偏微分方程考试题
偏微分方程数值解期末试题及标准答案

偏微分方程数值解试题(06B )参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分)、设矩阵A 对称,定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=,)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ,则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定),求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二(10分)、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式:求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间.取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
偏微分方程数值解法试题与答案

一.填空(1553=⨯分)1.若步长趋于零时,差分方程的截断误差0→lmR ,则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______(错或对); 2.一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间;3.对非线性(变系数)差分格式,常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性; 4.写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数:_________________________________, ________________________________________;5.隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______(错或对)。
二.(13分)设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
(1)用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化; (2)用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化; (3)整理后的差分方程组为 三.(12)给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ , ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ,空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式(最简显格式), 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1.所选用的差分格式是: 2.计算所求近似值:四.(12分)试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一:将r 带入到原式,展开后可得格式是在点(l+1/2,k+1/2)展开的。
思路二:差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点,可由此构造中心点的差分格式。
偏微分方程数学考试试题

偏微分方程数学考试试题
1. 求解以下偏微分方程:
a. $ \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} $
b. $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 5 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
c. $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
2. 考虑以下边界条件问题:
$ u(0,t) = 0 $
$ u(1,t) = 2t $
$ u(x,0) = \sin(\pi x) $
求解该问题的解析解。
3. 对于给定的偏微分方程,尝试通过变量分离的方法求解。
证明解的唯一性。
4. 考虑一维热传导方程:$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
其中 $ \alpha $ 是热扩散系数。
解释在不同参数 $ \alpha $ 下方程的行为和性质。
5. 讨论偏微分方程的数值解法,比较有限差分法和有限元法的优缺点并举例说明。
6. 推导一维波动方程的解,并给出波动方程的初边值问题求解方法。
7. 请给出二阶常系数齐次线性偏微分方程的通解形式,并解释其中
每一个参数的物理意义。
8. 推导热传导方程的一维解,并讨论热源对温度分布的影响。
以上就是本次数学考试试题,请同学们认真作答,加油!。
偏微分方程总复习题

1. 定解问题的 存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性.2.定解问题的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性.3. 一维波动方程Cauchy 问题中点()t x ,的依赖区域是],[at x at x +-.4.一维波动方程Cauchy 问题的特征线是at x x ±=0.5.二维波动方程Cauchy 问题2022020t a y y x x ≤-+-)()(的决定区域是2022020)()()(t t a y y x x -≤-+-.6.二维波动方程Cauchy 问题的特征锥是2022020)()()(t t a y y x x -=-+-.7.当∞→t 时,二维波动方程Cauchy 问题的解的衰减估计为21-t .8.二维热传导方程的标准形式为f xu x u a t u +∂∂+∂∂=∂∂)(222222. 9.函数)(x f 的傅里叶变换ξξξd e f f F x i ⎰∞∞-=)(][.10.函数)(1x f 和)(2x f 的卷积=*)()(21x f x f dt t f t x f )()(⎰∞∞--21.11.=*)]()([21x f x f F ][][21f F f F ⋅. 12.=⋅)]()([21x f x f F ][][2121f F f F *π. 13.当∞→t 时,三维热传导方程的Cauchy 问题的解的衰减率为23-t.14.三维拉普拉斯方程的基本解是r 1.15.二维拉普拉斯方程的基本解是r1ln .16.二维调和函数的平均值公式为ds u a M u a⎰⎰Γ=2041π)(.17.设),(0M M G 为格林函数,则ds MM G ⎰⎰Γ),(0=1-.18.设),,()(z y x u M u =在点A 的邻域中除点A 外调和,则=⋅→)(lim M u r AM AM 0 ,时可以补充定义使其在点A 的邻域调和.1. 齐次波动方程的形如()at x F -的解所描述运动规律,称为右传 播波. (√)2. 齐次波动方程的形如()at x G +的解所描述运动规律,称为左传播波.(√)3.当空间维数是偶数时,总有波的弥散现象发生.(√)4.当空间维数是奇数时,波总具有无后效现象.(×)5.当∞→t 时,一维波动方程Cauchy 问题的解没有衰减性.(√)6.不恒等于常数的调和函数在其定义区域的任何内点上不能达到上界或下界. (√)7.调和函数如果在其边界上恒等于常数,则在其定义域内恒等于常数.(√) 8.当∞→t 时,二维热传导方程的Cauchy 问题的解的衰减率为1-t .(√) 9.当∞→t 时,三维波动方程Cauchy 问题的解的衰减估计为1-t .(√)10.一维热传导方程的标准形式为f xu a t u +∂∂=∂∂22222.(×) 三、计算题;1. 用分离变量法求下列问题的解:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==<<-=∂∂=<<>∂∂=∂∂==.)(),(),(),()(,sin ,),(00001300022222t t l u t u l x x x t u l x u l x t x u a t u o t t π 解:边界条件齐次的且是第一类的,令)()(),(t T x X t x u =得固有函数x ln x X n πsin)(=,且 t lan B t l an A t T n n n ππsin cos )(+=,)2,1( =n于是∑∞=+=1sin )sin cos(),(n n n x ln t l an B t l an A t x u πππ 今由始值确定常数n A 及n B ,由始值得∑∞==1sin 3sin n n x l n A l x ππ∑∞==-1sin )(n n x l n B l an x l x ππ 所以,13=A ,0=n A 当3≠n⎰-=ln xdx l n x l x an B 0sin )(2ππ⎩⎨⎧ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an πππππππcos sin cos 22222 )}))1(1(4cos 2sin 2443333222n lan l xl n n l x l n n x l --=--πππππ 因此所求解为∑∞=--+=1443sin sin )1(143sin 3cos ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u πππππ2.验证 2221),,(yx t t y x u --=在锥0222>--y x t 中都满足波动方程222222yux u t u ∂∂+∂∂=∂∂. 证:函数2221),,(y x t t y x u --=在锥222y x t -->0内对变量t y x ,,有二阶连续偏导数。
偏微分方程数值解期末试题及参考答案

《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分)、设矩阵A 对称正定,定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=,证明下列两个问题等价:(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解:b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二(10分)、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式:求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u (1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
偏微分方程期末试题A卷

第1 页共5页安徽大学20 08 —20 09 学年第二学期《偏微分方程》考试试卷(A 卷)(闭卷时间120分钟)院/系年级专业姓名学号题号一二三四五总分得分一、填空题(每小题3分,共15分)1.1.对常系数方程对常系数方程x y z u au bu cu du f D ++++=作未知函数的变换可以将所有一阶微商消失可以将所有一阶微商消失. .2.2.设设:R R F ®是光滑凸函数,(,)u x t 是热传导放程0tu u -D =的解,则()u F 是热传导方程的(下解;上解;解).3.3.上半平面的上半平面的Green 函数G(x,y)G(x,y)为为,其中12(,)y y y =为上半平面中某固定点为上半平面中某固定点. .4.设函数u 在以曲面G 为边界的区域W 内调和,在W G 上有连续的一阶偏导数,则u dSn G ¶¶òò=,其中n 是G 的外法方向的外法方向. . 5.5.热传导方程热传导方程2()0t xx yy u a u u -+=的特征曲面为.得分二、计算题(每小题10分,共40分) 1.求解初值问题.求解初值问题0,(,)(0,)(,0),,t x u bu cu x t R u x g x R ++=δ¥ìí=Îî 其中,,b c R Î都是常数都是常数. .2.2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题:试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题:试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题:2000,0,0,|(),|0.t xx t x u a u x t u x u j ==ì-=>>ï=íï=î得分3.试求解.试求解22008(),|,|.tt xx yy zz t t t u u u u t u xy u z ==ì-++=ïí==ïî4.写出定解问题:.写出定解问题:200(),0,0,|0,|0,|().t xx x x l t u a u f x x l t u u u g x ===ì-=<<>ï==íï=î解的一般形式解的一般形式. .三、判断分析题(三、判断分析题(1010分)分)试判断下面命题是否成立,并说明原因试判断下面命题是否成立,并说明原因. .在证明Hopf 引理的过程中,我们能够作出一个辅助函数()v x 满足满足 (a)(a)在球面在球面()R B y ¶上0;v =(b)v 沿球()R B y 的半径方向的方向导数vn¶¶<0<0;;(c)(c)在整个球在整个球()R B y 内下调和内下调和. .四、分析计算题(四、分析计算题(1515分)分)试判断下列方程试判断下列方程2222222sin cos cos 0u u u u x x x x x y y y¶¶¶¶---=¶¶¶¶¶ 的类型,并根据标准型求出此方程的通解的类型,并根据标准型求出此方程的通解. .得分得分五、证明题(下面两道题请任选一题)(20分)1.设G 是2R 中有界区域,试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明:中有界区域,试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明: 满足方程0xx yy u u +=的函数u(x,y)在G 上的最大值不会超过它在边界G ¶上的最大值上的最大值. .2.试用能量法(即用格林第一公式法)证明n 维Laplace 方程的第三边值问题方程的第三边值问题 12n u(x)0,x=(x ,x ,,x ),0u u f ns s ¶W D =ÎWìï¶íæö+=>ç÷ï¶èøî 是常数的解的唯一性,其中W 为边界光滑的有界区域为边界光滑的有界区域. .得分。
偏微分方程考试题及答案

偏微分方程考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 偏微分方程的一般形式是什么?A. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)答案:B2. 以下哪个方程不是线性偏微分方程?A. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 1 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)D. \( u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)答案:D3. 波动方程的解通常表示为两个函数的和,这两个函数分别是?A. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x-ct) \)B. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x+ct) \)C. \( f(x-ct) \) 和 \( g(x+ct) \)D. \( f(x+ct) \) 和 \( h(x-ct) \)答案:A4. 拉普拉斯方程的解是调和函数,以下哪个条件不是调和函数必须满足的?A. \( \Delta u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \) D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 1 \)答案:D5. 以下哪个条件不是偏微分方程解的存在性和唯一性定理所要求的?A. 初始条件B. 边界条件C. 系数的连续性D. 变量的离散性答案:D二、填空题(每题3分,共15分)1. 偏微分方程 \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \) 是一个 ________ 方程。
偏微分方程习题及答案

偏微分方程习题及答案【篇一:偏微分方程数值解法期末考试题答案】题答案及评分标准学年学期:专业:班级:课程:教学大纲:使用教材:教材作者:出版社:数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲(自编,2006)《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社一、判断题(每小题1分,共10分)1、(o)2、(o)3、(x)4、(x)5、(o)6、(o)7、(o)8、(x)9、(x) 10、(o)二、选择题(每小题2分,共10分) 11、(d) 12、(a) 13、(c) 14、(b)15、(c)三、填空题(每小题2分,共20分)?2?216、2?2??x1?x2?2?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])?(s)?1?(s)?c[??(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?224????v(?)ed? 25、i?xu(xj,tn?1)?u(xj,tn)?四、计算题:(每小题12分,共36分)?u?u?0(x?r,t?0)的有限差分方程(两层显示26、写成对流方程?a?t?x格式,用第n层计算第n+1层),并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式???/h为网格比。
解:在点(xj,tn)处,差分方程为?1un?unjj??anunj?1?ujh?0(j?0,?1,?2,,n?0,1,2,)(8分)便于计算的形式为?1nnn???/h (4分) un?u?a?(u?ujjj?1j),?u?2u?a2的有限差分方程(中心差分格式,用第n层27、写出扩散方程?t?x计算第n+1层),并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式,???/h2为网格比。
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数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法:微元法; 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型):弦振动方程:222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程:222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂;, 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程(抛物型):ρ,其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆(无热源)222u u a t x ∂∂=∂∂, 导热片(无热源)22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程:,2u f ∇= Laplace 方程:,20u ∇=2.定解条件:初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质(1).线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题:21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题:(2.) 齐次化原理(冲量原理)Duhamel 原理:设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解,⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
【典型习题】1:长为l 的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另一端有恒定热流q 进入(即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q ),杆的初始温度分布是()2x l x -,试写出相应的定解问题 解:初始条件:0()|2t x l x u =-=, 杆的初始温度分布是()2x l x -,边界条件: 0|0x u ==由杆的一端温度为零x lu k q x=∂-=-∂,杆的另一端有恒定热流q ,u u n x∂∂=∂∂)(Fourier 实验定律 故定解问题为:22200()|2|0,t x x lu u a t x x l x u u u k qx ===⎧∂∂=⎪∂∂⎪-⎪=⎨⎪⎪∂==⎪∂⎩该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题3:长为l 的弦两端固定,开始时在x c =受冲量k 的作用,试写出相应的定解问题解:设弦的两端为:0x x l ==,由题意有弦的振动方程为 2222u ua t x∂∂=∂∂ (0)x l << 边界条件为:0||0x x l u u ==== 初始条件为:0|0t u ==在点x c =,取小段 c x c -≤≤+δδ (δ是无穷小量),由冲量定理有0|2t t k u δρ== ,(冲量=动量改变量) ()ρ是弦的质量密度; ∴ 0|,2||t t k u x c =-≤=δρδ于是,()00||,|0,||.2t t x c u kx c =->⎧⎪=→⎨-≤⎪⎩δδδδρ故定解问题为22220000|||0,|||2|0,|0t t t x x l u u a t x x c u u kx c u u δδδρ====⎧∂∂=⎪∂∂⎪->⎪⎧⎪⎪==⎨⎨-≤⎪⎪⎩⎪==⎪⎪⎩,,该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问题 5、 若(),()F z G z 是两个任意二次连续可微函数,验证()()u F x at G x at =++-满足方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ 解:由题意有 []u a F G t ∂''=-∂ 及 222[]ua F G t∂''''=-∂ u F G x ∂''=+∂ 及22uF G x∂''''=+∂可得 22222u u a t x∂∂=∂∂ 二、偏微分方程的精确解求法1. 分离变量法(有界区域内/齐次边界;周期边界)Bessel 函数及Legendre 函数2. 行波法(针对波动方程,无界区域内)3. 积分变换法(Fourier 变换Laplace 变换)Fourier 变换:针对整个空间 ,奇:正弦变换 偶:余弦变换 Laplace 变换:针对半空间 4. Green 函数及基本解法1、 分离变量法,有界区域内(1) 齐次方程+齐次边界条件分离变量法步骤:(i )分离变量:设方程试探解(,)()()u x t X x T t =,代入方程 (ii )求解本征值问题 (iii )叠加原理求通解 (iv )初始条件求定解 常用的本征值问题:2''0(),sin 1,2,(0)()0n X X n n X x n X X l l l λππλ+=⎧===⎨==⎩,,2''021(21)(),sin 0,1,2,(0)'()022n X X n n X x n X X l l l λπλπ+=⎧++===⎨==⎩,,2''021(21),(),cos 0,1,2,'(0)()022n X X n n X x n X X l l l λπλπ+=⎧++===⎨==⎩,2''0(),cos 0,1,2,'(0)'()0n X X n n X x n X X l l l λππλ+=⎧===⎨==⎩,,题型:2222202000,0|0;0|2;,0.x x lt t x l t u u x uu x l x t u u a tx ====∂∂=⎧<<>⎪⎪⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪∂⎪=-∂=⎩∂∂⎪222,0,0,(,)((,),0)(),0(0,),0,00x l t u x x x l u u l t hu l u u a t x t x t t ϕ∂∂=⎧<<>⎪⎪⎪=≤≤⎨∂∂∂+=∂⎪⎪=>⎪⎩2222,0,0(,0)0,(,)0,0(0,)0,(,)(),00x a y b u x u x b y b u uu y u a y f y x a x y ⎧<<<<⎪⎪⎪==∂∂+=∂∂≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩(2) 非齐次方程+齐次边界条件分离变量法 1) 本征函数法2) 冲量定理法(非齐次波动<扩散>方程;定解条件都是齐次)设(,,)v x t τ是方程200,0,0,0,0,(,),0tt xx x x l t t t v a v x l t v v t v v f x x lτττττ====⎧-=<<>⎪⎪==>⎨⎪==<<⎪⎩的解,则0(,)(,;)t u x t v x t d ττ=⎰是方程2000(,)0,00,0tt xx x x l t t t u a u f x t u u u u ====⎧-=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩的解。
(3) 周期性条件的定解问题的分离变量法22202222202220,(,)x y u u x y x y u F x y u ρρ+=⎧∂∂=+=+<=∇⎪∂∂⎨⎪⎩()()022022200,02|,02;(,)(,2),l 11i (,),0m u u u f u uu u ρρρρρρρρρθπθθπρθρθπρθθ=→⎧⎪<<<<⎪⎪⎪⇒=≤≤⎨⎪=+⎫⎪⎪⎬⎪<+∞⎪⎪⎭∂∂∂++=∂∂∂⎩周期条件自然边界条件有界条件(4) 非齐次边界条件分离变量法---函数代换102002()((,())))(x x l ttxxt t t x u a u u t u f x t u t x u x μμϕψ====⎧-===⎪⎨⎪==⎩例 (,)(,)(,)()u x t v t x x w t =+选取设(,)()(),w x t A t x B t =+满足00,xx l x v v ====121(,)()()(),w x t t x t t l μμμ∴=+- 1)12210(),()(,)()(),x x x lu t u t w x t t x t μμμμ====⇒=+2)121210(),()(,)()()(),x l x x u t u t w x t t x t t l μμμμμ====⇒=+-3)2211210()()(),()(,)()xxx x lt t u t u t w x t x t x lμμμμμ==-==⇒=+4)12(,),(),(),(,)(,()()).f x t t t t u w x v x t x t μμ=-当与非齐次边界均与无关时选取 【例题23】 求解一端固定,一端作周期运动t ωsin 的弦的振动问题.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤====><<=====l x u u t u u t l x u a u t t t l x x xx tt 00,0sin ,00,00002ω解 令(,)(,)(,),u x t v x t w x t =+取t a l xa t x W ωωωsin sin sin),(=将原问题边界条件齐次化⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====''=''====ωωωa l x a v v v v v a v t t t l x x xx tt sin sin ,00,0002 用分离变量法解齐次方程第一类齐次边界定值问题 (i )变量分离,令(,)()()v x t X x T t =代入方程,得''2''()()()()X x T t a X x T t =将上式分离变量,有22()()()()X x T t X x a T t λ''''==- ∴ ''20X X λ+=,''2()0T a T λ+=(ii )求解本征值问题:由方程''20X X λ+=可知()cos sin X x A x B x λλ=+它满足边界条件:(0)0,(1)0X X ==,∴0,,(1,2,)n n n A n lπλ=== 即得一族非零解()sin ,(1,2,)n n X x x n lπ== 将n λ代入方程''2()0T a T λ+=中,得其通解为()cos sin ,(1,2,)n n n n n T t C a t D a t n λλ=+=(iii )由叠加原理,得通解。