三角函数——正弦余弦正切
三角函数公式(最全)
3a
cos3a =cos(2a+a) =cos^2acosa-sin^2asina =( 2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a3cosa
sin3 a =3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =
4sina[( √3/2)-sina][( √3/2)+sina] =4sina(系
2 、商数关系
3 、平方关系 2
1、设 α为为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 2、设 α为为任意角， π+ α与 α的三角函数值之间的关系： 3、设 α为为任意角， — α与α的三角函数值之间的关系： 4、设 α为为任意角， π—α与α的三角函数值之间的关系： 5、设 α为为任意角， 2π—α与α的三角函数值之间的关系：
x7/(2*4*6*7)
…… ∈],(x-1,1)
arctan x = x - x3/3 + x5/5 -
∈(- ∞,1…) , x
sinh x = x+x3/3!+x^/5!+
… +x2k-1/(2k-1)!+ ∈ R … , x
cosh x = 1+x2/2!+x^4/4!+
… +x2k/(2k)!+∈ R … , x
tan( α+β+γ)=(tan α+tan β+tan γ-tan α· tanβ· tanγ) ÷ (1tan α· tanβ-tan β· tanγ-tan γ· tanα)
5 、幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=
正弦余弦正切公式
正弦余弦正切公式正弦、余弦、正切是三角函数中的基本函数，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
正弦函数描述了一个角的边与角度之间的关系，余弦函数描述了一个角的邻边与斜边之间的关系，而正切函数描述了一个角的对边与邻边之间的关系。
首先，我们来了解正弦函数。
正弦函数可表示为sin(x)，其中x为角度。
在一个单位圆上，将角度x绘制到与x坐标轴的正向方向相同的地方，然后从原点向该点引出一条线段，这个线段就是角度为x的角的正弦值。
具体地表达为：sin(x) = y / r其中y表示角度为x的角所对边的长度，r表示单位圆的半径。
该公式说明了正弦函数是一个周期为360°（或2π弧度）的函数，其值在-1到1之间变化。
接下来，我们来看看余弦函数。
余弦函数可表示为cos(x)，其中x 为角度。
同样地，在一个单位圆上，将角度x绘制到与x坐标轴的正向方向相同的地方，然后从原点向该点引出一条线段，这个线段就是角度为x 的角的余弦值。
具体地表达为：cos(x) = x / r其中x表示角度为x的角所邻边的长度，r表示单位圆的半径。
和正弦函数一样，余弦函数也是一个周期为360°（或2π弧度）的函数，其值在-1到1之间变化。
最后，我们来介绍正切函数。
正切函数可表示为tan(x)，其中x为角度。
同样地，在一个单位圆上，将角度x绘制到与x坐标轴的正向方向相同的地方，然后从原点向该点引出一条线段，这个线段就是角度为x的角的正切值。
具体地表达为：tan(x) = y / x其中y表示角度为x的角所对边的长度，x表示角度为x的角所邻边的长度。
正切函数不像正弦和余弦函数那样具有周期性，它的值在整个数轴上变化。
除了在单位圆上的定义，这些三角函数还可以通过泰勒展开等方法来进行数值计算。
在泰勒展开中，正弦、余弦和正切函数都可以表示为无限级数的形式。
以正弦函数为例，其泰勒展开公式为：sin(x) = x - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) - (x^7 / 7!) + ...其中^表示乘方运算，!表示阶乘运算。
余弦正弦正切大小关系
余弦正弦正切大小关系正弦余弦正切的关系：sinA/cosA=tanA，三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
正弦；在直角三角形中，任意一锐角∠a的对边与斜边的比叫做角a的正弦；余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠a的邻边与斜边的比叫做角a的余弦；正切：在直角三角形中，任意一锐角∠a的对边与邻边的比叫做角a的正切；余切：在直角三角形中，任意一锐角∠a的邻边与对边的比叫做角a的余切。
关系：在直角三角形中，任意一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值；任意一个角的正弦值与余弦值的积为一。
正弦余弦正切余切九大关系公式：三角函数公式：正弦（sin）：角α的对边比上斜边。
余弦（cos）：角α的邻边比上斜边。
正切（tan）：角α的对边比上邻边。
余切（cot）：角α的邻边比上对边。
正割（sec）：角α的斜边比上邻边。
余割（csc）：角α的斜边比上对边。
同角三角函数：平方关系：sin^2(α）＋cos^2(α）＝1。
tan^2(α）＋1=sec^2(α）。
cot^2(α）＋1=csc^2(α）。
积的关系：sinα＝tanαcosαcosα＝cotαsinα。
tanα＝sinαsecαcotα＝cosαcscα。
secα＝tanαcscαcscα＝secαcotα。
正弦余弦正切函数
正切函数的图像没有水平渐近线，但在x=0处有垂直渐近线。
正切函数在x=0处取得极小值，无极大值。
图像形状
渐近线
极值点
应用领域
三种函数的比较
04
一个角的正弦等于它的对边与斜边的比。
定义的比较
正弦函数
一个角的余弦等于它的邻边与斜边的比。
余弦函数
一个角的正切等于它的对边与邻边的比。
正切函数
以原点为对称中心，左右对称，周期为2π，在区间[0,2π]上反复出现。
三角函数的起源与早期发展
现代发展
随着微积分和现代数学的发展，三角函数被广泛应用于各个领域，包括工程、物理、金融等。
应用领域
三角函数在求解振动问题、波动问题、电磁场问题等方面发挥了重要作用，同时也是处理信号和图像处理的重要工具之一。
三角函数的现代发展与应用
随着科技的不断进步，三角函数在大数据分析、人工智能、机器学习等领域的应用将更加广泛。
性质
图像特征与性质
物理
01
余弦函数在物理学中有广泛的应用，例如振动的描述、电磁波的传播、声音的波动等。
应用领域
工程
02
余弦函数也被广泛应用于工程领域，例如机械振动、结构设计、信号处理等。
数学
03
余弦函数是解决各种数学问题的基本工具之一，例如求解方程、优化问题、概率统计等。
正切函数
03
定义
周期性
正弦函数图像
以原点为对称中心，左右对称，周期为2π，在区间[0,2π]上反复出现。
余弦函数图像
在第一象限和第三象限以原点为对称中心，左右对称，周期为π，在区间[0,π/2]和[π/2,π]上反复出现。
正切函数图像
图像的比较
三角函数——正弦余弦正切
一、锐角三角函数——正弦、余弦、正切一、新课教学（一）、认识正弦、余弦、正切1、认识角的对边、邻边。
（2分钟）如图，在Rt △ABC 中，∠A 所对的边BC ，我们称为∠A 的对边；∠A 所在的直角边AC ，我们称为∠A 的邻边。
2、认识正弦、余弦、正切如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。
记作sinA 。
sinA ＝A a A c ∠=∠的对边的斜边、cosA=斜边邻边A ∠、tanA=对边邻边注意：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体； 2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
3、尝试练习：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和tanB 的值．（二）探究：（1）一个锐角的正弦值与边的长短无关，与锐角的大小有关；锐角越大，正弦值越大，反之亦然。
（2）下面我们来验证一下吧！观察图中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系 分析：由图可知Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3，所以有：k AB C B AB C B AB C B ===333222111，即sinA=k 可见，在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦值与边的长短无关，而与∠A 的度数大小有关。
也即是对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.(1)CB 4319.3.2CB（三）例题教学：【例1】在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=12，则tanB=______;（•2）•若cosA=45，则tanB=______．例2、在△ABC中，∠C为直角。
数学正切正弦余弦公式
数学正切正弦余弦公式
我们要了解数学中的正切、正弦和余弦公式。
首先，我们需要知道这些三角函数的基本定义。
正弦（sin）是直角三角形中，对边与斜边的比值。
余弦（cos）是直角三角形中，邻边与斜边的比值。
正切（tan）是直角三角形中，对边与邻边的比值。
正弦、余弦和正切之间的关系可以用以下公式表示：
1. 正弦的平方加上余弦的平方等于1，即：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
2. 正切等于正弦除以余弦，即：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
3. 正弦等于余切的倒数，即：sin(θ) = 1 / tan(θ)
4. 余弦等于正切的倒数，即：cos(θ) = 1 / tan(θ)
这些公式是三角函数的基础，它们在解决各种数学问题中非常有用。
正弦、余弦、正切：三角函数
正弦、余弦、正切：三角函数三角函数是数学中常见的函数，主要涉及正弦（sine）、余弦（cosine）和正切（tangent）三个函数。
这些函数在解决几何和物理问题中具有重要的应用。
本文将介绍正弦、余弦和正切函数的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是一个周期性函数，其定义如下：sin(x) = \frac{opposite}{hypotenuse} = \frac{y}{r}其中，x 是一个角度，y 是该角度对应的直角三角形中的对边，而 r 则是该直角三角形的斜边。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，其振幅为 1，周期为2π。
在数学和物理领域中，正弦函数常用于描述波动、周期性等现象。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数也是一个周期性函数，其定义如下：cos(x) = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{x}{r}与正弦函数相似，x 为一个角度，而 r 是对应直角三角形的斜边，而 x 则是该直角三角形中的邻边。
余弦函数的图像是一条连续的波浪线，其振幅同样为 1，周期也为2π。
在几何和物理学中，余弦函数常用于描述旋转、震动等周期性现象。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种常见形式，其定义如下：tan(x) = \frac{opposite}{adjacent} = \frac{y}{x}在直角三角形中，对于给定的角度 x，正切函数可用来表示直角三角形中对边与邻边的比值。
正切函数的图像是一条连续的波动曲线，没有周期性。
正切函数在几何和物理学中经常应用于描述斜率、角度等性质。
综上所述，正弦、余弦和正切是三角函数的重要组成部分。
它们在数学、几何学和物理学中都具有广泛的应用。
正弦函数描述了波动的特征，余弦函数则描述了旋转和震动的特征，而正切函数则描述了斜率和角度的特征。
三角函数公式(最全)
正弦定理变形可得：
五、其他公式
2、余弦定理
对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC， 有：
3、降幂公式
sin²α=[1-cos(2α)]/2 cos²α=[1+cos(2α)]/2 tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
4、三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R
arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2* 4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表 示双阶乘）
1
一、定义公式
三角函数公式
锐角三角函数 任意角三角函数
正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc）
1、倒数关系
二、函数关系
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一、锐角三角函数——正弦、余弦、正切
一、新课教学 （一）、认识正弦、余弦、正切 1、认识角的对边、邻边。
（2分钟）
如图，在Rt △ABC 中，∠A 所对的边BC ，我们称为∠A 的对边；∠A 所在的直角边AC ，我们称为∠A 的邻边。
2、认识正弦、余弦、正切
如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。
记作sinA 。
sinA ＝
A a A c ∠=∠的对边的斜边、cosA=斜边邻边A ∠、tanA=对边
邻边
注意：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体；
2
、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
3、尝试练习：
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和tanB 的值．
（二）探究：（1）一个锐角的正弦值与边的长短无关，与锐角的大小有关；锐角越大，正弦值越大，反之亦然。
（2）下面我们来验证一下吧！
观察图中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系？ 分析：由图可知Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3， 所以有：
k AB C B AB C B AB C B ===3
3
3222111，即sinA=k 可见，在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦值与边的长短无关，而与∠A 的度数大
小有关。
也即是对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.
（三）例题教学：
【例1】在△ABC 中，∠C=90°． （1）若cosA=
12，则tanB=______;（•2）•若cosA=4
5
，则tanB=______． 例2、在△ABC 中，∠C 为直角。
（1）已知AC=3，AB=14，求sinA 的值． （2）已知sinB=5
4,求sinA 的值．
解：（1）如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得：()
531422
=-=
BC ，∴14
7014
5sin ==
=AB
BC A ；
（2）∵sinB=5
4=AB AC ，故设AC=4k ，则AB=5k,根据勾股定理可得：BC=3k ，所以：sinA=53
(1)
C B
A 4
319.3.2
A C
B
A
C
B
2 / 4
A B
C
D 小结：①求正弦值或运用正弦值求线段时，要根据正弦的概念，找准相应的边，不能张冠李戴．②正弦值只是一个比值，不能直接当作边长用。
锐角三角函数的定义和性质 【例3】（1）已知：cos α=
2
3
，则锐角α的取值范围是（ ） A ．0°<α<30° B ．45°<α<60° C ．30°<α<45° D ．60°<α<90° （2）（2006年潜江市）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（ ） A ．tan θ>cos θ>sin θ B ．sin θ>cos θ>tan θ C ．tan θ>sin θ>cos θ D ．cot θ>sin θ>cos θ
【例4】（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC ∠的平分线，∠CAB=60°，•CD=3，BD=23，求AC ，AB 的长．
（2）（2005年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC ，•有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？
（3）某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∠A=60°，AB=200m ，CD=100m ，•求AD 、BC 的长．
【点评】设法补成含60°的直角三角形再求解． 三、巩固练习： 1．﹙2006海南﹚三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是 。
A ．4
3 B ．3
4 C ．5
3 D ．5
4
2．（2005厦门市）如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o
，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43
3．﹙2006黑龙江﹚ 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2
3，则边AC 的长是( )
A ．13
B ．3
C ．4
3
D ． 5
4．（2005年上海市）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ） A ．sinB=
23 B ．cosB=23 C ．tanB=23 D ．tanB=32
5．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（
32，12） B ．（-32，12）C ．（-32，-12）D ．（-12，-32
） 6．﹙2006成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC= 5 ，
BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）
C
B
A
A ．5
3B．2
3
C ．25
5
D．5
2
7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．
则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
8．（2005年沈阳市）在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．9．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________．
10．（2005年辽宁省）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．
11．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．
12.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）A．B．C．D．
13. 在中，∠C＝90°，如果那么的值为（）
A．B．C．D．
15.如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos＝_____________. 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值( )．
A.扩大2倍
B.缩小2倍
C.扩大4倍
D.没有变化
16.(1)如图(1), 在中，,,,求的度
数.
17．在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC
的长．
18．在△ABC中，∠A、∠B为锐角且sinA=1
2
，cosB=
3
2
，试判断△ABC的形状？
3 / 4
4 / 4
19．（2007）如图，A B ，两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A C B --行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知10km AC =，30A ∠=，45B ∠=，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km ）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）
20．（2006年金华市）如图所示，设A 城气象台测得台风中心在A•城正西方向600km 的B 处，正以每小时200km 的速度沿北偏东60°的BF 方向移动，距台风中心500km•的范围内是否受台风影响的区域． （1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风的影响有多长时间？
21.（2006重庆）如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BCD=90︒
，且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.
⑴求证：DC=BC ；
⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论； ⑶在⑵的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135︒
时，求sin ∠BFE 的值。
E
B
F
C
D A。