高中数学 三角函数：正弦、余弦、正切

三角函数：正弦、余弦、正切
(一)复习指导
1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等) 3．理解正切函数在区间)2
π
,2π(-
的单调性． (二)基础知识
1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，
3,,
,22
2
π
π
ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22x k k Z π
π=+
∈时，y 取最大值1；
当()
322
x k k Z π
π=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取
最小值－1。

（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和
()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||
T πω=。

（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线
()2x k k Z π
π=+
∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π
π⎛⎫
+
∈ ⎪⎝
⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴
的交点）。

（5）单调性：
()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦单调递减；
cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。

特别提醒，别
忘了k Z ∈！
3、正切函数tan y x =的图象和性质：
（1）定义域：{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈。

遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。

绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。

如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =
cos x +的周期为
2
π
，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02
k π⎛⎫
⎪⎝⎭
()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不
同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
内都是增函数。

但要注意在整个定义域上不
具有单调性。

如下图：
注意：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
内都是增函数。

但要注意在整个定义域上不具有单调性。

例1．用五点法画出函数)3
sin(+=x y 草图，并求出函数的周期，单调区间，对称轴，对称中心．
例2．求函数)6
π
2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域．
例3．求下列函数的值域． (1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．
例4．求函数x
x
y cos 3sin 1--=的值域．
例题解析
例1解：
3
π+
x 0
2
π π
2
π3 2π
x 3π-
6π 3π2 6π7 3π5 y
1
－1
周期为T =2π，
单调增区间为,),6π
π2,6π5π2(Z ∈+-
k k k 单调减区间为,),6π
7π2,6ππ2(Z ∈++k k k
对称轴为,,6π
πZ ∈+=k k x
对称中心为.),0,3
π
π(Z ∈-k k
小结：画图的时候，要注意五个点的选取．
例2分析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与x 有关的代数式的取值范围求出来，然后利用三角函数图象求其值域．
解：因为0≤x ≤2π，所以,6
π76π26π,π20≤+≤≤≤
x x 由正弦函数的图象， 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈[－1，2]．
例3解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3， 令t =cos x ，则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[222
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=
，)4
π
sin(+x ，则
]2,2[-∈t 则，,12--=t t y
利用二次函数的图象得到].21,4
5
[+-
∈y 小结：利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转化后自变量的取值范围．
例4解：设A (3，1)，P (cos x ，sin x )，
把y 看成定点A 与动点P 所在直线的斜率， 因为动点P (cos x ，sin x )在单位圆上，
所以只要求经过点A (3，1)与单位圆相切的两条直线的斜率，
两条切线的斜率分别为0和,4
3 所以].4
3,0[ y
小结：这是数形结合解题的一个典型问题．。