matlab求解变厚度薄板小挠度弯曲

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薄板的小挠度弯曲问题

表2.圆形薄板弯曲的边界条件
名称
圆形薄板的小挠度弯曲问题
轴对称弯曲问题
说明
固定边界
位移边界条件
简支边界
混合边界条件
自由边界
静力边界条件
圆形薄板的轴对称弯曲问题，其挠度函数的通解即内力表达式如表2所示。其中，为特解，
由板面荷载来确定。
表3.圆形薄板的轴对称弯曲问题的解答
名称
表达式
挠度
内力
对于有孔板，则可由内外各两个边界条件确定挠度表达式的；对于无孔边，则可由板中心处的挠度和内力为有限值得条件，得出，再由边界条件确定和。但需指出的是，在某些特殊情况下（例如，板面上作用有集中力或者板面上有约束），为了求得问题的解答，可以对内力进行放松，即。
所示。根据板的厚度，可以将板分为：
（1）厚板：板厚与板面内的最小特征尺寸
之比大于，即 ,且厚板
三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。这类
班一般须按弹性力学空间问题来处理。
（2）薄板：板厚与板面内的最小特征尺
寸之比在和之间，即
。这类板的抗弯刚度较大，
当受到一定大小的横向荷载作用时，薄板图1
将会产生弯曲变形，其挠度比板厚要小，最大挠度 ,可认为属于小挠度问题，否则属于大挠度问题。
或者有角点条件
式中：为支座上端的沉陷。
如图4所示为以正方向标示于矩形薄板中面上的
总剪力、角点反力以及弯矩（以矩矢表示，右手
螺旋，双箭头为大拇指方向，其余四指的绕向即
为弯矩作用的方向），但表明其增量。
圆形薄板的小挠度弯曲问题
对于圆形、扇形、圆环形等形状的薄板，采用
极坐标求解往往比较方便。圆形薄板弯曲问题的基
正，如图2中所示。图2

圆形薄板的弯曲问题

dz
Et3 2w
12(1 ) x
xz
Qx
同样可得Qy,记可得
D Et 2
12(1 2 )
Mx
D
2w x2
2w y2
My
D
2w y 2
2w x2
M xy
D(1
)
2w xy
Qx
D
x
2w
Qy
D
y
2w
如果用截面内力表示截面上的应力，可得
x
12M x t3
z
y
12M y t3
D
d2
d 2
1
d
d
d2 d 2
1
d d
q
这个常微分方程的解答是：
A2 B2 ln C ln K 1
此时，从板中取出一单元体，则单元
体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力分别为：
d2 d
M
D
d
2
d
M
D
1
d d
d2 d 2
M M 0
应力分别为：
Εz
1 2
zx
Ez
2(1
2)
z2
t2 4
x
2w
zy
Ez
2(1
2)
z2
t2 4
y
2w
另由平衡方程可得
y xz yx
z
x y
即
z Ez t2 z2 4w
z 2(1 2 ) 4
积分得
z
Ez
2(1
2)
t2 4
z
z3 3
4w
F3( x,
y)
根据薄板下面内的边界条件：

薄板的小挠度弯曲问题及经典解法

(z2

d2
4
)
y
2 w

（9-5）
（4）用w表示应力分量z
由平衡方程（7-1）式的第三式有（取 fz=0）：
z zx yz
z
x y
（c）
若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的
面力，并用 q表示。
d
q ( f )z zd
FRB

2D(1
)
2w xy
B
（9-18）
集中剪力或集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号，而不能另行规定。据此，A点和C点处的剪力以沿z轴的正方向为正，而O点和B点处的剪力以沿 z轴的负向时为正。
如果点B是自由边AB和自由边BC的交点，而点B并没有任何支柱对薄板施以此向集中力，则应有FRB=0 ，亦即：
z
w
w(x, y)即在垂直于中面的任一法线
上，薄板全厚度内各点的挠度相同。
2）由几何方程， zy

w v y z
0
， zx

u z
w x
0
，得
v w ， u w z y z x （2） z 引起的形变可以不计。
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
（3）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响也可不考虑。
§9-4 边界条件扭矩的等效剪力
矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。
1. 固支边，OA边（x = 0）
(w) x ( w )
x
0 x0
0 0
（9-13）
2. 简支边，OC边（y = 0）
x y

matlab矩形薄板小挠度弯曲

文章标题：深度探讨MATLAB矩形薄板小挠度弯曲1. 引言MATLAB矩形薄板小挠度弯曲是结构力学中一个重要的概念，它在工程实践中具有广泛的应用。

本文将从简到繁地介绍矩形薄板弯曲的基本原理，然后结合MATLAB编程进行深入探讨。

2. 概念解释矩形薄板小挠度弯曲是指在外载荷作用下，矩形薄板按弯曲方向产生微小挠曲，而在弯曲过程中，板材内部产生的应力和应变在纵横两个方向上是不均匀的。

这是一个复杂而又具有挑战性的问题，需要结合结构力学和数值分析方法来进行深入研究。

3. 原理分析在MATLAB中，我们可以通过有限元方法对矩形薄板的弯曲问题进行模拟和计算。

我们需要建立起矩形薄板的数学模型，包括边界条件、荷载情况等。

利用MATLAB中的有限元分析工具对模型进行离散化处理，得到数值解。

4. MATLAB编程在MATLAB中，我们可以使用PDE Toolbox来实现矩形薄板小挠度弯曲的数值模拟。

通过定义边界条件、加载情况和材料参数，利用PDE Toolbox提供的有限元方法可以得到矩形薄板在弯曲过程中的应力分布、挠度情况等关键信息。

5. 实例分析以具体的实例来说明，在MATLAB环境下我们如何进行矩形薄板小挠度弯曲的数值模拟。

通过编写MATLAB程序，我们可以得到矩形薄板在弯曲载荷下的挠曲情况，并分析不同参数对挠度的影响。

6. 个人观点对于矩形薄板小挠度弯曲问题的研究，MATLAB作为一款强大的数值计算软件，为工程师和科研人员提供了便利。

通过MATLAB的有限元分析工具，我们可以更加深入地理解矩形薄板的弯曲行为，并在工程实践中提供更科学的设计依据。

7. 总结本文从简到繁地介绍了MATLAB矩形薄板小挠度弯曲的相关原理，结合MATLAB编程进行了深入探讨，并通过实例分析展示了在MATLAB环境下进行矩形薄板弯曲问题的数值模拟。

通过本文的阅读，希望读者能更加深入地理解矩形薄板弯曲问题，并在工程实践中有所裨益。

在格式上，我将根据文章内容适当分段，并在适当位置多次提及指定的主题文字“矩形薄板小挠度弯曲”，使得文章内容更加连贯和有条理。

第十四讲薄板小挠度弯曲(一)汇总

第十四讲薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。

荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。

横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。

中面弯曲所形成的曲面称为薄板的弹性曲面，中面内各点的横向位移称为挠度。

薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。

放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。

只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。

（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。

弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。

薄板弯曲问题的有限元求解

薄板弯曲问题的有限元求解1.问题描述如图所示，已知悬臂矩形薄板，其几何尺寸为20m×10m×1m,左边固定，右上角节点上作用有向下垂直于板中面的集中载100N。

材料的弹性模量为Ex=300GPa,泊松比μ=0.3，求薄板的位移、应力及固定端反力。

2.分析步骤（1）进入Ansys（设定工作目录和工作文件）；（2）设置计算类型为Structural；（3）选择单元类型shell63，选择与厚度有关，在Real constants中定义厚度参数为1；（4）定义材料参数弹性模量为EX:3e11;泊松比PRXY：0.3；（5）建立几何模型生成节点和单元。

此题结构简单，受力也简单，因此可用4个单元来分析。

首先创造节点，节点的坐标是：1（0，0，1）2（0，5，1）3(0,10,1) 4(10,0，1) 5(10,5,1) 6(10,10,1) 7(20,0,1) 8(20,5,1) 9(20,10,1)，操作如下：GUI：Preprocessor>Modeling>Create>Nodes>In Active CSGUI：Preprocessor>Modeling>Create>Elements>AutoNumbered>ThruNodes，逆时针方向依次连接这几个点形成4个4节点四边形单元（6）施加载荷与约束加载与施加边界条件板的左边完全被固定，其自由度为0；右边第9节点施加了一个垂直方向的集中力（7）求解（8）查看结果 1）变形结果可得最大变形为51011.0-⨯m 2）查看节点位移3）查看等效应力可以看出3节点受最大应力1248Pa，节点7所受应力最小。

4）查看节点力及力矩可以看出节点1、2、3既受到Z轴的集中力又受到X、Y的弯矩。

节点9只受外载作用。

3.如果将例题中的受力作如下图的改变，则此时单元的计算应为薄壳问题。

按照前面的计算方法可得出节点的线位移、角位移及力和力矩。

弹性力学圆形薄板

xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
z d zx
Et 3 2 w 12 (1 ) x
t 2 t 2

x
Q
同样可得Qy,
记可得
Et 2 D 12 (1 2 )

x z 0
0, 0
y z 0 xy z 0
0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄板的挠度ω 。因此把其它所有物理量都用ω 来表示，即可得弹性曲面的微分方程。
z t 2
3、边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足，一般只要求满足边界内力条件。情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处的边界条件。假设OA边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即

x 0
0,
0 x x 0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：
y xz yx z x y
即
z Ez t2 2 z 4 w z 2(1 2 ) 4 Ez z3 4 t2 z z w F3 ( x, y ) 2 2(1 ) 4 3
积分得
根据薄板下面内的边界条件：
圆形薄板轴对称弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定

二、弹性曲面的基本公式三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解

非线性变厚度圆薄板轴对称弯曲问题的变分解答

方面都有明显提高，因而在工程中得到广泛应用。变厚度圆薄板的厚度通常仅是半径的函数，并且受到的载荷关于板轴线对称，求解板的变形、内力、应力等即形成变厚度圆薄板轴对称弯曲问题。
关键词：变厚度圆板；轴对称弯曲；里茨法；最大挠度因子；Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ中图分类号：ＴＨ１６；ＴＧ１１５．５＋４文献标识码：Ａ文章编号：１００１ — ３９９７（２０１３）０９ — ０１３７ — ０３
摘
要：基于能量原理，推导出均布栽荷作用下变厚度圆薄板轴对称弯曲的变分列式，应用计算代数系统Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ编
制程序，计算得到不同板厚参数下的挠度方程和最大挠度因子。结果表明，里茨法的计算过程易于实现程序化，计算精度
高。在求解变厚度圆薄板小挠度弯曲问题时是有效的。与等厚度板相比较，变厚度板在弯曲刚度、抗屈曲和振动的性能等
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｅｎｅｒｇｙｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．ｔｈｅｖａｒｉｔｉａｏｎｄｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｏｆａｕｎｆｉｏ肌ｌｙ－ｌｏａｄｅｄｔｈｉｎｅｌａｓｔｉｃｐｌｔａｅｗｈｈｖａｒｉａｂｌｅｔｈｃｋｉｎｅｓｓｉｓｄｅｄｕｃｅｄ．Ｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｆｔｏｅｈｃｏｍｐｕｔｔａｉｏｎａｌｌａｇｅｂｒａｓｙｓｔｅｍｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，ｔｅｈｅｄｌｅｆｃｔｉｏｎｆｕｎｃｔｏｎｉｆｏｒｔｈｅｍｉｄｄｌｅ￥１￣ｆｔ２ｃｅｆｔｏｈｅｐｌｔａｅｓｉｓｏｌｖｅｄ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｅｄｌｅｆｃｔｏｉｎｆａｃｔｏｒｓｗｉｔｈｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｔｔｈｃｉｋｅｓｎｓｐｒａａｍｅｔｅｒｓｒｅａｃｌａｃｕｌｔａｅｄｓｅｐａｒｔａｅＲｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｈａｔｔ，ｄｕｅｔｏｉｓｔｐｒｏｃｅｓｓｅａｓｙｔｏｂｅｐｒｏｇｒａｍｍｅｄａｎｄ她ｃｏｍｐｕｔｔａｏｎｉｌａａｃｃｕｒａｃｙ，ｈｔｅＲｉｔｚｅｔｍｈｏｄｓｉｅｆｆｅｃｔｗｅｉｎｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｌｈｔｌｅｅｆｄｌｅｃｔｉｏｎｆｏａｖｒｉａｂｌａｅｔｈｉｃｋｅｓｎｓｃｉｒｃｕｌｒａｐｌｔａｅ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｐｌａｔｅｗｉｔｈｕｎｉｆｏｒｍｔｈｉｃｋｎｅｓｓ，

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matlab求解变厚度薄板小挠度弯曲变厚度薄板小挠度弯曲是材料力学中一个重要的问题。

本文将借
助MATLAB进行求解，并从理论、建模、计算、分析和优化等方面进行
全面探讨，旨在帮助读者深入了解该问题并指导实际工程应用。

首先，我们来介绍一下问题的背景和定义。

变厚度薄板小挠度弯
曲指的是在较小应变范围内，薄板受外力作用而发生的弯曲变形。

该
问题在航空航天、汽车工程、建筑结构等领域具有重要应用价值。

为了求解该问题，我们首先需要建立适当的数学模型。

在本文中，我们采用经典的薄板理论，即Kirchhoff-Love理论，假设薄板具有较
大的宽度和长度，但厚度很小。

根据该理论，薄板在弯曲过程中的纵
向位移可以用二维弯曲方程描述。

接下来，我们需要对薄板的边界条件进行分析和处理。

常见的边
界条件有自由边界、固支边界以及边缘支持等情况。

根据实际问题的
具体要求，我们可以在MATLAB中定义这些边界条件，并将其纳入模型中。

然后，我们利用MATLAB的数值计算能力来求解薄板的小挠度弯曲
问题。

MATLAB提供了丰富的工具和函数，例如PDE工具箱和优化工具箱，可以高效地进行数值计算和求解。

我们可以通过离散化和微分方
程求解方法，将变厚度薄板小挠度弯曲问题转化为一个数值求解问题，并利用MATLAB进行计算。

在得到数值解之后，我们需要对结果进行分析和评估。

通过使用MATLAB中的数据可视化工具，如绘图函数和动画函数，我们可以直观
地观察薄板的变形情况，并分析不同参数对挠度的影响。

这将有助于
我们深入理解薄板弯曲问题的本质，并为实际工程中的优化设计提供
指导。

最后，我们可以通过MATLAB的优化工具箱来进一步优化薄板的设计。

通过设定目标函数和约束条件，我们可以使用MATLAB中的优化算
法来寻找最佳的设计方案。

这将有助于我们在满足实际应用需求的前
提下，提高薄板的性能和效率。

总之，本文通过MATLAB求解变厚度薄板小挠度弯曲问题，从理论、建模、计算、分析和优化等方面进行了全面讨论。

希望本文对于读者
了解该问题的求解思路和实际应用具有指导意义，并能够在实际工程
中得到有效应用。