数学建模实验答案-概率模型
数学建模-概率模型
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
u0 u0
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
数学建模概率模型
2
记为X ~ N（， 2 )
背景:如果决定试验结果X的是大量随机因素的总和，假设
各个因素之间近似独立，并且每个因素的单独作用相对均匀 地小，那么X的分布近似正态分布。
如：同龄人的身高、体重、考试分数、某地区年降水量等。
3、数学期望的概念和计算 描述了随机变量的概率取值中心—均值
数学期望
Y gX
E( X ) xk pk k 1
E( X ) xf ( x)dx E(Y ) EgX g( xk ) pk k 1
E(Y ) Eg( X )
g( x) f ( x)dx
4、MATLAB中相关的的概率命令
常见的几种分布的命令字符为： 正态分布：norm 指数分布：exp 泊松分布：poiss 二项分布：bino
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)drຫໍສະໝຸດ n(ab)np(r
)dr
dG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
例3 有10台机床,每台发生故障的概率为0.08,而10台机床工作 独立,每台故障只需一个维修工人排除.问至少要配备几个维修 工人,才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。
解：随机变量X示发生故障的机床的台数,则 X ~ B(10,0.08)
即P{X n} 0.95
数学建模概率论
事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6 基本事件 事件 B={掷出奇数点}
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1,3,5
出现.
两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用S表示;
即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示 . 例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必 然事件 ; 而“掷出点数 8”则是不可能事件.
1.1.4 随机变量
表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z …表示.
事件的表示
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.
A1 A2 An , 简记为 Ai .
i 1
n
、同时发生所构成的事件为事 称事件 A1、A2、 件 A1、A2、 的交事件 . 记之为 A1 A2 , 简记为
i 1
Ai .
对立事件与互斥事件的关系 :
对立一定互斥, 但互斥不一定对立.
两事件A、B互斥： AB
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集. 5. 随机变量 表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z …表示.
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
数学建模-概率模型
确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。
数学建模中的概率统计模型1
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
数学建模之 概率模型
（4）固定奖金
500 1800 30 18000 10 179010
3230100
6
当期设奖奖金： 10 2
7
48 % 9 . 6 10
特等奖： 9 . 6 10 6 3230100 60 % 3821940
税后：
3821940 1 20 % 3057552
1.一期共有几注彩票？一期彩票销售总额是 多少？ 2.一期彩票售完，可为社会筹集多少资金？ 3.在一期中，不同奖级的中奖注数分别是多 少？ 4.一期特等奖，一等奖以及二等奖单注的中 奖金额在税前税后分别是多少？
(1)一期共有
10
7
注彩票，销售总额为
7
2 10
7
元
7
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）为社会筹集资金为： 2 10
（3）对奖规则：特别号只对特等奖有效，其余奖级
既可对左边，也可对右边。例如，摇出的基本号是 123678，特别号是9，那么各奖级中奖情况为：特等 奖123678…9；一等奖123678；二等奖12367#或 #23678;三等奖1236##或##3678；四等奖123###或 ###678；五等奖12####或####78. 模型假设: （1）每个投注号码只有一次中奖机会，不兼中兼得 （奖级大的优先）； （2）为便于计算，设每个号码都有人买，并且忽略 重号票的情况； （3）中奖者须依法缴纳个人偶然所得税（当中奖金 额大于或等于10000元时，须缴税20%）。
（1）彩票的约定：彩票每注投注号由一个6位数基本 号码和一个特别号码组成，每位号码均从0至9这十个 数字中产生，每注2元。 （2）奖金的设定：彩票销售总额的48%为当期设奖 奖金，50%为社会筹集资金。彩票总奖金额分设特， 一，二，三，四，五共6个奖级。其中，特等奖为当期 设奖奖金减去固定奖金后的60%；一等奖为当期设奖 奖金减去固定奖金后的20%；二等奖为当期设奖奖金 减去固定奖金后的10%；三等奖为固定奖金，单注奖 金为500元；四等奖为固定奖金，单注奖金为30元；五 等奖为固定奖金，单注奖金为10元。
(0349)《数学建模》网上作业题及答案
（0349）《数学建模》网上作业题及答案1：第一批次2：第二批次3：第三批次4：第四批次5：第五批次6：第六批次1：[填空题]名词解释13．符号模型14．直观模型15．物理模型16．计算机模拟17．蛛网模型18．群体决策参考答案：13．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。
14．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。
15．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。
16．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。
17．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。
18．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。
2：[填空题]名词解释7．直觉8．灵感9．想象力10．洞察力11．类比法12．思维模型参考答案：13．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。
14．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。
15．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。
16．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。
17．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。
18．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。
数学建模5_概率模型
k = n+1
k k m−k ( k − n ) C ∑ mp q
m
问题化归为：对给定的b, g, n, p，确定m， 使得Eη最大 为了进一步简化计算，以每张机票的价格g为单位计 算平均利润，得：
b m Eη k k m−k = mp − (1 + ) ∑ ( k − n)C m p q g k = n+1 g
S ~ B( m , p )
1 n s = E ( S ) = mp = m[1 − (1 − ) ] m
模型与求解 传送系统效率指标： 1 n s m D = = [1 − (1 − ) ] n n m 为了得到比较简单的结果，在钩子数 m 相对于工人 数 n 较大 ( m >> n)，即 n m 较小的情况下，将多项 式 (1 − 1 ) n 展开后只取前3项，则 m m n n( n − 1) n−1 D = [1 − (1 − + )] = 1 − 2 n m 2m 2m 当n=10, m=40时， D ≈ 87.5% 利用D的精确模型计算得， D ≈ 89.4%
模型描述：构造衡量传送系统效率的指标，并在简 化假设下建立模型描述这个指标与工人数目、钩子 数量等参数的关系。
2、模型的分析
为了用传送帯及时带走的产品数量来表示传送带的效率，在工 人们生产周期（即生产一件产品的时间）相同的情况下，需要假设 工人们在生产出一件产品后，要么恰好有空钩子经过他的工作台， 使他可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过，迫使他将产品放 下并立即投入下一件产品的生产，以保持整个系统周期性地运转。 工人们的生产周期虽然相同，但是由于各种随机因素的干扰， 经过相当长时间后，他们生产完一件产品的时刻就不会一致，可以 认为是随机的，并且在一个生产周期内任一时刻的可能性是一样的。 由上分析，传送帯长期运转的效率等价于一周期的效率，而一 周期的效率可以用它在一周期能带走的产品数与一周期内生产的全 部产品数之比来描述。
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实验10 概率模型（2学时）
（第9章 概率模型）
1.（验证）报童的诀窍p302~304, 323（习题2）
关于每天报纸购进量的优化模型：
已知b 为每份报纸的购进价，a 为零售价，c 为退回价（a > b > c ），每天报纸的需求量为r 份的概率是f (r )(r =0,1,2,…)。
求每天购进量n 份，使日平均收入，即
1
()[()()()]()()()n
r r n G n a b r b c n r f r a b nf r ∞
==+=----+
-∑∑
达到最大。
视r 为连续变量，f (r )转化为概率密度函数p (r )，则所求n *满足
*
()n a b
p r dr a c
-=
-⎰
已知b =0.75, a =1, c =0.6，r 服从均值μ=500（份），均方差σ=50（份）的正态分布。
报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？
[提示：normpdf, normcdf]
要求：
(1) 在同一图形窗口内绘制10
()()n
y n p r dr =⎰和2()a b
y n a c
-=
-的图形，观察其交点。
[提示] 22
()2()r p r μσ--
=
，0
()()()n n
p r dr p r dr p r dr -∞
-∞
=-⎰⎰
⎰
☆(1) 运行程序并给出结果：
(2) 求方程0()n
a b
p r dr a c
-=
-⎰的根n *（四舍五入取整），并求G (n *)。