偏微分方程数值解(试题)

偏微分方程数值解试题1、考虑一维的抛物型方程：2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)()x x u ux t xu x t u u x t u u x x ππνπϕ==∂∂=∈≤≤∂∂=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式；（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式，112n n n t t u u u t t+-=∂-=∂∆ 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？2、考虑Poission 方程2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CDu x y x y unu x y -∇=∈Ω∂=∂= 其中Ω是图1中的梯形。

使用差分方法来离散该方程。

由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，图1 梯形为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域ˆΩ，然后在ˆΩ上使用差分方法来离散该方程。

在计算区域ˆΩ上用N N ⨯个网格点，空间步长为1/(1)N ξη∆=∆=-。

（1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形ˆΩ（带有坐标,ξη）。

同时导出在新区域上的方程和边界条件。

（2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。

3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x∂∂+=∂∂，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1ˆn j u +=ˆnj u a t x∆-∆（ˆn j u 1ˆn j u --）（1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式；（2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。

（3）使用0 u uu t x∂∂+=∂∂说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。

4、对一维Poission 方程, (0,1)(0)(1)0x xx u xe x u u ⎧-=∈⎨==⎩ 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？（3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。

5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题225, (0,1)(0)(1)0xx u x x x u u πππ⎧-=∈⎨==⎩（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。

6、对一阶波动方程01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎪⎩（1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；（2）使用线方法，分析上述格式的稳定性。

7、考虑散热片的设计问题。

二维散热片如图3所示，是由一个中心柱和4个水平的子片构成；散热片从底部root Γ的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。

散热片可由一个5维参数向量来表示，125(,,,)μμμμ=L ，其中,1,,4iik i μ==L ，和5Bi μ=；μ可取给定设计集5D ⊂¡中的任意值。

i k 是第i 个子片热传导系数（01k ≡是中柱的热传导系数）；Bi 是Biot 数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的Bi 意味好的热传导）。

比如，假定我们选择散热片具有如下参数12340.4,0.6,0.8, 1.2,0.1k k kk Bi =====，此时(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)μ=。

中心柱的宽度是1，高度是4；子片的厚度0.25t =，长度 2.5L =。

我们将输出温度root T 看作是125(,,,)μμμμ=L 的函数，其中输出温度root T 是散热片底部定常态温度的均值，输出温度root T 越低，散热效果越好。

在散热片内定常态温度分布()u μ，由椭圆型方程控制其中i u 是u 在iΩ的限制，i Ω是热传导系数为,0,,4ik i =L 的散热片的区域：0Ω是中心柱，,1,,4i i Ω=L 对应4个子片。

整个散热片区域记为Ω，Ω的边界记为Γ。

为确保在传导系数间断界面0int ,1,,4i ii Γ=∂Ω⋂∂Ω=L 上温度和热通量的连续性，我们有这里ˆin是i∂Ω的外法线。

在散热片的底部引入Neumann 边界条件来刻画热源；一个Robin 边界条件来刻画对流热损失，其中iext Γ是iΩ暴露在流体流动中的边界部分，40\i extroot i =Γ=ΓΓU。

在底部的平均温度0()(())root T l u μμ=，其中0()rootl v v Γ=⎰。

在这个问题中，我们取0()()l v l v =。

（1）证明1()()u X H μ∈≡Ω满足弱形式其中（2）证明()u X μ∈是()J w 在X 中取得极小值的变量（3）考虑线性有限元空间找()h h u X μ∈，使得此时运用通常的节点基，我们得矩阵方程其中n 是有限元空间的维数。

请推导出单元矩阵33kh A ⨯∈¡，单元荷载向量3k h F ∈¡，单元输出向量3k h L ∈¡；并且描述从单元量获得总矩阵,,h h h A F L 的程序。

8、考虑Poisson 方程2(,)1, (,)(,)0u x y x y u x y ∂Ω-∇=∈Ω=其中Ω是单位正方形，定义空间和泛函{}110()()0X H v H v ∂Ω=Ω=∈Ω=(,)()a u v u vdAl v vdAΩΩ=∇⋅∇=⎰⎰若2()u C ∈Ω，且u 是上述Poisson 方程的解， （1）证明u 为()J w 在空间X 上的极小值点，其中 1()(,)()2J w a w w l w =- （2）证明u 满足弱形式(,)(), a u v l v v X =∀∈ （3）作图示均匀三角形剖分，步长13h =，写出下列节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向量。

(a)节点编号顺序为11211222(,), (,), (,), (,) 33333333 (b) 节点编号顺序为12211122(,), (,), (,), (,) 33333333(4)假定基函数和节点有同样的编号，写出节点为22(,) 33的节点基函数。

9、考虑一维的poisson 方程2(3), (0,1)(0)(1)0x xx u x x e x u u -=+∈==将(0,1)区间分成1n +等份，用中心差分离散二阶导数，完成下列各题：（1） 写出该问题的矩阵形式的离散格式：ˆAuf =； （2） 记{}11,iji j n Aα-≤≤=，证明·非负性 0, 1,ij for i j n α≥≤≤ ·有界性 110, 18Nij j for i n α=≤≤≤≤∑10、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划0u t xρρ∂∂+=∂∂ 其中(,)x t ρρ=是汽车密度（每公里汽车的辆数），(,)u u x t =是速度。

假定速度u 是密度ρ的函数：max max1u u ρρ⎛⎫=-⎪⎝⎭其中max u 是最大速度，max 0ρρ≤≤。

max max ()1f u u ρρρρρ⎛⎫==- ⎪⎝⎭用如下的Roe 格式11122n nn ni i i i t F F x ρρ++-⎛⎫∆=-- ⎪ ⎪∆⎝⎭其中[]11112211()()()22n i i i i i i F f f a ρρρρ++++=+-- 11max max2(1)i i i au ρρρ+++=-求解下列绿灯亮了问题： 此时初始条件为,0(0)0, 0L x x ρρ<⎧=⎨≥⎩一些参数如下：max max max40.81,0.8,1,,400L x u x t u ρρ∆===∆=∆=。

（1） 给出2t =时问题的解；（2） Roe 格式满足熵条件吗？为什么？ 11、考虑1D 常微分方程两点边值问题1, (0)(1)0xx u u x u u -+=∈Ω==其中 (0,1)Ω=，定义空间和泛函{}110()()0X H v H v ∂Ω=Ω=∈Ω=(,)()a u v u vdA uvdAl v vdAΩΩΩ=∇⋅∇+=⎰⎰⎰若2()u C ∈Ω，且u 是上述1D 常微分方程两点边值问题的解， （1）证明u 为()J w 在空间X 上的极小值点，其中 1()(,)()2J w a w w l w =- （2）证明u 满足弱形式(,)(), a u v l v v X =∀∈（3）将 (0,1)Ω=均匀剖分成1n +等份（比如9n =），,0,1,,1i x ih i n ==+L ，记第k个三角单元1(,),1,,1kh k k T x x k n -==+L ，写出节点编号为3所对应的节点基函数及第3个单元所对应的刚度矩阵和荷载向量。

（4）写出9n =时，该问题有限元离散所对应的线性方程组。