N阶矩阵高次幂的求法及应用

本科毕业论文分类号 学号 密级题 目 （中、英文）N 阶矩阵m 次方幂的求法及应用Solution and Application of m-order of n n Martix 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期 专业名称学校代码 成绩评定矩阵是许多实际问题中抽象出来的一个概念，它是高等代数的一个重要组成部分，它几乎贯穿于高等代数的各个章节，在自然学科各分支及经济管理等领域有着广泛的应用.正因为它广泛的应用又是解决众多问题的有力工具，所以，学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了计算矩阵高次幂方面的重要环节，为此很多学者都花了很大的精力去探讨研究，本文将在他们的研究基础上，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法，Jordan标准形法，最小多项式的方法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂，进而为n阶矩阵的幂运算来提供一个参考.关键词:数学归纳法;二项展开式;矩阵的幂;相似矩阵.Matrix is a concept many practical problems in the abstract, it is an important part of the linear algebra, it is almost throughout the various sections of linear algebra, in the field of natural sciences and economic management of the branch has a wide range of applications. Just because it wide range of applications and is a powerful tool for solving many problems, so learn and master the operation and their method of operation rules and good matrix is a matrix of knowledge we learn a very important part. For matrix power calculations, it is Matrix multiplication is based; however, the matrix exponential operation is more complex but also particularly troublesome, so look for a simple calculation method has become an important part of computing power matrix high regard, for many scholars have spent a lot of research effort to investigate, the paper will be on the basis of their research, application examples by mathematical induction, multiplication associative approach, binomial expansion method, the method block diagonal matrix, standard form method, minimal polynomial a variety of methods and special methods to solve the matrix method phalanx of high-power, and thus the power to order matrix operations to provide a reference.Keywords：Mathematical induction; power matrix;; binomial expansion similar matrix .目 录摘 要.............................................................. I Abstract........................................................... I I 目 录............................................................ I II 引 言............................................................... 1 1 准备知识. (1)2.1 利用数学归纳法求解n 阶矩阵的高次幂 .......................... 2 2.2利用二项式展开法求矩阵的高次幂 .............................. 4 2.3 利用Jordan 标准形求矩阵的高次幂 ............................ 5 2.4 利用分块对角矩阵求矩阵的高次幂............................. 8 2.5 利用乘法结合律求方阵的高次幂............................... 10 2.6 利用最小多项式解矩阵的高次幂.............................. 11 2.7 利用特殊矩阵法求解矩阵的高次幂. (13)2.7.1 对合矩阵............................................ 13 2.7.2 幂等矩阵............................................. 14 2. 8 利用图论算法求矩阵的高次幂. (15)2.8.1 邻接矩阵............................................ 15 2.8.2 n n A AAAAA 的元素的意义 (15)2.9利用特征多项式求解矩阵的高次幂 ............................. 16 3 矩阵的幂在人口流动的中的应用..................................... 17 总 结.............................................................. 20 参考文献........................................................... 21 致 谢.. (22)引言矩阵是高等代数的主要内容之一，是处理线性方程组、二次型、线性变换等问题的重要工具，基本上贯穿于研究高等代数问题的始终.矩阵的理论和计算方法对于我们研究的许多问题都起着很重要的推动作用，同时也是解决数学以及大多数的科学领域中问题的重要工具，它有着十分广泛的应用.学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了在计算矩阵高次幂幂方面的重要课题.目前，关于矩阵的高次幂的计算问题，有很多学者对此都进行了大量的研究，文献[1，2-13,15]从不同角度阐述了矩阵的高次幂的计算问题.本文在这些研究基础之上，用分类讨论的办法，系统而又全面地介绍了一般的n阶矩阵和一些特殊的矩阵的高次幂的求解方法.对于那些简单的矩阵，有关它们的低次幂求解，我们就可以直接按照矩阵乘法的定义去求解；但对于矩阵的秩为1的n阶矩阵，我们可以考虑用矩阵乘法结合律的方法求解；此外，我们还可以用二项式展开法，分块对角矩阵的方法；对于一般情况下的n阶矩阵的求解，我们可以采用Jordan标准形的方法、最小多项式的方法去求解；然而我们还可以用一些特殊的矩阵去求解（比如对合矩阵，幂等矩阵）.在这些诸多的方法中，它们都只不过为n阶矩阵的幂运算提供了一个参考.所以在实际应用中，我们可以根据矩阵的不同，采用不同的运算方法去化简矩阵的幂计算.1 准备知识在矩阵的计算中，乘法是最常用的一种方法.特别是，当一个矩阵是方阵的时候，也就是这个矩阵有n行n列，可以定义这个矩阵和它本身的乘法运算，那就是我们所说的矩阵的幂.定义1[]1假设矩阵A是n n⨯矩阵（n阶方阵），n是正整数，那么就把形式mmA AA A=个称为A的m次幂.方阵的幂运算规律：()()()();;;;l T kkkk l k l k kl k k k k TA A A A A A A A A A Aλλ+=====，其中k，l均为非负整数.2 n 阶矩阵A 的高次幂的一些求法以及应用 2.1 利用数学归纳法求解n 阶矩阵的高次幂数学归纳法在初等数学中就有很广泛的应用，是在计算数学命题中常用的一种方法.在求矩阵方幂问题的时候，在一些特别的情况下就可以利用数学归纳法来计算出矩阵的高阶次幂.关于求矩阵高次幂的根本思路就是：先计算出方阵的23,A A 等较低次幂的矩阵，再利用23,A A 等较低次幂矩阵的计算结果，由归纳法猜测m A 的表达式，最后利用数学归纳法加以证明m A 对于一切自然数都成立（其中,m N ∈下同）.例1[]2 已知矩阵100100A ηηη⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 试求()m m A 为自然数.解 因为1001,00A ηηη⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以22222102,00A A A ηηηηη⎛⎫ ⎪=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭3232323330300A A A ηηηηηη⎛⎫⎪=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，由23,A A 这两个矩阵的规律就可以得出，2A 的第一行元素就是()2+1η展开式的三个元素，而3A 的第一行的元素是()3+1η展开式的前三个元素，所以可以归纳总结出m A 的第一行元素就应该是()1mη+的展开式的前三个元素，也就是()121,,2mm m m m m ηηη---，所以猜测m A 为()12112000mm m mmm mm m m A m ηηηηηη----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.下面利用数学归纳法进行证明.显然当2m =的时候是成立的；假设m A 是成立的，则求出1m +的结果()121111020010000m m m m mmm m m m m A A A m ηηηηηηηηη--+--⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭()()()1111112100m mm m mm m m m m ηηηηηη+-+++⎛⎫+ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 显然当1m +时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的.所以求得m A 的结果也就是()12112000m m m mmm mm m m A m ηηηηηη----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例2[]3 设101010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算n A .解 因为101010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2102010001A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，32103010001A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.所以猜想10010001n n A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.下面利用数学归纳法进行证明.当1n =时，结论显然成立；假设n k =时，结论也是成立的，也就是10010001k k A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则当1n k =+时，110101101010010010001001001k k k k A A A ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⨯=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当1n k =+时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的，由数学归纳法知n A 的求解结果是10010001n n A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注 通过观察这两个矩阵可以知道，在求解矩阵高次幂问题的过程中，数学归纳法的关键就是通过较低矩阵次幂的计算结果来正确的总结出m A ，进而来进行验证所总结出来的是否正确，但是这种方法不是所有的矩阵高次幂都可以应运，它只能用于一些较为简单矩阵而且较为特殊的矩阵，就类似于上面的两道例题.2.2利用二项式展开法求矩阵的高次幂如果题目所给出的n 阶矩阵A 是可以分解，也就是A B H =+，并且B 和H 的高次幂都是比较容易计算出来的，还要求BH HB =（也就是B 和H 是矩阵乘法适合交换律的，如果分解开的这两高次幂矩阵不能相互交换的话，那么二项式展开式公式对于这个矩阵是不成立的，也就是二项式展开法不适用于这个矩阵），如果满足要求，所以就有以下的公式()112221kkk k k k k k k k k A B H B C B H C B H C BH H ---=+=+++++.特别地，当n 阶矩阵A 的主对角线上元素相同的时候，那么这样的矩阵A可以表示为一个纯量矩阵kE 与另外一个矩阵G 的和，也就是A kE G =+，并且所给出的矩阵G 的高次幂是比较容易计算出来的，那么这样的矩阵就可以用这种方法比较简单明了[]4.例3 已知矩阵100100A ηηη⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求k A .解 首先我们将矩阵A 分解为000100000100000A E M ηηηη⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而其中010001000M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，容易得出并验证矩阵M 满足234001000,0,000M M M M M ⎛⎫⎪=⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭()()E M M M E ηηη==，也就是说E η和M 是可以交换的，根据二项式展开公式得()()()()12122k k k k k k k A E M E C E M C E M ηηηη--=+=++()1212k k k k k E k M M ηηη---=++()12112000k k k kk kk k k k ηηηηηη----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例4 已知c d A d c ⎛⎫=⎪⎝⎭，求n A . 解 首先我们将矩阵A 分解为A cB dG =+，也就是010001cd c A d cB dG dc c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而其中的,B G 为1001,0110B G ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为2,BG GB G B ==，所以()()()()()()()()()12n nn nnn n n n nc d c d c d c d A cB dG c d c d c d c d ⎛⎫++-+--⎪=+= ⎪+--++-⎝⎭. 注 通过观察我们可以知道，在求解这一类的矩阵问题的时候，我们首先要做的就是判断这个所给出的矩阵能否被分解，其次分解的矩阵的高次幂是比较容易计算出来的.2.3 利用Jordan 标准形求矩阵的高次幂定义2[]1 我们将形式为()00001000,00100001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为Jordan 块，其中λ是复数，由这样若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为Jordan 矩阵，其一般形式为 ()12,S diag A A A ，其中111i ii ii ii k k A λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 并且12,,,s λλλ中有一些是可以相等的.根据Jordan 定理我们可以得出，假如矩阵n n A C ⨯∈，那么矩阵A 与一个Jordan 矩阵J 相似，这个Jordan 矩阵J 除去Jordan 块的排列顺序以外是被矩阵A 唯一确定了的，那么我们就称这样的矩阵J 为矩阵A 的Jordan 标准形式.也就是存在n 阶可逆矩阵P ，使得()112,,,S P AP J diag J J J -==，而()1,2,,i J i s =是i m 阶Jordan 块，因为1A PJP -=，所以有1n n A PJ P -=.那么这时候要求Jordan 块的高次幂就可以得出以下结果：11111111i i i ii ikm k m k k ii k ik iki k i i k k ik i i m m m m c c J c λλλλλλλλλ--+--⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ， 而其中()()11!l k k k k l C l --+=，且()0lk C l k =>.i λ为矩阵A 的特征根[]5.例5 已知矩阵126103,114A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭试 求m A （m 为自然数）.解 因为()21261001301114001E A λλλλλλ⎛⎫+-⎛⎫ ⎪⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭，所以A 的初等 因子为()21,1λλ--，故矩阵A 相似于Jordan 标准形100010011J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.现在我们求可逆矩阵P ，使得1P AP J -=.假设()123,,,P βββ=所以有()()123123,,,,A J ββββββ=，通过计算我们可以得出 ()()()1233,0,1,1,0,0,2,1,1TTTβββ==-=，所以()123312,,001101p βββ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，且1A PJP -=，111001001226010010130110113mm m mm A p p p p m m m m m m m ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例6[]6 求矩阵110430102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的n 次幂.解 已知矩阵的特征矩阵为()()2110100430011020021E A λλλλλλ⎛⎫+-⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭--⎝⎭， 所以矩阵A 与Jordan 矩阵200011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似.令其相似变换阵为可逆矩阵()123,,P x x x =，因为1P AP J -=，所以()()()1231231223200,,,,0112,,001A x x x x x x x x x x ⎛⎫⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭即有()()()123220,0,E A x E A x E A x x -=-=-=，解这三个线性方程组可以得特 征向量()()()1230,0,1,1,2,1,0,1,1TTTx x x ==-=-，所以010021111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，又因为1P AP J -=，所以11120001020001001102101021001111001111mm m A PJ P P P m ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1204210221212m m m mm m m m m -⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪-++--⎝⎭注 在Jordan 矩阵解题的时候我们要注意，我们所解的这个问题有没有可逆阵，它是不是和我们的Jordan 是相似的.这是应用Jordan 的前提.2.4 利用分块对角矩阵求矩阵的高次幂当给出的矩阵的阶数较大的时候，我们就可以利用一些横线和竖线把这个矩阵分成许多的小块，这些小块就是矩阵的子阵.如果这个矩阵能被分成对角形式，那么我们就可以把求解高次幂的矩阵的问题转变为求解简单子阵的高次幂问题再计算上，进而达到简化求解的目的. 由分块对角矩阵12,n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭得12k kk k n A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中()1,2,i A n 都为方阵，而我们常用的子块的高次幂的计算结果有11100,010nnn nn n n a a a na a a a a na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]7例7[]8已知矩阵2400020000010010A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，试求2n A .解 先将A 写成分块阵1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中12402A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 2212200nnn A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，下面求2212,n n A A .222222121111242224411020022nnnn nn n n A ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎪⎪===⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭()2222nn n A A E E ===从而222224200020000100001nn n n n A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 例8 已知2400120000200042A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求n A .解 矩阵A 可分块成0,0CA D ⎛⎫=⎪⎝⎭而2420,1242C D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 0,0nn nC AD ⎛⎫=⎪⎝⎭于是就变成求n D 和nC ， 因为()24212121TD αβ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而21,,12αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()11114244442n n nnTn n n D D αβ----⎛⎫⨯=== ⎪⨯⎝⎭， 又20242C E F ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，其中0040F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()()20,22,F E F F E ==根据二项式展开式得()()()11112022222422n nnn nn n nn n C E F E C E F E n F n ---⎛⎫=+=+=+= ⎪⨯⎝⎭， 于是求得1111424000442000002000422n n nn n nn n n n C A D n ----⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⨯ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⨯⎝⎭注 在我们应用分块对角矩阵求矩阵的高次幂的时候，我们一定要心里清楚我们要将那些分在一块，在解题的过程中要学会多种方法联系起来.2.5 利用乘法结合律求方阵的高次幂如果矩阵()1r A =，那么就说明这个矩阵至少有一行元素不为零，而其它每一行元素都是它的倍数，所以秩为1的n n ⨯的矩阵就有以下的形式111212122212n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，假设()1122,,,1,2,,i i n n a b a b a b i n a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都是不为零的实数，那么就有(),T A αβ=记()1122T n n a tr A a b a b a b βα==+++=，那么就有()()()()111k k k T TTTT k T k A a a A αβαβαβαβαβαβ---====个.这种计算方法就叫做矩阵的乘法结合律[]9.例9[]10已知1112322133312A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求m A （m 为自然数）. 解 对A 进行初等变换，我们发现矩阵的秩为1，即()1r A =，假设()111,2,3,1,,23TTαβ⎛⎫== ⎪⎝⎭，那么T A αβ=，且()3T a tr A βα===，所以1111123232133312m m m A a A --⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭. 例10 123246123A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求n A .解 因为()12312462123,1231A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以123246123nn n T TT A αβαβαβ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭= ()()()()111121232123212321231111n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()1123281T βα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则()()()()()()11281231nn n T T T T T A αβαβαβαβαβ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()()()1118212381n n A --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.注 确定应用乘法结合律解题以后，我们心里就要明白()()()()111k k k T T T T T k T k A a a A αβαβαβαβαβαβ---====个这个公式，并且熟记于心，这是应用乘法结合律的关键.2.6 利用最小多项式解矩阵的高次幂定理3（哈密尔顿-凯莱定理[]11）设A 是n 阶矩阵，()f x 是A 的特征多项式， 令()111n n n n f x xE A x a x a x a --=-=++++，所以()1110n n n n f A A a A a A a E --=+++=.根据以上定理我们可以知道，以n 阶矩阵A 为根的特征多项式有很多，但我们把首项系数为1的、次数最小的并且用矩阵A 为根的多项式，就叫做矩阵A 的最小多项式，经常用()A m λ来表示.这也就说明矩阵A 的最小多项式()A m λ也是它的特征多项式()f λ的因子，这个事实具有一般性，并且有着4个结论①()A m λ可以整除任何一个以矩阵A 为根的且首项系数为1的多项式； ②()A m λ和()f λ是有一样的根（不算重复的，且两个根的数目不一定相等）；③如果两个矩阵是相似矩阵，那么它们两个的最小多项式就是相同的； ④()()A n m d λλ=，而()n d λ是矩阵A 的第n 个不变因子.例11 已知7126353362A ---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求200A . 解 易得A 的特征多项式为()()()2712635312362f E A λλλλλλλ+=-=---=+----，又()()0,20,20A E A E A E A E +≠-≠+-=，可得A 的最小多项式是：()()12A m λλ=+-，所以当()200,g λλ=时，假设()()()A g m q r λλλ=+，()()()()()0,A r r m λλλ=∂<∂ .我们不妨假设()01r b b λλ=+，()()10,20A A m m -==，所以可以得方程组()()0101122g b b g b b -=-⎧⎪⎨=+⎪⎩，0120001122b b b b -=⎧⎨+=⎩，解得()()2000200112231213b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以()2012022012002002012000120020120023242221212121222A g A b E b A ⎛⎫-+-+-+⎪==+=--- ⎪ ⎪--⎝⎭.例12[]12100101010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求100A .解 矩阵A 的特征多项式为()()21111101E A λλλλλλ--=--=+--，于是我们可得A 的最小多项式是()()()211g λλλ=+-，所以当()100,h λλ=时，假设()()()()h g q r λλλλ=+，而()2r a b c λλλ=++； 又()()()'10,10,10g g g -===，所以可以得到方程组()()()'1112h a b c h a b c h a b-=-+⎧⎪=++⎨⎪=+⎩，即()100100991121001a b c a b c a b ⎧-+=-⎪++=⎨⎪+=⨯⎩，解得50049a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以1002100504950105001A A E ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭.注 要想应用最小多项式法去解矩阵高次幂，首先要学会去求矩阵的特征值，得出矩阵的最小多项式()()()211g λλλ=+-，并假设()()()()h g q r λλλλ=+，而()2r a b c λλλ=++，然后再进行求解.2.7 利用特殊矩阵法求解矩阵的高次幂2.7.1 对合矩阵定义4[]13 设A 为n 阶矩阵，如果2A E =，那么矩阵A 就叫做对合矩阵 .性质4.1[]13 （1）,n A n A E n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数；（2）满足2A E =的所有二阶矩阵为E ±及a b c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，其中21a bc += . 例13 设b a A a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA （n 为自然数）.解 假设0110H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，容易得2H E =，所以H 为对合矩阵，所以有2435,H H E H H H ======，由A bE aH =+，得112222nn n n n n n n b a A b E C b aH C b a H a Ha b --⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭()()22211333n n n n n n n b C b a E C ba Cb aH ---=++++()()()()22n nnnb a b a b a b a E P ++-+--=+()()()()()()()()12nnnnn n n nb a b a b a b a b a b a b a b a ⎛⎫++-+--⎪= ⎪+--++-⎝⎭特别地，当1,1b a ==时，有111111222211122222nnn n n nn n n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 当1,1b a ==-时，有111111222*********nnn n n nn n n -----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 当1,1b a =-=时，有()1111112211122n n n n n n -----⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 2.7.2 幂等矩阵定义5[]13 设A 为n 阶矩阵，如果2A A =，那么就叫矩阵A 为幂等矩阵. 性质5.1[]13 （1）(),2,3,n A A n ==；（2）满足2A A =的所有二阶矩阵有：0，E 以及形式如11421142abaab b ⎛⎫+-⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭ 或者11421142ab aab c ⎛⎫--⎪⎪ ⎪+-⎪⎝⎭的矩阵.例14 已知11221122A ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，求n A . 解 由于22111111222222111111222222A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以矩阵11221122A ⎛⎫- ⎪= ⎪⎪- ⎪⎝⎭为幂等矩阵，故由幂等矩阵的性质（1）知，10011221122A A ⎛⎫- ⎪== ⎪⎪- ⎪⎝⎭.注 关于对合矩阵和幂等矩阵，我们只要学会判断我们所求矩阵是不是对合矩阵或幂等矩阵，如果是，那就只用它俩的性质去求解就可以了.2. 8 利用图论算法求矩阵的高次幂如果,H E B =是结点的集合E 和边的集合B 所组成的一个系统，A 的组成元素只有0和1，且A 为n 阶矩阵. 2.8.1 邻接矩阵定义6[]14 假设有一个向图,H B E =，而其中的()1231,,,,,n n B b b b b b -=，()1231,,,,,n n E e e e e e -=，假设每一个结点是从1b 排列到n b 的，定义一个n 阶的矩阵A ，而A 中的元素是()()1,,0,,i j ij i j b b E a b b E⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩假如假如，那么就称A 是图G 的邻接矩阵，而图G 称为A 的相关图.很明显对任意的一个n 阶矩阵都是有一个相关图的.2.8.2 nn A AAAAA =的元素的意义当1n =时，1ij a = 就表示存在一条边(),i j b b ，又或者可以说成是从i b 到j b 存在着一条长度是1的路；当2n =时，假设2V A =，V 中的元素是1nij ik kj k v a a -=∑，根据以上图论的知识：ij v 就表示从结点i b 到结点j b 长度等于2的路径的数目，特别当0ij v =，也就是说长度等于2的路径不存在.ii v 表示长度等于2的路径的数目，一般的来说，n k =时，令()k ij C c A ==，ij c 表示从结点i b 到结点j b 的长度等于k 的路径的数目，就像我们刚才说的0ij c =，长度等于k 的路径的数目是不存在的，ii c 表示长度等于k的回路数目[]7.这样，我们就可以得出了n 阶矩阵的幂运算的图论计算步骤第一步、根据题所给出的n 阶矩阵()ij A a =，画出它的相关图,H B E =，()1231,,,,,n n B b b b b b -=，()1231,,,,,n n E e e e e e -=；第二步、在我们所画出的相关图,H B E =中一步一步地找出结点()1,2,3,,i b i n =到结点()1,2,3,,j b j n =长度等于k 的路径数目ij c ;第三步、根据二我们可以写出n 阶矩阵()ij C c =，于是我们就可以得到我们所求的幂矩阵()k ij n nA c ⨯= .例15 假设()550100010100010000000100010ij A a ⨯⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭，求3A .图1图2解 先画出矩阵A 的相关图H ，如图1，图2，从图上可以得出：从结点i b 到结点jb (),1,2,3,4,5i j =长度等于3的路径数有：5445122132231,1,2,2,2,2c c c c c c ====== . 然而长度等于3的路径是不存在的，所以可以得出()3550200020200020000000100010ij A c ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭2.9利用特征多项式求解矩阵的高次幂1b 2b3b4b5b关于n 阶矩阵A ，我们可以通过求其特征多项式()()det A f E A λλ=-，进而假设()()()n A q f r λλλλ=+，而()2r a b c λλλ=++，再通过求导来计算.例16[]15 已知矩阵3106143154A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求100A .解 首先给出矩阵A 的特征多项式()()()332det 1331A f E A λλλλλλ=-=-=-+-（三次），我们令()()()100A q f r λλλλ=+，而()2r a b c λλλ=++（二次），也就是()()1002A q f a b c λλλλλ=+++ .因为()()()'''1110A f f f === ，所以1λ=时，代入()()1002A q f a b c λλλλλ=+++，并求其一，二阶导数得出1210029900a b c a b a ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得495098004851a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，将此结果代入矩阵A 中，所以()()10022011000600495098004851100499300100500301A A q A f A A A E --⎛⎫ ⎪=+-+=-- ⎪ ⎪-⎝⎭3 矩阵的幂在人口流动的中的应用例17 假设中小城市和乡镇一共有三十万的人从事农业，工业，商业工作，我们假定这个总数在近些年里面是不会变得，而社会调查表明：⑴在这30万的就业人员中，大约有15万的人从事农业工作，9万的人从事工业，6万的人经商；⑵在从事农业工作的人中，每一年大约有20%改为从事工业，10%改为经商；⑶在从事工业的人员中，每一年大约有20%改为从事农业，10%改为经商；⑷在经商的人员中，每一年大约有10%的改为从事农业，10%改为从事工业.现在想要预测一~二年后从事各行业人员的数目和过多少年之后，从事各行业人数的发展变化.解 如果用三维向量(),,T i i i x y z 来表示第i 年之后从事这三种职业的人员总数，现在根据调查知()()000,,15,9,6T T x y z =.现在求()()111222,,,,,T Tx y z x y z ，并求当n →∞的时候(),,T n n n x y z 的变化趋势. 由调查得，一年后从事这三种职业的人数为1000100010000.70.20.10.20.70.10.10.10.8x x y z y x y z z x y z =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩即1001001000.70,20.10.20.70.10.10.10.8x x x y y A y z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 我们以()()000,,15,9,6T T x y z =代入上式，所以就可以得11112.99.97.2x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是一年以后从事这三种职业的人数分别是12.9万，9.9万，7.2万人.同理我们可以求得210221021011.7310.238.04x x x y A y A y z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；所以得二年以后从事这三种职业的人数分别为11.73万，10.23万，8.04万人.通过以上我们可以推出得101010n n n n n n n x x x y A y A y z z z ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也就是说明n 年之后从事各行业的人数是由n A 来决定的.也就是去通过求矩幂的方法去求n A .例18 某省市每一年有30%的农村人口移居到城市，而又有20%的城市人口移居到农村，我们假设这个省市的人口总数是不变的，并且我们的迁移规律也是不变的，目前这个城市的农村人口是320万，城市是80万，试求一年以后的农村和城市人口各是多少？两年以后？n 年以后？解 设n 年以后这个城市的农村与城市人口数目分别为(),1n n x y n ≥ ，根据题意110.73200.2800.33200.880x y =⨯+⨯⎧⎨=⨯+⨯⎩ （单位 ：万）， 写成矩阵的形式是110.70.23202400.30.880160x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以一年以后，农村人口240万，城市人口为160万.我们记矩阵0.70.20.30.8A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为110.70.23203200.30.88080x A y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2212213200.70.2320200800.30.880200x x A A y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以两年以后，农村人口和城市人口各200万 .于是我们可以得出32080n n n x A y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是说n 年以后这个城市的农村和城市的人口数是由n A 来决定的.也就是矩阵幂的求解.在这两个问题的求解过程中，我们用到了矩阵的乘法和转置等，进而将一个实际问题数学化，进而应用数学知识解决了人口流动的实际问题.这种问题看起来很复杂，但是通过矩阵的应用，我们就把它成功的解决了.不得不说，矩阵是我们解决实际问题的好工具.总结经过几个多月的学习和工作，我终于完成了本篇论文.从刚开始拿到论文题目到系统的实现，再到论文的完成，每走一步都是新的尝试与挑战.通过本文的这些知识点，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法，Jordan标准形法，最小多项式的方法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂.我们很明显的知道在具体的求解一个矩阵的高次幂的过程中，需要根据矩阵的不同特征而采用不同的运算方法是能否求解矩阵高次幂的一个关键问题.在以上我所介绍的那些方法中，它们并不一定是完全最简便的，也不一定是独立存在的，它们之间也是需要相互配合使用的（如例8就结合使用了方法4和方法5）.总而言之，在一个矩阵的高次幂求解过程中，我们需要充分的应用和发现矩阵的特征进而寻找求解n A的最简便的方法，这对于我们在矩阵各部分内容之间的联系以及思路的推广，是具有十分重要的作用的，然而这个是说起来简单做起来是十分困难的，要能够熟练的选择并应用最简单的运算方法，这是需要我们在大量的实践中逐步地提高的，而我们所说的实践一般情况下就是大量的练题.借此，我想说谢谢帮助我的老师，同学们，在你们的帮助下我才能这么快的完善了我的论文，谢谢你们.参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.王萼芳，石生明修订. 高等代数[M](第三版).北京:高等教育出版社,2003,7(1):162—187．[2] 王汉斌.方阵高次幂的几种解法[J］.安庆师范学院学报(自然科学版），2008,14(4):71．[3]李源,黄辉，郝小枝.计算矩阵高次方幂的几种方法[J］.云南大学学报（自然科学版）,2008,30(2):439—440．[4] 刘秀英. n阶矩阵m次方幂的求解方法[J].菏泽师专学报，2000，22（2）：61—62．[5] 晏林.Jordan矩阵的幂[J].文山师范高等专科学校学报,2006,20(2）：94—95．[6] 余跃玉.n阶方阵高次幂的计算方法[J].四川文理学院学报,2011，21(2):22—23．[7] 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