。这称为剪应力互等定理。
剪切Hooke定律：
在剪应力的作用下，单元体的直角 将发生微小的改变，这个改变量 称 为剪应变。

当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力 与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克 定律。
抗扭截面模量：
实心圆截面：
Wp
Wp
d 3
16
3
空心圆截面：
D
16
1
4
d D
扭转轴内最大剪应力：
对于等截面轴，扭转轴内 最大剪应力发生在扭矩最 大的横截面的圆周上。
t max
Tmax Wp
极惯性矩IP与抗扭截面模量WP的常用值：
(1)实心圆截面
π d4 IP 32
第
八
§8-1 扭转的概念 §8-2 圆轴扭转时横截面上的剪应力 §8-3 扭转强度计算
章
扭 转
§8-4 圆轴扭转的刚度计算
§8-1 扭转的概念
轴：以扭转变形为主的构件； 工程上的轴的横截面常用 实心或空心圆截面。
受力特点：
杆件所受到的外力偶矩都作用在垂直于杆轴的平面内，即 都作用在杆轴的横截面内。
是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称 为横截面对圆心的极惯性矩。
t
（其中： ρ是该点 T 到圆心的距离） Ip
• 横截面上某点的剪应力的方 向与扭矩方向相同，并垂直 于该点与圆心的连线
•横截面上某点的剪应力的大 小与其到圆心的距离成正比 这表明，横截面上各点的剪应力与 点到截面圆心的距离成正比，即剪 应力沿截面的半径呈线性分布。
Tmax=9560N.m
θ max
Tmax 180 0.48 [ ] GI P π

所以刚度符合要求。
②变形计算 TBC l BC 180 BC＝ 0.477 G IP TCA lCA 180 CA＝ 0.954 G IP
π d3 WP 16
(2)空心圆截面
3 π D π D4 (1 α 4 ) IP (1 α 4 ) WP 16 32
d 其中， α 为内外径之比。 D
D
d
§8-3
扭转强度计算
横截面上最大应力：
τ max
T WP
T 所有横截面上最大工作应力： τ max WP max
T 强度条件： τ max W τ P max
[τ ]=(0.5～ 0.6)[σ ]，塑性材料
[τ ]=(0.8～ 1.0)[σ ]，脆性材料
例2（同例1）实心等截面直轴，d=110mm，(1) 试求截 面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。(2) 若已知 [τ]=40MPa，试校核轴的强度。
解：
PA 500 M A 9550 9550 15.9kN m n 300
MB＝ MC＝4.78kN.m ΣMx=0: T1+MB=0 得： T1 =-MB =-4.78 kN.m
类似可求出：
MD＝6.37kN.m
T2 =-9.56 kN.m
T3 = 6.37 kN.m
1、薄壁圆筒扭转时的应力：
计 算 变 形 时 ， 扭 矩 T 应 取 代 数 值 。
TAD l AD 180 AD＝ 0.635 G IP

轴两端截面之间的相对扭转角为：
BD＝BC＋CA＋AD＝ 0.796

小
结
基本要求： 掌握扭转的概念和实例，纯剪切，剪应变，剪 切虎克定律，剪切弹性模量，剪应力互等定理。 掌握功率、转速与外力矩间的关系，圆轴扭转 时的应力和变形，强度条件和刚度条件。 重点： 强度条件和刚度条件， 难点： 剪应力互等定理 。
解： t max 36.6MPa
Tmax 9.56kN m
WP
D3
16
(1 4 )
由
Tmax 16Tmax t max 得D3 157 mm 4 WP (1 ) t max
d=0.9D=141mm
§8-4
圆轴扭转的刚度计算
1 、变形计算：扭转变形是用两个横截面绕轴线的相对转 角（即扭转角）来表示。
n
单位长度扭转角：
T l GI p

2 、刚度计算
以
rad / m 为单位时：
max

d dx
max
T GI P
[ ]
max
以 / m 为单位时：
许用单位长度扭转角

max
T 180 GI P
[ ]
max
例5（同例2）d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m，G=80GPa，[θ]=0.5°/m，(1)试校核轴的 刚度；(2)计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端 截面之间的相对扭转角。 解：①刚度计算