数值线性代数
数值分析课程实验设计——数值线性代数实习题
数值分析课程实验设计——数值线性代数
实习题
1. 实验目的
本实验的主要目的是进一步加深对数值线性代数的理解，熟悉
常见矩阵分解方法，并在此基础上解决实际问题。
2. 实验内容
本次实验将任务分为两个部分，分别是矩阵分解与求解线性方
程组。
2.1 矩阵分解
首先，我们需要熟悉三种常见的矩阵分解：QR分解、LU分解
和奇异值分解。
我们需要通过Python语言实现这三种分解方法，
并利用这些方法解决实际问题。
2.2 求解线性方程组
其次，我们需要学会用矩阵分解的方法来求解线性方程组。
我
们将通过两个例子来进行说明，并利用Python语言实现这些方法。
3. 实验要求
本次实验要求熟悉矩阵分解的基本方法，在此基础上解决实际问题；能够运用多种方法来求解线性方程组，并分析比较它们的优缺点。
4. 实验总结
本次实验通过矩阵分解和求解线性方程组两个部分的学习，巩固了我们对于数值线性代数的知识，并在实际问题的解决中得到了应用。
感谢老师的指导，我们会在今后的学习中持续探索数值分析方面的知识。
数值线性代数课程设计_代数
《数值代数》课程设计评分标准 (1)交作业的内容 (1)附录1 论文结构撰写规范 (2)附录2 (2)参考论文1 (2)参考论文2 (13)参考论文3 (16)参考论文4 (21)1. 2-3两天查资料;2. 1-2天论文构思,列出提纲;3. 2-3确定计算方法和计算程序的详细内容和设计步骤；写课程设计报告；论文内容: 问题背景介绍, 建立正确的数学模型, 求解模型的数学原理, 计算过程,编写计算程序, 解释计算结果.论文字数: 1800-2200字. 注: 字数是指正文的字数.标题、摘要、关键字、目录、图表说明、参考文献、程序等不算入字数统计.论文格式: 5号字体,A4版面, 上下左右各留2cm,单倍行距,页面设置选为无网格; 编页码;图形尺寸：长度不超过4cm.一行可以放若干张图. 文稿中数据保留3位小数点.（1）要有勤于思考、刻苦钻研的学习精神和严肃认真、一丝不苟、有错必改、精益求精的工作态度，对有抄袭他人设计论文或找他人代设计、代做论文等行为的弄虚作假者一律按不及格记成绩。
（2）要敢于创新，勇于实践，注意培养创新意识。
（3）掌握课程的基本理论和基本知识，概念清楚，设计计算正确，结构设计合理，实验数据可靠，软件程序运行良好，绘图符合标准，论文撰写规范，答辩中回答问题正确。
附录1 论文结构撰写规范（1）题目、院系、班级、学生姓名。
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关键词应为反映论文主题内容的通用技术词汇，一般为4个左右，一定要在摘要中出现。
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（4）参考文献（资料）参考文献必须是学生在课程设计中真正阅读过和运用过的，文献按照在正文中的出现顺序排列。
各类文献的书写格式如下：a．图书类的参考文献序号作者名·书名·（版次）·出版单位，出版年：引用部分起止页码。
数值线性代数_MathCAD实验
，其中 Lk
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
%
1 −lk +1,k ... −ln,k
%
⎟
⎟ ⎟
，
li,k
=
ai,k akk
,
。
% 1 ⎟⎟⎠ i = k +1,k + 2,...,n
则
A
=
L1−1Βιβλιοθήκη "L−1 n−2
L−n1−1U
=
LU
求解 Ax = b 等价于求解
{ LUx = b ⇔
先解 Ly = b， 再解 Ux = y。
""矩阵的三角分解
定理 若 A∈ Rnn 的顺序主子阵 Ai ,i = 1, 2,..., n 均非奇异，则存在唯一单位下三角阵 L 和上三角阵U 使得 A = LU 。
注： li,k
=
ai,k akk
中分母 akk
称为主元。
用高斯变换计算 A 三角分解的代码如下：
Gauss2( A) :=
"没有优化的LU分解"
for j ∈ 1 .. n
U1, j ← A1, j ⊕ "先计算U的第一行"
for i∈ 2 .. n
Li , 1
←
Ai , 1 U1,1
⊕
"再计算L的第一列"
"下一行中i不能为n,否则j要出界"
"因此Unn要单独计算"
for i∈ 2 .. n − 1
for j ∈ i.. n
i−1
∑ Ui , j ← Ai , j −
n
+ 1, n
，由于U
是n
线性代数中的数值计算
正则化方法
L1正则化
在目标函数中加入L1范数作为惩罚项，实现稀疏解的 选择。
L2正则化
在目标函数中加入L2范数作为惩罚项，防止过拟合现 象的发生。
弹性网正则化
结合L1和L2正则化的优点，同时实现稀疏解和防止过 拟合的目的。
05
非线性方程组的数值解法
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法
通过迭代的方式求解非线性方程组的 根，每一步迭代都需要计算雅可比矩 阵（函数的一阶导数矩阵）和海森矩 阵（函数的二阶导数矩阵）。
有效数字与精度
有效数字表示一个数中可靠数字 的位数，精度则反映了计算结果 的准确性。在数值计算中，需要 关注有效数字的保留和精度的控 制。
误差传播
在复杂的数值计算中，误差可能 会逐步累积和传播，导致最终结 果的失真。因此，需要分析误差 传播规律，并采取相应的措施来 减小误差。
数值稳定性
01
算法稳定性
线性代数中的数值计算
• 数值计算基础 • 线性方程组求解 • 矩阵特征值与特征向量计算 • 线性最小二乘问题 • 非线性方程组的数值解法 • 数值计算中的优化问题
01
数值计算基础
误差与精度
绝对误差与相对误差
描述计算结果与真实值之间的差 异程度，其中绝对误差是计算值 与真实值之差的绝对值，相对误 差是绝对误差与真实值之比。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过近似计算海 森矩阵或其逆矩阵，从而减少计算量 ，提高求解效率。常见的拟牛顿法有 BFGS方法和DFP方法等。
梯度下降法与共轭梯度法
梯度下降法
沿着目标函数的负梯度方向进行迭代，逐步逼近函数的极小值点。该方法适用 于连续可微的凸函数优化问题。
共轭梯度法
结合梯度下降法和共轭方向法的思想，利用历史梯度信息构造共轭方向，从而 加速收敛速度。共轭梯度法适用于大规模非线性优化问题。
数值线性代数课程设计高斯消去法
数值线性代数课程设计⾼斯消去法数值线性代数课程设计线性⽅程组的直接解法数理学院 09405011班 0940501120 沈骁摘要：如何利⽤电⼦计算机来快速、有效的求解线性⽅程组的问题是数值线性代数的核⼼问题。
本⽂将主要介绍解线性⽅程组的基本的直接法——⾼斯消去法，平⽅根法，并⽤实例来验证此⽅法的有效性。
关键字：⾼斯消去法，顺序消去法，选主元消去法，平⽅根法，消元过程，回代过程,主元数和乘数引⾔：因为各种各样的科学与⼯程问题往往最终都要归结为⼀个线性⽅程组的求解问题。
本⽂在⽐较着⼏个⽅法的基础上，通过⼀道实例来得到最⽅便最有效的⽅法。
基本原理：⼯程计算和科学研究中的许多问题，最终归结为线性代数⽅程组的求解。
求解的⽅法也有很多，如⾼斯消去法（顺序消去法，选主元消去法），平⽅根法。
⾼斯消去法是⽬前求解中⼩规模线性⽅程组最常⽤的⽅法；平⽅根法是求解对称正定线性⽅程组最常⽤的⽅法之⼀。
为了更快速、更⽅便的求解线性⽅程组，下⾯我们⽐较⼀下这⼏种⽅法哪种更好。
⼀、⾼斯（Causs ）消去法就是逐步消去变元的系数，将原⽅程组Ax b =化为系数矩阵为三⾓形的等价⽅程组Ux d =，然后求解系数矩阵为三⾓形的⽅程组⽽得出原⽅程组解的⽅法。
把逐步消元去变元的系数，将⽅程组化为以系数矩阵为三⾓形的等价⽅程组的过程称为⼩院过程；把求系数矩阵为三⾓形的⽅程组解的过程称为回代过程。
最初求解⽅程组的⾼斯消去法也称为顺序消去法，它由消元过程和回代过程组成。
顺序消去法 1．消元过程考虑⼀般⽅程组，为了推导过程⽅便，记系数矩阵A 的元素ij a 为(0)ij a ，右端向量b 的元素i b 记为(0),1i n a +，于是⽅程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=+++=（1.1）成为()()()()()()()()()()()()00011112211100021122222100011221n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++?+++=?+++=+++=假设(0)110a ≠，将第1个⽅程乘以(0)1(0)11()i a a -加到第i 个⽅程(2)i n ≤≤,得到第1个导出⽅程组(0)(0)(0)(0)111122111(1)(1)(1)222221(1)(1)(1)221n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a a x a x a +++?++=?+=??+=其中：(0)(1)(0)(0)11(0)11i ij ij j a a a a a =-，2i n ≤≤，21j n ≤≤+。
高等代数知识体系 数值分析与线性代数
高等代数知识体系数值分析与线性代数高等代数是数学的一个重要分支，它涉及一系列抽象的数学概念和理论，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
在高等代数的学习和应用过程中，数值分析和线性代数是不可或缺的两个方面。
一、数值分析数值分析是研究利用数值方法解决数学问题的学科。
它通过数值计算来近似求解无法用解析方法得到精确解的问题，包括求解非线性方程、数值积分、差分方程等。
数值分析的基本原理和方法是在给定的数学模型基础上，通过离散化、近似计算等手段，得到问题的数值解。
数值分析的核心内容包括插值与逼近、数值积分、常微分方程的数值解法、线性方程组的数值解法等。
插值与逼近用于通过已知数据估计函数的值，数值积分研究如何用数值方法近似计算函数的积分，常微分方程的数值解法是为了解决微分方程的数值解问题，线性方程组的数值解法是为了求解线性方程组的数值解。
二、线性代数线性代数是研究线性方程组、向量空间和线性变换等代数结构的学科。
它是数学中的一个基础学科，也是许多应用学科的重要工具和方法。
线性代数的基本概念包括向量、向量空间、线性方程组、矩阵等。
线性代数的核心内容包括线性方程组的解法、矩阵理论、特征值与特征向量、向量空间与线性映射等。
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法等，矩阵理论研究矩阵的性质和运算规律，特征值与特征向量揭示了矩阵的重要性质，向量空间与线性映射研究向量的线性组合和线性映射的性质。
三、高等代数知识体系与应用高等代数知识体系是数值分析和线性代数的有机结合，通过运用高等代数的基本概念、原理和方法，解决实际问题。
数值分析和线性代数在科学与工程计算、数据处理与统计学、优化与控制等领域有广泛的应用。
在科学与工程计算中，数值分析和线性代数被广泛应用于模拟计算、数值模拟和优化计算等领域。
例如，通过数值计算方法求解微分方程、求解大规模线性方程组、优化问题等，可以得到实际问题的数值解。
在数据处理与统计学中，数值分析和线性代数被广泛应用于数据分析、数据挖掘和机器学习等领域。
徐树芳-数值线性代数-答案完全版精选全文完整版
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
数值线性代数
数值线性代数数值线性代数是应用数学中的一个重要分支，它研究的是利用数值方法解线性代数问题。
线性代数是数学中的基础课程，涉及向量、矩阵、线性方程组等概念。
数值线性代数则是将线性代数的理论应用于实际问题的数值计算中。
1. 矩阵和向量在数值线性代数中，矩阵和向量是最常见的数据结构。
矩阵是一个二维的数据表，可以用来表示线性方程组的系数矩阵。
向量则是一个一维的数据结构，可以表示线性方程组中的未知数。
2. 线性方程组的求解解线性方程组是数值线性代数的一个重要问题。
线性方程组可以通过矩阵和向量的乘法表示为Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是已知向量。
数值线性代数中的求解方法包括直接法和迭代法。
直接法通过行变换将线性方程组化简为上三角形式或对角形式，然后通过回代求解。
直接法的优点是计算量小，适用于系数矩阵稀疏的情况。
常用的直接法有高斯消元法和LU分解法。
迭代法则是通过不断迭代，逐渐逼近线性方程组的解。
迭代法的优点是适用于大规模线性方程组和稀疏矩阵，但收敛速度相对较慢。
常用的迭代方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是数值线性代数中的重要概念。
给定一个方阵A，非零向量x称为A的特征向量，如果Ax=\lambda x，其中\lambda 是一个常数，称为对应于特征向量x的特征值。
求解特征值和特征向量是数值线性代数中的一个经典问题。
计算特征值和特征向量的方法有多种，常用的有幂法、反幂法和QR算法。
幂法是通过迭代的方式逼近特征值和特征向量，反幂法则是通过求解(A-\mu I)x=b的形式，其中\mu 是一个近似特征值。
QR算法通过将矩阵A分解为QR形式，然后迭代求解R的特征值。
5. 最小二乘问题在实际应用中，往往需要求解超定线性方程组或最小二乘问题。
超定线性方程组是未知数的个数多于方程个数的线性方程组，最小二乘问题则是通过最小化求解线性方程组的残差平方和来获得最优解。
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数值线性代数
数值线性代数是一门研究矩阵和向量运算的学科，旨在通过数值方
法解决线性代数相关的问题。
它在科学计算、数据科学和工程领域应
用广泛。
本文将介绍数值线性代数的基本概念、常见算法和应用领域。
一、矩阵和向量的表示
在数值线性代数中，矩阵和向量是最基本的数据结构。
矩阵是一个
二维数组，可以用行列式来表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表
示为：
A = [a11, a12; a21, a22; a31, a32]
其中a11、a12等为矩阵中的元素。
向量是一个一维数组，可以表示为：
x = [x1, x2, x3, ..., xn]
其中x1、x2等为向量中的元素。
矩阵和向量的运算包括加法、减法、乘法等，这些运算是数值线性代数中的基础。
二、线性方程组的求解
线性方程组是数值线性代数中常见的问题，其中包括未知数个数与
方程个数相等，且每个方程均为一次方程。
例如：
A*x = b
其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为已知向量。
求解线性方程
组的方法有很多，如高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
这些方法可
以通过数值计算来近似求解。
三、矩阵分解
矩阵分解是将一个矩阵分解为若干特定形式的矩阵相乘的过程。
常
见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、奇异值分解等。
矩阵分解
可以用于解决线性方程组、最小二乘问题、特征值和特征向量计算等。
四、特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量是矩阵在变换过程中具有特殊意义的量。
特征向
量是指在矩阵变换中仅改变比例而不改变方向的向量，特征值是对应
特征向量的比例系数。
计算矩阵的特征值和特征向量可以通过数值方法，如幂法、反迭代法、QR算法等。
五、最小二乘问题的求解
最小二乘问题是数值线性代数中的一个重要问题，它是通过最小化
观测数据与线性模型预测之间的差异来求解参数的问题。
最小二乘问
题可以通过矩阵分解、最小化残差向量等方法求解。
六、应用领域
数值线性代数在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于求解量子力学中的薛定谔方程。
在计算机图形学中，
它可以用于图像处理、三维模型生成等。
在机器学习和数据科学中，
它可以用于矩阵分解、聚类分析等。
总结
数值线性代数是一门重要的学科，它研究矩阵和向量运算，并通过数值方法解决线性代数相关的问题。
本文介绍了数值线性代数的基本概念、常见算法和应用领域。
了解数值线性代数对于科学计算和工程应用都具有重要意义，有助于提高问题求解的准确性和效率。