2014全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

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）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要在进行载人登月或月面勘测时，需要使飞行器实现月面软着陆以保证人员或设备的安全，但关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

本文通过物理中的力学知识以及协方差分析等方法，进行了合理的轨道设计及优化。

针对问题一，对嫦娥三号软着陆的轨道以及六个阶段进行分析，通过机械能守恒定律、开普勒三定律等力学知识，建立了动力学模型。

因为嫦娥三号绕月球运行的轨道是偏心率很小的椭圆，所以可以近似看作圆周轨道运动，然后迅速减速进入椭圆轨道，由动能改变量等于重力势能改变量及开普勒第二定律，算出着陆器在近月点与远月点的速度大小分别是1.69km/s和1.633km/s，方向沿运行轨道切线方向。

然后根据质点运动学知识求出近月点与着陆点水平距离，进而利用坐标正反算软件算出近月点的经纬度为18.63W,40.83N，进而由空间解析几何知识得出了远月点的坐标（1323.67，1216.08，627.037），并采用Matlab软件画出近月点和远月点在三维空间中的示意图。

针对问题二，嫦娥三号着陆轨道近月点和远月点的位置以及相应速度的大小与方向确定后，需要描述的是嫦娥三号软着陆过程中在不同阶段的运动状态，进而确定出嫦娥三号着陆轨道。

由于轨道的设计要以燃料消耗最优为出发点，所以可以在Matlab的平台上采用SFLA[]1优化方法，建立优化模型。

将软着陆的动力学方程做归一处理，经过将软着陆轨道离散化，从而将轨道优化问题转变为参数优化问题。

通过仿真实验，作出嫦娥三号在软着陆过程中径向速度、推力控制角以及月心距的变化曲线，即设计出了最优软着陆轨道。

针对问题三，在一般的发射任务中，软着陆轨道修正都会选取将着陆器送到满足要求的目标轨道上（例如形成满足条件的环月轨道）的方式，而并非送到目标点上，这是因为后者需要选择合适的目标点使得轨道修正的能耗不会太大，且着陆器还需要在目标点进行变轨从而使得实际轨道与标称轨道重合。

考虑到轨道参数的误差相对于轨道参数的标称值是小量，因此可以将轨道运动方程进行线性化，从而得到能够反映轨道参数偏差量的传播关系的误差方程。

因此该问题采用协方差分析的方法，将着陆器发动机的一些技术指标的误差作为待考察的随机误差源，通过考虑嫦娥三号的运动轨迹进而评估位置误差和速度误差对飞行轨道的影响。

最后，通过对变量F的敏感性分析，当F在1500N到6000N时，位移变化较小，运动轨迹影响较小，因此变量F对运动轨迹不敏感；当F在6000N到7500N时，位移变化较大，对运动轨迹影响较大，因此变量F对运动轨迹比较敏感。

通过仿真计算等验证，说明了建立的模型和计算结果都是可靠的。

关键词：动力学模型，轨道优化，混合蛙跳算法，协方差分析法一、问题重述嫦娥三号将在北京时间2013年12月14号在月球表面实施软着陆。

嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注的焦点。

目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了13次无人月球表面软着陆。

嫦娥三号的轨道和嫦娥二号一样，它从地球到月球的路程需要4~5天，到了月球以后，还不能直接登录月球，先得让月球“捕捉”嫦娥三号，使之成为月球的卫星，然后绕行。

一开始沿着绕月球的大椭圆轨道运行，接着需要调整轨道，让它离月球越来越近，一直调整到降落轨道，再根据地面指令，在虹湾地区软着陆。

在月球上软着陆时不能用降落伞，因为月球是真空，降落伞毫无用处，探测器系统原来的初速度很大，加上月球的引力作用，下降的速度会越来越快，这时必须降低它的降落速度。

在嫦娥三号的着陆器下方有一些发动机，可以产生向上的推力，减低它的下降速度。

当它距月面100米高时，地球上的测控人员看不到现场的情况，因此要交给嫦娥三号自己去判断，从而选择相对平坦的地方降落。

嫦娥三号从100米高的地方慢慢下降，落到距离月面4米高的地方关闭发动机，自由落体到月球表面，实现软着陆。

其着陆轨道的基本要求是：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道，着陆轨道为近月点至着陆点，其软着陆过程分为6个阶段（主减速段、快速调整段、粗避障段、精避障段、缓速下降段、自由落体段），尽量减少软着陆过程中的燃料消耗。

本文尝试解决以下问题：问题一：确定着陆轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

问题二：确定嫦娥三号着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

问题三：对于设计的着陆轨道和控制策略做出相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题分析对嫦娥三号软着陆轨道的设计与控制为一个最优控制问题，要求保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，根据软着陆过程中给定的6个阶段在关键点所处的状态设计嫦娥三号软着陆过程的运行轨道，并尽量减少燃料消耗。

(一) 问题一要使嫦娥三号准确地在月球预定区域内实现软着陆，首先需要解决的是近月点位置的选择，根据附件2中嫦娥三号软着陆过程示意图及着陆过程中的主减速阶段和快速减速阶段计算出了着陆器着陆过程的水平位移，进而确定了近月点的位置，由空间解析几何知识得出远月点的位置，并采用Matlab软件画出示意图。

考虑到嫦娥三号绕月球运行的轨道是偏心率很小的椭圆，所以可以近似看作圆周轨道运动，然后迅速减速进入椭圆轨道，又由机械能守恒定律及开普勒第二定律建立动力学模型算出在近月点与远月点的速度和方向。

(二) 问题二嫦娥三号着陆轨道近月点和远月点的位置以及相应速度的大小与方向确定后，需要描述是嫦娥三号软着陆过程中在不同阶段的运动状态，进而确定出嫦娥三号着陆轨道。

由于在整个着陆过程中力的方向和大小在不断的变化，如何确定每个阶段的运行时间和位移以及相应阶段在关键点力的方向和大小，使每个阶段燃料消耗最少是这个问题的关键。

我们将软着陆的动力学方程做归一处理，经过将软着陆轨道离散化，从而将轨道优化问题转变为参数优化问题，最后设计了蛙跳法作为优化方法。

(三) 问题三本问题需要解决的是对于问题一、问题二轨道的设计进行误差分析和敏感性分析。

由于前两个问题中的模型比较理想化，未考虑着陆器的质量随时间的变化，与实际情况中嫦娥三号的速度与位移存在较大的误差，为了减小误差，使它与实际轨道较为相符，采用协方差的方法，通过考虑嫦娥三号的运动轨迹继而评估位置误差和速度误差对飞行轨道的影响。

推力为定值时，在不同数值的推力作用下，水平位移受其影响在不断变化，因此判断F对水平位移的敏感性。

三、模型假设1.月球的偏心率为0；2.由环月圆轨道进入椭圆轨道推力做的功较小，忽略不计；3.忽略月球自转和倾斜角；4.无穷远处万有引力势能为零；5.月球半径取月球平均半径1737.013km；6.地球对嫦娥三号的引力忽略不计；7.月球表面无大气层；四、符号说明五、模型建立与求解（一）问题一1问题分析嫦娥三号在进入椭圆轨道前在距月面100的环月轨道做匀速圆周运动，然后迅速减速进入近月点高度约15公里，远月点高度约为100公里的椭圆轨道，由于绕月球运行的轨道是偏心率很小的椭圆，可以近似看作圆周轨道运动，由能量守恒定律及开普勒第二定律，算出着陆器在近月点与远月点的速度，其方向沿运行轨道切线方向。

对嫦娥三号软着陆过程进行分析，将嫦娥三号在软着陆过程中受到的推力分解为竖直方向与水平方向，大小视为恒定的平均值，通过质点运动学的公式算出主减速阶段的时间，代入到水平方向的运动方程中算出水平位移并利用坐标正反算软件算出近月点的经纬度，进而由空间解析几何知识得出了远月点的位置，并采用Matlab 软件画出近月点和远月点在三维空间中的示意图。

2动力学模型的建立与求解模型一在环圆轨道进入椭圆轨道时，运用能量守恒定律及开普勒第二定律可知：飞船在向心力的作用下沿轨道运行时，其掠面速度是恒定的，可列出两个方程：R g m v m E v p ⋅⋅-⋅⋅=+⋅⋅月近远2221m 21 （1） 近远v r ⋅=⋅R v （2）若取无穷远处为万有引力势能的零点，则嫦娥三号在椭圆轨道上运行的势能为：rGMm dr r GMm E P -==⎰∞r 2 （3） 又因月月g m R GM ⋅=2m （4） 故有rR g E P 2m 月月⋅⋅-= （5） 由此解得s km v /692.1=近，s km v /633.1=远，其方向分别与运行轨道相切。

在嫦娥三号卫星软着陆过程中，可以将主减速阶段看作类平抛运动，水平方向初速度为近月点速度，即s km v /692.1=近，竖直方向速度为=0竖v 0s m k ，完成主减速阶段后进入快速调整阶段，此时的速度57/m s 可近似看作为竖直方向的速度，故竖直方向的速度为s m v /571=竖，主减速阶段竖直方向距离变化量m h 120001=∆，对竖直方向进行分析，因为飞船的推力大小和方向随时间在不断变化，竖直方向的分力大小也在改变，为了方便计算，将嫦娥三号在软着陆过程中受到的推力分解为竖直方向与水平方向，大小视为恒定的平均值，于是竖直方向的力大小恒定。

由机械能守恒定律和牛顿第二定律，列出下式：)(212021111竖竖竖月v v m h F h mg -=∆⋅-∆ （6） 11-ma F mg =竖月 （7）月g h t 112∆= （8） 由式（6）、（7）、（8）得出s t s m a N F 421,/135.0,1.35951211===竖。