沪科版-数学-八年级上册-一次函数易错点分析
12.2 一次函数(课件)沪科版数学八年级上册
例 5 在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象： (1)y1＝2x－1；(2)y2＝2x；(3)y3＝2x＋2 . 然后观察图象，你能得到什么结论？ 解题秘方：按“两点法”的作图步骤作图.
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解：列表如下：
x 0 0.5 y1 －1 0
x01 y2 0 2 x 0 －1 y3 2 0
2. 正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函
数y＝kx(k ≠ 0)的图象. 一般地，过原点和点(1，k)的直线， 即为正比例函数y＝kx(k ≠ 0)的图象.
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知2－讲
特别提醒 正比例函数y＝kx(k ≠ 0)中，|k|越大，直线与x轴相交
所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所 成的锐角越小，直线越缓.
描点、连线，即可得到它们 的图象，如图12 .2- 4 .
知4－练
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知4－练
从图象中我们可以看出：它们是一组互相平行的直线， 原因是这组函数的表达式中k的值都是2 .
结论：一次函数中的k值相等(b值不相等)时，其图象 是一组互相平行的直线. 它们可以通过互相平移得到.
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知4－练
5-1. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是 ( D)
4-2. 正比例函数y＝(1－k)x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2， y2)，当x1<x2时，y1>y2，则k的取值范围是__k_＞__1__.
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知识点 4 一次函数的图象
知4－讲
1. 一次函数的图象 一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象是一
条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
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一次函数(考题猜想,易错必刷40题12种题型)(解析版)—八年级数学上学期期中(沪科版)
一次函数（易错必刷40题12种题型专项训练）➢认识函数➢函数的三种表示方法➢认识一次函数➢正比例函数定义➢正比例函数的图象➢正比例函数的性质➢一次函数的图象➢一次函数的性质➢确定一次函数的表达式➢一次函数与方程➢一次函数与不等式➢一次函数的实际应用一．认识函数（共4小题）1．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）下列等式中，①y =ax 2+x +2，②y =x ，③y =x ―1，④x =(y ―2)(y +2)其中函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】本题主要考查了函数的定义， 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y是x 的函数，由此即可判断．关键是掌握函数的定义．【详解】解：①y =ax 2+x +2，是函数，②y =x ，是函数，③y =x ―1，是函数，④x =(y ―2)(y +2)=y 2―4，是函数，综上①②②④是函数，故选：D ．2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A．B．C．D．3．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）下列变量间的关系不是函数关系的是（）A．长方形的宽一定，其长与面积B．正方形的周长与面积C．圆柱的底面半径与体积D．圆的周长与半径【答案】C【分析】本题考查了函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义对各选项进行判断．【详解】解：A、长方形的宽一定，其长与面积成正比，所以其长与面积是函数关系，所以A选项是函数，不符合题意；B、正方形的面积与它的周长为二次函数关系，所以B选项是函数，不符合题意；C、圆柱的底面半径与体积不是函数关系，因为圆柱体的体积(V)与底面半径(r)、圆柱体的高(ℎ)有关，即V =2πr·ℎ，有三个变量，与函数的定义不符，所以C 选项不是函数，符合题意；D 、圆的周长与半径成正比，所以它们为函数关系，所以D 选项是函数，不符合题意；故选：C ．4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，则圆周长C 与r 的关系式为C =2πr ．在上述变化中，自变量是（ ）A ．2B ．半径rC ．πD ．周长C【答案】B【分析】可得周长C 是半径r 的函数，周长C 随着半径r 的变化而变化，周长C 是因变量，半径r 为自变量，即可求解．【详解】解：由题意得周长C 是半径r 的函数，∵周长C 随着半径为r 的变化而变化，∴半径为r 是自变量；故选：B ．【点睛】本题考查了函数的定义，理解定义是解题的关键．二．函数的三种表示方法（共3小题）5．（23-24八年级下·河北沧州·8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y 与购书数量x 之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论：（1）小明说：y 与x 之间的函数关系为y =6.4x +16；（2）小刚说：y 与x 之间的函数关系为y =8x ；（3）小聪说：y 与x 之间的函数关系在010x ££时，y =8x ；在x >10时，y =6.4x +16；（4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系；购买量/本1234…9101112…付款金额/元8162432…728086.492.8…（5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系．其中，表示函数关系正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图1所示，若将n个这种型号的杯子按图2中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为H．则H与n满足的函数关系可能是（）A．0.3H n=B．100.3Hn=C．100.3H n=-D．100.3H n=+【答案】D【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键．根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得H=ℎ+0.3n，由此即可求解．【详解】解：根据题意，1个杯子的高ℎ=10，1个杯子沿高为0.3，∴n个杯子叠在一起的总高度为H=10+0.3n，故选：D ．7．（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度y(cm)随所挂物体的质量x(kg)变化关系的图象如下：(1)上图反映哪两个变量之间的关系？(2)根据上图，补全表格：x/kg01257y/cm1216(3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？【答案】(1)弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的变化关系(2)见解析(3)当所挂物体的质量不超过5kg时，所挂物体的质量x(kg)每增加1kg，弹簧的长度增加2cm；当所挂物体的质量超过5kg时，弹簧的长度为18kg，不随所挂物体的质量x(kg)的变化而变化．【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法：（1）直接观察图象，即可求解；（2）直接观察图象，即可求解；（3）直接观察图象，即可求解．（3）解：由图象得：当所挂物体的质量不超过5kg 时，所挂物体的质量x (kg)每增加1kg ，弹簧的长度增加2cm ；当所挂物体的质量超过5kg 时，弹簧的长度为18kg ，不随所挂物体的质量x (kg)的变化而变化．三．认识一次函数（共4小题）8．（23-24八年级下·全国·期末）下列y 关于x 的函数中，属于正比例函数的是（ ）A ．y =x +3 B ．y =2xC ．²y x =D ．y =4x9．（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列函数：①y =―12x ；②y =3x ―2；③ y =1x ；④22y x =．其中是一次函数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．0个【答案】A【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：一般的，形如y =kx +b （k ≠0，k b 、为常数）的函数叫一次函数，据此即可判断求解，掌握一次函数的定义是解题的关键．【详解】解：根据一次函数的定义可得①②是一次函数，③④不是一次函数，∴一次函数有2个，故选：A ．10．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）若函数23(2)1my m x -=--为一次函数，则m 的值为（ ）A ．2B ．―2C ．±2D ．0【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数的定义，平方根的应用，掌握一次函数y =kx +b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1是解题关键．根据一次函数的定义，列出关于m 的方程和不等式，从而求出m 的值即可．【详解】解：∵函数23(2)1m y m x -=--为一次函数，∴m ―2≠0，m 2―3=1，∴m =―2，故选：B11．（2024·安徽·模拟预测）已知y ax b =+与y =bx +a 是一次函数．若b >a ，那么如图所示的4个图中正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点．联立方程y =bx +ay =ax +b ，得出两直线的交点为(1,a +b )，依次分析选项可得答案．【详解】解：联立方程y =bx +a y =ax +b ，可解得x =1y =a +b ，故两直线的交点为(1,a +b )，B 选项中交点纵坐标是0，即b +a =0，但根据图象可得0b a +>，故选项B 不符合题意；而选项C 中交点横坐标是负数≠1，故选项C 不符合题意；选项D 中交点横坐标是负数≠1，选项D 不符合题意；A 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即b +a >0，根据图象可得0b a +>，故选项A 符合题意；故选：A ．四．正比例函数定义（共3小题）12．（22-23八年级上·上海·单元测试）下列各关系中成正比例的有（）①圆的周长与半径；②速度一定，路程与时间；③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高ℎ；④长方形的面积一定时，长与宽．A．4个B．3个C．2个D．1个13．（22-23八年级上·广西贺州·期末）如果函数y=(m―1)x|m|是正比例函数，那么（）A．m=1或m=―1B．m=1C．m=―1D．m=2【答案】Ck¹的函数叫做正比例函【分析】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y=kx(k是常数，0)数是解题的关键．根据正比例函数的定义得出关于m的方程和不等式，求出m的值即可．【详解】解：∵函数y=(m―1)x|m|是正比例函数，∴m―1≠0且|m|=1，解得m=―1．故选：C．14．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）张奶奶在超市买了2千克橘子，每千克橘子13.6元，一共花了27.2元，买橘子的总价与质量之间的关系是（）A．正比例关系B．反比例关系C．不成比例D．不能确定【答案】A【分析】本题主要考查了正比例关系的概念，熟练掌握正比例关系的定义是解题的关键．根据买橘子的总价¸质量=单价即可得到答案．【详解】解：根据买橘子的总价¸质量=单价，买橘子的总价与质量之间的关系是正比例关系．故选A．五．正比例函数的图象（共3小题）15．（21-22九年级·山东枣庄·自主招生）如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U变化的图象是（）A．B．C．D．16．（24-25八年级上·全国·课后作业）如果一个正比例函数的图象经过点(3,―2)，那么这个正比例函数的表达式为（ ）A ．y =―23x B ．y =23xC ．y =32xD ．y =―32x17．（23-24八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，函数y =45x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．．故选：A六．正比例函数的性质（共4小题）18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，正比例函数y =kx,y =mx,y =nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k ，m ，n 的大小关系是 ．19．（23-24八年级上·全国·单元测试）函数y =kx (k ≠0)中，y 值随x 值的增大而增大，则图象经过第 象限．【答案】一、三【分析】本题主要考查了正比例函数的图像和性质，由已知条件了得出0k >，且函数经过点(0,0)，结合正比例函数的图像和性质即可得出答案．【详解】解：∵函数y =kx (k ≠0)中，y 值随x 值的增大而增大，∴0k >，且函数经过点(0,0)，∴图象经过第一、三象限，故答案为：一、三．20．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知y 是x 的正比例函数，并且当x =2时，8y =，如果(,24)A m m -+是它图象上的一点，求m 的值．21．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）已知正比例函数图象过点(―6,2)且点(,3)-a 在这个函数的图象上，求a 的值．七．一次函数的图象（共3小题）22．（2023九年级·贵州遵义·学业考试）如图，在平面直角坐标系中有M ，N ，P ，Q 四个点，其中恰有三点在一次函数y=kx+b(k>0)的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在一次函数y=kx+b的图象上的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q观察图形可知：可得出点Q在直线∴这四个点中不在函数y=kx故选：C．23．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数y=2x―1的图象，下列结论正确的是（）A．点(3,5)在图象上B．图象经过第二、三、四象限C．若点A(―5,m)、点B(1,n)在函数图象上，m>nD．图象与x轴的交点坐标为(0,―1)【答案】A【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．=，y=bx，y=cx+1，y=dx―3的图象24．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数y ax如图所示，则a，b，c，d的大小关系是．【答案】a>b>c>d【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当0k>时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．b>，c<0，d<0，【详解】解：由图象可得：a>0，0=比y=bx陡，直线y=dx―3比y=cx+1陡，由于直线y ax∴a b>，|d|>|c|，∴c>d，∴a>b>c>d故答案为：a>b>c>d．八．一次函数的性质（共4小题）25．（23-24八年级下·全国·期末）一次函数y =x ―1的图象平移后经过点(―4,2)，则平移后的函数解析式为 （ ）A ．6y x =-B ．y =―x ―2C ．y =x +6D ．y =x ―8【答案】C【分析】本题考查一次函数y =kx +b (k ≠0)图像与几何变换，根据平移不改变k 的值可设y =x +b ，然后将点(―4,2)代入即可得出直线的函数解析式．解题的关键是掌握：求一次函数y =kx +b (k ≠0)平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变．【详解】解：设平移后的函数表达式是y =x +b ，∵它经过点(―4,2)，∴2=―4+b ，解得：b =6，∴平移后的函数解析式为y =x +6．故选：C ．26．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，下列说法：①对于函数1y ax b =+来说，y 随x 的增大而增大；②函数y =cx +d 不经过第二象限；③不等式ax ―d ≥cx ―b 的解集是x ≥4；④a ―c =14(d ―b )，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】B 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，根据图象判断增减性和所过的象限，判断①和②，图象法判断③和④．【详解】解：由图象可知，直线1y ax b =+， y 随x 的增大而增大；直线y =cx +d 经过一，二，四象限，故①正确；②错误；∵两直线交点的横坐标为x =4，且当x ≥4时，直线1y ax b =+在直线y =cx +d 的上方，27．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）已知A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是一次函数y =ax +2x ―2024图象上不同的两个点，若记m =(x 1―x 2)(y 1―y 2)，则当m >0时，a 的取值范围是（ ）A ．a <2024B ．a >2024C ．a <―2D ．a >―228．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知一次函数(21)(3)y m x n =--+，求:(1)m 当为何值时，y 的值随x 的增加而增加；(2)当m 、n 为何值时，此一次函数也是正比例函数；(3)若m =1，n =2，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标．九．确定一次函数的表达式（共3小题）29．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数y=kx+b，当x=―1时，y=―1；当x=2时，y=5，(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x=―3时，求y的值．【答案】(1)y=2x+1(2)―5【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组是解题的关键．（1）将已知两对x与y的值代入一次函数解析式即可求出k与b的值，从而求得解析式．（2）把x=―3代入解析式即可求得．【详解】（1）解：将x=―1，y=―1；x=2，y=5分别代入一次函数解析式得：―1=―k+b 5=2k+b，解得k=2 b=1，∴这个一次函数解析式为y=2x+1；（2）解：把x=―3代入y=2x+1得，y=2×(―3)+1=―5．30．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知2y+1与3x―3成正比例，且x=6时，y=17．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线1l，求直线1l对应的函数表达式，并回答：点P(4,3)是否在直线1l上？31．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，A、B分别是y轴上位于原点两侧的两点，点P(m,4)在第S=．二象限内，直线PA交x轴于点C(―2,0)，直线PB交x轴于点D，且6(1)求点A的坐标及m的值；(2)若3S△AOP=S△BOP，求直线BD的解析式．一十．一次函数与方程（共3小题）32．（23-24九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=―2x2+mx+n与x轴交于A，B两点，若顶点C到x轴的距离为18，则线段AB的长度为．33．（23-24八年级下·全国·期中）如图，函数y ax=和y=kx+b的图象交于点P(3,―2)，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组y=axy=kx+b的解是．【答案】x =3y =―2【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两一次函数的交点的横纵坐标是两一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，进行求解即可．【详解】解：∵函数y ax =和y =kx +b 的图象交于点P (3,―2)，∴关于x ，y 的二元一次方程组y =ax y =kx +b 的解是x =3y =―2，故答案为：x =3y =―2．34．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数y =2x +b 和y =kx ―3(k ≠0)的图象交于点P ，则二元一次方程组2x ―y =―b kx ―y =3 的解是 ．【答案】x =4y =―6【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数y 1=k 1x +b 1，y 2=k 2x +b 2，其图象的交点坐标(,)x y 中x ，y 的值是方程组y ＝k 1x +b 1y ＝k 2x +b 2的解．【详解】解：由图象可知，二元一次方程组2x ―y =―b kx ―y =3 的解是x =4y =―6．故答案为：x =4y =―6．一十一．一次函数与不等式（共2小题）35．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）直线l ：y =k x +b 与直线l ：y =k x 在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），则关于x的不等式k1x+b<k2x的解集为．【答案】x>2【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．利用函数图象，直线1l在直线l2下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：由图象可知，直线1l和直线l2的交点为(2,4)，∴关于x的不等式k1x+b<k2x的解集是x>2，故答案为：x>2．36．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A―0.5，0，B(2,0)，则不等式(kx+b)(mx+n)<0的解集为．【答案】x<―0.5或x>2【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式．本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．【详解】解：直线y=kx+b与直线y=mx+n分别交x轴于点A(―0.5,0)、B(2,0)，∵(kx+b)(mx+n)<0，∴一个正数和一个负数的积为负数，∴不等式(kx+b)(mx+n)<0的解集为x<―0.5或x>2，故答案为：x<―0.5或x>2．一十二．一次函数的实际应用（共4小题）37．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，A品牌的电脑单价比B品牌电脑的单价少1000元，通过预算得知，用30万元购买A品牌电脑比购买B品牌电脑多10台．(1)试求A，B两种品牌电脑的单价分别是多少元；(2)该公司计划购买A，B两种品牌的电脑一共40台，且购买B品牌电脑的数量不少于A品牌电脑的3，试求出5该公司费用最少的购买方案．38．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了迎接中秋节的到来，河西某商场计划购进一批甲、乙两种月饼，已知一盒甲种月饼的进价与一盒乙种月饼的进价的和为180元，用4000元购进甲种月饼的盒数与用5000元购进乙种月饼的盒数相同．(1)求每盒甲种、乙种月饼的进价分别是多少元；(2)商场用不超过4600元的资金购进甲、乙两种月饼共50盒，其中甲种月饼的盒数不超过乙种月饼的盒数，甲种月饼售价190元，乙种月饼售价200元，为了回馈顾客，每卖一盒甲种月饼就返利顾客m元(10<m<12)，当月饼售完后，要使利润最大，对甲种、乙种月饼应该怎样进货？（2）解：设购进甲种月饼x 盒，则购进乙种月饼(50―x )盒，根据题意得，x ≤50―x 80x +100(50―x )≤4600，解得20≤x ≤25，设总利润为W 元，根据题意可得．W =(190―80―m )x +(200―100)(50―x )=(10―m )x +5000(20≤x ≤25)，∵10<m <12，∴100m -<，∴W 随x 的增大而减小，则当x =20时，W 达到最大，即购进甲种月饼20盒，购进乙种月饼30盒利润最大．39．（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x (ℎ)，甲、乙两人距出发点的路程S 甲、S 乙关于x 的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y 关于x 的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：(1)甲的速度是km/ℎ，乙的速度是 km/ℎ；(2)对比图1．图2可知：a = ，b = ；(3)当两人相遇后，请写出甲乙两人之间的距离d 与x 之间的函数关系式（注明x 的取值范围）．(4)乙出发 h ，甲、乙两人相距7.5km ？40．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，过点C 0，6的直线AC 与直线OA 相交于点A 4，2，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动，试解决下列问题：(1)求直线AB 的解析式；(2)求△OAC 的面积；(3)是否存在点M ，使△OMC 的面积是△OAC 的面积的14，若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
初中一次函数涉及的12个易错点剖析
初中一次函数涉及的12个易错点剖析【知识点1】一、函数的概念在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
二、函数的三种表示法:（1）图像法(“形”）；（2）列表法（“数”）；（3）公式法（“式”）.【易错点1】对函数概念理解不清例题1 下列等式：y=|x|，|y|=x,5x2-y=0,x2-y2=0,其中表示y是x的函数的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.4个【错解】D【错因】一个等式是不是函数，必须同时满足两个要求。
一是有两个变量；二是在两个变量x与y的对应关系中，x每确定一个值，y必须只有唯一的值与之对应.本题错解中没有正确地理解函数的概念，错误地认为|y|=x和x2-y2=0也是函数。
事实上，这两个等式中，对于x每取一个值，y并不与之唯一对应，所以在|y|=x和x2-y2=0中，y不是x的函数。
【正解】C巩固1 下列各选项中，不是函数的是（）【错解】A或B或D【正解】C.巩固2 有下列关系：①长方形的长一定时，其面积y 与宽x ；②高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y 与行驶的时间x ；③y 2=x ；④y =x 2.其中，y 是x 的函数关系的有 （填序号）.【错解】①②③④ 【正解】①②④【小结】由函数的概念可知，判断y 是x 的函数的关键是对于自变量x 取的每一个值，都有唯一的y 值与之对应。
【易错点2】考虑问题不全面，求自变量的取值范围时出错例题2 求函数y =【错解】依题意，得10210x x -≥⎧⎨->⎩ ，解之得x ≥1,所以自变量的取值范围是x ≥1【错因】错解中思考问题不全面，被开方数1021x x -≥-时有两种情况，即10210x x -≥⎧⎨->⎩或10210x x -≤⎧⎨-<⎩，错解漏掉了第二种情况。
【正解】依题意，得1021x x -≥-，∴（I ）10210x x -≥⎧⎨->⎩或（II ）10210x x -≤⎧⎨-<⎩解不等式组（I ），得x ≥1 等式组（I ），得12x <∴解不自变量的取值范围是x ≥1或12x <巩固3 函数y =x 的取值范围为 . 【错解】x ≥-1。
一次函数的易错点和难点
一次函数的易错点和难点一次函数，听起来简单不？其实啊，这可是一道让不少人头痛的难题。
你可能会想，哎呀，这不就是那种y = mx + b的公式嘛！难道还能难得过脑袋一根筋？哎呀，那可不一定。
这个一次函数不仅是“纸上谈兵”，更是考试中经常“出征”的一位“大魔王”。
有些人学着学着，反倒晕了过去，搞不清楚它究竟在说什么。
真是让人捶胸顿足，恨不得找个大锤把它砸碎。
要不然，怎么说“凡事难易皆在心中”？这可是个能让“聪明人”出错的地方啊，真的是“难以言表”的麻烦。
咱们来聊聊一次函数的“易错点”吧。
嗯，别急！其实有个小地方，很多人都会掉进这个坑：就是公式中的“m”和“b”。
你是不是脑袋一热，就直接把这些符号都给记住了，觉得这不过是个“代号”嘛？可是别忘了，m代表的是“斜率”，而b代表的是“截距”。
很多时候，大家把它们搞错了位置，甚至根本没弄清楚它们具体代表什么！比如，你要看y轴上的交点，这个点可是b啊！有多少同学，写着写着就把“截距”写成了“斜率”，结果错得一塌糊涂。
还有那斜率m，真不是想当然地直接按“1”或者“1”来代入的哦。
没有认真地分析，它怎么可能那么简单？这不，之前就有个小伙伴，非要把m当作斜率的“标准模板”，结果，题目给的点一点都不标准，结果就悲剧了。
所以说，背公式没错，但得弄清楚每个符号的真实含义才行。
想要搞清楚，不仅要背，还得在脑袋里画个图，想象一下。
说到这里，咱们再来说说“难点”。
一次函数最难的地方，嗯，我认为应该是“过两点求直线方程”这个环节。
天啊，这玩意简直让人眼花缭乱。
大家学过了，可能觉得挺简单，但实际一做起来，又是各种抓耳挠腮。
不少小伙伴看到两点，首先反应是“哦，直接代进公式就好”，结果，代完了发现，连个斜率都求不出来。
别说两点求直线方程了，连斜率都卡住了！哎呀，这个问题，尤其是在做实际题目时，真是把大家愁坏了。
有的同学好不容易算出了斜率，还不小心犯了加减号的错误。
你想想，这一错，整个直线方程就打水漂了。
沪科版-数学-八年级上册-13.2一次函数 解一次函数问题中的几点小错误
解一次函数问题中的几点小错误解决一次函数有关问题，考虑问题要周密，不要出现下列错误.一、忽视分类例1 已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A （3，0），且与坐标轴围成的三角形面积为6，求这个一次函数的关系式.错解：当x=0时，y=b ，即一次函数与y 轴的交点为（0，b ），由S=21×3×b=6，得b=4，将x=3，y=0，代入y=kx+4，得k=34-，所以一次函数的关系式为y=34-x+4. 分析：根据已知条件，直线y=kx+b 经过点A （3，0），且与坐标轴围成的面积为6，可能存在两种情况，如图1，图2，所以相应的函数关系式应有两个，错解中漏掉了一个.正解： 根据已知可得21×3×|b|=6. 解得b=±4，当b=4时，可得k=34-；当b=-4时，可得k=34， 所以一次函数的关系式为y=34-x+4或y=434-x .图1 图2二、忽视自变量的范围例2 一辆汽车由内江匀速驶往成都，下列图像中能大致反映汽车距离成都的路程s （千米）和行驶时间t （小时）的关系的是( )错解：选D.分析：图象D 表示汽车离开内江的距离随着时间的增加而不断增加，而题意是反映汽车距离成都的路程与行驶时间的关系，即随着时间的增加路程越来越近，，能够正确反映这一变化的应该是B.正解：选B.三、忽视隐含条件砝码的质量x(克) 0 100 200 300 400 500弹簧的长度y(厘米) 2 4 6 7.5 7.5 7.5根据表格中数据信息画出相应的一次函数图象.错解:根据表格信息可得y=501x+2,从表格中,当x ≥300时,y 都等于7.5,所以所画的函数图象如图3所示.图3 图4分析:根据表格信息可知,当x=0时,y=2,当x=250时,y=7,所以可求得 y=501x+2,而当y=7.5时可求得x=275,也就是当x=275时,弹簧已达到最大长度,而不是当x=300才达到最大长度.错解忽视了这一隐含条件.正解:设y=kx+b,将x=0,y=2和x=100,y=4,代入可得k=501,b=2,所以 y=501x+2,当y=7.5时,x=275.所以所画的函数图象如图4所示.。
沪科版八年级上册第12章一次函数章末重难点题型(举一反三)(含解析版)
专题02 一次函数章末重难点题型汇编【举一反三】【沪科版】【考点1 函数的概念】【方法点拨】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
.【例1】（2019春•鼓楼区校级期中）下列的曲线中，表示y是x的函数的共有（）个．A．1B．2C．3D．4【变式1-1】（2019春•新乐市期中）下列变量之间的关系不是函数关系的是（）A．一天的气温和时间B．y2＝x中的y与x的关系C．在银行中利息与时间D．正方形的周长与面积【变式1-2】（2019春•苍溪县期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（）A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）【变式1-3】（2019春•如皋市期中）下列各图中能说明y是x的函数的是（）A．B．C．D．【考点2 函数自变量的取值范围】【方法点拨】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【例2】（2019春•资中县期中）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠2【变式2-1】（2019秋•乳山市期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥2且x≠2C．x＞﹣2D．x＞﹣2且x≠2【变式2-2】（2019•巴彦淖尔模拟）在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≥﹣2且x≠1D．x≥1【变式2-3】（2018秋•沙坪坝区校级月考）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≠3且x≠﹣3C．x≥2且x≠3D．x≥2且x≠﹣3【考点3 一次函数的概念】【方法点拨】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
沪科版八年级一次函数知识点及经典例题培优
一次函数知识点及经典例题培优题型一、点的坐标方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数； 若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；1、 若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限；2、 若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________；3、 已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________；4、 若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第____象限。
#题型二、关于点的距离的问题方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y 的距离为22()()A B A B x x y y -+-； 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -； 若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -； 点(,)A A A x y 到原点之间的距离为22A A x y +1、 点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；2、 点C （0，-5）到x 轴的距离是____；到y 轴的距离是_____；到原点的距离是____；3、 点D （a,b ）到x 轴的距离是____；到y 轴的距离是_______；到原点的距离是____；4、 已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则MQ=________;()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________；5、 、6、 两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________；7、 已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为___________.题型三、一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
沪科版八年级上册数学一次函数图像及性质
沪科版八年级上册数学一次函数一次函数图像及性质要点提示知识点一：一次函数的定义一般地，形如a( t ,丨是常数，20)的函数，叫做一次函数，当“0时，即V =⅛A ,为正比例函数.⑴一次函数的解析式的形式是y=Z,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.⑵当ft = o, λ-≠o时，y = U仍是一次函数.(3)⅛i> = o, Jt=O时，它不是一次函数.⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.知识点二：一次函数的图象及其画法⑴一次函数y=z(“o, i , \为常数)的图象是一条直线.⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可.①如果这个函数是正比例函数，通常取(0.0), (LA)两点；②如果这个函数是一般的一次函数(∕>≠o ),通常取(O"), I -P O J ,即直线与两坐标轴的交点.⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式一V=Aai的点(心刃在其对应的图象上, 这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标(，刃满足y=bi,也就是说，直线与y=Z是一一对应的，所以通常把一次函数 H 的图象叫做直线：y=W,有时直接称为直线y=Aa5.知识点三：一次函数的性质⑴当“0时，一次函数y=Z的图象从左到右上升，j随’的增大而增大；⑵当XO时，一次函数y=Z的图象从左到右下降，j随X的增大而减小.知识点四：一次函数y=b初的图象、性质与ti的符号字母k, b的作用：k决定函数趋势，b决定直线与y轴交点位置，也称为截距. 倾斜度：Ikl越大，越接近y轴；Ikl越小，越接近X轴图像的平移：b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位，对应解析式为：y=kx+bb<0时，将直线y=kx的图象向下平移Ibl个单位，对应解析式为：y=kχ-b 口诀：“上+下一”将直线y=kx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：y=k (x+m)将直线y=kx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：y=k (x—m) 口诀："左+右一”知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将Xr的儿对值，或图象上的儿个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程(组)，得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式.典例分析I-下列关于X 的函数中，是一次函数的是（）Ay==3Cx^Γ X2. 如果直线y=kx+b 经过一.二、四象限，那么有（）A. k>0, b>0B. k>0, b<0C. k<0, b<0>0 3. 两个一次函数yι=mx+ιι. y2=11x+11 ,它们在同一坐标系中的图象可能是下图中 的（）4. 若把一次函数y=2x —3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式 是 05・・已知一次函数的图像交正比例函数图像于M 点，交X 轴于点Ay 助乂知点 M 位于第二象限，其横坐标为-4,若AW6>面积为15,求正比例函数和一次函数 的解析式。
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一次函数的易错点分析
一、忽视b kx y +=中0≠k 的条件造成错误
例1．已知3)2(32+-=-m x m y ，当m =_____时，y 是x 的一次函数．
错解 由于y 是x 的一次函数，故132=-m ，解得2±=m ，填“2±”．
点评 一次函数b kx y +=中的k 必须满足0≠k ，当2=m 时，02=-m 必须舍去，故2-=m ．
二、忽视正比例函数是特殊的一次函数而造成错误
例2．一次函数b kx y +=不经过第三象限，则下列正确的是（ ）．
A ．0,0><b k
B ．0,0<<b k
C ．0,0≤<b k
D ．0,0≥>b k
错解 由于一次函数b kx y +=不经过第三象限，则它必经过一、二、四象限，故0,0><b k ，选A ．
点评 由于正比例函数是特殊的一次函数，因而b kx y +=不经过第三象限，则它可能经过
一、二、四象限，此时满足0,0><b k ，也可能是只经过二、四象限的正比例函数，此时满足0,0=<b k ，故应选D ．
三、忽视一次函数图象的性质而造成错误
例3．一次函数b kx y +=的自变量的取值范围是63≤≤-x ，相应函数值的取值范围是25-≤≤-y ，求这个函数的解析式．
错解 把5,3-=-=y x 和2,6-==y x 分别代入b kx y +=中，得到
⎩⎨⎧+=-+-=-b k b k 6235，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==4
31b k ，所以一次函数的解析式为431-=x y ． 点评 由于此题中没有明确k 的正负，而一次函数b kx y +=只有在0>k 时，y 随x 的增大而增大，而在0<k 时，y 随x 的增大而减小，故此题要分0>k 和0<k 两种情况进行讨论．（1）当0>k 时，解法如上；（2）当0<k 时，把2,3-=-=y x 和5,6-==y x 分
别代入b kx y +=中，解得3,3
1
-=-=b k ，所以一次函数的解析式为33
1--=x y ．综上所述，一次函数的解析式为431-=x y 或33
1--=x y ． 四、忽视自变量的取值范围而造成错误 例4．从甲地向乙地打长途电话，计时收费，前3分钟收费4.2元，以后每增加1分钟收1元，则电话费y （元）与通话时间t （分）之间的函数关系式是 ．
错解 根据题意，通话费y 应等于前3分钟的通话费用4.2元加上超过3分钟的部分的通话费用，所以6.01)3(4.2-=⨯-+=x x y ．
点评 此题中的通话时间t 是大于3分钟还是小于3分钟不清楚，故而上述解法缺少了t 小于3分钟的情况，正确结果为⎩⎨⎧>-≤<=)
3(6.0)30(4.2t x t y ． 五、对两个不同函数的比例系数看成一个造成错误
例5．已知y y y =+12，而y 1与x +1成正比例，y 2与x 2成正比例，并且x =1时，2=y ；
x =0时，2=y ，求y 与x 的函数关系式．
错解 设)1(1+=x k y ，22kx y =，得2
21)1(kx x k y y y ++=+=，把x =1，2=y 得到k k +=22，解32=k 得，所以)1(3
22++=x x y ． 点评 由于y 1和y 2是两个不同的函数，故要设两个不同的k 即1k 、2k ，不可草率地将1k 、2k 都写成k ，题中给出了两对数值，从而决定了可利用方程组求出1k 、2k 的值．正确的解答如下：设)1(11+=x k y ，222x k y =，得2
2121)1(x k x k y y y ++=+=，把x =1，2=y 及x =0，2=y 代入得到⎩⎨⎧=+=1
21222k k k ，解得⎩⎨⎧-==2221k k ，所以2222++-=x x y ．
六、对成正比例与正比例函数的混淆造成错误
例6．若y 与1-x 成正比例，且当2=x 时，1=y ．求y 与x 的函数解析式．
错解 既然y 与1-x 成正比例，就设其解析式为)1(-=x k y ，把点2=x ，1=y 代入即
可解得k=1，故其解析式为x y =．
点评 若y 与1-x 成正比例，并不就是指y 是x 的正比例函数，此题的y 是x 的一次函数，正确解为1-=x y ．
七、对自变量或函数代表的实际意义理解不准确而造成错误
例7． 汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s （千米）与行驶时间t （小时）的关系用图象表示应为（ ）．
A B C D
错解 由于路程等于速度乘以时间，在速度一定的条件下，路程是时间的正比例函数，选B ． 点评 此题中路程s 并不是汽车行驶的距离，而是剩下来没有走的路程，不能被思维定势所左右，要仔细看清题目，理解题意，实际上s 与t 的函数关系式为t s 100400-=，s 是t 的一次函数，故选C ．
八、不能正确的用坐标表示线段而造成错误
例8．若一次函数2+=kx y 与两坐标轴围成的三角形面积是4，求k 的值．
错解 因为一次函数2+=kx y 与两坐标轴的交点坐标分别为（k 2-
，0）和（0，2），由于线段不可能为负数，所以得42221=⨯⨯k ，解得21=k ． 点评 用坐标表示线段时，若不知道坐标的符号应加绝对值．事实上一次函数2+=kx y 的图象是始终经过定点（0，2）的一条直线，可以经过一、三象限，也可经过二、四象限，k 的值应有两解．正确解法可分类讨论，也可这样解：42221=⨯-⨯k ，解得2
1±=k ． 400
200
t （。