江苏省启东中学20172018学年高二数学下学期期中试题理
江苏省启东中学2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 理
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考高二理科数学试卷数学I 2018.06(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 是 ▲ . 2.函数)2lg(1x y -=的定义域是 ▲ .3.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是 ▲ .4.曲线y ＝sin xsin x ＋cos x +1在点)3,π(M 处的切线的斜率是 ▲ .5.已知命题p ：若函数2()||f x x x a =+-是偶函数,则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.下列命题为真命题的是 ▲ .(填序号）①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝6.若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝ ▲ .7.已知x x g 21)(-=,)0(1)]([22≠-=x xx x g f ,则)21(f = ▲ . 8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示是 ▲ .9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 ▲ .10.“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 ▲ 条件。
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 11.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当02≤<-x 时，a x f x +=2)(，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-213f ▲ . 12.已知函数f (x )＝x 2(x －a )．若若存在(2,3),∈t s ， 且t s ≠，使得)()(t f s f ≠成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()'f x f x <，且()()31f x f x ⋅+=-， 若ef 1)2018(-=，则不等式1)(+<x e x f 的解集是 ▲ .14. 定义域为R 的函数f (x )满足f (x+2)=3f (x )，当[0,2]x ∈时，x x x f 2)(2-=，若[4,2]x ∈--时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥t t x f 3181)(恒成立，则实数t 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数x a x f )62()(-=在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围．16．（本小题满分14分）已知函数,R (1lg )(∈-=k kx x f 且k >0)． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 若函数)(x f 在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围．17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x ，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（本小题满分16分）已知函数().ln xxxf=（1）求函数()x f的极值点；（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线()x fy=相切，求直线l的方程；（3）设函数()()()1--=xaxfxg，其中Ra∈，求函数()x g在[]e,1上的最小值.（其中e为自然对数的底数）数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y＝ln xx2＋1； (2)y＝ln(2x－5)．2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值．4.（本小题满分10分）设(1+x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值．江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考理数学I一、填空题：1.{0,2,4}；2.)2,1()1,(⋃-∞；3. (0,1]；4. 21；5.①④；6. ±1；7. 15；8.()()5,05,-+∞；9. (－∞，2]；10.充分必要；11. 424-；12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92 ； 13.),2(+∞- ；14.10t -≤<或3t ≥二、解答题： 15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围． 解：由p 真得0<2a －6<1，即3<a <72； ……………4分由q 真得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4（2a 2＋1）≥0，3a2>3，9－9a ＋2a 2＋1>0，解得a >52；……………8分若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52.解集为∅； ……………10分若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a≥72，a>52，解得52<a ≤3或a ≥72. ……12分综上所述52<a ≤3或a ≥72. ……………14分16．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R ，且k >0)．(1) 求函数f (x )的定义域；(2) 若函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围． 解：(1) 由kx －1x －1>0，k >0，得x －1k x －1>0，当0<k <1时，得x <1或x >1k；当k ＝1时，得x ∈R 且x ≠1；当k >1时，得x <1k或x >1.综上，当0<k <1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ；当k ≥1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1. …………… 7分(2) 由函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，知10k －110－1>0，∴ k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1，由题意，对任意的x 1、x 2，当10≤x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1，得k －1x 1－1<k －1x 2－1(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)<0. ∵ x 1<x 2，∴ 1x 1－1>1x 2－1，∴ k －1<0，即k <1.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1. ……………14分 17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. ……………5分(2)f (x )为偶函数． ……………7分 证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． ……………10分 (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. ……………15分 18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(1)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．解：（1）当1-=a ，32ln )(++-=x x x f )0(>x ，'1()2f x x -=+， …2分∴ ()f x 的单调递减区间为（0，21）,单调递增区间为（21,)∞+ ………4分111() ln 23ln 2 4.222f x f =-+⨯+=+的极小值是（）. …………7分（2）23)21(31)(x m x x x g ++-+=,1)24()(2'-++=∴x m x x g , 1)0(31)('-=g x g ）上不是单调函数，且，在区间（ , ………………9分⎪⎩⎪⎨⎧><∴0)3(0)1(''g g ⎩⎨⎧>+<+∴0620024m m 即：2310-<<-m . …………………12分m 的取值范围10(,2)3-- . ………14分19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. ……………8分(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104； ……………10分 ②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，……12分所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元．…………16分 20．（本小题满分16分） 已知函数().ln x x x f = （1）求函数()x f 的极值点；（2）若直线l 过点（0，—1），并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；（3）设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）解：（1）()x x x f ,1ln +='＞0. 而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e上单调递增. 所以e x 1=是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在.…………………5分（2）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-………………7分又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y …………………10分（3）()()1ln --=x a x x x g ，则().1ln a x x g -+='()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e上单调递减，在()+∞-,1a e上单调递增.①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ……12分②当1＜1-a e ＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[)1,1-a e上单调递减，在(]e ea ,1-上单调递增.()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g ……14分 ③当,1-≤a e e 即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上，当1≤a 时，()x g 的最小值为0；当1＜a ＜2时，()x g 的最小值为1--a ea ；当2≥a 时，()x g 的最小值为.aee a -+ ………………16分数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx 2＋1； (2)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝xx 2＋－ln x x 2＋x 2＋2＝1xx 2＋－2x ln xx 2＋2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋2.(2)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，(2)由V (Y )＝a 2V (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又E (Y )＝aE (X )＋b ， 所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.4.（本小题满分10分）设(1+x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；- 11 -(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值． 解：(1)因为a k ＝C kn ，当n ＝11时，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111 ＝12(C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1 024. (2)左边=21111111111111[(1)]n nnnnk k k k k nn n n n k k k k k k C knCn kCn Ck C --------========+-∑∑∑∑∑． 1212122222[2(1)][2(1)]2(1)2nnn k n k n n n n k k n n Cn n C n n n --------===+-=+-=+-∑∑2(1)2n n n -=+证法二求导积分赋值法：1121(1)2n n n n n n n x C C x nC x --+=++⋅⋅⋅+ 两边同时乘以x 1122(1)2n n n n n n nx x C x C x nC x -+=++⋅⋅⋅+两边再对x 求导可得2112221(1)(1)(1)2n n n n n n n n n x n x C C x n C x ----+++=++⋅⋅⋅+令1x =可得 22212223212()2123(1)n n n n n n n nn n C C C n C n C --+=++++-+L。
2017年江苏省南通市启东中学高二下学期期中数学试卷与解析答案(理科)
2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，2，3，a}，集合M={﹣1，3}．若∁U M={2，5}，则实数a的值为．2．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为．3．（5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（＜X＜）的值为．4．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．5．（5分）我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日到30日，评委会把各校上传的文章按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为180．那么本次活动收到的文章数是．6．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角为．7．（5分）已知命题p：∃x∈[0，1]，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是．8．（5分）下列有关命题的说法中正确的是．（填序号）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1＜0”；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．9．（5分）在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．则组成的三位数中是3的倍数的有个．10．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有种．11．（5分）已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有种．12．（5分）2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．13．（5分）已知，则的值是．14．（5分）=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）4名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？（1）男生甲必须站在两端；（2）两名女生乙和丙不相邻；（3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间．16．（15分）记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求①A∩B；②（∁R A）∪B；（2）若C={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}，C⊆B，求实数m的取值范围．17．（15分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．p：f（x）=m+2x为定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”；q：曲线g（x）=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．18．（15分）某房屋开发公司根据市场调查，计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适用房”三类商品房，每类房型中均有舒适和标准两种型号．某年产量如表：若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测，则必须抽取“特大套”套房10套，“大套”15套．（1）求x，y的值；（2）在年终促销活动中，奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房，该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者．求至少有一套是舒适型套房的概率；（3）今从“大套”类套房中抽取6套，进行各项指标综合评价，并打分如下：9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取，规定抽到数9.6或9.7，抽取工作即停止．记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是a1=3．20．（15分）设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，2，3，a}，集合M={﹣1，3}．若∁U M={2，5}，则实数a的值为5．【解答】解：∵集合M={﹣1，3}，∴∁U M={2，5}={2，a}，故a=5，故答案为：5．2．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为482．【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣7=25，则样本容量为=20，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故答案为：482．3．（5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（＜X＜）的值为．【解答】解：∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，∴=1，∴c=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；4．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52=10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件：1，2；1，5；2，4，共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故答案为：5．（5分）我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日到30日，评委会把各校上传的文章按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为180．那么本次活动收到的文章数是1200．【解答】解：∵频率分布直方图中，从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，且二组的频数为180，∴本次活动收到的文章数是180÷=1200．故答案为：1200．6．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角为45°．【解答】解：y′=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．7．（5分）已知命题p：∃x∈[0，1]，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是＜a≤e．【解答】解∵命题p：∃x∈[0，1]，a≤e x∴若p为真，那么a≤（e x）max∴a≤e又∵命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，∴若q为真，那么△=1﹣4a＜0∴∵命题p∧q是真命题∴p真，q真综上，实数a的取值范围是：＜a≤e故答案为：＜a≤e8．（5分）下列有关命题的说法中正确的是④．（填序号）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1＜0”；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；故①错误，②由x2﹣5x﹣6=0得x=﹣1或x=6，则“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件；故②错误③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1≠0”；故③错误，④命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题．，则命题的逆否命题为真命题．故④正确，故答案为：④．9．（5分）在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．则组成的三位数中是3的倍数的有228个．【解答】解：要想组成的三位数能被3整除，把0，1，2，3，…，9这十个自然数中分为三组：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．若每组中各取一个数，含0，共有C31C31C21A22=36种；若每组中各取一个数不含0，共有C31C31C31A33=162种；若从每组中各取三个数，共有3A33+C32A22A22=30种．所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种．故答案为：228．10．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有30种．【解答】解：根据题意，由于4科的专题讲座每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个专题讲座中任选2个看作整体，然后与其他2个讲座全排列，共C42A33=36种情况，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，将数学、理综看成一个整体，然后与其他2个讲座全排列，共A33=6种情况，故总的方法种数为：36﹣6=30；故答案为：3011．（5分）已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有18种．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、对于A、B、C区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同，将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，有A33=6种情况，②、对于D、E区域，分2种情况讨论：若A，E种的植物相同，则D有2种种法，若A，E种的植物不同，则E有1种情况，D也有1种种法，则D、E区域共有2+1=3种不同情况，则不同的种法共有6×3=18种；故答案为：18．12．（5分）2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：；故答案为：．13．（5分）已知，则的值是（）2018．【解答】解：∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018，∴令x=﹣2，得a0=0再令x=﹣，得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018，∴=，故答案为：（）2018，14．（5分）=．【解答】解：C n m﹣1===C n+1m，则1=C n+11，Cn1=Cn+12，…，Cnn=Cn+1n+1，则=[（﹣1）0C n+11+（﹣1）1C n+11+（﹣1）2C n+13+…+（﹣1）n C n+1n+1]=﹣[（﹣1）1C n+11+（﹣1）2C n+12+（﹣1）3C n+13+…+（﹣1）n+1C n+1n+1]=﹣[（1﹣1）n﹣1]=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）4名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？（1）男生甲必须站在两端；（2）两名女生乙和丙不相邻；（3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间．【解答】解：（1）男生甲必须站在两端，其余的进行全排列即可，故有=1440种．（2）利用插空法，先排除乙丙之外的另外5人，然后在这5人形成的6个间隔中插入乙和丙即可，故有=3600种．（3）分两类，若乙在正中间，则有=720种，若乙不站在正中间，乙不站在两端，则乙从另外4个位置任选一个，丙从另外5个位置选一个，其他任意排，故有=2400种，根据分类计数原理得共有720+2400=3120种．16．（15分）记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求①A∩B；②（∁R A）∪B；（2）若C={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}，C⊆B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）依题意，得A={x|x2﹣x﹣2＞0}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B={x||3﹣x|x|≥0}=[﹣3，3]，①A∩B=[﹣3，﹣1）∪（2，3]②（∁R A）∪B=[﹣3，3]，（2）∵（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0，∴[x﹣（m﹣1）][x﹣（2m+1）]＜0①当m﹣1=2m+1，即m=﹣2时，C=∅，满足C⊆B②当m﹣1＜2m+1，即m＞﹣2时，C=（m﹣1，2m+1），要使C⊆B，只要得﹣2＜m≤1③当2m+1＜m﹣1，即m＜﹣2时，C=（2m+1，m﹣1），要使C⊆B，只要得m∈∅综上，m 的取值范围是[﹣2，1]17．（15分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．p：f（x）=m+2x为定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”；q：曲线g（x）=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵p：f（x）=m+2x为定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”，∴∃x∈[﹣1，2]，使得m+2﹣x=﹣（m+2x），化为：m=﹣（2x+2﹣x）∈．q：曲线g（x）=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点，则（5m+1）2﹣4＞0，解得或；∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p或q一真一假．p真q假，则，得无交集；若p假q真，则，得或或．综上知m的取值范围为：或或．18．（15分）某房屋开发公司根据市场调查，计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适用房”三类商品房，每类房型中均有舒适和标准两种型号．某年产量如表：若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测，则必须抽取“特大套”套房10套，“大套”15套．（1）求x，y的值；（2）在年终促销活动中，奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房，该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者．求至少有一套是舒适型套房的概率；（3）今从“大套”类套房中抽取6套，进行各项指标综合评价，并打分如下：9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取，规定抽到数9.6或9.7，抽取工作即停止．记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由题设知==，解得y=450，x=400；（2）设至少有一套舒适型套房记为事件A，事件A发生的个数为：，基本事件的总和为，故所求的概率为；（3）根据题意，ξ可能的取值为1，2，3，4，5，则，，，，；所以ξ的分布列为：数学期望为E（ξ）=1×+2×+3×+4×+5×=．19．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是a1=3．【解答】证明：∵数列是公比为2的等比数列，∴．即．∵，∴显然当n≥2时=4．①充分性：当a1=3时，，∴对n∈N*，都有，即数列{a n}是等比数列．②必要性：∵{a n}是等比数列，∴，即，解得a1=3．20．（15分）设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．【解答】解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，∴T3=•12•=；②f（6，y）=的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••26﹣r•m2r﹣6•，且f（6，y）=a0++…+，∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12，解得m=2；∴f（6，y）==的通项公式为T r+1=（﹣1）r••2r•，∴a r=（﹣1）r••2r ，r=0，1，2， (6)∴=﹣•2+•22﹣•23+…+•26=﹣•2+•22﹣•23+…+•26﹣=（1﹣2）6﹣1=0；（2）∵=﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•，∴设f（x）=（1﹣x）n=C n0﹣C n1x+C n2x2﹣C n3x3+…+（﹣1）n•C n n x n…①，①式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣C n1+2C n2x﹣3C n3x2+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n•（﹣1）n x n﹣1…②，n•Cn②的两边同乘x得：﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xC n1+2C n2x2﹣3C n3x3+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣1+n•（﹣1）n•C n n x n…③，③式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣C n1+22C n2x﹣32C n3x2+…+（n﹣1）2•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n2•（﹣1）n•C n n x n﹣1…④，④中令x=1，得﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•=0，即=0．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题
江苏省启东中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}02A x x =<≤，集合{}11B x x =-<<，则AB =______．2．函数()ln f x x x =的单调减区间是______．3．已知命题:.:2 1.p x a q x p q >-<≤命题若是的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 ______．4．若函数()()sin cos x f x e x x =+，则'()f x =______．5．已知函数()f x =，则函数()f x 的定义域为______． 6．设曲线3()f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ______．7．函数21()11f x x =--的值域为______． 8．函数311()433f x x x =-+的极大值是______． 9．若函数222,0(),0x x x f x ax bx x ⎧+<=⎨+≥⎩是偶函数，则-a b 的值为______．10．设函数()(1)ln (e f x x e x x =--+e 为自然对数的底数)，则()f x 的极小值为______．11．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则(3)f '＝______． 12．某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示）______．13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +为奇函数，()(]00.0,1f x =∈当时， ()2log f x x =，则在区间(4，5)内满足方程()112f x f ⎛⎫+=⎪⎝⎭的实数x 的值为______．14．若函数1,0(),[()]2ln ,0x x f x y f f x m x x +≤⎧==-⎨>⎩函数有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ______ ．二、解答题15．已知函数32().f x x ax bx =-+(1)当2b =-时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)当3b =时，()f x 在13x =处取得极值，求函数()f x 在[]1,a 上的值域. 16．已知函数()2(1),(),x f x e m x m R e =++∈为自然对数的底数.(1)当1m =时，求函数()f x 在点()0,(0)f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间.17．已知全集U =R ,2{|320}A x x x =-+-≥, 2{|1}1B x x =≥-. (1)求集合A B ；(2)函数()ln ,f x x x ax =-()g x x =，对一切x A ∈，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知命题p ：函数2(1)(24)4()f x mx m x m m R -=--+-∈.命题q ：x R ∀∈，不等式2302x mx -+>恒成立. (1)若函数()f x 的单调减区间是(],1-∞-，求m 的值；(2)若函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为单调增函数，且命题p q ∧为真命题，求m 的取值范围．19．为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点（异于O B 、两点），点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．20．定义可导函数()y f x =的弹性函数为()()x f x f x '⋅；在区间D 上，若函数()f x 的弹性函数值大于1，则称()f x 在区间D 上具有弹性，相应的区间D 也称作()f x 的弹性区间．(1)若()xr x e x =-，求()r x 的弹性函数及弹性函数的零点； (2)对于函数()f x =()1ln xx e x -+（其中e 为自然对数的底数），求()f x 的弹性区间D ．参考答案1．{}01x x <<【解析】 由题意结合交集的定义可得：{}01A B x x ⋂=<<.2．1(0,)e【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写成区间形式，可得到函数ln y x x =的单调减区间.详解：函数的定义域为0x >，'ln 1y x =+，令ln 10x +<，得10,x e <<∴函数ln y x x =的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间.3．2a ≤-【解析】若p 是q 的必要不充分条件，则集合{}|21x x -<<是集合{}|x x a >的子集， 据此可得：实数a 的取值范围是2a ≤-.4．2cos x e x【解析】()'x xe e =，()sin cos 'cos sin x x x x +=-，结合导数的运算法则可得： ()()()'sin cos cos sin 2cos x x xf x e x x e x x e x =++-=.5．()(]1,22,4⋃【解析】函数有意义，则：()4010ln 10x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩，解得：412x x x ≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩，据此可得函数()f x 的定义域为()(]1,22,4⋃.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．6．13【解析】由函数的解析式可得：()2'31f x ax =+， 则函数在()()1,1f 处的切线斜率为()'131f a =+，结合直线平行的结论可得：312a +=，解得：13a =. 7．()[),12,-∞+∞【解析】函数的定义域为{}|1x x ≠±，则： [)()211,00,x -∈-⋃+∞，()[)21,01,1x -∈-∞⋃+∞-，()[)211,12,1x -∈-∞⋃+∞-， 即函数()2111x x =--的值域为()[),12,-∞⋃+∞. 8．173【解析】函数的定义域为R ，且()()()2'422f x x x x =-=+-， 列表考查函数的性质如图所示：则当2x =-时函数取得极大值：()()()311172242333f -=⨯--⨯-+=. 9．3【解析】 设0x >，则0x -<，函数为偶函数，则()()()()2222f x f x x x x x =-=-+⨯-=-， 结合题中所给函数的解析式可得：1,2a b ==-，则()123a b -=--=.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．10．2-【解析】函数的定义域为()0,∞+，且()()()()2222111'1x e x e x x e e e f x x x x x -++--+=+-==， 列表考查函数的性质如图所示：则当1x =时函数取得极小值：()()112f e e e =---=-.11．105【解析】结合导数的运算法则可得：()()2'152'1f x x f =+， 则()()()'1152'1,'115f f f =+∴=-，导函数的解析式为：()2'1530f x x =-， 据此可得：()2'315330105f =⨯-=.12【解析】设饮料罐的底面半径为r ，高为h ，由题意可得：2V r h π=，故2V h r π=， 圆柱的表面积： 2222222222V V S r rh r r r r rππππππ=+=+⨯=+22V V r r r π=++≥当且仅当22V r r π=，即r =点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.13．17.4【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x +1)为奇函数，∴f (-x )=f (x )，f (-x +1)=-f (x +1)，∴f (2+x )=-f (-x )=-f (x )，∴f (x +4)=f (x )，函数的周期为4， 由题意可得：211log 122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()()11,2f x f x +=-=-， 当()4,5x ∈时，()40,1x -∈，由2log 2x =-可得14x =， 据此可得原方程的解为：117444x =+=. 14．102m <≤【解析】由函数的解析式可得：当1x ≤-时，()10f x x =+≤，()()()()1112f f x f x x x =+=++=+；当10x -<≤时，()10f x x =+>，()()()()1ln 1f f x f x x =+=+；当01x <≤时，()ln 0f x x =≤，()()()ln ln 1ff x f x x ==+； 当1x ≤-时，()ln 0f x x =>，()()()()ln ln ln f f x f x x ==，此时函数单调递增；则()()()()2,1ln 1,10ln 1,01ln ln ,1x x x x f f x x x x x +≤-⎧⎪+-<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪>⎩，绘制函数()()f f x 的图象如图所示， 函数()2y f f x m ⎡⎤=-⎣⎦有3个不同的零点，则函数()()f f x 与函数2y m =有3个不同的交点， 观察函数图象可得：1021,02m m <≤∴<≤.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．15．（1）12a ≤（2）[]9,15- 【详解】 (1)()()3222.322f x x ax x f x x ax =--∴=--', 因为()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以()23220f x x ax =--≥'在区间[)1,+∞上横成立， 即22322232,2,23x ax x a a x x x -≤-∴≤≤-即在区间[)1,+∞上横成立， 令()23g x x x =-，()2230g x x=+>'，()g x ∴在[)1,+∞上单调增函数. 所以()1211,.2a g a ≤=≤即 (2) ()()3223.323f x x ax x f x x ax =-+∴=-+'， 因为()13f x x =在处取得极值，所以13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭'=0，得出 5.a = ()()()23103313f x x x x x ∴=-+=--',令()10,3,3f x x x ='==得， ∴ ()f x 在[]1,3上为减函数，在[]3,5上增函数，又()()11,515f f =-=，函数的最大值()(){}1,515,max f f ==函数的最小值()39,f ==-所以，函数()[]1f x a 在，上的值域为[]9,15-. 16．（1）3 3.y x =+（2）当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无减区间.当0m <时，()f x ∴的增区间为(ln(),)2m -+∞,减区间为(,ln())2m -∞- 【解析】试题分析：（1）由函数的解析式可得()0f =3，()0f '=3，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为：3 3.y x =+（2）结合函数的解析式有()2x f x e m ='+，分类讨论可得：当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无减区间.当0m <时，()f x ∴的增区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,减区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 试题解析：（1）()()()2121xxf x e m x e x =++=++，()0f ∴=3∴ ()21x f x e ='+ ()0f ∴'=3，函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为：()330y x -=-，即：3 3.y x =+（2）()2xf x e m ='+，⑴当0m ≥时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无减区间. ⑵当0m <时, 令()20,2xxm f x e m e =+>∴>-'，2m x ln ⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭， ()20,2x x m f x e m e =+<∴<-'，2m x ln ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭， ()f x ∴的单调增区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,单调减区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上：当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无减区间. 当0m <时，()f x ∴的增区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,减区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．17．（1）(]1,2A B =（2）1a ≤【解析】 试题分析：（1）由题意可得[]1,2A =，[)(]1,11,3B =-⋃，则(]1,2A B ⋂=.(2)结合(1)的结论可知原问题等价于1a lnx ≤+-对一切x ∈ []1,2恒成立. 构造函数，令()1x lnx xϕ=+-，结合导函数研究函数的单调性可得()x ϕ的最小值为=ϕ则1a ≤.试题解析：（1）求解一元二次不等式可得[]1,2A =，求解分式绝对值不等式可得[)(]1,11,3B =-⋃，(]1,2A B ∴⋂=.(2) 由()()f x g x ≥得xlnx ax x -≥x ∈ []1,2恒成立.1a lnx x∴≤+-对一切x ∈ []1,2恒成立.令()1x lnx ϕ=+-，()1x x ϕ'== ， ()x ϕ∴在(上单调递减，()x ϕ在)2上单调递增；()x ϕ∴的最小值为=ϕ1a ∴≤.18．（1）2m =（2）0m ⎡⎣的取值范围是【解析】 试题分析：（1）令1,x t -=则1x t =+，利用换元法可得函数的解析式为()24f x mx x =+，结合二次函数的性质可得 2.m =()2p q ∧为真命题p q ∴，和均为真命题.命题p 为真命题，讨论可得0≤m ≤4，命题q 为真命题，由判别式小于零可得m <<m 的取值范围是0⎡⎣.试题解析：（1）令1,x t -=则1x t =+，()()()()212414f t m t m t m =+--++- 得出()24f t mt t =+，所以()24f x mx x =+，41,2m-∴=- 2.m ∴=()2p q ∧为真命题p q ∴，和均为真命题.命题p 为真命题：若m =0,符合； 若m ≠0,得出m >0,4122m ≤--，即0<m ≤4，∴0≤m ≤4， 命题q 为真命题：2=60,m ∆-<即m <<.所以，m的取值范围是0⎡⎣.19．（1）2cos )3y a x x x π=⨯+-+，定义域为(0)3π，； （2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元．【解析】 试题分析：（1）由题意结合正弦定理可得2233OC CD sinxsinsin x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合题意可知函数的解析式为23y a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，定义域为03π⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）结合(1)中函数的解析式：()23f x a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭求导可得())212216f x a sinx a cos x π⎡⎤⎛⎫=⨯--=⨯+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，利用导函数研究函数的单调性可得()f x 在6x π=处取得最大值266f a ππ⎛⎫⎫=⨯⎪⎪⎝⎭⎭．试题解析：（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =百米，由正弦定理得2233OCCD sinxsinsin x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，得OC =百米，3CD x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭百米． 又圆弧DB 长为23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭百米．所以223333y a sinx a sin x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦23a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，03x ，π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）记()23f x a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭， 则())212216f x a sinx a cos x π⎡⎤⎛⎫=⨯--=⨯+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，令()0f x '=，得6x π=．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值．即266f a ππ⎛⎫⎫=⨯⎪⎪⎝⎭⎭．答：（1）23y a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，定义域为03π⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）广告位出租的总收入的最大值为26a π⎫⎪⎭元． 20．（1）弹性函数为()1xxxe e x-⋅-．其零点为0x =. （2）()1,D =+∞. 【解析】 试题分析：（1）由函数的解析式有()()1xr x e '=-⋅结合弹性函数的定义可得()r x 的弹性函数为()1x x xe e x-⋅-．其零点为0x =. ⑵由题意可得弹函数的解析式为()2111x xx e x e lnx+>-+，此不等式等价于不等式组： (Ⅰ)()()21011x x x x e lnx x e x e lnx ⎧-+>⎪⎨+>-+⎪⎩①②或(Ⅱ)()()21011xx xx e lnx x e x e lnx ⎧-+<⎪⎨+<-+⎪⎩③④. 分类讨论可知因不等式组(Ⅰ)的解为1x >.不等式组(Ⅱ)无实数解．即()f x 的弹性区间()1,D =+∞.试题解析：（1）()xr x e x =-，()()1xr x e '=-⋅()()()1x x x xr x e r x e x⋅=-⋅-'． 令()()()10x x x xr x e r x e x⋅=-⋅=-'，解得0x =， 所以()r x 弹性函数的零点为0x =.⑵()()1xf x x e lnx =-+，函数定义域为{}0x x >．因为()()1x xf x e x e =+-'+211xx e x x+=， ()f x 的弹性函数()()()2111x xx x e f x f x x e lnx+-+'⋅=>， 此不等式等价于下面两个不等式组，(Ⅰ)()()21011x x x x e lnx x e x e lnx ⎧-+>⎪⎨+>-+⎪⎩①②或(Ⅱ)()()21011xx xx e lnx x e x e lnx ⎧-+<⎪⎨+<-+⎪⎩③④. 因①对应的函数就是()f x ，由()0f x '>，所以()f x 在定义域上单调增， 又()10f =，所以①的解为1x >；而②()()()2211110xxxg x x e x e lnx x x e lnx ⎡⎤⇔=+--+=-++->⎣⎦，()()()()32211211xx x x x e g x x e x x e x x+-=-+-+-='在1x >上恒正， 则()g x 在1x >上单调递增，所以()()10g x g >>，故②在1x >上恒成立. 于是不等式组(Ⅰ)的解为1x >. 同①的解法得③的解为01x <<；因为在01x <<时，④左正、右负，不可能成立. 故不等式组(Ⅱ)无实数解．综上，()f x 的弹性区间()1,D =+∞.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
江苏省启东中学2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 文
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考高二文科数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1．已知集合{}{}4,2,3,1=-=B A ，则=B A I ． 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 ． 3.设()x f 是定义在[]b a ,上的奇函数，则()[]=+b a f 2 ．4.已知函数()⎩⎨⎧>≤=0,log 0,33x x x x f x ，则()[]=-1f f ．5.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角．6.函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则 (1)(1)f f '+= ．7.求值：48373271021.097203225.0+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π= ． 8.已知倾斜角为α的直线l 与直线2x ＋y －3＝0垂直，则()=+απ22019cos ． 9.设(322()log 1f x x x x =++，则不等式2()(2)0f m f m +-≥（m R ∈）成立的充要条件是 ．（注：填写m 的取值范围）10.函数x y sin =和x y tan =的图象在[]π6,0上交点的个数为 ．11.若()=x f ⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥1,31,x a x x x a是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ．12.求值：()=︒-︒-︒200sin 170sin 2340cos ________.13.设()x f 是定义在R 上的奇函数，且()02=f ，当0>x 时，有()()0<-'x f x f x 恒成立，则不等式()02>x f x 的解集是 ．14.已知函数()()⎩⎨⎧>++-≤-=0,340,222x x x x e x x x f x ，()()k x f x g 3-=，若函数()x g 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知函数2()2sin 23cos 1f x x x x =-++⑴求()f x 的最小正周期及对称中心和单调递增区间； ⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16.（本题满分14分）设函数()34lg 2-+-=x x y 的定义域为A ，函数()m x x y ,0,12∈+=的值域为B ．（1）当m=2时，求A∩B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．17.( 本题满分14分)已知函数()()b x a x x f ++++-=242，()31log 2=f ，且()()x x f x g 2-=为偶函数．（1）求函数()x f 的解析式；（2）若函数()x f 在区间[)+∞,m 的最大值为m 31-，求m 的值．18.(本题满分16分)如图，某市若规划一居民小区ABCD ，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF 建活动休闲区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为1千米，△AEF 的面积为S ． （1）①设AE=x ，求S 关于x 的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S 关于θ的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值．19.(本题满分16分)已知函数()12323--+=ax x x a x f ，()01=-'f . （Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围．20．(本题满分16分)设函数.2)(,ln 2)1()(xex g x x x p x f =--=（p 是实数，e 是自然对数的底数）（1）当p=2时，求与函数)(x f y =的图象在点A （1，0）处相切的切线方程； （2）若函数)(x f 在其定义域内单调递增，求实数p 的取值范围；（3）若在[1，e]上至少存在一点)()(,000x g x f x >使得成立，求实数p 的取值范围.江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考数学试卷（文科）参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.(1)φ(2) x R ∀∈，2210x x -+≥ (3)0 (4) -1（5）二或四 (6)3 (7)100（8）35-(9) m≤-2或m ≥1 （10）7 (11)[，+∞）（12）3（13）（﹣∞，﹣2）∪（0，2）（14）（1，）∪{0，}15解：⑴()32cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+-----------3分∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， ----------5分 令sin(2)06x π+=，则()212k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的对称中心为(,0),()212k k Z ππ-∈ ----------7分由Z k k x k ∈+≤+≤-,226222πππππ得()x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z k ∈ ----------9分 ⑵∵[,]63x ππ∈- ∴52666x πππ-≤+≤ ∴1sin(2)126x π-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤ ∴当6x π=-时，()f x 的最小值为1-；当6x π=时，()f x 的最大值为2。
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(文科)-教师用卷
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（文科）副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，集合，则______．【答案】【解析】解：集合，集合，．故答案为：．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.的单调递减区间是______．【答案】【解析】解：函数的定义域为令得，函数的单调递减区间是故答案为，求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间．本题考查函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围为单调递减区间；注意单调区间是函数定义域的子集．3.已知命题p：命题q：若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题p：命题q：．由p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是．故答案为：．由p是q的必要而不充分条件，结合不等式的意义即可得出．本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若函数，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，故答案为：根据题意，由函数乘法的导数计算公式计算可得答案．本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式．5.已知函数，则函数的定义域为______．【答案】【解析】解：由，解得且．函数的定义域为．故答案为：．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0且分式的分母不等于0，联立不等式组求解即可得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．6.设曲线在处的切线与直线平行，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：的导数为，可得在处的切线斜率为，切线与直线平行，可得，解得．故答案为：．求得的导数，可得切线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．7.函数值域为______．【答案】，【解析】解：方法一：函数的图象如图所述，由图象可得函数的值域：，方法二：，当时函数单调递增，当时函数单调递减．故y在上的最小值为2，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故时，，故时，，综上所述函数的值域为，，故答案为：，方法一：画出函数的图象，借助图象即可得到函数的值域，方法二：利用函数的单调性即可求出函数的值域．本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．8.函数的极大值为______．【答案】【解析】解：函数，，，在上，导函数大于0，函数递增，在上，导函数小于0，函数递减，在上，导函数大于0，函数递增，在处，函数取到极大值，故答案为：．首先求出函数的导函数，使得导函数等于0，解出x的值，验证在x值两侧的导函数的符号，得到在处，函数取到极大值．本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属中档题．9.若函数是偶函数，则的值为______．【答案】3【解析】解：根据题意，设，则，若函数是偶函数，则有，即，则有，，则；故答案为：3根据题意，设，则，结合偶函数的定义以及函数的解析式可得，即，分析可得a、b的值，计算即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质，关键是掌握函数奇偶性的定义．10.设函数为自然对数的底数，则的极小值为______．【答案】【解析】解：函数为自然对数的底数，，，由，解得或，当时，或，当时，，的增区间为，，减区间为，的极小值为．故答案为：．，，当时，或，当时，，从而的极小值为，由此能求出结果．本题考查函数的极小值的求法，考查导数性质、函数的极值、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11.设函数的导函数为，若，则______【答案】45【解析】解：求导得：，令，得到，解得：，，故答案为：45．对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值，再求出即可本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键，属于基础题．12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省即表面积最小，则饮料罐的底面半径为用含V的代数式表示______【答案】【解析】解：设圆柱的底面半径r，高h，容积为v，则，即有，用料为，当且仅当，即时S最小即用料最省．故答案为：．设圆柱的底面半径r，高h容积为v，则，，要求用料最省即圆柱的表面积最小，由题意可得，配凑基本不等式的形式，从而求最小值，从而可求高与底面半径之比，再由体积，即可得到所求．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，利用基本不等式的关键是要符合其形式，并且要注意验证等号成立的条件．13.已知函数是定义在R上的偶函数，为奇函数，当时，，则在区间内满足方程的实数x的值为______．【答案】【解析】解：根据题意，若为奇函数，即，即．当时，，．又为偶函数，即，于是，即，故是以4为周期的函数．当时，，，当时，有，则，若，则有，解可得：；故答案为：．由为奇函数，可得由为偶函数可得，故是以4为周期的函数当时，有，则，分析可得，解可得x的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性，关键是分析函数的周期，属于基础题．14.若函数函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：令，则内层函数为，外层函数为．若外层函数只有一个零点，则，得，且外层函数的零点，而直线与内层函数的图象只有一个交点，不合乎题意！若外层函数有两个零点，则，得，令，可得，，显然直线与内层函数的图象有两个交点，则直线与内层函数的图象只有一个交点，所以，，解得．因此，实数m的取值范围是故答案为：．首先将函数分解为内层函数与外层函数，先确定外层函数的零点个数，再利用外层函数的零点与内层函数图象的交点总数为3时，由此列有关m的不等式求解．本题考查函数的零点，合理弄清楚外层函数与内层函数零点之间的关系，是解本题的关键，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数．当时，在上是增函数，求实数a的取值范围；当时在处取得极值，求函数在上的值域．【答案】解：，因为在上是增函数，所以在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立，令，，在上单调增函数．所以即．，因为在处取得极值，所以，得出．，令得．在上为减函数，在上增函数，又，，，，所以，函数在上的值域为．【解析】求得的导数，可得在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立，求得不等式右边函数的最小值即可；求得导数，解方程可得a，求得的导数和极值、端点处的函数值，可得最值．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查恒成立问题解法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．16.已知函数，，e为自然对数的底数．当时，求函数在点处的切线方程；求函数的单调区间．【答案】解：根据题意，，则，又由，，函数在点处的切线方程为：，即：；根据题意，，则，，当时，恒成立，的单调递增区间为，无减区间．，当时，令，，，，，，的单调增区间为，单调减区间为；综上：当时，的单调递增区间为，无减区间．当时，的增区间为，减区间为．【解析】根据题意，求出的值，以及函数的导数，计算的值，由直线的点斜式方程计算可得答案；根据题意，计算可得，分与两种情况讨论，分析导数的符号，由函数的导数与函数单调性的关系，分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性以及切线的方程，关键掌握导数的几何意义．17.已知全集，，．求集合；函数，，对一切，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：，或．．函数，，由，得对一切恒成立．对一切恒成立．令，，在上单调减，在上单调增，的最小值为．，实数a的取值范围是【解析】求出集合A，B，由此能求出．由，得对一切恒成立从而对一切恒成立令，，利用导数性质能求出实数a的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.已知命题p：函数命题q：，不等式恒成立．若函数的单调减区间是，求m的值；若函数在区间上为单调增函数，且命题为真命题，求m的取值范围．【答案】解：令，则，分得出，所以分若函数的单调减区间是，则满足，分为真命题，和q均为真命题分命题p为真命题：若，符合；分若，得，由得分综上，命题q为真命题，则判别式，即分所以，由，得，即实数m的取值范围是分【解析】先求出函数的解析式，结合二次函数的单调性进行判断即可．根据复合命题真假关系分别求出命题p，q为真命题的等价条件，进行求解即可．本题主要考查复合命题真假性的应用，以及二次函数单调性的判断，分别求出命题p，q的真假是解决本题的关键．19.为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图点C是半径OB上一点异于O、B两点，点D是圆弧上一点，且为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD及圆弧处每百米均为a元设弧度，广告位出租的总收入为y元．求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．【答案】解：因为，所以弧度，在中，，，百米，由正弦定理得，分得，百米；分又圆弧DB长为百米，所以，；分记，则，分令，得；分所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值；即；答：，定义域为；广告位出租的总收入的最大值为元分【解析】根据题意，利用正弦定理求得OC的值，再求弧长DB，求出函数y的解析式，写出x的取值范围；求函数y的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x的值．本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．20.定义可导函数的弹性函数为；在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．若，求的弹性函数及弹性函数的零点；对于函数其中e为自然对数的底数，求的弹性区间D．【答案】本题满分16分解：，分分令，解得，所以弹性函数的零点为分，函数定义域为．因为，的弹性函数，分此不等式等价于下面两个不等式组，Ⅰ或Ⅱ．因对应的函数就是，由，所以在定义域上单调增，又，所以的解为；分而，在上恒正，则在上单调递增，所以，故在上恒成立．于是不等式组Ⅰ的解为分同的解法得的解为；因为在时，左正、右负，不可能成立．故不等式组Ⅱ无实数解．综上，的弹性区间分【解析】，，利用导数性质能求出的弹性函数及弹性函数的零点．，函数定义域为，由，的弹性函数，由此能求出的弹性区间．本题考查函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，考查函数的弹性区间的求法，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
江苏省启东中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题
江苏省启东中学2018-2019 学年度第二学期期中考试高二数学一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，合计70 分）1. 从 3 双鞋子中，任取 4 只，此中起码有两只鞋是一双，这个事件是.( 填“必定”，“不行能”或“随机” ) 事件．2.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为20 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 35 秒，那么你看到红灯的概率是.3. 将一枚质地平均的硬币先后投掷三次，恰巧出现一次正面向上的概率是.4.从 1,2,3,4 这四个数中随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是.5. 函数（0，）的极小值为.6. 设点是曲线上的随意一点，则到直线的距离的最小值为.7.某人向边长分别为 5,12,13 的三角形地区内随机丢一粒芝麻，假定芝麻落在地区内的随意一点是等可能的，则其恰落在离三个极点距离都大于 2 的地方的概率为.8.曲线 y＝＋x+2 在点 (0,3) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.9.函数f( )x.的单一减区间为ln x10. 已知a>0，函数f ( x) ＝x( x－a) 2和 g( x)＝－ x2＋( a－1) x＋ a 存在同样的极值点，则a＝_______.11. 若函数，则等于.12.已知函数 f ( x)＝ x3+2x．若 f ( a－1)＋ f (2 a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________．13. 已知定义在上的函数知足，此中是函数的导函数，若，则实数 m的取值范围为.14. 已知f(x)=，若对于的方程恰巧有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为.二、解答题（本大题共 6 小题，合计90 分）15.（本小题满分14 分）袋中有 7 个球，此中 4 个白球，(1) A：拿出的 2 个球都是白球；3 个红球，从袋中随意拿出 2 个球，求以下事件的概率：(2)B：拿出的2个球中1个是白球，另 1 个是红球．16.( 本小题满分 14 分 )已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值．求的分析式．求在上的最小值．17.（本小题满分 15 分）已知函数1 个实根，求m的值；（ 1 当 a=-2,b=3时，若方程m=0的有（ 2）当时，若 f ( x)在(0，＋∞)上为增函数，务实数 a 的取值范围．18.( 本小题满分 15 分 )已知函数，．（ 1）若是的极值点，求函数的单一性；（ 2）若时，，求的取值范围．19. (本小题满分16 分 )如图是一个半径为 2 千米，圆心角为π 的扇形旅行区的平面表示图． C 是半径 OB 上一点， D3︵︵是圆弧 AB上一点，且 CD∥ OA.此刻线段 OC，线段 CD及圆弧 DB三段所示地点建立广告位，经测算广告位出租收入是：线段︵OC处每千米为2a 元，线段 CD及圆弧 DB处每千米均为 a 元．设∠AOD＝ x 弧度，广告位出租的总收入为y 元．(1)求 y 对于 x 的函数分析式，并指出该函数的定义域；(2)试问： x 为什么值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．20.( 本小题满分 16 分 )已知函数 f ( x)＝x ln x， g( x)＝λ( x2－1)(λ为常数)．(1)若函数 y＝ f ( x)与函数 y＝ g( x)在 x＝1处有同样的切线，务实数λ 的值；1(2)若λ＝2，且 x≥1，求证： f ( x)≤ g( x)；(3)若对随意 x∈[1，＋∞)，不等式 f ( x)≤ g( x)恒建立，务实数λ的取值范围．江苏省启东中学 2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学命题人：蔡罡二、填空题（本大题共14小题，每题 5 分，合计70 分）1.从 3 双鞋子中，任取 4只，此中起码有两只鞋是一双，这个事件是(填“必定”，“不行能”或“随机” ) 事件．必定2.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为20 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为35 秒，那么你看到红灯的概率是1 33.将一枚质地平均的硬币先后投掷三次，恰巧出现一次正面向上的概率是3 84.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数，则此中一个数是另一个数的两倍的概率是1 35.函数（ 0，）的极小值为.6.设点是曲线上的随意一点，则到直线的距离的最小值为.7.某人向边长分别为 5,12,13 的三角形地区内随机丢一粒芝麻，假定芝麻落在地区内的随意一点是等可能的，则其恰落在离三个极点距离都大于15－π2 的地方的概率为158.曲线 y＝＋x+2在点(0,3)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为9. 函数f( )x.0,1 , 1,e 的单一减区间为ln x10. 已知a>0，函数f ( x) ＝x( x－a) 2和 g( x)＝－ x2＋( a－1) x＋ a 存在同样的极值点，则a＝________.311. 若函数，则等于.12. 已知函数f ( x) ＝x3+2x．若f ( a－ 1) ＋f (2 a2) ≤0，则实数a的取值范围是 ________．－ 1，123f ( x)是奇函数．由于f 2分析：由于 f (－ x)＝－ x －2x＝－ f ( x)，所以函数′(x)＝3x +2≥2，所以函数 f ( x)在 R 上单一递加．又 f ( a－1)＋ f (2 a2)≤0，即 f (2 a2)≤ f (1－ a)，所以2a2≤121－ 1，1－ a，即2a ＋ a－1≤0，解得－1≤ a≤2，故实数 a的取值范围是 2.13.已知定义在上的函数知足，此中是函数的导函数若，则实数 m的取值范围为.分析：令，，则，，，函数在递减，，，，，即，故，解得：，故.14. 已知f(x)=，若对于的方程恰巧有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为.（）分析：方程得，f （ x）＝1或 f （x）＝- m﹣1；解 f （ x）＝1得 x＝0，故方程 f （ x）＝- m﹣1有3个不是0的根；当 x≥1时，f （ x），f′（x）；故 f （ x）在（1，e）上单一递加，在（e，+∞）上单一递减；f （1）＝0， f （e），且x>1时，；当 x＜1时，f （ x）＝在（﹣∞，1）上是减函数；故 f （x）的大概图像以下：故若使方程 f （ x）＝- m 1有3个不是0的根，0＜ - m 1；即m＜-1；所以数的取范（），二、解答（本大共 6 小，共90 分）15.（本小分 14 分）袋中有 7 个球，此中 4 个白球， 3 个球，从袋中随意拿出 2 个球，求以下事件的概率：(1) A：拿出的 2 个球都是白球；(2)B：拿出的 2 个球中 1 个是白球，另 1个是球．【分析】4 个白球的号1,2,3,4,3个球的号 5,6 ， 7，从袋中的7 个小球中任取 2 个的方法 (1,2) ，(1,3)，(1,4) ，(1,5) ，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5) ，(2,6)，(2,7) ，(3,4) ， (3,5) ， (3,6) ， (3,7)， (4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)， (5,7)，(6,7) ，共21种．⋯ 6分(1) 从袋中的 7 个球中任取2个，所取的 2 个球所有是白球的方法数，即是从 4 个白球中任取 2 个的方法数，共有 6 种，即 (1,2) ，(1,3) ，(1,4) ，(2,3) ，(2,4)，(3,4) ．∴拿出的 2 个球所有是白球的概率P( A)＝⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分(2) 从袋中的7 个球中任取 2 个，此中 1 个球，而另 1 个白球，其取法包含(1,5) ，(1,6) ，(1,7)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，共12种．∴拿出的 2 个球中 1 个是白球，另 1 个是球的概率P( B)＝.⋯⋯⋯⋯14分16. (本小分14 分 )已知函数，曲在点的切方程，在有极．求的分析式．求在上的最小．【分析】解：，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分曲在点 P 的切方程，即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分在有极，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分由得，，，所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分由知．令，得，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分当，；当，；当，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分．又因，所以在区上的最小．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分17.（本小分 15 分）已知函数（ 1 当 a=-2,b=3，若方程m=0的有 1 个根，求m的；（ 2）当，若f(x)在(0，＋∞ )上增函数，求数 a 的取范．【分析】⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 2）当，，∴又 f ( x)在(0，＋∞)上增函数，∴∴，而即∴故 a的取范是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分18.( 本小分 15 分 )已知函数（ 1）若（ 2）若【分析】，．是的极点，求函数的性；，，求的取范．（ 1），.因是的极点，所以，可得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分所以，. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因在上增，且，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分所以，，，减；，，，增．故在上减，在上增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 2）由得，因，所以. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分，.令，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分，然在内减，且，所以，，减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分，即，所以在内减，进而.所以.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分19. (本小分16 分)如是一个半径 2 千米，心角πC 是半径 OB 上一点，D 3的扇形游区的平面表示．︵︵是弧 AB上一点，且 CD∥ OA.在段 OC，段 CD及弧 DB三段所示地点立广告位，算广告位出租收入是：段︵OC每千米2a 元，段 CD及弧 DB每千米均 a 元．∠AOD＝ x 弧度，广告位出租的收入y 元．(1)求 y 对于 x 的函数分析式，并指出函数的定域；(2)： x 何，广告位出租的收入最大？并求出其最大．【分析】(1) 因 CD ∥ OA ，所以∠ ODC ＝∠ AOD ＝ xrad .在△中，∠＝ 2π，∠ ＝π－ x ，＝ 2 .OCDOCD 3 COD 3 OD kmOCCD24 3由正弦定理，得sin x＝sinπ＝sin 2π＝3，－ x 334 343π －得 OC ＝ 3 sin xkm ， CD ＝ 3sin 3x km .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又 弧π－ x，DB2 3 km4 34 3π π所以 y ＝2a × 3 sin x ＋ a ×[ 3sin3 － x ＋ 23 －x ]＝ 23sin x ＋ cos x －x ＋π， ∈ 0，π. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分a3x3(2)f ( x ) ＝ 2a3sinx ＋ cos x － x ＋ π，3f ′( ＝2a ( 3cos x － x － 1) ＝2a 2cos x ＋ π－ 1，x )sin 6π令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝ 6 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分当 x 化 ， f ′(x ) ， f ( x ) 的 化以下表：xπ π π π0， 6 6 6 ， 3 f ′(x ) ＋ 0－ f ( x )增极大减πππ所以 f ( x ) 在 x ＝ 6 获得极大 ， 个极大 就是最大 ，即f6 ＝ 2a ×3＋ 6＝23＋ π6 a .ππ故当 x ＝ 6 ，广告位出租的 收入最大，最大 2 3＋6 a 元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分20. ( 本小 分 16 分 )已知函数 f ( x ) ＝x ln x ， g ( x ) ＝ λ ( x 2－ 1)( λ 常数 ) ．(1) 若函数y ＝ ( ) 与函数 y ＝ ( ) 在 x ＝ 1 有同样的切 ，求 数 λ 的 ；f xg x(2) 1，且 x ≥1，求 ： f ( x ) ≤ g ( x ) ； 若 λ＝ 2(3) 若 随意 x ∈[1 ，＋∞ ) ，不等式 f ( x) ≤ () 恒建立，求 数λ 的取 范 ．g x【分析】(1) ：f ′(x ) ＝ln x ＋ 1， f ′(1)＝ 1 且 f (1) ＝ 0.所以函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ 1 的切 方程 y ＝x － 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分1进而 g ′(1) ＝ 2λ＝ 1，即 λ ＝ 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(2) 明： 函数 () ＝ ln12－1) ，′( ) ＝ ln＋ 1－ .x － (x x h x x 2h x x1p ( x ) ＝ ln x ＋ 1－ x ，进而 p ′(x ) ＝x －1≤0 随意 x ∈[1 ，＋∞ ) 恒建立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分所以 p ( x ) ＝ ln x ＋1－ x ≤ p (1) ＝ 0，即 h ′(x ) ≤0，12所以函数 h ( x ) ＝x ln x － 2( x － 1) 在 [1 ，＋∞ ) 上 减，即 h ( x ) ≤ h (1) ＝0，所以当x ≥1 ，f ( x) ≤ ( ) 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分g x(3) 解： 函数 H ( x ) ＝ x ln x － λ ( x 2－1) ，进而 随意 x ∈ [1 ，＋∞ ) ，不等式 H ( x ) ≤0＝ H (1) 恒建立．又 ′( ) ＝ lnx ＋1－ 2λ ，H xx当 ′( ) ＝ lnx ＋1－ 2λ ≤0，即ln x ＋ 1≤2λ 恒建立 ，H xxx函数 H ( x ) 减．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分ln x ＋1－ lnxr ( x ) ＝ x， r ′(x ) ＝x 2≤0，所以 r ( x ) max ＝r (1)1 12 分＝ 1，即 1≤2λ ，解得 λ ≥ ，切合 意；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2当 λ ≤0 ， H ′(x ) ＝ ln x ＋ 1－ 2λ x ≥0恒建立，此 函数 H ( x ) 增．于是，不等式H ( x ) ≥ H (1) ＝ 0 随意 x ∈ [1 ，＋∞ ) 恒建立，不切合 意；当 0<λ<1， q ( x ) ＝ H ′(x ) ＝ ln x ＋ 1－ 2λx ， 211q ′(x ) ＝ x － 2λ ＝ 0，解得 x ＝ 2λ>1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分11当 x ∈ 1， 2λ ， q ′(x ) ＝ x － 2λ>0，此 q ( x ) ＝ H ′(x ) ＝ ln x ＋ 1－ 2λ x 增，所以H ′(x ) ＝ ln x ＋ 1－ 2λx >H ′(1) ＝ 1－ 2λ>0，1故当 x∈1，2λ，函数 H( x)增．1于是当 x∈1，2λ， H( x)>0建立，不切合意．上所述，数λ的取范是 [116 分，＋∞ ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2（用洛必达定理求可适合分）江省启中学2018-2019 学年度第二学期期中考高二数学附带命人：蔡罡（本大共 4 小，每10 分，共40 分）1.求以下函数的函数（ 1）y2x 1（2）y sin2 x2x11解：（ 1）y2 x 11 2 x 12 2 x（ 2） y 2sin x sin x2sin xcos x sin 2 x2.有 4 个不一样的球， 4 个不一样的盒子，此刻要把球所有放入盒内．（ 1）共有多少种放法？（用数字作答）（ 2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？（用数字作答）解：（ 1）每个球都有 4 种方法，故有：种种不一样的放法（2）四个不一样的小球放入编号为 1， 2， 3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有 2 个小球，从 4 个小球中选两个作为一个元素，同此外两个元素在三个地点全摆列，故共有：C42 A43144 种不一样的放法．3.在“五四青年节”到来之际，启东中学将睁开一系列的念书教育活动. 为认识高二学生读书教育状况，决定采纳分层抽样的方法从高二年级A、B、 C、 D 四个社团中随机抽取12 名学生参加问卷调査. 已知各社团人数统计以下：（ 1）若从参加问卷检查的（ 2）在参加问卷检查的12 名学生中随机抽取 2 名，求这 2 名学生来自同一个社团的概率；12 名学生中，素来自 A、B、D 三个社团的学生中随机抽取 3 名，用X表示从A社团抽得学生的人数，求X的散布列和数学希望.3.解：（1）A、B、C、D社团共有学生名，抽取名学生，抽取比率为.则抽取的名学生中，社团名，社团名，社团名，社团名.则名学生抽取名学生，来自同一个社团的概率为：.（ 2） 12 名学生中来自三个社团的学生共有名，若从中任取名，抽取社团的人数服从超几何散布，的取值为则的散布列为在该超几何散布中，所以数学希望n4、已知二项式x 3x2.（1）若它的二项式系数之和为128 . 求睁开式中系数最大的项；（2）若x 3, n 2016，求二项式的值被7除的余数 .4、解：（ 1）2n128,n7.C7r 3r C7r 1 3r 1C7r 3r C7r 1 3r1 ,r 1,2,3, 4,5,6r5,6睁开式中系数最大的项为第6, 7项523x 255103x12,T7612613T6 C7 x C7 x 3x5103x .（ 2）302016282016282016C20161282015 2 ...C20162015 28 220152201628 K 22016 2转变为 22016被 7 除的余数，220168672716721 ，即余数为1。
2017-2018年江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=．2．（5分）函数f（x）=x•lnx的单调递减区间为．3．（5分）已知命题p：x＞a．命题q：﹣2＜x≤1．若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是．4．（5分）若函数f（x）=e x（sinx+cosx），则f′（x）=．5．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．6．（5分）设曲线f（x）=ax3+x在（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则实数a的值为．7．（5分）函数y=1﹣值域为．8．（5分）函数f（x）=x3﹣4x+的极大值为．9．（5分）若函数是偶函数，则a﹣b的值为．10．（5分）设函数e为自然对数的底数），则f（x）的极小值为．11．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=5x3+2xf′（1），则f′（3）=12．（5分）某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示）13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0．当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（4，5）内满足方程的实数x的值为．14．（5分）若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx．（1）当b=﹣2时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当处取得极值，求函数f（x）在[1，a]上的值域．16．（14分）已知函数f（x）=2e x+m（x+1），（m∈R），e为自然对数的底数．（1）当m=1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．17．（14分）已知全集U=R，A={x|﹣x2+3x﹣2≥0}，B={x|≥1}．（1）求集合A∩B；（2）函数f（x）=xlnx﹣ax，，对一切x∈A，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．18．（16分）已知命题p：函数f（x﹣1）=mx2﹣（2m﹣4）x+m﹣4（m∈R）．命题q：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立．（1）若函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣1]，求m的值；（2）若函数f（x）在区间上为单调增函数，且命题p∧q为真命题，求m的取值范围．19．（16分）为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB上一点（异于O、B两点），点D是圆弧上一点，且CD∥OA．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD 及圆弧处每百米均为a元．设∠AOD=x弧度，广告位出租的总收入为y元．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．20．（16分）定义可导函数y=f（x）的弹性函数为；在区间D上，若函数f（x）的弹性函数值大于1，则称f（x）在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作f（x）的弹性区间．（1）若r（x）=e x﹣x，求r（x）的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数f（x）=（x﹣1）e x+lnx（其中e为自然对数的底数），求f（x）的弹性区间D．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1}．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（5分）函数f（x）=x•lnx的单调递减区间为（0，]．【解答】解：函数的定义域为x＞0∵y′=lnx+1令lnx+1≤0得0＜x≤，∴函数y=xlnx的单调递减区间是（0，]故答案为（0，]，3．（5分）已知命题p：x＞a．命题q：﹣2＜x≤1．若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是a≤﹣2．【解答】解：命题p：x＞a．命题q：﹣2＜x≤1．由p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是a≤﹣2．故答案为：a≤﹣2．4．（5分）若函数f（x）=e x（sinx+cosx），则f′（x）=2e x cosx．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e x（sinx+cosx），则f′（x）=（e x）′（sinx+cosx）+e x（sinx+cosx）′=2e x cosx，故答案为：2e x cosx5．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为（1，2）∪（2，4]．【解答】解：由，解得1＜x≤4且x≠2．∴函数的定义域为（1，2）∪（2，4]．故答案为：（1，2）∪（2，4]．6．（5分）设曲线f（x）=ax3+x在（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则实数a的值为．【解答】解：f（x）=ax3+x的导数为f′（x）=3ax2+1，可得f（x）=ax3+x在（1，f（1））处的切线斜率为1+3a，切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，可得1+3a=2，解得a=．故答案为：．7．（5分）函数y=1﹣值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞）．【解答】解：方法一：函数y=1﹣的图象如图所述，由图象可得函数的值域：（﹣∞，1）∪[2，+∞）方法二：∵y′=，当0＜x＜1时函数单调递增，当﹣1＜x＜1时函数单调递减．故y在（﹣1，1）上的最小值为2，当x＜﹣1时，函数单调递减，当x＞1时，函数单调递增，故x→+∞时，y→1，故x→﹣∞时，y→1，综上所述函数的值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪[2，+∞）8．（5分）函数f（x）=x3﹣4x+的极大值为﹣5．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣4x+，∴f′（x）=x2﹣4=0∴x=﹣2，x=2，在（﹣∞，﹣2）上，导函数大于0，函数递增，在（﹣2，2）上，导函数小于0，函数递减，在（2，+∞）上，导函数大于0，函数递增，∴在x=2处，函数取到极大值﹣5，故答案为：﹣5．9．（5分）若函数是偶函数，则a﹣b的值为3．【解答】解：根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，若函数是偶函数，则有ax2+bx=（﹣x）2+2（﹣x），即ax2+bx=x2﹣2x，则有a=1，b=﹣2，则a﹣b=3；故答案为：310．（5分）设函数e为自然对数的底数），则f（x）的极小值为﹣2．【解答】解：∵函数e为自然对数的底数），∴x＞0，f′（x）=1+﹣=，由f′（x）=0，解得x=1或x=e，当f′（x）＞0时，0＜x＜1或x＞e，当f′（x）＜0时，1＜x＜e，∴f（x）的增区间为（0，1），（e，+∞），减区间为（1，e），∴f（x）的极小值为f（e）=e﹣1﹣e﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．11．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=5x3+2xf′（1），则f′（3）=45【解答】解：求导得：f′（x）=15x2+2f′（1），令x=1，得到f′（1）=15+2f′（1），解得：f′（1）=﹣15，∴f′（3）=15×9+2×3×（﹣15）=45，故答案为：45．12．（5分）某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示）【解答】解：设圆柱的底面半径r，高h，容积为v，则v=πr2h，即有h=，用料为S=2πr2+2πrh=2π（r2+）=2π（r2++）≥2π•3=6π•，当且仅当r2=，即r=时S最小即用料最省．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0．当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（4，5）内满足方程的实数x的值为．【解答】解：根据题意，若f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f （x）=﹣f（2﹣x）．当x∈（1，2）时，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故f（x）是以4为周期的函数．当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，f（）=log2（）=﹣1，当4＜x＜5时，有0＜x﹣4＜1，则f（x）=f（x﹣4）=log2（x﹣4），若，则有log2（x﹣4）=﹣2，解可得：x=；故答案为：．14．（5分）若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，．【解答】解：令u=f（x），则内层函数为u=f（x），外层函数为y=f（u）﹣2m．①若外层函数y=f（u）﹣2m只有一个零点，则2m＞1，得，且外层函数的零点u=u1＞e，而直线u=u1与内层函数u=f（x）的图象只有一个交点，不合乎题意！②若外层函数有两个零点，则2m≤1，得，令f（u）﹣2m=0，可得u1=2m﹣1＜0，u2=e2m＞0，显然直线u=2m﹣1与内层函数u=f（x）的图象有两个交点，则直线u=e2m与内层函数u=f（x）的图象只有一个交点，所以，e2m＞1，解得m＞0．因此，实数m的取值范围是，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx．（1）当b=﹣2时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当处取得极值，求函数f（x）在[1，a]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=x3﹣ax2﹣2x．∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣2，因为f（x）在[1，+∞）上是增函数，所以f′（x）=3x2﹣2ax﹣2≥0在区间[1，+∞）上恒成立，即2ax≤3x2﹣2，∴在区间[1，+∞）上恒成立，令，，∴g（x）在[1，+∞）上单调增函数．所以．（2）f（x）=x3﹣ax2+3x．∴f′（x）=3x2﹣2ax+3，因为处取得极值，所以=0，得出a=5．∴f′（x）=3x2﹣10x+3=（3x﹣1）（x﹣3），令．∴f（x）在[1，3]上为减函数，在[3，5]上增函数，又f（1）=﹣1，f（5）=15，f（x）max=max{f（1），f（5）}=15，f（x）min=f（3）=﹣9，所以，函数f（x）在[1，a]上的值域为[﹣9，15]．16．（14分）已知函数f（x）=2e x+m（x+1），（m∈R），e为自然对数的底数．（1）当m=1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=2e x+m（x+1）=2e x+（x+1），则f（0）=3，又由f′（x）=2e x+1，∴f′（0）=3，函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣3=3（x﹣0），即：y=3x+3；（2）根据题意，f（x）=2e x+m（x+1），则f′（x）=2e x+m，①，当m≥0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间．②，当m＜0时，令f′（x）=2e x+m＞0，∴，∴，f′（x）=2e x+m＜0，∴，∴，∴f（x）的单调增区间为，单调减区间为；综上：当m≥0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间．当m＜0时，∴f（x）的增区间为，减区间为．17．（14分）已知全集U=R，A={x|﹣x2+3x﹣2≥0}，B={x|≥1}．（1）求集合A∩B；（2）函数f（x）=xlnx﹣ax，，对一切x∈A，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|﹣x2+3x﹣2≥0}={x|1≤x≤2}，B={x|≥1}={x|﹣1≤x＜1或1＜x≤3}．∴A∩B={x|1＜x≤2}．（2）∵函数f（x）=xlnx﹣ax，，∴由f（x）≥g（x），得对一切x∈[1，2]恒成立．∴对一切x∈[1，2]恒成立．令，，∴，∴，∴．∴a≤ln，∴实数a的取值范围是（﹣∞，ln]．18．（16分）已知命题p：函数f（x﹣1）=mx2﹣（2m﹣4）x+m﹣4（m∈R）．命题q：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立．（1）若函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣1]，求m的值；（2）若函数f（x）在区间上为单调增函数，且命题p∧q为真命题，求m的取值范围．【解答】解：（1）令x﹣1=t，则x=t+1，f（t）=m（t+1）2﹣（2m﹣4）（t+1）+m ﹣4………（3分）得出f（t）=mt2+4t，所以f（x）=mx2+4x………………………（6分）∴若函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣1]，则满足，∴m=2．………………………（7分）（2）∵p∧q为真命题，∴p和q均为真命题．………………………（8分）命题p为真命题：若m=0，符合；………………………（10分）若m≠0，得m＞0，由得0＜m≤4……………………（12分）综上0≤m≤4，命题q为真命题，则判别式△=m2﹣6＜0，即﹣＜m＜…………（14分）所以，由，得0≤m＜，即实数m的取值范围是[0，）………………（16分）19．（16分）为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB上一点（异于O、B两点），点D是圆弧上一点，且CD∥OA．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD 及圆弧处每百米均为a元．设∠AOD=x弧度，广告位出租的总收入为y元．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．【解答】解：（1）因为CD∥OA，所以∠ODC=∠AOD=x弧度，在△OCD中，，，OD=2百米，由正弦定理得，…………………………（4分）得km，百米；…………………………（5分）又圆弧DB长为百米，所以=，；…………………………（7分）（2）记，则，………………（8分）令f'（x）=0，得；……………………………………………………（9分）当x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化如下表：所以f （x ）在处取得极大值，这个极大值就是最大值； 即；………………………………………………………15 答：（1），定义域为； （2）广告位出租的总收入的最大值为元．………………………（16分）20．（16分）定义可导函数y=f （x ）的弹性函数为；在区间D 上，若函数f （x ）的弹性函数值大于1，则称f （x ）在区间D 上具有弹性，相应的区间D 也称作f （x ）的弹性区间．（1）若r （x ）=e x ﹣x ，求r （x ）的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数f （x ）=（x ﹣1）e x +lnx （其中e 为自然对数的底数），求f （x ）的弹性区间D ．【解答】（本题满分16分）解：（1）r （x ）=e x ﹣x ，r ′（x ）=（e x ﹣1）•……………（1分）． ………………………（3分）令，解得x=0，所以r （x ）弹性函数的零点为x=0．………………………（5分）（2）f （x ）=（x ﹣1）e x +lnx ，函数定义域为{x|x ＞0}．因为=，f （x ）的弹性函数f ′（x ）•=＞1，……………………（8分）此不等式等价于下面两个不等式组，（Ⅰ）或（Ⅱ）．因①对应的函数就是f（x），由f′（x）＞0，所以f（x）在定义域上单调增，又f（1）=0，所以①的解为x＞1；……………………（10分）而②⇔g（x）=x2e x+1﹣[（x﹣1）e x+lnx]=（x2﹣x+1）e x+1﹣lnx＞0，g′（x）=（2x﹣1）e x+（x2﹣x+1）e x﹣=在x＞1上恒正，则g（x）在x＞1上单调递增，所以g（x）＞g（1）＞0，故②在x＞1上恒成立．于是不等式组（Ⅰ）的解为x＞1．…………………（14分）同①的解法得③的解为0＜x＜1；因为在0＜x＜1时，④左正、右负，不可能成立．故不等式组（Ⅱ）无实数解．综上，f（x）的弹性区间D=（1，+∞）．……………………（16分）。
江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (5)
【题文】
（本小题满分14分）
设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．
(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；
(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．
【答案】
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.…………2分
(1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含15个基本事件，故事件A发生
的概率为P(A)＝3
5
…………………………9分
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤5,0≤b≤4}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤4，a≥b}，概率为两者的面积之比，
所以所求的概率为P(A)＝2
5
…………………………14分
【解析】
【标题】江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题【结束】。
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江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ．2.若56n n C C =，则9n C ＝ ▲ ．（用数字作答）3.设曲线3y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ． 4．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ． 6.函数311()433f x x x =-+的极大值是 ▲ ． 7.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ．8.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则'(3)f ＝ ▲ ． 9.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答）10.已知函数3()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2g x x x ππ=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ．13. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2xy e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ．14. 已知a 为常数，函数2(0)()1ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）16．（本小题满分14分）设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．17．（本小题满分14分）已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为32. (1) 求()f x 的极值；(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围．18．（本小题满分16分）已知函数()f x ＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ．（1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,4-上的最值；（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．19．（本小题满分16分）为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域 ； （2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．第19题图BDCOAx20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷参考答案(满分160分，考试时间120分钟) 命题人：龚凯宏一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ． 答案：sin cos x x x +2.若56n n C C =，则9n C ＝ ▲ ．（用数字作答）答案：553.设曲线3y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ． 答案：134．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 答案：35．5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ． 答案：1(0,)e6.函数311()433f x x x =-+的极大值是 ▲ ． 答案：1737.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ． 答案： 498.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则'(3)f ＝ ▲ ． 答案：1059.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答） 答案：30010.已知函数3()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是▲ ． 答案：(4,3)(2,3)--11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2g x x x ππ=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ． 答案：2312.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ． 32V π15. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2xy e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ． 答案：96ln 25- 16. 已知a 为常数，函数2(0)()1ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ． 答案： 31(,1)e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）4名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）解：（1）4345A A =1440;（2）4444A A =576;（3）61156555A A A A +=3720;（4）7373A A ÷=840 。
其中（1）、（2）每题3分；（3）、（4）每题4分16．（本小题满分14分）设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，其中a ，b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a ，b ∈{1,2,3,4,5}；(2)若a 是从区间[0,5]中任取的一个数，b 是从区间[0,4]中任取的一个数． 解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .…………2分 (1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含15个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝35…………………………9分(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤4}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤5，0≤b ≤4，a ≥b }，概率为两者的面积之比， 所以所求的概率为P (A )＝25…………………………14分17．（本小题满分14分） 已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为32. (1) 求()f x 的极值；(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围．解：(1) f(x)的定义域是(－∞，2)，f ′(x)＝1x －2＋a. ………………2分由题知f′(0)＝－12＋a ＝32，所以a ＝2，所以f′(x)＝1x －2＋2＝232x x --令f′(x)＝，得x＝32. …………………………4分 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x (－∞，32) 32(32，2) f′(x) ＋0 －f(x)1所以f(x)在x ＝32处取得极大值3ln 2-，无极小值． …………………………7分(2) g(x)＝ln(2－x)＋(k ＋2)x ，g′(x)＝1x －2＋(k ＋2)， …………………………9分由题知g′(x)≥0在(－∞，1]上恒成立，即k≥12－x－2在(－∞，1]上恒成立，因为x≤1，所以2－x≥1，所以0＜12－x≤1，所以k≥－1.故实数k 的取值范围是[－1，＋∞)． …………………………14分18．（本小题满分16分）已知函数()f x ＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ．（1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,4-上的最值；（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，…………2分即过曲线C 上任意一点切线倾斜角的取值范围是3,0,42πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭…………4分 （2）()f x 的最大值为4(1)(4)3f f ==；()f x 的最小值为16(1)3f -=- …………………………9分 (3)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，…………………………12分解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． …………………………16分 19．（本小题满分16分）为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．第19题图BDCOAx【解】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =百米， 由正弦定理得2432sin 3sin()sin 33OC CD x x ===ππ- …………………………4分 得33OC x =km ，43sin()33CD x π=-百米．…………………………5分 又圆弧DB 长为2()3x π- 百米． 所以43432sin [sin()2()]3333y a x a x x ππ=⨯+⨯-+- 2(3cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，．…………………………7分 （2）记()2(3cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2(3sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-，………………8分 令()0f x '=，得6x π=． ……………………………………………10分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值． 即()2(3)66f a ππ=⨯． ………………………………………………14分答：（1）y 关于x 的函数解析式2(3cos )3y a x x x π=⨯+-+，定义域为 ： (0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为3)6a π元．………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', …………………………2分 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.…………………………4分 (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a…………………………7分 )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- x(0)6π， 6π ()63ππ， ()f x '＋ 0 － ()f x递增极大值递减百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-=21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x x x x F ， 所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F 即2ln 223)()(21-≥-x f x f . …………………………10分(3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ， 所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，………………………12分 令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，k a a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在k a --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.………………………16分。