数学建模实验答案_概率模型

N中的值为正整数；X中的值从[0,N]取；P中的值从[0,1]取。
已知x和参数n,p，累积分布函数为
q= 1 –p，x=0, 1, 2,…,n。
要求：
(1)已知n=300，λ=0.6，p=0.05，b/g=0.2和0.4，取一组值m=300:2:330，求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m)，程序如下。（与教材p315表1n=300时的计算结果比较。）
已知b=0.75,a=1,c=0.6，r服从均值 =500（份），均方差 =50（份）的正态分布。报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？
[提示：normpdf, normcdf]
(i)计算正态变量的概率密度函数的调用形式为：Y=normpdf(X,mu,sigma)
正态变量的概率密度函数为
实验10 概率模型（2学时）
（第9章 概率模型）
1.
关于每天报纸购进量的优化模型：
已知b为每份报纸的购进价，a为零售价，c为退回价（a>b>c），每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r=0,1,2,…)。
求每天购进量n份，使日平均收入，即
达到最大。
视r为连续变量，f(r)转化为概率密度函数p(r)，则所求n*满足
附2：第9章 概率模型
[302]9.2 报童的诀窍
[304]****本节完****
[307]9.4 轧钢中的浪费
[309] 题2(3)答案
[310] 题2(2)(4)答案****本节完****
[313]9.6 航空公司的预订票策略
[315] 题3(1)(2)答案
[316] 题3(3)(4)答案
程序：
n=500:530;
mu=500;sigma=50;
y1=normcdf(n,mu,sigma)-normcdf(0,mu,sigma);
a=1; b=0.75; c=0.6;
y2=(a-b)/(a-c)*ones(size(n));
plot(n,[y1;y2]);
gridon;
[提示] ，
☆(1)
☆(2)
(3)对(1)中改变n=150和m=150:2:170，求对应结果。（与教材时的计算结果比较。）
☆(3)
(4)对(1)中改变n=150、m=150:2:176和p=0.1，求对应结果。
注意！结果与教材相差较大，原因待查。
☆(4)
4.
已知:
第2类乘客（t人）都按时前来登机。
第1类乘客（m–t人）不按时前来登机的乘客数K服从二项分布，其概率为
N中的值为正整数，P中的值从[0,1]取。
已知x和参数n,p，二项分布概率密度函数为
q= 1 –p。y为n次独立试验中成功x次的概率，其中，每次试验成功的概率为p。x=0, 1, ...,n。
(ii)二项式累积分布函数：Y = binocdf(X,N,P)
计算X中每个X(i)的二项式累积分布函数，其中，N中对应的N(i)为试验数，P中对应的P(i)为每次试验成功的概率。Y, N,和P的大小类型相同，可以是向量、矩阵或多维数组。输入的标量将扩展成一个数组，使其大小类型与其它输入相一致。
★(2)
functiony=Jfun(m)
l=2; sigma=0.2;
y=m/(1-normcdf(l,m,sigma));
(3)在同一图形窗口内绘制 和 的图形，观察它们的交点。（参考题1的(1)）
★(3)
z=-2:0.1:2;
y1=(1-normcdf(z,0,1))./normpdf(z,0,1);
functiony=J(m,n,lambda,p,b_g,t,beta)%均是标量
q=1-p; k=0:m-n-1;
y=1/(lambda*(n-(1-beta)*t))...
*(q*m-(1-beta-p)*t-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m-t,p)))-1;
附
其中：
X是x的一组值，Y对应一组函数值。
mu为 ，sigma为 。
当 =0， =1时，为标准正态变量的概率密度函数。
(ii)计算正态变量的分布函数的调用形式为：P=normcdf(X,mu,sigma)
正态变量的分布函数为
且
标准正态变量的概率密度函数对应标准正态变量的分布函数。
要求：
(1)在同一图形窗口内绘制 和 的图形，观察其交点。
fori=1:length(m)
J1(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g1);
J2(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g2);
end
P5=binocdf(m-n-5-1,m,p);%二项分布
P10=binocdf(m-n-10-1,m,p);
round(10000*[m,J1,J2,P5,P10])/10000%显示结果
(1)绘制J(m)的图形（l=2,σ=0.2），观察其最小值的位置。
★(1)
clc; clear;
m=2:0.001:2.5;%根据l=2
l=2; sigma=0.2;
J=m./(1-normcdf(l,m,sigma));
plot(m,J);
gridon;
(2)求使J(m)达到最小值的m*。
由(1)可观察到J(m)达到最小值的区间。分别用求无约束最小值的MATLAB函数fminbnd, fminsearch, fminunc求解，并比较结果。
(2)求方程 的根n*（四舍五入取整），并求G(n*)。
程序：
functiony=fun(n)
mu=500;sigma=50;
a=1; b=0.75; c=0.6;
y=normcdf(n,mu,sigma)-normcdf(0,mu,sigma)-(a-b)/(a-c);
clear; clc;
n=fzero('fun',515);
3.
模型如下：
给定λ,n,p,b/g，求m使单位费用获得的平均利润J(m)最大。
约束条件为
其中：
m预订票数量的限额。
λ(<1)利润调节因子。
n飞机容量。
p每位乘客不按时前来登机的概率，q=1–p。
b每位被挤掉者获得的赔偿金。
g机票价格。
b/g赔偿金占机票价格的比例。
不按时前来登机的乘客数K服从二项分布，其概率为
被挤掉的乘客数超过j人的概率为
（等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m–n–j–1人）
该模型无法解析地求解，我们设定几组数据，用程序作数值计算。
[提示：binopdf, binocdf]
(i)二项分布的概率密度函数：Y = binopdf(X,N,P)
计算X中每个X(i)的概率密度函数，其中，N中对应的N(i)为试验数，P中对应的P(i)为每次试验成功的概率。Y, N,和P的大小类型相同，可以是向量、矩阵或多维数组。输入的标量将扩展成一个数组，使其大小类型与其它输入相一致。
%9.6航空公司的预订票策略
functionmain()
clear; clc; formatshortg;
n=300; m=[300:2:330]'; p=0.05;%修改的参数
lambda=0.6;%λ值
b_g1=0.2; b_g2=0.4;
J1=zeros(size(m));J2=zeros(size(m));
参考实验10.3的程序，编写解决本问题的程6航空公司的预订票策略（改进）
functionmain()
clear; clc; formatshortg;
n=300; m=(300:2:330)'; p=0.05;%修改的参数
lambda=0.6;%λ值
b_g=0.2;
t=100; beta=0.75;
l=2; sigma=0.2;
y2=l/sigma-z;
plot(z,[y1;y2]);
gridon;
(4)求方程 的根z*，并求m=l-σz*。（参考题1的(2)）
提示：由(3)得到的图形可观察到z*的大概位置。
★(4)
functiony=fun(z)%方程
l=2;sigma=0.2;
y=l/sigma-z-(1-normcdf(z,0,1))./normpdf(z,0,1);
n=round(n)
mu=500;sigma=50;
a=1; b=0.75; c=0.6;
r=n+1;
while(a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)>1e-6
r=r+1;
end
r=n+1:r;
G=sum((a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma));
r=0:n;
G=G+sum(((a-b)*r-(b-c)*(n-r)).*normpdf(r,mu,sigma))
☆(2)
2.
设要轧制长l=2.0m的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差σ=0.2m，问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。
平均每得到一根成品材所需钢材的长度为
其中，
求m使J(m)达到最小。
等价于求方程
的根z*。
其中：
是标准正态变量的分布函数，即
是标准正态变量的概率密度函数，即
functiony=J(m,n,lambda,p,b_g)%均是标量
q=1-p; k=0:m-n-1;
y=1/(lambda*n) *(q*m-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m,p)))-1;
☆(1)
(2)对(1)中改变p=0.1和m=300:2:344，求对应的结果。