数学建模作业_实验1
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A 题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。
根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。
如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。
出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。
（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。
B 题 铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o 的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。
最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。
以降落点为原点O建立直角坐标系。
《数学建模实验》
《数学建模》上机作业信科05-3韩亚0511010305实验1 线性规划模型一、实验名称：线性规划模型—设备的最优配备问题。
二、实验目的：掌握线性规划模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB 库函数求解。
三、实验题目：某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
四、实验要求：1、若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型。
2、利用相应的数值方法求解此问题的数学模型。
3、谈一谈你对这类线性规划问题的理解。
4、举一个简单的二维线性规划问题，并针对此问题将你所了解的线性规划的求解方法作出总结。
5、用软件lindo 或lingo 求解上述问题。
（选做题）6、编写单纯形算法的MATLAB 程序。
（选做题） 五、实验内容：解：设第i 个月进货xi 件，销售yi 件，则下半年总收益为销售收入减去进货费和仓库储存费之和，所以目标函数为：1211109871211109711109871211109875.232427252628252528262729)2345(5.0)2345)300(6(5.07x x x x x x y y y y y y y y y y y x x x x x x z y ------+++++++++++++++++-=整理后得：90024255.28275.2831255.25295.27295.31121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z由于仓库的容量为1500件，每个月的库存量大于0，小于1500，所以有如下约束条件150030001500300015003000150030001500300015003000111210119108978710119108978791089787897877877≤-+-+-+-+-++≤≤-+-+-+-++≤≤-+-+-++≤≤-+-++≤≤-++≤≤+≤y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x x x又有年底库存量不少于300则：300300121112101191089787≥--+-+-+-+-++y y x y x y x y x y x x化为抽象的线性规划模型为：90024255.28275.2831255.25295.27295.31max 121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z ，;12,,8,7;0,0120030012003001200300120030012003001200300121112101191089787111210119108978710119108978791089787897877877 =≥≥--+-+-+-+-+≤-+-+-+-+-+≤-≤-+-+-+-+≤-≤-+-+-+≤-≤-+-+≤-≤-+≤-≤≤-i y x y y x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x x x STi i线性规划目标函数的系数:f = [31; 28.5; 27; 28.5;25;24;-31.5;-29;-27.5;-29;-25.5;-25]; 约束方程的系数及右端项： A=[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0 1,1,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0 1,1,1,1,0,0,-1,-1,-1,0,0,0 1,1,1,1,1,0,-1,-1,-1,-1,0,0 1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,0 -1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 -1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0 -1,-1,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0 -1,-1,-1,-1,0,0,1,1,1,0,0,0 -1,-1,-1,-1,-1,0,1,1,1,1,0,0 -1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,0 -1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1];b=[1200;1200;1200;1200;1200;1200; 300; 300; 300; 300; 300; 300;0]; lb=zeros(12,1);[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);实验2 非线性规划模型一、实验名称：非线性规划模型。
数学建模实验报告
《数学建模实验》实验报告学院名称数学与信息学院专业名称提交日期课程教师实验一：数学规划模型AMPL求解实验内容1. 用AMPL求解下列问题并作灵敏度分析:一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。
（1）建立模型文件：milk.modset Products ordered;param Time{i in Products }>0;param Quan{i in Products}>0;param Profit{i in Products}>0;var x{i in Products}>=0;maximize profit: sum{i in Products} Profit [i]* Quan [i]*x[i];subject to raw: sum{i in Products}x[i] <=50;subject to time:sum{i in Products}Time[i]*x[i]<=480;subject to capacity: Quan[first(Products)]*x[first(Products)]<=100;（2）建立数据文件milk.datset Products:=A1 A2;param Time:=A1 12 A2 8;param Quan:=A1 3 A2 4;param Profit:=A1 24 A2 16;(3) 建立批处理文件milk.runmodel milk.mod;data milk.dat;option solver cplex;solve;display x;(4)运行运行结果：CPLEX 11.0.0: optimal solution; objective 33602 dual simplex iterations (1 in phase I)x [*] :=A1 20A2 30;（5）灵敏度分析：model milk.mod;data milk.dat;option solver cplex;option cplex_options 'sensitivity';solve;display x;display x.rc, x.down, x.up;display raw, time, capacity;display raw.down, raw.up,raw.current, raw.slack;得到结果：【灵敏度分析】: x.rc x.down x.up:=A1 -3.55271e-15 64 96A2 0 48 72;raw = 48time = 2capacity = 0raw.down = 43.3333raw.up = 60raw.current = 50raw.slack = 0某公司有6个建筑工地，位置坐标为(a i, b i)(单位：公里),水泥日用量d i (单位：吨）1) 现有j j j吨，制定每天的供应计划，即从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
数学建模 -实验报告1
������������⁄������������ = ������������(1 − (������ + ������)) − ������1������∗������,
（4 − 3）
������������∗⁄������������ = −������1������∗������ + ������2������
二、 问题分析
建立肿瘤细胞增长模型时，我们可以从自由增长模型开始分析，引进 Logistic 阻滞增长模型，构成肿瘤细胞增长初步框架。再者肿瘤细胞不同于普 通细胞，其生长受到人体自身免疫系统的制约。于是综合考虑正常细胞转化，癌 细胞增殖，癌细胞死亡，癌细胞被效应细胞消除等情况，建立动力学方程。并对 模型进行适当简化求解。在放射治疗方案的设计中，我们可以引入放射生物学中 广泛接受的 LQ 模型对问题进行分析，由于放疗对人体伤害相当大，因此我们采 取分次逐次放疗的方式进行治疗。我们具体分两种情形进行讨论，一是在总剂量 一定的条件下，不同的分次剂量组合对生物效应的影响；二是在产生相同生物效 应的情况下，分析最优的分次剂量组合。
易算出癌细胞转入活动期已有 300 多天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一 （2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀
死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细 胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于 100000 个时即可凭借体内 免疫系统杀灭）。
进一步简化，根据(4-4)，(4-5)式可知，效应细胞������∗和复合物������有出有进．假 设出入保持平衡，则有
������ + ������∗ = C (C 为常数)
数学建模第一次实验报告
数学建模第一次实验报告问题描述：2.某动物从食物中每天得到2500卡（1卡=4.18焦）的热量，其中1200卡用于基本的新陈代谢，每天每kg的体重要再消耗16卡，假如它每增加1kg体重需要10000卡的热量，问该动物体重将怎样变化？解：设动物体重为m。
令动物每日消耗热量等于获取的热量，可求得最大体重。
此时，2500=1200+16mm=81.25kg根据生物学知识可知，没有动物的出生时的体重会大于成年后的体重，即m≤81.25kg。
又设每天体重的变化量为dm，2500=1200+16m+10000dm/dtt=625In（16m-1300）m=1/16*（e^(t/625)+1300）3.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的两只球队中的胜者及轮空着进入下一轮，直至比赛结束，问共需进行多少场比赛？解：各球队的胜负对比赛场次无影响，忽略。
将其拆解为一轮一轮的比赛分析：第一轮：37÷2=18……1——>19第二轮：19÷2=9 ……1——>10第三轮：10÷2=5 ——>5第四轮： 5÷2=2 ……1——>3第五轮： 3÷2=1 ……1——>2第六轮： 2÷2=1 ——>1所以，一共进行六轮比赛，其场数为：18+9+5+2+1+1=36（场）答：一共36场比赛。
4.1条河宽1km，两岸各有一个城镇A与B，A与B的直线距离为4km。
今需铺设一条电缆连接A与B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸为平行的直线，问应该如何架设电缆方可以使总建设费用最少？AB D C如图，设C 点。
易知A-D-B 为铺设路线，设AD 长为a ，BD 长为b ，总花费为m 。
其中1<a<4,0<b<15所以，m=4a+2b (1)（15-b ）2+12=a 2 (2)所以， m=4215216b b +-+2b 求得m 最小值即可。
数学建模课堂三个实验报告
数学建模实验报告班级：_____计算机科学与技术1班___学号：______11403070137___________姓名：_____ _鄢良康 ___________教师：_______黄正刚 __________计算机科学与工程学院实验一线性规划模型一、实验学时：2H二、实验类型：计算三、实验目的1、掌握建立线性规划数学模型的方法；2、用LINDO求解线性规划问题并进行灵敏度分析；3、对计算结果进行分析。
四、实验所需仪器与设备微机和LINDO软件。
五、实验内容，方法和步骤1、建立数学模型；2、用LINDO软件计算；3、输出计算结果；4、结果分析。
实验一问题内容：某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表，要求（1）确定获得最大的产品生产计划；（2）产品A的利润在什么范围内变动时，上述计划不变；（3）如果原材料数量不增加，劳动力不足时可从市场购买，为1.8元/h。
问：该厂要不要招收劳动力扩大生产，以购多少为宜？建立数学模型：如截图所示用LINDO软件计算；输出结果：（1）确定获利最大的产品生产计划从数据中可以得出：追求的最大利润为2700元。
其中生产X1数量的50，X2数量的0，X3数量的30。
（2）产品A的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变？30+18=4830-6=24故波动范围在24-48之间。
（4）如果原材料的数量不增，劳动力不足时可从市场购买，伟1.8/h。
问：该厂要不要招收劳动力扩大生产，以购买多少为宜？答：选择购买150个单位。
根据影子价格分析，对于劳动力的购买，每增加1小时，总利润增长为2元大于购买力1.8元，所以选择购买，最大为150个劳动力。
实验二非线性规划模型一、实验学时：1H二、实验类型：计算三、实验目的掌握LINGO求解非线性规划的方法。
四、实验所需仪器与设备微机、LINGO软件。
五、实验内容，方法和步骤1、把非线性规划模型输入LINGO软件计算；2、输出计算结果。
数学建模作业一：汽车刹车距离
汽车刹车距离一、问题描写司机在碰到突发紧迫情形时都邑刹车,从司机决议刹车开端到汽车停滞行驶的距离为刹车距离,车速越快,刹车距离越长.那么刹车距离与车速之间具有什么样的关系呢？二、问题剖析汽车的刹车距离有反响距离和刹车距离两部分构成,反响距离指的是司机看到须要刹车的情形到汽车制动器开端起感化汽车行使的距离,刹车距离指的是制动器开端起感化到汽车完整停滞的距离.反响距离有反响时光和车速决议,反响时光取决于司机小我状态（敏锐.机灵等）和制动体系的敏锐性,因为很难对反响时光进行差别,是以,平日以为反响时光为常数,并且在这段时光内车速不变.刹车距离与制动感化力.车重.车速以及路面状态等身分有关系.由能量守恒制动力所做的功等于汽车动能的转变.设计制动器的一个合理原则是,最大制动力大体上与汽车的质量成正比,汽车的减速度根本上是常数.路面状态可以为是固定的.三、问题求解1、模子假设依据上述剖析,可作如下假设：①刹车距离d等于反响距离1d和制动距离2d之和;②反响距离1d 与车速v 成正比,且比例系数为反响时光t;③刹车时应用最大制动力F,F 作的功等于汽车动能的转变,且F 与车质量m 成正比;④人的反响时光t 为一个常数; ⑤在反响时光内车速v 不变 ; ⑥路面状态是固定的;⑦汽车的减速度a 根本上是一个常数. 2、 模子树立由上述假设,可得： ⑴tv d =2;⑵2221mv Fd =,而ma F =,则2221v ad =.所以22kv d =. 综上,刹车距离的模子为2kv tv d +=. 3.参数估量可用我国某机构供给的刹车距离现实不雅察数据来拟合未知参数t 和k.转化单位后得：车速（公里/小时） 20 40 60 80 100 120 140现实刹车距离（米）118.0用Mathematica 进行拟合,代码如下： Clear[x,v,d];x={{20/3.6,6.5},{40/3.6,17.8},{60/3.6,33.6},{80/3.6,57.1},{100/3.6,83.4},{120/3.6,118},{140/3.6,153.5}}; d=Fit[x,{v,v^2},v];Print["d=",d];Plot[d,{v,0,200/3.6}] 成果： 4. 成果剖析将拟合成果与现实成果比较：（代码） Clear[v,d];d=0.65218*v/3.6+0.0852792*(v/3.6)^2;For[v=20,v<=140,v=v+20,Print["速度为",v,"km/h 时刹车距离为",d]] 成果：车速（公里/小时） 20 40 60 80 100 120 140 现实刹车距离（米） 盘算刹车距离（米）盘算刹车距离与现实刹车距离基底细当.综上,反响时光t 约等于0.6522秒,刹车时减速度约等于2/62/1s m k ≈.刹车距离与车速的关系知足：208528.06522.0d v v +=.。
实验一：拟合实验报告
实验报告
实验项目名称拟合实验所属课程名称数学建模实验类型综合性实验实验日期
班级
学号
姓名
成绩
【实验目的】
1、直观了解拟合基本内容。
2、掌握用数学软件求解拟合问题。
【实验原理】
1. 曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数 r 1(x), r 2(x), …,r m (x), m<n, 令
f(x)=a 1r 1(x)+a 2r 2(x)+ …+a m r m (x) （1） 其中 a 1,a 2, …,a m 为待定系数．
第二步: 确定a 1,a 2, …,a m 的准则（最小二乘准则）： 使n 个点（x i ,y i ) 与曲线 y=f(x) 的距离
i 的平方和最小 ．
22
1211
2
1
1
(,,
)[()][()](2)
n
n
m i i i i i n
m
k k i i i k J a a a f x y a r x y δ======-=-∑∑∑∑
MATLAB 函数： p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n)
多项式曲线求值函数：polyval( ) 调用格式： y=polyval(p,x)
p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。
s 用于生成预测值的误差估计。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学建模作业——实验1学院：软件学院：学号：班级：软件工程2015级 GCT班：：日期：2016年5月10日基本实验1.椅子放平问题依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。
答：能放平，证明如下：如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，则一定存在α’∈（0，π），使得f(α’)=g(α’)=0令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则f(π)=0，g(π)＞0定义h(α)= f(α)-g(α)，得到h(0)=f(0)-g(0)＞0h(π)=f(π)-g(π) ＜0根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（ 0，π），使得 h(α’)= f(α’)-g(α’)=0结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。
2. 过河问题依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。
答： 用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。
1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。
安全状态集合为 :乘船方案，记作()4321,,,u u u u U =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=U因为乘船k 为奇数时船从此案驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k U 变化的规律为()kU kk s k s 11-+=+， 设计安全过河方案归结为求决策,,,,21U U U U n ∈ ，使状态Ss k ∈按转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经有限步n 到达状态()0,0,0,01=+n s 。
根据题设条件:影响安全渡河的元素是猫、鸡、米，这3个元素中取2个元素的组合一共有=3种，分别为猫+鸡，猫+米，鸡+米。
其中“猫+鸡”和“鸡+米”组合不安全，而“猫+米”的组合是安全的。
第一次渡河需带3个元素中的1个元素，另外2个元素留在岸上，而留在岸上的3种组合中只有“猫+米”的组合是安全的，可见第一次渡河只能带鸡，即安全方案只有U=(1，0，1，0)，第二次将米或者猫带到对岸，把鸡带回，第三次将猫或者米带到对岸，第四次将鸡带过河，至此，猫、鸡、米均安全过河。
具体有2种执行方案如下：上述方案直观表示如下：3.购房贷款问题（续）在1.2.3节“购房贷款”的问题中，我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式。
现进一步讨论此问题。
某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户（利率仍按06%/月计算），他们帮你提前3年还清贷款。
但条件如下：（1）每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；（2）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
答：设每月还款额为x，利率r,贷款额A0，总还款月数为N，总还款额为X。
若贷款20万，20年期，则：x===1574.7元X=x×N=1574.7×240=377928元若请这家借贷公司还款，则还款总额X1=x(N-3×12)+ 10%A0=1574.7×204+20000=341238.8元但小王夫妇预付给借贷公司20000元的佣金，如果把这20000元作为首付，则小王夫妇只需贷款18万，则总还款额：X2=X(1-10%)=340135.2元还款月数：N2=X2÷x=340135.2÷1574.7=216月=18年X1＞X2，小王夫妇不需用借贷公司还款。
4.冷却定律按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0(T0<T)的环境中冷却的速度与温差T-T0成正比。
用此定律建立相应的微分方程模型。
如果空气的温度是20℃，且沸腾的水在20分钟冷却到60℃，那么水温降低到30℃需要多长时间？答：首先，牛顿冷却定律为温度为T(t)的物体在温度的环境中冷却的速度与温度差成正比。
所以，得出微分方程，K为比例常数。
任意时刻t，物体的温度为，C为常数根据已知条件，T0=20℃,记t=0时刻，初始水温T（0）=100℃，20分钟后水温T（20）=60℃。
则：求解函数得，k=-0.034657，C=80，即当水温降低到30℃时，t=-ln（（30-20）÷80）÷0.034657=60分钟。
5.锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理由即可）（1）某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一山路下山，下午5时回到酒店。
该人比在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？答：题中人记作A，假定有另一个人B,第二天复制A第一天的上山过程（即任何时刻的足迹均相同），那么问题相当于A、B两人分别从一段路的两端同时出发，相向行走，同时到达另一端。
则A、B二人必然会在路途中相遇，相遇点即为A在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
也可用下图加以说明，两条曲线分别为上山和下山的曲线，两天都是同一时刻出发，同一时刻到达，无论曲线如何变化，总会有一个相交点，相交点即为为A在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
（2）甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，大约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻是如何安排的？答：由题意可知，搭乘乙站开往甲站的车概率是90%，搭乘甲站开往乙站的车概率是10%。
说明90%的时间等来的是乙站开往甲站的车，10%的时间等来的是甲站开往乙站的车，而发车时间间隔是10分钟，进而说明：10分钟有9分钟等来的是乙站开往甲站的车，有1分钟等来的是甲站开往乙站的车。
因此可以得出结论：乙站开往甲站的车到站后1分钟，甲站开往乙站的车到站。
开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻可表示如下（H0为乙站开往甲站的首班车时刻）：H0乙甲H0+1 甲乙H0+10 乙甲H0+11 甲乙H0+15 乙甲H0+16 甲乙…… ……（3）先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。
一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。
到家时先生发现比往常提前了10分钟，问先生步行了多长时间？答：先生从火车站比往常早出发30分钟，早到家10分钟，则其步行路段用时比往常多了20分钟。
他妻子从家出发时间不变，早到家10分钟，则其少行驶了10分钟的路程，即先生步行路段的往返路程，那么先生步行路段的单程行车时间为5分钟。
先生步行的时间应为比往常多用的时间和步行路段的单程行车时间之和，即25分钟。
（4）一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。
一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。
问小狗奔波了多少路程。
如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问他们到达学校时小狗在何处？答：由于他们到家的用时都是2÷4=0.5小时，所以小狗奔波的路程为6×0.5=3公里。
上学过程是放学过程的逆向过程，所以在他们到达学校时小狗的位置为放学时的起始位置，即男孩所在的学校。
加分实验（公平投票问题）某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果确定资助的额度。
许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比。
1.为了公平性，评委对本单位选手不给分；2.每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；3.评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、…以此类推。
4.评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。
本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其他选手没有类似情况，评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。
问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？答：令评审个数为n，根据评分规则，在一般情况下评委给出的评分分别为，，…,所以该选手的平均得分为=由于回避规则，甲的单位不得为甲评分，则甲的得分与一般选手有差别，应为=二者之差为由上式可知:只有当每个评委的打分均相等时，两者之差才恒等于0，其余情况则不恒等于0。
根据题意，每个评委的对每个选手的打分是不等的，所以此规则对于选手甲确实有不公平之处。
若在尽可能公平的情况下制定得分规则，可判断出甲所得到的公平平均分应介于之间。
可以用的几何平均值来定义，即K=。