[推荐学习]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理141勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时
华师版八年级上册数学 第14章 勾股定理 勾股定理 第1课时 直角三角形三边的关系
第14章 勾股定理
14．1 勾股定理
1．直角三角形三边的关系 第1课时 直角三角形三边的关系
知识点：勾股定理 1．下列说法正确的是( D) A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
解：(1)∵AE＝BE，∴S△ABE＝12AE·BE＝12AE2.又∵AE2＋BE2＝ AB2，∴2AE2＝AB2，∴S△ABE＝14AB2＝14×32＝94.
(2)同理可得 S△AHC＋S△BCF＝14AC2＋14BC2. 又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为14AB2＋14AB2＝12AB2＝12 ×32＝92.
易错点：斜边不确定时，应用勾股定理求边长漏解 9．已知直角三角形两边长分别为3和5，则第三边的长为____3_4_或__4_．
10．如图，直线l同侧有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5 和11，则b的面积为( C ) A．4 B．6 C．16 D．55
11．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分 线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C) A．5 B．6 C．8 D．10
2．利用如图所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学 中一个十分著名的定理，这个定理称为___勾__股__定__理____，该定理中结 论的数学表达式是____a_2_＋__b_2_＝__c_2 _____．
3．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝___1_5__，b＝___1_2__．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB， 对角线AC⊥CD，求CD的长．
八年级数学《18.1.3勾股定理》课件 人教新课标版
·
2
2、请你在数轴上作出表示 13 和 17 的点
2.如图为９乘９的正方形网格以格点为端点 你能画出一条长为10的线段吗?
6
8
3、邮递员从车站O正东1km的邮局A出发， 先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到 C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该 邮递员与邮局的距离为多少km？
C
B
OA D
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方
c
股
弦
b
a2 + b2 = c2 a2 = c2 - b2
a勾
b2 = c2 - a2
90cm
数学就在我们身边
A
?
B
120cm
C
图1中的x等于多少? 图2中的x、y、z等于多少?
2x
1
1
图1
2z 3y
x2 1 1
图2
沿着图2继续画直角三角形,还能得到那些无理数?
2z 3y
5
x2 1
6
1
图2
利用图2你们能在数轴上画出表示 5 的 点吗?请动手试一试！
怎样在数轴上画出表示 5 的点呢?
2z 3y
5
x2 1
6
1
图2
实数 一一对应 数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数
A
B
C
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示 2 3 7
点D表示 3
• 知道为 什么吗?
8 22+22 =8=( 8 2) 4.52-3.5 2= 8=( 8 ) 2
华师版八年级数学上册第14章 勾股定理1 直角三角形三边关系
13
AB=________；
（ 2 ） 在 Rt△ABC 中 ， ∠ C=90° ， AB=25 ， AC=20 ， 则
15
BC=________；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它
10或 2 7
的第三边长是________.
2.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
第1课时 直角三角形三边关系
1、掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法；
2、通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、
归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想；
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在
这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的
图案，它就是大会的会标.
会标采用了1700
多年前中国古代
数学家赵爽用来
证明勾股定理的
弦图.
这张邮票是纪念二千五百年前希腊的
一个学派和宗教团体──毕达哥拉斯学派.
邮票上的图案是根据一个著名的数学
定理设计的.
观察这枚邮票上的图案，数数图案中各
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
S2=π( ) = ，
2
S3=π( ) = ，
AB2+AC2=BC2，
2
2
2
∴S1+S2= (AC +AB )= BC =S3 .
∴S2=S3-S1=25-9=16.
勾股图中的面积关系:
以直角三角形的三边为基础，分别向外作半圆、正方形、等边三
华师大版八年级上册电子课本 第14章 勾股定理(新版)-
第14章勾股定理§14.1勾股定理1. 直角三角形三边的关系2. 直角三角形的判定阅读材料勾股定理史话美丽的勾股树§14.2勾股定理的应用小结复习题课题学习勾股定理的“无字证明”第14章勾股定理还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．§14.1 勾股定理1. 直角三角形三边的关系本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边a直角边b斜边c 关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R 的面积．即AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，图14.1.1这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米；正方形Q的面积＝平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）图14.1.2正方形R的面积＝平方厘米．我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．做一做在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立．（每一小格代表1平方厘米）图14.1.3概括数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理．勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）图14.1.4 解 如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝２.１６米， ＡＣ＝５.４１米，根据勾股定理可得ＡＢ＝ －ＢＣ AC 22 ＝22 １６.－２ ４１.５≈４.９６（米）． 答： 梯子上端A 到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米． 练习1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c ， ＢＣ＝a ， AC ＝b ， ∠B＝90°．（1） 已知a ＝6， b ＝10， 求c ；（2） 已知a ＝24， c ＝25， 求b ．2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ．对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．图14.1.5 图14.1.6 用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图14.1.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图14.1.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．图14.1.7 图14.1.8例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A 、 B 之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B 有多远?图14.1.9 解 如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，AC ＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，根据勾股定理可得ＡＢ＝22BC AC -＝22128160-＝96（米）．答： 从点A 穿过湖到点B 有96米．练习1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积与周长．2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?（第1题）（第2题）2. 直角三角形的判定古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗?图14.1.10试一试试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：（1） a＝3， b＝4， c＝5；（2） a＝4， b＝6， c＝8；（3） a＝6， b＝8， c＝10．可以发现，其中按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，而按（2）所画的不是直角三角形．在这三组数据中，（1）、（3）两组都满足a2＋b2＝c2，而组（2）不满足．以后我们会证明一般的结论：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中一个角是直角．例 3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25；（2） 12， 35， 37；（3） 13， 11， 9．解因为 252＝２４2＋７2，３７2＝３５2＋１２2，１３2≠１１2＋９2，所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形．练习1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角．（1） 12， 16， 20；（2） 8， 12， 15；（3） 5， 6， 8．2. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?习题14.11. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形．利用此图的面积表示式验证勾股定理．（第1题）2. 已知△ＡＢＣ中，∠B＝９０°， AC＝１３cm，ＢＣ＝５cm，求ＡＢ的长．３. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长．４. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系．（第４题）（第5题）5. 如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．6. 试判断以如下的a、 b、 c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一条边所对的角是直角?（1） a＝25， b＝20， c＝15；（2） a＝1， b＝2， c＝3；（3） a＝40， b＝9， c＝40；（4）a∶b∶c＝5∶12∶13．阅读材料勾股定理史话勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史．远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了．我国古代也发现了这个定理．据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五．”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即邪至日＝勾２＋股２．这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情形了．人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的．国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯（Pythagoras）学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理．勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多．1940年卢米斯（E.S. Loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的小册子——《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达·芬奇和美国第２０任总统詹姆士·阿·加菲尔德（James Abram Garfield， 1831～1881）的证法．美丽的勾股树你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如下的勾股树呢?你知道这是如何画出来的吗?仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树．§14.2 勾股定理的应用勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．图14.2.1分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2），得到矩形 ＡＢＣD ，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC 之长．（精确到０.０１cm ）图14.2.2解 如图14.2.2，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm ， ∴ AC＝22BC AB +＝22104+＝229≈１０．７７（cm ）（勾股定理）．答： 最短路程约为１０．７７cm ．例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图14.2.3分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图１４.２.３所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H ．解 在Rt△OCD 中，由勾股定理得ＣＤ＝22OD OC -＝228.01-＝０.６米，C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．做一做图14.2.4如图14.2.4，以直角三角形ＡＢＣ的三边为边分别向外作正方形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形．试将图中5个带色的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方形．练习1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离．2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?（第１题）例3如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．图14.2.5 图14.2.6解（1）图14.2.6中ＡＢ长度为22．（2）图14.2.6中△ＡＢＣ、△ＡＢD就是所要画的等腰三角形．例4如图14.2.7，已知CD＝６m， AD＝８m，∠ADC＝９０°， BC ＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．图14.2.7解在Rt△ADC中，AC2＝ＡＤ2＋ＣＤ2＝６2＋８2＝１００（勾股定理），∴ AC＝１０m．∵ ＡＣ2＋ＢＣ2＝１０2＋２４2＝６７６＝ＡＢ2，∴ △ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形），∴ S阴影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD＝1/2×１０×２４－1/2×６×８＝９６（m2）．练习1. 若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，试求出x的所有可能值．2. 利用勾股定理，分别画出长度为3和5厘米的线段．习题14.21. 若等腰直角三角形的斜边长为2cm，试求出它的直角边和斜边上的高的长度．2. 下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角形斜边长度．（第２题）（第3题）3. 如图，为了加固一个高2米、宽3米的大门，需在相对角的顶点间加一块木条．求木条的长度．4. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C＝３０°， 求∠B 的大小．5. 已知三角形的三边分别是n ＋1、 n ＋2、 n ＋3，当n 是多少时，三角形是一个直角三角形?6. 如图，AD⊥CD， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 若∠CＡＢ＝５５°，求∠B 的大小．（第6题）小结一、 知识结构二、 概括本章研究了揭示直角三角形三条边之间关系的勾股定理和由此产生的一种判定直角三角形的方法．如果知道了直角三角形任意两边的长度，那么应用勾股定理可以计算出第三边的长度；如果知道了一直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法个三角形的三边的长，也可以判断这个三角形是否是直角三角形．勾股定理可以解决直角三角形中的许多问题，在现实生活中有许多重要的应用．复习题A组1. 求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．（第1题）2. 如图，以Rt△ＡＢＣ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．（第2题）3. 试判断下列三角形是否是直角三角形：（1）三边长为m2＋n2、 mn、 m2－n2（m＞n＞0）；（2）三边长之比为1∶1∶2；（3）△ＡＢＣ的三边长为a、 b、 c，满足a2－b2＝c2．4. 一架 2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物０.7米，如果梯子的顶部滑下０.4米，梯子的底部向外滑出多远?5. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A、 B、 C、D的面积和．（第5题）B组6. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０， BD是AC边的高，DC＝２，求BD的长．（第7题）7. 有一块四边形地ＡＢＣD（如图），∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m， CD＝１２m， DA＝１３m，求该四边形地ＡＢＣD的面积．8. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出5组勾股数．9. 已知△ＡＢＣ中，三条边长分别为a＝n2－１， b＝2n， c＝n2＋１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角．C组10. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．（第10题）（第11题）11. 如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm2．求此时AD的长．（第12题）12. 折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何?意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子?课题学习勾股定理的“无字证明”在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的４个直角三角形的面积之和，即为(a+b) 2=c2+4·（１/２ab）,由此可以推出勾股定理a2+b2=c2．这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形．现在请你和大家一起，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，相信你一定能够发现更多的有趣图形，验证勾股定理．实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空间与图形等领域中的许多数学公式和规律！- 21 -。
八年级数学上册勾股定理知识点
八年级数学上册勾股定理知识点
勾股定理是数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形三边之间的关系。
具体来说，勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
换句
话说，若三角形的三边分别为a、b、c，其中c为斜边（或叫做斜边），且c为直角三角形的最长边（即斜边），则有：
a² + b² = c²
这个定理可以应用在很多数学问题中，例如求解直角三角形的缺失边长，证明两条线
段正交等等。
在八年级数学上册，学生通常会学习和应用勾股定理来解决一些与直角三角形相关的
问题。
在学习勾股定理时，学生需要掌握以下一些知识点：
1. 了解直角三角形的定义和性质；
2. 掌握直角三角形的命名方式，例如最长边为斜边，其余两边为直角边；
3. 理解并掌握勾股定理的内容和应用范围；
4. 了解直角三角形的特殊情况，例如等腰直角三角形和等边直角三角形；
5. 学会根据已知条件应用勾股定理解决问题，例如求解直角三角形的缺失边长、判断
线段是否正交等等；
6. 能够应用勾股定理证明一些几何性质，例如证明两条线段正交；
7. 理解并掌握勾股定理的证明过程，有助于加深对该定理的理解和运用。
以上是八年级数学上册勾股定理的一些知识点，希望对你有所帮助！。
八上数第14章 勾股定理第1节《勾股定理》课件
1.直角三角形三边的关系
倍 速 课 时 学 练
P'
仁寿县禄加镇鹤鸣九年制学校 胡建兵
2002年在北京召开的国际数学家大 会（ＩＣＭ２００２）。在那个大 会上，到处可以看到一个简洁优美、 远看像旋转的纸风车的图案就是大 会的会标．
那是采用了1700多年前中国古代数学家 赵爽用来证明勾股定理的弦图．
A
对于任意的直角三角形，如果它的两条 直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一 定有a2＋b2＝c2。
c
B 直角边平方
b
C
+ +
直角边平方
= =
斜边平方
a2
b2
c2
a 勾股定理： (毕达哥拉斯定理) 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 数学语言描述： 如图，在Rt△ABC中，若a、b为直角边，c为斜边， 则有a2+b2=c2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图” ，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》 作法时给出的.
弦 勾 股
图1-1
b
c
a
b
a
c
c
1 (a+b)2 = c + 4 × • ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
SP+SQ=SR 正方形P 、 Q 、 R 的面积之间的关系是_________________.
AC2+BC2=AB2 Rt△ABC的三边长度之间存在的关系是__________________.
等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
八年级数学上册 第14章 勾股定理小结与复习课件
第二十二页，共二十九页。
方法总结
勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想.勾股定理是由图形的特 征（三角形中有一个角是直角）得到数量之间的关系（三角形的三
边 长 a ， b ， c 满 足 a2+b2=c2 ） ; 勾 股 定 理 的 逆 定 理 由 数 量 之 间 的 关 系 （a2+b2=c2）得到图形的特征（以a，b，c为三边长的三角形是直角三角
因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过．
答：卡车可以通过，但要小心．
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考点四 本章数学思想和解题方法
u方程(fāngchéng)思想
例5 如图，有一张直角(zhíjiǎo)三角形纸片，两直角(zhíjiǎo)边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD 的长． 【解析】 欲求的线段CD在Rt△ACD中，但此三角形
斜边为c ，那么一定有
a.2＋b2＝c2
勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2，
ca 2 b 2 ,a c 2 b 2 ,b c 2 . a 2 勾股定理分类计算(jì suàn)：如果已知直角三角形的两边是a、b(
且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝_________；a 2当ab是2 斜边
在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
针对训练
1．已知一个(yī ɡè)直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边
长的平方是（ ）D
A.25
B.14
C.7
D.7或25
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考点二 勾股定理的逆定理与勾股数
例2 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别(fēnbié)是a，b ，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角
八年级数学上册勾股定理知识点
八年级数学上册勾股定理知识点
八年级数学上册的勾股定理主要包括以下几个知识点：
1. 勾股定理的基本原理：勾股定理指出，在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜
边的平方。
即a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边）。
2. 判断直角三角形：可以通过勾股定理判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个
三角形的边长满足勾股定理的条件，那么就可以说明它是一个直角三角形。
3. 求解直角三角形的边长：已知一个直角三角形的两个边长，可以利用勾股定理求解
第三个边长。
例如，若已知两直角边的长度为a和b，则斜边的长度c =√(a^2+b^2)。
4. 勾股定理的应用：勾股定理广泛应用于几何推理和问题解决中。
例如，可以利用勾
股定理计算倾斜的直线的斜率、判断是否存在直角、计算三角形的面积等。
5. 勾股定理的推导和证明：在学习勾股定理时，通常也会涉及到对定理的推导和证明。
可以利用几何图形或代数方法进行推导和证明，加深对勾股定理的理解。
以上是八年级数学上册勾股定理的主要知识点。
通过学习这些知识点，可以掌握并应
用勾股定理解决直角三角形相关的问题。
八年级数学上册-第十四章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定课件 (新版)
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例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角 形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
像15,17,8,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数.
8
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A.b2=a2-c2
B. a:b:c=3:4:5
C.∠C=∠A-∠B
D. ∠A:∠B : ∠C =3:4:5
3、下列各组线段中,能组成直角三角形的是( ) A. 5,6,7 B. 32,42,52 C. 5,11,12 D. 5,12,13
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=c2 ∴△ABC是直角三角形.
17
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课堂小结： 通过本节课的学习，同学们有哪些收获？ 1、勾股定理的逆定理的内容. 2、应用该定理的基本步骤. 3、判定一个三角形是直角三角形有哪些方法（从角、 边两个方面来总结）. 4、勾股定理与它的逆定理之间的关系.
∴ AB2+AC2=BC2
∴ ∠ BAC=90°(勾股定理的逆定理）
∵ S△ ABC=
1
2 AC • AB
= 1 BC•AD
2
∴ AD=
AC •AB 20 1512
BC 25
14
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5、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4 ，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
大家好
1
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八年级上册数学勾股定理知识点
八年级上册数学勾股定理知识点八年级上册数学勾股定理知识点1.勾股定理的内容：假如直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：假如三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大一样倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：假设一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，那么这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，那么它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，那么周长为24例2：直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，那么斜边为5 第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，那么另一边为根号7《点评》此题是一道易错题目，同学们应该认真审题!例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的选项是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C初中数学的方法和技巧多做主要是指做习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。
做习题的目的首先是纯熟和稳固学习的知识;其次是初步启发灵敏应用知识和培养独立考虑的才能;第三是融会贯穿，把不同内容的数学知识沟通起来。
在做习题时，要认真审题，认真考虑，应该用什么方法做?能否有简便解法?做到边做边考虑边总结，通过练习加深对知识的理解。
必需要有错题本说到错题本不少同学都觉得自己的记忆力好，不需要错题本就能记住，这是一种“错觉”，每个人都有这种感觉，等到题目增多，学习内容加深，这时就会发现自己力不从心了。
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1１.2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图Ｋ-38－10①所示.在图②中，若正方形ＡＢCD的边长为14，正方形IJKＬ的边长为2,且ＩＪ∥AＢ，则正方形ＥFＧH的边长为__＿＿_＿__.
图Ｋ-３8-10
三、解答题
１２．如图K－３8-11,在由边长为１的小正方形组成的网格中,△ＡBC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
根据题意，得
解得
由勾股定理得直角三角形的弦（斜边)为 ＝ ＝１0，
即正方形ＥFGＨ的边长为1０.
12.[解析] （1)根据AＤ=ＢC和AD∥BC即可确定点D；(2)把AC，ＣＤ，AD放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出ＡC，CD，AD的长．
解:（1)如图．
(２) 5
13．解：根据图中的数据得ＡC＝9０－40＝５0(mm)，BＣ＝160-40＝120（ｍm)，根据勾股定理，得AB＝ =130(ｍm）．
图K-38－７
9．如图Ｋ－３8－8，学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”.他们仅仅少走了_＿_＿＿___步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
图K-3８-8
1０.如图K-38-９,已知在Rt△ABC中,∠BＣＡ＝９0°，AB=10,分别以ＡC,ＢC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2=______＿_．
图K－３8－１４
问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理）”用探索飞船带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
定理表述请根据图Ｋ-３8-1５①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).
∴由勾股定理,得AＤ=＝ ＝ .
又∵DＣ=1，
∴AC＝ ＝.
7．24m
8．[答案]49cm2
[解析]如图,∵ａ2＋b2=ｘ2,c2＋d2＝y2，
∴a2=7２＝４9(cｍ2)．
9．４
10.1２.5π
11.10[解析] 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a,股(较长的直角边)为b.
一、选择题
1．如图K－38-1,△ＡBD的面积是( )
A.1８ B．3０ C．36 Ｄ．60
图K-38－１
２．如图K－38-２，在等边三角形ＡBC中，AD是ＢＣ边上的高，BC=2,则AD的长为( )
图K－38-２
A.１ B.2 C. D.
3.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是（ )
图Ｋ-3８－3
4．小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5ｍ后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ )
∴ < .ﻬ
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1.B
2.D
3．Ｄ
4.[解析]Ｃ设旗杆的高度为ｘｍ，则绳子的长为（x＋1)m,由勾股定理,得(x＋1)2=x2＋５２,
解得x=１2.
5．[解析]Ｂ由题意知∠ＡOB＝９0°，由勾股定理得AB＝ ＝＝４0（m)．
6.
[解析]B∵AD⊥BC,
∴∠ADB＝∠ADC＝9０°,
图K－38-5
A.6B．
C．D．4
二、填空题
7．如图K－38－6，为测量某池塘最宽处A,B两点间的距离，在池塘边定一点C，使∠BAC=90°,并测得AＣ的长为1８m，BC的长为３0ｍ,则最宽处A，B两点间的距离为________.
图K-3８－6
8．在如图Ｋ-3８－7所示的图形中,所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形,其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，Ｂ,Ｃ，D的面积之和是_____＿＿_．
(１)画线段ＡD∥BＣ，且使ＡD＝BC,连结CD；
(2)线段AＣ的长为__＿_＿_,CD的长为__＿_＿_，AD的长为___＿_＿__．
图Ｋ－38-11
13．在如图Ｋ－3８-12所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心Ａ和B的距离(单位:mｍ)．
图K－38-１２
1４．勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图K-38-１3摆放时，可以用“面积法”来证明a2+b2＝ｃ２．请你写出证明过程.
图K－38－１5
尝试证明以图①中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底，以a＋b为高的直角梯形（如图②)，请你利用图②验证勾股定理.
知识拓展利用图②中的直角梯形,我们可以证明 <,其证明如下:
∵ＢＣ＝ａ+b,AD＝__＿___＿_.
又∵在直角梯形ＡBCD中，有BC________AD（填“>”“<”或“＝”）,即_＿___＿______＿_,
即两孔中心Ａ和B的距离为130mm．
１４.证明:如图,∵S五边形=S左边梯形+S右边梯形＝S大正方形+2S直角三角形，
∴(b＋ａ＋ｂ)·ｂ+(ａ+a+b）·a=c2＋2× ab，
即 ａb＋b2+a2＋ab＝c2+aｂ，
∴a2+ｂ２＝c2.
图K－３８-13
1５．某市决定在相距10千米的A，B两地之间的E处修建一个土特产加工基地,A,E，Ｂ三点在同一条直线上，如图K－38－14所示,有Ｃ，Ｄ两个农庄，且ＤA⊥AB于点A,CB⊥AＢ于点B，已知AD=8千米,BC＝2千米,要使C,Ｄ两农庄到基地的距离相等，那么基地E应建在距离A地多远的位置？
［推荐学习］2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
ﻩ
［1４．1 1. 第2课时 勾股定理的验证及简单应用]
A.8 mB.１0 ｍC．１2 mD.1４ ｍ
图K-３８－4
5.如图K－38-4,在水塔O的东北方向３２m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑物工地B,在A，B之间建一条直水管，则水管的长为( )
A．4５ mB．40 m
Ｃ．50 mD.56 m
６．如图K－3８－５，在△ＡBＣ中,AD⊥BC于点D,AB＝3,BD=２,DC＝1,则AC等于( )