2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8
数学建模方法期末考试试卷(2014年下半年)
2014-2015学年第一学期期末考试课程试卷课名称：数学建模方法 课程号：SAM12I001 考核方式： 考查请考生诚信考试，遵守考试纪律，如有违纪行为将受到警告、严重警告、记过、留校察看，直至开除学籍处分！一、（15分）某厂利用甲、乙、丙三种原料生产A 、B 、C 、D 、E 五种产品，单位产品（万件）对原材料的消耗（吨）、原材料的限量（吨）以及单位产品利润如下表。
问五种产品各生产多少才能使总利润达到最大？建立线性规划问题数学模型。
并准确写出用LINGO 软件求解的程序。
二、（15分）用单纯形方法求如下线性规划问题的最优解。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,,,3054345536..500300400S m ax 54321321321321x x x x x x x x x x x t s x x x 学号：________________ 姓名：________________ 班级：______________请考生将答案写在试卷相应答题区，在其他地方作答视为无效！………………………………………………………………………………………………………………………………………………三、（15分）上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。
其主要产品有４种，分别用代号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示，生产Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品主要经过冲压、成形、装配和喷漆四个阶段。
根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要的加工时间、利润以及可供使用的总工时如下表所示：在现有资源的条件下如何安排生产，可获得利润最大？现设上述问题的决策变量如下：4321,,,x x x x 分别表示A 、B 、C 、D 型产品的产量，则可建立线性规划模型如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤+++≤++++++=0,,,300048462000552424005284480..81169m ax 432143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 利用LINGO10.0软件进行求解，得求解结果如下：Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 4450.000 Variable Value Reduced Cost X1 400.0000 0.000000 X2 0.000000 0.5000000 X3 70.00000 0.000000 X4 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4450.000 1.000000 2 0.000000 2.500000 3 610.0000 0.000000 4 0.000000 0.5000000 5 0.000000 0.7500000（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；（2）写出线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解；（3）灵敏度分析结果如下：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 9.000000 0.5000000 0.1666667X2 6.000000 0.5000000 INFINITYX3 11.00000 0.3333333 1.000000X4 8.000000 1.000000 1.000000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 20.00000 80.000003 2400.000 INFINITY 610.00004 2000.000 400.0000 20.000005 3000.000 40.00000 280.0000对灵敏度分析结果进行分析四、（15分）给定下列3个供应点和4个需求点的平衡运输问题，为使总费用最小，求最优的调运方案。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛(B,C,D)题目
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B题创意平板折叠桌某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。
试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。
要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
图1图2图3图4附件：视频2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C题生猪养殖场的经营管理某养猪场最多能养10000头猪，该养猪场利用自己的种猪进行繁育。
2013—2014(下)专科数学建模试题(A、B)
……………………装……………………订……………………线…………………………商丘师范学院2013-2014学年度第二学期期终考试数学与信息科学学院数学教育专业12级（数专12-1班、数专12-2班）《数学建模》试卷说明：1、专科共有A、B两道题目，任选一题。
2、6月17日之前完成，字数不少于3000字。
3、论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；不用装订。
4、打印后手写姓名、学号等信息，同时把论文电子版发至sqsyjianmo@，邮件标题和文件名均为班级+姓名的形式，例如：数专一班张三。
5、论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。
论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。
6、提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。
7、论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在10页以内，附录页数不限）。
8、引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。
正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如：微分方程模型[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。
参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年.参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号] 作者，论文名，杂志名，出版年,卷期号：起止页码.参考文献中网上资源的表述方式为：[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）.……………………装……………………订……………………线…………………………A题：实验设备的购买策略某高校实验室需要采购一台实验设备，初步计划在3个不同的品牌之中选购该设备，在采购时需要考虑该设备的功能、价格、和可维护性等方面。
数学建模与数学实验习题答案
数学建模与数学实验习题答案数学建模与数学实验习题答案数学建模和数学实验习题是数学学习中的重要组成部分，通过这些习题，我们可以更好地理解和应用数学知识。
本文将介绍数学建模和数学实验习题的一些答案和解题方法，帮助读者更好地掌握数学学习。
一、数学建模数学建模是将数学方法和技巧应用于实际问题的过程。
在数学建模中，我们需要将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行求解和分析。
下面是一个简单的数学建模问题和其解题过程。
问题：某工厂生产产品A和产品B，每天的产量分别为x和y。
产品A的生产成本为10x+20y，产品B的生产成本为15x+10y。
如果工厂每天的总成本不超过5000元，且产品A的产量必须大于产品B的产量，求工厂一天最多能生产多少个产品。
解题过程：首先，我们需要建立数学模型来描述这个问题。
设产品A的产量为x，产品B的产量为y，则问题可以抽象为以下数学模型：10x+20y ≤ 5000x > y接下来，我们需要解决这个数学模型。
首先，我们可以通过图像法来解决这个问题。
将不等式10x+20y ≤ 5000和x > y转化为直线的形式，我们可以得到以下图像：（图像略）从图像中可以看出，不等式10x+20y ≤ 5000和x > y的解集为图像的交集部分。
通过观察图像，我们可以发现交集部分的最大值为x=250，y=125。
因此，工厂一天最多能生产250个产品A和125个产品B。
除了图像法，我们还可以通过代数法来解决这个问题。
将不等式10x+20y ≤ 5000和x > y转化为等式的形式，我们可以得到以下方程组：10x+20y = 5000x = y通过求解这个方程组，我们可以得到x=250，y=125。
因此，工厂一天最多能生产250个产品A和125个产品B。
二、数学实验习题数学实验习题是通过实际操作和实验来学习数学知识和技巧的一种方式。
下面是一个关于概率的数学实验习题和其答案。
习题：一枚硬币抛掷10次，求出现正面的次数为偶数的概率。
数学建模与数学实验课后习题答案
P594•学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432 人住在C 宿舍。
学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各 宿舍的委员数。
解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。
i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C ）， p i 表 示i 宿舍现有住宿人数， n i 表示i 宿舍分配到的委员席位。
首先，我们先按比例分配委员席位。
23710 A 宿舍为:n A ==2.365 1002 333"0 B 宿舍为：n B =3.323 1002 432X0 C 宿舍为：n C =4.3111002现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。
经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。
所以，总的席位分配应为： A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。
QA23722 3= 9361.5 Q B33323 4 = 9240.7 Q C4322 4 5=9331.2商人们怎样安全过河傻麴删舫紬削＜ I 11山名畝臥蹄峨颂禮训鋤嫌邂 韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展 縣確牡GH 錚俩軸飙奸比臥鋪謎 smm 彌鯉械即第紘麵觎岸締熾 x^M 曲颁M 删牘HX …佛讪卜过樹蘇 卜允棘髒合 岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口 於广歎煙船上觸人敦% V O J U;xMmm朗“…他1曲策D 咿川| thPl,2卜允隸策集合 刼為和啊母紳轉 多步贱 就匚叫=1入“山使曲并按 腿翻律由汩3』和騒側），模型求解 -穷举法〜编程上机 ■图解法S={(x ?jOI x=o, j-0,1,2,3;X =3? J =0,1,2,3； X =»*=1,2}J规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况状态$=（xy¥）~ 16个格点 允许状态〜U ）个。
点 , 允许决策〜移动1或2格； k 奇）左下移；&偶，右上移. 右，…，必I 给出安全渡河方案评注和思考［廿rfn片,rfl12 3xmm賤縣臓由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。
2014数学建模综合练习题答案
E ) r
E ) ，由微分法得知，其最大值在 E = r 时达到最大值. r
2. 甲市的一公司共有五个部门 A、B、C、D、E，由于在各城市的成本有所不同，为了达到 最大的效益，要把某些部门迁到乙市及丙市，单纯由搬迁可获得的利益（单位万元）如下： A B C D E 乙 丙 10 10 15 20 10 15 20 15 5 15
解： 该问题的 Euler 方程为: Ty′′ + g ρ = 0 , 由两端点的条件 y (− = L) 0, y ( = L) 0 解得曲线 方程为： = y
gρ 2 (L − x2 ) 2
位通讯费。则数学模型为
max10000∑∑ Bij xij −∑∑∑∑ C jl Dik yijkl
i= 1 j= 1 i = 1 j = 1 k >i l = 1
5
3
5
3
5
3
（同部门不计费，不同部门不重复计费）
s.t.
5
∑x
j =1
ij
3
ij
= 1 （各部门只搬至一市）
∑x
i =1
≥ 1 （要求每个城市至少一个部门，若无此要求，则不要此约束条件）
3. 设一均匀线密度为 ρ 的轻质细弹性弦，两端分别固定在点（-L,0）及点（L,0）上拉紧， 张力为常数 T，受重力的影响有微小的向下弯曲，曲线用 y=y(x)表示，设 y 轴向下为正，则 根据物理定律，其弹性势能与位能之和达到最小值，即
= J[ y ]
−L
∫ ( 2 ( y′)
L
T
2
− g ρ y )dx 其中 g 为重力加速度常数，求该弹性弦的曲线方程.
yijkl − xij ≤ 0 , yijkl − xkl ≤ 0 , xij + xkl − yijkl ≤ 1 (k > i ) （线性化 yijkl = xij xkl ） xij , yijkl 为零一变量， i, k = 1, 2,3, 4,5. j , l = 1, 2,3.
《数学建模与数学实验》期末考查试卷
《数学建模与数学实验》考查方案教学部门及专业数学学院11级数学与应用数学专业课程名称数学建模与数学实验教学班级2011级数学与应用数学1、2班考查时间第 19 周考核方式试卷□ 过程评价□ 作业或调查□ 作品 项目任务□ □√一、必做题：（60分）1、简答题：（20分）（1）通过《数学建模与数学实验》课程的学习，请谈谈对数学建模和数学实验的认识，学习《数学建模与数学实验》课程的收获。
（不少于500字）（15分）（2）简要说明数学建模的一般过程或步骤。
（5分）2、（40分） 一阶常微分方程模型——人口模型与预测下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（），0=t 万人。
1016540=N 年198219831984198519861987198819891990人口（万）101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口（万）115823117171118517119850121121122389123626124810要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，用数据拟合求相应的参数，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）建立中国人口的Logistic 模型，用数据拟合求相应的参数，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（3）利用MATLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
（4）利用MATLAB 图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。
（5）用两个模型估计2015年中国人口。
二、选作题：（40分）（在如下问题中任选一题做建模解答）第1题 送货模型某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C 从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路(如图１)。
2013 – 2014 学年第二学期《数学建模与数学实验》期末考察
2013 – 2014 学年第二学期《数学建模与数学实验》期末考察问题A 题某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台．每季度的生产费用为2f+=x)(bxax（单位:元）, 其中x是该季度生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问:工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释．B 题讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系．（1）若国民平均收入x与人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的．（2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会导致什么后果．C题交巡警服务平台的设置与调度“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：(1) 附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。
请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。
(2) 对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
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2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8
1．轮船的甲板成近似半椭圆面形为了得到甲板的面积。
首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。
【1】命令：
x=0:0.711:8.534;
y2=[0,0.914^2,5.060^2,7.772^2,8.717^2,9.083^2,9.144^2,9.083^2,8.992^2,
8.687^2,7.376^2,2.073^2,0];
%plot(x,y2,'*');
a=polyfit(x,y2,2)
【2】结果：
a =
-5.2832 46.5248 -16.7465
得y^2=-5.2832*x^2+46.5248*x-16.7465,即y^2/85.68+(x-4.4031)^2/16.2175=1
故面积=0.5*a*b*pi=58.56.
2．物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。
测得位移与受力如表8.1
求(a) 物体从位移为0到0.4所做的功；
(b) 位移为0.4时的速度是多少？
【1】命令：
x=0:0.1:1.0;
f=[20,21,21,20,19,18.5,18.0,13.5,9,4.5,0];
plot(x,f,'*');hold on;
a=polyfit(x,f,2)
f2=-34.4988*x.*x+14.8625*x+19.5979;
plot(x,f2);
syms t
y=-34.4988*t.*t+14.8625*t+19.5979;
w=vpa(int(y,t,0,0.4),8)
V=diff(y);t=2;v=eval(V)
【2】结果：
a = -34.4988 14.8625 19.5979
w = 8.2921856
v = -123.1327
3．火车行驶的路程、速度数据如表8.2，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。
表8.2
t(分) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
v(km/h) 10 18 25 29 32 20 11 5 2 0
【1】命令：%梯形积分法
t=linspace(0,1/3,11); v=[0 10 18 25 29 32 20 11 5 2 0];
ti=0:0.000001:1/3;
vi=interp1(t,v,ti,'spline');
plot(t,v,'o',ti,vi);
s=trapz(ti,vi)%或s=sum((ti(2)-ti(1)).*vi)
xlabel('t');ylabel('v');
【2】结果：
s = 5.1066 km
4．确定地球与金星之间的距离
天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表8.3。
表8.3
日期（号）18 20 22 24 26 28 30
距离对数9.9617724 9.9543645 9.9468069 9.9390950 9.9312245 9.9231915 9.9149925
由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？
【1】命令：
t=[18 20 22 24 26 28 30];
s=[9.9617724 9.9543645 9.9468069 9.9390950 9.9312245 9.9231915 9.9149925];
plot(t,s,'*');
t=interp1(s,t,9.9351799,'linear')
【2】结果：
由图像可知t和s在该区间内近似满足线性关系，故可用线性插值直接求出:
t =24.9949 即为25号。
5.日照时间分布表7.4的气象资料是某一地区1985-1998年间不同月份的平均日照时间的观测数据（单位：小时/月），试分析日照时间的变化规律。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 日照80.9 67.2 67.1 50.5 32.0 33.6 36.6 46.8 52.3 62.0 64.1 71.2
m=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];
t=[80.9 67.2 67.1 50.5 32.0 33.6 36.6 46.8 52.3 62.0 64.1 71.2];
plot(m,t,'*');hold on;
a=polyfit(m,t,5)
x=1:12;
f=0.0069*x.^5-0.2669*x.^4+3.7108*x.^3-20.8889*x.^2+36.2143*x+60.0136;
plot(x,f);
【2】结果：
大致符合
f=0.0069*x.^5-0.2669*x.^4+3.7108*x.^3-20.8889*x.^2+36.2143*x+60.0136;
的分布，呈现夏季短日照冬季长日照，春秋居中的规律。
1-6月份递减，6-12月份递增。
6．山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800） （0，2400）内，单位：米）测得一些地点的高程（单位：米）如表8.5，试作出该山区的地貌图和等高线图。
表8.5
2400 2000 1600 1200 800 400 0 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900
Y/X 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800
X=[0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800];
Y=[0 400 800 1200 1600 2000 2400];
[x,y]=meshgrid(X,Y);
z=[1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900;... 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060;... 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150;... 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380;... 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600;... 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200;... 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940]; figure(1);
meshz(x,y,z)
title('源数据点')
xi=[0:40:2800]; yi=[0:40:2400];
zc=interp2(x,y,z,xi,yi','spline');
figure(2);
surfc(xi,yi,zc);
title('地貌图');
figure(3);
contour(xi,yi,zc);
【2】结果：
/link?url=UGLNrMaDxsLNWJoLJev8lRFaExA12czDDu9hkr1DK9ldS74KgQVn4 QHumyDr2o6kTw9wKjfp-vz8B592n6p3zyyjCyfYLI-gZg_Zgh77_b3。