福建省华安一中、长泰一中等四校2017-2018学年高二第一次(4月)联考数学(文)试卷

“华安、长泰、平和、南靖一中”四校联考2017-2018学年第二学期第一次月考高二数学（文）试卷（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.若复数z=1+i,错误！未找到引用源。

为z 的共轭复数,则下列结论正确的是( )A.错误！未找到引用源。

=-1-iB.错误！未找到引用源。

=-1+iC.|错误！未找到引用源。

|=2D.|错误！未找到引用源。

|=错误！未找到引用源。

2.已知复数z 满足错误！未找到引用源。

=i 5,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.直线1,1x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩的斜率为（）A ．1B ．1-CD ．4.余弦函数是偶函数，2()cos(1)f x x =+是余弦函数，因此2()cos(1)f x x =+是偶函数，以上推理（）A ．结论不正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 5.若()2cos x f x x =+，则函数()f x 的导函数()f 'x =( ) A ．cos sin x x x - B ．sin x x - C ．sin cos x x x +D ．1sin x -6.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====则按照以上规律，若=具有“穿墙术”，则n =( )A ．7B ．8C ．9D ．107.法国数学家费马观察到，，，都是质数，于是他提出猜想：任何形如的数都是质数，这就是著名的费马猜想.半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第个费马数不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明( )A 归纳推理，结果一定不正确B 归纳推理，结果不一定正确C 类比推理，结果一定不正确D 类比推理，结果不一定正确 8．在极坐标系中，点(2,)3π到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ）A B ．2 C 9.已知函数f (x )＝x ＋aex 在区间(－∞，3)上为单调递增函数，则实数a 的取值范围（）A.(0，2]．B ．[-2，+∞) C.(－2，2)．D.(－∞，－2]．10.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第9年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．5511．函数y=x 2﹣ln|x|在的图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．12.设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数， f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）D ．（0，2）∪（2，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13.设复数a ＋b i(a ，b ∈R)，则(a ＋b i)(a －b i)＝_______ 14．已知函数2()ln f x x a x =+的极值点为1,则实数a 的值是15．知函数f (x )=m-|x-2|,m ∈R ,且f (x+2)≥0的解集为[-1,1].则m 的值 16.函数2()ln 1f x x x =+的极小值是三、解答题。

(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）已知复数12z a i =-，234z i =+（a R ∈，i 为虚数单位）. （1）若12z z ⋅是纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数12z z ⋅在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.18.（（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅.19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为cos ()1sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)直线l 的极坐标方程是2sin()6πρθ+=射线OM :6πθ=与圆C 的交点为O ,P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.20.已知函数f （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x+1（x ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间．（2）若f （x ）﹣2a ≥0对∀x ∈[﹣2，4]恒成立，求实数a 的取值范围．21.体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。

某地区抽取30位居民，其中60％的人经常进行体育锻炼。

经体检调查，这30位居民的健康指数(百分制)的数据如下： 经常锻炼的：65，76，80，75，92，84，76，86，87，95，68，82，72，94，71，89，83，77 缺少锻炼的：63，58，85，93，65，72，59，91，63，67，56，64(I)根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与体育锻炼有关系”?(Ⅱ)从该学科教师健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中经常进行体育锻炼的人数的概率. 附：()()()()()()22a b c d ad bc Ka b c d a c b d +++-=++++．22.已知函数()ln f x x x =，()()21g x x λ=-（λ为常数）.（1）若函数()y f x =与函数()y g x =在处x e =有相同的切线，求实数λ的值. （2）若12λ=，且1x ≥，证明：()()f x g x ≤.“华安、长泰、平和、南靖一中”四校联考2017-2018学年第二学期第一次月考高二数学（文）参考答案 一、选择题1-5DBCCA 6-10 CBABD 11-12AB13.2018 14. -2． 15.1 16.112e-三、解答题17解：（1）依据12(2)(34)(38)(46)z z a i i a a i ⋅=-⋅+=++-..............2分 根据题意12z z ⋅是纯虚数，380460a a +=⎧⎨-≠⎩..............4分83a =-；..............5分（2）根据题意12z z ⋅在复平面上对应的点在第四象限，可得3808346032a a a +>⎧⇒-<<⎨-<⎩所以，实数a 的取值范围为83{|}32a a -<<..............10分18.解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，得12cos 2sin x y αα-=⎧⎨=⎩(α为参数)，两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4；.........3分由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsin θsin π4cos sin 2ρθρθ-=即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.............6分(Ⅱ)由题意可知P (2，0)，则直线l的参数方程为222x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)． 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|，将22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0， 则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3， 所以|PA |·|PB |＝|－3|＝3.............12分19.(1)圆C 的极坐标方程为ρ=2sin θ.............5分(2)设P (ρ1,θ1),则由2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得ρ1=1,.......7分 设Q (ρ2,θ2),则由2sin()6πρθ+=ρ2=3.............10分因为P ,Q 两点在同一射线OM 上,且ρ1=1>0,ρ2=3>0, 所以|PQ|=ρ2-ρ1=2............12分20解：（1）f ′（x ）=3x 2﹣6x ﹣9，........2分 令f ′（x ）＞0，解得：x ＜﹣1或x ＞3，.....3分 令f ′（x ）＜0，解得：﹣1＜x ＜3，........4分故函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）；...5分 （2）由（1）知f （x ）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，又f （﹣2）=﹣1，f （3）=﹣26，f （3）＜f （﹣2）， ∴f （x ）min =﹣26，......9分∵f （x ）﹣2a ≥0对∀x ∈[﹣2，4]恒成立， ∴f （x ）min ≥2a ，即2a ≤﹣26， ∴a ≤﹣13.......12分21.22. 解：（1）()11ln ln 1f x x x x x=⋅+⨯=+'，()2g x x λ'=，.......2分 因为在x e =处有相同的切线，所以'()'()f e g e =，则1ln 12,=2=e ee eλλλ+=∴即2......5分（2）若12λ=，则()()2112g x x =-，设()()()H x f x g x =-， 则()211ln 22H x x x x =-+，()ln 1H x x x '=+-，.......7分()11H x x='-'，因为1x ≥，所以()0H x ''≤，即()H x '单调递减，......9分又因为()10H '=，所以()0H x '≤，即()H x 单调递减，.......11分 而()10H =，所以()0H x ≤，即()()f x g x ≤.......12分。