新九年级数学下册第三章圆3-9弧长及扇形的面积同步练习新版北师大版

新九年级数学下册第三章圆3-9弧长及扇形的面积同步练习新版北师大版(二十九)[第三章 9 弧长及扇形的面积]一、选择题1．2017·武汉期末如图K －29－1，等边三角形ABC 的边长为4，D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，AC 的中点，分别以A ，B ，C 三点为圆心，以AD 长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是( )图K －29－1A ．πB ．2πC ．4πD ．6π 2.2018·福州二模如图K －29－2，AD 是半圆O 的直径，AD ＝12，B ，C 是半圆O 上两点．若AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，则图中阴影部分的面积是( )链接听课例3归纳总结图K －29－2A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π 二、填空题3．2017·长春如图K －29－3，在△ABC 中，∠BAC ＝100°，AB ＝AC ＝4，以点B 为圆心，AB 长为半径作圆弧，交BC 于点D ，则AD ︵的长为________．(结果保留π)链接听课例2归纳总结图K －29－34．如图K －29－4，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分的面积是________．(结果保留π)链接听课例4归纳总结图K －29－45．如图K －29－5，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫正三角形的渐开线，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵的圆心依次是A ，B ，C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是________．图K －29－56．如图K －29－6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2 3，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为________．图K －29－6三、解答题7．如图K －29－7，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝6.将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在扇形上的点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．图K －29－78．2018·模拟如图K －29－8，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，连接CA ，CB ，过点O 作弦BC 的垂线，交BC ︵于点D ，连接AD .(1)求证：∠CAD ＝∠BAD ；(2)若⊙O 的半径为1，∠B ＝50°，求AC ︵的长．图K －29－89．2017·一模如图K －29－9，在△ABC 中，∠ACB ＝130°，∠BAC ＝20°，BC ＝4，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E .(1)求BD的长；(2)求阴影部分的面积．图K－29－910．2017·贵阳如图K－29－10，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数；(3)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).链接听课例4归纳总结图K－29－1011．如图K－29－11，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向将△ABC在l 上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC＝1，AC＝3，则顶点A运动到点A″的位置时，(1)求点A所经过的路线长；(2)点A所经过的路线与l围成的图形的面积是多少？图K －29－11研究型在学习扇形的面积公式时，同学们推得S 扇形＝n πR 2360，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l ＝n πR180，得出扇形面积的另一种计算方法S 扇形＝12lR .接着老师让同学们解决两个问题：问题 Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图K －29－12中的阴影部分，已知弧AB 和弧CD 所在圆的圆心都是点O ，弧AB 的长为l 1，弧CD 的长为l 2，AC ＝BD ＝d ，求花坛的面积．(1)请你解答问题Ⅰ.(2)在解完问题 Ⅱ 后的全班交流中，有名同学发现扇形面积公式S扇形＝12lR 类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S ＝12(l 1＋l 2)d .他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．图K －29－12详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B 依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝60π×12×4180×3＝2π.故选B.2．[解析] A ∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝60°，∴阴影部分的面积＝60π×62360＝6π.故选A.3．[答案] 8π9[解析] ∵在△ABC 中，∠BAC ＝100°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝12(180°－100°)＝40°.∵AB ＝4，∴AD ︵的长为40π×4180＝8π9.4．[答案] 2π5．[答案] 4π[解析] CD ︵的长是120π×1180＝2π3，DE ︵的长是120π×2180＝4π3，EF ︵的长是120π×3180＝2π， 则曲线CDEF 的长是2π3＋4π3＋2π＝4π.故答案为4π. 6．[答案] 2 3－2π3[解析] 依题意，有AD ＝BD .又∠ACB ＝90°，所以CB ＝CD ＝BD ，即△BCD 为等边三角形，∴∠BCD ＝∠B ＝60°，∠A ＝∠ACD ＝30°.由AC ＝2 3，求得BC ＝2，AB ＝4，S 弓形BD ＝S 扇形BCD －S △BCD ＝60π×22360－3＝23π－3，故阴影部分的面积为S △ACD －S 弓形AD ＝3－(2π3－3)＝2 3－2π3.7．解：如图，连接OD .根据折叠的性质，得CD ＝CO ，BD ＝BO ，∠DBC ＝∠OBC ， ∴OB ＝OD ＝BD ，即△OBD 是等边三角形，∴∠DBO ＝60°，∴∠CBO ＝12∠DBO ＝30°.∵∠AOB ＝90°， ∴OC ＝OB ·tan∠CBO ＝6×33＝2 3， ∴S △BDC ＝S △OBC ＝12·OB ·OC ＝12×6×2 3＝6 3.∵S 扇形OAB ＝90360π×62＝9π，lAB ︵＝90180π×6＝3π，∴整个阴影部分的周长为AC ＋CD ＋BD ＋lAB ︵＝AC ＋OC ＋OB ＋lAB ︵＝OA ＋OB ＋lAB ︵＝6＋6＋3π＝12＋3π，整个阴影部分的面积为S 扇形OAB －S △BDC －S △OBC ＝9π－6 3－6 3＝9π－12 3. 8．解：(1)证明：∵点O 是圆心，OD ⊥BC ， ∴CD ︵＝BD ︵，∴∠CAD ＝∠BAD .(2)连接CO ，∵∠B ＝50°，OB ＝OC ， ∴∠OCB ＝∠B ＝50°， ∴∠AOC ＝100°， ∴AC ︵的长为100π×1180＝5π9.9．解：(1)如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H .在△ABC 中，∠B ＝180°－∠A －∠ACB ＝180°－20°－130°＝30°. 在Rt △BCH 中，∵∠CHB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝4， ∴CH ＝12BC ＝2，BH ＝3CH ＝2 3.∵CH ⊥BD ，∴DH ＝BH ，∴BD ＝2BH ＝4 3. (2)连接CD .∵BC ＝DC ，∴∠CDB ＝∠B ＝30°，∴∠BCD ＝120°，∴阴影部分的面积＝扇形CBD 的面积－△CBD 的面积＝120π×42360－12×4 3×2＝163π－4 3.10．解：(1)连接OD ，OC ，∵C ，D 是半圆O 上的三等分点，∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵， ∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°，∴∠CAB ＝30°. ∵DE ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°， ∴∠AFE ＝90°－30°＝60°. (2)由(1)知∠AOD ＝60°.又∵OA ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形． ∵AB ＝4，∴OA ＝AD ＝2.∵DE ⊥AO ，∴DE ＝3，∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60·π×22360－12×2×3＝23π－ 3.11．解：(1)在Rt △ABC 中，BC ＝1，AC ＝3， ∴AB ＝2，∴cos ∠ABC ＝12，∴∠ABC ＝60°，则∠ABA ′＝120°，∠A ′C ″A ″＝90°，∴lAA ′︵＝120π×2180＝4π3，lA ′A ″︵＝90π×3180＝32π，∴点A 所经过的路线长为4π3＋32π.(2)S 扇形BAA ′＝12lAA ′︵·AB ＝12×4π3×2＝4π3，S 扇形C ″A ′A ″＝12lA ′A ″︵·C ″A ′＝12×3π2×3＝34π，S △A ′B ′C ′＝12×1×3＝32， ∴点A 所经过的路线与l 围成的图形的面积是43π＋34π＋32＝2512π＋32.[素养提升][解析] 根据扇形面积公式、弧长公式之间的关系，结合已知条件推出结果． 解：(1)根据弧长公式l ＝n πR180，弧长为4π，圆心角为120°，可得R ＝6，∴S 扇形＝12lR ＝12×4π×6＝12π. (2)他的猜想正确．设大扇形的半径为R ，小扇形的半径为r ，圆心角的度数为n °，则由l ＝n πR180，得R ＝180l 1n π，r ＝180l 2n π， ∴花坛的面积为 12l 1R －12l 2r ＝12·l 1·180l 1n π－12·l 2·180l 2n π ＝90n π()l 12－l 22 ＝90n π(l 1＋l 2)(l 1－l 2) ＝12·180n π(l 1＋l 2)(n π180R －n π180r ) ＝12(l 1＋l 2)(R －r )＝12(l 1＋l 2)d . 故他的猜想正确．。