平面向量中最值、范围问题(含解析)高三数学备考冲刺
第6讲 平面向量中的范围与最值问题(高阶拓展、竞赛适用)(教师版)-2025版高中数学一轮复习考点帮
第06讲平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。
由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
1.模长的范围及最值与向量的模有关的问题,一般都会用到22||a a，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
2.夹角的范围及最值类别几何表示坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
．．【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算．【详解】因为1c a b --= ，()1c a b -+= ，做出图形可知，当且仅当c 与()a b + 方向相反且1c a b -+= 时，c1；当且仅当c 与()a b +方向相同且1a b c +-= 时，c 取到最小值；最小值1-.【详解】试题分析：甴已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又11,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM -++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y与点(1,--距离平方的14，()22max 149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B ．考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.1．（2024·全国·模拟预测）已知,,a b c为单位向量，且357a b -= ，则22a c b c -+- 的最小值为（）A ．2B ．C ．4D ．6【答案】B【分析】由357a b -= ，得12a b ⋅=-r r ，可得a b -= ，由2222222a c b c a c b c a b -+-=-+-≥-= ，当等号成立时可得最小值.【详解】,,a b c 为单位向量，有1a b c === ，得2221a b c ===，由357a b -= ，得()222359302549a ba ab b -=-⋅+=，有12a b ⋅=-r r ，所以2π,3a b =，a b -=1b c == ，,,b c c b = ，有22b c b c -=-，则2222222a c b c a c b c a b -+-=-+-≥-=，当且仅当2a c -与2b c - 方向相反时“=”成立，如取()111,0,,22a b c ⎛⎛==-= ⎝⎭⎝⎭时，可使“=”成立.所以()min22a c b c -+-= 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题关键点是由已知条件得22b c b c -=- ，这样就能得到222222a c b c a c b c a b -+-=-+-≥-.2．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知平面向量,a b满足112a b a b ==⋅= ，22||c b c =⋅ ，则22c c a b-+- 的最小值是.【答案】72【分析】根据余弦定理求解长度，进而可判断点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，进而根据三点共线求解最值.【详解】令OA a = ，OB b = ，OC c =，OB 中点为D ，OD 中点为F ，E 为AB 中点，由112a b a b ==⋅=，得cos ,12cos ,1a b a b a b a b ⋅=⋅=⨯= ，即1cos ,2a b = ，即60AOB ∠=︒，所以AB =222AO AB OB +=，即90OAB ∠=︒、30ABO ∠=︒,故EF =由22||c b c =⋅，即()1222202OC OC OB OC OC OC OB OC OC OD OC DC ⎛⎫⋅-⋅=⋅-=⋅-=⋅= ⎪⎝⎭，即有OC CD ⊥，故点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，由2222cos CB BE CE BE CE BEC =+-⋅∠，()2222cos 180CA AE CE AE CE BEC =+-⋅︒-∠，故222222CA CB AE BE CE +=++，则222222223222c a c b CA CB AE BE CE CE -+-=+=++=+ ，故当F 、C 、E 三点共线，且点C 在点F 、E 之间时，CE 最小，此时1122CE EF OD =-=，故22223317222222c a c b CE ⎫-+-=+≥+-=⎪⎪⎝⎭ .故答案为：72【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面向量的几何意义得到各向量所表示的有向线段的关系，从而将问题化为点到圆上的点的距离的最小值问题，由此得解.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +rr 共线，则||b c + 的最小值为.【答案】14【分析】令(3),R c t a b t =+∈ ，利用向量模的计算公式把||b c +表示成t 的函数，求出函数最小值即可.【详解】因向量c 与3a b +rr 共线，令(3),R c t a b t =+∈ ，则(13)b c ta t b +=++ ，而向量a ，b为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，于是得b c +==14=，当且仅当514t =-时取“=”，所以||b c +的最小值为14.故答案为：144．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量,,a b c满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为．【答案】2【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-=证明228a b --≤ 等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时2a b -= ，即得到a b -的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+--，且()()()()()()222222222222101040a ba ba b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+=，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅42a b a b=-++⋅()()()221424a b a ba b=-+++--()()21424024a b a b=-++--()2144024a b=---21142a b =-- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b -的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b -的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知a = ，1= b ，0a b ⋅= ，4c a c a ++-= ，2430d b d -⋅+= ，则c d -的最大值为（）A ．13+B ．4C ．23+D ．313【答案】A【分析】由题意首先得出c d - 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.【详解】如图所示：不妨设)()()()()1,0,1,,,,,a OA b OB OC m n OD p q A ======-，满足a = ，1= b ，0a b ⋅=，又4c a c a ++-=1422a c A A==>==，由椭圆的定义可知点C 在以1,A A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，2,1a c b ===，所以该椭圆方程为2214x y +=，而2430d b d -⋅+= ，即22430p q q +-+=，即()2221p q +-=，这表明了点D 在圆()2221x y +-=上面运动，其中点()0,2E 为圆心，1r =为半径，又1c d OC OD CD CE ED CE -=-=≤+=+，等号成立当且仅当,,C D E 三点共线，故只需求CE 的最大值即可，因为点C 2214x y +=在椭圆上面运动，所以不妨设()2cos ,sin C θθ，所以CE =所以当()42sin 233θ-=-=-⨯-且,,C D E 三点共线时，c d - 有最大值max113CE +==+.故选：A.【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.6．（21-22高一下·浙江·阶段练习）已知||||||1a b c ===，12a b ⋅= ，,,3a c b c π〈〉+〈〉= ．若,R m n ∈，则||||||ma nb ma c nb c -+-+-的最小值为（）A ．0B ．2C ．1D 【答案】D【分析】根据给定条件，画出图形，确定点C 的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答.【详解】令,,OA a OB b OC c === ，依题意，1cos 2||||a b AOB a b ⋅∠==，而0AOB π≤∠≤，则3AOB π∠=，因,,3a cbc π〈〉+〈〉=，则有点C 在半径为1，所含圆心角为3π的扇形AOB 的弧AB 上，如图，因,R m n ∈，则||ma nb -表示直线OA 上的点Q 与直线OB 上的点P 间距离，||ma c - 、||nb c - 分别是点C到点Q ，P 的距离，因此，||||||ma nb ma c nb c -+-+-表示三点Q ，P ，C 两两距离的和，作点C 关于直线OA 对称点N ，关于直线OB 对称点M ，连MN 交OA ，OB 分别于点F ，E ，连FC ，EC ，ON ，OM ，则有,FC FN EC EM ==，令COA θ∠=，则3MOB COB πθ∠=∠=-，AON θ∠=，于是得222()33NOM ππθθ∠=+-=，而1ON OM OC ===，由余弦定理得MN ==，因此，CF FE CE NF FE EM NM ++=++==对于直线OA 上任意点Q 、直线OB 上任意点P ，连接CQ ，NQ ，QP ，CP ，PM ，PN ，则,CQ NQ CP PM ==，CQ QP CP NQ QP PM PN PM MN ++=++≥+≥，当且仅当点Q 与F 重合且点P 与点E 重合时取“=”，从而得||||||ma nb ma c nb c CQ QP CP MN -+-+-=++≥=所以||||||ma nb ma c nb c -+-+-故选：D【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答.1．（2024·广东江门·二模）设向量(1,),(2,)OA x OB x == ，则cos ,OA OB 〈〉的最小值为.【答案】3【分析】先求得cos ,OA OB 〈〉的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.【详解】2cos ,OA OB 〈〉= ，令22(2)x t t +=≥，则22x t =-，所以cos ,OA OB 〈〉=== 当114t =，即24,2t x ==时，cos ,OA OB 〈〉取得最小值，且最小值为3．故答案为：32．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量,,,a b x y 满足关系(),2a y x b mx y m =-=-≥ ，又设a 与b 的模均为1且互相垂直，则x 与y的夹角取值范围为.【答案】[arccos)104π【分析】用a 与b表示出向量,x y ，利用平面向量数量积结合夹角公式求出cos ,x y 〈〉 即可计算作答.【详解】当2m ≥时，由,a y x b mx y =-=-得：,11a b ma b x y m m ++==-- ，因a 与b的模均为1且互相垂直，即有0a b ⋅= ，则|||x y == 22()()1(1)(1)a b ma b m x y m m +⋅++⋅==--，则有cos |||,|x y x y x y 〈〉==⋅，而11013m<≤+，于是得,cos 2x y <〈〉 ,0x y π≤〈〉≤ ，则,4x y π≤〈〉< ，所以x与y 的夹角取值范围为)4π.故答案为：πarccos ,104⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题，利用已知的不共线的两个向量为基底，将问题中的向量用该基底表示出，再通过向量的运算来解决.3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知平面向量a OA = ，b OB = ，c OC =，满足241OC AC OA ⋅=- ，241OB CB OC ⋅=- ，则向量4a b - 与2c b -所成夹角的最大值是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到22441c a c a -⋅=- ，22441b b c c -⋅=- ，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到cos θ=利用基本不等式可求得cos θ≥θ的最大值.【详解】()2244441OC AC OC OC OA OC OC OA OA ⋅=⋅-=-⋅=-，即22441c a c a -⋅=-，()2224421c a c a c a∴-⋅+=-= ；()2244441OB CB OB OB OC OB OB OC OC⋅=⋅-=-⋅=- ，即22441b b c c -⋅=- ，()2224421b b c c b c ∴-⋅+=-= ；设向量4a b - 与2c b -所成夹角为θ，242cos a b c b θ-⋅-∴=()22222311244444a a b b a b -+-⋅+-+=≥4a b -= ；又[]0,πθ∈，max π6θ∴=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.1．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量a 与b的夹角为锐角，c 为b 在a 方向上的投影向量，且||||2c a == ，则a b c ++r r r 与b的夹角的最大值是．【答案】π6【详解】先通过向量的定义得到c a =，从而4a b ⋅= ，通过()22a b +r r 求出2a b +r r ，再求出()2a b b +⋅ ，利用()2cos 2a bba bbθ+⋅=+表示夹角，进而利用基本不等式求最值.【分析】因为,c a c = 为b 在a 方向上的投影向量，且a 与b的夹角为锐角，所以c a =，故2a b c a b ++=+ ．因为4a b a c ⋅=⋅= ，且0a b ⋅> ，所以4a b ⋅=．设0b x => ，则()222222244424432a ba ab b x x +=+⋅+=⨯+⨯+=+ ，故2a b += ()22222248a b b a b b x x +⋅=⋅+=⨯+=+ ．设2a b + 与b的夹角为θ，所以()22cos 2a b b a bb θ+⋅=+因为()()()2222222332332482x x x x x ⎡⎤++⎢⎥+≤=+⎢⎥⎣⎦（当且仅当22332x x =+，即4x =时取等号），所以()2232x x +≤()22483x +，即()()222283432x xx+≥+，故cos 2θ≥．又0πθ≤≤，所以π06θ≤≤．故a b c ++r r r 与b 的夹角的最大值是π6．故答案为：π6.【点睛】方法点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知平面向量,a b 满足1a a b =+= ，12a b ⋅=- ，向量p 满足()2p a b λλ=-+ ，当p 与p a -的夹角余弦值取得最小值时，实数λ的值为.【详解】由a a b =+ 得2222a a b a b =++⋅ ，又1a = ，12a b ⋅=- 则1b = 由12a b ⋅=- ，可知2,3a b π= ，即向量,a b 满足=1a b = ，且夹角为23π取OA a = ，OB b =，OP p =uu u r u r ，A B 、分别是线段OD ，OC 的中点，则222OD OC OA OB ====,23COD π∠=，CD =由()2p a b λλ=-+ 可知，点P 在直线CD 上.又p 与p a -的夹角为APO∠要使得APO ∠最大，则取圆过点A 、O 且与直线CD 相切于点P ，此时APO ∠取得最大，由切割线定理得22DP DA DO =⋅=，又()()22222222OP OA OB OD OC OD OD DC OD DC λλλλλλλ--=-+++==++= ，则有，2DP CD λ==，解之得3λ=【点睛】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知,a b ru r 是空间单位向量，0a b ⋅= ，若空间向量c满足：1,2,c a c b c ⋅=⋅==r r r r r 则a b c ++=，对于任意,x y R ∈，向量c与向量xa yb +r r 所成角的最小值为．【答案】4π【分析】由题意得：a b c ++=，根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；设向量c 与向量xa yb +r r 所成角为θ，根据求夹角公式，令y t x =,计算可得cos θ=243()1t f t t -=+，（0t >），利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得cos θ的最大值，即可得答案.【详解】由题意得：a b c ++=3因为xa yb =+设向量c与向量xa yb +r r 所成角为θ，所以(cos )c xa yb xa yb c θ++⋅==当0,0x y >>时，夹角才可能最小，令yt x=（0t >），则cos θ===令243()1t f t t -=+，（0t >），则222224(1)2(43)2(21)(2)()(1)(1)t t t t t f t t t +---+-'==++，所以当(0,2)t ∈时，()0f t '>，()f t 为增函数，当(2,)t ∈+∞时，()0f t '<，()f t 为减函数，所以max ()(2)1f t f ==，所以max cos 2θ=，即min 4πθ=.所以向量c 与向量xa yb +r r 所成角的最小值为4π.故答案为：4π.【点睛】解题的关键是熟练掌握求模，求夹角的方法，并灵活应用，难点在于，需结合导数，判断()f t 的单调性，求得最值，当cos θ最大时，角度最小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.一、单选题1．（2023·江西九江·一模）已知m 、n为单位向量，则向量2m n + 与n 夹角的最大值为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】设,m n α=，即可得到2m n += ，()2cos 2m n n α+⋅=+，再根据夹角公式得到cos 2,m n n +=.【详解】设,m n α= ，则2m n +=22(2)22cos 2m n n m n n m n n α+⋅=⋅+=⋅+=+ ，则(2)cos 2,2m n nm n n m n n+⋅+==+⋅令t =，因为1cos 1α-≤≤，所以[1,3]t ∈，2521314cos 2,44t m n n t t t -+⎛⎫∴+==+≥⨯ ⎪⎝⎭t =时取等号，又[]2,0,πm n n +∈ ，所以π2,0,6m n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以向量2m n + 与n 夹角的最大值为π6．故选：A ．2．（2023·北京·模拟预测）平面向量a ，b 满足3a b =r r ，且4a b -= ，则a 与a b -夹角的正弦值的最大值为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】设a OA = ，b OB = ，则a b BA -= ，设b m = ，3a m = ，2cos 33m OAB m∠=+，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.【详解】如图所示：设a OA = ，b OB = ，则a b BA -=，设b m = ，3a m = ，12m <<，2222291622cos 2243332OA BA OB m m m OAB m m OA BA+-+-∠===+≥⋅，当233m m =，即m =π0,2OAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，当cos OAB ∠最小时，sin OAB ∠最大，故a 与a b -13=.故选：B3．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a ，b的夹角为θ，2a b += ，且43a b ≥ ，则夹角θ的最小值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C【分析】应用向量数量积运算律及题设可得()421cos a b θ≥⋅+，注意等号成立条件，结合已知不等条件求θ范围，即可得最小值.【详解】由24a b += 有222cos 4a b a b θ++⋅= ，即()()8421cos 1cos 3a b θθ≥⋅+≥+ ，前一个等号成立条件为||||a b = ，整理得1cos 2θ≤.由于[]0,πθ∈，所以ππ3θ≤≤，于是夹角为θ的最小值为π3.故选：C4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a ，b ，c满足1a = ，b = ，32a b ⋅=- ，,30a c b c --︒= ，则c的最大值等于（）A ．B C ．D ．【答案】A【分析】由0,1530AOB ACB ==︒∠︒∠，即点,,,A O B C 四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c ===，由1a = ，b = 32a b ⋅=- ，则cos AOB =∠所以150AOB ∠=︒，又,30a c b c --︒=，所以30ACB ∠=︒，即点,,,A O B C 四点共圆，要使c最大，即OC 为圆的直径，在AOB 中，由余弦定理可得2222cos 7AB OA OB OA OB AOB =+-⨯⨯∠=，即AB =，又由正弦定理可得2sin ABR AOB==∠即c的最大值为故选：A5．（2024·全国·模拟预测）已知a ，b 为非零向量，且||||(0)a b r r ==>，π,3a b 〈〉= ，若||a tb + 则22r t +的值为（）．A ．52B ．94C ．4D ．174【答案】D【分析】由数量积的定义和模长公式对||a tb + 平方可得，当12t =-时，||a tb + 取得最小值2r ，可求出2r =，即可求出22r t +的值,【详解】因为||||(0)a b r r ==>，π,3a b 〈〉= ，由题意得()2222222213||||||2124a tb a t b ta b r t t r t ⎡⎤⎛⎫+=++⋅=++=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当12t =-时，||a tb +，2r =，所以22117444r t +=+=．故选：D ．6．（2021·全国·模拟预测）已知向量a ，b 满足3a b += ，0a b ⋅= ，若(1)()c a b λλλ=+-∈R ，且c a c b ⋅=⋅ ，则c r 的最大值为（）A ．3B ．2C ．12D ．32【答案】D【分析】令a AM =，b MB AN == ，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到AC MN ⊥ ，然后数形结合求c r 的最大值.【详解】如图:令a AM = ，b MB AN == ，则a b AM MB AB +=+=，故3AB = .因为0a b ⋅= ，所以AM MB ⊥，记AB 的中点为O ，所以点M 在以AB 为直径的圆O 上.设c AC =，连接MN ，因为(1)c a b λλ=+- ，所以点C 在直线MN 上.因为c a c b ⋅=⋅ ，所以)0(c a b ⋅-= ，即0AC NM ⋅=，所以AC MN ⊥ .结合图形可知，当NM AB ⊥时，||AC 即c r 取得最大值，且max 3||2c AO ==.故选：D【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.7．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足2a = ，1b c -= ，若a 与b 的夹角为π3，则a c- 的最小值为（）A1BC1D【答案】A【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到1a c a b -≥-- ，然后求a b -r r 的最小值即可；解法二设OA a =，OB b = ，OC c =，易得1BC = ，则C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，然后又A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值求解.【详解】解法一由题可得，1a c a b b c a b b c a b -=-+-≥---=-- ，所以要求a c -的最小值，需求a b -r r 的最小值.因为2a = ，a 与b 的夹角为π3，所以a b -r r的最小值为πsin 3a =所以11a c a b -≥--≥-，即a c -1，解法二如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c b BC -= ，a c CA -= .由1b c c b -=-= ，知1BC = ，点C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，结合图形可知，当A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值.由正弦定理得：πsin sin 3AB OAOBA =∠，所以sin AB OBA=≥∠故a c -1.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是根据a 与b 的夹角为π3，由a b -r r 的最小值为πsin 3a 而得解.8．（2021·全国·模拟预测）设||=1a →，||b →=a b →→⊥，若向量c →满足2c a b a b →→→→→--=-，则||c →的最大值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=，OD a b →→→=+，根据条件，借助平面图形得到点C 的轨迹，即可得到结果．【详解】如图，设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=，OD a b →→→=+，连接AD ，BD ，则由a b →→⊥可知四边形OBDA 为矩形，则||||2a b a b →→→→+=-=.由|()|2||c a b a b →→→→→-+=-，可得|()|4c a b →→→-+=，连接CD ，则4DC →=，所以点C 在以点D 为圆心，4为半径的圆上，所以OC→的最大值为246OD DC →→+=+=.故选：B.【点睛】对于向量模的最值或者范围的问题，我们往往采取数形结合的方式进行解决.首先我们要根据题目的条件将几个向量的起点平移到同一点，作出图形，最后根据所求向量的条件得出终点的轨迹.二、填空题9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量,a b 满足22a b == ，对任意的0,a b λλ>-则a 与b 的夹角为．【答案】60︒【分析】利用模的计算得到24cos 43λθλ-+≥恒成立，判断出取等号的条件，即可求出a 与b的夹角.【详解】因为向量,a b满足22a b == ，所以向量,a b满足2,1a b == .设a 与b的夹角为(),0πθθ≤≤所以a b λ-=因为任意的0,a b λλ>-24cos 43λθλ-+≥恒成立，配方后可得：()222cos 4cos 43λθθ--+≥恒成立，所以当2cos λθ=时，24cos 4λθλ-+取得最小值3，此时244cos 3θ-=，解得：1cos 2θ=±.又因为2cos 0λθ=>，所以1cos 2θ=.因为0πθ≤≤，所以60θ=︒.故答案为：60︒.10．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量,a b 满足1a b -= 且a b ⊥ ，当向量a b - 与向量3a b - 的夹角最大时，向量b的模为．【分析】由1a b -= 可平方求得221a b =-，利用向量夹角公式可化简得到2cos θ()0t t =>，结合基本不等式可求得()min cos θ，根据取等条件可确定b .【详解】a b ⊥ ，0a b ∴⋅= ，2222221a b a a b b a b ∴-=-⋅+=+= ，即221a b =-；设向量a b - 与向量3a b -的夹角为()0πθθ≤≤，()()2223cos 3a b a b a b a b θ-⋅-∴==-⋅-()0t t =>，则2298t b -=，229331314cos 444t t t t t t θ--+⎛⎫∴===+≥⨯= ⎪⎝⎭3t t =，即t 时取等号）；当θ最大时，cos θ=，解得：b= .11．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量,a b，若对任意实数x ，2xa b -≥ 恒成立，则向量,a b 的夹角的最小值为.【答案】3π/60o 【分析】把2xa b -≥两边平方得到关于x 的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两向量夹角的余弦公式求得结果.【详解】a ，b是单位向量，由xa b -≥ 得：2231()2()044xa b x a b x -≥⇔-⋅+≥ ，依题意，不等式212()04x a b x -⋅+≥ 对任意实数x 恒成立，则24()10a b ∆=⋅-≤ ，解得1122a b -≤⋅≤ ，而cos ,||||a ba b a b a b ⋅〈〉==⋅，则11cos ,22a b -≤〈〉≤ ，又0,πa b ≤〈〉≤，函数cos y x =在[0,]π上单调递减，因此π2π,33a b ≤〈〉≤ ，所以向量a ，b 的夹角的取值范围为π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.则向量,a b的夹角的最小值为π3.故答案为：π3.12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量a ，向量b 与a不共线，且5π,6a b b -=r r r ，则b 的最大值为．【答案】2【分析】由5π,6a b b -= ，则π6A =，方法一：利用正弦定理可得2sin bB = ，当π2B =时，可求得结果；方法二：作出△ABC 的外接圆，当AC 为圆的直径，即π2B =时，可求max 2b = .【详解】法1：设CB a = ，CA b =，则AB a b =-，如图所示．因为5π,6a b b -= ，所以在△ABC 中，π6A =，5π06B <<，由正弦定理，得sin sin ba A B= 即2sin b B = ，得2sin b B = ，当π2B =时，max π2sin 22b == ．法2：设CB a = ，CA b =，则AB a b =- ，作出△ABC 的外接圆，如图所示．因为5π,6a b b -= ，所以π6A =，因为1a CB == ，当AC 为圆的直径，即π2B =时，max 22b a == ．故答案为：213．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量a 、b 、c满足5a = ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b 的最小值是【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图AC a = ，AD b =，AB c = ，则b a CD -=uu ur r r ，c a CB -=uu r r r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=uu u r uu r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有1122OC BD b c ==-r r，而12OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC+≥则11522b c b c a ++-≥=r r r r r，所以10b c b c ++-≥r r r r ，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c向量的夹角为θ，则b c b +==r r ，同理b c -=r r ，由10b c b c ++-≥r r r r，可得10b ≥r ，则225b ≥=r ，当cos 0θ=，即b c ⊥时取等号，所以b ≥r ，即b【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式10b c b c ++-≥r r r r ，进而利用数量积求模长.14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量a ，b ，且满足||||2⋅===a b a b ，若e 为平面单位向量，则⋅+⋅a eb e 的最大值【答案】【分析】先根据平面向量的数量积公式求出a →与b →的夹角，根据条件，可设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出π3a e b e α⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭ ，即可求出结果.【详解】解：2a a b b →→→→⋅=== ，设a →与b →的夹角为θ，cos 22cos 2b a a b θθ→→→→∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=，1cos 2θ∴=，又[]0,πθ∈，则π3θ=，不妨设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，则(()cos ,sin a e b e a b e αα→→→→→→→⎛⎫⋅+⋅=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭π3cos 223ααα⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭即a e b e →→→→⋅+⋅≤，所以a e b e →→→→⋅+⋅的最大值为故答案为：15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，()()0a b a c -⋅-= ，3b c -= ，则a b c ++的最大值是.【答案】11【分析】设a DA = ，b DB = ，c DC = ，由0a b c ++=得到点D 是ABC 的重心，结合()()0a b a c -⋅-= 得到ABC 是直角三角形，建立适当的直角坐标系，转化为基本不等式求最值.【详解】设a DA = ，b DB = ，c DC =， 0a b c ++=，∴点D 是ABC 的重心，∴()()a b a c -⋅-=()()0DA DB DA DC BA CA -⋅-=⋅= ，∴BA CA ⊥．∴ABC 是直角三角形，又∵||3b c -=，即3CB =，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(,0)B c ，(0,)C b ，则,33c bD ⎛⎫⎪⎝⎭且229(00)b c b c +=>>,，∴2,33c b b DB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，2,33c b c DC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，故a b c ++1=1=1113≤+⨯=当且仅当2236393b b -=+，即292b =时等号成立.故答案为：1+16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量a ，b 满足6a b += ，若a 在b方向上的投影与b在a 方向上的投影之和等于()2a b ⋅ ，则a ，b 夹角的余弦值的最小值为．【答案】227【分析】利用基本不等式求出9a b ≤ ，再根据向量投影求出()2222cos cos cos a b a ba b θθθ+=⋅=，求出a b，夹角的余弦值的最小值.【详解】因为6a b += ，所以292a b a b ⎛⎫+ ⎪≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3a b == 时取等号．设a ，b 的夹角为θ，则由题意得()2222cos cos cos a b a ba b θθθ+=⋅=，易知0a ≠，0b ≠ 且cos 0θ≠，则22cos a b a b θ+= ，所以22222662cos 927a b a b a b θ+==≥= ，所以a ，b夹角的余弦值的最小值为227．故答案为：22717．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量a ，b ，c满足4a b -= ，且()()1a c b c -⋅-=- ，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是.【答案】2⎡⎣【分析】以向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.【详解】如图1，令a OA = ，b OB = ，c OC = ，则4BA = ，取AB 中点M.由()()1a c b c -⋅-=-，可得1CA CB ⋅=- ，22221()()14CA CB CM MA CM MA CM MA CM AB ⋅=+⋅-=-=-=- ，所以23CM = ，即C 在以M.由c OM MC =+，当O 、M 、C 三点共线时（M 在线段OC 上），maxc OM =+ 由于O 在以AB 为弦的圆弧上，设圆心为G ，由正弦定理可知2sin AB OG θ=，即2sin OG θ= ，ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当π3θ=时，圆G 半径OGGM =当O 、M 、G 三点共线（G 在线段OM 上），且π3θ=时，OM取得最大值，此时23max OM OG GM =+= ，所以333max max c OM =+=.如图2，显然当O 、M 、C 三点共线（点C 在线段OM 上），3min c OM =-当π2θ=时，圆G 半径OG 取得最小值2.2222220GM GB BM=--，即M 、G 两点重合.OM 取得最小值为2.则π2θ=时，23min c =- 故向量c 的模取值范围是23,33⎡⎤⎣⎦故答案为：23,33⎡⎤⎣⎦18．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 是CD 的中点，2AF FE =，若设,BA a BC b == ，则BF可用a ，b 表示为；若ADE V 32，则BF 的最小值为．【答案】2233a b + 433【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算法则，可得222122()()333233BF BA AF BA AE BA AD DE a b a a b =+=+=++=+-=+，设,a m b n ==，因为ADE V 32113sin 60222n m ⋅= ，即4mn =，又由2222222244()(2)(2cos 60)3399BF a b a b a b m n mn =+=++⋅=++224416()(2)993m n mn mn mn =++≥+=，当且仅当m n =时，等号成立，所以BF 433故答案为：2233a b +19．（2020·浙江温州·三模）已知向量a ，b满足||3a = ，1b ||=，若存在不同的实数()1212,0λλλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+ ，且()()0(1,2),i i i c a c b -⋅-==则12c c - 的取值范围是【答案】2,⎡⎡⎣⎣ 【分析】设a b k ⋅=，()()0i i c a c b -⋅-= 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定．【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+ ，111(31)c b a b λλ-=+-，设a b k ⋅=（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-= 得211()0c a b c a b -+⋅+⋅= ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-时方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)k k λλ=+，所以12λλ-==3a b +===，所以1212123c c a b λλλ-=-+-=由33k -<≤且0k ≠得12c c - 的范围是[2, ．故答案为：[2, ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -关于k 的函数，属于难题．20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量,,a b c 满足74a b ⋅= ，3a b -=,()()2a c b c -⋅-=- ,则c 的取值范围是；已知向量,a b 是单位向量，若0a b = ，且2c a c b -+-=r r r r 2c a +r r 的取值范围是.【答案】3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据向量不等式可得()||||c a b c a b +≤⋅+，从而得到关于||c的不等式，即可得答案；（2）根据已知设出向量a和向量b ，向量c 的坐标，代入等式化简，再利用距离的几何意义可看成一个动点到两个定点的距离之和，而所求的可看成是一个定点到线段的距离，由此可求得最值．【详解】解：（1）由74a b = ，||3a b -= ，解得22252a b += ，又由2()()()2a c b c a b c a b c --=-++=-，代入已知值可得215||()||||4||4c c a b c a b c +=+≤⨯+= ，化简可得：24||16||150c c -+≤，解得35||22≤≤c .（2）因为,a b 是单位向量，且0a b =，设()()1,0,0,1a b == ，设(),c x y = ，则()()1,,2,2c a x y c b x y -=--=-，因为2c a c b -+-=r r r r化简得，()220,01x y x +-=≤≤，所以2c a +=()220,01x y x +-=≤≤上的点到点()2,0-的距离，所以2min c a d +==，()2123max c a +=--=，故答案为：3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】利用向量数量积的定义可得向量不等式，即||||a b a b ⋅≤；向量问题进行坐标化处理，将模的范围问题转化为距离的最值问题.【详解】因为2a b == ，2a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-, ,120a b =︒ .如图所以，设,,OA a OB b OC c === ，则CA a c =- , C B b c=-, 120AOB ∠=︒.所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆.不妨设为圆M ，因为AB b a =- ,所以222212AB a a b b =-+=.所以AB =由正弦定理可得AOB ∆的外接圆即圆M 的直径为2R 4ABsin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c 取得最大值4.故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【详解】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=,当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.【详解】试题分析：由已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,,1,.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又11,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(222+14x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,--的距离的平方的14，()22max 149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B.【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D 的坐标，同时动点P 的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．。
平面向量中的最值或范围问题
2
2 2
2
所以 c
o
sa - b,
a =
(
·a
a-b)
=
|
a-b|
|
a|
3 2 9
b+
2
2 1
3
3
。
= |
b|+
≥
6
|
b|
4
4
|
b| 2
因为 0≤ a-b,
所 以 0≤ a-b
a ≤π,
≤
π
π
,
故 a-b 与a 的夹角的最大值为 。
6
6
2
=9
b +a -2×3
b·a≤4,所 以 a·b≥2+
2
3
|
b|
2+
3
|
b|
a·b
2
。所以 c
o
sa,
b =
≥
2
|
a|·b
4
|
b|
2
2
1
3
|
b|
,因 为|
=
+
b|≤1,所 以 当|
b|=1
2
|
b|
8
时,
c
o
sa,
b取得最小值为
[
C.
4,
1
2]
7
。
8
→
其中 0≤λ≤1,则 B→
C ·BP
→
一般情况 下,如 果 遇 到 的 问 题 适 合 建 立
2
+
3 s
i
n
π
2
最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)
最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。
6.5 压轴题高分策略之平面向量最值、取值范围问题含解析
压轴题高分策略之平面向量最值、取值范围问题平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时,平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中高档题.类型一、平面向量与不等式相结合的最值问题【典例1】【2016河南新乡名校联盟押题】若等边三角形CAB的边长为2，N为AB的中点,且AB上一点M满足C C Cx yM=A+B，则当14x y+取最小值时，C CM⋅N=（）A．6B．5C．4 D．3【答案】D【典例2】【2015高考天津,理14】在等腰梯形ABCD中,已知//,2,1,60===∠=AB DC AB BC CD ABC，动点E和F分别在线段BC和DC上,且,1,,9BE BC DF DCλλ==则AE AF⋅的最小值为。
【答案】29 18【审题指导】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式。
运用向量的几何运算求,AE AF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF⋅，体现了数学定义的运用,再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.第一步：审题,通过读题可以知道,本题中只出现了一个角即60∠=ABC,所以本题应该以AB、BC为基底向量第二步：将题中所给向量，所求向量都用基底向量，AB BC表示第三步：将AE AF ⋅化简，观察最后的解析式的形式，符合均值不等式的用均值不等式求值 【解析】 因为1,9DF DC λ=12DC AB =,119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BCλ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.BA【变式训练】【四川省2016年普通高考适应性测试，15】已知()()()1 0 1 1 OA OB x y OA OB λμ===+，，，，，。
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。
2025年高考数学复习考点全题型突破(新教材新高考)第04讲 平面向量中的最值、范围问题(原卷版)
的最小值．
5．（2023·新疆·统考二模）已知向量 a
，b
满足
a
r 1，b
m, 2
m
，
a
b
cos
（θ为 a
与b
的夹角），
则 a b 的最小值为（ ）
A． 2 2
B． 2
C．1
D．2
6．（2023 春·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期中）已知 e1 ，e2 是单位向量，且 e1 e2 0 ，设向量 a e1 e2 ，
b
2 且对任意 t R ，恒有
b
ta
b
a
，则
a
b
a
的最大值是_________.
精练核心考点
16 8x2 , x 0, 2
1．（2023
春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）已知函数
f
x
满足
f
x
1 2
f
1 2
x
1
,
x 2, .
向量
a
x0 ,
f
x0
，b
1, 0
有
e1
1 2
e2
e1 te2
恒成立，则 e2 t
e1 e2
的最小值为______．
例题 3．（2023 春·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知 e 是单位向量，向量 a 满足 a e 2 .若不等式
2
r
a 5 a te 对任意实数 t 都成立，则 a 的取值范围是______.
b
0
．若向量
c
满足
r c
r a
r b
2
，则
c
的取值范围是_____．
2025版高考数学全程一轮复习第五章平面向量与复数专题培优课平面向量中的最值范围问题课件
答案：C
解析：由|a＋b|2＝4有|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ＝4，即4≥2|a||b|(1＋cos θ)≥83(1＋cos
θ)，前一个等号成立条件为|a|＝|b|，整理得cos 于是夹角为θ的最小值为π3.故选C.
θ≤12.由于θ∈[0，π]，所以π3≤θ≤π，
题后师说 求与向量的夹角有关的最值(范围)问题要根据夹角余弦值表达式， 利用基本不等式或函数的性质求解．
【典例】 (1)如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E，F是AD 上 的 两 个 三 等 分 点 ， BA ·CA ＝ 4 ， BF ·CF ＝ － 1 ， 则 BE ·CE 的 值 为 ________.
(2)已知点A，B，C均在半径为 2的圆上，若|AB|＝2，则AC·BC的最 大值为________．
答案：B
题后师说 与数量积有关的最值(范围)问题的两种常用解法
(1)坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数 问题处理．
(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识 解决．
巩固训练2
[2024·山东滨州模拟]在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，
M是线段AC上任意一点，则MB·MC的最小值是( )
A．1
B． 2
C．2
D．4
答案：C
解析：在平面直角坐标系xOy中，设a＝(1，0)，b＝(x1，y1)，c＝(x2，y2)， 因为a·b＝x1＝1，a·c＝x2＝－1，b·c＝x1x2＋y1y2＝y1y2－1＝0，
所以|b＋c|＝
1−1 2+
y1 + y2
2＝|y1＋y2|＝|y1＋y11|＝|y1|＋
专题19 平面向量中最值、范围问题-备战2016高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板：第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题； 第三步 得出结论.例1 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈,则x y +的最大值是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．3 【答案】B考点：1．向量的数量积运算；2．均值不等式求最值【点评】寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系式解决最值问题的常用途径之一. 【变式演练1】在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设,,AM xAB AN y AC ==（x 、y≠0），则4x ＋y 的最小值是______________． 【答案】94. 考点：向量共线关系，不等式最值.【变式演练2】已知点A （1, -1），B （4,0），C （2,2）．平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（1≤λ≤a ，1≤μ≤b ）的点P （x,y ）组成的区域．若区域D 的面积为8，则a+b 的最小值为 ． 【答案】4考点：1、平面向量的线性运算；2、基本不等式．【变式演练3】在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设,,AM xAB AN y AC == （x 、y≠0），则4x ＋y 的最小值是______________． 【答案】94考点：向量共线关系，不等式最值.方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论.例2 已知OAB ∆的顶点坐标为(0,0)O ，(2,9)A ，(6,3)B -， 点P 的横坐标为14，且OP PB λ=，点Q 是边AB 上一点，且0OQ AP ⋅=. （1）求实数λ的值与点P 的坐标； （2）求点Q 的坐标；（3）若R 为线段OQ （含端点）上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围. 【答案】（1）(14,7)P -（2）(4,3)Q （3）25[,0]2-.考点：向量的数量积，向量共线.【点评】其解题思路为：（1）由OP PB λ=，根据向量共线，设出P 点坐标即可得；（2）设出Q 点坐标(),a b ,根据0OQ AP ⋅=可得一个方程，然后利用Q 在AB 上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得Q 点坐标；（3）由R 在线段OQ 上可利用向量共线设R 坐标()4,3t t ，注意引入的变量t 范围，然后分别表示出向量RO ,RA,RB,，利用数量积得出一个关于t 的二次函数，求这个关于t 的二次函数的最值即可得.【变式演练4】已知向量,a b 不共线，t 为实数．（Ⅰ）若OA a =，OB tb =，1()3OC a b =+，当t 为何值时，,,A B C 三点共线； （Ⅱ）若||||1a b ==，且a 与b 的夹角为120，实数1[1,]2x ∈-，求 ||a xb -的取值范围．【答案】（1）12t =（2）37[,]22. （Ⅱ）由1||||cos1202a b a b ⋅=⋅⋅=-，则22222||21a xb a x b xa b x x -=+⋅-⋅=++， 因为1[1,]2x ∈-，当12x =-时，||a xb -32当12x =时，||a xb -的最大值为72所以||a xb -的取值范围是37[,]22考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平行向量与共线向量.【变式演练5】设12,e e 为单位向量，非零向量b=x 1e +y 2e ，x,y ∈R ．若1e ．2e 的夹角为6π，则bx的最大值等于_________． 【答案】2考点：1．向量的模；2．二次函数求最值．方法三 建立直角坐标系法使用情景：一般向量求最值或取值范围类型解题模板：第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；第二步 将平面向量数量积的运算坐标化；第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可.例3 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是__________.【答案】2-.【点评】通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.例 4 在Rt ABC ∆中,BC a =,若长为2a 的线段PQ 以A 点为中点,问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值.【答案】2-.(cos ,sin ),(cos ,sin )P a a Q a a ββββ--(cos cos ,sin ),(cos ,sin sin )BP a a a CQ a a a βαβββα∴=---=-2222222cos cos cos sin sin sin [1cos()]BP CQ a a a a a βαββαβαβ∴⋅=---+=-++∴当cos()1αβ+=-即αβπ+=(PQ 与BC 同向)时,BP CQ ⋅的最大值为0.【点评】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题. 【变式演练6】四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD ．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确．．的是A ．满足2=+μλ的点P 必为BC 的中点B ．满足1=+μλ的点P 有且只有一个C ．μλ+的最大值为3D ．μλ+的最小值不存在 【答案】C.考点：1．向量坐标化；2．分类讨论思想；【变式演练7】如图，已知正方形ABCD 的边长为1，E 在CD 延长线上，且DE CD =．动点P 从点A 出发沿正方形ABCD 的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，则下列命题正确．．的是 ．（填上所有正确命题的序号）①0,0λμ≥≥；②当点P 为AD 中点时，1λμ+=； ③若2λμ+=，则点P 有且只有一个； ④λμ+的最大值为3； ⑤AP AE ⋅的最大值为1． 【答案】①②④⑤考点：向量加减的几何意义，向量的线性运算性质及几何意义．【高考再现】1.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即cos ,a b a b a b ⋅=，22a a =．2.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对AB AB的理解不到位，从而导致解题失败．3.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 4.【2015高考浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．【答案】1，2，22.【考点定位】1.平面向量的模长；2.函数的最值【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题，分析题意可得问 题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，这是解决此题的关键突破口，也是最 小值的本质，两边平方后转化为一个关于x ，y 的二元二次函数的最值求解，此类函数最值的求解对考生 来说相对陌生，此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解，关于二元二次 函数求最值的问题，在14年杭州二模的试题出现过类似的问题，在复习时应予以关注.5.【2015高考湖南，理8】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9【答案】B. 【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的 最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.6.【2015高考上海，文13】已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 .【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.【反馈练习】 1．设0≤θ≤2π，向量1OP ＝（cos θ，sin θ），2OP ＝（2＋sin θ，2－cos θ），则向量12PP 的模长的最大值为（ ）A 2B 3C ．3D ．2【答案】D.【解析】试题分析：()12212sin cos ,2cos sin PP OP OP θθθθ=-=+---，()()222122sin cos 2cos sin 108cos 18PP θθθθθ=+-+--=-≤12PP ∴最大值为32考点：向量坐标运算运算及向量的模.2.设12,e e 为单位向量，非零向量12,,a xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角为4π，则||||x a 的最大值等于 ．【答案】2.【解析】试题分析：由题意，得xy y x a 2222++=，则1212222222++⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=x y x y xy y x x a x 21122≥++⎪⎭⎫ ⎝⎛x y x y ，即21212222222≤++⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=x y x y xy y x x a x ，所以||||x a 的最大值为2. 考点：1.平面向量的模长；2.二次函数的最值.3．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，3=OD ，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于【答案】43考点：1．平面向量的基本定理．2．线性规划问题．3．构建坐标系解决向量问题．4．换元的思想．4．已知ABC ∆中，BC 边上的中线AO 长为2，若动点P 满足221cos sin 2BP BC BA θθ=+()R θ∈，则()PB PC PA +⋅的最小值是 . 【答案】2-. 考点：向量共线，基本不等式. 5．设0≤θ≤2π，向量1OP ＝（cos θ，sin θ），2OP ＝（2＋sin θ，2－cos θ），则向量12PP 的模长的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．2 3D ．32【答案】D【解析】试题分析：()12212sin cos ,2cos sin PP OP OP θθθθ=-=+---,()()222122sin cos 2cos sin 108cos 18PP θθθθθ=+-+--=-≤12PP ∴最大值为32.考点：向量坐标运算运算及向量的模.6．设向量,a b 满足()()11,,22a b a b a c b c a c b c ==⋅=---=--，则c 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A考点：平面向量综合知识7．已知点A 在直线210x y +-=上,点B 在直线230x y ++=上，同一平面内的点P 满足条件:0PA PB +=,设点(,P m n ）且20m n -+<,则m n的取值范围是（ ）A ．[)5,2--B ．11,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．()5,2--D ．11,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：向量的坐标运算8．已知向量αβγ、、满足1α=，αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=．若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别是m n 、，则对任意β，m n -的最小值是 ．【答案】21 考点：向量几何意义9．已知向量,a b 不共线，t 为实数．（Ⅰ）若OA a =，OB tb =，1()3OC a b =+，当t 为何值时，,,A B C 三点共线； （Ⅱ）若||||1a b ==，且a 与b 的夹角为120，实数1[1,]2x ∈-，求 ||a xb -的取值范围． 【答案】（1）12t =（2）37]22【解析】试题分析：（1）因为,,A B C 三点共线，则存在实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=+-，由此得到关于,t λ的方程，解方程即可得到答案。
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问题7平面向量中最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.2．四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是_______．【答案】【分析】由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【解析】由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点，其中，则向量，所以又由，则，整理得，又由，设，整理得，解得，所以，所以的最小值为.【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求解【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以,又,即,解得,故.(二) 平面向量模的取值范围问题 设(,)a x y =,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为4π,,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵,∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量,且,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,,如图,取AB 中点D ,则,12OD =, ,由可得, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32. (三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解． 【解析】由题意知,,,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以322πθπ<<. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ． 【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>． 【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中,.（1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）.（2）建立如图所示的平面直角坐标,则.设,由,得.所以.所以..因为,所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1； 当或即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知点 P 在圆 M： (x-a)2 +(y－a+2)2＝1 上， A，B 为圆 C：x2 +(y-4)2＝4 上两动点，且 AB ＝2, 则的最小值是____．【答案】【解析】取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，所以，＝.C（0,4），M（a，a－2）当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.故答案为：.3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m 的取值范围为.故答案为：4．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC 中，D 为AB 的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D 为AB 的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则.6．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】424-【解析】以A 坐标原点,AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,设所以AP AQ ⋅因为,所以因为,所以因此7．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为23的正三角形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______.【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设,则,,故答案为[]3,1-.8．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时,即AB CD ⋅9．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 【答案】3 【解析】∴ 2a xb-的最小值为3.10．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<,故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时,则：,当且仅当时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 11．已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】 试题分析：,而,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-12．在ABC ∆中, ,则角A 的最大值为_________.【答案】6π 【解析】试题分析:由题设可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以6max π=A ,应填答案6π. 13．在平面内,定点,,,A B C D 满足,动点,P M 满足,则BM 的最大值是__________.【答案】321- 【解析】 试题分析:设,则.由题设可知,且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案321-.14．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则,设,因为,所以33xb -=,则,故,所以,故填[1,9].15.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0- 【解析】 因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈,因为,所以()2,0x ∈-.16．已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．17．在ABC ∆中,已知3AB =,3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 .【答案】32【解析】,由余弦定理得：,所以32CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号18．已知△ABC 中,4AB =,2AC =,（R λ∈）的最小值为23,若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ． 【答案】94-【解析】令()f λ＝＝216λ＋24(22)λ-＋＝,当cos 0A =时,()f λ＝,因为2322>,所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝＋1cos ]2A+≥,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则, ,所以PB PC ⋅＝＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。