偏微分方程数值解例题答案
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
第6章_偏微分方程数值解法(附录)
第6章附录6.1 对流方程例题6.1.2计算程序!ADVECT.F!!!! advect - Program to solve the advection equation! using the various hyperbolic PDE schemesprogram advectinteger*4 MAXN, MAXnplotsparameter( MAXN = 500, MAXnplots = 500 )integer*4 method, N, nStep, i, j, ip(MAXN), im(MAXN)integer*4 iplot, nplots, iStepreal*8 L, h, c, tau, coeff, coefflw, pi, sigma, k_wavereal*8 x(MAXN), a(MAXN), a_new(MAXN), plotStepreal*8 aplot(MAXN,MAXnplots+1), tplot(MAXnplots+1)!* Select numerical parameters (time step, grid spacing, etc.).write(*,*) 'Choose a numerical method: 'write(*,*) ' 1) FTCS, 2) Lax, 3) Lax-Wendroff : 'read(*,*) methodwrite(*,*) 'Enter number of grid points: 100'read(*,*) NL = 1. ! System sizeh = L/N ! Grid spacingc = 1 ! Wave speedwrite(*,*) 'Time for wave to move one grid spacing is ', h/cwrite(*,*) 'Enter time step: 0.001'read(*,*) taucoeff = -c*tau/(2.*h) ! Coefficient used by all schemescoefflw = 2*coeff*coeff ! Coefficient used by L-W schemewrite(*,*) 'Wave circles system in ', L/(c*tau), ' steps'write(*,*) 'Enter number of steps: 300'read(*,*) nStep!* Set initial and boundary conditions.pi = 3.141592654sigma = 0.1 ! Width of the Gaussian pulsek_wave = pi/sigma ! Wave number of the cosinedo i=1,Nx(i) = (i-0.5)*h - L/2 ! Coordinates of grid pointsa(i) = cos(k_wave*x(i)) * exp(-x(i)**2/(2*sigma**2))enddo! Use periodic boundary conditionsdo i=2,(N-1)ip(i) = i+1 ! ip(i) = i+1 with periodic b.c.im(i) = i-1 ! im(i) = i-1 with periodic b.c.enddoip(1) = 2ip(N) = 1im(1) = Nim(N) = N-1!* Initialize plotting variables.iplot = 1 ! Plot counternplots = 50 ! Desired number of plotsplotStep = float(nStep)/nplotstplot(1) = 0 ! Record the initial time (t=0)do i=1,Naplot(i,1) = a(i) ! Record the initial stateenddo!* Loop over desired number of steps.do iStep=1,nStep!* Compute new values of wave amplitude using FTCS,! Lax or Lax-Wendroff method.if( method .eq. 1 ) then !!! FTCS method !!!do i=1,Na_new(i) = a(i) + coeff*( a(ip(i))-a(im(i)) )enddoelse if( method .eq. 2 ) then !!! Lax method !!!do i=1,Na_new(i) = 0.5*( a(ip(i))+a(im(i)) ) +& coeff*( a(ip(i))-a(im(i)) )enddoelse !!! Lax-Wendroff method !!!do i=1,Na_new(i) = a(i) + coeff*( a(ip(i))-a(im(i)) ) +& coefflw*( a(ip(i))+a(im(i))-2*a(i) ) enddoendifa(i) = a_new(i) ! Reset with new amplitude valuesenddo!* Periodically record a(t) for plotting.if( (iStep-int(iStep/plotStep)*plotStep) .lt. 1 ) theniplot = iplot+1tplot(iplot) = tau*iStepdo i=1,Naplot(i,iplot) = a(i) ! Record a(i) for plotingenddowrite(*,*) iStep, ' out of ', nStep, ' steps completed'endifenddonplots = iplot ! Actual number of plots recorded!* Print out the plotting variables: x, a, tplot, aplotopen(11,file='x.txt',status='unknown')open(12,file='a.txt',status='unknown')open(13,file='tplot.txt',status='unknown')open(14,file='aplot.txt',status='unknown')do i=1,Nwrite(11,*) x(i)write(12,*) a(i)do j=1,(nplots-1)write(14,1001) aplot(i,j)enddowrite(14,*) aplot(i,nplots)enddodo i=1,nplotswrite(13,*) tplot(i)enddo1001 format(e12.6,', ',$) ! The $ suppresses the carriage return stopend!***** To plot in MATLAB; use the script below ******************** !load x.txt; load a.txt; load tplot.txt; load aplot.txt;!%* Plot the initial and final states.!figure(1); clf; % Clear figure 1 window and bring forward!plot(x,aplot(:,1),'-',x,a,'--');!legend('Initial','Final');!pause(1); % Pause 1 second between plots!%* Plot the wave amplitude versus position and time!figure(2); clf; % Clear figure 2 window and bring forward!mesh(tplot,x,aplot);!ylabel('Position'); xlabel('Time'); zlabel('Amplitude');!view([-70 50]); % Better view from this angle!****************************************************************** ================================================6.2 抛物形方程例题6.2.2计算程序!!!!dftcs.f!!!!!!!!!!! dftcs - Program to solve the diffusion equation! using the Forward Time Centered Space (FTCS) scheme.program dftcsinteger*4 MAXN, MAXnplotsparameter( MAXN = 300, MAXnplots = 500 )integer*4 N, i, j, iplot, nStep, plot_step, nplots, iStepreal*8 tau, L, h, kappa, coeff, tt(MAXN), tt_new(MAXN)real*8 xplot(MAXN), tplot(MAXnplots), ttplot(MAXN,MAXnplots)!* Initialize parameters (time step, grid spacing, etc.).write(*,*) 'Enter time step: 0.0001'read(*,*) tauwrite(*,*) 'Enter the number of grid points: 50 'read(*,*) NL = 1. ! The system extends from x=-L/2 to x=L/2h = L/(N-1) ! Grid sizekappa = 1. ! Diffusion coefficientcoeff = kappa*tau/h**2if( coeff .lt. 0.5 ) thenwrite(*,*) 'Solution is expected to be stable'elsewrite(*,*) 'WARNING: Solution is expected to be unstable'endif!* Set initial and boundary conditions.do i=1,Ntt(i) = 0.0 ! Initialize temperature to zero at all pointstt_new(i) = 0.0enddo!! The boundary conditions are tt(1) = tt(N) = 0!! End points are unchanged during iteration!* Set up loop and plot variables.iplot = 1 ! Counter used to count plotsnStep = 300 ! Maximum number of iterationsplot_step = 6 ! Number of time steps between plots nplots = nStep/plot_step + 1 ! Number of snapshots (plots)do i=1,Nxplot(i) = (i-1)*h - L/2 ! Record the x scale for plotsenddo!* Loop over the desired number of time steps.do iStep=1,nStep!* Compute new temperature using FTCS scheme.do i=2,(N-1)tt_new(i) = tt(i) + coeff*(tt(i+1) + tt(i-1) - 2*tt(i))enddodo i=2,(N-1)tt(i) = tt_new(i) ! Reset temperature to new valuesenddo!* Periodically record temperature for plotting.if( mod(iStep,plot_step) .lt. 1 ) then ! Every plot_step stepsdo i=1,N ! record tt(i) for plottingttplot(i,iplot) = tt(i)enddotplot(iplot) = iStep*tau ! Record time for plotsiplot = iplot+1endifenddonplots = iplot-1 ! Number of plots actually recorded!* Print out the plotting variables: tplot, xplot, ttplotopen(11,file='tplot.txt',status='unknown')open(12,file='xplot.txt',status='unknown')open(13,file='ttplot.txt',status='unknown')do i=1,nplotswrite(11,*) tplot(i)enddowrite(12,*) xplot(i)do j=1,(nplots-1)write(13,1001) ttplot(i,j)enddowrite(13,*) ttplot(i,nplots)enddo1001 format(e12.6,', ',$) ! The $ suppresses the carriage returnstopend!***** To plot in MATLAB; use the script below ********************!load tplot.txt; load xplot.txt; load ttplot.txt;!%* Plot temperature versus x and t as wire-mesh and contour plots.!figure(1); clf;!mesh(tplot,xplot,ttplot); % Wire-mesh surface plot!xlabel('Time'); ylabel('x'); zlabel('T(x,t)');!title('Diffusion of a delta spike');!pause(1);!figure(2); clf;!contourLevels = 0:0.5:10; contourLabels = 0:5;!cs = contour(tplot,xplot,ttplot,contourLevels); % Contour plot!clabel(cs,contourLabels); % Add labels to selected contour levels!xlabel('Time'); ylabel('x');!title('Temperature contour plot');!******************************************************************! program diffu_explicit.for! explicit methods for finite diffrencedimension T(51,51)real dx,dt,lamda,kp,Tmax,Tminopen(2,file='diffu_1.dat')dx=0.5dt=0.1kp=0.835lamda=kp*dt/dx/dxTmax=100.Tmin=0.imax=21write(*,*) 'lamda=',lamdado i=1,50do j=1,50T(i,j)=0.0do j=1,40T(1,j)=TmaxT(imax,j)=Tminend dodo j=1,40do i=2,20T(i,j+1)=T(i,j)+lamda*(T(i+1,j)-2.*T(i,j)+T(i-1,j)) end dowrite(2,222) (T(i,j),i=1,21)end do222 format(1x,21(2x,f18.10))end% diffu_explicit.mclc; clear all;nl = 20.; nt = 40;dx = 0.5; dt = 0.1; kp = 0.835;lamda = kp*dt/dx/dx;Tl = 0.; Tr = 100.;T = zeros(nl,nt);T(1,:) = Tl; T(nl,:)=Tr;for j=1:nt-1for i =2:nl-1T(i,j+1)=T(i,j)+lamda*(T(i+1,j)-2.*T(i,j)+T(i-1,j));endendsurf(T');xlabel('x');ylabel('time');zlabel('Temperature');title('explicit scheme');! diffu_implicit.for! implicit methods for finite diffrenceexternal tridparameter (imax=21,kmax=50)dimension t(imax),a(imax),b(imax),c(imax),r(imax),u(imax) real dx,dt,lamda,kp,tmax,tminopen(2,file='diffu_2.dat')dx=0.5lamda=kp*dt/dx/dxtmax=100.tmin=0.write(*,*) 'lamda=',lamdado i=2,imax-1! t(i)=tmax-(tmax-tmin)/(imax-1.)*(i-1.) t(i)=0.0end dot(1)=tmaxt(imax)=tmin! write(*,*) a(i),b(i),c(i)b(1)=1.c(1)=0.r(1)=t(1)a(imax)=0.b(imax)=1.r(imax)=t(imax)do i=2,imax-1a(i)=-lamdab(i)=1.+2.*lamdac(i)=-lamdar(i)=t(i)end dok=01 k=k+1call trid(a,b,c,r,u,imax)do i=1,imaxt(i)=u(i)r(i)=u(i)end dowrite(2,222) (t(i),i=1,imax)! write(*,222) (t(i),i=1,imax)if(k.lt.kmax) goto 1222 format(1x,21(2x,f18.12))endsubroutine trid(a,b,c,r,u,n)parameter (nmax=100)real gam(nmax),a(n),b(n),c(n),u(n),r(n)if (b(1)==0.) pause 'b(1)=0 in trid'bet=b(1)u(1)=r(1)/betdo j=2,ngam(j)=c(j-1)/betbet=b(j)-a(j)*gam(j)if (bet==0.) pause 'bet=0 in trid'u(j)=(r(j)-a(j)*u(j-1))/betend dodo j=n-1,1,-1u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1)end doend subroutine trid================================================== 6.3椭圆方程例题6.3.1计算程序! program overrelaxation.for! overrelaxation_iteration_methods for finite diffrence! of the 2d_Laplacian difference equationparameter(imax=25,jmax=25,pi=3.1415926)dimension T(imax,jmax),a(imax,jmax),& qx(imax,jmax),qy(imax,jmax),q(imax,jmax),an(imax,jmax) real lamda,Tu,Td,Tl,Tr,kpx,kpy,dx,dyopen(2,file='overrelaxation.dat')open(3,file='q.dat')lamda=1.5;Tu=100.;Tl=75.;Tr=50.;Td=0.;dx=1.;dy=1.;kmax=9 kpx=-0.49/2./dx;kpy=-0.49/2./dydo i=1,imaxdo j=1,jmaxT(i,j)=0.0end doend doT(1,1)=0.5*(Td+Tl) ;T(1,jmax)=0.5*(Tl+Tu)T(imax,jmax)=0.5*(Tu+Tr);T(imax,1)=0.5*(Tr+Td)do j=2,jmax-1T(1,j)=Tl; T(imax,j)=Trend dodo i=2, imax-1T(i,1)=Td; T(i,jmax)=Tuend dok=0do i=2,imax-1do j=2,jmax-1a(i,j)=T(i,j)T(i,j)=0.25*(T(i+1,j)+T(i-1,j)+T(i,j+1)+T(i,j-1))T(i,j)=lamda*T(i,j)+(1.-lamda)*a(i,j)end doend doep=abs((T(2,2)-a(2,2))/T(2,2))if(k.lt.kmax) goto 5write(*,*) 'ep=',epdo j=1,jmaxwrite(2,222) (T(i,j),i=1,imax)end do222 format(1x,25(2x,f14.10))do i=2,imax-1do j=2,jmax-1qx(i,j)=kpx*(T(i+1,j)-T(i-1,j))qy(i,j)=kpy*(T(i,j+1)-T(i,j-1))q(i,j)=sqrt(qx(i,j)*qx(i,j)+qy(i,j)*qy(i,j))if(qx(i,j).gt.0.) thenan(i,j)=atan(qy(i,j)/qx(i,j))elsean(i,j)=atan(qy(i,j)/qx(i,j))+piend ifend doend dodo j=2,jmax-1do i=2,imax-1! write(3,333) dx*(i-1),dy*(j-1),an(i,j),q(i,j)write(3,333) dx*(i-1),dy*(j-1),qx(i,j),qy(i,j)end doend do333 format(1x,4(2x,f18.12))End================================================= 例题6.3.2计算程序!!!!xadi.f90!!!!!program xadiuse AVDefuse DFLibparameter(n=19)real aj(n),bj(n),cj(n)integer statusreal T(0:n,0:n),TT(0:n,0:n)real lamda,Tu,Td,Tl,Tr,dx,dy,dt,kaopen(2,file='T3.dat')Tu=100.;Tl=75.;Tr=50.;Td=0.;dx=1.;dy=1.;kmax=10;dt=1.ka=0.835; lamda=ka*dt/(dx*dx)write(*,*) 'lamda=',lamdaT = 0.T(0,:) = Tl; T(n,:) =TrT(:,0) = Td; T(:,n) =TuT(0,0)=0.5*(Td+Tl);T(0,n)=0.5*(Tl+Tu)T(n,n)=0.5*(Tu+Tr);T(n,0)=0.5*(Tr+Td)! 系数矩阵赋值aj(:)=-lamda; ai(:)=lamdabj(:)= 2.*(1.+lamda); bi(:)=2.*(1-lamda)cj(:)=-lamda; ci(:)=lamdacall faglStartWatch(T, status)! 相当于随时间演化do k=1,kmaxdo i=1,n-1do j=1,n-1r(j)=ai(i)*T(i-1,j)+bi(i)*T(i,j)+ci(i)*T(i+1,j)end dor(1)=r(1)-aj(1)*T(i,0)r(n-1)=r(n-1)-cj(n-1)*T(i,n)call tridag(aj,bj,cj,r,u,n-1)do j=1,n-1T(i,j)=u(j)end doend do! 将矩阵T转置计算x方向call reverse(n,T,TT)do i=1,n-1do j=1,n-1r(j)=ai(i)*TT(i-1,j)+bi(i)*TT(i,j)+ci(i)*TT(i+1,j) end dor(1)=r(1)-aj(1)*TT(i,0)r(n-1)=r(n-1)-cj(n-1)*TT(i,n)call tridag(aj,bj,cj,r,u,n-1)do j=1,n-1TT(i,j)=u(j)end doend docall reverse(n,TT,T)call faglUpdate(T, status)call faglShow(T, status)end dopausecall faglClose(T, status)call faglEndWatch(T, status)do j=0,nwrite(2,222) (T(i,j),i=0,n)end do222 format(1x,20(2x,f14.10))endSUBROUTINE tridag(a,b,c,r,u,n)INTEGER n,NMAXREAL a(n),b(n),c(n),r(n),u(n)PARAMETER (NMAX=500)INTEGER jREAL bet,gam(NMAX)if(b(1).eq.0.)pause 'tridag: rewrite equations'bet=b(1)u(1)=r(1)/betdo 11 j=2,ngam(j)=c(j-1)/betbet=b(j)-a(j)*gam(j)if(bet.eq.0.)pause 'tridag failed'u(j)=(r(j)-a(j)*u(j-1))/bet11 continuedo 12 j=n-1,1,-1u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1)12 continuereturnENDSUBROUTINE REVERSE(n,T,TT) integer n,i,jreal T(0:n,0:n),TT(0:n,0:n)do i=0,ndo j=0,nTT(i,j)=T(j,i)end doend doreturnend================================================6.4 非线性偏微分方程% gasdynamincs_lw_1.mclc; clear all;xmin=-1.; xmax=1.; nx=101; h=(xmax-xmin)/(nx-1);r=0.9; cad=0.; time=0.; gamma=1.4; bcl=1.; bcr=1.;fprintf(' Space step - %f \n',h); fprintf(' \n');dd(1:nx)=zeros(1,nx); ud(1:nx)=zeros(1,nx); pd(1:nx)=zeros(1,nx);x(1:nx)=xmin+((1:nx)-1)*h;% Test 1te=' ( Test 1 )';rol=1.; ul=0.; pl=1.;ror=0.125; ur=0.; pr=0.1;tp=5.5;% Test 3%te=' ( Test 3 )';%rol=0.1; ul=0.; pl=1.;%ror=1.; ur=0.; pr=100.;%tp=0.05;% Initial conditionsdd(1:(nx-1)/2+1)=rol; ud(1:(nx-1)/2+1)=ul; pd(1:(nx-1)/2+1)=pl;dd((nx-1)/2+2:nx)=ror;ud((nx-1)/2+2:nx)=ur; pd((nx-1)/2+2:nx)=pr;[d,u,p,e,time]=lw_gasdynamics(dd,ud,pd,h,nx,r,cad,tp,gamma,bcl,bcr);% Exact solutionfor n=1:nx[density, velocity, pressure]=riemann(x(n),time,rol,ul,pl,ror,ur,pr,gamma);de(n)=density; ue(n)=velocity; pe(n)=pressure;ee(n)=pressure/((gamma-1.)*density);endfigure(1);plot(x,de,'k-',x,d,'k--');xlabel(' x ');ylabel(' density ');title([' Example 6.1 ',te]);figure(2);plot(x,ue,'k-',x,u,'k--');xlabel(' x ');ylabel(' velocity ');title([' Example 6.1 ',te]);figure(3);plot(x,pe,'k-',x,p,'k--');xlabel(' x ');ylabel(' pressure ');title([' Example 6.1 ',te]);figure(4);plot(x,ee,'k-',x,e,'k--');xlabel(' x ');ylabel(' internal energy ');title([' Example 6.1 ',te]);clear all;% Lax-Wendroff scheme (gasdynamics)function [d,u,p,e,time]=lw_gasdynamics(dd,ud,pd,h,nx,r,cad,tp,gamma,bcl,bcr)sd(1,1:nx)=dd(1:nx);sd(2,1:nx)=dd(1:nx).*ud(1:nx);sd(3,1:nx)=pd(1:nx)/(gamma-1.)+0.5*(dd(1:nx).*ud(1:nx)).*ud(1:nx);si(1:3,1:nx+1)=zeros(3,nx+1); av(1:3,1:nx)=zeros(3,nx);time=0.;while time <= tpsta=max(abs(sd(2,:)./sd(1,:))+...sqrt(gamma*(gamma-1)*(sd(3,:)./sd(1,:)-0.5*(sd(2,:).*sd(2,:))./(sd(1,:).*sd(1,:)))));tau=r*h*sqrt(1.-2.*cad)/sta;time=time+tau; %fprintf(' time - %f \n',time);% first stepif bcl == 0sl1=sd(1,2); sl2=-sd(2,2); sl3=sd(3,2);elsesl1=sd(1,2); sl2=sd(2,2); sl3=sd(3,2);endgl(1)=sl2;gl(2)=(gamma-1.)*sl3+0.5*(3.-gamma)*sl2^2/sl1;gl(3)=sl2*(gamma*sl3-0.5*(gamma-1.)*sl2^2/sl1)/sl1;for n=1:nxif (n == 1)|(n == nx)av(:,n)=[ 0.; 0.; 0.;];elseav(:,n)=cad*(sd(:,n+1)-2.*sd(:,n)+sd(:,n-1));endsr1=sd(1,n); sr2=sd(2,n); sr3=sd(3,n);gr(1)=sr2;gr(2)=(gamma-1.)*sr3+0.5*(3.-gamma)*sr2^2/sr1;gr(3)=sr2*(gamma*sr3-0.5*(gamma-1.)*sr2^2/sr1)/sr1;si(1,n)=0.5*(sl1+sr1)-(gr(1)-gl(1))*tau*0.5/h;si(2,n)=0.5*(sl2+sr2)-(gr(2)-gl(2))*tau*0.5/h;si(3,n)=0.5*(sl3+sr3)-(gr(3)-gl(3))*tau*0.5/h;gl(:)=gr(:);sl1=sr1; sl2=sr2; sl3=sr3;endif bcr == 0sr1=sd(1,nx-1); sr2=-sd(2,nx-1); sr3=sd(3,nx-1);elsesr1=sd(1,nx-1); sr2=sd(2,nx-1); sr3=sd(3,nx-1);endgr(1)=sr2;gr(2)=(gamma-1.)*sr3+0.5*(3.-gamma)*sr2^2/sr1;gr(3)=sr2*(gamma*sr3-0.5*(gamma-1.)*sr2^2/sr1)/sr1;si(1,nx+1)=0.5*(sl1+sr1)-(gr(1)-gl(1))*tau*0.5/h;si(2,nx+1)=0.5*(sl2+sr2)-(gr(2)-gl(2))*tau*0.5/h;si(3,nx+1)=0.5*(sl3+sr3)-(gr(3)-gl(3))*tau*0.5/h;% second stepfl(1)=si(2,1);fl(2)=(gamma-1.)*si(3,1)+0.5*(3.-gamma)*si(2,1)^2/si(1,1);fl(3)=si(2,1)*(gamma*si(3,1)-0.5*(gamma-1.)*si(2,1)^2/si(1,1))/si(1,1);for n=2:nx+1fr(1)=si(2,n);fr(2)=(gamma-1.)*si(3,n)+0.5*(3.-gamma)*si(2,n)^2/si(1,n);fr(3)=si(2,n)*(gamma*si(3,n)-0.5*(gamma-1.)*si(2,n)^2/si(1,n))/si(1,n);su(:,n-1)=sd(:,n-1)-(fr(:)-fl(:))*tau/h+av(:,n-1);fl(:)=fr(:);endsd(:,1:nx)=su(:,1:nx);endd(1:nx)=su(1,1:nx); u(1:nx)=su(2,1:nx)./su(1,1:nx);p(1:nx)=(gamma-1.)*(su(3,1:nx)-0.5*(su(2,1:nx).*su(2,1:nx))./su(1,1:nx));e(1:nx)=(su(3,1:nx)-0.5*(su(2,1:nx).*su(2,1:nx))./su(1,1:nx))./su(1,1:nx);return;% Solves Riemann problem for ideal gas% r1, u1, p1 initial parameters for x<0% r2, u2, p2 initial parameters for x>0% rf, uf, pf solution at the point (x,t)% c1, c2 sound speeds for x<0 and for x>0% s1, sr velocties of the fronts of S(hock)W(ave)s% shl, shr velocties of the fronts of the heads of R(arefaction)Ws% stl, str velocties of the tails of RWsfunction [rf,uf,pf]=riemann(x,t,r1,u1,p1,r2,u2,p2,gamma)g(1)=0.5*(gamma-1.)/gamma; g(2)=0.5*(gamma+1.)/gamma; g(3)=2.*gamma/(gamma-1.); g(4)=2./(gamma-1.); g(5)=2./(gamma+1.); g(6)=(gamma-1.)/(gamma+1.);g(7)=0.5*(gamma-1.); g(8)=1./gamma; g(9)=gamma-1.;s=x/t;c1 = sqrt(p1/(r1*g(8)));c2 = sqrt(p2/(r2*g(8)));du=u2-u1;% Vacuum solutionuvac=g(4)*(c1+c2)-du;if uvac <= 0.disp(' Vacuum generated by given data');return;end% Apply Newton method% Initial guessespv=0.5*(p1+p2)-0.125*du*(r1+r2)*(c1+c2);pmin=min(p1,p2); pmax=max(p1,p2); qrat=pmax/pmin;if ( qrat <= 2. ) & ( pmin <= pv & pv <= pmax )p=max(1.0e-6,pv);elseif pv < pminpnu=c1+c2-g(7)*du;pde=c1/(p1^g(1))+c2/(p2^g(1));p=(pnu/pde)^g(3);elsegel=sqrt((g(5)/r1)/(g(6)*p1+max(1.0e-6,pv)));ger=sqrt((g(5)/r2)/(g(6)*p2+max(1.0e-6,pv)));p=(gel*p1+ger*p2-du)/(gel+ger); p=max(1.0e-6,p);endendp0=p; err=1.;while err > 1.0e-5if p <= p1prat=p/p1; fl=g(4)*c1*(prat^g(1)-1.); ffl=1./(r1*c1*prat^g(2));elsea=g(5)/r1; b=g(6)*p1; qrt=sqrt(a/(b+p));fl=(p-p1)*qrt; ffl=(1.-0.5*(p-p1)/(b+p))*qrt;endif p <= p2prat=p/p2; fr=g(4)*c2*(prat^g(1)-1.); ffr=1./(r2*c2*prat^g(2));elsea=g(5)/r2; b=g(6)*p2; qrt=sqrt(a/(b+p));fr=(p-p2)*qrt; ffr=(1.-0.5*(p-p2)/(b+p))*qrt;endp=p-(fl+fr+du)/(ffl+ffr);err=2.*abs(p-p0)/(p+p0); p0=p;endif p0 < 0.p0=1.0e-6;end% Velocity of CDu0=0.5*(u1+u2+fr-fl);if s <= u0if p0 <= p1shl=u1-c1;if s <= shlrf=r1; uf=u1; pf=p1; return;elsecml=c1*(p0/p1)^g(1); stl=u0-cml;if s > stlrf=r1*(p0/p1)^g(8); uf=u0; pf=p0; return;elseuf=g(5)*(c1+g(7)*u1+s); c=g(5)*(c1+g(7)*(u1-s));rf=r1*(c/c1)^g(4); pf=p1*(c/c1)^g(3);return;endendelsepml=p0/p1; sl=u1-c1*sqrt(g(2)*pml+g(1));if s <= slrf=r1; uf=u1; pf=p1; return;elserf=r1*(pml+g(6))/(pml*g(6)+1.); uf=u0; pf=p0; return;endendelseif p0 > p2pmr=p0/p2; sr=u2+c2*sqrt(g(2)*pmr+g(1));if s >= srrf=r2; uf=u2; pf=p2; return;elserf=r2*(pmr+g(6))/(pmr*g(6)+1.); uf=u0; pf=p0; return;endelseshr=u2+c2;if s >= shrrf=r2; uf=u2; pf=p2; return;elsecmr=c2*(p0/p2)^g(1); str=u0+cmr;if s <= strrf=r2*(p0/p2)^g(8); uf=u0; pf=p0; return;elseuf=g(5)*(-c2+g(7)*u2+s); c=g(5)*(c2-g(7)*(u2-s));rf=r2*(c/c2)^g(4); pf=p2*(c/c2)^g(3);return;endendendendreturn;%%%%%%%%% gasdynamics_Godunov.m%%%%%%%%%%%%%clc; clear all;xmin=-1.; xmax=1.; nx=101; h=(xmax-xmin)/(nx-1);r=0.9; gamma=1.4; bcl=1.; bcr=1.;fprintf('gasdynamics_godunov \n'); fprintf(' Space step - %f \n',h); fprintf(' \n'); dd(1:nx-1)=zeros(1,nx-1); ud(1:nx-1)=zeros(1,nx-1); pd(1:nx-1)=zeros(1,nx-1);x(1:nx)=xmin+((1:nx)-1)*h; xa=xmin+((1:nx-1)-0.5)*h;% Test 1te=' ( Test 1 )';rol=1.; ul=0.; pl=1.;ror=0.125; ur=0.; pr=0.1;tp=15.5;% Test 2%te=' ( Test 2 )';%rol=1.; ul=0.; pl=1000.;%ror=1.; ur=0.; pr=1.;%tp=0.024;% Test 3%te=' ( Test 3 )';%rol=0.1; ul=0.; pl=1.;%ror=1.; ur=0.; pr=100.;%tp=0.05;% Test 4%te=' ( Test 4 )';%rol=5.99924; ul=19.5975; pl=460.894;%ror=5.99242; ur=-6.19633; pr=46.0950;%tp=0.05;% Test 5%te=' ( Test 5 )';%rol=3.86; ul=-0.81; pl=10.33;%ror=1.; ur=-3.44; pr=1.;%tp=0.5;% Initial conditionsdd(1:(nx-1)/2)=rol; ud(1:(nx-1)/2)=ul; pd(1:(nx-1)/2)=pl;dd((nx-1)/2+1:nx-1)=ror;ud((nx-1)/2+1:nx-1)=ur; pd((nx-1)/2+1:nx-1)=pr;[d,u,p,e,time]=godunov_gasdynamics(dd,ud,pd,h,nx,r,tp,gamma,bcl,bcr);% Exact solutionfor n=1:nx[density, velocity, pressure]=riemann(x(n),time,rol,ul,pl,ror,ur,pr,gamma);de(n)=density; ue(n)=velocity; pe(n)=pressure;ee(n)=pressure/((gamma-1.)*density);endfigure(1);plot(x,de,'k-',xa,d,'ko');xlabel(' x ');ylabel(' density ');title([' Example 6.3 ',te]);figure(2);plot(x,ue,'k-',xa,u,'ko');xlabel(' x ');ylabel(' velocity ');figure(3);plot(x,pe,'k-',xa,p,'ko');xlabel(' x ');ylabel(' pressure ');figure(4);plot(x,ee,'k-',xa,e,'ko');xlabel(' x ');ylabel(' internal energy ');clear all;% Method of S. K. Godunovfunction [d,u,p,e,time]=godunov_gasdynamics(dd,ud,pd,h,nx,r,tp,gamma,bcl,bcr)g(1)=0.5*(gamma-1.)/gamma; g(2)=0.5*(gamma+1.)/gamma; g(3)=2.*gamma/(gamma-1.); g(4)=2./(gamma-1.); g(5)=2./(gamma+1.); g(6)=(gamma-1.)/(gamma+1.);g(7)=0.5*(gamma-1.); g(8)=1./gamma; g(9)=gamma-1.;sd(1,1:nx-1)=dd(1:nx-1);sd(2,1:nx-1)=dd(1:nx-1).*ud(1:nx-1);sd(3,1:nx-1)=pd(1:nx-1)/(gamma-1.)+0.5*(dd(1:nx-1).*ud(1:nx-1)).*ud(1:nx-1);time=0.;while time <= tpsta=max(abs(sd(2,:)./sd(1,:))+...sqrt(gamma*(gamma-1)*(sd(3,:)./sd(1,:)-0.5*(sd(2,:).*sd(2,:))./(sd(1,:).*sd(1,:)))));tau=r*h/sta;time=time+tau; %fprintf(' %f \n',time);if bcl == 0[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,1),-sd(2,1),sd(3,1),sd(1,1),sd(2,1),sd(3,1),g(:));else[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,1),sd(2,1),sd(3,1),sd(1,1),sd(2,1),sd(3,1),g(:));endfleft(1)=f1; fleft(2)=f2; fleft(3)=f3;for n=1:nx-2[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,n),sd(2,n),sd(3,n),sd(1,n+1),sd(2,n+1),sd(3,n+1),g(:));fright(1)=f1; fright(2)=f2; fright(3)=f3;su(:,n)=sd(:,n)-(fright(:)-fleft(:))*tau/h;fleft(:)=fright(:);endif bcr == 0[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,nx-1),sd(2,nx-1),sd(3,nx-1),sd(1,nx-1),-sd(2,nx-1),...sd(3,nx-1),g(:));else[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,nx-1),sd(2,nx-1),sd(3,nx-1),sd(1,nx-1),sd(2,nx-1),...sd(3,nx-1),g(:));endfright(1)=f1; fright(2)=f2; fright(3)=f3;su(:,nx-1)=sd(:,nx-1)-(fright(:)-fleft(:))*tau/h;sd(:,1:nx-1)=su(:,1:nx-1);endd(1:nx-1)=su(1,1:nx-1); u(1:nx-1)=su(2,1:nx-1)./su(1,1:nx-1);p(1:nx-1)=(gamma-1.)*(su(3,1:nx-1)-0.5*(su(2,1:nx-1).*su(2,1:nx-1))./su(1,1:nx-1));e(1:nx-1)=(su(3,1:nx-1)-0.5*(su(2,1:nx-1).*su(2,1:nx-1))./su(1,1:nx-1))./su(1,1:nx-1); return;% Solves Riemann problem for ideal gas% r1, u1, p1 initial parameters for x<0% r2, u2, p2 initial parameters for x>0% rf, uf, pf solution at the point (x,t)% c1, c2 sound speeds for x<0 and for x>0% s1, sr velocties of the fronts of S(hock)W(ave)s% shl, shr velocties of the fronts of the heads of R(arefaction)Ws% stl, str velocties of the tails of RWsfunction [rf,uf,pf]=riemann(x,t,r1,u1,p1,r2,u2,p2,gamma)g(1)=0.5*(gamma-1.)/gamma; g(2)=0.5*(gamma+1.)/gamma; g(3)=2.*gamma/(gamma-1.);g(7)=0.5*(gamma-1.); g(8)=1./gamma; g(9)=gamma-1.;s=x/t;c1 = sqrt(p1/(r1*g(8)));c2 = sqrt(p2/(r2*g(8)));du=u2-u1;% Vacuum solutionuvac=g(4)*(c1+c2)-du;if uvac <= 0.disp(' Vacuum generated by given data');return;end% Apply Newton method% Initial guessespv=0.5*(p1+p2)-0.125*du*(r1+r2)*(c1+c2);pmin=min(p1,p2); pmax=max(p1,p2); qrat=pmax/pmin;if ( qrat <= 2. ) & ( pmin <= pv & pv <= pmax )p=max(1.0e-6,pv);elseif pv < pminpnu=c1+c2-g(7)*du;pde=c1/(p1^g(1))+c2/(p2^g(1));p=(pnu/pde)^g(3);elsegel=sqrt((g(5)/r1)/(g(6)*p1+max(1.0e-6,pv)));ger=sqrt((g(5)/r2)/(g(6)*p2+max(1.0e-6,pv)));p=(gel*p1+ger*p2-du)/(gel+ger); p=max(1.0e-6,p);endendp0=p; err=1.;while err > 1.0e-5if p <= p1prat=p/p1; fl=g(4)*c1*(prat^g(1)-1.); ffl=1./(r1*c1*prat^g(2));elsea=g(5)/r1; b=g(6)*p1; qrt=sqrt(a/(b+p));fl=(p-p1)*qrt; ffl=(1.-0.5*(p-p1)/(b+p))*qrt;endif p <= p2prat=p/p2; fr=g(4)*c2*(prat^g(1)-1.); ffr=1./(r2*c2*prat^g(2));a=g(5)/r2; b=g(6)*p2; qrt=sqrt(a/(b+p));fr=(p-p2)*qrt; ffr=(1.-0.5*(p-p2)/(b+p))*qrt;endp=p-(fl+fr+du)/(ffl+ffr);err=2.*abs(p-p0)/(p+p0); p0=p;endif p0 < 0.p0=1.0e-6;end% Velocity of CDu0=0.5*(u1+u2+fr-fl);if s <= u0if p0 <= p1shl=u1-c1;if s <= shlrf=r1; uf=u1; pf=p1; return;elsecml=c1*(p0/p1)^g(1); stl=u0-cml;if s > stlrf=r1*(p0/p1)^g(8); uf=u0; pf=p0; return;elseuf=g(5)*(c1+g(7)*u1+s); c=g(5)*(c1+g(7)*(u1-s));rf=r1*(c/c1)^g(4); pf=p1*(c/c1)^g(3);return;endendelsepml=p0/p1; sl=u1-c1*sqrt(g(2)*pml+g(1));if s <= slrf=r1; uf=u1; pf=p1; return;elserf=r1*(pml+g(6))/(pml*g(6)+1.); uf=u0; pf=p0; return;endendelseif p0 > p2pmr=p0/p2; sr=u2+c2*sqrt(g(2)*pmr+g(1));if s >= srrf=r2; uf=u2; pf=p2; return;rf=r2*(pmr+g(6))/(pmr*g(6)+1.); uf=u0; pf=p0; return;endelseshr=u2+c2;if s >= shrrf=r2; uf=u2; pf=p2; return;elsecmr=c2*(p0/p2)^g(1); str=u0+cmr;if s <= strrf=r2*(p0/p2)^g(8); uf=u0; pf=p0; return;elseuf=g(5)*(-c2+g(7)*u2+s); c=g(5)*(c2-g(7)*(u2-s));rf=r2*(c/c2)^g(4); pf=p2*(c/c2)^g(3);return;endendendendreturn;% Solves Riemann problem and computes fluxes for method of S. K. Godunov% r1, u1, p1 parameters in left cell% r2, u2, p2 parameters in right cell% rf, uf, pf parameters on the interface% c1, c2 sound speeds in left and right cells% s1, sr velocties of the fronts of S(hock)W(ave)s% shl, shr velocties of the fronts of the heads of R(arefaction)Ws% stl, str velocties of the tails of RWsfunction [f1,f2,f3]=flux_godunov(sl1,sl2,sl3,sr1,sr2,sr3,g)r1=sl1; u1=sl2/r1; p1=(1./g(8)-1.)*(sl3-0.5*sl2*u1);r2=sr1; u2=sr2/r2; p2=(1./g(8)-1.)*(sr3-0.5*sr2*u2);% sound speeds in left and right cellsc1 = sqrt(p1/(r1*g(8)));c2 = sqrt(p2/(r2*g(8)));du=u2-u1;% Vacuum solution。
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
计算物理学(刘金远)课后习题答案第6章：偏微分方程数值解法
第6章：偏微分方程数值解法6.1对流方程【6.1.1】考虑边值问题, 01,0(0,)0,(1,)1(,0)t x x u au x t u t u t u x x=<<>ìï==íï=î如果取：2/7x D =，(0.5),1,2,3j x j x j =-D =，8/49t D =，k t k t=D 求出111123,,u u u 【解】采用Crank-Nicolson 方法()11111111211222k k k k k k k k j j j j j j j j u u u u u u u u t x ++++-+-+éù-=-++-+ëûD D 11111113k k k k k kj j j j j j u u u u u u +++-+-+-+-=-+由边界条件：(0,)0x u t =，取100k ku u x-=D ，10,0,1,k ku u k ==L (1,)1u t =，41ku =-1 1 0 0 - (1+2s) -s 0 0 -s (1+2s) -s 0 -s (1+2s) -s 0 s L L L L 101210 0 0 0 (1-2s) s 0 0 s (1-2s) s 0 s ( 1 k n n u u s u u u +-éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL L L L L 01211-2s) s 0 1 1kn u u u u -éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL 由初始条件：021(72j j u x j ==-，1,2,3j =，212()t s x D ==D -1 1 0 0 0-1 3 -1 0 0 0 -1 3 -1 0 -1 3 -1 0 1012340 0 0 0 01 -1 1 0 00 1 -1 1 0 1 -1 1 1 u u u u u éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúëûëû00123 0 1 1u u u u éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëû000117u u ==，0237u =，0357u =1112327u u -=，111000123123337u u u u u u -+-=-+=，11100234235317u u u u u -+-=-+=114591u =125191u =，136991u =6.2抛物形方程【6.2.1】分别用下面方法求定解问题22(,0)4(1)(0,)(1,)0u u t x u x x x u t u t 춶=ﶶïï=-íï==ïïî01,0x t <<>（1）取0.2x D =，1/6l =用显式格式计算1i u ；(2)取0.2,0.01x t D =D =用隐式格式计算两个时间步。
偏微分方程数值解试题参考答案
偏微分方程数值解一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n Rx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{11==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u ∈,使)(m in )(10*u J u J H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
偏微分方程数值习题解答
偏微分⽅程数值习题解答李微分⽅程数值解习题解答 1-1 如果0)0('=?，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是⽅程组 b Ax =的解证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+=),(2),()(200x Ax x b Ax x J λλ+-+=),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-=必要性:由0)0('=?,得,对于任何n R x ∈,有0),(0=-x b Ax ,由线性代数结论知,b Ax b Ax ==-00,0充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax即0x 是)(x J 的驻点. §1-2补充: 证明)(x f 的不同的⼴义导数⼏乎处处相等.证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的⼴义导数,由⼴义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈?,有-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('1?? ??-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到)(0)()(021I C x g g ba ∞∈?=- 由变分基本引理,21g g -⼏乎处处为零,即21,g g ⼏乎处处相等.补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a ba +≤+=?11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =习题:1 设)('x f 为)(x f 的⼀阶⼴义导数,试⽤类似的⽅法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:⼀阶⼴义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈?,有 ?-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(??则称)(x f 有k 阶⼴义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶⼴义导数,并记kk dxfd x g =)(注:⾼阶⼴义导数不是通过递推定义的,可能有⾼阶导数⽽没有低阶导数.2.利⽤)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|??f f x x f x f n ba n -≤-?00'''|||||||||)())()((|??f f dx x x g x f n ba n -≤-?对于任意的)()(0I C x ∞∈?,成⽴=∞a ba n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ??=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim '??由?-=ba n ba ndx x x f dx x x f )()()()(''??取极限得到dx x x f dx x x g ba ba ??-=)()()()('??即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且0||||||||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的. 3.证明⾮齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满⾜齐次边界条件.w 满⾜的⽅程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即w 对应的边值问题为==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w Ew E ∈=∈其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.⽽Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*⽽200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从⽽**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（1.2.28）建⽴虚功原理解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满⾜)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈?0),(),(0=--v Lu f v Lw应⽤分部积分,+-=-=-b a b a b a dx dx dv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),((还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈?,成⽴0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与⽤v 去乘⽅程两端,应⽤分部积分得到的相同. 5试建⽴与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈⽤v 乘⽅程两端,应⽤分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu⽽??-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ??=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dx vd dx u d b a =+?定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=?,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈?),(),(v f v u a =1-41.⽤Galerkin Ritz -⽅法求边值问题==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==π?解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满⾜齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1,其中),...2,1(n i c i =满⾜的Galerkin Ritz -⽅程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑= ⼜xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ?-=+=+=ππππππππ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''-+πππjx ix sin sin 21由三⾓函数的正交性,得到≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22π??⽽]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-?jj j dx x j x x x x ππ? 于是得到+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0 )1()(8),(),(2232ππ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,⽤0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是⽤Galerkin Ritz -⽅法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差.证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题(1.2.28)和基函数),...,2,1()()(n i a x x i i =-=?,写出Galerkin Ritz -⽅程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分⽅程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分⽅程为0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分⽅程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ?--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x i i ,...,2,1,)()(=-=?,则Galerkin -Ritz ⽅程为∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβ?β??+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ, )(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=??ββββ得到⽅程组为 --=----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b特别取1,0==b a ,有= 31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型⽅程有限元法§1.1 ⽤线性元求下列边值问题的数值解: 10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数. Galerkin 形式的变分⽅程为),(),(v f v Lu =,其中+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,?=1)(2sin 2),(dx x xv v f π⼜dx v u dx v u v u vdx u =+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''?+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应⽤仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξ?-+++=++=1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπ?πd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211π??+=a122)1(41[),(210221πξξξπ??+-=-+-=?d h h a-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπ?d d h h f ??-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπ?d h f ?+=102)2121(2sin 2),(代数⽅程组为= ),(),(),(),(),(),(212122212111f f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,⽅程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i iji应⽤局部坐标ξ表⽰,-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπ??d hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=?dξξξπ??d hh a j j ])1(41[),(1021?-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=?d 964),(21π??+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=??ξξξξ?d h d h f j-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπd h x h d h x h f j j j -++++=1010)1)](4 41(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j++?=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就⾮齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元⽅程.解:设⽅程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈?)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表⽰为)(),(v F v u A =设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =? 则有限元⽅程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=具体计算使⽤标准坐标ξ.。
偏微分方程教程答案
偏微分方程教程答案【篇一：偏微分方程数值解习题解答案】class=txt>3页13页【篇二：3.1 常微分方程课后答案】方程dy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解； dx解：取?0(x)?0 12x 002xx11152x ?2(x)?y0??[x??1(x)]dx??[x?(x2)2]dx?x2?002220x1152x)]dx ?3(x)?y0??[x?(x2?0220115181x?x?x11= x2?2201604400dy 2 求方程=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解；dx ?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x解：令?0(x)?012x 002xx12212152?(x)?y?[x??(x)]dx?[x?(x)]dx?x?x201?0?02220x1152x)]dx?3(x)?y0??[x?(x2?0220115181x?x?x11 =x2?2201604400则?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x3 题求初值问题：?dy??x2r：x??1，y?1 ?dx??y(?1)?0的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；b1解：因为 m=max{x2?y2}=4 则h=min(a,)= m41则解的存在区间为x?x0=x?(?1)=x?1? 4令 ?0(x)=0 ;11?1(x)=y0+?(x2?0)dx=x3+; 33x0x?2(x) 13xx4x7111312=y0+?[x?(x?)]dx=x---+ 3942186333?12x又 ?f(x,y)?2=l ?ym*l2311则：误差估计为：?2(x)??(x)?h= 24(2?1)2dy334 题讨论方程：?y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， dx21并求通过点（0，0）的一切解；?f(x,y)13解：因为=y在y?0上存在且连续； ?y2?23 而y3在y???0上连续 2dy33由 ?y有：y=（x+c）2 dx2131又因为y(0)=0 所以：y=x另外 y=0也是方程的解；?3?2故方程的解为：y=?x??0x?0 x?032或 y=0;6题证明格朗瓦耳不等式：设k为非负整数，f(t)和g(t)为区间??t??上的连续非负函数，且满足不等式：tf(t)?k+?f(s)g(s)ds,??t???t则有：f(t)?kexp(?g(s)ds),??t???t证明：令r（t）=?f(s)g(s)ds,则r(t)=f(?r(t)-r(t)g(t)= f(t)g(t)- r(t)g(t)?kg(t)r(t)- r(t)g(t)?kg(t);t两边同乘以exp(-?g(s)ds)则有：?tt r(t) exp(-?g(s)ds)-r(t)g(t) exp(-?g(s)ds)??t? kg(t) exp(-?g(s)ds)?两边从?到t积分：tttr(t) exp(-?g(s)ds)?-?kg(s)dsexp(-?g(r)dr)ds???tt即 r(t) ??kg(s)ds exp(-?g(r)dr)ds?stt又 f(t) ?1?k+r(t) ?k+k?g(s)exp(-?g(r)dr)ds?sts?k(1-1+ exp(-?g(r)dr)=k exp(?g(r)dr)stt即 f(t) ?k?g(r)dr;?7题假设函数f(x,y)于（x0,y0）的领域内是y的不增函数，试证方程dy= f(x,y)满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；dx证明：假设满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧有两个?(x),?(x)则满足：x?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0x?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0不妨假设?(x)??(x)，则?(x)- ?(x)?0xx而?(x)- ?(x)= ?f(x,?(x))dx-?f(x,?(x))dxx0x0x=?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dxx0又因为 f(x,y)在（x0,y0）的领域内是y的增函数，则：f(x, ?(x))-f(x, ?(x))?0x则?(x)- ?(x)= ?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx?0x0则?(x)- ?(x)?0所以 ?(x)- ?(x)=0，即 ?(x)= ?(x) 则原命题方程满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；【篇三：同济第五版高数习题答案】试说出下列各微分方程的阶数:(1)x(y′)?2yy′+x=0;解一阶.(2)xy′?xy′+y=0;解一阶.(3)xy′′′+2y′+xy=0;解三阶.(4)(7x?6y)dx+(x+y)dy=0;解一阶.(5)解二阶.;222(6) .解一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy′=2y, y=5x;解y′=10x.22 因为xy′=10x=2(5x)=2y, 所以y=5x是所给微分方程的解.(2)y′+y=0, y=3sin x?4cos x;解y′=3cos x+4sin x.因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x?4cos x=7sin x?cos x≠0,所以y=3sin x?4cos x不是所给微分方程的解.(3)y′′?2y′+y=0, y=xe;x2xxxx2x22 解y′=2xe+xe, y′′=2e+2xe+2xe+xe=2e+4xe+xe . 因为y′′?2y′+y=2e+4xe+xe?2(2xe+xe)+xe=2e≠0,所以y=xe不是所给微分方程的解.12122x2xx2x2xxxx2xxx2x解 , .因为=0,所以是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x?2y)y′=2x?y, x?xy+y=c;解将x?xy+y=c的两边对x求导得2x?y?xy′+2y y′=0,即(x?2y)y′=2x?y,所以由x?xy+y=c所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy?x)y′′+xy′+yy′?2y′=0, y=ln(xy).解将y=ln(xy)的两边对x求导得再次求导得, 即 .2222222.注意到由可得 , 所以从而(xy?x)y′′+xy′+yy′?2y′=0,即由y=ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x?y=c, y|=5;x=0222 ,解由y|=0得0?5=c, c=?25, 故x?y=?25.x=012222 (2)y=(c+cx)e, y|=0, y′|=1;解y′=ce+2(c+cx)e. 21222xx=02x x=02x由y|=0, y′|=1得 x=0x=0,解y′=ccos(x?c).12, 即,解之得c=1, 1, 故 , 即y=?cos x .5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x, y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方; 解设曲线为y=y(x), 则曲线上点(x, y)处的切线斜率为y′, 由条件y′=x, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点p(x, y)处的法线与x轴的交点为q, 且线段pq被y轴平分.解设曲线为y=y(x), 则曲线上点p(x, y)处的法线斜率为 , 由条件第pq中点的横坐标为0, 所以q点的坐标为(?x, 0), 从而有, 即yy′+2x=0.6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压p对于温度t的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解, 其中k为比例系数.习题12?111. 试用幂级数求下列各微分方程的解:(1)y′?xy?x=1;解设方程的解为, 代入方程得,即 .可见a?1=0, 2a?a?1=0, (n+2)a1202n+2?a=0(n=1, 2, ? ? ?),n 于是,,, , , ? ? ?. , ? ? ? ,所以,即原方程的通解为 .(2)y′′+xy′+y=0;解设方程的解为, 代入方程得,即 ,于是, , ??, , , ? ? ?.所以,即原方程的通解为.(3)xy′′?(x+m)y′+my=0(m为自然数);解设方程的解为, 代入方程得,?即 .可见(a?a)m=0, (n?m)[(n+1)a01 n+1?a]=0 (n≠m),n于是a=a, , .01所以,即原方程的通解为(其中c1, c2为任意常数).(4)(1?x)y′=x2?y;解设方程的解为, 代入方程得,即可见a1+a0=0, 2a2=0, 3a3?a2?1=0, (n+1)an+1?(n?1)a n=0(n≥3),于是a1=?a0, a2=0, , (n≥4).因此原方程的通解为(c=a(5)(x+1)y′=x20为任意常数). . ?2x+y..。
偏微分方程习题及答案
偏微分方程习题及答案【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】题答案及评分标准学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）4、（x）5、（o）6、（o）7、（o）8、（x）9、（x） 10、（o）二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（d） 12、（a） 13、（c） 14、（b）15、（c）三、填空题（每小题2分，共20分）?2?216、2?2??x1?x2?2?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])?(s)?1?(s)?c[??(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?224????v(?)ed? 25、i?xu(xj,tn?1)?u(xj,tn)?四、计算题：（每小题12分，共36分）?u?u?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a?t?x格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式???/h为网格比。
解：在点(xj,tn)处，差分方程为?1un?unjj??anunj?1?ujh?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分）便于计算的形式为?1nnn???/h （4分） un?u?a?(u?ujjj?1j)，?u?2u?a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?t?x计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，???/h2为网格比。
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二、改进的Euler 方法梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(y x f 的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler 公式求得一个初步的近似值1+n y ,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1+n y ,即将1+n y 校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler 方法:预测: ),,(1n n n n y x hf y y +=+ 校正:)].,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y(1.15)这个计算公式也可以表示为11(,),(,),1().2p n n nc n n p n p cy y hf x y y y hf x y y y y ++⎧=+⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩例1 取步长0.1h =，分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题d (1),01,d (0) 1.yy xy x xy ⎧=-+≤≤⎪⎨⎪=⎩ 解 这个初值问题的准确解为()1(21)xy x e x =--. 根据题设知).1(),(xy y y x f +-=(1) Euler 方法的计算式为)],1([1.01n n n n n y x y y y +⨯-=+由1)0(0==y y , 得,9.0)]101(1[1.011=⨯+⨯⨯-=y,8019.0)]9.01.01(9.0[1.09.02=⨯+⨯⨯-=y这样继续计算下去，其结果列于表9.1.(2) 改进的Euler 方法的计算式为110.1[(1)],0.1[(1)],1(),2p n n n n c n p n p n p c y y y x y y y y x y y y y ++⎧=-⨯+⎪=-⨯+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩由1)0(0==y y ，得110.1[1(101)]0.9,10.1[0.9(10.10.9)]0.9019,1(0.90.9019)0.900952p c y y y ⎧=-⨯⨯+⨯=⎪⎪=-⨯⨯+⨯=⎨⎪⎪=+=⎩ 20.900950.1[0.90095(10.10.90095)]0.80274,0.900950.1[0.80274(10.20.80274)]0.80779,1(0.802740.80779)0.805262p c y y y ⎧=-⨯⨯+⨯=⎪⎪=-⨯⨯+⨯=⎨⎪⎪=+=⎩ 这样继续计算下去，其结果列于表9.1.从表9.1可以看出,Euler 方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler 方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler 方法的精度比Euler 方法高.例2 试用Euler 方法、改进的Euler 方法及四阶经典R-K 方法在不同步长下计算初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤+-=1)0(,10),1(d d y x xy y xy在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果.解 对上述三种方法,每执行一步所需计算)1(),(xy y y x f +-=的次数分别为1、2、4。
为了公正起见，上述三种方法的步长之此应为4:2:1。
因此，在用Euler 方法、改进的Euler 方法及四阶经典R-K 方法计算0。
2、0。
4、0。
8、1。
0处的近似值时，它们的步长应分别取为0。
05、0。
1、0。
2，以使三种方法的计算量大致相等。
Euler 方法的计算格式为)].1([05.01n n n n n y x y y y +⨯-=+改进的Eluer 方法的计算格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+⨯-=+⨯-=++).(21)],1([1.0)],1([1.011c p n p n p n c n n n n p y y y y x y y y y x y y y 四阶经典R-K 方法的计算格式为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯+++⨯+-=⨯+++⨯+-=⨯+++⨯+-=+-=+++⨯+=+)]2.0)(2.0(1)[2.0()],22.0)(22.0(1)[22.0()],22.0)(22.0(1)[22.0(),1(),22(62.0334223112143211k y x k y k k y x k y k k y x k y k y x y k k k k k y y n n n n n n n n n n n n n n 初始值均为1)0(0==y y ，将计算结果列于表9.2.从表9.2可以看出，在计算量大致相等的情况下，Euler 方法计算的结果只有2位有效数字，改进的Euler 方法计算的结果有3位有效数字，而四阶经典R-K 方法计算的结果却有5位有效数字，这与理论分析是一致的。
例1和例2的计算结果说明，在解决实际问题时，选择恰当的算法是非常必要的。
需要指出的是Runge-Kutta 方法的基于Taylor 展开法，因而要求解具有足够的光滑性。
如果解的光滑性差，使用四阶Runge-Kutta 方法求得数值解的精度，可能不如改进的Euler 方法精度高。
因此，在实际计算时，要根据具体问题的特性，选择合适的算法。
一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分2xt y e dt-=⎰所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。
解：该积分问题等价于常微分方程初值问题2'(0)0x y e y -⎧=⎪⎨=⎪⎩其中h=0.5。
其向前欧拉格式为2()100ih i i y y he y -+⎧=+⎪⎨=⎪⎩改进欧拉格式为22()2(1)10()20ih i h i i h y y ee y --++⎧=++⎪⎨⎪=⎩二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题'1(0)1y x y y =-+⎧⎨=⎩ 00.6x ≤≤ 取步长h=0.1.解：4步显式法必须有4个起步值，0y 已知，其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。
本题的信息有：步长h=0.1；结点0.1(0,1,,6)i x ih i i === ；0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+==经典的4阶龙格库塔公式为11234(22)6i i hy y k k k k +=++++1(,)1i i i i k f x y x y ==-+121(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+232(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+算得11.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y =4阶4步阿达姆斯显格式1123(5559379)24i i i i i i hy y f f f f +---=+-+-1231(18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24i i i i i y y y y y i ---=+-+++由此算出4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y ===三、用Euler 方法求()'1,0101x y e y x x y =-++≤≤=问步长h 应该如何选取，才能保证算法的稳定性？ 解：本题(),1x f x y e y x =-++(),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤本题的绝对稳定域为111x h he λ+=-<得02xhe <<，故步长应满足 02,00.736he h <<<<求梯形方法111[(,)(,)]2k k k k k k hy y f x y f x y +++=++的绝对稳定域。
证明：将Euler 公式用于试验方程'y y λ=，得到11[]2k k k k hy y y y λλ++=++整理11(1)22k kh h y y λλ+⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭设计算k y 时有舍入误差,0,1,2,kk ε= ，则有11(1)22k kh h λλεε+⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭据稳定性定义，要想1k kεε+≤，只须1122h hλλ+≤-因此方法绝对稳定域为复平面h λ的整个左半平面（？），是A-稳定的。
五、对初值问题'(0)1y y y =-⎧⎨=⎩ 01x ≤≤证明：用梯形公式111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++求得的数值解为22nn h y h -⎛⎫= ⎪+⎝⎭并证明当步长0h →时，n y 收敛于该初值问题的精确解xny e -= 证明：由梯形公式，有1111[(,)(,)][]22n n n n n n n n n h hy y f x y f x y y y y ++++=++=+--整理，得122n nh y y h +-⎛⎫= ⎪+⎝⎭由此递推公式和初值条件，有02222n nn h h y y h h --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭[0,1]x ∀∈，则有在区间[][]0,0,1x ⊆上有n x x nh ==，步长xh n =，由前面结果有2222022lim lim lim 1222lim 12x nhn n n h x h hhxh h h y h h h e h →∞→∞→-++--→-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦由x 的任意性，得所证。
六、对于微分方程'(,)y f x y =，已知在等距结点0123,,,x x x x 处的y 的值为0123,,,y y y y ，h 为步长。
试建立求4y 的线性多步显格式与与隐格式。
解：取积分区间24[,]x x ，对'(,)y f x y =两端积分：()()442242(,)x x x x y x y x dy f x y dx-==⎰⎰对右端(,)f x y 作123,,x x x 的二次插值并积分4242021*********(,)[()(,)()(,)()(,)]x x x x f x y dxl x f x y l x f x y l x f x y dx≈++⎰⎰112233123((,)(,)(,))337h f x y f x y f x y =-+得到线性4若对右端在34,x x 两点上作线性插值并积分，有424201331144(,)[()(,)()(,)]x x x x f x y dxl x f x y l x f x y dx≈+⎰⎰442(,)hf x y =由此产生隐格式()42442,y y hf x y =+七、证明线性多步法111(3)()2n n n y h f f αα+-+=++n n-1n-2（y -y ）-y存在α的一个值，使方法是4阶的。