江苏省启东中学高二数学上学期期中试题文
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由1x >可得21x >成立，反之不成立，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A ．15B ．25C ．825D ．925【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2510n C ==，甲被选中包含的基本事件的个数11144m C C ==，所以甲被选中的概率25m p n ==，故选B ．【考点】古典概型及其概率的计算．3．如果直线直线n ，且平面，那么n 与的位置关系是 A ．相交 B ．C ．D ．或【答案】D【解析】利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质进行判断即可. 【详解】 直线直线 ,且平面，当不在平面内时，平面内存在直线，符合线面平行的判定定理可得平面，当在平面内时，也符合条件， 与的位置关系是或，故选D .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及线面平行的性质，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于基础题.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin()A C A C +=+（ ） A ．43B ．53C ．45D ．54【答案】D【解析】根据题意，由椭圆的方程可得a=5，b=3；则其焦点坐标为(−4,0)和(4,0)，恰好是A. C 两点， 则AC=2c=8，BC+BA=2a=10； 由正弦定理可得：()sin sin sin sin 5sin sin 4A C A C BC BA A CB AC +++===+；本题选择D 选项.5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=.则5313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===L ，故选B.6．已知两个向量(2,1,3)a =-r ，(4,,)b m n =r ，且//a b r r ，则m n +的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】由已知可得存在实数k ，使得a kb =r r ，即可得出．【详解】//a b r r Q ，∴存在实数k 使得a kb =r r， 2413kkm kn=⎧⎪∴-=⎨⎪=⎩，解得12k =，2m =-，6n =，则4m n +=． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间向量共线定理、方程的解法，考查数学计算能力，属于基础题． 7．一个圆锥的侧面展开图是一个14的圆面，则这个圆锥的表面积和侧面积的比是（ ）A ．54B ．43C ．32D ．65【答案】A【解析】【详解】试题分析：设该圆锥体的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意得；244l rl l r ππ=∴=，；所以这个圆锥的侧面积与表面积的比是2225:454rl r rl r r πππππ+==（）：： 故答案为A【考点】圆锥的表面积和侧面积 8．直线3x π=的倾斜角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D 【解析】由直线3x π=与x 轴垂直，可得其倾斜角．【详解】Q 直线3x π=与x 轴垂直，因此其倾斜角为2π． 故选：D ． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于基础题．9．已知ABC V 中，1a =，b =30A =︒，则B 等于（ ）A ．30°B ．30°或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒【答案】D【解析】根据题意和正弦定理求出sin B 的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B ． 【详解】由题意得，△ABC 中，a ＝1，b =A ＝30°， 由a b sinA sinB=得，sinB 1212b sinA a ⋅===， 又b ＞a ，0°＜B ＜180°， 则B ＝60°或B ＝120°， 故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．10．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数. 【详解】圆()()221:124C x y +++=，圆心1C ()1,2-- ，12r =，圆()()222:229C x y -+-= ,圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+Q∴两圆外切，有3条公切线.故选C. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.二、填空题11．己知0<<3a ，那么193a a+-的最小值是______． 【答案】163【解析】0<<3a ，30a ->，可得19119139(3)1033333a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭利用基本不等式的性质即可求解． 【详解】03a <<Q ，30a ->．19119(3)333a a a a a a ⎛⎫∴+=+-+ ⎪--⎝⎭1391391610(102)33333a a a a a a a a --⎛⎫=++≥+⋅= ⎪--⎝⎭． 当且仅当33a a -=，即34a =时，等号成立． 故答案为：163．【点睛】本题考查基本不等式的应用，拼凑积为定值是解题的关键，属于基础题．12．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8【解析】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大.【考点】等差数列的性质，前项和的最值，容易题.13．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22(2)13c x =，所以c a =，. 14．已知()()()2,1,2,1,3,3,13,6,a b c λ=-=--=v v v，若向量,,a b c v v v 共面，则λ=_________．【答案】3【解析】试题分析：由于a b c r r r 、、三个向量共面，所以存在实数m n 、，使得=c ma nb +r r r ，即有13=2{6323m n m n m n λ-=-+=-，解得9{53m n λ===. 【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示.15．已知直线l ：mx ﹣y=4，若直线l 与直线x+m （m ﹣1）y=2垂直，则m 的值为 ． 【答案】0，2【解析】试题分析：当m=0时，两条直线分别化为：-y=4，x=2，此时两条直线垂直，因此m=0满足条件；当m=1时，两条直线分别化为：x-y=4，x=2，此时两条直线不垂直，因此m=1不满足条件；当m≠0，1时，两条直线分别化为：y=mx-4，()()1211y x m m m m =+--，若两条直线垂直，则m×()11m m -=-1，解得m=2．综上可得：m=0，2，两条直线相互垂直 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系16．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______． 【答案】()2212x y -+=【解析】试题分析：因为直线210mx y m ---=恒过定点(2,1)-，所以圆心(1,0)到直线210mx y m ---=的最大距离为22(21)(01)2d =-++=，所以半径最大时的半径，所以半径最大的圆的标准方程为22(1)2x y -+=．【考点】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系．【方法点睛】解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE P 平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C P AC ， 在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE AC P ，于是11DE AC P ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ， 所以直线DE//平面11AC F .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面 【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.18．已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，且满足()22a bc b c -=-． （1）求角A 的大小；（2）若a=3，sinc=2sinB ，求ABC V 的面积．【答案】（1）3A π=；（2）2【解析】(1)由()22a bc b c -=-可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得1cos 2A =，结合范围()0,A π∈，即可求得A 的值；(2)由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，又3,3a A π==，由余弦定理可解得,b c 的值，利用三角形面积公式即可得结果.【详解】（1）∵()22b c =a bc --，可得：222b c a =bc +-，∴由余弦定理可得：222b c a 1cos 222bc A bc abc +-===，又∵()0,A π∈，∴3A π=（2）由sin =2sin C B 及正弦定理可得：c=2b ， ∵a=3，3A π=，∴由余弦定理可得：222222a =b c 2bccos =b c bc=3b A +-+-， ∴解得：b=3，c=23，∴11333bcsin =323=22ABC S A =⨯⨯⨯V 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点.已知AB=3米，AD=2米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，请问AN 的长应在什么范围； （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小，并求出最小面积. 【答案】（1）()82,8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）AN 的长为4米时，矩形AMPN 的最小面积为24平方米.【解析】（1）设AN x =(0)x >，则32xAM x =-，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN 的面积大于32平方米，即可求得AN 的取值范围；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可得到结论． 【详解】（1）AN x =（2x >），则由DN DC ANAM=，得32xAM x =-，∴232AMPNx S AN AM x =⋅=-， 由32AMPNS >，得23322x x >-，又2x >，所以2332640x x -+>，解得823x <<，或8x >， 所以AN 的长度的取值范围为()82,8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ； （2）因为2233(2)12(2)1222AMPNx x x S x x -+-+==--123(2)122x x =-++≥-1224=， 当且仅当123(2)2x x -=-，即4x =时，等号成立． 所以当AN 的长度是4m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为224m ． 【点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解、函数关系式的求解，基本不等式求最值的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中根据题设条件列出关系式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．20．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，半径为5，且与直线43170x y ++=相切． (1)求圆C 的方程；(2)设点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点M 作直线l 与圆C 交于,A B 两点，若8AB =，求直线l 的方程；(3)设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线,PA PB ，切点为,A B 求证：经过,,A P C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【答案】(1) 22(2)25x y -+= (2) 3490x y -+=或1x =-；(3) 见证明【解析】（1）设圆心(),0(0)C a a >，由直线和圆相切可得：d r =，利用点到直线距离公式即可求得2a =，问题得解．（2）若直线l 的斜率不存在，即l ：1x =-，检验得：8AB =成立，若直线l 的斜率存在，可设直线l ：()312y k x -=+，由圆的弦长计算公式可得：8=，即可求得34k =，问题得解． （3）设(),6P m m --，由题可得：经过A ，P ，C 的三点的圆是以PC 为直径的圆，即可求得该圆的方程为：()()222620x y x y m y x +-++-+=，列方程2220260y x x y x y -+=⎧⎨+-+=⎩即可求得定点的坐标为()2,0，()2,4--，问题得解． 【详解】（1）解：设圆心(),0(0)C a a >，圆心(),0C a 到直线的距离为d则由直线和圆相切可得：d r =，5=，解得2a =（负值舍去），即圆C 的方程为()22225x y -+=；（2）解：若直线l 的斜率不存在，即l ：1x =-，代入圆的方程可得，4y =±，即有8AB =，成立；若直线l 的斜率存在，可设直线l ：()312y k x -=+， 即为22320kx y k -++=， 圆C 到直线l的距离为d ==，由8AB =，即有8=，解得3d =3=，解得34k =，则直线l 的方程为3490x y -+=， 所以l 的方程为3490x y -+=或1x =-；（3）证明：由于P 是直线60x y ++=上的点，设(),6P m m --，由切线的性质可得AC PA ⊥，经过A ，P ，C 的三点的圆是以PC 为直径的圆，则方程为()()()260x x m y y m --+++=，整理可得()()222620x y x y m y x +-++-+=， 令22260x y x y +-+=，且20y x -+=. 解得20x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩. 则有经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，所有定点的坐标为()2,0，()2,4--.【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的关系，还考查了圆的弦长计算及点到直线的距离公式，考查了分类思想及转化思想，考查计算能力，属于难题．21．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点)Q ，右焦点为)F ， （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线l ：()1(0)y k x k =->分别交x 轴，y 轴于C D ，两点，且与椭圆C 交于M N ，两点，若CN MD =u u u v u u u u v，求k 的值，并求弦长MN ． 【答案】(Ⅰ) 22142x y +=.(Ⅱ) 2MN ===【解析】试题分析：(Ⅰ)将Q 的坐标代入椭圆方程，以及a b c ，，的关系，解方程可得a b ，，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)求出直线l 与x y ，轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k 的值，运用弦长公式可得弦长MN ．试题解析：(Ⅰ)椭圆过点)Q，可得22211a b+=，由题意可得c =222a b -=，解得2a b ==，即有椭圆C 的方程为22142x y +=； (Ⅱ)直线l ：()1y k x =-与x 轴交点()10C y ，，轴交点()0D k -，，联立()22241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消y 得，()2222124240k x k x k +-+-=，① 设()()1122M x y N x y ，，，，则2122412k x x k+=+， ()()22111CN x y MD x k y =-=---u u u r u u u u r ，，，，由CN MD =u u u r u u u u r ，得：21224112k x x k +==+，解得k =由0k >得k =① 得22230x x --=，1212312x x x x +==-，，可得MN === 22．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) 21n a n =+ (2) 1a 2a ≤-≥或【解析】试题分析：（1）根据题目中所给的条件，用基本量来表示数列中的项，求出基本量，即可得到通项；（2）由第一问可得，11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，进而裂项求和，得到221n a a n ≤-+恒成立，求左式的最大值即可． 解析：（1）31239T a a a =++=Q ，13a d ∴+=又125,,a a a Q 成等比数列2215a a a ∴=11a ∴=`,221n d a n =∴=- （2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭ 1111111-++23352121n S n n ⎛⎫∴=-+⋅⋅⋅- ⎪-+⎝⎭ 111-221n =+（） 21n n =+ 对任意的*n N ∈,24n S a a ≤-恒成立只需n S 的最大值小于或等于24a a -，而12n S < 22a a ∴-≥1a ∴≤-或2a ≥。
江苏省启东中学09-10学年高二上学期期中考试(数学文)
江苏省启东中学09-10学年高二上学期期中考试数学（文）命题人：高正斌一、 填空题：（70分）1. “因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直”，补充以上推理的大前提是 。
2. 复数31i i--等于 。
3．椭圆2211625x y +=的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若12PF =，则=2PF 4．已知数列{}n a 满足11=a ，)(11*+∈+=N n a a a nn n ，试归纳出这个数列的一个通项公式 。
5．若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = ___.6．已知21,Z Z 是复平面上两个定点，点Z 在线段21Z Z 的垂直平分线上，根据复数的几何意义，则点21,,Z Z Z 所对应的复数21,,z z z 满足的关系式为 。
7．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为 。
8．直线l 过点（-1，2）且与直线0832=+-y x 垂直，则l 的方程是 。
9.点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。
10．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为3,则点M 的横坐标x 为 。
11.设()221+=x x f ，利用推导等差数列前n 项和的方法——倒序相加法，求()()()()()65045f f f f f +++++-+- 的值为_______________。
12．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 。
13．设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=900，且│AF 1│=3│AF 2│，则双曲线的离心率是 。
14．. 下图的数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类,则第n 行)2(≥n 第2个数是_________.12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6二、.解答题：(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．（14分）已知a,b 都是正数，求证：233255b a b a b a +≥+。
江苏省启东中学高二数学上学期期中考试(实验班,无答案)
江苏省启东中学2011~2012学年度第一学期高二实验班期中考试数学 试 卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题：“32,230x x x ∀∈+-≥R ”的否定是 ．2．函数311()433f x x x =-+的极大值为 ．3．在异面直线,a b 上分别任取5个点，以这10个点为顶点可组成的三角形的个数为 ． 4．过点(3,2)-且与椭圆224936x y +=有相同焦点的双曲线的方程为 ． 5．3名男生和3名女生站成一排，3名女生中有且只有2名相邻，则不同的排法种数为 ．6．函数1sin 22y x x =在2x π=的切线方程为 ． 7．将5名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少分到一名大学生，则不同的分配方案的种数为 ． 8．已知圆224120x y x +--=与曲线22(0)y px p =≠的准线相切，则p = ． 9．设命题:|43|1p x -≤；命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．10．设曲线2(0)y x x =≥，直线0y =及(0)x t t =>围成的封闭图形的面积为()S t ，则'()S t = ．11．若函数32()1f x x ax x =+++在区间(0,1)上无零点，则实数a 的取值范围为 ． 12．设()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足'()()xf x f x ≤，对任意的正数,()a b a b ≤，下列四个命题：①()()af a bf b ≤；②()()af a bf b ≥；③()()af b bf a ≥；④()()af b bf a ≤中，真命题的个数是 ．13．已知21(),()()2xf x xg x m ==-，若对任意[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ． 14．抛物线22()2py p x =- (0p >)上动点A 到点B (3,0)的距离的最小值记为()f p ，满足()2f p =的所有实数p 的和为 ．二、解答题（本大题共6小题90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题14分)设P 是双曲线2244x y -=上任意一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，求 12PF PF ⋅的取值范围．16．(本小题14分)设函数32()(,,,)f x ax bx cx d a b c d =+++∈R 的图象关于原点对称，且1x =时， ()f x 取得极小值23-．⑴求,,,a b c d 的值； ⑵若12,[1,1]x x ∈-，求证：124|()()|3f x f x -≤．17．(本小题15分)已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，过原点的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，若AP k 、BP k 均存在，试问：AP k 与BP k 的乘积是否为定值？若是，求出这个值．18．(本小题15分) 已知*n ∈N ，⑴证明：对任意*k ∈N ，有11k k n n kC nC --=；⑵证明：121122nn n n n C C n C n -⋅+⋅++⋅=⋅；⑶化简：0123111(1)2341n n nn n n n C C C C C n --+-+++．19．(本小题16分) 已知函数()ln()f x x x a =-+（a 是常数）．⑴求函数()f x 的单调区间；⑵当()y f x =在1x =处取得极值时，若关于x 的方程2()2f x x x b +=+在1[,2]2上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； ⑶求证:当*2,n n ≥∈N 时，222111(1)(1)(1)23e n +++<．20．(本小题16分) 如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在x ，左顶点(4,0)A -，圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆的内接ABC ∆的内切圆． ⑴求椭圆的方程； ⑵求圆O '的半径；⑶过(0,1)M 作圆O '的两条切线交椭圆于,E F ，y xAOMBO ' CF判断直线EF 与圆的位置关系，并证明．一、填空题：（用黑色墨水签字笔填写）1. 2. 5. 6.7. 8. 请在各题目的答题区域内作答，号……………线……………………………………………… ――――――――――――――――――――――――y xAOMBOF。
启东中学2024-2025学年高二上学期期初数学试题
江苏省启东中学2024~2025学年度第一学期期初反馈检测高二数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数z 满足1i 2i z z +=-，则z =（）A.32B.52C.2D.2.过点()2,1-且与直线2390x y -+=平行的直线的方程是（）A.2370x y --=B.2310x y +-= C.3240x y +-= D.2370x y -+=3.已知3sin 5x =，其中π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 24πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A .1- B.49C.3117D.1731-4.在区间[]5,10-上任取一个整数m ，则使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的概率为（）A.116B.316C.1316D.15165.已知直线l ：0ax by c ++=与直线l '关于直线0x y +=对称，则l '的方程为（）A.bx ay c +-= B.bx ay c -+=C.0bx ay c ++= D.0bx ay c --=6.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭7.点P 在直线:10l x y --=上运动，()()2,3,2,0A B ，则PA PB -的最大值是（）A.B.C.3D.48.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45D.二面角D OB A --为45 .二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．）9.下列命题正确的是（）A.若存在实数x ，y ，使p xa yb =+ ，则p 与,a b 共面B.若p与,a b共面，则存在实数x ，y ，使p xa yb=+C.若存在实数x ，y ，使MP xMA yMB =+，则M ，P ，A ，B 共面D.若M ，P ，A ，B 共面，则存在实数x ，y ，使MP xMA yMB=+10.对于直线()12:230,:3130l ax y a l x a y a ++=+-+-=.以下说法正确的有（）A.1l ∥2l 的充要条件是3a =B.当25a =时，12l l ⊥C.直线1l 一定经过点()3,0M D.点()1,3P 到直线1l 的距离的最大值为511.已知P 、Q 分别为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -棱1DD 、1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.线段PQ 长度的最小值为2B.三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值为C.直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值的范围为0,2⎡⎢⎣⎦D.当P 、Q 为中点时，平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形的面积为94三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是____________三角形13.如果三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=将平面分为六个部分，那么实数a 的取值集合为___________.14.已知R m ∈，若过定点A 的动直线1:20l x my m -+-=和过定点B 的动直线2:240l mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则PA PB ⋅的最大值为_____________；2PA PB +的最大值为_____________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知点(1,3)A ，(3,1)B ，(1,0)C -，求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）ABC V 的外心坐标；（3）ABC V 的面积．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin 3sin ,3,cos 3b Ac B a B ===.（1）求b 的值；（2）求πcos 24A ⎫⎛+⎪⎝⎭的值.17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中0.15a =．（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）（2）现在要从购车补贴金额的心理预期值在[)3,5间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[)3,4间的概率．18.已知点()1,2M -，直线:250l x y +-=（1）求点M 关于点()3,1F 对称点N 的坐标（2）求点M 关于直线l 的对称点Q 的坐标.（3）已知点()0,2R -，点P 在直线l 上，问使22PM PR +取得最小值时P 点的坐标与使PM PR +取得最小值时P 点的坐标是否相同？请说明理由.19.如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，1,2AB DE AD PA ====，点F 在棱PA 上.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求直线BP 与平面PEC 所成角的正弦值；（3）若点F 到平面PCE 的距离为13，求线段AF 的长.江苏省启东中学2024~2025学年度第一学期期初反馈检测高二数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数z 满足1i 2i z z +=-，则z =（）A.32B.52C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据模长公式求解.【详解】由1i 2i z z +=-可得()()()()12i 1i 12i 13i1i 1i 1i 2z +++-+===--+，所以2z ，故选：C2.过点()2,1-且与直线2390x y -+=平行的直线的方程是（）A.2370x y --= B.2310x y +-= C.3240x y +-= D.2370x y -+=【答案】A 【解析】【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解.【详解】设与直线2390xy -+=平行的直线的方程为230x y λ-+=，将点()2,1-代入得()22310λ⨯-⨯-+=，解得7λ=-，所以所求直线的方程为2370x y --=.故选：A.3.已知3sin 5x=，其中π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 24πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.1- B.49C.3117D.1731-【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数的基本关系式求得3tan 4x =-，再利用正切的倍角公式和两角差的正切公式，即可求解.【详解】因为3sin 5x =，其中π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4cos 5x =-，可得sin 3tan cos 4x x x ==-，又因为22tan 24tan21tan 7x x x ==--，所以tan2131tan 241tan217x x x π-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭．故选：C.4.在区间[]5,10-上任取一个整数m ，则使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的概率为（）A.116 B.316C.1316D.1516【答案】C 【解析】【分析】利用2(2)41(2)0m m ∆=--⨯⨯->，可求有两个零点的m 的范围，进而可求概率.【详解】因为函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点，所以()2220f x x mx m =--=有两个不同的根，所以2(2)41(2)0m m ∆=--⨯⨯->，解得2m <-或0m >，在区间[]5,10-上任取一个整数m ，共有16种取法，能使使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的取法有13种，所以使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的概率为1316.故选：C.5.已知直线l ：0ax by c ++=与直线l '关于直线0x y +=对称，则l '的方程为（）A.0bx ay c +-= B.0bx ay c -+= C.0bx ay c ++= D.bx ay c --=【答案】A 【解析】【分析】根据对称性的性质，用x -代y ，以y -代x 进行求解即可.【详解】因为直线l ：0ax by c ++=与直线l '关于直线0x y +=对称，所以在方程0ax by c ++=中，用x -代y ，以y -代x ，得0ay bx c --+=，化简，得0bx ay c +-=，故选：A6.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m=，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ== ，又7⋅= m n，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.7.点P 在直线:10l x y --=上运动，()()2,3,2,0A B ，则PA PB-的最大值是（）A.B.C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可.【详解】设B 关于:10l x y --=的对称点为(),C m n ，则1221022nm m n ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪--=⎪⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，即()1,1C 故AC ==PA PB PA PC AC -=-≤=,当且仅当，,,P A C 三点共线时，等号成立.故选：A8.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45 D.二面角D OB A --为45 .【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由正四面体的性质知ABC 是等边三角形，且OA OB OC 、、两两垂直，所以A 正确；借助正方体思考，把正四面体ABCD 放入正方体，很显然直线OB 与平面ACD 不平行，B 错误.考点：正四面体的性质、转化思想的运用.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.下列命题正确的是（）A.若存在实数x ，y ，使p xa yb =+，则p 与,a b 共面B.若p 与,a b 共面，则存在实数x ，y ，使p xa yb=+ C.若存在实数x ，y ，使MPxMA yMB =+，则M ，P ，A ，B 共面D.若M ，P ，A ，B 共面，则存在实数x ，y ，使MPxMA yMB=+【答案】AC 【解析】【分析】由平面向量基本定理逐项判断即可.【详解】选项A ，根据共面向量基本定理可知，若存在实数x ，y ，使p xa yb =+ ，则p 与,a b 共面，所以A 正确；选项B ，若向量p 与,a b共面，如果,a b 共线，不一定有p xa yb =+ ，只有a 与b 不共线时，{},a b可以作为一组基底，存在唯一确定的有序实数对(),x y ，使任意向量p xa yb =+，所以B 错误；选项C ，根据共面向量基本定理可知，,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r共面，由于它们有公共点M ，所以M ，P ，A ，B 共面，所以C 正确；选项D ，若,MA MB共线，MP不与,MA MB共线，则不存在实数x ，y ，使MPxMA yMB =+，所以D 错误.故选：AC10.对于直线()12:230,:3130l ax y a l x a y a ++=+-+-=.以下说法正确的有（）A.1l ∥2l 的充要条件是3a =B.当25a=时，12l l ⊥C .直线1l 一定经过点()3,0M D.点()1,3P 到直线1l 的距离的最大值为5【答案】BD 【解析】【分析】求出1l ∥2l 的充要条件即可判断A;验证25a =时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线1l 经过的定点即可判断C;判断何种情况下点()1,3P 到直线1l 的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】当1l ∥2l 时，(1)60a a--=解得3a =或2a =-，当2a =-时，两直线为530,03x y x y -+=-+=，符合题意；当3a =时，两直线为3290,320x y x y ++=+=，符合题意，故A 错误；当25a=时，两直线为530,153130x y x y ++=-+=，121515l l k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥，故B 正确；直线1:230l ax y a ++=即直线(3)20a x y ++=，故直线过定点()3,0-，C 错误；因为直线1:230l ax y a ++=过定点()3,0-，当直线1:230l ax y a ++=与点()1,3P 和()3,0-的连线垂直时，()1,3P 到直线1l 的5=，故D 正确，故选：BD .11.已知P 、Q 分别为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -棱1DD 、1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.线段PQ 长度的最小值为2B.三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值为C.直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值的范围为0,2⎡⎢⎣⎦D.当P 、Q 为中点时，平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形的面积为94【答案】ABC 【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；根据空间两点间距离公式可判断选项A ；先求出该正方体外接球的体积；再根据点P 为棱1DD 上的动点，点P 在正方体外接球内运动，即可确定三棱锥11P A BC -外接球体积的最大值，可判断选项B ；利用空间直线与直线所成角的向量计算方法表示出直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值，再分两种情况，求出每种情况下的取值范围即可判断选项C ；先根据确定平面的依据判断截面形状，进而求出面积即可判断选项D .【详解】以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.则0,0,0，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()2,0,0D ，()10,0,2A ，()10,2,2B ，()12,2,2C ，()12,0,2D .所以()10,0,2DD = ，()12,0,2BC = ，()112,2,0A C = ，()10,2,2A B =-.因为P 、Q 分别为棱1DD 、1BC 上的动点，令()101DP DD λλ=≤≤ ，()101BQ BC μμ=≤≤.所以()2,0,2P λ，()2,2,2Q μμ.对于选项A ：因为2PQ ==≥，当且仅当1λμ==时，等号成立.所以线段PQ 长度的最小值为2，故选项A 正确；对于选项B ：由正方体的性质可得三角形11A BC为边长为的正三角形，1BD ==.所以该正方体的外接球球心O 为正方体的中心，球半径为12BD R ==，外接球体积的为34π3R =.因为点P 为棱1DD 上的动点，所以点P 在正方体外接球内运动.故正方体外接球的体积就是三棱锥11PA BC -外接球体积的最大值，为，此时点P 与点1D （或点D ）重合.故选项B 正确；对于选项C ：因为()12,2,22A Q μμ=- ，()2,0,0BC =，所以直线1AQ 与直线BC所成角的余弦值为11A Q BC A Q BC ⋅==.当0μ=时，110A Q BC A Q BC⋅=.当01μ<≤时，有11μ≥，11AQ BC AQ BC ⋅==因为当11μ≥时，2113124μ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，则1102A Q BC A Q BC⋅<≤.所以直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值的范围为0,2⎡⎢⎣⎦，故选项C 正确；对于选项D ：取11A D 中点M，连接PM，PC ，1B C ，1B M .因为正方体棱长为2则PM =PC =，1B M =1B C =当P 、Q 为中点时，1B C PM∥，所以平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形为梯形1PMB C .因为在等腰梯形1PMB C 2=.所以截面面积为19222⨯+⨯=，故选项D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查空间线线、线面的位置关系，几何体外接球及截面问题，属于难题.解题关键在于：建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，利用对于空间两点间距离公式和直线与直线所成角的向量计算方法可判断选项A 、C ；对于选项B ，关键在于根据点P 为棱1DD 上的动点判断点P 在正方体外接球内运动，正方体外接球的体积就是三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值；对于选项D ，关键在于根据确定平面的依据判断截面形状.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若()()3ab c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是____________三角形【答案】等边三角形【解析】【分析】根据余弦定理得到3A π=，再根据正弦定理结合余弦定理得到bc =，得到答案.【详解】由题设可得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，故3A π=，根据正弦定理得到：2cos a b C =，故22222a b c a b ab+-=⋅，即220b c -=，即b c =，即该三角形是等边三角形．故答案为：等边三角形.【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.13.如果三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=将平面分为六个部分，那么实数a 的取值集合为___________.【答案】{4-，1-，8}3【解析】【分析】根据三条直线把平面分为六个部分，分析直线的位置关系，分别求出a 的值.【详解】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，①是280ax y ++=过另外两条直线的交点，由4310x y +=和210x y -=的交点是(4,2)-，代入解得：1a =-；②是这条直线与另外两条直线平行，当280ax y ++=和4310x y +=平行，只需284310a =≠，解得83a =；当280ax y ++=和210x y -=平行，只需282110a =≠--此时4a =-.综上，a 的取值集合是{4-，1-，8}3.故答案为：{4-，1-，8}3.【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:(1)若两直线斜率都不存在,两直线平行；(2)两直线的斜率都存在,且k 1=k 2,b 1≠b 2,则两直线平行；(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1B 2=A 2B 1,B 1C 2≠B 2C 1.14.已知R m ∈，若过定点A 的动直线1:20l x my m -+-=和过定点B 的动直线2:240l mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则PA PB ⋅的最大值为_____________；2PA PB+的最大值为_____________．【答案】①.252##12.5②.【解析】【分析】根据直线方程确定12l l ⊥，利用勾股定理得到22225PA PB AB +==，结合基本不等式即可求出PA PB ⋅的最大值，再利用三角函数即可求出2PA PB +的最大值.【详解】1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=，故直线恒过定点A 2,1，2l ：240mx y m ++-=，即()42y m x -=-+，恒过定点B ()2,4-，由1:20l x my m -+-=和2l ：240mx y m ++-=，满足()110m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,且22252PA PB PA PB+=≥⋅，故252PA PB ⋅≤，当且仅当PA PB =时，等号成立；因为PA PB ⊥，设PAB θ∠=为锐角，则5cos ,5sin PA PB θθ==，所以()()252cos sin PA PB θθθϕ+=+=+，所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB+取最大值.故答案为：252；四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知点(1,3)A ，(3,1)B ，(1,0)C -，求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）ABC V 的外心坐标；（3）ABC V 的面积．【答案】（1）470xy +-=（2）99(,1010（3）5【解析】【分析】（1）首先求出直线BC 的斜率，由互相垂直的直线间斜率关系得出BC 边上的高线的斜率，由高线过(1,3)A ，即可得出BC 边上的高所在直线方程；（2）分别求出边,AB BC 的垂直平分线，联立即可得出ABC V 的外心坐标；（3）先写出直线BC 的方程，由点到直线的距离公式得出点A 到直线BC 的距离，再由两点之间的距离公式求出边BC 的长，由三角形面积公式计算即可．【小问1详解】由(3,1)B ，(1,0)C -得，14BCk=，所以BC 边上的高线的斜率为4k =-，且高线过点(1,3)A ，所以BC 边上的高线的直线方程为：34(1)y x -=--，即470x y +-=．【小问2详解】由(1,3)A ，(3,1)B 得，1AB k =-，边AB 的中点为1331(,)22++，即(2,2)，所以边AB 的垂直平分线的直线方程为：22y x -=-，即y x =；由(3,1)B ，(1,0)C -，得14BCk=，边BC 的中点为1(1,)2，所以边BC 的垂直平分线的直线方程为：14(1)2y x -=--，即942y x =-+，由942y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得910910x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以ABC V的外心坐标为99(,1010．【小问3详解】由（1）知，14BCk=，则直线BC 的方程为：1(1)4y x =+，即410x y -+=，边BC上的高为：17d ==，BC ==所以1152217ABCSBC d =⋅⋅=⨯= ．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin 3sin ,3,cos 3b Ac B a B ===.（1）求b 的值；（2）求πcos 24A ⎫⎛+⎪⎝⎭的值.【答案】（1（2）6-【解析】【分析】（1）借助正弦定理可得3ac =，结合余弦定理可得b 的值；（2）借助正弦定理及同角三角函数关系得sin 6A =，由余弦定理得cos6A =-，再代入二倍角公式和两角和的余弦公式求解即可.【小问1详解】由sin 3sin b A c B =结合正弦定理可得：3ab cb =，即3a c =，所以1c =，由2cos 3B=及余弦定理可得b ===【小问2详解】由2cos 3B =得sin 3B ==，由正弦定理sin sin a b A B=得3sin sin 6a B A b ==，由余弦定理得222cos 26b c a A bc +-==-，所以sin22sin cos 2663AA A ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，22cos212sin 3A A =-=-，所以πππcos 2cos2cos sin2sin 444A A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭232326⎛⎫=-⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中0.15a =．（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）（2）现在要从购车补贴金额的心理预期值在[)3,5间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[)3,4间的概率．【答案】（1）平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；（2）25．【解析】【分析】（1）由于0.15a =，利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；（2）先算出从购车补贴金额的心理预期值在[)3,5的6人中，在[)3,4间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值[)3,4间的情况6种，利用古典概型计算公式，即可求解．【小问1详解】解：根据题意，因为0.15a =，结合频率分布直方图中的平均数的计算公式，可得数据的平均数的估计值为：0.1 2.50.3 3.50.3 4.50.15 5.50.1 6.50.0.5 3.155x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+⨯万元，因为0.10.30.50.10.30.3+<<++，则中位数在区间()3,4内，设中位数为3x +，则0.10.30.30.5x ++=，解得10.333x =≈，所以中位数的估计值为3.33万元．【小问2详解】解：从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a ，b ，c ，d ，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A ，B ，则基本事件有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，A ），（a ，B ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，A ），（b ，B ），（c ，d ），（c ，A ），（c ，B ）（d ，A ），（d ，B ），（A ，B ），共15种情况，其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3,4)间的概率62155P ==．18.已知点()1,2M -，直线:250l x y +-=（1）求点M 关于点()3,1F 对称点N 的坐标（2）求点M 关于直线l 的对称点Q 的坐标.（3）已知点()0,2R -，点P 在直线l 上，问使22PM PR +取得最小值时P 点的坐标与使PM PR+取得最小值时P 点的坐标是否相同？请说明理由.【答案】（1）（7，0）；（2）（3，4）；（3）不同，详见解析．【解析】【分析】（1）由F 是MN 的中点可求得N点坐标；（2）由MQ 与直线l 垂直且MQ 的中点在直线l 上可求得Q 点坐标；（3）设出P 点坐标为(,52)x x -，表示出22PM PR+和PM PR+，然后求最小值即可得利结论．【详解】（1）设(,)N x y ，则1622x y -=⎧⎨+=⎩，则7x y =⎧⎨=⎩，∴(7,0)N ．（2）设(,)Q x y ，则21121225022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪⨯+-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)Q ．（3）两P 点坐标不相同．证明如下：由题意，设(,52)P x x -，则222222(1)(522)(522)PM PR x x x x +=++--++-+=2103859x x -+，显然当1910x =时，22PM PR +取得最小值22910，1965252105x -=-⨯=，此时196(,105P 由（2）PM PR +PQ PR QR=+≥，当P 是QR 与直线l 的交点时，等号成立，443(2)5QR k ==--，直线QR 的方程为425y x =-，代入l 的方程解得52x =，520x -=，即5(,0)2P ．两个P 点不相同．【点睛】本题考查对称问题和与直线有关的最值问题．点M 关于点F 对称点N ，则F 是线段MN 的中点，点M 关于直线l 的对称点Q ，则MQ l ⊥，MQ 的中点在直线l 上．,M R 在直线l 的同一侧，求直线l 上一点P 使MP PR+最小，一般是求出M 点关于直线l 的对称点Q 的坐标，而使MP PR+最小的P 点就是QR 与直线l 的交点．19.如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，1,2AB DE AD PA ====，点F 在棱PA 上.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求直线BP 与平面PEC 所成角的正弦值；（3）若点F 到平面PCE 的距离为13，求线段AF 的长.【答案】（1）证明见解析（2）15（3）32AF =【解析】【分析】（1）证明平面PAB ∥平面CDE ，利用面面平行的性质可证得BF ∥平面CDE ；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法求值即可；（3）设AF t =，则()[]0,0,,0,2F t t ∈，利用空间向量法可得出关于t 的方程，结合t 的范围可求得t 的值.【小问1详解】在矩形ABCD 中，AB CD ∥，因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以AB P 平面CDE .因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以PA DE ∥，因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以PA ∥平面CDE .又因为PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PA AB A = ，所以平面PAB ∥平面CDE .因为BF ⊂平面PAB ，所以BF ∥平面CDE .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以,PA AD PA AB ⊥⊥，又因为ABCD 是矩形，AD AB ⊥，所以AD 、AB 、AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()1,2,0C 、()0,0,2P 、()()0,2,1,1,0,0E B ，所以()()()1,0,1,0,2,1,1,0,2CE PE BP =-=-=-，设平面PEC 的一个法向量为=s s ，则020n CE x z n PE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得()2,1,2n =，设直线BP 与平面PEC 所成角为θ，所以2425sin 1553BP n BP nθ⋅-+===⨯ .【小问3详解】设AF t =，2AP =，则()[]0,0,,0,2F t t ∈，所以()1,2,CF t =--，因为点F 到平面PCE 的距离222241333CF n t t d n ⋅--+-====，因为[]0,2t ∈，解得32t =，故32AF =.。
江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题(及答案)
．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1, 0) 为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R)
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．
评卷人 得分
三、解答题
试卷第 2页，总 4页
17．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B
在三角形 ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，
所以 DE AC ，于是 DE A1C1 ， 又因为 DE 平面 A1C1F , A1C1 平面 A1C1F ， 所以直线 DE//平面 A1C1F . （2）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面A1B1C1
江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题及答案
第 I 卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题
1．设 x R，则“ x ＞1”是“ x2 ＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ）
1
A．
5
2
17．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何 的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明， 而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.
试题解析：证明：（1）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1C1 AC，
1, 3 2
，过点 M
作直线 l 与圆
C
交于
A, B 两点，若
2023-2024学年江苏省启东市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省启东市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 1．直线x4−y 2=1在y 轴上的截距为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．42．抛物线x 2＝﹣4y 的准线方程是（ ） A ．y ＝1B ．y ＝﹣1C ．x ＝﹣1D ．x ＝13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n +1＝a n +2．S n 是该数列的前n 项和，则S n a n=（ ）A ．n2B ．n+12C ．nD ．n +14．已知椭圆C ：x 23−k+y 25+k=1的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，3）B ．（﹣5，﹣1）C ．（﹣5，3）D ．（﹣5，﹣1）∪（﹣1，3）5．圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0关于直线y ＝x ﹣1对称圆C ′的方程为（ ） A ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝9 B ．（x ﹣4）2+（y +3）2＝9C ．（x ﹣2）2+（y +3）2＝1D ．（x ﹣3）2+（y +2）2＝16．折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（ ） A ．√2−18B ．2−√28C ．√28D ．187．已知椭圆C ：x 212+y 28=1的左焦点为F ，P 为C 上一动点，定点A(−1，√3)，则|PF |+|P A |的最大值为（ ） A ．4√3B ．6√3C ．2+2√3D ．2+4√38．已知圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是圆O 上两点，满足x 1+y 1＝x 2+y 2＝3，x 1x 2+y 1y 2=−12r 2，则r ＝（ ） A ．√6B ．3C ．2√3D ．3√2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省启东中学高二数学期中考试试卷 苏教版
江苏省启东中学高二数学期中考试试卷(考试时间：120分钟 总分160分 )注意事项：1 本试卷共分两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为填空题和解答题2 所有试题的答案均填写在答题纸上（选择题部分使用答题卡的学校请将选择题的答案直接填涂到答题卡上），答案写在试卷上的无效第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题意要求的 ）1．从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出１只球．若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球的概率是( )Ａ．0.35 Ｂ．0.65 Ｃ．0.1 Ｄ．不能确定2．下列说法中，正确的是( )A ． 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大３．下列关于算法的说法中，正确的是（ ）A ．算法的实质就是解决问题的一般方法，并把解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述。
B ．对某一确定的问题来说，其算法是唯一的。
C ．任何一种算法都必须包含顺序结构、选择结构、循环结构三种结构。
D ．算法只有两种表示方法，即用自然语言和流程图表示。
４．(文科做)已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( )A. 2B.332 C. 2 D.4 （理科做）若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件.C ．充要条件.D ．既不充分也不必要条件.５．已知ABC ∆的顶点C B ,在椭圆1322=+y x 上，顶点A 为椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长为( ) A ．32B ．6C ．34D ．126．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为 ( )A ．53B ．43C ．54D ．327．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 与r 的关系是（ ）A ．互为逆命题B ．互为否命题C ．互为逆否命题D ．不能确定8．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的( ) A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同9． 盒子中有10只螺丝钉，其中有３只是坏的，现从盒中随机地抽取４个，那么310等于 ( )Ａ．恰有１只是坏的概率 Ｂ．恰有２只是好的概率 Ｃ．４只全是好的概率 Ｄ．至多２只是坏的概率10．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏A. 游戏1和游戏3B. 游戏1C. 游戏2D. 游戏3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知双曲线8822=-ky kx 的一个焦点为（0，3）则k 的值为 。
2018-2019学年上学期启东中学高二数文科期中考试卷附答案详析
启东中学2018-2019学年上学期期中考高二数学文科试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.命题：2sin ,<∈∀x R x 的否定是________． 2.抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a ＝________.3.若直线1:=+by ax l 与圆122=+y x C ：有两个不同交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是______．4.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____．5.已知以()3,4-C 为圆心的圆与圆1:22=+y x O 相内切，则圆C 的方程是________．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线()m y m x -=++21与直线82-=+y mx 互相垂直的充要条件是=m ________.7. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的方程为________．8.若命题,"R x ∈∃有"02<--m mx x 是假命题，则实数m 的取值范围是________．9.已知21,F F 为椭圆131222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且21tPF PF =，则t 的值为________．10.若直线01:=++by ax l 始终平分圆0124:22=++++y x y x M 的周长，则()()2222-+-b a 的最小值为________．11.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()4,6，则1PF PM +的最大值为________． 12.点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于Q P ,，若PQM ∆是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________． 13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是________． 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，()44:221=+-y x O ，动点P 在直线03=-+b y x 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为B A ,，若满足PA PB 2=的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分14分）已知p ：|x －3|≤2，q ： (x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．16.（本题满分14分）已知命题p ：指数函数()x a x f 62)(-=在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若p "或"q 为真，p "且"q 为假，求实数a 的取值范围．17.（本题满分15分）设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．18.（本题满分15分）已知圆M 过两点)1,1(-A ，)1,1(-B ，且圆心M 在直线02=-+y x 上.(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆M 的两条切线，B A ,为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．19.（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点),2(t M ,)0>t （在椭圆的准线上．(1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．20.（本题满分16分） 已知椭圆)1(1:2222≥>=+b a by a x C 的离心率为22，其右焦点到直线022=-+by ax 的距离为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点)31,0(-P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点．求证：以AB 为直径的圆过定点．江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（文科）（考试用时：120分钟 总分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.命题：2sin ,<∈∀x R x 的否定是________．解析 全称命题的否定是存在性命题． 答案 ∃x ∈R ，sin x ≥22.抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a ＝________. 解析 抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，由条件得2＝－14a ，a ＝－18. 答案 －183.若直线1:=+by ax l 与圆122=+y x C ：有两个不同交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是________．解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外． 答案 在圆外4.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离为bca 2＋b 2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝ca＝5.答案 55.已知以()3,4-C 为圆心的圆与圆1:22=+y x O 相内切，则圆C 的方程是________． 解析 若圆C 与圆O 内切，因为点C 在圆O 外，所以r C －1＝5，所以r C ＝6.答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝366．在平面直角坐标系xOy 中，直线()m y m x -=++21与直线82-=+y mx 互相垂直的充要条件是=m ________.解析 x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案 －237. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，a 2＋b 2＝16，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.答案x 24－y 212＝18.若命题,"R x ∈∃有"02<--m mx x 是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 “∃x ∈R ，有x 2－mx －m <0”是假命题，则“∀x ∈R 有x 2－mx －m ≥0”是真命题．即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴－4≤m ≤0. 答案 －4≤m ≤09.已知21,F F 为椭圆131222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且21tPF PF =，则t 的值为________．解析 设N 为PF 1的中点，则NO ∥PF 2，故PF 2⊥x 轴， 故PF 2＝b 2a ＝32，而PF 1＋PF 2＝2a ＝43，∴PF 1＝732，t ＝7.答案 710.若直线01:=++by ax l 始终平分圆0124:22=++++y x y x M 的周长，则()()2222-+-b a 的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 511.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()4,6，则1PF PM +的最大值为________．解析 PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝10－PF 2，PM ＋PF 1＝10＋PM －PF 2，易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时PM －PF 2取最大值MF 2，故PM ＋PF 1的最大值为10＋MF 2＝10＋(6－3)2＋42＝15. 答案 1512.点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于Q P ,，若PQM ∆是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．解析 由条件MF ⊥x 轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R ＝b 2a，圆心到y 轴距离为c ，若∠PMQ 为钝角，则其一半应超过π4，从而c b 2a<22，则2ac <2b 2，即2ac <2(a 2－c 2)，两边同时除以a 2，则2e 2＋2e －2<0，又0<e <1，∴0<e <6－22.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，6－22 13.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是________．解析 因为PF 1＝ePF 2，PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 1＝2ae 1＋e ，PF 2＝2a1＋e，因为e ∈(0,1)，所以PF 1＜PF 2.由椭圆性质知a －c ≤PF 1≤a ＋c ，所以a －c ≤2ae1＋e≤a ＋c ，即a －c ≤2aca ＋c≤a ＋c ，即a 2－c 2≤2ac ≤(a＋c )2，即e 2＋2e －1≥0.又0＜e ＜1，所以2－1≤e ＜1.答案 [2－1,1)14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，()44:221=+-y x O ，动点P 在直线03=-+b y x 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为B A ,，若满足PA PB 2=的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．答案：(－203，4)解析：设点P 坐标为(x ，y)，因为PB ＝2PA ，所以PB 2＝4PA 2，即PO 21－4＝4PO 2－4，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(解法1)该方程表示一个圆，圆心(－43，0)，r ＝83.因为点 P 有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈(－203，4)． (解法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为点P 有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b－80<0，解得b ∈(－203，4)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴⌝p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴⌝q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4.16.已知命题p ：指数函数()xa x f 62)(-=在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若p "或"q 为真，p "且"q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则f(x)＝(2a －6)x 在R 上单调递减，∴ 0＜2a －6＜1，∴ 3＜a ＜72.若q 真，令f(x)＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3a ）2－4（2a 2＋1）≥0，－－3a2>3，f （3）＝9－9a ＋2a 2＋1>0⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2，a>2，a<2或a>52，∴ a>52.又由已知“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则应有p 真q 假，或者p 假q 真．① 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52，a 无解． ② 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3或a ≥72，a>52，∴ 52<a ≤3或a ≥72. 综合①②知，实数a 的取值范围为(52，3]∪[72，＋∞)．17.设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6， 所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213， 故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2 ＝102＋42－(213)22×10×4＝45.18.已知圆M 过两点)1,1(-A ，)1,1(-B ，且圆心M 在直线02=-+y x 上.(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆M 的两条切线，B A ,为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知，四边形PAMB 的面积为S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12AM ·PA ＋12BM ·PB . 又AM ＝BM ＝2，PA ＝PB ，所以S ＝2PA ，而PA ＝PM 2－AM 2＝PM 2－4， 即S ＝2PM 2－4.因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得PM 的值最小，所以PM min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为 S min ＝2[(PM )min ]2－4＝232－4＝2 5.19.已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点),2(t M ,)0>t （在椭圆的准线上．(1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．解 (1)由2b ＝2，得b ＝1.又由点M 在准线上，得a 2c＝2. 故1＋c 2c ＝2.所以c ＝1.从而a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0， 即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －t 22＝t 24＋1. 其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，t 2，半径r ＝ t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t 2. 所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(3)法一 由平面几何知ON 2＝OH ·OM .直线OM ：y ＝t2x ，直线FN ：y ＝－2t (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t 2x ，y ＝－2t(x －1)，得x H ＝4t 2＋4. 所以ON 2＝ 1＋t 24·|x H |·1＋t 24·|x M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2. 所以线段ON 的长为定值2. 法二 设N (x 0，y 0)，则FN →＝(x 0－1，y 0)，OM →＝(2，t )，MN →＝(x 0－2，y 0－t )，ON →＝(x 0，y 0)．因为FN →⊥OM →，所以2(x 0－1)＋ty 0＝0.所以2x 0＋ty 0＝2.又MN →⊥ON →，所以x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0.所以x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2. 所以|ON →|＝x 20＋y 20＝2为定值. 20. 已知椭圆)1(1:2222≥>=+b a by a x C 的离心率为22，其右焦点到直线022=-+by ax 的距离为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点)31,0(-P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点．求证：以AB 为直径的圆过定点．(1) 解：由题意，e ＝c a ＝22，e 2＝a 2－b 2a 2＝12， 所以a ＝2b ，c ＝b. 又|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，a>b ≥1，所以b ＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2) 证明：当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1.当AB ⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋13)2＝169. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋（y ＋13）2＝169，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)． 下证Q(0，1)符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为y ＝kx －13，代入x 22＋y 2＝1并整理得(1＋2k 2)x 2－43kx －169＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 3（1＋2k 2），x 1x 2＝－169（1＋2k 2）， 所以QA →·QB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－43)(kx 2－43) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)－169（1＋2k 2）－43k ·4k 3（1＋2k 2）＋169 ＝－16－16k 2－16k 2＋16（1＋2k 2）9（1＋2k 2）＝0， 故QA →⊥QB →，即Q(0，1)在以AB 为直径的圆上．综上，以AB 为直径的圆恒过定点(0，1)．。
2018_2019学年高二数学上学期期中试题文(4)
江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（文科）（考试用时：120分钟 总分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.命题：2sin ,<∈∀x R x 的否定是________．2.抛物线2ax y=的准线方程是2=y ，则a ＝________.3.若直线1:=+by ax l 与圆122=+y x C ：有两个不同交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是______．4.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____．5.已知以()3,4-C 为圆心的圆与圆1:22=+y xO 相内切，则圆C 的方程是________．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线()m y m x -=++21与直线82-=+y mx 互相垂直的充要条件是=m ________.7. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的方程为________．8.若命题,"R x ∈∃有"02<--m mx x是假命题，则实数m 的取值范围是________．9.已知21,F F 为椭圆131222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且21tPF PF =，则t 的值为________．10.若直线01:=++by ax l 始终平分圆0124:22=++++y x y x M 的周长，则()()2222-+-b a 的最小值为________．11.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()4,6，则1PF PM +的最大值为________．12.点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M与y 轴相交于Q P ,，若PQM ∆是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是________． 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，()44:221=+-y x O ，动点P 在直线03=-+b y x 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为B A ,，若满足PA PB 2=的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分14分）已知p ：|x －3|≤2，q ： (x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．16.（本题满分14分）已知命题p ：指数函数()x a x f 62)(-=在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若p "或"q 为真，p "且"q 为假，求实数a 的取值范围．17.（本题满分15分）设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．18.（本题满分15分）已知圆M 过两点)1,1(-A ，)1,1(-B ，且圆心M 在直线02=-+y x 上.(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆M 的两条切线，B A ,为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．19.（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点),2(t M ,)0>t（在椭圆的准线上．(1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．20.（本题满分16分） 已知椭圆)1(1:2222≥>=+b a by a x C 的离心率为22，其右焦点到直线022=-+by ax 的距离为32. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 过点)31,0(-P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点．求证：以AB 为直径的圆过定点．江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（文科）（考试用时：120分钟 总分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.命题：2sin,<∈∀x R x 的否定是________．解析 全称命题的否定是存在性命题． 答案 ∃x ∈R ，sin x ≥2 2.抛物线2ax y=的准线方程是2=y ，则a ＝________.解析 抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，由条件得2＝－14a ，a ＝－18.答案 －183.若直线1:=+by ax l 与圆122=+y x C ：有两个不同交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是________．解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a2＋b2＜1，所以有a2＋b2＞1，∴点P 在圆外． 答案 在圆外4.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离为bc a2＋b2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝ca＝ 5.答案55.已知以()3,4-C 为圆心的圆与圆1:22=+y xO 相内切，则圆C 的方程是________．解析 若圆C 与圆O 内切，因为点C 在圆O 外，所以r C －1＝5，所以r C ＝6. 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝366．在平面直角坐标系xOy 中，直线()m y m x -=++21与直线82-=+y mx 互相垂直的充要条件是=m ________.解析 x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案 －237. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝3，a2＋b2＝16，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝12，∴双曲线方程为x24－y212＝1.答案 x24－y212＝18.若命题,"R x ∈∃有"02<--m mx x是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 “∃x ∈R ，有x 2－mx －m <0”是假命题，则“∀x ∈R 有x 2－mx －m ≥0”是真命题．即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴－4≤m ≤0. 答案 －4≤m ≤09.已知21,F F 为椭圆131222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且21tPF PF =，则t 的值为________．解析 设N 为PF 1的中点，则NO ∥PF 2，故PF 2⊥x 轴， 故PF 2＝b2a ＝32，而PF 1＋PF 2＝2a ＝43，∴PF 1＝732，t ＝7.答案 7 10.若直线01:=++by ax l 始终平分圆0124:22=++++y x y x M 的周长，则()()2222-+-b a 的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 511.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()4,6，则1PF PM +的最大值为________．解析 PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝10－PF 2，PM ＋PF 1＝10＋PM －PF 2，易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时PM －PF 2取最大值MF 2，故PM ＋PF 1的最大值为10＋MF 2＝10＋(6－3)2＋42＝15. 答案 1512.点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M与y 轴相交于Q P ,，若PQM ∆是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．解析 由条件MF ⊥x 轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R ＝b2a ，圆心到y 轴距离为c ，若∠PMQ 为钝角，则其一半应超过π4，从而c b2a<22，则2ac <2b 2，即2ac <2(a 2－c 2)，两边同时除以a 2，则2e 2＋2e －2<0，又0<e <1，∴0<e <6－22. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，6－22 13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是________． 解析 因为PF 1＝ePF 2，PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 1＝2ae 1＋e ，PF 2＝2a1＋e ，因为e ∈(0,1)，所以PF 1＜PF 2.由椭圆性质知a －c ≤PF 1≤a ＋c ，所以a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，即a －c ≤2ac a ＋c ≤a ＋c ，即a 2－c 2≤2ac ≤(a ＋c )2，即e 2＋2e －1≥0.又0＜e ＜1，所以2－1≤e ＜1. 答案 [2－1,1) 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，()44:221=+-y x O ，动点P 在直线03=-+b y x 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为B A ,，若满足PA PB 2=的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．答案：(－203，4)解析：设点P 坐标为(x ，y)，因为PB ＝2PA ，所以PB 2＝4PA 2，即PO21－4＝4PO 2－4，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(解法1)该方程表示一个圆，圆心(－43，0)，r ＝83.因为点 P 有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈(－203，4)． (解法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为点P 有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，解得b ∈(－203，4)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴⌝p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴⌝q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4.16.已知命题p ：指数函数()xa x f 62)(-=在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若p "或"q 为真，p "且"q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则f(x)＝(2a －6)x在R 上单调递减，∴ 0＜2a －6＜1，∴ 3＜a ＜72.若q 真，令f(x)＝x 2－3ax ＋2a2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3a ）2－4（2a2＋1）≥0，－－3a2>3，f （3）＝9－9a ＋2a2＋1>0⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－2，a>2，a<2或a>52， ∴ a>52.又由已知“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则应有p 真q 假，或者p 假q 真．① 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a≤52，a 无解．② 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a≥72，a>52，∴ 52<a ≤3或a ≥72. 综合①②知，实数a 的取值范围为(52，3]∪[72，＋∞)．17.设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6， 所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213， 故cos ∠F 1PF 2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝102＋42－(213)22×10×4＝45.18.已知圆M 过两点)1,1(-A ，)1,1(-B ，且圆心M 在直线02=-+y x 上.(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆M 的两条切线，B A ,为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a)2＋(－1－b)2＝r2(－1－a)2＋(1－b)2＝r2，a ＋b －2＝0解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题意知，四边形PAMB 的面积为S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12AM ·PA ＋12BM ·PB .又AM ＝BM ＝2，PA ＝PB ，所以S ＝2PA ， 而PA ＝PM2－AM2＝PM2－4， 即S ＝2PM2－4.因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得PM 的值最小， 所以PM min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为S min ＝2[(PM)min]2－4＝232－4＝2 5.19.已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点),2(t M ,)0>t （在椭圆的准线上．(1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．解 (1)由2b ＝2，得b ＝1.又由点M 在准线上，得a2c ＝2.故1＋c2c＝2.所以c ＝1.从而a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t24＋1.其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，t 2，半径r ＝ t24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r2－1＝t 2. 所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(3)法一 由平面几何知ON 2＝OH ·OM .直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t 2x ，y ＝－2t (x －1)，得x H ＝4t2＋4. 所以ON 2＝ 1＋t24·|x H |·1＋t24·|x M | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t24·4t2＋4·2＝2. 所以线段ON 的长为定值 2. 法二 设N (x 0，y 0)，则FN →＝(x 0－1，y 0)，OM →＝(2，t )， MN →＝(x 0－2，y 0－t )，ON →＝(x 0，y 0)．因为FN →⊥OM →，所以2(x 0－1)＋ty 0＝0.所以2x 0＋ty 0＝2.又MN →⊥ON →，所以x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0.所以x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2.所以|ON →|＝x20＋y20＝2为定值.20. 已知椭圆)1(1:2222≥>=+b a by a x C 的离心率为22，其右焦点到直线022=-+by ax 的距离为32. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 过点)31,0(-P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点．求证：以AB 为直径的圆过定点．(1) 解：由题意，e ＝c a ＝22，e 2＝a2－b2a2＝12， 所以a ＝2b ，c ＝b. 又|2ac －2|4a2＋b2＝23，a>b ≥1，所以b ＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1. (2) 证明：当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1.当AB ⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋13)2＝169. 由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝1，x2＋（y ＋13）2＝169，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)．下证Q(0，1)符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为y ＝kx －13，代入x22＋y 2＝1并整理得(1＋2k 2)x 2－43kx －169＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 3（1＋2k2），x 1x 2＝－169（1＋2k2）， 所以QA →·QB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋(kx 1－43)(kx 2－43) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)－169（1＋2k2）－43k ·4k 3（1＋2k2）＋169＝－16－16k2－16k2＋16（1＋2k2）9（1＋2k2）＝0， 故QA →⊥QB →，即Q(0，1)在以AB 为直径的圆上．综上，以AB 为直径的圆恒过定点(0，1)．。
江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）江苏省启东中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题：∀x∈R，sin x＜2的否定是______．2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为______．3.若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同的交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是______．4.已知双曲线＞，＞的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为______．5.已知以C（4，-3）为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相内切，则圆C的方程是______．6.在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直的充要条件是m=______．7.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为______．8.若命题“∃x∈R，有x2-mx-m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是______．9.已知F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，且PF1=tPF2，则t的值为______．10.若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则（a-2）2+（b-2）2的最小值为______．11.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则PM+PF1的最大值为______．12.点M是椭圆＞＞上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是______．13.已知椭圆＞＞的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是______．14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x-4）2+y2=4，动点P在直线x+y-b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA 的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.已知p：|x-3|≤2，q：（x-m+1）（x-m-1）≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．1 / 2016.已知命题p：指数函数f（x）=（2a-6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．17.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3：7．（1）求椭圆和双曲线的方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．18.已知圆M过两点A（1，-1），B（-1，1），且圆心M在直线x+y-2=0上．（1）求圆M的方程．（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．19.已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）3 / 2020. 已知椭圆C ：+=1（a ＞b ≥1）的离心率为，其右焦点到直线2ax +by - =0的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，-）的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．求证：以AB 为直径的圆过定点．21. 过定点A （2，4）任作互相垂直的两条直线l 1与l 2，设l 1与x 轴交于点M ，l 2与y轴交于点N ，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．22. 已知A （3，1，3），B （1，5，0），求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到A ，B 两点距离相等的点P （x ，y ，z ）的坐标x ，y ，z 满足的条件．23. 如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AB =1，AD =AS =2，P 是棱SD 上一点，且．（1）求直线AB 与CP 所成角的余弦值； （2）求二面角A -PC -D 的余弦值．24.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．（1）求证：AB⊥DE；（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（3）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）5 / 20答案和解析1.【答案】“∃x ∈R ，sin x ≥2”【解析】解：∵命题“∀x ∈R ，sinx ＜2”是全称命题． ∴命题的否定是存在x 值，使sinx ＜2不成立， 即“∃x ∈R ，sinx≥2”． 故答案为：“∃x ∈R ，sinx≥2”．根据命题“∀x ∈R ，sinx ＜2”是全称命题，其否定为特称命题，即“∃x ∈R ，sinx≥2”．从而得到本题答案．本题给出全称命题，求该命题的否定形式．着重考查了含有量词的命题的否定、全称命题和特称命题等知识点，属于基础题． 2.【答案】-【解析】解：抛物线y=ax 2的标准方程是x 2=y ，则其准线方程为y=-=2，所以a=-． 故答案为：-．首先把抛物线方程转化为标准方程x 2=my 的形式，再根据其准线方程为y=-，即可求之．此题考查了抛物线的简单性质，是一道基础题，也是高考常考的题型，找出抛物线标准方程中的p 值是解本题的关键，要求学生掌握抛物线的标准方程．3.【答案】P 在圆外【解析】解：∵直线l ：ax+by=1与圆C ：x 2+y 2=1有两个不同的交点，∴直线l 与圆C 相交，即圆心C 到直线l 的距离d ＜r ， ∴＜1，即＞1，又P（a，b）到圆心C（0，0）的距离为，∴点P与圆C的位置关系为：P在圆外．故答案为：P在圆外由直线l与圆C有两个交点，得到直线l与圆C相交，可得出圆心到直线的距离小于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关系式，整理并利用两点间的距离公式判断得到P到圆心的距离大于半径，可得出P在圆外．此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r大小判断，当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切（其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）；点与圆的位置关系也由d与r的大小判断，当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上（其中d为此点到圆心的距离，r为圆的半径）．4.【答案】【解析】解：由于双曲线方程为，则右焦点为（c，0），渐近线方程为y=±x即bx±ay=0，据题意得=2a，即c2=5a2，解得e==，故答案为：．写出顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程；利用点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离；列出方程求出a，b，c的关系；求出离心率．本题考查双曲线的焦点坐标、渐近线方程；考查双曲线中三参数的关系、考查点到直线的距离公式．5.【答案】（x-4）2+（y+3）2=36【解析】江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）7 / 20解：∵点C 在圆O 外，∴若圆C 与圆O 内切，则r C -1=5，得r C =6．∴圆C 的方程是（x-4）2+（y+3）2=36． 故答案为：（x-4）2+（y+3）2=36．由题意求出圆C 的半径，代入圆的标准方程得答案．本题考查圆圆位置关系的判定及应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 6.【答案】【解析】解：直线x+（m+1）y=2-m 与直线mx+2y=-8互相垂直⇔m+2（m+1）=0⇔m=．故答案是-．由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直⇔am+bn=0解得即可． 本题主要考查两直线垂直的条件，同时考查充要条件的含义．7.【答案】=1 【解析】解：由双曲线渐近线方程可知①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②又c 2=a 2+b 2③联立①②③，解得a 2=4，b 2=12， 所以双曲线的方程为．故答案为．先由双曲线的渐近线方程为y=±x ，易得，再由抛物线y 2=16x 的焦点为（4，0）可得双曲线中c=4，最后根据双曲线的性质c 2=a 2+b 2列方程组，解得a2、b2即可．本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质．8.【答案】[-4，0]【解析】解：∵命题“∃x∈R，有x2-mx-m＜0”是假命题，⇔“∀x∈R，有x2-mx-m≥0”是真命题．令f（x）=x2-mx-m，则必有△=m2+4m≤0，解得-4≤m≤0．故答案为：[-4，0]．令f（x）=x2-mx-m，利用“∃x∈R，有x2-mx-m＜0”是假命题⇔△=m2-4m≤0，解出即可．熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式△的关系、“三个二次”的关系是解题的关键．9.【答案】7【解析】解：设N为PF1的中点，则NO∥PF2，故PF2⊥x轴，故PF2==，而PF1+PF2=2a=4，PF1=tPF2，∴PF1=，t=7．故答案为：7．设出N为PF1的中点，则NO∥PF2，故PF2⊥x轴，通过PF1=tPF2，以及通径，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.【答案】5【解析】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+（y+1）2=4，∴圆心M坐标为（-2，-1），半径r=2，∵直线l始终平分圆M的周长，∴直线l过圆M的圆心M，江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）9 / 20把M （-2，-1）代入直线l ：ax+by+1=0得： -2a-b+1=0，即2a+b-1=0， ∵（2，2）到直线2a+b-1=0的距离d==，∴（a-2）2+（b-2）2的最小值为5．故答案为：5把圆的方程化为标准方程，找出圆心M 的坐标和半径r ，根据直线l 始终平分圆M 的周长，得到直线l 过圆心M ，故把M 的坐标代入直线l ，得到关于a 与b 的方程，所求的式子可看做（a ，b ）到（2，2）距离的平方，又点（2，2）到直线2a+b-1=0的距离最小值为点（2，2）到直线2a+b-1=0的距离，故用点到直线的距离公式求出（2，2）到直线2a+b-1=0的距离，平方后即可得到所求式子的最小值．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，其中根据题意得出直线l 过圆心M 是解本题的关键． 11.【答案】15【解析】解：如图所示， 由椭圆+=1可得：a=5，b=4，c==3．∴F 1（-3，0），F 2（3，0），由椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|=2a=10，∴|PM|+|PF 1|=|PM|+2a-|PF 2|=10+（|PM|-|PF 2|）≤10+|MF 2|=10+=15，则|PM|+|PF 1|的最大值为15． 故答案为：15．由椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|=2a ，可得|PM|+|PF 1|=|PM|+2a-|PF 2|≤10+|MF 2|，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形三边大小关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】，【解析】解：∵圆M与X轴相切于焦点F，∴不妨设M（c，y），则（因为相切，则圆心与F的连线必垂直于X轴）M在椭圆上，则y=或（a2=b2+c2），∴圆的半径为，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c（PN，NQ均为半径，则△PQM为等腰三角形）∴PN=NQ=，∵∠PMQ为钝角，则∠PMN=∠QMN＞45°即PN=NQ＞MN=c所以得＞c，即，得，a2-2c2+c2e2＞2c2-4+e2＞0，e4-4e2+1＞0（e2-2）2-3＞0e2-2＜-（0＜e＜1）e2＜-+2∴0＜e＜．故答案为：（0，）．由圆M与X轴相切与焦点F，设M（c，y），则y=或，所以圆的半径为，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c，PN=NQ=，由江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）11 / 20∠PQM 为钝角，知，由此能够求出椭圆离心率的取值范围．本题考查椭圆的离心率的取值范围，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化． 13.【答案】[ -1，1）【解析】解：依题意，得+1===e+1，∴PF 2=，又a-c≤PF 2≤a+c ，∴a-c≤≤a+c ，不等号两端同除以a 得， 1-e≤≤1+e ，∴，解得e≥-1，又0＜e ＜1， ∴-1≤e ＜1． 故答案为：[-1，1）由=e 结合椭圆离心率的定义可得+1===e+1，可求得PF 2=，而a-c≤PF 2≤a+c ，从而可求得离心率e 的取值范围．本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得PF 2=，利用a-c≤PF 2≤a+c 解决问题是关键，也是难点，属于中档题． 14.【答案】-＜b ＜4【解析】解：由题意O （0，0），O 1（4，0）．设P （x ，y ），则 ∵PB=2PA ，∴（x-4）2+y 2=4（x 2+y 2）， ∴x 2+y 2+x-=0，圆心坐标为（-，0），半径为， ∵动点P 在直线x+y-b=0上，满足PB=2PA 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+x-=0相交，∴圆心到直线的距离d=＜，∴--＜b＜-+故答案为：-＜b＜4．求出P的轨迹方程，动点P在直线x+y-b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，转化为直线与圆x2+y2+x-=0相交，即可求出实数b的取值范围．本题考查实数b的取值范围，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．15.【答案】解：由题意p：-2≤x-3≤2，∴1≤x≤5．∴¬p：x＜1或x＞5．q：m-1≤x≤m+1，∴¬q：x＜m-1或x＞m+1．又∵¬p是¬q的充分而不必要条件，∴ 或∴2≤m≤4．因此实数m的取值范围是[2，4]．【解析】根据不等式的性质求解命题p，q以及￢p和￢q，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于基础题．16.【答案】解：若p真，则f（x）=（2a-6）x在R上单调递减，∴0＜2a-6＜1，且2a-6≠1∴3＜a＜且a≠．若q真，令f（x）=x2-3ax+2a2+1，则应满足△，＞＞∴或＞＜或＞∴a＞，又由题意应有p真q假或p假q真．①若p真q假，则＜＜，a无解．江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版） 13 / 20②若p 假q 真，则 或＞∴由2a -6＞0且2a -6≠1，可得a ＞． 【解析】根据指数函数的单调性求出命题p 为真命题时a 的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q 为真命题时a 的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p 或q 为真，p 且q 为假”转化为p q 的真假，列出不等式解得．本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布． 17.【答案】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：=1，可得双曲线的标准方程为： -=1． ∵离心率之比为3：7，∴=，解得a =7．∴椭圆和双曲线的方程分别为：=1，=1．（2）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．则m +n =14，m -n =6． 解得m =10，n =4．∴cos ∠F 1PF 2==．【解析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：=1，可得双曲线的标准方程为：-=1．根据离心率之比为3：7，可得=，解得a即可得出．（2）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．可得m+n=14，m-n=6．解得m ，n ．利用余弦定理即可得出．本题考查了椭圆与双曲线的定义及其标准方程与性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.【答案】解：（1）设圆心M （a ，b ），则a +b -2=0①，又A （1，-1），B （-1，1）， ∴k AB ==-1，∴AB 的垂直平分线l 的斜率k =1，又AB 的中点为O （0，0），∴l 的方程为y =x ，而直线l 与直线x +y -2=0的交点就是圆心M （a ，b ），由 解得：，又r =|MA |=2， ∴圆M 的方程为（x -1）2+（y -1）2=4． （2）如图：S PCMD =|MC |•|PC |=2 =2 ， 又点M （1，1）到3x +4y +8=0的距离d =|MN |==3，所以|PM |min =d =3，所以（S PCMD ）min =2 =2 ． 【解析】（1）设圆心M （a ，b ），依题意，可求得AB 的垂直平分线l 的方程，利用方程组可求得直线l 与直线x+y-2=0的交点，即圆心M （a ，b ），再求得r=|MA|=2，即可求得 圆M 的方程；（2）作出图形，易得S PCMD =|MC|•|PC|=2=2，利用点到直线间的距离公式可求得|PM|min =d=3，从而可得（S PCMD ）min =2．本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查圆的标准方程及点到直线间的距离公式的应用，考查转化思想与作图、运算及求解能力，属于中档题．江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）15 / 2019.【答案】解：（Ⅰ）又由点M 在准线上，得 =2故=2，∴c =1，从而a =所以椭圆方程为+y 2=1；（Ⅱ）以OM 为直径的圆的方程为x （x -2）+y （y -t ）=0即（x -1）2+ =+1，其圆心为（1， ），半径r =因为以OM 为直径的圆被直线3x -4y -5=0截得的弦长为2 所以圆心到直线3x -4y -5=0的距离d = =所以=，解得t =4所求圆的方程为（x -1）2+（y -2）2=5（Ⅲ）设N （x 0，y 0），则 =（x 0-1，y 0）， =（2，t ）， =（x 0-2，y 0-t ），=（x 0，y 0），∵ ⊥，∴2（x 0-1）+ty 0=0，∴2x 0+ty 0=2， 又∵ ⊥，∴x 0（x 0-2）+y 0（y 0-t ）=0， ∴x 02+y 02=2x 0+ty 0=2，所以| |= =为定值． 【解析】（1）把M 的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b 和c 表示出a ，代入关系式得到关于c 的方程，求出方程的解得到c 的值，进而得到a 的值，由a 和b 的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM 为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM 为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x-4y-5=0的距离d ，根据勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值，即可确定出所求圆的方程； （3）设出点N 的坐标，表示出，，，，由⊥，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又⊥，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON 的长，从而得到线段ON 的长为定值．此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．20.【答案】解：（1）由e==，a2=b2+c2，得a=b，c=b．又=，a＞b≥1，解得b=1，a=，故椭圆C的方程为：+y2=1；（2）证明：当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1．当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+（y+）2=，由，可得，由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），下证Q（0，1）符合题意．设直线l的斜率k存在，且不为0，则l的方程为y=kx-，代入+y2=1，并整理得：（1+2k2）x2-kx-=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-，∴•=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）=x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2+（kx1-）（kx2-）=（1+k2）x1x2-k（x1+x2）+=（1+k2）×-k×+=0，∴⊥，即Q（0，1）在以AB为直径的圆上，综上，以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．【解析】江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）17 / 20（1）由离心率和焦点到直线的距离结合a ，b ，c 的平方关系，可解得a ，b ，c ，得方程；（2）通过直线垂直坐标轴的情况得到两圆的交点，即定点，再通过直线与椭圆方程联立，结合根与系数关系，和数量积为零，去证该点符合题意． 此题考查了椭圆概念，直线与椭圆的综合等，难度较大． 21.【答案】解：设P （x ，y ），则M （2x ，0），N （0，2y ），由2|PA |=|MN |，得：2 = ， 平方化为：x +2y -5=0．∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为x +2y -5=0． 【解析】设P （x ，y ），则M （2x ，0），N （0，2y ），利用直角三角形斜边上中线的性质可得2|PA|=|MN|，再利用两点之间的距离公式即可得出．本题考查了直角三角形斜边上中线的性质、两点之间的距离公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22.【答案】解：（1）∵A （3，1，3），B （1，5，0），∴AB 中点坐标（2，3，）． =（-2，4，-3），∴| |= ．（2）A （3，1，3），B （1，5，0），P （x ，y ，z ）， 由PA =PB 得：= ， 整理得：4x -8y +6z +7=0． 【解析】（1）利用中点坐标公式和两点间距离公式能出AB 中点坐标和线段长． （2）由PA=PB ，利用两点间距离公式能求出点P （x ，y ，z ）的坐标x ，y ，z 满足的条件．本题考查线段中点坐标及线段长的求法，考查点的坐标间的关系的求法，考查中点坐标公式和两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】解：（1）以A 为原点，AB 为x轴，AD 为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），S （0，0，2），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），∵，∴（a ，b ，c -2）=（-a ，2-b ，-c ）=（-，1-，-），∴，解得a =0，b = ，c = ，∴P （0，，）， =（1，0，0）， =（-1，- ，）， 设直线AB 与CP 所成角为θ，cosθ=|cos ＜ ， ＞|===， ∴直线AB 与CP 所成角的余弦值为． （2） =（1，，-）， =（0，-，-）， =（0，，-）， 设平面APC 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取y =2，得 =（-4，2，-1）， 设平面PCD 的法向量=（a ，b ，c ）， 则，取b =1，得 =（0，1，1）， 设二面角A -PC -D 的平面角为θ， 则cosθ===． ∴二面角A -PC -D 的余弦值为．【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CP 所成角的余弦值．（2）求出平面APC 的法向量和平面PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D 的余弦值．江苏省启东中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）19 / 20本题考查两直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 24.【答案】解：（1）证明：取AB 的中点O ，连结EO ，∵EA =EB ，O 为AB 的中点， ∴EO ⊥AB ，∵AB ∥CD ，CD =BC =AB ，AB ⊥BC ，∴四边形OBCD 是正方形， ∴AB ⊥OD ．又OE ⊂平面ODE ，OD ⊂平面ODE ，OD ∩OE =O ， ∴AB ⊥平面ODE ，又DE ⊂平面ODE ， ∴AB ⊥DE ．（2）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ABE ，∴∠CEB 为EC 与平面ABE 所成的角，连结OC ，则OC = ，OE =1，∴CE = = ，∴sin ∠CEB ==．（3）假设AE 上存在点F ，使得EC ∥平面BDF ． 连结AC 交BD 于M ，连结BF ，DF ，MF ．∵EC ∥平面BDF ，EC ⊂平面ACE ，平面ACE ∩平面BDF =MF ， ∴EC ∥MF ， ∴， 又△CDM ∽△ABM ， ∴， ∴， ∴．∴线段EA 上存在点F ，使EC ∥平面FBD ， =． 【解析】（1）取AB 的中点O ，连结EO ，则可证OE ⊥AB ，OD ⊥AB ，故而AB ⊥平面ODE ，故而AB ⊥DE ；（2）由面面垂直的性质可得BC ⊥平面ABE ，故∠BEC 为直线EC 与平面ABE 所成角，求出BC ，CE ，继而可求出sin ∠BEC ；（3）假设AE 上存在点F ，使得EC ∥平面BDF ．连结AC 交BD 于M ，连结BF，DF，MF．由线面平行性质得出CE∥MF，于是，从而．本题考查了线面平行，面面平行的性质，线面角的计算，属于中档题．。
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江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（文科）（考试用时：120分钟 总分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.命题：2sin ,<∈∀x R x 的否定是________．2.抛物线2ax y=的准线方程是2=y ，则a ＝________.3.若直线1:=+by ax l 与圆122=+y x C ：有两个不同交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是______．4.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____．5.已知以()3,4-C 为圆心的圆与圆1:22=+y xO 相内切，则圆C 的方程是________．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线()m y m x -=++21与直线82-=+y mx 互相垂直的充要条件是=m ________.7. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y162=的焦点相同，则双曲线的方程为________．8.若命题,"R x ∈∃有"02<--m mx x 是假命题，则实数m 的取值范围是________．9.已知21,F F 为椭圆131222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且21tPF PF =，则t 的值为________．10.若直线01:=++by ax l 始终平分圆0124:22=++++y x y x M 的周长，则()()2222-+-b a 的最小值为________．11.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()4,6，则1PF PM +的最大值为________．12.点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于Q P ,，若PQM ∆是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是________． 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，()44:221=+-y x O ，动点P 在直线03=-+b y x 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为B A ,，若满足PA PB 2=的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分14分）已知p ：|x －3|≤2，q ： (x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．16.（本题满分14分）已知命题p ：指数函数()x a x f 62)(-=在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x的两个实根均大于3.若p "或"q 为真，p "且"q 为假，求实数a 的取值范围．17.（本题满分15分）设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．18.（本题满分15分）已知圆M 过两点)1,1(-A ，)1,1(-B ，且圆心M 在直线02=-+y x 上.(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆M 的两条切线，B A ,为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．19.（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点),2(t M ,)0>t （在椭圆的准线上． (1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．20.（本题满分16分） 已知椭圆)1(1:2222≥>=+b a by a x C 的离心率为22，其右焦点到直线022=-+by ax 的距离为32. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 过点)31,0(-P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点．求证：以AB 为直径的圆过定点．江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（文科）（考试用时：120分钟 总分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.命题：2sin,<∈∀x R x 的否定是________．解析 全称命题的否定是存在性命题． 答案 ∃x ∈R ，sin x ≥2 2.抛物线2ax y=的准线方程是2=y ，则a ＝________.解析 抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，由条件得2＝－14a ，a ＝－18.答案 －183.若直线1:=+by ax l 与圆122=+y x C ：有两个不同交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是________．解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案 在圆外4.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝bax 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5. 答案55.已知以()3,4-C 为圆心的圆与圆1:22=+y xO 相内切，则圆C 的方程是________．解析 若圆C 与圆O 内切，因为点C 在圆O 外，所以r C －1＝5，所以r C ＝6. 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝366．在平面直角坐标系xOy 中，直线()m y m x -=++21与直线82-=+y mx 互相垂直的充要条件是=m ________.解析 x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案 －237. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y162=的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝3，a 2＋b 2＝16，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.答案 x 24－y 212＝18.若命题,"R x ∈∃有"02<--m mx x是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 “∃x ∈R ，有x 2－mx －m <0”是假命题，则“∀x ∈R 有x 2－mx －m ≥0”是真命题．即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴－4≤m ≤0.答案 －4≤m ≤09.已知21,F F 为椭圆131222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且21tPF PF =，则t 的值为________．解析 设N 为PF 1的中点，则NO ∥PF 2，故PF 2⊥x 轴，故PF 2＝b 2a ＝32，而PF 1＋PF 2＝2a ＝43，∴PF 1＝732，t ＝7.答案 7 10.若直线01:=++by ax l 始终平分圆0124:22=++++y x y x M 的周长，则()()2222-+-b a 的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 511.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()4,6，则1PF PM +的最大值为________．解析 PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝10－PF 2，PM ＋PF 1＝10＋PM －PF 2，易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时PM －PF 2取最大值MF 2，故PM ＋PF 1的最大值为10＋MF 2＝10＋(6－3)2＋42＝15. 答案 1512.点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于Q P ,，若PQM ∆是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．解析 由条件MF ⊥x 轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R ＝b 2a，圆心到y 轴距离为c ，若∠PMQ 为钝角，则其一半应超过π4，从而c b 2a<22，则2ac <2b 2，即2ac <2(a 2－c 2)，两边同时除以a 2，则2e 2＋2e －2<0，又0<e <1， ∴0<e <6－22. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，6－22 13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是________． 解析 因为PF 1＝ePF 2，PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 1＝2ae 1＋e ，PF 2＝2a1＋e，因为e ∈(0,1)，所以PF 1＜PF 2.由椭圆性质知a －c ≤PF 1≤a ＋c ，所以a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，即a －c ≤2aca ＋c≤a ＋c ，即a 2－c 2≤2ac ≤(a ＋c )2，即e 2＋2e －1≥0.又0＜e ＜1，所以2－1≤e ＜1. 答案 [2－1,1)14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，()44:221=+-y x O ，动点P 在直线03=-+b y x 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为BA ,，若满足PA PB 2=的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．答案：(－203，4)解析：设点P 坐标为(x ，y)，因为PB ＝2PA ，所以PB 2＝4PA 2，即PO 21－4＝4PO 2－4，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(解法1)该方程表示一个圆，圆心(－43，0)，r ＝83.因为点 P 有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈(－203，4)． (解法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为点P 有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，解得b ∈(－203，4)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴⌝p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴⌝q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4.16.已知命题p ：指数函数()xa x f 62)(-=在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若p "或"q 为真，p "且"q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则f(x)＝(2a －6)x在R 上单调递减，∴ 0＜2a －6＜1，∴ 3＜a ＜72.若q 真，令f(x)＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3a ）2－4（2a 2＋1）≥0，－－3a2>3，f （3）＝9－9a ＋2a 2＋1>0⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－2，a>2，a<2或a>52， ∴ a>52.又由已知“p 或q”为真，“p 且q”为假，则应有p 真q 假，或者p 假q 真． ① 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52，a 无解．② 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a ≥72，a>52，∴ 52<a≤3或a≥72. 综合①②知，实数a 的取值范围为(52，3]∪[72，＋∞)．17.设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213，故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝102＋42－(213)22×10×4＝45.18.已知圆M 过两点)1,1(-A ，)1,1(-B ，且圆心M 在直线02=-+y x 上.(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆M 的两条切线，B A ,为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题意知，四边形PAMB 的面积为S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12AM ·PA ＋12BM ·PB .又AM ＝BM ＝2，PA ＝PB ，所以S ＝2PA ， 而PA ＝PM 2－AM 2＝PM 2－4， 即S ＝2PM 2－4.因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得PM 的值最小， 所以PM min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为S min ＝2[(PM )min ]2－4＝232－4＝2 5.19.已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点),2(t M ,)0>t （在椭圆的准线上．(1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．解 (1)由2b ＝2，得b ＝1.又由点M 在准线上，得a 2c＝2.故1＋c 2c ＝2.所以c ＝1.从而a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t24＋1.其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，t 2，半径r ＝ t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t2.所以|3－2t －5|5＝t2，解得t ＝4.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(3)法一 由平面几何知ON 2＝OH ·OM .直线OM ：y ＝t2x ，直线FN ：y ＝－2t (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t2x ，y ＝－2t (x －1)，得x H ＝4t 2＋4.所以ON 2＝ 1＋t 24·|x H |·1＋t 24·|x M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t24·4t 2＋4·2＝2.所以线段ON 的长为定值 2.法二 设N (x 0，y 0)，则FN →＝(x 0－1，y 0)，OM →＝(2，t )，MN →＝(x 0－2，y 0－t )，ON →＝(x 0，y 0)．因为FN →⊥OM →，所以2(x 0－1)＋ty 0＝0.所以2x 0＋ty 0＝2.又MN →⊥ON →，所以x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0.所以x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2.所以|ON →|＝x 20＋y 20＝2为定值.20. 已知椭圆)1(1:2222≥>=+b a by a x C 的离心率为22，其右焦点到直线022=-+by ax 的距离为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点)31,0(-P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点．求证：以AB 为直径的圆过定点． (1) 解：由题意，e ＝c a ＝22，e 2＝a 2－b 2a 2＝12， 所以a ＝2b ，c ＝b. 又|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，a>b ≥1，所以b ＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2) 证明：当AB⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1.当AB⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋13)2＝169. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋（y ＋13）2＝169，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)．下证Q(0，1)符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为y ＝kx －13，代入x 22＋y 2＝1并整理得(1＋2k 2)x 2－43kx －169＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 3（1＋2k 2），x 1x 2＝－169（1＋2k 2）， 所以QA →·QB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－43)(kx 2－43) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)－169（1＋2k 2）－43k ·4k 3（1＋2k 2）＋169＝－16－16k 2－16k 2＋16（1＋2k 2）9（1＋2k 2）＝0， 故QA →⊥QB →，即Q(0，1)在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点(0，1)．。