三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总
高一正弦、余弦、正切函数的图像与性质复习课
2.设函数f(x)＝sin(2x－ )，x∈R，则f(x)是 ( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数
D.最小正周期为 的偶函数
练习 3.函数y＝sin(2x＋ )的图象 ()
A.关于点( ,0)对称 B.关于直线x＝
对称
C.关于点( ,0)对称 D.关于直线x＝ 对称
对称中心 ( ，0)， k∈Z
无
2π
πቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求下列函数的定义域：
变式：求函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域.
已知函数f(x)＝log2[
(2x－ )].
(1)求函数的定义域；
(2)求满足f(x)＝0的x的取值范围；
(3)求函数f(x)的单调递减区间. 变式：求函数y＝sin ( －2x)，x∈[-π,π]的单调减区间.
例 3. 求函数 y sin x tan x 在[ , ]上最大值和最小值.
44
例 4. 求函数 y 3 tan x 的定义域和值域.
例
5.已知函数
f
(x)
tan(
2x) .
3
⑴求函数的单调区间；
⑵求函数图象在 x (0, 2 ) 上的对称点坐标.
例 6.已知函数 f ( x) tan( x )( 0)
ymin＝－1(k∈Z)
x＝2kπ 时 ， yXm＝aπx＝＋12(kkπ∈Z时)；， ymin＝－1(k∈Z)
无最值
函数 奇偶
性
对称 性
周期 性
y＝sinx 奇
y＝cosx 偶
y＝tanx 奇
对称中心 (kπ，0)，k∈Z
对称轴l： x＝kπ＋ ，
艺术生高考数学专题讲义：考点17 三角函数的图象和性质
考点十七 三角函数的图象和性质知识梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质2．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．3. 三角函数的周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期均为2k π，k ∈Z ，最小正周期均为2π；正切函数也是周期函数，周期为k π，k ∈Z ，最小正周期为π．典例剖析题型一 三角函数的定义域和值域 例1 函数y ＝cos x －32的定义域为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) 解析 ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 变式训练 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z解析 要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示． 结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .例2 (1) 函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．(2) 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________. 答案 (1) [1，2] (2) －22解析 (1) 根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.(2) ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，令y ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin y 在y ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22. 变式训练 求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫||x ≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 解题要点 1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域；(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，通过换元，令t ＝sin x (或t ＝cos x )，转换成二次函数求值域；(4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系通过换元，令t =sin x +cos x ,转换成二次函数求值域． 题型二 三角函数的单调性例3 (1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________． (2) 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是____________________． 答案 (1) ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) (2) ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) 解析 (1)由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2) 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).变式训练 若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满足． 解题要点 1.求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；2.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 题型三 三角函数的周期性例4 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________． 答案 4π解析 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的最小正周期为T ＝2π12＝4π. 当堂练习1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 答案 －22解析 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )取得最小值－22. 2．如果函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为________．答案 12解析 T ＝π6，ω＝2πT ＝12．3. 函数y ＝cos x －12的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z 解析 ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .4．y ＝sin(x －π4)的图象的一个对称中心是________．答案 (－3π4，0)解析 令x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，于是(－3π4，0)是y ＝sin(x －π4)的图象的一个对称中心.5．函数f (x )＝cos(2x ＋3π2)(x ∈R )，下面结论不正确的是________．(填序号)① 函数f (x )的最小正周期为π ② 函数f (x )的对称中心是(π2，0)③ 函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称④ 函数f (x )是偶函数 答案 ④解析 ∵f (x )＝cos(2x ＋3π2)＝sin2x (x ∈R )，∴最小正周期T ＝2π2＝π，选项①正确；由2x ＝k π得x ＝k π2，k ∈Z ，∴函数f (x )的对称中心为(k π2，0)，∴取k ＝1得选项②正确；由2x ＝k π＋π2得x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，∴取k ＝0得函数f (x )的对称轴为x ＝π4，∴选项③正确；∵f (x )＝sin2x (x ∈R )，∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数， ∴选项④不正确．课后作业一、 填空题1．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π]) 是偶函数，则φ＝________．答案3π2解析 ∵f (x )为偶函数，关于y 轴对称，x ＝0为其对称轴． ∴x ＋φ3＝π2＋k π，令x ＝0，φ＝3k π＋32π，当k ＝0时，φ＝32π．2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________． 答案 π6解析 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.3．函数y ＝cos 2x ，周期为_____，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是________（填“增函数”或“减函数”）． 答案 π，减函数解析 因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为减函数. 4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).5．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________． 答案 π4解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54π－14π＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，f ⎝⎛⎭⎫5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋φ＝±1.∵0＜φ＜π，∴π4＜φ＋π4＜54π，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 答案 －22解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.7．(2015四川文)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是________．(填序号) ①y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ③y ＝sin 2x ＋cos 2x ④y ＝sin x ＋cos x 答案 ②解析 ①项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； ②项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； ③项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意； ④项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意． 8．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 9．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．答案 π 解析 T ＝2π2＝π.10．函数f (x )＝cos(2x －π4)＋3在[－π2，π2]上的单调递减区间为________．答案 [－π2，－3π8]∪[π8，π2]解析 由2k π≤2x －π4≤2k π＋π得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∵x ∈[－π2，π2]，∴取k ＝0得f (x )在[－π2，π2]上的单调递减区间为[π8，π2]；取k ＝－1得f (x )在[－π2，π2]上的单调递减区间为[－π2，－3π8]．∴f (x )在[－π2，π2]上的单调递减区间为[－π2，－3π8]和[π8，π2]． 11．函数y ＝sin(x ＋π4)的对称中心为________．答案 (k π－π4，0)，k ∈Z二、解答题12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解析 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．13．(2015北京文)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。
三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总
三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总(共8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：（1）定义域：都是R 。
（2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。
例：（1）若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21-，则=a __，=b ＿（答：1,12a b ==或1b =-）；z)(k k 223.k 22∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πππz)(k 43k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππz)(k 4k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。
（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。
例：(1)若3sin)(xx f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0）；⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ）A.cos 4y x =B.sin 2y x =C.sin 2x y =D.cos 4xy =（4）奇偶性与对称性：1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
千里之行，始于足下。
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结三角函数及反三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质是我们学习和理解这些函数的基础。
下面是关于三角函数及反三角函数图像性质的知识点总结。
一、正弦函数的图像性质：1. 定义域：正弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：正弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像重复出现。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
5. 对称轴：正弦函数的对称轴是y轴。
6. 最值点：正弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的整数倍。
二、余弦函数的图像性质：1. 定义域：余弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：余弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个周期内，余弦函数的图像重复出现。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
5. 对称轴：余弦函数的对称轴是x轴。
6. 最值点：余弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的半整数倍。
三、正切函数的图像性质：1. 定义域：正切函数的定义域为全体实数，除了临界点kπ（k为整数）。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2. 值域：正切函数的值域为全体实数。
3. 周期性：正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的图像重复出现。
4. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是x=kπ+π/2（k为整数）和x=kπ（k为整数）。
6. 最值点：正切函数没有最值点。
四、反正弦函数的图像性质：1. 定义域：反正弦函数的定义域为闭区间[-1,1]。
2. 值域：反正弦函数的值域为闭区间[-π/2,π/2]。
3. 奇偶性：反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。
4. 递增性：反正弦函数在定义域内是递增的。
第4讲 正余弦函数图像及其性质(知识点串讲)解析版
第4讲 正余弦函数图像及其性质 （沪教版2020必修二）【知识网格】知识梳理一1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π)0,(π )1,23(-π )0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知：（1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称 （4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ； （5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）； （7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2 注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ （6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
三角函数的图像与性质(名师经典总结)
三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
2020年高考数学专题复习三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质2.周期函数的定义对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期；函数y＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|. 3．对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 在第一、二象限内是减函数．( ) (2)若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值是k ＋1.( )(3)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( ) (4)函数y ＝sin x 图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )(5)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×函数y ＝tan 3x 的定义域为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z解析：选D.由3x ≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .故选D.(2019·温州市十校联合体期初)下列函数中，最小正周期为π的是( ) A ．y ＝cos 4x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x4解析：选B.A.y ＝cos 4x 的周期T ＝2π4＝π2，本选项错误；B.y ＝sin 2x 的周期T ＝2π2＝π，本选项正确；C.y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π，本选项错误；D.y ＝cos x4的周期为T＝2π14＝8π，本选项错误，则最小正周期为π的函数为y ＝sin 2x. (2019·金华十校联考)函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________．解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：53π4＋2k π(k ∈Z) 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]的减区间为________．解析：当2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π三角函数的定义域和值域(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________．【解析】 (1)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.(2)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z .即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z .【答案】 (1)1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域；③(换元法)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；④(换元法)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析：选B.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈[－32，3]，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.2．(2019·温州市十校联合体期初)已知函数f (x )＝2cos x ·(sin x －cos x )，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________，f (x )的最大值是________． 解析：f (x )＝2cos x (sin x －cos x ) ＝2cos x sin x －2cos 2x ＝sin 2x －1－cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1. 当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π4－1＝0.由正弦函数的图象和性质可得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最大值为1.所以f (x )的最大值为2－1. 答案：02－1三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度为中档题．主要命题角度有：(1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数； (3)利用三角函数的单调性比较大小；(4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．(见本节例1(1)及跟踪训练T1)角度一 求已知三角函数的单调区间(2017·高考浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．角度二 已知三角函数的单调区间求参数函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，则常数φ的值可能是( )A ．0B ．π2C ．πD ．3π2【解析】 法一：结合选项，当φ分别取选项中的值时，A ：f (x )＝sin x ；B ：f (x )＝cos x ；C ：f (x )＝－sin x ；D ：f (x )＝－cos x ．验证得D 选项正确．法二：⎝⎛⎭⎪⎫π3，2π3⊆f (x )的递增区间，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－φ＋2k π，π2－φ＋2k π，⇒－5π6＋2k π≤φ≤－π6＋2k π(k ∈Z )，k ＝0，选项中无值符合；k ＝1，7π6≤φ≤11π6，φ＝3π2符合； k ＝2，19π6≤φ≤23π6，选项中无值符合．可知φ的可取值逐渐增大，故只有D 选项符合题意．【答案】 D角度三 利用三角函数的单调性比较大小已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin 1021π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上递增，所以c <a <b .【答案】 B(1)求三角函数单调区间的两种方法①代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．②图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．(2)利用单调性确定ω的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．(3)利用单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．1．(2019·浙江宁波质检)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪[6，＋∞)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：选D.当ω>0时，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，由题意知π4ω≤－π2，所以ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(]－∞，－2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ( )A ．－1B ．－22C ．22D ．0解析：选B.由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin(2x －π4)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． 解析：(同增异减法)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )三角函数的奇偶性、周期性及对称性(1)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关(2)已知ω>0，f (x )＝1＋tan ωx 1－tan ωx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则ω的最小值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2(3)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 【解析】 (1)由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.(2)因为f (x )＝1＋tan ωx 1－tan ωx ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3＋π4， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋tan ⎝ ⎛ω2π3－ωx ＋ωπ3＋⎭⎪⎫π4＝0， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ－π4，所以π4＝－ωπ－π4＋k π，(k ∈Z )，ω＝－12＋k ，(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝1时，ω取最小值为12，故选A.(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增． 【答案】 (1)B (2)A (3)D三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．[提醒] 对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．1．(2019·舟山市普陀三中高三期中)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4， 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋φ＋π4－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋φ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4，所以－2x ＋φ＋π4＝2x ＋φ＋π4＋2k π，或－2x ＋φ＋π4＋2x ＋φ＋π4＝π＋k π，即x ＝－k π2，k ∈Z (舍)或φ＝π4＋k π2，k ∈Z . 因为|φ|<π2，所以φ＝π4.2．(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f (x )＝sin 2x ·(1－2sin 2x )＋1，则f (x )的最小正周期T ＝________，f (T )＝________．解析：由题意得，f (x )＝sin 2x cos 2x ＋1＝12sin 4x ＋1，所以最小正周期T ＝2π4＝π2，f (T )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.答案：π213．已知函数f (x )＝sin x 的图象与直线kx －y －k π＝0(k >0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3，则tan （x 2－x 3）x 1－x 3＝________．解析：如图所示，易知x 2＝π，x 1＋x 3＝2x 2＝2π，则k ＝sin x 3－0x 3－x 2＝sin x 312（x 3－x 1），又直线与y ＝sin x 相切于点A (x 3，sin x 3)， 则k ＝cos x 3， 则sin x 312（x 3－x 1）＝cos x 3⇒tan （x 2－x 3）x 1－x 3＝tan x 3x 3－x 1＝12，故答案为12.答案：12奇偶性对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k π2(k∈Z )．函数图象的对称中心、对称轴(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是先把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据y ＝sin x 和y ＝cos x 图象的对称轴或对称中心进行求解． (2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.易错防范(1)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0时的情况，避免出现增减区间的混淆．[基础达标]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)函数y ＝sin(ωx ＋π6)在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选D.由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y ＝sin|x |，y ＝cos|x |，y ＝|tanx |，y ＝－ln|sin x |，以π为周期，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D.A.y ＝sin|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故A 错误；B.y ＝cos|x |＝cos x 周期为T ＝2π，故B 错误；C.y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故C 错误；D.f (x ＋π)＝－ln|sin(x ＋π)|＝－ln|sin x |，周期为π，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ln(sin x )是在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减的偶函数，故D 正确，故选D.4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D.5．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B.易知函数y ＝sin x 的单调区间为 [k π＋π2，k π＋3π2]，k ∈Z ，由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z ，因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π3ω≤π，k π＋4π3ω≥2π，k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋23，k ∈Z ，由k ＋13≤k 2＋23，得k ≤23，当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23.故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6解析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A.7．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z8．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.答案：729．(2019·温州市高中模考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，则b －a 的最大值和最小值之差等于________．解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32且b －a 最大；当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，且b －a 最小，所以最大值与最小值之差为(b －a 1)－(b －a 2)＝a 2－a 1＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝5π6.答案：5π610．(2019·杭州学军中学质检)已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.答案：[3，＋∞)11．(2019·杭州市名校协作体高三下学期考试)已知0≤φ＜π，函数f (x )＝32cos(2x ＋φ)＋sin 2x .(1)若φ＝π6，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的最大值是32，求φ的值．解：(1)由题意f (x )＝14cos 2x －34sin 2x ＋12＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，得k π－2π3≤x ≤k π－π6.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z .(2)由题意f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－12cos 2x －32sin φsin 2x ＋12，由于函数f (x )的最大值为32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin φ2＝1，从而cos φ＝0，又0≤φ＜π，故φ＝π2.12．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间．解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，由T ＝2πω＝π，所以ω＝2，由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z . 由π12＝k π2＋π4－φ2，得φ＝k π＋π3. 又|φ|≤π2，则φ＝π3.(2)函数g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋sin 2x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .[能力提升]1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，则必有( )A ．α2＜β2B ．α2＞β2C ．α＜βD ．α＞β解析：选B.α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y ＝x sin x 为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B.2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D. 3．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22在区间[0，22]的零点个数为________．解析：由题意得φ＝π3，且当x ＝π6时，函数f (x )取到最大值，故π6ω＋π3＝π2＋2kπ，k ∈Z ，解得ω＝1＋12k ，k ∈N ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22＝sin x －22的零点个数是8个． 答案：1＋12k (k ∈N ) 84．(2019·金华市东阳二中高三调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1(ω>0)，直线y ＝3与函数f (x )图象相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫B2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1＝sin ωx cos π6－cos ωx sin π6－2·1＋cos ωx2＋1＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f (x )的最大值为3，所以f (x )的最小正周期为π， 所以ω＝2.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝0⇒B ＝π3，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－92ac ＝12，所以ac ＝a 2＋c 2－9≥2ac －9，ac ≤9， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤934.故△ABC 面积的最大值为934.5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
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一、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：（1）定义域：都是R 。
（2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。
例：（1）若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21-，则=a __，=b ＿（答：,12a b ==或1b =-）；⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。
（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。
例：(1)若3sin)(xx f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0）； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ）A.cos 4y x =B.sin 2y x =C.sin 2x y =D.cos 4xy =（4）奇偶性与对称性：1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。
例：（1）函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；（5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。
特别提醒，别忘了k Z ∈！⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）z)(k k 223.k 22∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πππz)(k 43k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππz)(k 4k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππA. B. C. []z)(k k 23,k 2∈+ππππ＋ D.（5）研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。
如（1）函数23y sin(x )π=-+的递减区间是______（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）；（2）1234x y log cos()π=+的递减区间是_______（答：336644[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）；（3）函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
⑴ 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：1(1)sin ;2x ≥ 15(2)cos ,(0).22x x π≤<<⑵. 用五点法作函数2cos(),[0,2]3y x x ππ=+∈的简图.6.形如sin()y A x ωϕ=+的函数：v1.0 可编辑可修改（1）几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+―相位；ϕ―初相； （2）函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，例1、已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b 为常数)的 一段图象(如图)所示. ①求函数的解析式； ②求这个函数的单调区间.2.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
3.函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象； ③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位， 例：（1）函数2sin(2)14y x π=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2xy =的图象向___平移____个单位课堂练习：1、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x 轴向左平移4π个单位,这样得到的曲线与y=3sinx 的图象相同, 那么y=f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)=3sin(42π-x ) B ．f(x)=3sin(2x+4π) C ．f(x)=3sin(42π+x ) D ．f(x)=3sin(2x －4π)2．(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =（3）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 （答：）（3）设函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线32π=x 对称，它的周期是π，则A 、)21,0()(的图象过点x fB 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数C 、)0,125()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A（4）对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。
其中正确结论是_______四、正切函数tan y x =的图象和性质：（1）定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈。
遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。
绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。
如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数。
但要注意在整个定义域上不具有单调性。
如下图：课后作业：一、选择题：1、函数3sin(2)6y x π=+的单调递减区间是 （ ）A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 2、已知函数)cos()(,2sin )(x x g x x f -=+=ππ，则 （ ）A ．()f x 与()g x 都是奇函数B ．()f x 与()g x 都是偶函数C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数3、若函数y=2sin(8x+θ)+1的图象关于直线6x π=对称，则θ的值为（ ）A ．0B ．2π C ．k π(k ∈Z) D ．k π+6π（k ∈Z ） 4、函数sin 2xy =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π45、函数)23cos(x y -=π的单调递减区间是（ ）6、已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是（ ）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数7、函数)292cos(π-=x y 是（ ）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 二、填空题： 7、已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A = ． 8、函数f(x)=11-8cosx-2sin 2x 的最大值是______． 9、函数函数)sin 21lg(x y -=的定义域是 ．10、若3π=x 是方程1)cos(2=+αx 的解,其中)2,0(πα∈,则α=11、已知函数1x sin b ax )x (f 3++=（a 、b 为常数），且f(5)=7，则f(-5)= ____. 12、给出下列命题：①函数)x 225sin(y -π=是偶函数; ②方程8x π=是函数)45x 2sin(y π+=的图象的一条对称轴方程;③若α、β是第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中正确命题的序号是 .（填序号）三．解答题： 13．已知 ，求证： ．14．若 ，求 的值．15、设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ,给出三个论断:○1它的图象关于8π=x 对称;○2它的最小正周期为π;○3它在区间]83,4[ππ上的最大值为22.以其中的两个论断作为条件,另一个作为结论,试写出你认为正确的一个命题并给予证明.16、已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数.求ωϕ和的。