2020高中数学必修2同步练习：2.1.1 平面 含解析

2.1.1平面
课时过关·能力提升
一、基础巩固
1.下列说法正确的是()
A.镜面是一个平面
B.一个平面长10 m、宽5 m
C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D.所有的平面都是无限延展的
,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D
2.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系成立的是()
A.l⊂α
B.l∈α
C.l∩α=A
D.l∩α=B
1或画图可知l⊂α.
3.圆上任意三点可确定的平面有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.1个或无数个
,则可确定一个平面.
4.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断正确的是()
A.A,B,C,D四点中必有三点共线
B.A,B,C,D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
A,B,C,D四点中有三点共线,则A,B,C,D四点共面.若AB与CD相交或平行,则AB与CD共面,即得A,B,C,D四点共面
5.如图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC与平面α的交线是()
A.直线AC
B.直线BC
C.直线AB
D.直线CD
l⊂α,D∈l,∴D∈α.∵C∈α,∴CD⊂α.又CD⊂平面ABC,故直线CD为平面ABC与平面α的交线.
6.两个相交平面把空间分成了部分.
7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)AC∩BD=;
(2)平面AB1∩平面A1C1=;
(3)A1B1∩B1B∩B1C1=.
O(2)A1B1(3)B1
8.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:
(1)A∈α,B∉α;
(2)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.
点A在平面α内,点B不在平面α内.图形如图①所示.
(2)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形如图②所示.
9.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
(2)求证:D,E,P三点共线.
AB交平面α于点P,如图所示.
(2)证明:平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB⊂平面ABC,
所以P∈平面ABC.
又P∈α,所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上,
即P∈DE.故D,E,P三点共线.
二、能力提升
1.已知空间中有A,B,C,D,E五个点,如果点A,B,C,D在同一个平面内,点B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点()
A.共面
B.不一定共面
C.不共面
D.以上都不对
B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面.
2.下列命题正确的是()
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
,所以选项A不正确;选项C中,当
A,B,C,D共线时,平面α和平面β可能相交,所以选项C不正确;选项D中,四条边
都相等的四边形可能不共面,所以选项D不正确;由于三角形的三个顶点不共线,则确定一个平面,所以三角形是平面图形,故选项B正确.
★3.下列结论不正确的是()
A.A∈a
a⊂α
}⇒A∈α B.
A∈α,A∈β
α⋂β=a}⇒A∈a
C.A∈α
A∈β}⇒α∩β=A D.
A∈α
B∈α
}⇒AB⊂α
,则有且仅有一条公共直线,而不是仅有一个公共点.
4.已知空间中的三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是.
,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1).
AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).
三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面
ABB1A1和平面ADD1A1).
或3
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是.(只填序号)
①直线AC1在平面CC1B1B内;②若正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;③由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;④由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面.
错误.如图所示,点A∉平面CC1B1B,所以直线AC1⊄平面CC1B1B.
②正确.如图所示,连接AC,BD,A1C1,B1D1.
因为O∈直线AC,AC⊂平面AA1C1C,O∈直线BD,BD⊂平面BB1D1D,O1∈直线
A1C1,A1C1⊂平面AA1C1C,O1∈直线B1D1,B1D1⊂平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
③④都正确,因为AD∥B1C1,且AD=B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以A,B1,C1,D共面.
6.用文字语言表示下列符号语言,并画图表示(其中P是点,a,b,m是直线,α,β是平面):
α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩m=P,b∩m=P.
:分别在两个相交平面α,β内的两条直线a和b相交,且交点P在平面α,β的交线m上.图形如图所示.(画法不唯一)
7.如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在两个平面的交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD并交于点E,如图所示
因为E∈AC,AC⊂平面SAC,所以E∈平面SAC.同理可得,E∈平面SBD.所以点E 在平面SBD和平面SAC的交线上.连接SE,直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
★8. 如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
,再证这点也在第三条直线上.
ABB'A'中,A'B'∥AB,
所以AA',BB'在同一平面A'B内.
设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.
同理BB',CC'同在平面BC'内,CC',AA'同在平面A'C内.
因为P∈AA',AA'⊂平面A'C,
所以P∈平面A'C.
同理点P∈平面BC',
所以点P在平面A'C与平面BC'的交线上,而平面A'C∩平面BC'=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.。