河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ理科数学试卷及答案
故选 C.
选 B.
3.A
【解 析】 由f(-x)=2(--xx+2)3x
-x3 =2x +2-x
= -f(x),
10.C 【解析】 设CD=1,则 DE=CH =sinθ,CE=cosθ, 所 以 S正方形ABCD =1,S正方形EFGH = (cosθ-sinθ)2 =1-
知f(x)为
奇
பைடு நூலகம்
函
数
,排
除
一、选择题:本题共12小题,每小题 5 分,共 60 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 项 是 符
合题目要求的.
1.已
知i为
虚数
单位
,复 数1+ai是 纯 2-i
虚
数 ,则
实数a
等于
A.2
1 B.2
C.-2
1 D.- 2
{ } 2.已知集合 A= x 1x-+23x<0 ,则∁RA=
2.C
【解
析】
因
为1-2x x+3
<0⇔
(2x-1)(x+3)>0,所
以
2+1.该几何体的表 面 积 =2π(2+1)2 -4π+2×4π+ 2π(2+1)×1=(12+6 2)π.故选 D.
{ } { } A=
x
x>
1 2
或x<-3
,所 以 ∁RA =
x
1 -3≤x≤ 2
.9.B
【解析】 由于两 圆 相 交 的 充 要 条 件 为 3<r<7,故
10.2002年8月在北京召 开 的 第 24 届 国 际 数 学 家 大 会 会 标 图 案 如 图 所 示,
其中四边 形 ABCD 和EFGH 都 是 正 方 形,设 ∠DCE =θ.若 随 机 往 正 方
形 ABCD 区域内投点,则这些点落在正方形 EFGH 区域内的概率为
A.sin2θ
B.sin2θ
A.2
B.3
C.4
D.6
7.在△ABC 中,O 是△ABC 的重心,设BA→=a,B→C=b,则AO→=
A.- 53a+ 13b
B.13a+ 13b
C.23a+ 23b
D.- 23a+ 13b
8.一几何体的三视 图 如 图 所 示,根 据 图 中 数 据,可 得 该 几 何 体
的表面积是
A.2(8+3 2)π
方式总数是
.
{ 16.已 知 f(x)为 定 义 在
R
上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=
2x -1,0≤x<1, 若 |x-3|-1,x≥1.
函
数
g(x)=
f(x)-a(0<a<1)的
所有
零点
之
和为
1 ,则 2
实数a
的值
为
.
三 、解 答 题 :共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .第 17~21 题 为 必 考 题 ,每 个 试
焦点F2? 若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 21.(12 分 )
已知函数f(x)=excosx,x∈ êêéë0,2π úúùû . (1)求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ; (2)若不等式f(x)≤ax+1恒成立,试求正实数a 的取值范围. ( 二 ) 选 考 题 : 共 10 分 .请 考 生 在 第 22,23 题 中 任 选 一 题 作 答 .如 果 多 做 ,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 , 作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑. 22.[选 修 4-4:坐 标 系 与 参 数 方 程 ](10 分 )
A.[1,2]
B.[1,5]
C.[2,3]
D.[3,5]
二 、填 空 题 :本 题 共 4 小 题 ,每 小 题 5 分 ,共 20 分 .
ìïïx+y≤5,
13.已知实数x,y 满足约束条件 í3x-2y≥0, 则z=3x+y 的最小值为
.
îïïx-2y+1≤0,
理科数学试题 第2页(共4页)
14.已知数列{an}的前n 项和为Sn ,且2Sn =3an +1,则an =
(1)试 估 计 该 高 中 参 加 2018 年 高 考 的 1000 名 考 生 的 平 均 分 数 与 全 市 平 均 分 数 的 高 低 情 况 ; (2)请 估 计 全 市 分 数 不 低 于 550 分 的 考 生 人 数 ;
(3)若
该高
中
不低
于 650
分的
考生
中
女生
所占
比
例为
2 5
,现
.
15.已 知 甲 、乙 、丙 、丁 4 人 同 时 到 5 个 不 同 的 地 区 参 加 扶 贫 活 动 ,若 每 个 地 区 最 多 有 2 人 参 加 (2
人 到 同 一 个 地 区 ,不 区 分 2 人 在 其 中 的 角 色 ),则 甲 、乙 、丙 、丁 4 人 参 加 扶 贫 活 动 的 不 同 安 排
C.1-sin2θ
D.1-cos2θ
11.已知双曲线 C:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的 一 条 渐 近 线 被 圆 M :x2+ (y-b)2=a2 截 得 的 弦
长为a,过 C
的 右 焦 点F(c,0)且 斜 率 为 -
3的 3
直 线l
与 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A ,B
理科数学试题 第3页(共4页)
理科数学试题 第4页(共4页)
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试
·理科数学·
参考答案及解析
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试 · 理 科 数 学
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
两 点 ,O
为坐标原点.若△OAB 的面积为 23,则a+b=
A.1+ 3
B.2+ 3
C.2(3+1)
3 2+ 6 D. 6
12.在正方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 N 是 棱BC 的 中 点,点 M 在 四 边 形DCC1D1 内部运动(包括边界).设直线 A1D1 与 直 线 MN 所 成 的 角 为θ,则当 MN ∥平面 BB1D1D 时,tanθ 的取值范围为
一 、选 择 题
B→C)= -
2 3a+
13b.故 选
D.
1.A
【解 析
】
因为12+-aii=
(1+ai5)(2+i)=
(2-a)+(2a+1)i 5
8.D
【解析】 由三视图可知,该几何体 是 一 圆 柱 从 上 面 挖
为纯虚数,所以a=2.故选 A.
去 四个半球,半球的半径是1,圆柱的高是1,底面半径是
计
划
从
不
低
于
650
分
的
考
生
中
随
机挑选3人为高二年级的学生作学习经验报告,试求女生被选到的人数 X 的分布列及数
学期望.
附 :425×0.0018+475×0.0034+525×0.008+575×0.0064+625×0.0002+675×0.0002=
10.52;若ξ~N (μ,σ2),则 P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545, P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973. 20.(12 分 )
18.(12 分 )
如图,四边形 ABCD 为 菱 形,PD ⊥ 平 面 ABCD ,M ,N 分 别 是
PC,PA 的中点,AB=2,PD =a,∠DAB=60°.
(1)求证:MN ⊥平面 PBD .
(2)若 直 线 BM
与 平 面 PAD 所 成 角 的 余 弦 值 为
13,求 4
a
的值. 19.(12 分 )
B.4(3+2 2)π
C.2(2+3 2)π
D.6(2+ 2)π
9.已知圆 O1:x2+y2=4,圆 O2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r> 0),则“2<r<7”是“圆 O1 与圆 O2 相交”的
A.充 分 不 必 要 条 件
B.必 要 不 充 分 条 件
C.充 要 条 件
D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
C.-4
D.-5
5.设函数f(x)=ex -e-x +3,则 曲 线y=f(x)在 x=0 处 的 切 线 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面
积为
A.9
3 B.2
河北省衡水中学2019届高三下学期全国统一联合考试(3月)数学(理)试题
全国高三统一联合考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.A B UB.A B IC.()U C A B ID.()U C A B U2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( ) A.4B.5C.6D.74.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是( )33B.6πC.9π435.设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，若12120AF F =∠°，则该双曲线的离心率是( ) 233131+6.若函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，则a 和θ的值是( )A.1a =，3πθ=B.1a =-，3πθ=C .1a =，6πθ=D.1a =-，6πθ=7.已知函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，则b c -的值是( ) A.4-B.4C.2-D.28.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A.3B.4C.5D.610.已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅u u u r u u u r的值是( )A.12B.12-C.32-D.3 11.设函数()f x 定义如下表： x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )A.4B.5C.2D.312.已知异面直线a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，若动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，则线段PQ 的中点M 的轨迹所围成的平面区域的面积是( ) A.2B.4C.8D.12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________.14.若实数x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+取得最大值时对应的最优解是____________.15.已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，5cos A =，10cos B =，2c =，则a =____________.16.已知函数()xxf x e =，关于x 的方程()()220f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当2211e c e -<<时，方程有2个实根；④当221e c e -<时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列{}n a 满足()*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D .(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值. 19.最近，在“我是演说家”第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进行了统计，数据见下表：根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都精确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线$y x aβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µβ=µy x β-. ②参考数据：20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为(1)求椭圆E 的离心率；(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，若点P 在射线QM 上，且满足2QM QN QP ⋅=u u u u r u u u r u u u r ，求点P 的横坐标0x 的取值范围.21.已知函数()ln f x x =.(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.(2)若曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公共点，求实数a 的取值范围.22.已知圆C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与极点重合，x 轴的正半轴与极轴重合. (1)求圆C 的标准方程和它的一个参数方程； (2)设(),P x y 是圆C 上的任意一点，求xy 的最大值. 23.已知函数()1f x x x =+-. (1)解不等式()3f x ≥；(2)若()()2f x f y +≤，求x y +的取值范围.。
河北衡水中学2019—2020学年高三年级下学期第二次质检考试数学试题(理)
河北衡水中学2019—2020学年高三年级下学期第二次质检考试数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1.已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{y|y＝2x+3}，则A∪B＝（）A．[3，4）B．（﹣1，+∞）C．（3，4）D．（3，+∞）2.已知复数z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A. B. C. D.4.设1tan2α=，4cos(π)((0,π))5ββ+=-∈，则tan(2)αβ-的值为（）A．724-B．524-C．524D．7245.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（） A.22n n-B.212n -C.212n(-)D.22n6.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为4的正方形，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝（4x+4﹣x）|x| B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|C．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x ）|x |8.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”。
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ数学(理)试题答案
D;当x>0
时
,f(x)=2x
x3 +2-x
>
sin2θ,所 以
P S = 正 方 形EFGH S正 方 形ABCD
=1-sin2θ.故 选
C.
0,排
除
B;由
f
(4)=
24
43 +2-4
26 > 2×24
=2,f (8)=
83 28 +2-8
29 <28
=2,得 f(4)>f(8),排 除
C.故
选
A.
12 6+12=
2 3
,所
以
p=4.故
选
C.
7.D
【解
析】
由题意得A→O=
1 3
(A→B+A→C)=
1 3
(-2B→A +
连接 MC,显然 NC⊥MC.令 正 方 体 的 棱 长 为 2,PM = x,x∈[0,2],则 MC= x2+1,又CN=1,所以tanθ=
x2+1,所以tanθ∈[1,5].故选 B.
当n≥2
时
,an
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试
·理科数学·
参考答案及解析
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试 · 理 科 数 学
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
2019届河北省衡水市高三二模数学(理)试卷及解析
2019届河北省衡水市高三二模数学（理）试卷一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =（ ）A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞， 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集。
【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，则有{}|2A B x x ⋃=≥-，故选D 。
2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1 C. i D. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可. 【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1， 故选A.3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误； 对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误； 对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.4.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =（）A. 43AD BE+ B.53AD BE+C. 4132AD BE+ D.5132AD BE+【答案】B【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE=-=+=++=++=+．故选：B．5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数S为（）A. 120B. 84C. 56D. 28 【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.6.某人在微信群中发一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ）A. 13B.827 C. 37D.518【答案】B 【解析】 【分析】利用隔板法得到共计有n 27C ==21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果． 【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n 27C ==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1） “甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m ＝2+3+2+1＝6， ∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p 821=． 故选B ．7.以双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于P Q ，两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是（ ）C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长PQ =，即可求出结果. 【详解】因为以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x轴相切于C 的一个焦点F ，所以MF x ⊥轴；不妨令M 在第一象限，所以易得2b M c a ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2b r a =；取PQ 中点N ，连结MN ，则MN 垂直且平分PQ ，所以MQ ==；又MQ r =，所以2b a =222ac =220e --=，解得e =故答案为A8.在斜ABC ∆中，设解 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin sin 4sin a A b B c C b B +-=cos C ，若CD 是角C 的角平分线，且CD b =，则cos C =（ ）A. 34B. 18C.23 D. 16【答案】B 【解析】 【分析】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，可得22224cos ,a b c b C +-= 结合余弦定理可得2,a b = 又CD 是角C 的角平分线，且CD b =，结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得cos2C的值，则cos C 可求. 【详解】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，根据正弦定理可得22224cos ,a b c b C +-=又由余弦定理可得2222cos ,a b c ab C +-=故24,a b =即2,a b =结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得()22222222cos54cos 22C CBD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=- ， 222222cos 22cos 22C CAD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-，由2224BD AD BD AD =⇒= ，可得2222354cos 88cos ,cos ,2224C C C b b b b -=-∴=故2231cos 2cos 121,248C C ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭故选B.9.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A. {B. {C. {D.{【答案】B【分析】将三视图还原成四棱柱即可得解.【详解】该几何体是四棱柱，底面是边长为1, 故选B.【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟 【答案】A【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y N sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y N sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32， k=0，1，2，3．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）． 故选：A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π；；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为5. A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】根据点M 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出,a b 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④.【详解】①点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r =，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为==，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,代入可得21241b -=，解得2,2bb a=∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)4代入可得242p =，解得p =∴抛物线中焦点到准线的距离p ，④不正确， 故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.设使直线y ax =与曲线()sin ln 4x x x f π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点的a 的取值范围为集合A ，则（ ）A. ()1A ⊆-∞，B. ()1A+∞≠∅，C. ()1A ⊆+∞，D. ()1R A ⋃+∞=， 【答案】A 【解析】 【分析】设公共点(),s t ，可得πsin ln 1ln 4s ss a s s ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤，通过构造函数()1ln g s s s =+-，求导分析单调性可得1ln 1ss+≤，从而得1a <. 【详解】设直线y a x =与曲线()πs i n l n4fx x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭有公共点(),s t ,则πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤, 设()1ln g s s s =+-,则()111sg s s s-=-=' ,所以()g s 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数, 所以()()10g s g ≤=,1+ln s s ≤，又0s >，所以1ln 1ss+≤， 当1s =时，πsin ln 1ln 41s ss s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭<=,所以1a <,故选A. 二、填空题（把答案在答题纸的横线上）13.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】535 【解析】 【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号。
【100所名校】2019届衡水中学高三开学二调考试(数学理)(解析版)
2019届衡水中学高三开学二调考试（数学理)数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是 A ．11x -<≤ B ．1x ≤ C ．1x >- D ．11x -<< 2．曲线()3323f x x =-+在1x =处的切线倾斜角是 A ． 16π B ． 13π C ． 56π D ． 23π3．下列命题中的假命题是A ． ∀x >0,3x >2xB ． ∀x ∈(0,+∞),e x >1+xC ． ∃x 0∈(0,+∞),x 0<sinx 0D ． ∃x 0∈R,lgx 0<0 4．设函数f(x)={22x−1+3,x ≤01−log 2x,x >0，若f(a)=4，则实数a 的值为A ． 12B ． 18C ． 12或18D ．1165．设m 、n R ∈，已知log 2a m =， log 2b n =，且22a b +=（1a >， 1b >），则m nmn+的最大值是 A ． 1 B ． 2 C ． 22 D ． 126．已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则()()12f x f x -≤的解集为A ． 21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ． 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ． []1,1- D ． 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x ∈[0,1]时，f(x)=-2x+1，设函数g(x)=(12)|x−1|(−1<x <3)，则函数f(x)与g(x)的图象交点个数为A ． 3B ． 4C ． 5D ． 68．已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0,+∞)都有f(f(x)−x 3)=2，则方程f(x)−f ′(x)=2的一个根所在的区间是A ． （0,1）B ． （1,2）C ． （2,3）D ． （3,4）9．若函数()122log (0)x x f x e x a a -=+->在区间()0,2内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为A ． 22,2e⎛⎫⎪⎝⎭B ． (]0,2C ．222,2e +⎛⎤ ⎥⎝⎦D ． 34242,2e +⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知函数f(x)=a x +xlnx ，g(x)=x 3−x 2−5，若对任意的x 1，x 2∈[12,2]，都有f(x 1)−g(x 2)≥2成立，则实数a 的取值范围是A ． [1,+∞)B ． (0,+∞)C ． (−∞,0)D ． (−∞,−1] 11．f(x)=x 2+bx +c ，若方程f(x)=x 无实根，则方程f(f(x))=x( )A ． 有四个相异实根B ． 有两个相异实根C ． 有一个实根D ． 无实数根 12．已知函数f(x)=e x−1+e 1−x ，则满足f(x −1)<e +e −1的x 的取值范围是 A ． 1<x<3 B ． 0<x<2 C ． 0<x<e D ． 1<x<e二、填空题13．已知命题p:∀x ∈R,x 2+1>m ；命题q:f(x)=(3−m)x 是增函数.若“p ∧q ”为假命题且“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为_______.14．()1201d x x x -+=⎰__________.15．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝()21,0{ 1,0k x x x x +<+≥有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号16．已知0,0,k b >>且()ln 2kx b x +≥+对任意的2x >-恒成立，则bk的最小值为_____．三、解答题 17．已知函数f(x)=(1−2x)(a+4x)3x是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）若函数f(x)在区间[1m ,1n ](m >n >1)上的值域为[n −2,m −2]，求m ，n 的值. 18．已知函数f(x)=2x 3−3x . （1）求f(x)在区间[-2,1]上的最大值；（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t 的取值范围. 19．已知函数f(x)=1x +alnx ，其中a ∈R.（1）若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a 的值； （2）在（1）的结论下，若关于x 的不等式f(x +1)>x 2+(t+2)x+t+2x 2+3x+2(t ∈N ∗)，当x≥1时恒成立，求t 的值.20．已知函数f(x)=12x 2−ax +(a −1)lnx ，a >1. （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：若a <5，则对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>−1.21．已知函数()22ln f x x x mx =+-（m R ∈）．（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若1752m <<，且()f x 有两个极值点1x ， 2x （12x x <），求()()12f x f x -取值范围．22．设函数f(x)=x +a(e 2x −3e x +2)，其中a ∈R. （1）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； （2）若∀x >0,f(x)≥0成立，求a 的取值范围.2019届衡水中学高三开学二调考试（数学理)数学 答 案参考答案 1．D 【解析】试题分析：“x A ∈且x B ∉”是由集合A 中去掉属于集合B 的元素剩下的元素所组成，即{|x x A ∈且x B ∉}＝{|11}x x -<<，选D ．考点：集合的定义，充要条件． 2．D【解析】对函数求导则()2'f x =，则()'1k f ==2π3．故本题答案选D ．3．C 【解析】 【分析】利用指数函数的性质判断A ，B 的正误；对数函数的性质判断D 的正误； 【详解】当x ∈（0，+∞）时，3x ＞2x 成立，A 为真；设f （x ）=e x -1-x ，∵∀x ∈（0，+∞），∴f′（x ）=e x -1＞0，∴函数f （x ）在x ∈（0，+∞）上是增函数，∴∀x ∈（0，+∞），有f （x ）＞f （0）=0，即e x ＞1+x ，B 为真；D. ∃x 0∈R,lgx 0<0显然为真，故选C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，理解命题的概念是判断命题真假的关键，突出导数的考察，属于中档题．4．B【解析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.详解：因为f (a )=4，所以{22a−1+3=4a ≤0或{1−log 2a =4a >0 所以{a =12a ≤0或{a =18a >0∴a =18 选B.点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.5．A 【解析】1,1,log 2,log 2,0,0a b a b m n m n >>==∴>>，11m n mn m n+=+= 11log 2log 2a b + ()2222222log log log log log 122a b a b ab ⎛+⎛⎫=+=≤== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b == A.6．B 【解析】()f x 是定义在[]21b b -+，上的偶函数，()()210b b ∴-++=，即10b -+=， 1b =则函数的定义域为[]22-，函数在[]20-，上为增函数，()()12f x f x -≤故12x x -≥两边同时平方解得113x -≤≤， 故选B 7．B 【解析】 【分析】根据f （x ）的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点的个数． 【详解】：∵f （x+1）=-f （x ）， ∴f （x+2）=-f （x+1）=f （x ），∴f （x ）的周期为2． ∴f （1-x ）=f （x-1）=f （x+1）， 故f （x ）的图象关于直线x=1对称．又g(x)=(12)|x−1|(−1<x <3)的图象关于直线x=1对称，作出f （x ）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（-1，3）上共有4个交点， 故选B. 【点睛】本题考查了函数图象变换，属于中档题． 8．D 【解析】 【分析】由题意，可知f （x ）-x 3是定值令t=f （x ）-x 3，得出f （x ）=x 3+t ，再由f （t ）=t 3+t=2求出t 的值即可得出f （x ）的表达式，求出函数的导数，即可求出f （x ）-f′（x ）=2的解所在的区间选出正确选项【详解】由题意，可知f （x ）-x 3是定值，不妨令t=f （x ）-x 3，则f （x ）=x 3+t 又f （t ）=t 3+t=2，整理得（t-1）（t 2+t+2）=0，解得t=1 所以有f （x ）=x 3+1所以f （x ）-f′（x ）=x 3+1-3x 2=2，令F （x ）=x 3-3x 2-1可得F （3）=-1＜0，F （4）=8＞0，即F （x ）=x 3-3x 2-1零点在区间（3，4）内 所以f （x ）-f′（x ）=2的解所在的区间是（3，4） 故选：D ．【点睛】本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f （x ）-x 3是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度9．D【解析】当2a =时, ()11220x x f x e x x e --=+-=>在定义域上没有零点,故排除,A B 两个选项.当22a =时, ()11242x x f x ex x e x --=+-=-,令()120x f x e --'==,解得ln212x =+<,故函数在()0,ln21+上递减,在()ln21,2+上递增,而()()00,10f f ><, ()240f e =-<,所以在区间()0,2上至多有一个零点,不符合题意,排除C 选项.故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关函数零点的问题.由于本题是选择题,故可以采用特殊值的解法来求解.首先观察题目所给的函数()f x ,这是一个由指数函数和对数函数组合而成的函数,关键点在于对数函数部分,再观察选项,发现可以利用22,2这两个数进行排除,分别令2,4a a ==,利用导数来验证函数在给定区间上是否有两个不同零点来排除选项.10．A 【解析】f (x )≥g (x )+2令ℎ(x )=g (x )+2=x 3−x 2−3，则ℎ′(x )=3x 2−2x ， 所以ℎ(x )在[12,23]单调递减，(23,2]单调递增，所以ℎ(x )max =max {ℎ(12),ℎ(2)}=ℎ(2)=1， 则f (x )=ax +xlnx ≥1,所以a ≥x −x 2lnx ，令φ(x )=x −x 2lnx ， 则φ′(x )=1−2xlnx −x ，φ′′(x )=−2lnx −3，则在区间[12,2]上，φ′′(x )=−2lnx −3<0，则φ′(x )单调递减， 又φ′(1)=0，所以φ(x )在(12,1)单调递增，(1,2)单调递减，所以φ(x )max =φ(1)=1， 所以a ≥1，故选A 。
2019届河北省衡水市高三下学期五月大联考数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届河北省衡水市高三下学期五月大联考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}|1M x x =≥，()122|2N x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，则集合M N =I （ ）A ．φB ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．[1,2]答案：C求出函数()1222y x x=-的定义域，表示出集合N ，得出M N ⋂.解：{0N x x =≤Q 或}2x ≥，[)2,M N ∴=+∞I .故选：C 点评：本题主要考查了集合的表示，集合的运算，属于基础题.解此题要理解集合N 表示函数()1222y x x =-的定义域.2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足：(1)23i z i -=-，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．2i -C ．12D ．52答案：A 通过运算得出5122z i =-，从而判定出的z 的虚部. 解：23(23)(1)12i i i z i --+==-5122i =-，故z 的虚部为12-. 故选：A 点评：本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.对复数的实部，虚部的正确理解是判断答案的关键.3．已知抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点F 在直线:4l x y +=上，则点F 到C 的准线的距离为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16答案：C由抛物线的方程判断出焦点在y 轴上，所以由直线方程求出焦点坐标()0,4，得到8p =，进而求出点F 到C 的准线的距离.解：在方程4x y +=中，令0x =，得4y =，即42p=，8p ∴=，则点F 到C 的准线的距离是8p =. 故选：C. 点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.4．如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是（ ）A ．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B ．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C ．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D ．2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减 答案：D结合统计图表，对答案选项逐一判断即可. 解：由图易知A ，B 正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C 正确；2018年1月至5月的同比数据均为正数，故2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D 错误. 故选：D 点评：本题主要考查统计图表的识别和判断，考查学生抽象概括能力和推理论证能力，属于基础题.5．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．C ．16D ．20答案：D代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC u u u r 的坐标，则2AC u u u r 可求.解：解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--u u u r u u u r ，(2,2)CA m =-u u u r， (4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-u u u r，241620AC ∴=+=u u u r .故选：D. 点评：考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题.6．已知函数()()3212x x a f x f '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为（ ）A ．20x y -=B ．0y =C ．10160x y --=D ．20x y -+=答案：C先求出()f x '，代入1x =算出()1f '，再由奇函数的性质得出()00f =，从而求得a 的值；然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线的方程. 解：()()2321f x x f ''=-，()()1321f f ''∴=-，即()11f '=，即()322x x a f x =-+-.又()f x 为奇函数，2a ∴=.()32x x f x =∴-，()232f x x '=-.(2)4f ∴=，(2)10f '=.由点斜式得曲线()y f x =在点(2,4)处的切线方程为10160x y --=. 故选：C. 点评：本题主要考查了导数的几何意义，导数的计算，函数的奇偶性，属于中档题. 曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线方程的方法： （1）求出()0f x '，则切线的斜率()0k f x '=；（2）直线的点斜式写出切线方程为：()()()000y f x f x x x '-=⋅-. 7．函数()f x 的图象可看作是将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）而得到的，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()12cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭答案：D由三角函数的图象变换规律得()2cos 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再由诱导公式得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解：将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到函数2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，而2cos 22sin 22sin 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D. 点评：本题主要考查了三角函数的图象变换，诱导公式，属于基础题.由函数sin y x =的图象通过变换得到()sin y A ωx φ=+的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.8．设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<答案：D 由()tan2xf x =得出()f x 在(),ππ-上单调递增，再由换底公式与对数函数，指数函数的单调性判断出0.2530log 2log 22π<<<<，从而得出b a c <<.解：()tan 2x f x =的最小正周期212T ππ==，与正切函数tan y x =类比可知，()f x 在(),ππ-上单调递增，321log 21log 3=<，521log 21log 5=<， 由221log 3log 5<<，得351log 2log 20>>>，而0.20221>=，且0.2122π<<， 于是得0.2530log 2log 22<<<，所以()()()0.253log 2log 22f f f <<，即b a c <<.故选：D.点评：本题主要考查了正切函数，指数函数，对数函数的单调性以及换底公式，考查了学生推理能力与计算能力，属于中档题.9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A、B两市代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（）A．6B．12C．16D．18答案：B按入住a宾馆的代表团的个数分类讨论.解：如果仅有A、B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22 326C A=安排种数，如果有A、B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c，此时共有12326C A=安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B.点评：本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．3πB．32πC．6πD．12π答案：A由三视图知，该几何体是一个正方体截去一角所得的几何体（如图），再由正方体的性质，计算出它的外接球的表面积.解：由三视图可知，该几何体是一棱长为1的正方体截去一角所得的几何体1111ABD A B C D-（如图所示），故其外接球即为该正方体的外接球，球的一条直径为13B D=，所以所求外接球的表面积2343Sππ⎛⎫==⎪⎪⎝⎭.故选：A.点评：本题主要考查几何体的三视图与球的表面积计算，属于基础题.11．已知坐标平面xOy中，点1F，2F分别为双曲线222:1xC ya-=（0a>）的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，2MF与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为2MF的中点，点I为2OMF△的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为（）A2B．3 C5D．5答案：C由题意得：直线OD垂直平分2MF，设点(),M m n，()2,0F c，则,22m c nD+⎛⎫⎪⎝⎭，可得方程组：122nam cn m ca⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⋅⎪⎩，求得212,a aMc c⎛⎫-⎪⎝⎭，将2222,a c aMc c⎛⎫-⎪⎝⎭代入双曲线方程得()2222222241a c aa c c--=，化简可得：5e=解：不妨设点M在第二象限，设(,)M m n，2(,0)F c，由D为2MF的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分2MF，则:1OD y xa=，故有n a m c =--，且1122m c n a +⋅=⋅，解得21a m c-=，2n a c =， 将212,a a M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2222,a c a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2222222241a c a a c c--=，化简可得225c a =，即e =M 在第三象限时，同理可得e =故选：C. 点评：本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线OD 垂直平分2MF ，并用a c ，表示出点M 的坐标是解决此题的难点，属于中档题. 12．当x 为实数时，trunc()x 表示不超过x 的最大整数，如trunc(3.1)3=.已知函数()trunc()f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，且[0,3]x ∈时()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7答案：C由题意分析得到：()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()g x 是周期为4的周期函数，正确作出()()f x g x ，的图象，将方程()()f x g x =的实根的个数问题转化为函数()()f x g x ，的图象交点个数问题，观察图象即得结果. 解：由()(6)g x g x =-，(1)(1)g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()(6)(2)g x g x g x =-=-，令2t x =-，则()(4)g t g t =+，即()g x 为周期函数，且最小正周期为4.对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =；当[1,2)x ∈时，()1f x =；当[2,3)x ∈时，()2f x =；当[3,4)x ∈时，()3f x =；当[4,5)x ∈时，()4f x =；…；。
2019年河北省衡水高三(下)二调数学试卷(理科)
2019年河北省衡水高三（下）二调数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{A k =∈N }N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =（ ）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,102. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π-6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C.1619D ．127.已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．158-B ．212- C.54-D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A．2π-．12-C.14D ．34π-9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．28+．36+C. 36+．44+10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A．21tan9π-- B．25tan922tan9ππ-C. 22tan9D．25tan 921tan9ππ-- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A．⎫⎪⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.⎛ ⎝D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知V ABC 中，若3=AB ，4=AC ，6⋅=uu u r uu u rAB AC ，则=BC ． 14．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件25,2,5.-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩x y x y x 则该校招聘的教师人数最多是 名． 15．若直线10x ay +-=与2430x y +-=平行，则51x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为 ．16.已知定义在()0,∞上的函数()f x 的导函数()f x '是连续不断的，若方程()0f x '=无解，且()0,x ∀∈+∞，()2015log 2017-=⎡⎤⎣⎦f f x x ，设()0.52=a f ，()4log 3b f =，()log 3c f π=，则,,a b c 的大小关系是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 是等差数列，且1a ，2a （12<a a ）分别为方程2650-+=x x 的二根.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）在（1）中，设=+n n S b n c ，求证：当12=-c 时，数列{}n b 是等差数列. 18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）.若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号.（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？ （2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望.19．如图，V ABC 为边长为2的正三角形，∥AE CD ，且⊥AE 平面ABC ，22==AE CD .（1）求证：平面⊥BDE 平面BCD ； （2）求二面角--D EC B 的高.20．已知椭圆C ：22221+=x y a b()＞＞a b c 的离心率为12，(),0A a ，()0,b b ，(),0-D a ，△ABD 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设(),o o P x y 是椭圆C 在第二象限的部分上的一点，且直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与 x 轴交于点N ，求四边形ABNM 的面积.21．已知函数()()ln 1=--f x x a x （1）求函数()f x 的极值；（2）当0a ≠时，过原点分别做曲线 ()y f x =与x y e =的切线1l ，2l ，若两切线的斜率互为倒数，求证：12＜＜a .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,θθ=⎧⎨=+⎩x y （θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos θθρ+=.（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求直线l 被圆C 所截得的弦长. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1=-f x x 12++-x . （1）求不等式()1≥f x 的解集；（2）若关于x 的不等式()22≥--f x a a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.2019年河北省衡水高三（下）二调数学试卷（理科）一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13．7 15．210 16．a c b >> 三、解答题17．解：（1）解方程2650-+=x x 得其二根分别为1和51a ，212()<a a a 分别为方程2650x x -+=的二根 所以11=a ，25=a ，所以{}n a 等差数列的公差为4()1142-∴=⋅+⋅n n n S n 22=-n n （2）当21-=c 时，==+n n S b n c 22212-=-n n n n 1+∴-=n n b b 2(1)22+-=n n所以{}n b 是以2为首项，公差为2的等差数列18．解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是101303= 所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人． 用事件A 表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，则()464101==C P A C 1513121014-=． 因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是1314（２）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．3831214(0)55ξ===C p C ， 124831228(1)55C C p C ξ===,214831212(2)55C C p C ξ===， 343121(3)55C p C ξ===， 因此，ξ的分布列如下：1428015555ξ∴=⨯+⨯E 1212315555+⨯+⨯= 19．解：(1)(1)如下图所示：取BD边的中点F ，BC 的中点为G ，连接AG ，FG ，EF ，由题意可知，FG 是BCD ∆的中位线所以∥FG AE 且=FG AE ，即四边形AEFG 为平行四边形， 所以∥AG EF由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，又EF ⊂面BDE ， 故平面⊥BDE 平面BCD(2)由2=AB ，1=AE 可知，BE =DE = 又2DC BC ==，EC 为△BEC ，△DEC 的公共边，知≅△△BEC DEC 过点在△BEC 内做BM EC ⊥，垂足为M ，连接DM ，则DM EC ⊥，所以DMB ∠为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC 中BE EC ==2BC =.由面积相等可知：5MB =，5MD =；BD =根据余弦定理222cos 2+-∠=⋅⋅MD MB BD DMB MD MB14= 所以二面角D EC B --20．解：（1）由题意得()22212122⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩c a a b a b c 2=a，=b 所以椭圆C 的方程为22143+=x y .（2）由（1）知，()2,0A，(B ，由题意可得12=⋅四边形ABNM S AN BM 因为00(,)P x y ，020-<<x,00<y ，22003412+=x y .所以直线PA 的方程为00(2)2=--y y x x 令0=x ，得0022=--M y y x .从而=MBMy 0022=-y x . 直线PB的方程为00=y y x x 令0=y，得=N x .从而2=-N ANx 2=+.所以⋅=ANBM 00222+-y x===12∴=⋅四边形ABNM S ANBM =21. 解：（1）1()f x a x'=-①若0a ≤时，1()f x a x'=-0> 所以函数()f x 在()0,+∞单调递增，故无极大值和极小值 ②若0>a ，由1()0'=-=f x a x 得1=x a， 所以1(0,)∈x a.函数()f x 单调递增，1()∈+∞，x a ，函数()f x 单调递减 故函数()f x 有极大值ln 1--a a ，无极小值.（2）设切线2l 的方程为2y k x =，切点为22(,)x y ，则22x y e =，2222x y k e x ==，所以21x =，2y e =，则22x k e e ==． 由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e==，1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111()'==-k f x a x 111==ye x ， 所以1111x y ax e ==-，111a x e=-． 又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e-+-= 令11()ln 1m x x x e =-+-，则22111)('xx x x x m -=-=， 所以()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 又0x 为()m x 的一个零点，所以①若1(0,1)x ∈，因为11()20m e e e =-+->，1(1)0m e =-<，所以11(,1)x e∈， 因为1111ln 10x x e -+-= 所以111=-a x e11ln =-x ，所以12a <<． ②若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0=m e ，则1=x e ， 所以11ln 0=-=a x （舍去）．综上可知，12<<a22．解：（1）圆C 的参数方程化为普通方程为 22(2)1+-=x y ，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，（2）圆心到直线的距离d ==， 故直线l 被圆C所截得的弦长为=23. 解：（1）原不等式等价于123≤-⎧⎨-≥⎩x x 或1123-<≤⎧⎨≥⎩x 或123>⎧⎨≥⎩x x 解得：32≤-x 或32≥x ， ∴不等式的解集为32⎧≤-⎨⎩x x 或32⎫≥⎬⎭x . （2）()|1||1|2=-++-f x x x |(1)(1)|20≥--+-=x x ，且()22≥--f x a a 在R 上恒成立， 220∴--≤a a ，解得12-≤≤a ， ∴实数a 的取值范围是12-≤≤a。
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考(理数)
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考数 学（理科）本试卷共4页，23题(含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，甩2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸莉答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}1|{≥=x x M ，})2(|{212x x y x N -==，则集合=N M I A ．φB ．),2(+∞C ．),2[+∞D ．]2,1[2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足：i 32)i 1(-=-z ，则z 的虚部为A ．21-B ．2i -C ．21D ．253．已知抛物线)0(22>=p py x C ：的焦点F 在直线4=+y x l ：上，则点F 到C 的准线的距离为A ．2B ．4C ．8D ．164．下图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是A ．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B ．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高 1152万吨C ．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D ．2018年1月－5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5．已知)2,1(A ，)3,2(B ，),1(m C -，若||||BC BA BC BA -=+，则=ACA ．6B ．52C ．16D ．206．已知函数2)1(2)(3-+'-=a f x x x f ，若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点))(,(a f a 处的切线方程为 A ．02=-y x B ．0=y C ．01610=--y x D ．02=+-y x 7．函数)(x f 的图象可看作是将函数x y cos 2=的图象向右平移6π个单位长度后，荐把图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变）而得到的，则函数)(x f 的解析式为 A ．)62cos(2)(π+=x x fB ．)32cos(2)(π+=x x fC ．)621cos(2)(π-=x x fD ．)32sin(2)(π+=x x f 8．设函数2tan )(x x f =，若)2o 1(3g f a =，)2lo (5g f b =，)2(2.0f c =，则A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c <<αD ．c a b <<9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开．会议期间，工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆住宿，规定同一个代表团的人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排方法种数为 A ．6 B ．12 C ．16 D ．18 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．π3B ．23πC ．π6D ．π1211．已知坐标平面xOy 中，点F 1，F 2分别为双曲线)0(1222>=-a y ax C ：的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，MF 2与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为MF 2的中点，点I 为△OMF 2的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为 A ．2B ．3C ．5D ．512．当x 为实数时，trunc(x )表示不超过x 的最大整数，如trunc(3，1)=3．已知函数)(trunc )(x x f = （其中R x ∈），函数)(x g 满足)6()(x g x g -=，)1()1(x g x g -=+，且]3,0[∈x 时|2|)(2x x x g -=，则方程)()(x g x f =的实根的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
衡水中学2019届高三二诊数学(理科)试题(解析版)
衡水中学2019届高三二诊数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后根据集合的交集的运算求出.【详解】解：B={x|-3＜x＜3},又∴A∩B={1}．故选：A．【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题.2.=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简.【详解】=，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3.已知，则tan2α=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由正切函数的倍角公式，代入求出答案即可.【详解】由正切函数倍角公式：故选B【点睛】本题主要考查了正切倍角公式，属于基础题.4.是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.【详解】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．考点：三视图．【此处有视频，请去附件查看】6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.7.在△ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是（）A. 4B. 3C.D. 5【答案】C【解析】解：在中，，平方整理可得，在方向上的投影是.点晴:平面向量的数量积的相关计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．8.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.9.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝a sin x+cos x（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sin x+a cos x＝sin x+cos x＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【详解】解：由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为，由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．故选：C．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题．11.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AB|＝|BF2|，可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，cos∠BF1F2＝＝，化简可得c4﹣10a2c2+13a4＝0，由e＝可得e4﹣10e2+13＝0，解得e2＝5+2，可得e＝，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用直角三角形中三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.已知函数，则满足恒成立的的取值个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，对a分类讨论，可知a≤0时不合题意，当a＞0时，f（x）的两个因式同正同负，则需在同一x处等0，则转化为﹣a2＝lna的根的个数求解．【详解】解：f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，当a＝0时，f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0化为e x•x≥0，则x≥0，与x∈R矛盾；当a＜0时，e x﹣a＞0，则x+a2≥0，得x≥﹣a2，与x∈R矛盾；当a＞0时，令f（x）＝0，得x＝lna或x＝﹣a2，要使f（x）≥0恒成立，则﹣a2＝lna，作出函数g（a）＝﹣a2与h（a）＝lna的图象如图：由图可知，a的取值个数为1个．故选：B．【点睛】本题考查恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论的思想，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中x2的系数为__________.（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝﹣2x+z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【详解】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝2x-z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越大，z越小，作直线2x-y ＝0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过的交点（2,0）时，z最大，代入z=2x-y=4 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题.15.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|P A|≥|AF|，再求出|AF|的值．【详解】解：∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|P A″|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|P A|≥|AF|＝．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.16.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可以得到b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．【详解】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bc sin A＝×2sin B×2sin（﹣B）×＝sin B（cos B+sin B）＝sin（2B﹣）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案为：（1，]．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设b n=log2a2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【详解】（1）证明：数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n，可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；n≥2时，2a n-1=2+S n-1，又2a n=2+S n，相减可得2a n-2a n-1=2+S n-2-S n-1=a n，即a n=2a n-1，可得数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得a n=2n，b n=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，数列{b n}的前n项和T n=（3+2n+1）n=n2+2n．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：（1）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（2）完善表中数据，并据此判断是否有的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（3）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为，求的期望．附：【答案】（1）；（2）有；（3）.【解析】【分析】（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.20，在区间[4，8）内的频率为0.36．可得该款电冰箱使用时间的中位数在区间[4，8内，根据条形图计算中位数的方法求解．（2）依题意，完善表中的数据，然后利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论．（3）使用时间不低于4年的频率．电冰箱的台数为X～B（3，），则可得出期望．【详解】解：（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4＝0.20，在区间[4，8）内的频率＝0.09×4＝0.36．∴该款电冰箱使用时间的中位数＝0.05×4+0.09×（x﹣4）＝0.5，解得x＝．（2）依题意，完善表中的数据如下所示：故K2＝≈243.06＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（3）使用时间不低于4年的频率＝1﹣4×0.05＝．∴电冰箱的台数为X～B（3，），∴X的期望E（X）＝3×＝．【点睛】本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．【详解】证明：（1）取AC的中点O，连结BO，DO，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，∴AC⊥DO，AC⊥BO，∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，∵BD⊂平面BOD，∴BD⊥AC．解：（2）∵CA＝AB，AB＝BC＝CD＝DA，∴OD＝OB＝，∴OD2+OB2＝＝BD2，∴，∵∠DOB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设A（0，﹣1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），∴＝（﹣，1，0），＝，＝（0，1，），设平面ABD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），设直线BC与平面ABD所成角为θ．则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sinθ＝.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知椭圆，点，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称性可知椭圆C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，代入点坐标可求出椭圆方程，（2）由直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2＝﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|，代值计算即可求出【详解】解：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为.（2）∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d＝r，可得，即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，同理：直线OQ：y＝k2x与圆M相切，可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2＝0，即k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，可得k1k2＝，∵点R（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴k1k2＝＝，设P（，P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|OP|＝•|x1|点Q到直线OP的距离d＝，∵|x1|＝，|x2|＝，∴△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|＝••，＝．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．21.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；（2）求证：时，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y＝0，求得横坐标x，由题意可得x ＞0，解不等式可得所求范围；（2）求得f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．【详解】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣e x+a的导数为f′（x）＝﹣e x+a．曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣e1+a，切点为（1，﹣e1+a），可得切线方程为y+e1+a＝（1﹣e1+a）（x﹣1），可令y＝0可得x＝，由题意可得＞0，可得e1+a＜1，解得a＜﹣1；（2）证明：f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．可得g′（x）＝﹣（+e x+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；由a＞1﹣，e x+a＞e x．若e x＞，g（x）＜﹣e x＜0，当0＜x＜1时，e x+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e﹣1﹣a，故当0＜x＜e﹣1﹣a时，g（x）＞0，即g（x）＝f′（x）有零点x0，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）≤f（x0），又f（x0）＝lnx0﹣e x0+a，又e x0+a＝，可得f（x0）＝lnx0﹣，在x0＞0递增，又a＝ln﹣x0＝﹣（lnx0+x0），a＞1﹣⇔﹣（lnx0+x0）＞1﹣＝﹣（ln+），所以lnx0+x0＜ln+，由于lnx0+x0递增，可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）＝﹣1﹣e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题．22.在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．【详解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.已知函数．（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先利用1的代换求最小值，再根据绝对值三角不等式求的最小值，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由得，则；当时，恒成立；当时，由得，则.综上，不等式的解集为（2）由题意，由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.由题意得，解得.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
河北省衡水中学2019年全国高三统一联合考试(理科)数学试题及答案
2019年全国高三统一联合考试理科数学一、选择题1．若集合A ＝{x|x ＜3}，{}2B =，则A∩B ＝A ．{x|x ＜3}B ．{x|0≤x ＜3}C ．{x|0＜x ＜3}D ．{x|x≤4} 2．已知i 为虚数单位，若a 为实数，且a ≠0, 则1i ia a -=+A ．a ＋iB ．a －iC ．iD ．－i3．如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm ，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为A ．3π×103cm 3B ．7π×103cm 3C ．9π×103cm 3D ．10π×103cm 3 4．已知ππ()22α∈-，，且cos2α＝2sin2α－1，则tanα＝A ．12- B ．12C ．－2D ．25．在25()y x x-的展开式中，xy 3的系数为 A ．20 B ．10 C ．－10 D ．－20 6．函数21()x xe f x xe +=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．摆线最早出现于公元1501年出版的C·包威尔的一本书中，摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r ，圆滚动的圈数为c ，摆线的长度为l ，执行如图所示程序框图，若输入的r ＝2，c ＝2，则输出摆线的长度为A ．12πB ．16πC ．32D ．968．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，b ＝2，c C ＝60°，则sinA 的值为A B ．7C D ．149．某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为P（X－k），则A．P（X＝4）＝P（X＝5）B．P（X＝4）＞P（X＝5）C．P（X＝5）＜P（X＝6）D．P（X＝5）＝P（X＝6）10．在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．现将△ADE 沿DE折起到△A′DE的位置，使得A B'=A′B与底面BCDE所成的正弦值为ABCD．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2－4a＜0）．当|AB|＋|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝A．1 B．43C．53D．212．已知函数ln(2)2()02ln(2)2x xf x xx x->⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，若f（x）≤|x－a|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[2，4] C．[1，2] D．[－1，1]二、填空题13．已知向量(21)a =-，，()32b =，，若()a b a λ+⊥，则实数λ＝_________． 14．函数f （x ）＝x 2－ln|x|的图象在点（－1，f （－1））处的切线方程为__________．15．将函数2π()2cos π13f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为g （x ），则g （x ）在区间[－1，1]上的所有零点的和为_______________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 交于A ，B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120°，则实数λ的值是____________．三、解答题 （一）必考题17．已知等比数列{a n }是递减数列，a 1a 4＝3，a 2＋a 3＝4． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝2n －2a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，四边形ABEF是直角＝梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2．（1）证明：CE∥平面ADF．（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，H为DF的中点，求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值．19．为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计．规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据；列联表判断是否有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考生，设抽到的3名学生中女生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的离心率为3，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，23AB=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点（1，0）且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB 最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x2e ax－1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当1e3a>时，求证：f（x）＞lnx．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P的坐标为（－2，0）．（1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值；（2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．23．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x －1|＋|2x|．（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数f （x ）的图象，并解不等式f （x ）≥2；（2）若不等式f （x ）＋|x －1|≥5－k 对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥．2019年全国高三统一联合考试·理科数学一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 11．C 12．A 二、填空题13．5414．x ＋y ＝0 15．2316．17三、解答题17．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则2312113,4,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又因为数列{a n }是递减数列，所以11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩不合题意，故19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩故数列{a n }的通项公式为a n ＝33－n ．（2）由（1）得222223()3n n n n b n n ---=⨯+=+， 故232[1()](1)99223()22223213n n n n n n n T -++=+=-⨯+-．18．（1）证明：（方法一）因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ．又因为AF ∥BE ，AF∩AD ＝A ，BC∩BE ＝B ，所以平面ADF ∥平面BCE ． 因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ∥平面ADF ． （方法二）取AF 的中点M ，连接DM ，EM ，如图．由题意知AM ＝BE 且AM ∥BE ，所以四边形ABEM 为平行四边形，即ME ＝AB 且ME ∥AB ．又因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形DCEM 为平行四边形，即有DM ∥CE ．又DM ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，所以CE ∥平面ADF ．（2）解：取CD 的中点N ，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，可得AN ⊥CD ． 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，AF ⊂平面ABEF ，AF ⊥AB ，所以AF ⊥平面ABCD ． 以A为坐标原点，以AN uuu r ，AB uu ur ，AF uu u r 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz 如图所示．故A（0，0，0），C1，0），D－1，0），F（0，0，2），1,1)2H-，1,1)2AH=-uuu r，,0)AC=u u u r．设平面ACH的一个法向量为(,,)n x y z=r，则有0,0,n AHn AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu rr uuu r即10,220.x y zy-+=⎪⎨+=令x＝1可得(1,n=r．易知平面ABEF的一个法向量为(1,0,0)m=u r．设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为θ，则||cos||||m nm nθ⋅==u r ru r r，．19．解：（1）填写列联表如下：因为22200(35756525) 2.381 2.70610010060140K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以没有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）利用分层抽样的方法，抽到男生的人数为1235760⨯=，抽到女生的人数为1225560⨯= 若从12人中任意抽取3人，则女生被抽到的人数X ＝0，1，2，3，3075312C C 7(0)C 44P X ===，2175312C C 21(1)C 44P X ===，1275312C C 7(2)C 22P X ===，0375312C C 1(3)C 22P X ===． 故抽到女生的人数X 的分布列为()0123444422224E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．解：（1）由题意知c a =，2221(1)9c b a -=，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆C 的方程为2219x y +=． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝k （x －1）（k ＜0）． 联立方程221,9(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得（9k 2＋1）x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，故21221891k x x k +=+． 设P （x 0，y 0），则212029291x x k x k +==+，200229(1)(1)9191k k y k x k k k =-=-=-++，所以直线OP 的斜率0019OP y k x k==-． 设直线l ，OP 的倾斜角分别为α，β，则∠OPB ＝α－β，tan tan 91tan tan()()1tan tan 89OPB k kαβαβαβ-∠=-==++． 因为k ＜0，所以112()()993k k k k -+=-+=-≥，即1293k k +-≤，所以3t an 4O P B ∠-≤．当且仅当13k =-时，等号成立． 所以当∠OPB 最大时，直线l 的斜率13k =-，此时直线l 的方程为x ＋3y －1＝0．21．（1）解：函数f （x ）的定义域为R ，f′（x ）＝2xe ax ＋x 2·ae ax ＝x （ax ＋2）e ax ．当a ＝0时，f （x ）＝x 2－1，则f （x ）在区间（0，＋∞）内为增函数，在区间（－∞，0）内为减函数；当a ＞0时，2()()e ax f x ax x a '=+，令f′（x ）＞0得2x a <-或x ＞0，令f′（x ）＜0得20x a -<<，所以f （x ）在区间（－∞，2a -）内为增函数，在区间（2a -，0）内为减函数，在区间（0，＋∞）内为增函数；当a ＜0时，2()()e ax f x a x x a '=+，令f′（x ）＞0得20x a <<-，令f′（x ）＜0得2x a >-或x ＜0，所以f （x ）在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，2a -）内为增函数，在区间（2a -，＋∞）内为减函数．（2）证明：由f （x ）＞lnx ，得x 2e ax ＞lnx ＋1，即3e ln 1ax x x x+>． 设3ln 1()x g x x +=则3261(ln 1)3()x x x x g x x⋅-+⋅'=23443ln 23(ln ln e )x x x x -+-=-=-当230e x -<<时，g′（x ）＞0；当23e x ->时，g′（x ）＜0．所以g （x ）在区间（0，23e -）内是增函数，在区间（23e -，＋∞）内是减函数， 所以23e x -=是g （x ）的极大值点，也是g （x ）的最大值点， 即22323max 233ln e 11()(e )e 3(e )g x g ---+===． 设e ()(0)ax h x x x =>，则21()e ()ax a x a h x x -'=． 当10x a <<时，h′（x ）＜0；当1x a>时，h′（x ）＞0． 所以h （x ）在区间（0，1a ）内是减函数，在区间（1a，＋∞）内是增函数， 所以1x a=是h （x ）的极小值点，也是h （x ）的最小值点， 即min 1()()e h x h a a== 综上，21()e e ()3g x a h x <≤≤，故f （x ）＞lnx 成立． 22．解：（1）曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1． 当12cos 13α=时，直线l 的参数方程为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t -+=． 由于248276()12013169∆=--=>，故可设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝3，所以|PA|·|PB|＝3．（2）设Q （cosθ，sinθ），M （x ，y ），则由2PM MQ =uuu r uuu r ，得（x ＋2，y ）＝2（cosθ－x ，sinθ－y ），即322cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得2224()39x y ++=，此即为点M 的轨迹方程．23．（1）解：13,0,()|1||2|1,01,31,1,x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+=+⎨⎪->⎩≤≤其图像如下图所示．令f （x ）＝2，得13x =-或x ＝1， 由f （x ）的图像可知，不等式f （x ）≥2的解集为{x|13x -≤，或x≥1}． （2）证明：因为f （x ）＋|x －1|＝|2x －2|＋|2x|≥|2x －2－2x|＝2． 所以k≥3． 因为2656(2)(3)5k k k k k k k k-+--+-==， 又由k≥3，得k －2＞0，k －3≥0，所以(2)(3)0k k k--≥， 即65k k +≥．。