2020学年 浙江省9+1高中联盟 高一下学期期中数学试题(解析版)
2020学年浙江省9+1高中联盟高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2,3,4,5,6U =，集合{}2,4A =，集合{}2,3,4B =，则() UA B =（ ） A ．{}2,4 B ．{}3C ．5,6D ．{}3,5,6【答案】D 【解析】先求出{}2,4A B =,由此能求出() UA B .【详解】 因为集合{2,4}A ,集合{3,2,4}B =, 所以{}2,4A B =，又{}2,3,4,5,6U =，所以() UA B ={}3,5,6，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集，补集运算，属于基础题. 2．下列函数既是奇函数，又在0,上为增函数的是（ ）A ．1y x=B ．3y x =C ．y x =D ．2log y x =【答案】B【解析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案. 【详解】根据题意,依次分析选项: 对于A,1y x=为奇函数,但在区间(0,)+∞上为减函数,不符合题意; 对于B, 3y x =,有()33=x x --，所以3y x =奇函数，且在0,上为增函数，符合题意；对于C,||y x =,有()||||()f x x x f x -=-==,即()f x 为偶函数,不符合题意; 对于D,2log y x =为非奇非偶函数,不符合题意; 故选：B. 【点睛】于基础题.3．已知函数()28xf x x =+-，若()00f x =，则（ ）A ．001x <<B ．012x <<C ．023x <<D ．x <<034【答案】C【解析】根据函数解析式求得各端点的函数值的符号，由零点存在定理可得出选项. 【详解】因为函数()28xf x x =+-，所以()00208=70f =+--<，()11218=50f =+--<，()22228=20f =+--<，()33238=3>0f =+-，()44248=12>0f =+-，所以()()230f f ⋅<，根据零点存在定理得出023x <<， 故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点存在的区间，关键在于求得端点的函数值的符号，运用零点存在定理，属于基础题.4．已知向量()3,1a =-，()1,b x =，若a b ⊥，则x 的值为（ ） A ．3 B ．3-C ．13-D ．13【答案】A【解析】利用向量垂直的坐标运算直接求解可得选项. 【详解】因为向量()3,1a =-，()1,b x =，a b ⊥，3+0a b x ∴⋅=-=, 解得3x =， 故选：A. 【点睛】本题考查向量的垂直的坐标运算，关键在于熟记向量的数量积的坐标运算运用到向量的垂直上，属于基础题.5．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11113S π=，则6cos 2a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．12-C D ．【解析】根据所给的前11项的和,可求得第六项的结果是3π,再代入后运用三角函数诱导公式可求其函数值. 【详解】()11111611111123a a S a π+===, 63a π∴=,所以6cos =cos =sin =2233a ππππ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质,三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值,是一个综合题目,这种题目是综合数列和三角的题目,是一种常见的组合,要引起注意.6．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，满足()()a b c a b c ab +++-=，则ABC ∆的最大角为（ ）A ．30B ．120C ．90D ．60【答案】B【解析】由已知条件和余弦定理可得选项. 【详解】根据方程可知：222()()2a b c a b c a ab b c ab +-++=++-=，故222a b c ab +-=-，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==-，又(0,)C π∈，故23C π=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角形中余弦定理的应用，熟记余弦定理的形式是关键，属于基础题. 7．函数的图像3cos 2y x =可以看作把函数3sin 2y x =的图像向（ ）而得到的. A ．左平移2π个单位 B ．左平移4π个单位 C ．右平移2π个单位 D ．右平移4π个单位 【答案】B【解析】由条件利用诱导公式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．因为3cos 2=3sin 2+3sin 2+24y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数3sin 2y x =左平移4π个单位得出函数3sin 2+4y x π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式和正弦型函数的图象变换，关键在于由诱导公式化成同名函数，在求得图象的平移时，注意自变量的系数和平移的方向，属于基础题.8．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，满足2cos b c A =，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C【解析】利用余弦定理表示出cos A ,代入已知等式变形后得到a c =,即可结论. 【详解】222cos 2b c a A bc +-=,2222cos b c a b c A b+-∴=⋅=,即2222b b c a =+-, 整理得:()()0c a c a +-=,即a c =,则ABC 为等腰三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题.9．设(),0,αβπ∈，()5sin 13αβ+=，4tan 3α=，则cos β的值是（ ） A ．1665-B ．5665C ．1665-或5665D ．1665或5665-【答案】A【解析】根据已知条件得出角+βαβ，的范围，从而求出sin ,cos αα，cos()αβ+的值，再由cos cos[()]βαβα=+-，运用余弦的差角公式，可求得值. 【详解】 因为4tan >03α=，42ππα∴<<，342ππαβ+<<，43sin ,cos 55αα∴==，又5230sin()sin1324παβ<+=<=，所以34παβπ∴<+<，12cos()13αβ∴+=-， 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++123541613513565=-⨯+⨯=-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查两角和的三角函数，同角三角函数的关系，诱导公式，三角函数的性质，关键在于尽可能地缩小角的范围，运用已知的角表示待求的角，属于中档题. 10．如图，D 为ABC ∆的边AC 上一点，2AD DC =，60ABC ∠=，24AB BC +=，当BD 取最小值时，ABC ∆的面积为（ ）A ．23B 3C 3D 3【答案】C【解析】设CD x =，BD y =，BC m =，则2AD x =，42AB m =-，在ABC ∆中，运用余弦定理可得22972016x m m =-+，再由cos cos ADB BDC ADB BDC π∠+∠=∠=-∠，，得22216162233y x m m =-+-+，代入根据二次函数的最值可求得当1m =时，2y 有最小值，从而求得此时三角形的面积. 【详解】设CD x =，BD y =，BC m =，则2AD x =，42AB m =-，在ABC ∆中，60ABC ︒∠=，222(42)(3)1cos 2(42)2m m x ABC m m -+-∴∠==⋅⋅-，22972016x m m ∴=-+，又cos cos ADB BDC ADB BDC π∠+∠=∴∠=-∠，，2222224(42)222x y m x y m x y x y +--+-∴=-⋅⋅⋅⋅，22216162233y x m m ∴=-+-+， 2227201616162299933y m m m m ⎛⎫∴=--++-+ ⎪⎝⎭，整理得224816999m y m =-+，当1m =时，2y 有最小值，此时BD 取最小值，此时1,2BC AB ==， 所以1321sin 6022ABCS=⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示BD 的长，求得何时BD 取得最小值，属于中档题.二、填空题11．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}2230B x x x =-->，则AB =______；() UA B =______.【答案】(),1-∞- ()[),12,-∞-+∞【解析】由题意求出集合B ,根据集合的交集、并集、补集运算可得答案. 【详解】因为集合{}2|230{|1B x x x x x =-->=<-或3}x >,集合{}2A x x =<，所以A B =(),1-∞-，又{|2}U C A x x =≥,所以() UA B =()[),12,-∞-+∞.故答案为：(),1-∞-；()[),12,-∞-+∞.【点睛】本题考查集合的基本交集、并集、补集运算,属于基础题.12．已知sin 4α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______；()cos 2πα-=______.【答案】78【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系,求得tan α的值，再运用余弦的二倍角公【详解】sin α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 4α∴==-,则sintan cos ααα==()()227cos 2cos 212sin 2148πααα⎛-=-=--=⨯-= ⎝⎭, 故答案为：78. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,余弦的二倍角公式，关键在于熟记相关的公式，属于基础题.13．设函数()23,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则()2f =______；若()9f x ≤，则实数x 的取值范围是______. 【答案】93,2【解析】由题意，代入相应的解析式中，可求得函数值，再分0x ≥与0x <讨论求不等式的解集． 【详解】因为函数()23,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则()223=9f =；因为()9f x ≤，所以390x x ⎧⎨≥≤⎩或29x x ⎧⎨<≤⎩，解得02x ≤≤或-<3≤0x ，所以实数x 的取值范围是[]3,2-.故答案为：9 ， []3,2- 【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求得函数值和求解不等式，关键在于分段考虑，分别求解，属于中档题．14．等腰ABC ∆中，23ACB π∠=，1CA =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内一点，则AE =______；AE DP ⋅的最大值为______.【解析】根据解三角形的余弦定理可求得AE ，再建立直角坐标系，运用向量数量积的坐标运算和线性规划的知识可求得最大值. 【详解】在等腰ABC ∆中，23ACB π∠=，1CA =，所以1CA BC ==， 因为E 分别是边BC 的中点，所以1122EC BC ==，在ACE △中，120ACE ︒∠=，222221112cos120121222AE AC CE AC CE ︒⎛⎫⎛⎫∴=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭171244=++=，72AE ∴=；建立直角坐标系如下图所示，则,0,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(0,0),42D E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y，则31(,)444y AE DP x y x ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 又直线AC 的方程是12y x=+，直线BC的方程是12y x =+，所以,x y 满足 10210320x y x y y -+≥⎪⎪⎪--+≥⎨⎪≥⎪⎪⎪⎩，令4y Z =+，则4y Z =-+，当直线过点2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，Z 有最大值98, 所以AE DP ⋅的最大值为98. ； 98.【点睛】本题考查解三角形的余弦定理，向量数量积的坐标运算，以及运用线性规划求得最值，关键在于明确所要求的目标函数的几何意义，属于中档题.15．等差数列{}n a 中，25a =，514a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前6项和等于______. 【答案】120【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据25a =，514a =，建立方程组，解之即可求出公差，从而求出通项公式，可求得数列的前几项的和. 【详解】设等差数列 {} n a 的公差为 d ，则115,414?a d a d +=+=，解得 12? 3a d ==，. 所以数列{}n a 的通项为()1131n a a n d n =+-=-. 又2n n b a =，所以321=61n b n n =⨯--，所以数列{}n b 的前6项和()()66611+6611202S ⨯⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦==，故答案为： 120. 【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，通项公式，前n 项和的公式，属于基础题. 16．已知函数()()21f x m x x =++有且仅有4个零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】1,04⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】令()()210f x m x x =++=，对m 进行参变分离，再令()2||(1)x g x x =-+，分当0x ≥时，和当0x <时，得出函数()g x 的解析式，并且通过函数()g x 的单调性【详解】令()()210f x m x x =++=，得2||(1)x m x =-+，令()2||(1)x g x x =-+，当0x ≥时，2()(1)xg x x =-+，设120x x <<，()()()()()()()()()()()()22211221211212222222122121*********x x x x x x x x x x g x g x x x x x x x +-+---=-+==++++++， 当1201x x ，1210x x -<，又()()2212210,110x x x x -<++>，()()120g x g x ∴->，()()21g x g x ∴>，()g x ∴在(0)1，上单调递减， 当121x x <<时，所以1210x x ->，又()()2212120,110x x x x -<++>，()()120g x g x ∴-<，()()12g x g x ∴<，()g x ∴在()1+∞，上单调递增， 1(1)()04g g x ∴-=≤≤， 当0x <时，2()(1)xg x x =+，设120x x <<，()()()()()()()()()()()()22122112112122222122122221111111111x x x x x x x x x x g x g x x x x x x x +-+---=-==++++++，当121x x <<-，1210x x -<，又()()2212210,110x x x x -<++>，()()120g x g x ∴->，()()21g x g x ∴>，()g x ∴在(1)-∞-，上单调递减， 当1210x x -<<<时，所以1210x x ->，又()()2212120,110x x x x -<++>，()()120g x g x ∴-<，()()12g x g x ∴<，()g x ∴在()10-，上单调递增，且()1,x g x →-→-∞，所以要使函数()()21f x m x x =++有且仅有4个零点，则实数m 的取值范围为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数的零点，参变分离的运用,函数的单调性的定义的证明，体现了分类讨论的数学思想,属于难度题.17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()cos62Ca b -=，()sin122Ca b +=，则c =______.【答案】【解析】由()cos62C a b -=，()sin 122Ca b +=，平方相加可得222cos 180a b ab C +-=,即可得出结论.【详解】 由()cos62C a b -=，()sin 122Ca b +=，平方相加可得222cos 180a b ab C +-=, 由余弦定理可得：2180c =，c ∴=故答案为: 【点睛】本题考查解三角形的余弦定理，余弦的二倍角公式，关键在于观察式子特点，平方相加后可运用余弦定理.三、解答题18．已知()sin a θθ=，()1,1b =，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求θ的值；（2）若a b =，求θ的值和a 在b 方向上的投影.【答案】（1）θ3π=；（2）4πθ=；122+【解析】(1) 根据向量的平行的坐标运算可得sin 0θθ=，可求θ;(2)由向量的模相等得21cos 2θ=，根据范围可求得θ，再由向量在另一向量上的投影的定义可得值. 【详解】（1）//a b，则sin 0θθ-=，得到tan θ=θ0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴θ3π=;（2）∵a b =，∴==得到21cos 2θ=，∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 2θ=，∴4πθ=， ∵4πθ=，∴2,2a ⎛= ⎝⎭，由cos a b a b a ⋅=<，b >， 所以a 在b方向上的投影为21222a b b+⋅==. 【点睛】本题考查向量间的平行关系的坐标运算，向量的模，向量在另一向量上的投影，属于基础题.19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足3cos cos cos c C a B b A =+.（1）求cos C的值；（2）若5a b +=，且ABC ∆的面积S ，求c 的值.【答案】（1）1cos 3C =；（2）c =【解析】(1)由正弦定理进行边化角可求得cos C ；(2)由（1）的结论和同角三角函数的关系求得sin 3C =，再运用三角形的面积公式和余弦定理可求其值. 【详解】（1）由正弦定理得()3sin cos sin cos sin cos sin sin C C A B B A A B C =+=+=，得到1cos 3C =；（2）由（1）知1cos 3C =，0C π<<,sin C =.∵1sin 42S ab C ==，得到274ab =, 根据余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即()2222cos 7c a b ab ab C =+--=,所以c =【点睛】本题考查解三角形之正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数的关系，关键在于运用定理进行边角转化，属于基础题.20．已知函数()2sin cos x x f x x =，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数()()()0g x af x b a =+>在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]3,4，求实数,a b 的值.【答案】（1）T π=，5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）210,33a b == 【解析】（1）根据三角函数的二倍角公式，辅助角公式进行恒等变换化简得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的周期性和单调性的求解方法，可求得函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）由571,2,sin 2,1121236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈⇒+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，再根据一次函数的值域求解方法可求得实数,a b 的值. 【详解】（1）()2sin cos sin 223f x x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，∴T π=, ∵222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，∴51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）∵()()sin 23g x af x b a x b π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭由571,2,sin 2,1121236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈⇒+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦因为0a >时，所以()()min max 23321043a a g x b g x a b b ⎧⎧=⎪=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+==⎩⎪⎩.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，周期，单调性，值域，关键在于将函数化为一个角一个三角函数的形式，属于基础题.21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足44a =，525S =. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）若242nn n a a b -=()1,2,3...n =，如果对任意*n N ∈，都有2122n b t t +≤，求实数t 的取值范围.【答案】（1）8n a n =-，2152n n n S -+= （2）2215,821556>82n n nn T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩， （3）11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ,由已知建立方程组113451025a d a d +=⎧⎨+=⎩,解之可得首项和公差，从而得出数列的通项和前n 项和；（2）分当8n ≤时和当8n >时，分别求和可得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）由（1）得81222n n n b --=，作差得18822n n nnb b +---=，讨论n 可得出n b 的最大值，再由恒等式思想，建立关于t 的不等式，可求得实数t 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得113451025a d a d +=⎧⎨+=⎩得171a d =⎧⎨=-⎩,所以，()118n a a n d n =+-=-，2152n n nS -+=；（2）当8n ≤时，0n a ≥，∴2152n n n nT S -+==，当8n >时，0n a <，∴()()21289815 (2562)n n n n nT a a a a a S S -=+++-++=-=+；（3）82412222n n n a n a n b ---==，则由18822n n nnb b +---=， ①当14n ≤<时，10n n b b +->， ②当4n =时，1n n b b +=. ③当4n >时，10nnb b ，所以123456...n b b b b b b b <<<=>>>，所以数列{}n b 的最大值为4514b b ==， 又因为2122n b t t +≤恒成立，所以211242t t ≤-，所以14t ≤-或12t ≥. 所以实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，绝对值项的求和，以及不等式的恒成立问题，关键在于得出数列的单调性，得出数列的最大项，属于难度题. 22．已知函数()21f x x ax =++，()1g x x =-.（1）若函数()y g x m =+为偶函数，求实数m 的值；（2）存在实数1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()()f x g x =在()0,∞+上有且仅有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1m = （2）72a ≥-（3）(,1-∞- 【解析】(1)根据函数的奇偶性的定义()()f x f x =-，可求得实数m 的值；(2)由()()f x g x ≥，得211x ax x ++≥-，由于1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对a 进行参数分离得()()2221x a x h x x x --⎛⎫-≥=-+= ⎪⎝⎭，运用函数的单调性和不等式的存在性，可求得实数a 的取值范围；(3)分①当0a ≥时，②当20a -≤<，③当2a <-时，分别讨论方程的根的情况，可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()y g x m =+为偶函数，即函数1y x m =+-为偶函数，所以11x m x m +-=-+-，所以11x m x m +-=-+-或()11x m x m +-=--+-，解得1m =， 所以实数m 的值为1；（2）()()f x g x ≥，即211x ax x ++≥-，则()212a x x -≥--，∵1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()2221x a x h x x x --⎛⎫-≥=-+= ⎪⎝⎭， 令()2h x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则()h x 的定义域为()(),00,-∞+∞，设120x x <<，则()()()()211212121212222+x x h x h x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=-++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当120x x <<<()()120h x h x -<12x x <时，()()12>0h x h x -， 所以()h x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，因为()h x 是定义域为()(),00,-∞+∞的奇函数，所以()h x在()上单调递增，在(,-∞上单调递减，∵1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()h x在12⎡⎢⎣上单调递增，在⎤⎦上单调递减，而1129=12222h ⎛⎫ ⎪⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，()211933=>332h ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，∴()()min 19122a h x h ⎛⎫-≥==-⎪⎝⎭，得到72a ≥-； （3）①当0a ≥时，()f x 在0,上单调递增，此时方程()()f x g x =没有根；②当0a <，2104a -≥，即20a -≤<时，因为211x ax x ++=-有两个正根，所以()218010a a ⎧∆=-->⎪⎨->⎪⎩，得21a -≤<-③当2a <-时，设方程210x ax ++=的两个根为()1212,x x x x <，则有1201x x <<<，结合图形可知()()f x g x =在0,上必有两个不同的实根.综上，实数a的取值范围为(,1-∞-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，方程的根，不等式的存在性问题，属于难度题. 对于不等式的存在性的问题时，常有以下情形：（1）0 x D ∃∈，使不等式()0f x A >成立，则max ()f x A >； （2）0 x D ∃∈，使不等式()0f x B <成立，则()min f x B <；（3）0 x D ∃∈,使不等式()()00f x g x >成立,则max ()()(),()0F x f x g x F x =-∴>； （4）0 x D ∃∈,使不等式()()00f x g x <成立,则min ()()(),()0F x f x g x F x =-∴<； （5）1 x D ∃∈,2 x E ∃∈,均有()()12f x g x >恒成立，则max min ()()f x g x >； （6）1 x D ∃∈,2 x E ∃∈,均有()()12f x g x <恒成立，则min max ()()f x g x <.。
浙江省2020年高一下学期期中数学试卷(I)卷
浙江省2020年高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·河南模拟) 已知，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·浙江月考) 在中，若，则（）A . 1B .C .D .3. （2分）已知，则（）A .B .C .D .4. （2分）在空间四边形ABCD中，，，， M，N分别为AB、CD的中点，则可表示为（）A .B .C .D .5. （2分）下列函数中既是偶函数，又是其定义域上的周期函数的是：（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·天津月考) 给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②若向量满足，则③若，，，是不共线的四点，则“ ”是“四边形为平行四边形”的充要条件；④ 的充要条件是且 .其中正确说法的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2020高一下·太原期中) 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·黑龙江月考) 已知函数（其中）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：①直线是函数图象的一条对称轴；②点是函数的一个对称中心；③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为 .其中正确的判断是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③9. （2分）下列命题正确的是（）A . a与b,b与ｃ共线，则a与c也共线B . 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C . 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D . 有相同起点的两个非零向量不平行10. （2分） (2019高一下·双鸭山月考) 下列函数中，最小正周期为的是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一下·芮城期末) 已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（）A . 20B . 18C .D . 912. （2分） (2019高一下·临沂月考) 在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一上·莆田期末) sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于________．14. （1分）设x，y，向量，且，，则 =________．15. （1分）已知α、β均为锐角且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________.16. （1分）若f（x）=2sin（ωx+Φ）+m，对任意实数t都有，且，则实数m的值等于________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知α是第三象限角，且f（α）= ．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣π）= ，求f（α）的值．18. （5分）写出三角函数诱导公式（一）～（六）19. （15分） (2020高一上·铜仁期末) 已知函数 .（1）求的值；（2）当时，求的值域；（3）当时，求的单调递减区间.20. （10分） (2019高一下·宁江期末) 已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为 .（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的单调递增区间.21. （10分）(2018·河北模拟) 已知点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点.（1）若直线的斜率为1，，求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴交于点，，求的值.22. （10分） (2020高一下·忻州期中) 已知点A、B、C的坐标分别为、、，.（1）若，求角的值；（2）若，求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2020-2021学年浙江省A9协作体高一(下)期中数学试卷-教师用卷
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解：对于 A：在△ABC 中，D 是边 BC 中点，所以
，即
，
故 A 正确；
对于 B：
为单位向量，由平面向量的几何意义，可知：
与∠BAC 的
角平分线共线，
所以由
可知：AD 为∠BAC 的角平分线，而 D 为 BC 边的中点，
所以 AD⊥BC， 在 上的投影为
=| |，所以 为 在 上的投
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AC=
= =2 ，
△ACD 中，∠CAD=105°-60°=45°，
所以 CD2=AC2+AD2-2AC•AD•cos45°=
+22-2×2 ×2× =4，
所以 CD=2，即 C、D 间的距离为 2km． 故选：B．
8. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，Q 为
可得内角 B= ，C= ；或 B= ，C= ． 即三角形有两解． 故选：C．
5. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n B. 若 α∥β，m∥α，则 m∥β C. 若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n D. 若 m⊥α，m∥n，α∥β，则 n⊥β
，说法正确．
B 选项，圆锥的高为
，所以圆锥的体积为
，说法错误．
C 选项，在轴截面中，顶角 θ 的余弦值为
，所以顶角 θ 为钝角．
所以当两条母线垂直时，截面的面积最大，为
，说法正确．
D 选项，轴截面为腰为 4，底为 6 的等腰三角形，所以面积为 误． 故选：AC．
，说法错
11. 如图，设 E、F 分别是正方形 ABCD-A1B1C1D1 的棱
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2≥0}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1，2} C ．{0，1}D ．{﹣2，﹣1，2}2．命题“∀x ＞0，都有x 3＞x +1”的否定是（ ） A ．∃x ＞0，使得x 3≤x +1 B ．∃x ＞0，使得x 3＜x +1 C ．∀x ≤0，都有x 3≤x +1 D ．∀x ＞0，都有x 3≤x +13．下列不等式中成立的是（ ） A ．若a ＞b ，则a n ＞b nB ．若0＜a ＜b ＜c ，则ba ＜b+c a+cC ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2D ．若a ＜b ＜0，则1a＞1b4．已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t 天后，用户人数m （t ）＝a •2kt ，其中a 和k 均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（ ）名． A ．10000 B ．8000C ．400D ．35005．幂函数f(x)=x 1n(n+1)(n∈N ∗)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若奇函数f （x ）和偶函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）＝3x +x 3+2，则f （1）+g （0）＝（ ） A ．73B ．83C ．193D ．1637．已知函数f （x ）={a x −2，x ≤12x 2−x(x +a)，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，2]C ．(1，32]D ．(0，32]8．已知实数a ，b 满足2a 2+3ab ﹣2b 2＝1，且1＜23b ﹣a ＜2，则3a +b 的取值范围是（ ）A ．(−√5，−2)∪(2，√5)B ．(2，√5)C ．(−√5，0)∪(0，√5)D ．(−√5，−2)二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求， 9．下列四组函数表示同一个函数的是（ ） A ．y ＝x 与y =(√x)2 B ．y =1x 与y =xx 2C ．y =√x 33与y ＝xD ．y ＝x 2+1与y =x 4−1x 2+110．若实数x 1，x 2，x 3满足x 3⋅2x 1=x 3⋅3x 2=1，则下列不等关系可能成立的是（ ） A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 3＜x 2＜x 1D ．x 3＜x 1＜x 211．已知正实数a ，b 满足3a +2b ＝1，则下列结论正确的是（ ） A ．2a+3b 的最小值为24B ．a （b +1）的最大值为38C ．4b 2+8a的最小值为12D ．a 2+b 2的最小值为11312．已知定义在R 上的函数 y ＝f （x ）满足：①y ＝f （x ）是偶函数；②当x ＞0时，f （x ）＞1；③当x ≥0，y ≥0时，f （x +y ）＝f （x ）f （y ），则（ ） A ．f （0）＝1B ．f （x ）在[0，+∞）上单调递增C ．不等式f(x)＜f(4)f(2)的解集为（﹣6，2） D ．f （xy ）＝f （x ）+f （y ） 三、填空题（本大题共4题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共20分） 13．函数y ＝f （x ）的定义域为[1，5]，则函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是 ． 14．若函数y ＝a •πx ﹣a +2b （a ，b ∈R ） 过定点（2，4），则a ＝ ，b ＝ ．15．已知函数f （x ）＝|3x ﹣1|，g （x ）＝4x 2﹣ax +1．若方程g （f （x ））＝0有4个不相同的实数根，则实数a 的取值范围为 ．16．已知定义在R 上的单调函数y ＝f （x ）满足f （f （x ）﹣2x ﹣x ）＝4．若对∀x ∈[1，2]，∃x 1，x 2，…，x n ∈[﹣1，0]（n ∈N *），使f （x ）≤f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n ）成立，则n 的最小值为 ． 四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算：（1）−(√−83−4)0+√(3−π)2+0.064−13；（2）已知a 12−a 12=1，则a 2+a −2+3a 32−a −32的值．18．（12分）已知集合A ={x|x−12x+3≥1}，B ＝{x |2m +3≤x ≤m +1}． （1）若m ＝﹣4，求 A ∩B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．（12分）第19届亚洲运动会预计将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其吉祥物是一组融合了历史人文、自然生态和创新基因的机器人，组合名为“江南忆”．现有某工厂代为加工亚运会吉祥物的玩偶，已知代加工玩偶需投入固定成本4万元，每代加工一组玩偶，需另投入5元．现根据市场行情，该工厂代加工x 万组玩偶，可获得f （x ）万元的代加工费，且f （x ）={x 2+2x ，0＜x ≤10，4x −400x+120，10＜x ≤50．（1）求该工厂代加工亚运会吉祥物玩偶的利润y （单位：万元）关于代加工量x （单位：万件）的函数解析式；（2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工亚运会吉祥物玩偶的利润最大？并求出年利润的最大值． 20．（12分）已知函数f （x ）＝（a 2﹣2a ）x 2+（2a ﹣2）x +1． （1）若对∀x ∈R ，都有f （x ）＞﹣1成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式f （x ）＞0．21．（12分）已知函数f （x ）=4x+12x （x ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义法证明；（2）若对∀x ∈[1，2]，都有f （x 2﹣m ）＜[f （x ）]2﹣2成立，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x−1x 2． （1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）＝m 有3个不同的实数根，记为x 1，x 2，x 3（x 1x 2＞0），且x 3x 1+x 2≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1}D．{﹣2，﹣1，2}解：∵B＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∴∁R B＝{x|﹣1＜x＜2}，又∵集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩（∁R B）＝{0，1}．故选：C．2．命题“∀x＞0，都有x3＞x+1”的否定是（）A．∃x＞0，使得x3≤x+1B．∃x＞0，使得x3＜x+1C．∀x≤0，都有x3≤x+1D．∀x＞0，都有x3≤x+1解：全称命题的否定为特称命题的否定，命题“∀x＞0，都有x3＞x+1“的否定是“∃x＞0，使得x3≤x+1“．故选：A．3．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则a n＞b n B．若0＜a＜b＜c，则ba ＜b+ca+cC．若a＞b＞0，则ac2＞bc2D．若a＜b＜0，则1a ＞1b解析：当a＝1，b＝﹣2，n＝2时，a＞b，而1＝a n＜b n＝4，A错误；当a＝1，b＝2，c＝3时，0＜a＜b＜c，而2=ba＞b+ca+c=54，B错误：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，C错误；对于D，当a＜b＜0时，则1a−1b=b−aab＞0，即1a＞1b，故D正确．故选：D．4．已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数m（t）＝a•2kt，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（）名．A ．10000B ．8000C ．400D ．3500解：由题意可知，{m(0)=a =500m(5)=a ⋅25k=2000，解得{a =50025k =4， 故m （10）＝a •210k ＝a （25k ）2＝8000． 故选：B ． 5．幂函数f(x)=x 1n(n+1)(n∈N ∗)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵n ∈N * 时，n （n +1）为偶数且大于0， ∴f(x)=x 1n(n+1)的定义域为[0，+∞），且在定义域上单调递增，结合选项可知，ACD 错误，B 正确．故选：B ．6．若奇函数f （x ）和偶函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）＝3x +x 3+2，则f （1）+g （0）＝（ ） A ．73B ．83C ．193D ．163解：根据题意，f （x ）+g （x ）＝3x +x 3+2①， 则有f （﹣x ）+g （﹣x ）＝3﹣x ﹣x 3+2，又f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则有﹣f （x ）+g （x ）＝3﹣x ﹣x 3+2②，联立①②，解可得g(x)=3x +3−x2+2，f(x)=3x −3−x2+x 3；则有f(1)=73，g （0）＝3； 故f(1)+g(0)=163． 故选：D ． 7．已知函数f （x ）={a x −2，x ≤12x 2−x(x +a)，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，2]C ．(1，32]D ．(0，32]解：因为分段函数f （x ）={a x −2，x ≤12x 2−x(x +a)，x ＞1在R 上单调递增，所以{a ＞112a ≤1a −2≤1−a ，解得1＜a ≤32．故选：C ．8．已知实数a ，b 满足2a 2+3ab ﹣2b 2＝1，且1＜23b ﹣a ＜2，则3a +b 的取值范围是（ ）A ．(−√5，−2)∪(2，√5)B ．(2，√5)C ．(−√5，0)∪(0，√5)D ．(−√5，−2)解：由题意得：2a 2+3ab ﹣2b 2＝（2a ﹣b ）（a +2b ）＝1， 记m ＝2a ﹣b ，n ＝a +2b ，则mn ＝1， 又∵1＜23b ﹣a ＝2n﹣m＜2，∴0＜n ﹣m ＜1，∴4＜（m +n ）2＝（n ﹣m ）2+4mn ＜5， ∴−√5＜m +n ＜﹣2或2＜m +n ＜√5， 即3a +b ∈（−√5，﹣2）∪（2，√5）． 故选：A ．二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求， 9．下列四组函数表示同一个函数的是（ ） A ．y ＝x 与y =(√x)2 B ．y =1x 与y =xx 2C ．y =√x 33与y ＝xD ．y ＝x 2+1与y =x 4−1x 2+1解：对于A ：y ＝x 的定义域为R ，y =(√x)2的定义域为[0，+∞），A 错误； 对于B ：y =1x的定义域为 {x |x ≠0}y =x x 2=1x的定义域为{x |x ≠0}，B 正确； 对于C ：y =√x 33=x 的定义域为R ，y ＝x 的定义域为R ，C 正确； 对于D ：y ＝x 2+1，y ＝x 2﹣1，函数的解析式不同，D 错误． 故选：BC ．10．若实数x 1，x 2，x 3满足x 3⋅2x 1=x 3⋅3x 2=1，则下列不等关系可能成立的是（ ） A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 3＜x 2＜x 1D ．x 3＜x 1＜x 2解：由题意可知，x 3≠0，2x 1=3x 2=1x 3，如右图在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝3x ，y ＝2x ，y =1x的图象，则由图象得，x 1，x 2，x 3 的大小关系可能为x 3＝x 2＜x 1，x 3＜x 2＜x 1，x 2＜x 3＜x 1，x 2＜x 3＝x 1，x 2＜x 1＜x 3，x 2＝x 1＜x 3，x 1＜x 2＜x 3，故A 、B 、C 正确，D 错误． 故选：ABC ．11．已知正实数a ，b 满足3a +2b ＝1，则下列结论正确的是（ ） A ．2a+3b 的最小值为24B ．a （b +1）的最大值为38C ．4b 2+8a的最小值为12D ．a 2+b 2的最小值为113解：∵3a +2b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴2a +3b =（2a +3b）（3a +2b ）＝12+4b a +9a b ≥12+2√4b a ⋅9ab =24， 对于当且仅当4b a=9a b，即a =16，b =14时，等号成立，∴2a+3b的最小值为24，故A 正确；对于B ，∵3a +2b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴3a +2（b +1）＝3≥2√3a ⋅2(b +1)，∴a （b +1）≤38，当且仅当3a ＝2（b +1），即a =12，b =−14时，等号成立，与a ＞0，b ＞0，故B 错误； 对于C ，∵3a +2b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴b =1−3a2， ∴4b 2+8a=4×(1−3a)24+8a =9a 2−6a+9a=9a +9a −6≥2√9a ⋅9a −6＝12，当且仅当9a =9a ，即a ＝1，b ＝﹣1时，等号成立，与a ＞0，b ＞0，故C 错误； 对于D ，∵3a +2b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴b =1−3a 2＞0，∴0＜a ＜13， ∴a 2+b 2＝a 2+（1−3a2）2=134a 2−32a +14，∴当a =313时，y =134a 2−32a +14取得最小值113， 即a 2+b 2≥113，当且仅当a =313，b =213时，等号成立，故D 正确． 故选：AD ．12．已知定义在R 上的函数 y ＝f （x ）满足：①y ＝f （x ）是偶函数；②当x ＞0时，f （x ）＞1；③当x ≥0，y ≥0时，f （x +y ）＝f （x ）f （y ），则（ ） A ．f （0）＝1B ．f （x ）在[0，+∞）上单调递增C ．不等式f(x)＜f(4)f(2)的解集为（﹣6，2） D ．f （xy ）＝f （x ）+f （y ） 解：对于A ，由条件③当x ≥0，y ≥0时，f （x +y ）＝f （x ）f （y ），令x ＝0，y ＝1，得：f （1）＝f （0）f （1），又由条件②得f （1）＞1，∴f （0）＝1，A 正确； 对于B ，取∀x 1，x 2∈[0，+∞），且 x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）﹣f （x 1+x 2﹣x 1）＝f （x 1）﹣f （x 1）f （x 2﹣x 1）＝f （x ）[1﹣f （x 2﹣x 1）]， ∵0≤x 1＜x 2，∴f （x 1）≥1，x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＞1，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即 f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，B 正确；对于C ，∵f （2）＞1，∴不等式 f(x)＜f(4)f(2) 等价于f （x ）＜f （2），又f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且由条件①得y ＝f （x ）是偶函数，∴|x |＜2，∴﹣2＜x ＜2，C 不正确；对于D ，令x ＝y ＝0，则 1＝f （0）＝f （0）+f （0）＝2 不成立，D 错误． 故选：AB ．三、填空题（本大题共4题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共20分） 13．函数y ＝f （x ）的定义域为[1，5]，则函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是 [1，3] ． 解：∵f （x ）的定义域为[1，5]， ∴由1≤2x ﹣1≤5，解得1≤x ≤3． ∴函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[1，3]． 故答案为：[1，3]．14．若函数y ＝a •πx ﹣a +2b （a ，b ∈R ） 过定点（2，4），则a ＝ 2 ，b ＝ 1 ．解：令x ﹣a ＝0，解得x ＝a ，当x ＝a 时，y ＝a +2b ， 故函数过定点（a ，a +2b ），由题意可知，a ＝2且a +2b ＝4，解得a ＝2，b ＝1． 故答案为：2；1．15．已知函数f （x ）＝|3x ﹣1|，g （x ）＝4x 2﹣ax +1．若方程g （f （x ））＝0有4个不相同的实数根，则实数a 的取值范围为 （4，5） ．解：考虑方程|3x ﹣1|＝t ，由f （x ）＝|3x ﹣1|的图象得：当t ＜0时，方程|3x ﹣1|＝t 无解； 当t ＝0或t ≥1时，方程|3x ﹣1|＝t ； 当0＜t ＜1或t ≥1时，方程|3x ﹣1|＝t 两解． 故方程g （f （x ））＝0有4个不相同的实数根，等价于方程g （x ）＝4x 2﹣ax +1＝0在区间（0，1）上有两个不同实根，∴{Δ=a 2−16＞00＜a8＜1g(1)=4−a +1＞0，解得：4＜a ＜5， ∴a ∈（4，5）． 故答案为：（4，5）．16．已知定义在R 上的单调函数y ＝f （x ）满足f （f （x ）﹣2x ﹣x ）＝4．若对∀x ∈[1，2]，∃x 1，x 2，…，x n ∈[﹣1，0]（n ∈N *），使f （x ）≤f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n ）成立，则n 的最小值为 4 ． 解：设f （x ）﹣2x ﹣x ＝t ，t 为常数， 则f （x ）＝2x +x +t ，∵f （f （x ）﹣2x ﹣x ）＝4，且f （x ）在R 上单调， ∴f （t ）＝2t +2t ＝4， ∴t ＝1，∴f （x ）＝2x +x +1在R 上单调递增．∵对∀x ∈[1，2]，∃x 1，x 2，…，x n ∈[−1，0](n ∈N ∗)，使得 f （x ）≤f （x 1）+f （x 2）+⋯+f （x n ）成立， ∴f （x ）max ≤[f （x 1）+f （x 2）+⋯+f （x n ）]max ，又当x ∈[1，2]时，f （x ）max ＝f （2）＝7，当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）max ＝f （0）＝2， ∴7≤2n ， ∴n ≥72， 所以n min ＝4． 故答案为：4．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算：（1）−(√−83−4)0+√(3−π)2+0.064−13；（2）已知a 12−a 12=1，则a 2+a −2+3a 32−a −32的值．解：（1）原式=−1+π−3+0.4−1=π−32．（2）∵a 12−a−12=1a +a−1=(a 12−a−12)2+2=3，∴a 2+a ﹣2＝（a +a ﹣1）2﹣2＝7，a 32−a −32=(a 12−a −12)(a +1+a −1)=4，a 2+a −2+3a 32−a −32=52．18．（12分）已知集合A ={x|x−12x+3≥1}，B ＝{x |2m +3≤x ≤m +1}． （1）若m ＝﹣4，求 A ∩B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）由x−12x+3≥1可得x−12x+3−1=−x−42x+3≥0，解得﹣4≤x ＜−32， 故A ＝{x |﹣4≤x ＜−32}，m ＝﹣4时，B ＝{x |2m +3≤x ≤m +1}＝{x |﹣5≤x ≤﹣3}， ∴A ∩B ＝{x |﹣4≤x ≤﹣3}；（2）∵x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，∴B ⊆A ， ①当B ＝∅时，2m +3＞m +1，解得：m ＞﹣2，成立；②当B ≠∅，即m ≤﹣2时，{2m +3≥−4m +1＜−32m ≤−2，解得−72≤m ＜−52， 综上，m ∈[−72，−52)∪(−2，+∞)．19．（12分）第19届亚洲运动会预计将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其吉祥物是一组融合了历史人文、自然生态和创新基因的机器人，组合名为“江南忆”．现有某工厂代为加工亚运会吉祥物的玩偶，已知代加工玩偶需投入固定成本4万元，每代加工一组玩偶，需另投入5元．现根据市场行情，该工厂代加工x 万组玩偶，可获得f （x ）万元的代加工费，且f （x ）={x 2+2x ，0＜x ≤10，4x −400x+120，10＜x ≤50． （1）求该工厂代加工亚运会吉祥物玩偶的利润y （单位：万元）关于代加工量x （单位：万件）的函数解析式；（2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工亚运会吉祥物玩偶的利润最大？并求出年利润的最大值． 解：（1）当0＜x ≤10时，y ＝f （x ）﹣4﹣5x ＝x 2+2x ﹣4﹣5x ＝x 2﹣3x ﹣4，当10＜x ≤50时，y =f(x)−4−5x =4x −400x +120−4−5x =−x −400x +116，故y ={x 2−3x −4，0＜x ≤10−x −400x +116，10＜x ≤50； （2）当0＜x ≤10时，y =x 2−3x −4=(x −32)2−254， ∴x ＝10时，y max ＝66，当10＜x ≤50时，y =−x −400x +116=116−(x +400x )≤116−2√x ⋅400x =76，当且仅当x =400x ，即x ＝20时，等号成立， ∴x ＝20时，y max ＝76，∵76＞66，∴当代加工量为20万件时，该工厂代加工亚运会吉祥物玩偶的利润最大，为76万元．20．（12分）已知函数f （x ）＝（a 2﹣2a ）x 2+（2a ﹣2）x +1．（1）若对∀x ∈R ，都有f （x ）＞﹣1成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式f （x ）＞0．解：（1）对∀x ∈R ，都有f （x ）＞﹣1 成立，即（a 2﹣2a ）x 2+（2a ﹣2）x +2＞0恒成立，①当a 2﹣2a ＝0，即a ＝0或a ＝2时，当a ＝0时，﹣2x +2＞0，解得x ＜1，不满足题意；当a＝2时，2x+2＞0，解得x＞﹣1，不满足题意；当a2﹣2a≠0时，则有{a2−2a＞0Δ=(2a−2)2−8(a2−2a)＜0，解得a＜1−√2或a＞1+√2，综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1−√2）∪（1+√2，+∞）；（2）f（x）＝（a2﹣2a）x2+（2a﹣2）x+1＞0，即（ax+1）[（a﹣2）x+1]＞0，①当a＝0时，﹣2x+1＞0，解得x＜1 2；②当a＝2时，2x+1＞0，解得x＞−1 2；③当0＜a＜2时，−1a＜0＜−1a−2，解得−1a＜x＜−1a−2；④当a＜0或a＞2时，−1a−2＜−1a，解得x＜−1a−2或x＞−1a；综上，当a＝0时，原不等式解集为(−∞，12 )；当a＝2时，原不等式解集为x∈(−12，+∞)；当0＜a＜2时，原不等式解集为(−1a，−1a−2)；当a＜0或a＞2时，原不等式解集为(−∞，−1a−2)∪(−1a，+∞)．21．（12分）已知函数f（x）=4x+12x（x∈R）．（1）讨论函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义法证明；（2）若对∀x∈[1，2]，都有f（x2﹣m）＜[f（x）]2﹣2成立，求实数m的取值范围．解：（1）f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，证明如下：证明：取∀x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=4x1+12x1−4x2+12x2=22x1+x2+2x2−22x2+x1−2x12x1+x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2，∵0≤x1＜x2，∴2x1＜2x2，2x1+x2＞1，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；（2）∵[f(x)]2−2=(2x+12x)2−2=22x+122x=f(2x)，∴对∀x∈[1，2]，都有f（x2﹣m）＜[f（x）]2﹣2 成立，即f（x2﹣m）＜f（2x）成立，又对∀x ∈R ，f(−x)=2−x +12−x =12x +2x =f(x)，f （x ）是偶函数， 由（1）得：f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，∴对∀x ∈[1，2]，都有|x 2﹣m |＜|2x |成立，即﹣2x ＜x 2﹣m ＜2x ，x 2﹣2x ＜m ＜x 2+2x ， ∴m ＜x 2+2x ，又x 2+2x 在[1，2]上的最小值为3，∴m ＜3；m ＞x 2﹣2x ，又x 2﹣2x 在[1，2]上的最大值为0，∴m ＞0，综上，0＜m ＜3，即m ∈（0，3）．22．（12分）已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x−1x 2． （1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）＝m 有3个不同的实数根，记为x 1，x 2，x 3（x 1x 2＞0），且x 3x 1+x 2≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）∀x ＜0，则﹣x ＞0，所以f(−x)=−x−1x 2． 又函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （0）＝0，f(−x)=−f(x)，f(x)=−f(−x)=x+1x 2， 所以f(x)={ x+1x 2，x ＜00，x =0x−1x 2，x ＞0． （2）关于x 的方程f （x ）＝m 有3个不同的实数根，记为x 1，x 2，x 3（x 1x 2＞0）． 若0是方程的一个根，则m ＝f （0）＝0．当x ＜0时，由f(x)=x+1x 2=0，可得x ＝﹣1是方程的一个根； 当x ＞0时，由f(x)=x−1x 2=0，可得x ＝1是方程的一个根． 所以方程f （x ）＝0的根为﹣1，0，1，不存在x 1x 2＞0，不成立，所以0不是方程的根．令t =1x ，设g(t)={t 2+t ，t ＜0−t 2+t ，t ＞0， 由已知可转化为关于t 的方程g （t ）＝m 有3个不同的实数根t 1，t 2，t 3（t 1t 2＞0）， 且t 1=1x 1，t 2=1x 2，t 3=1x 3．在同一平面直角坐标系作出y＝g（t）和y＝m的图象，由图象可知−14＜m＜0或0＜m＜14．当−14＜m＜0时，1＜1﹣4m＜2，且t1，t2是t2+t＝m的两个不同负实根，由韦达定理可知，t1+t2＝﹣1，t1t2＝﹣m．t3＞0且满足﹣t2+t＝m，解得t3=1+√1−4m2，所以x3x1+x2=1t31t1+1t2=t1t2t3(t1+t2)=1+√1−4m=1−√1−4m2∈(1−√22，0)；当0＜m＜14时，1＜1+4m＜2，且t1，t2是﹣t2+t＝m的两个不同正实根，由韦达定理可知，t1+t2＝1，t1t2＝m．t3＜0且满足t2+t＝m，解得t3=−1−√1+4m2．所以x3x1+x2=1t31t1+1t2=t1t2t3(t1+t2)=−1−√1+4m=1−√1+4m2∈(1−√22，0)．综上，x3x1+x2∈(1−√22，0)．因为x3x1+x2≥λ恒成立，所以λ≤1−√22，所以实数λ的取值范围为(−∞，1−√22]．。
浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷
2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。
浙江省A9协作体2019_2020学年高一数学下学期期中联考试题含解析
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
16. 中， ， ，若 边上的高为 ，则 的外接圆面积是___________， 边上的中线长为___________
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
作出图形，过点 作 的延长线于点 ，可得 ，进而可求得 、 的长，以及 的长，利用勾股定理可求得 以及 边上的中线长，利用同角三角函数的基本关系求得 的值，利用正弦定理可求得 的外接圆半径，进而可求得该三角形的外接圆面积.
三、解答题（共74分）
18.已知 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）在等式 两边平方，利用二倍角正弦公式可求得 的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得 的值；
（2）利用同角三角函数的平方关系可求得 的值，再利用两角差的余弦公式可求得 的值.
【详解】解：（1）设 公比为 ， ，
所以 ，
因为 ， （负值舍去）
（2） ，下面利用错位相减法求和，
两式相减得：
【点睛】本题考查等比数列通项公式、等差数列求和公式、错位相减法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.
21.设 的内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
【详解】解：（1）由题可知， ，
则 ，
所以 的最小正周期为 ，
由 ， ，
得 ， ，
所以 的递增区间为 .
（2）由（1）得 ，
则将 的图象向左平移 个单位 后，
得 ，且其图象关于原点对称，
2020-2021学年浙江省浙东北联盟(ZDB)高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知i 为虚数单位，则(1−i)2的值等于( )A. 2−2iB. 2+2iC. −2iD. 2i2. 如图，在△ABC 中，BC =4，AB =AC =2√5，若△ABC 的水平放置直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为( )A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√23. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为( )A. 1B. 32C. 2D. 44. 已知向量a ⃗ =(4,2)，b ⃗ =(0,5)，则向量b ⃗ 在向量a⃗ 上的投影向量为( ) A. (2,1) B. (−2,−1)C. (209,109)D. (6,3)5. 已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若sin 2A −sin 2B −sin 2C +√2sinBsinC =0，则角A 的大小为( )A. π4B. π3C. π2D. 3π46. 已知复数z 的共轭复数是z −，满足z(1+√3i)=2(i 为虚数单位)，则z −的虚部为( )A. −√32i B. √32i C. −√32D. √327. 在平行四边形ABCD 中，点E 在线段DC 上，且2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AC 的交点为F ，则向量DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23DA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 35DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25DA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 25DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −35DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 如图，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =DA =2√3，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点，且EF =2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 4B. 5C. 24D. 25二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在复平面内有一个平行四边形OABC ，点O 为坐标原点，点A 对应的复数为z 1=1+i ，点B 对应的复数为z 2=1+2i ，点C 对应的复数为z 3，则下列结论正确的是( )A. 点C 位于第二象限B. z 1+z 3=z 2C. |z 1−z 3|=|AC|D. z 1⋅z 3=z 210. 已知向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,λ)，则下列叙述不正确的是( )A. 若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则λ>2B. 若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则λ=2C. 若λ=2，则a ⃗ 与b ⃗ 垂直D. 若λ<2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角11. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a =√3，且sinA +sin(B −C)−2sin2C =0，则边c 的大小可能是( )A. 1B. 2C. √3D. 412. 已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是( )A. 该多面体的体积为8√23B. 该多面体的外接球的表面积为8πC. 该多面体的内切球的体积为8√627πD. 该多面体的表面积为8三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则此圆柱的体积为______ ． 14. 复数4+3i 与2−i 分别表示向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则表示向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的复数为______． 15. 在△ABC 中，AB =5，AC =12，cos∠ABC =513，cos∠ACB =1213，则BC 的值为______． 16. 已知a ⃗ ,b ⃗ 是两个平面向量，|b ⃗ |=2√2，且对任意t ∈R ，恒有|b ⃗ −t a ⃗ |≥|b ⃗ −a ⃗ |，则|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ |的最大值是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(√2,√2)，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =8．(1)设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，求θ的值；(2)若(a⃗+k b⃗ )⊥(b⃗ −a⃗ )，求实数k的值．18.已知复数z1=c+2i，复数z2=1+di，其中i是虚数单位，c，d∈R．(1)若c=2，d=1，求|2z1−z2|的值；(2)若z12=z22，求c2+d2的值．19.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=5，AB=5，AA1=4，DG=BE=1，CF=2．(1)求平面四边形AEFG的面积；(2)求几何体ABCDEFG的体积．20. 如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地(记为△ABC)，现修成草坪，图中MN 把草坪分成面积相等的两部分，点M 在AB 上，点N 在AC 上． (1)若AM =75米，求AN 长；(2)如果MN 是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN 最短，请确定点M ，N 的位置，并求MN 的最小值．21. 如图，在△ABC 中，已知AB =5，AC =4且，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =16，2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)设AD 与CE 交于点F ，求∠DFE 的余弦值大小．22. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sinAcosB =sinC ，且边BC 上的中线长为4． (1)证明：A =B ； (2)求△ABC 面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：化简可得(1−i)2=1−2i+i2=−2i故选：C．由完全平方公式展开化简可得．本题考查复数的代数形式的运算，属基础题．2.【答案】B【解析】解：在△ABC中，BC=4，AB=AC=2√5，所以底边BC上的高为AO=√(2√5)2−22=4，所以△ABC的面积为S△ABC=12×4×4=8，所以△ABC水平放置的直观图△A′B′C′的面积为S△A′B′C′=√24S△ABC=√24×8=2√2．故选：B．求出△ABC的面积，利用平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积比为√24，计算即可．本题考查了平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积计算问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：圆锥的侧面展开图是个半圆，且半圆的半径是母线长l，半圆的弧长是πl，由圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形弧长，且圆锥的底面半径是r=1，所以2πr=πl，所以该圆锥的母线长为l=2r=2．故选：C．根据圆锥的侧面展开图是半圆，半圆的半径圆锥的母线长，半圆的弧长是圆锥底面的周长，由此求出结果．本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算问题，解题的关键是圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，是基础题．4.【答案】A【解析】解：向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(0,5)，则向量b⃗ 在向量a⃗上的投影为|b⃗ |cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=√16+4=√5；所以向量b⃗ 在向量a⃗上的投影向量为√5√16+4×(4,2)=(2,1)．故选：A．根据平面向量的投影定义，结合向量的数量积，转化求解的投影和投影向量．本题考查了平面向量的投影和投影向量计算问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：因为sin2A−sin2B−sin2C+√2sinBsinC=0，由正弦定理得，a2−b2−c2+√2bc=0，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =√22，因为A∈(0,π)，所以A=π4．故选：A．由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos A，进而可求A．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：z(1+√3i)=2(i为虚数单位)，∴(1−√3i)z(1+√3i)=2(1−√3i)，化为：4z=2(1−√3i)，∴z=12−√32i，z−=12+√32i，则z −的虚部为√32，故选：D ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：如图所示，因为2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，所以EC AB =CF AF =23，所以CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +35DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：C ．由已知可得EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AB//CD ，则可得CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后利用三角形法则即可求解． 本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到平行线段成比例的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设EF 的中点为M ，连接CM ，∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即CE ⊥CF ，∴CM =1．可得M 的轨迹是以C 为圆心，以1为半径的一段圆弧， 连接AC ，AM ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+12=36， ∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6． AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14EF⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1=5， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥25−14×4=24，即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为24． 故选：C ．设EF 的中点为M ，连接CM ，可得CM =1，连接AC ，AM ，由已知求得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，再由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14EF⃗⃗⃗⃗⃗ 2及|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1=5，即可求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化、数形结合思想，考查灵活变形及运算求解能力，是中档题．9.【答案】BC【解析】解：如图，由题意，O(0,0)，A(1,1)，B(1,2)， ∵OABC 为平行四边形，则C(0,1)， ∴z 3=i ，点C 位于虚轴上，故A 错误； z 1+z 3=1+i +i =1+2i =z 2，故B 正确； |z 1−z 3|=|1+i −i|=1=|AC|，故C 正确； z 1z 3=(1+i)i =−1+i ≠z 2，故D 错误． 故选：BC ．由题意画出图形，求出C 的坐标，得到z 3，然后逐一分析四个选项得答案． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合思想，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：∵向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,λ)，若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0，即−2+λ>0，求得λ>2，故A 正确；若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则2−1=λ1，则λ=−2，故B 错误；若λ=2，∵a⃗⋅b⃗ =−2+λ=0，故a⃗与b⃗ 垂直，故C正确；若λ<2，则a⃗⋅b⃗ =−2+λ<0，则a⃗与b⃗ 的夹角为钝角或平角180°，故D错误，故选：BD．由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量的夹角，得出结论．本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的夹角，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：因为sinA+sin(B−C)−2sin2C=0，所以sin(B+C)+sin(B−C)−2sin2C=0，整理得2sinBcosC=4sinCcosC，所以C=90°或sinB=2sinC，当C=90°时，a=√3，c>√3，B，D符合题意；当sinB=2sinC，即b=2c时，对应A：c=1，b=2，a=√3构成直角三角形，符合题意；对应C：a=c=√3，b=2√3构不成三角形，不符合题意．故选：ABD．由已知结合三角形诱导公式及和差角公式进行化简，然后结合选项及三角形两边之和大于第三边分别检验各选项即可判断．本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形大边对大角，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：如图所示，该多面体是每个面都是正三角形的正八面体，其中四棱锥P−ABCD和四棱锥Q−ABCD都是正四棱锥，所以四边形ABCD是正方体，且PO⊥平面ABCD，V八面体=2V P−ABCD=2⋅13⋅S ABCD⋅PO=2⋅13⋅2⋅2⋅√22−(√2)2=8√23，故A 正确；连接AB ，CD ，PQ ，三条直线相交于点O ， 因为OA =OB =OC =OD =OP =OQ =√2，所以O 为正八面体的外接球球心，且外接球的半径为√2， 故S 外接球=4π⋅(√2)2=8π.故B 正确；正八面体内切球的半径即点O 到平面ABP 的距离，设为r ， 则V O−ABP =V P−AOB ⇔13⋅√34⋅22⋅r =13⋅12⋅(√2)2⋅√2，解得r =√63，故V 内切球=43π⋅(√63)3=8√627，故C 正确；S 八面体=8S △ABP =8⋅√34⋅22=8√3，故D 错误．故选：ABC ．根据条件，可知该几何体是每个面都是正三角形的正八面体，然后依次判断各个选项即可．本题考查几何体体积，外接球和内切球问题，考查的核心素养为直观想象和数学运算，属于难题．13.【答案】2π【解析】解：∵圆柱的轴截面是面积为4的正方形， ∴圆柱的底面半径为1，高为2． ∴圆柱的体积V =π×12×2=2π． 故答案为：2π．根据轴截面为正方形可知圆柱的底面半径为2，高为4． 本题考查了圆柱的结构特征，体积计算，属于基础题．14.【答案】2+4i【解析】解：∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =4+3i ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−i ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4+3i)−(2−i)=2+4i ， 即表示向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的复数为2+4i ． 故答案为：2+4i ．由已知直接利用向量的减法运算求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量的减法运算，是基础题．15.【答案】13【解析】解：由题意得，c =5，b =12，cosB =513，cosC =1213， 所以sinB =1213，sinC =513，所以sinA =sin(B +C)=sinBcosC +sinCcosB =1213×1213+513×513=1， 所以A =π2，a =√b 2+c 2=13． 故答案为：13．由已知结合和差角及同角基本关系可求A =90°，然后结合勾股定理可求． 本题主要考查了同角基本关系及和差角公式，属于基础题．16.【答案】4【解析】解：∵对任意t ∈R ，恒有|b ⃗ −t a ⃗ |≥|b ⃗ −a ⃗ |，∴向量b ⃗ 的终点到向量a ⃗ 所在直线的距离最短．∴a ⃗ ⊥(b ⃗ −a ⃗ ).设|a ⃗ |=x ，|b ⃗ −a ⃗ |=y ，则x 2+y 2=(2√2)2=8，∴|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ |=x +y =√(x +y)2=√x 2+y 2+2xy =√8+2xy ≤√8+x 2+y 2=4，当且仅当“x =y ”时“=”成立．∴最大值为4． 故答案为：4．由向量加法几何意义和基本不等式可解决此题．本题考查向量加法几何意义、基本不等式、数形结合思想，考查数学运算能力及直观想象能力．17.【答案】解：(1)∵设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，∵向量a ⃗ =(√2,√2)，|b⃗ |=2， 且(2a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =8=2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2×2×2cosθ+4，∴cosθ=12，∴θ=π3． (2)若(a ⃗ +k b ⃗ )⊥(b ⃗ −a ⃗ )，则(a ⃗ +k b ⃗ )(b ⃗ −a ⃗ )=(1−k)a ⃗ ⋅b ⃗ −a ⃗ 2+k b ⃗ 2=(1−k)×2×2×cosπ3−4+4k=0，∴k=1．【解析】(1)由题意利用两个向量的数量积的定义，求得θ的值．(2)由题意利用两个向量垂直的性质，求得k的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)c=2，d=1时，2z1−z2=4+4i−(1+i)=3+3i，∴|2z1−z2|=√9+9=3√2．(2)∵z1=c+2i，复数z2=1+di，z12=z22，∴c2+4ci+4i2=1+2di+d2i2，即c2−4+4ci=1−d2+2di，∴{c2−4=1−d24c=2d，∴c2+d2=5．【解析】(1)c=2，d=1时，求出2z1−z2=3+3i，由此能求出|2z1−z2|.(2)由z12=z22，得c2−4+4ci=1−d2+2di，由此利用复数相等的定义能求出c2+d2．本题考查复数的运算，考查复数运算法则、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．19.【答案】解：(1)在平面CC1D1D中，过G作GM⊥C1C，由DG=1，CF=2，可得FM=1，在Rt△GMF中，求得GF=√52+12=√26，在Rt△ABE中，求得AE=√26，则AE//GF且AE=GF，∴四边形AGFE为平行四边形．又AG=√AD2+DG2=√52+12=√26，AF=√AC2+CF2=√(5√2)2+22=3√6，在△AGF中，可得cos∠AGF=2×√26×√26=−126，∴sin∠AGF =√1−(−126)2=15√326．∴平面四边形AEFG 的面积S =AG ⋅GF ⋅sin∠AGF =√26×√26×15√326=15√3；(2)几何体ABCDEFG 的体积V =V A−DCFG +V A−BCFE ==2×13×12×(1+2)×5×5=25．【解析】(1)证明四边形AEFG 为平行四边形，求出∠AGF 的余弦值，进一步得到正弦值，利用平行四边形面积公式求解；(2)把几何体ABCDEFG 的体积转化为两个全等的四棱锥的体积求解．本题考查长方体截面四边形面积的求法，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由AM =75，S △AMN =12S △ABC =12×12×10×10×sin60°=1250√3， 设AN =a ，则S △AMN =12×75×a ×sin60°=1250√3， ∴a =2003，即AN 的长为2003．(2)设MN =y ，AM =x ，在△AMN 中由余弦定理可得y 2=x 2+AN 2−2xANcos60°， 又S △AMN =12xANsin60°=1250√3，∴AN =5000x，∴y 2=x 2+(5000x )2−5000，∴y =√x 2+(5000x)2−5000≥√2×5000−5000=50√2，当且仅当x 2=(5000x)2，即x =50√2时取等号；即当M ，N 分别在AB ，AC 上距离A 点50√2米时MN 距离最小，最小值为50√2．【解析】(1)利用题中的条件三角形△AMN 的面积是三角形△ABC 面积的一半，即可解出；(2)设AM =x ，则利用三角形△AMN 的面积是三角形△ABC 面积的一半，可将AN 的长度用x 表示出，再利用余弦定理即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，解三角形，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16−16=0， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16． (2)因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−132， 所以cos∠DFE =CE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−13252⋅√17=−13√1785．【解析】(1)由向量的线性运算及向量的数量积运算即可求得可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)由向量的数量积运算及夹角公式即可求解∠DFE 的余弦值．本题主要考查向量的线性运算及平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)因为2sinAcosB =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，所以sinAcosB −sinBcosA =0，即sin(A −B)=0， 所以A =B ；解(2)：由(1)a =b ，取BC 的中点D ，△ABD 中，由余弦定理得，c 2=AD 2+(a2)2−2AD ⋅a2cos∠ADB ， △ACD 中，由余弦定理得，b 2=AD 2+(a2)2−2AD ⋅(a2)cos∠ADC ， 因为∠ADB +∠ADC =π， 两式相加得，c 2+b 2=2AD 2+a 22，即a 2+2c 2=64，由0<c 2<32，a 2=64−2c 2>0， S △ABC =c2⋅√a 2−c 24=14√c 2(4a 2−c 2)=14√−9(c 2−1289)2+(1283)2≤14×1283=323，所以△ABC 面积的最大值323．【解析】(1)由已知结合和差角公式进行化简即可证明；(2)由已知结合余弦定理及诱导公式进行化简，然后结合三角形面积公式及二次函数的性质可求．本题主要考查了和差角公式，余弦定理，三角形面积公式及二次函数的性质在求解最值中的应用，属于中档题．。
浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷
2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。
2020年浙江省9+1高中联盟高一(下)期中数学试卷解析版
容易看出 在（0，+∞）上是减函数，y=|x|和 y=log2x 都不是奇函数，从而得出选项 A
，C，D 都错误，只能选 B． 考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义，反比例函数和 y=x3 的单调性．
A.
B.
C.
D.
10. 如图，D 为△ABC 的边 AC 上一点，|AD|=2|DC|，∠ABC=60°， |AB|=2|BC|=4，当|BD|取最小值时，△ABC 的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分） 11. 设全集 U=R，集合 A={x|x＜2}，B={x|x2-2x-3＞0}，则 A∩B=______；（∁UA）
B. 左平移 个单位
C. 右平移 个单位
D. 右平移 个单位
8. 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，满足 b=2ccosA，则△ABC 的形状 为（ ）
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 锐角三角形
9. 设 α，β∈（0，π），sin（α+β）= ，tanα= ，则 cosβ 的值是（ ）
（Ⅱ）若 a+b=5，且△ABC 的面积
，求 c 的值．
20. 已知函数
．
（Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数 g（x）=af（x）+b（a＞0）在区间
a，b 的值
的值域为[3，4]，求实数
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2020年浙江省9+1高中联盟高一(下)期中数学试卷解析版
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 50.0 分）
1. 已知集合 U={2，3，4，5，6}，集合 A={2，4}，集合 B={2，3，4}，则∁U（A∩B）
=（ ）
A. {2，4}
B. {3}
C. {5，6}
D. {3，5，6}
2. 下列函数既是奇函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A.
B. y=x3
C. y=|x|
D. y=log2x
3. 已知函数 f（x）=2x+x-8，若 f（x0）=0，则（ ）
A. 0＜x0＜1
B. 1＜x0＜2
C. 2＜x0＜3
D. 3＜x0＜4
4. 已知向量 =（-3，1）， =（1，x），若 ，则 x 的值为（ ）
A. 3
B. -3
C.
D.
5. 若{an}为等差数列，Sn 是其前 n 项和，且
∪B=______．
12. 已
，则 tanα=______；cos（π-2α）=______．
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13. 设函数
______；f（x）≤9 则实数 x 的取值范围是______．
14. 等腰△ABC 中，
，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，点 P 是
△ABC（包括边界）内一点，则 =______，
（Ⅲ）若
，如果对任意 n∈N*，都有
t 的取值范围．
，求实数
22. 已知函数 f（x）=x2+ax+1，g（x）=x-1． （Ⅰ）若函数 y=|g（x+m）|为偶函数，求实数 m 的值；
2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高一上学期期中数学试题及答案解析
2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高一上学期期中数学试题及答案解析一、单选题1．若集合M={x|x≤6}，a=2，则下面结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据元素与集合的关系，以及集合之间的包含关系，即可求解，得到答案．【详解】根据实数的性质，可得，所以，则，所以B、D不正确；又根据集合的包含关系可得，即，故选A．【点睛】本题主要考查了元素与集合，集合与集合的关系的判定，其中解答中熟记元素与集合的关系，以及集合间的包含关系的概念与判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．()+上单调递增0,∞f x在()f x的定义域为R B．()C．()f x的图象有可能经过f x的图象一定经过点()1,1 D．()点()1,1-【答案】C【解析】幂函数f （x ）=x a 的定义域和单调性都与幂指数a 有关，过定点（1,1），易选得A. 【详解】解：（1）对于A ，幂函数f （x ）=x a 的定义域与a 有关，不一定为R ，A 错误；（2）对于B ，a ＞0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递增，a ＜0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递减，B 错误；（3）对于C ，幂函数f （x ）=x a 的图象过定点（1，1），C 正确；（4）对于D ，幂函数f （x ）=x a 的图象一定不过第四象限，D 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查了幂函数的图像与性质，属于基础题. 3．函数()221x f x =- 的值域是 （ ） A ．(2,)-+∞ B ．(,2)(0,)-∞-+∞ C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞-【答案】B 【解析】【详解】 令211x u =->-，2y u=，则102,00u y u y -<<⇒<->⇒>，故选B ．4．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()22f x x x =+，则()f x 在[]1,3上是（ ）A ．增函数，最小值为1B ．增函数，最大值为1C ．减函数，最小值为1D ．减函数，最大值为1【答案】D【解析】根据奇函数对称区间上单调性一致可知()f x 在[]1,3上单调递减，从而可求.【详解】解：∵()f x 为奇函数，且当0x <时，()22f x x x =+在[]3,1--上单调递减，根据奇函数对称区间上单调性一致可知()f x 在[]1,3上单调递减，故当1x =时，函数取得最大值(1)(1)1f f =--=， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了奇函数对称区间上单调性一致及利用奇函数的单调性求解函数的最值，是基础题. 5．若0a b >>，01c <<，则正确的是（ ） A ．a b c c > B ．log log c c a b < C ．c b a a >D ．log log a b c c <【答案】B【解析】0a b >>，01c <<，利用指数函数与对数函数的单调性即可判断出正误.【详解】解：∵0a b >>，01c <<，,log log a b c c c c a b ∴<<，c a 与b a 的大小关系不确定，log a c 与log b c的大小关系不确定. 因此只有B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 6．函数1()ln()23f x x x =---的零点所在区间为（ ）A ．(4,3)--B ．(3,)e --C ．(,2)e --D ．(2,1)--【答案】B 【解析】()()()()()2454ln 40,3ln 310,10,2ln 20,103333e f f f e f f -=->-=->-=-+<-=-<-=-<由零点存在性定理，()()30f f e --<，所以零点所在区间为()3,e --．故选B ．7．设函数()()()212,1315,1x a x x f x a x x ⎧--+≥⎪=⎨+-<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．1,33⎛⎤-⎥⎝⎦B ．1,23⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,23⎛⎤-⎥⎝⎦D ．[]2,3【答案】C【解析】利用分段函数每段是增函数，并且并起来也为增函数，列出不等式组，求解即可. 【详解】解：函数()()()212,1315,1x a x x f x a x x ⎧--+≥⎪=⎨+-<⎪⎩在R 上是增函数， 可得：112310315112a a a a -⎧≤⎪⎪+>⎨⎪+-≤-++⎪⎩，解得123a -<≤， 故实数a 的取值范围是1,23⎛⎤-⎥⎝⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，注意不仅要关注各段的单调性的情况，还要关注整体单调性的情况，属于易错题. 8．已知函数()()2ln f x axbx c =++的部分图象如图所示，则a b c -+的值是（）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【答案】D【解析】由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4，利用根与系数的关系结合(1)0f =列式求得,,a b c 的值，则答案可求. 【详解】解：由图可知，函数()f x 的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞，∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4， 又(1)0f =，68ln()0ba ca abc ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩. 182533a b c ∴-+=++=.故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题. 9．已知函数的图象关于对称，且对，当时，成立，若对任意的恒成立，则的范围（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据对称性以及函数图象的平移变换判断函数是偶函数，根据时，成立判断函数的单调性，从而转化原不等式为对任意的恒成立，分离参数后利用基本不等式求解即可. 【详解】 函数的图象关于对称，向左平移1个单位，得到的图象关于轴对称，即是偶函数，，成立， 在上递减，在上递增， 对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立，时不等式成立；当时，有恒成立，， ，故选A.【点睛】本题主要考查函数的对称性、奇偶性与单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.10．已知函数()()2221,2log 2,2x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()()524F x f f x f x =--的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】利用换元法将()()()()5204F x f f x f x =--=转化为5()204f t t --=，求出t 后再解方程()f x t =，求出交点个数. 【详解】解：∵()()()()5204F x f f x f x =--=，设()f x t =即5()204f t t --=， ∴转化为()y f t =和524y t =+的交点.画出图象如图：由图可知120,(2,3)t t =∈，又当1()0f x t ==时，有1个解，当2()(2,3)f x t =∈有两个解， 共3个解. 故选：B. 【点睛】本题考查了换元法解方程，数形结合思想，和方程思想，不需要解出方程的根具体值，是中档题.二、填空题 11．集合{}21A y y x==+，集合{}22B x y x x==-+，则A B =______，A B =______．【答案】[0,)+∞ [1,2]【解析】求出集合,A B ，直接求它们的交集和并集即可. 【详解】解：由题{}21[1,)A y y x ==+=+∞，{{}220[0,2]B x y x x x ===-+≥=则[0,)A B =+∞，[1,2]A B =，故答案为：[0,)+∞；[1,2]. 【点睛】本题考查集合的交集，并集运算，要注意集合中的研究对象的具体意义，是基础题.12．若函数()y f x =的定义域为[]2,3-，值域为[]1,2，则函数()1y f x =-的定义域为______，值域为______．【答案】[]1,4- []1,2【解析】()1y f x =-可看做由()y f x =的图象向右平移了1个单位，结合已知即可求解函数的定义域及值域. 【详解】解：()1y f x =-可看做由()y f x =的图象向右平移了1个单位， ∵()y f x =的定义域为[]2,3-，值域为[]1,2， ∴()1y f x =-的定义域为[]1,4-，值域为[]1,2. 故答案为：[]1,4-；[]1,2. 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及值域的求解，解题的关键是灵活利用函数的图象的平移，是基础题. 13．已知函数()()212log 43f x x x =-+-，则函数的单调递增区间是______，值域为______． 【答案】[2,3)[0,)+∞【解析】令2430t x x =-+->，求得函数的定义域，根据()12log f x t=在其定义域内为单调减函数，求函数()()212log 43f x x x =-+-的单调递增区间转化为求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的值域求整个函数的值域. 【详解】解：令2430t x x =-+->，可得13x <<，故函数的定义域为()1,3.因为()12log f x t =在其定义域内为单调减函数， 故求243t x x =-+-在定义域内的减区间，又函数t 在定义域内的减区间为[2,3)， 所以函数()()212log 43f x x x =-+-的单调递增区间为[2,3)，当()1,3x ∈时，243(0,1]t x x =-+-∈，则()12log [0,)f x t =∈+∞， 即函数()()212log 43f x x x =-+-的值域为[0,)+∞.故答案为：[2,3)；[0,)+∞. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查. 14．函数()()1log 2a f x x =++（0a >且1a ≠）图象恒过定点A ，则点A 的坐标为______；若3322f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(1,1)-1(0,)(1,)4+∞【解析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，对数函数的性质，分类讨论，求得a 的范围. 【详解】解：∵函数()()1log 2a f x x =++（0a >且1a ≠）图象恒过定点A ，令21x +=，求得1x =-，()11f -=，可得它的图象经过定点(1,1)-. 当01a <<时，函数()f x 为减函数， 若3322f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则331log (2)22a +-+<，即11log 22a <，即12<，求得104a <<. 当1a >时，函数()f x 为增函数， 若3322f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则331log (2)22a +-+<，即11log 22a<，即12>，求得14a >，又1a >，∴1a >综上，实数a 的取值范围为1(0,)(1,)4+∞.故答案为：(1,1)-；1(0,)(1,)4+∞.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和恒过定点问题，考查了计算能力，属于基础题.15．若()f x 是定义在实数集上的偶函数，且()()5f x f x +=-，当()5,7.5x ∈时，()1f x x =，则()2019f 的值等于______． 【答案】16-【解析】根据题意，由()()5f x f x +=-分析可得()()105()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为10的周期函数，再结合函数的奇偶性以及题中的解析式可求得()2019f 的值. 【详解】解：根据题意，()f x 满足()()5f x f x +=-，则有()()105()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为10的周期函数， 则有(2019)(12020)(1)f f f =-+=-，又由()f x 为偶函数，则(1)(1)f f -=， 当()5,7.5x ∈时，()1f x x=且()()5f x f x +=-， 则1(1)(6)6f f =-=-； 故答案为：16-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于中档题. 16．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______． 【答案】{|2m m >或2}3m <-【解析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】 解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意.当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m---，且24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.17．已知a R ∈，函数()()3,f x ax x x R =-∈对任意4,03t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()223f t f t +-≥恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】14,,63⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】根据()()223f t f t +-≥恒成立，可得(24364)3a t t ++≥或()223643a t t ++≤恒成立，然后分0a >和0a ≤两种情况求出a 的范围. 【详解】解：∵()3,f x ax x =-，()2|(2)()||23642|f t f t a t t ∴+-=++-，∵()()223f t f t +-≥恒成立， ∴(24364)3a t t ++≥或()223643a t t ++≤恒成立. 当0a >时，243643t t a++≥或223643t t a++≤恒成立，∴只需()2min 43643t t a ≤++或()2max 23643t t a ≥++.∵函数2243643(1)1,,03y t t t t ⎡⎤=++=++∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当1t =-时，min 1y =；当0t =时，max 4y =，413a ∴≤或243a ≥，43a ∴≥或16a ≤，又0a >，43a ∴≥或106a <≤； 当0a ≤时，()222(2)()|23642|23(1)1123f t f t a t t a t ⎡⎤+-=++-=++-≥>⎣⎦， ∴0a ≤时，()()223f t f t +-≥恒成立.综上，a 的取值范围为14,,63⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：14,,63⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数恒成立问题和二次函数求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题.三、解答题18．（1）已知53a =，54b =，用a ，b 表示25log 36．（2）求值()7112log 4221167log 744π⎛⎫--++ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）2b a +；（2）1.5【解析】（1）指对互化，带入化简；（2）利用指数对数的运算性质求解. 【详解】解：（1）53a =，54b =，得55log 3,og 4l a b ==，22555555521log 36log log 6log 3log 2log 3log 2264b a ∴===+=+=+；（2）原式12222551log 22122 2.51 1.542-⎛⎫=-++=--+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考察指数与对数运算性质，是基础题.19．已知集合()2{|121},{|0}A x a x a a R B x x x =-<<+∈=-<， （1）若R 1,A B A (C B)a =⋃⋂求，;（2）若A B ⋂=φ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）12a ≤-或2a ≥ 【解析】（1）把1a =代入集合A ，求解一元二次不等式化简B ，再由交、并、补集的运算得答案；（2）分为A =∅和A ≠∅两类分析，当A ≠∅时，列关于a 的不等式组求解． 【详解】 解：（1）当（2）若，求实数a 的取值范围．①当A=时，有； ②当A 时，有 又∵，则有或，解得：或∴或综上可知：或． 【点睛】本题考查交集及其运算以及子集的概念，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题. 20．已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数．（1）求k 的值； （2）若函数()()[]112421,1,1f x xx g x m x ++=+⋅+∈-，是否存在实数m使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值， 不存在，请说明理由．【答案】（1）12k =-；（2）存在，2m =-【解析】（1）利用偶函数的定义建立方程()()f x f x -=进行求解即可.（2）求出函数()g x 的表达式，利用换元法转化为一元二次函数，利用对称轴与区间的位置关系进行讨论，建立方程关系进行求解判断即可. 【详解】解：（1）∵()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数.∴()()f x f x -=，则()()44log 41log 41xx kx kx --++=++，即()4414log 2log 414xx x kx +=++，即()()444log 41log 42log 41xx x kx +-=++，得2x kx -=，得21k =-， 得12k =-； （2）()41()log 4112()4214221x f x xx x g x m m +++=+⋅+=+⋅+()22222,[1,1]xx m x =+⋅+∈-，设2x t =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()g x 等价为2()22h t t mt =++，则对称轴为t m =-， 若12m -<，即12m >-时， 函数()h t 的最小值为11()2024h m =++=，得94m =-不成立， 若2m ->，即2m <-时，函数()h t 的最小值为(2)4420h m =++=，得32m =-不成立， 若122m ≤-≤时，即122m -≤≤-时， 函数()h t 的最小值为2()20h m m -=-+=，得m =综上存在m =使得()g x 的最小值为0.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值的求解，利用偶函数的定义以及换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.21．已知二次函数()f x 满足()02f =，()()12f x f x x +-=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()0f x mx -≥在[]1,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）若方程()2f x tx t =+在区间()1,2-内恰有一解，求实数t 的取值范围．【答案】（1）2()2f x x x =-+；（2）2m ≤；（3）5t =或14t ≤<【解析】（1）由待定系数法求二次函数的解析式； （2）分离变量求最值，（3）分离变量，根据函数的单调性求实数t 的取值范围即可. 【详解】解：（1）因为()f x 为二次函数，所以设2()f x ax bx c =++， 因为(0)2f =，所以2c =，因为(1)()2f x f x x +-=，所以22ax a b x ++=，解得1,1a b ==-， 所以2()2f x x x =-+；（2）因为()0f x mx -≥在[]1,2上有解，所以22mx x x ≤-+， 又因为[1,2]x ∈，所以max 21m x x ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，因为2212212x x+-≤+-=， 2m ∴≤；（3）因为方程()2f x tx t =+在区间()1,2-内恰有一解，所以22(2)x x t x -+=+，因为(1,2)x ∈-，令2(1,4),m x =+∈则()()2222tm m m ---+=，即258tm m m =-+85t m m∴=+-， 又8()5g m m m=+-在单调递减，在4)单调递增， (1)1854g =+-=，8(4)4541g =+-=，55g =-=，所以5t =或14t ≤<.【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，关键是参变分离将有解问题或有一个解的问题转化为最值问题，属于中档题.22．已知函数()()211f x x ax a R =---∈．（1）若关于x 的方程()210f x x ++=在区间(]0,2上有两个不同的解1x ，2x ． ①求a 的取值范围； ②若12x x <，求1211+x x 的取值范围；（2）设函数()f x 在区间上[]0,2的最小值()m a ，求()m a 的表达式．【答案】（1）①71,2⎛⎤⎥⎝⎦；②(2,4]；（2）20,11,12()2,24422,4a a a m a a a a a ≤-⎧⎪---<<⎪⎪=⎨--≤<⎪⎪-≥⎪⎩ 【解析】（1）①求得的分段函数1,01112,12x xa x x x x x x ⎧<≤⎪⎪=-+=⎨⎪-<≤⎪⎩作出函数1,0112,12x xy x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩的图象，求出最值，即可得到所求a的范围；②由①消去a ，可得212112(2,4]x x x +=∈；（2）求得222,12(),01x ax x f x x ax x ⎧--<≤=⎨--≤≤⎩，对a 讨论，当4a ≥时，当24a ≤<时，当02a ≤<时，当20a -<<时，当2a ≤-时，讨论单调性，可得()m a ，即可得到所求()m a 的解析式.【详解】解：（1）①因为()210f x x++=，即221110x ax x ---++=，则1,01112,12x xa x x x x x x ⎧<≤⎪⎪=-+=⎨⎪-<≤⎪⎩，作出函数1,0112,12x xy x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩的图象如图，y 的最小值为1，当x (1,2]∈时，y 有最大值17422-=，又因为关于x 的方程()210f x x ++=在区间(]0,2有两个不同的解1x ，2x ，故a 的取值范围是71,2⎛⎤⎥⎝⎦；②因为12x x <，所以1(0,1]x ∈，2(1,2]x ∈，且有212112a x x x ==-， 即有212112(2,4]x x x +=∈； （2）由题得222,12(),01x ax x f x x ax x ⎧--<≤=⎨--≤≤⎩， 当4a ≥时，有0,222a a -<≥，则()f x 在[0，2]上为减函数， 则()(2)22m a f a ==-；当24a ≤<时，有0,1222a a -<≤<，()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在,22a ⎤⎛ ⎥⎝⎦上为增函数， 此时2()224a a m a f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； 当02a ≤<时，有0,0122a a -<≤<，()f x 在[0,1]上为减函数，在(1,2]上为增函数，此时()(1)1m a f a ==--，当20a -<<时，有01,022a a <-<<，()f x 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,12a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上为减函数，在(1,2]上为增函数， 此时{}1,10()min (0),(1)0,21a a m a f f a ---<<⎧==⎨-<≤-⎩， 当2a ≤-时，有1,022a a-≥<，则()f x 在[0,2]上为增函数， 则()(0)0m a f ==，综上20,11,12()2,24422,4a a a m a a a a a ≤-⎧⎪---<<⎪⎪=⎨--≤<⎪⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查分段函数的运用：求取值范围和最值，注意运用绝对值的意义和分类讨论数形结合的思想方法，同时考查函数的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题.。