数学建模作业、微分方程实验、北京工业大学

2微分方程实验

1、微分方程稳定性分析

绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：

解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）,

___ 1 0

系数矩阵A

，求得特征值入1=1,入2=1;

0 1

p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0）是

不稳定的。图形如下：

（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2;

p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0）是

不稳定的。其图形如下:

⑴dt dt

x, y;

dt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y

， (4) ? 2x;也 dt

x+1, 2y.

(3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。

其图形如下：

(4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2;

p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。

其图形如下：

2、种群增长模型

一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位

成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt

那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？

解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N)

令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i2

1 1

d2N 1 5 5

2 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2)

dt 2

进而求得

A d2N 令r dt

2 2 0可求得N=r2 /4r〔

则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分

0,冬dt2

.2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―r

dt dt dt dt

则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示:

由图形也可以看出，对丁方程的两个平■衡点，其中

N1=0是不稳定的；N2=

^2 /「；是稳定的o

3、有限资源竞争模型

1926年Volterra 提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型

当[b MX h 2X 2)]x dt dX

2 电 2(h i X i h 2X 2)]X 2

假设也坦，称垣为物种i 对食物不足的敏感度，

(1) 证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡； (2) 用图形分析方法来说明物种 2最终要灭亡.

解：(1)由上述方程组 f (x1) =[b 1

〔S' h 2x 2)]x 1=0,

f (x2)=电

2 (h 1X 1

h 2X 2)]X 2=0,可得方程的平■衡点为

R (0,0), P 1 (

E,0),

P 2 (0, M).

2 h 2

对平衡点P 。(0,0 ),

bi h 1 1X

2 1X 2

2 2X

。0

系数矩阵A

1 2X

n 2为

1 2X

0 b 2

则p=- (b1+b2) <0,所以该平■衡点不稳定。

对平■衡点P l J ),

i h i

系数矩阵1 X)h2 1 X2

K 2X2

h2 2为

b2 h1 2X1 h1 2X2

b1 2

则p= b1b2 b1 2

q= bi(b2

由题意3您,X1(t0)>0

1 2

,可以得出p>0,q>0,因此该平■衡点是稳定的。

即t 时，(X1(t), X2(t))

b i

(一二,0)，说明物种2最终要灭亡。

对平衡点P2 (0, E

2h2

同理可以得到q<0,在该平■衡点不稳定。

因此，在b,X1(t0)>0

1 2

的条件下，物种2最终要灭亡。

(2)对丁线性方程组bi

1(^X1 h2X2)

(h l X1 h2X2)

在平■面上匹配两条直线l 2,由题意4

1 垣,X1(t0)>0 ,可将第一象限分为2

三个区域。在最左边区域，X1,X2都大于0;在中间区域，X1, X2都小于0,在最右边区域，X 1,X 2分别是大于0和小于0.，由各区域中X 1,X 2的取值可得到如下图形:

终要灭亡。

4、蝴蝶效应与混沌解

考虑Lorenz模型

X i (t) X i(t) X2(t)X3(t)

'_ _ 一一一一

X2(t) X2(t) X3(t)

X3(t) X i(t)X2(t) X2(t) X3(t)

其中 b =i0, p =28, 6 =8/3，且初值为,Xi (0) =X2 (0) =0, X3 (0) 一个小常数，假设c =i0-i°,且0V t < i00。

(i)用函数ode45求解，并画出x2~xi,x2~x3,x3~xi的平■面图；

(2)适当地调整参数b , P , 6值，和初始值Xi (0), X2 (0) =0,

复一的工作，看有什么现象发生。

解：(i)编写Lorenz函数，

function xdot=lorenzi(t,x,b,a,c)

xdot=[-b*x (i)+x(2) *X(3);

-a*x(2)+a*x(3);

-x(i)*x(2)+c*x(2) -X(3)];

对各参数赋值并用ode45函数求解，可得数值解：

Columns i through 9

0 0.i250 0.2500 0.3750 0.5000 0.5352 0.6057 0.6409

0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

物种2最

=￡ , &为

〔3(0),重

0.5705

0.0000

0.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 0.0000 Columns 10 through 18

0.6761 0.7114 0.7466

0.9776 1.0105

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 Columns 19 through 27

1.0434 1.0763 1.1092 1.2797 1.3186

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001

0.0000 0.0000 0.0000

0.0002 0.0002 Columns 28 through 36

1.3575 1.3964 1.4246 1.5656 1.5938

0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

0.0002 0.0003 0.0004 0.0021 0.0029

0.0004 0.0006 0.0008

0.0045 0.0063

Columns 5590 through 5598

99.5751

99.5921 99.6090 99.6260 99.6462 99.6664 99.6867 99.7069 99.7338

16.9457 16.5261

16.2010 15.9854 15.8978 16.0348 16.4476 17.1933 18.7894

-3.3551 -3.7119 -4.1098 -4.5568 -5.1636 -5.8601 -6.6527 -7.5438 -8.8677

-5.3476 -5.9274

-6.5941

-7.3519

-8.3766

-9.5370

-10.8209

-12.1944 -14.0725

0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000

0.7818

0.8308 0.8797 0.9286 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000

1.1421 1.1750 1.2079 1.2409 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000

0.0001

1.4528

1.4810 1.5092 1.5374 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0008 0.0011 0.0015 0.0012 0.0016 0.0023 0.0032

-10 ------------------------ 1----------------------- 1------------------------- 1 ----------------------- 1 ----------------------- 1 ----------------------- -30 -20 -10 0 10 20 30 (2)令参数b , p , 6值各减1,初始值X1 (0), X2 (0)不变，X3 (0) =10-8

分别得到得到x2~x1,x2~x3,x3~x1的平■面图如下：

可以看出，参数(T , P , 6值各减1 ,初始值X1 (0) , X2 (0)不变，X3 (0) 数值变为X3 (0) =10一8,参数和初始值很小的改变，就会导致最后图形发生很大的变化。

5、用微分方程考察共振现象

设物体沿X轴运动(如图所示)其平衡位置取为原点0,物体的质量为1,在时间t物体的位置为X(t)其所受的恢复为(如弹性力等)与物体所在位置的坐标成正比，即k2X，其中常数k称为恢复系数，运动过程所受的阻力(由丁介质及摩擦等)设与速度成正比，即2h虫，h>0,称为阻尼系数。

(1) 根据Newton第二定律，建立相应的微分方程.不妨设初始位置为1, 初始速度为0,取k=2, h=0(当h = 0称为简谐振动的方程)和h=0.1,用Matlab软件得到相应的数值解，并在t-X平面上画出X (t)的图形。

(2) 如果物体还受到附加外力的干扰，且外力是一个依据时间t的函数

f(t)(设f (t)=B sinwt)，建立相应的微分方程(该方程称为强迫振动方程).在上述参数不变的情况下，取振幅B=1，分别取w=1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2,2.4, 2.6, 2.8, 3.0,用Matlab软件得到相应的数值解，并在t-x平面上画出x(t)的图形。

(3) 分别对上述图形讲行分析，并解释为什么会出现这些现象。

解：(1)根据Newton第二定律,F=ma,可得微分方程：m-^y mg

dt2k2x

2h —

由题意知边界值：x(0)=1,x'(0)=0,令y1=x, y2=^ dt

可将二阶方程转化为: dy

〔

dy2

,2 mg k

* 2hy2

y i(0) i,y

2(0)

其中，m=1 ；g=9.8; k=2

当h=0时，由matlab解得数值解: Columns 1 through 9

0 0.0000

0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 10 through 18

0.0004 0.0006

0.0054 0.0108

1.0000 1.0000 1.0001 1.0003 Columns 19 through 27

0.0162 0.0216

0.2155 0.2956

1.0008 1.0014 1.1326 1.2461 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0009 0.0011 0.0022 0.0032

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0271 0.0541 0.0812 0.1083

1.0021 1.0085 1.0191 1.0339

Columns 100 through 108

9.2025 9.3142 9.9124 10.0000

1.1393 1.0345 1.6412 1.8634 8.4615 8.5636 8.6658 8.7679

2.9505 2.6641 2.3688 2.0769

9.4260 9.5377 9.6494 9.7371 1.0001 1.0383 1.1467 1.2773

8.2321 8.3593 8.9852 9.0939

3.5019 3.2161 1.5214 1.3034 Columns 109 through 117 0.0001

1.0000

0.0043

1.0001

0.1353

1.0528

8.8766 1.7834

9.8247

18 910

0 1 2 3 456

当h=0.1时，由matlab解得数值解：

Columns 1 through 9

0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001

0 0.0000

0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

Columns 10 through 18

0.0009 0.0011 0.0022 0.0032 0.0043

0.0004 0.0006

0.0054 0.0108

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0001

1.0000 1.0000

1.0001 1.0003

Columns 19 through 27

0.0271 0.0541 0.0812 0.1083 0.1353

0.0162 0.0216

0.2156 0.2958

1.0021 1.0085 1.0190 1.0336 1.0523

1.0008 1.0014

1.1308 1.2417

Columns 109 through 117

8.5631 8.6690 8.7749 8.8809 8.9868 9.1223 9.2579

9.3934 9.5289

2.5857 2.4563 2.3294 2.2106 2.1049 1.9952 1.9213

d 2x _ , 2 dx

m —2 mg k x 2h 一 B sin wt dt 2 dt

将其化为一阶方程组:

w=1时

Columns 1 through 9

Columns 118 through 121

9.6467 1.9353 9.7645 9.8822 2.0016 2.0909 10.0000

2.1979

h=0.1 时，x

dy i dt dy 2 y 2

y 1(0) ,2

八，

—.

mg k y 1 2hy 2 Bsinwt

i") 0

m=1 ； g=9.8; k=2 ； B=1； h=0.1；其中，用Matlab 解得数值解:

0.0000

0.0001

0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 118 through 121

9.8207 9.8804 9.9402

1.8973 1.9210 1.9503

w=1.2 时

Columns 1 through 9

0 0.0000 0.0000

0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 118 through 121

9.8281 9.8854 9.9427

1.6999 1.7568 1.8199

w=1.4 时

Columns 1 through 9 0 0.0000

0.0000

0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 118 through 125 9.6236

9.7309

9.9864 10.0000

2.2401 2.3171

2.5510 2.5647

w=1.4 时

Columns 1 through 9 0 0.0000

0.0000

0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 1.0000 1.0000 10.0000

1.9846

0.0000 0.0000 0.0001

1.0000 1.0000 1.0000 10.0000

1.8886

0.0000 0.0000 0.0001

1.0000 1.0000 1.0000

9.8382 9.9454 9.9591 2.4084 2.5103 2.5238

0.0000 0.0000 0.0001

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0001

1.0000

0.0001

1.0000

9.9727 2.5373

0.0001

1.0000

Columns 118 through 121 9.7823 9.8549 9.9274

2.1150 2.0676 2.0285 1.9979

w=1.6 时

Columns 1 through 9

0 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000

1.0000

1.0000 1.0000

w=1.8 时

Columns 1 through 9

0 0.0000

0.0000

0.0001

0.0001 0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0000

1.0000 1.0000

w=2.0 时

Columns 1 through 9

0 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000

1.0000

1.0000 1.0000

w=3.0 时

Columns 1 through 9

0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002

1.0000 1.0000 1.0000

1.0000

1.0000 1.0000

Columns 118 through 121

9.6933 9.7955 0.8062 0.7503 9.8978 0.7562

10.0000

0.8231

Columns 118 through 121

9.7752 9.8501 0.8629 1.0850 9.9251 1.3383 10.0000 1.6174

Columns 118 through 121

9.7538 9.8359 9.9179 2.3278 2.6023 2.8705 10.0000

3.1243

Columns 118 through 121

9.7495 9.8330 9.9165

2.2414 2.3303 2.4145 10.0000

2.4915

如上图所示，w分别为1.0; 1.2; ...; 3.0时x (t)的图形。

当h=0时，即无阻尼振动的情况下，得到t (x)图形如下所示:

0510051005W

w=2.4w=2.6

(3)由上述图形可以看出，不考虑外加作用力时，当没有摩擦等阻力的时候，简谐运动一直进行下去，当有摩擦等阻力的时候，其振幅会逐渐的减小，最后趋近丁零，但是周期不会发生变化。

在外加一个作用力之后，整个运动情况就发生了很大的变化。首先刚开始的振幅和周期都变化很大，后来随着时间的推移，他们也逐渐开始趋丁稳定。但是，稳定之后的振幅和周期都各不相同，与外力的频率有直接的关系，这就是受迫振动，不仅跟系统本身的性质有关，还和外界干扰的情况有很大关系。恢复系数k 与w的值越接近时，随着时间增加，物体的振动振幅会一直增大，当w=k=2时，物体的振幅增大的速度最快，可以预见，在t趋丁无穷大时，振幅也趋丁无穷大，这就是共振现象。也就是当外力与系统处丁共振时，会引起振幅无限增大的振动，这在机械和建筑中一般是必须严格避免的。

6、人口模型与曲线拟合问题

表2.1列出的是美国1790 一1980年的人口统计表.

(1)试用Malthus 人口模型，按三段时间(1'790-1850,1850-1910,1910-1970)

分别确定其增长率r。并将数据和不同r值的三段曲线画在同一张图上.

(2)利用Logistic模型，重新确定固有增长率r和最大容量Nm,作图，再利用该模型得到的结果预测1990年的美国人口数。

解：(1)分段研究，我们先求出增长率，编写命令如下：

t = 10 : 10 : 70;

x = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2];

p = polyfit(t, log(x), 1); p

得到结果p = 0.0296

即1790——1850年时间段的增长率是0.0296

同理可以得到另外两段的增长率，1850-1910年为0.0226

1910——1970 年为0.0129

每次画出图形，使用以下命令

plot(t, x, 'bx');

hold on

在以上每一次求时顺便画出图形，得到最后的总图如下

250

(2)利用Logistics模型，将以上所有数据进行拟合，编写程序如下

t = 0 : 10 : 190;

x = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5];

f = inline('p(1)./(1+p(2)*exp(-p(3).*t))','p','t');

p = lsqcurvefit(f, [300, 50, 0.02], t, x);

得到结果

人口最大容量Nm是360.3560 (白万)，增长率r是0.0234

如下图所示：

输入

t_pre = 200;

x_pre = p(1) ./ (1 + p(2) * exp(-p(3)*t_pre)); 可得最后的结果，即1990年的人口总数

x_pre =241.7704 万人。

如下图：

桨状物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料, 加入真菌菌种后放入容器内。真菌

消化这此混合原料，变成肥料，由丁原料充足，肥料需求旺盛，餐厅希望增加肥料产量。由丁无力购置新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产试通过分析以前肥料生产的记录（如表2.2所示），建立反映肥料生成机理的数学模型，提出改善肥料生产的建议。

表22以前肥料的生产记录

泥浆（磅）绿叶菜」磅）纸片（磅）喂入日期生成堆肥的Fl期

310 1 )1)0.07.131990,08.10 11279U 1.9E)U.O7.17

7121019&0.07.241990.08.20

203S2[)1990.07.271990.0^22

792S01990.08.101990.0942

105520 1 )30.08.131990.09.18

1211501)yO.U8.2

1103201990.08.221990 10.08

表心（蝴以前肥料的生产记录

解答：

1. 问题条件假设

1）每次堆肥的质量相等

2）所给的几次堆肥混合物的比例仅由当天的实际情况决定

3）所有分离肥仓工作条件相同

4）每磅蔬菜可提供的氧气量相等

5）细菌消耗的溶解氧气完全由蔬菜叶提供

6）每天提供的废物混合物中的化学成分大致相同

7）废物混合物在喂给细菌前混合均匀并保持良好的通气环境。

2. 问题分析

堆肥是利用微生物的分解作用将有机废物转化成无害稳定形式的生物化学过程，要提高堆肥产量方法之一就是通过增强细菌的生长繁殖能力以提高分解率。

细菌群体的增长一般要经历延滞期，加速生长期、对数生长期、减数生长期、稳定期、加速死亡期和对数死亡期。另外，对数生长期培养基中所有养分都过剩，细菌可以充分繁殖，其倍增速率包定，取决丁底物浓度、温度、水活度、供氧量。对丁当前该餐厅来说底物浓度由每天的剩余食物、蔬菜叶和碎纸屑决定。碎纸屑

是吸收水分的调理剂，微菌呼吸所需要的溶解氧由蔬菜也提供，水活度可以通过