三角形五心的证明
三角形的五心一次看个够
三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是： 点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。
6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
三角形五心定理
三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
一、三角形重心定理（中线的交点）重心原是物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
（证明）2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
（证明）3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理（垂直平分线的交点）三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
外心到三顶点的距离相等2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
三、三角形垂心定理（高的交点）三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
（证明，有何作用）2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
三角形五心的证明
三角形五心的证明
三角形五心证明
三角形五心是一个普遍存在的几何定理，它说明在任何一个三角形中，其内部总是存在三条中垂线相交的心形，在每个角上还有两个凹点，就形
成了五点的心形。
在推导三角形五心定理前，我们先来看看三角形的基本概念：
定义1：三角形是由三条有限直线构成的面，这三条直线两两相交构
成三个点。
定义2：三角形的角是三条有限直线在其共同点处所形成的角，三角
形的三个角一定都是小于180°的角。
定义3：三角形的高是连接其三个顶点的直线与其对边的中垂线，每
一条高垂线将它所连接的对边截成两部分，称之为垂足。
现在我们开始推导三角形五心定理：
步骤一：证明存在三角形内部心形
同样，我们也可以在三角形B和三角形C的内角处做高为b/2和c/2
的垂线。
内心外心重心垂心中心
内心外心重心垂心中心1、重心：三角形的三条中线交点。
2、外心：三角形的三边的垂直平分线交点。
3、垂心：三角形的三条高交于一点。
4、内心：三角形的三内角平分线交于一点。
5、中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
三角形的五心特点：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
5、旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
旁心到三角形三边的距离相等。
三角形有三个旁切圆，三个旁心。
旁心一定在三角形外。
直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。
扩展资料:任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。
重心：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；重心定理：重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。
垂心：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。
外心：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R.内心：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r.参考资料：。
(完整版)三角形五心的证明
三角形五心内心：内切圆的圆心,即三条角平分线的交点.外心:外切圆的圆心,即三条中垂线的交点。
旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。
（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点.重心：三条中线的交点。
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
内心：三条角平分线的交点证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理(角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF,OF=OE∴ OD=OE∴AO为角BAC的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。
由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB，OA=OC.∴OB=OC∴点O在线段BC的中垂线上∴OF为线段BC的中垂线旁心：证：过点O作三边的垂线,垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE∴ OF=OE∴BO为角ABC的平分线垂心:三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。
∵角BDC=角BEC=90°∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆)。
∴角FBO=角CDE ······①（同弦(弧)所对圆周角相等)又∵角ODA=角AEO=90°∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）.∴角AOE=角ADE （同弦(弧）所对圆周角相等)且角AOE=角BOF∴角ADE=角BOF ······②由①②可知，角OFB=角ODA=90°∴AF为BC边上的高。
重心:三条中线的交点方法一：证：连结AO交BC于点F。
∵D为AB的中点∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）（底相等（AD=BD），高相同（都为点C到AB的距离)）S△AOD=S△BOD∴S△AOC=S△BOC ······①同理可得:S△BOC=S△AOB ······②由①②得,S△AOC=S△AOB又∵△AOC与△AOB底都为AO∴它们高相等，即:点B和点C到AF的距离相等.对于△AFB和△AFC，底相同(为AF）,高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。
三角形五心
三角形五心三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。
三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。
重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个。
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
重心定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。
重心坐标为三顶点坐标平均值（在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]）。
三条中线相交的点叫做重心。
外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
外心到三顶点距离相等。
过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形有且只有一个外接圆。
内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有且只有一个内切圆。
垂心三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。
旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。
旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
三角形有三个旁切圆，三个旁心。
这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：垂心性质三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
(完整版)三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
【高中】三角形的五心【强烈推荐】[1]
三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．ABCOABCD EFGAB CDEFI aIK HEFD ABCMABCDEFG证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．C情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
三角形的五心定理
三角形的五心定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽．二引伸与推广1．重要性质及其相互间的联系三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．上述性质读者可自行证明，下面我们给出几个推广．2．重心定理的推广证明如图7，直线CKF截ΔABD，由梅涅劳斯定理，有虽然当n=2时，有S△GHK=0，G、H、K重合于重心.如果我们称n（≥3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：定理2n边形的各条中线（若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．证明当n=3时为重心定理，结论成立，假设n=k-1，（k≥4）时，命题成立，则当n=k 时，在k边形A1A2…Ak中，如图8，若S是k-2边形A1A2…Ak-2的重心，则Ak-1S、AkS 分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的中线．设Ok-1和O′k-1分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的重心，则根据假设有连接AkOk-1、Ak-1O′k-1，则它们是k边形的两条中线，且交于一点，设交点为O，连接Ok-1O′k-1，则有Ok-1O′k-1∥Ak-1Ak，所以ΔOOk-1O′k-1∽ΔOAk-1Ak．因此，k边形A1A2…Ak的相邻两条中线Ak-1O′k-1，AkOk-1交于O点，且被O点内分为（k-1）∶1．同理可证k边形A1A2…Ak的任意相邻两条中线的交点内分每条中线为（k-1）∶1，由此推得，k边形的所有中线过一点，且被这点内分为（k-1）∶1．综上所述，定理得证．3．外心定理的推广定理3过ΔABC三边中点D、E、F分别作与三边倾斜角均为α的斜线且顺序一致，三斜线相交得ΔGHK，则SΔGHK=cos2α·SΔABC．证明如图9，首先我们证ΔKGH∽ΔABC，因为∠KFA=α=∠KEA，因为A、K、F、E四点共圆，所以∠GKH=∠BAC．同理可证∠G=∠B，∠H=∠C，故ΔKGH∽ΔABC．又由正弦定理，有同理，B、G、D、F共圆，有①+②得显然，当α=90°，即S△KGH=0时正是外心定理．对外心定理，还有下面的推广证明略．4．垂心定理的推广定理5从ΔABC三顶点分别作对边的斜线，与对边的交角为α，且顺序一致，三斜线相交成ΔGHK．则SΔGHK=4cos2α·SΔABC．证明如图10，过A、B、C分别作对边的平行线交得ΔA′B′C′，则A、B、C分别为ΔA′B′C′三边的中点，由定理3有SΔGHK=cos2α·SΔA′B′C′=4cos2α·SΔABC．显然，α=90°时为垂心定理．垂心定理还可理解为三角形一顶点与另两条高交点的连线垂直于对边，那么对五边形，我们有定理6在一五边形中，若有四个顶点向对边所作的高交于一点，则第五个顶点与其交点的边线也垂直于对边．证明如图11，设在五边形ABCDE中，AF⊥CD、BG⊥DE、CH⊥AE，DI⊥AB；且AF、BG、CH、DI交于O点，连接EO并延长交BC于K，连HG，则四边形AHFC、AIFD、BIGD、OHEG各内接于圆．所以OA·OF=OH·OC，OA·OF=OI·OD．OI·OD=OB·OG，∠1=∠2．所以OH·OC=OB·OG，故C、B、H、G内接于圆．所以∠2=∠3，则∠1=∠3．所以四边形BEGK内接于圆．而BG⊥DE，故EK⊥BC，命题得证．此结论可推广到2n+1边形．三．定理的应用例1设G为△ABC的重心，M、N分别为BC、CA的中点，求证：四边形GMCN和△GAB的面积相等．证明如图12，连GC，则例2三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．证明如图13，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．又DB=2OM，所以AH=2OM．同理可证BH=2ON，CH=2OK．证毕．例3AD是ΔABC的一条高；以AB、AC为边向外作正方形ABEF和ACGH，连BG、EC，求证：AD、BG、CE相交于一点．证明如图14，延长DA至K，使AK=BC，连FK、KH；则ΔKAH≌ΔBCA，ΔKAF≌ΔCBA，连KC、KB，则可得ΔKAC≌ΔBCG，ΔKAB≌ΔCBE．于是∠ACK=∠CGB，∠KBA=∠BEC，且它们分别为∠KCG及∠KBE的余角．所以BG⊥KC，CE⊥KB，从而AD、BG、CE为ΔKBC的三条高线，故它们相交于一点．例4在ΔABC中，AB=AC，圆O内切ΔABC的外接圆于D，且与边AB、AC分别相切于P、Q，证明：线段PQ的中点是ΔABC的内心．证明如图15，连接AD、PD、QD，易知AD平分∠PDQ及∠A，因为PQ∥BC，所以∠APQ=∠ABC①又AB切⊙O于P，则∠APQ=∠PDQ=2∠PDM②再连BD、BM，由于∠PBD=∠PMD=90°，故P、B、D、M四点共圆．所以∠PBM=∠PDM．③由①、②、③可得：∠PBM=∠MBC．即BM是∠ABC的平分线，而AM是∠A的平分线，所以交点M是ΔABC的内心．这是第20届国际数学奥林匹克竞赛试题，其实当AB≠AC时，结论也成立，这个问题留给有兴趣的读者进一步探究．练习与思考1．证明本章“引伸与推广部分命题（1）—（8）．2．G为ΔABC的重心，∠A=90°，求证：GB2+GC2=5GA2．3．ΔABC的外心和垂心分别为O、H，∠A=60°，求证：AO=AH．4．ΔABC中，BC=14cm，BC边上的高AD=12cm，内接圆半径r=4cm，求AB、AC之长．。
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三角形五心
内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。
外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。
旁心:旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。
（类似、但不同于内心) 垂心:三条高的交点。
重心：三条中线的交点。
注：红线为所要证明的线,绿线为辅助线。
内心:三条角平分线的交点
证:过点O作三边的垂线,垂足分别为Ｄ、E、F。
由角平分线定理(角平分线上一点到两边的
距离相等)得:
ＯD=OＦ,ＯF=OE
∴ＯD=OE
∴ＡO为角BAC的平分线
外心：三条中垂线的交点
证:连结OＡ、OB、ＯC，并过O点作ＯF⊥BC于点F。
由线段中垂线定理(线段中垂线上一点到
两端点的距离相等),得：
OA＝ＯB，ＯA=OＣ.
∴OB=OC
∴点Ｏ在线段BC的中垂线上
∴OＦ为线段BC的中垂线
旁心：
证：过点O作三边的垂线,垂足分别为D、E、Ｆ。
由角平分线定理（角平分线上一点到两边的
距离相等)得:
ＯD=OF，OＤ=OE
∴OF＝OE
∴ＢO为角ABＣ的平分线
垂心：三条高的交点
证:连结DE，连结AO交ＢC于Ｆ点。
∵角BDC＝角BEＣ＝90°
∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆)。
∴角FBO=角CDE ······①
（同弦（弧)所对圆周角相等)
又∵角ＯDＡ=角ＡEO=９0°
∴O、D、A、Ｅ四点共圆（以ＡO为直径的圆)。
∴角AOE＝角ＡDＥ（同弦(弧)所对圆周角相等）
且角AＯE=角BOF
∴角AＤＥ＝角BOF ······②
由①②可知,角OFB=角ＯＤA＝9０°
∴AF为BC边上的高。
重心：三条中线的交点
方法一：
证:连结AO交BC于点F。
∵D为AＢ的中点
∴S△ＡCD=Ｓ△ＢＣD (S△表示三角形的面积）
（底相等(AD＝BＤ),高相同(都为点Ｃ到AB的距离))
Ｓ△AOＤ=S△BＯD
∴Ｓ△AOC=S△BOC ······①
同理可得:
S△BＯC＝S△AOＢ······②
由①②得,Ｓ△AＯC=Ｓ△ＡＯＢ
又∵△AOC与△AOB底都为ＡO
∴它们高相等,即:点Ｂ和点C到AＦ的距离相等。
对于△AFＢ和△AFC，底相同(为AF），高相等(分别为点B和点C到AF的距离）。
∴Ｓ△ＡFB=S△AＦC
又对于△AＦB和△ＡFC,高相同（为点A到BＣ的距离）。
∴它们底相等，即：BＦ=ＣF
∴AＦ为三角形的中线。
方法二:
证：连AＯ交BC于点F，连DE交AF于点N，
G，H分别为OB、OC的中点，连DG，EH。
连ＧH交AＦ于点M。
∵DE为△ABC的中位线
∴DE＃1/2BC (#表示平行且等于)
同理,可得：GH#1/２BC
∴DE＃GH 即:四边形DEHG为平行四边形。
易证，△ODN≌△ＯHＭ,得HM=DN
∵DG为△ABO的中位线
∴DG∥NＭ，即四边形DGMN为平行四边形
∴DN=GM
∴HM=GM，再由三角形中位线定理得，BF=ＣF。
∴ＡF为三角形的中线。
三角形有五颗心，重外垂内和旁心, 五心性质很重要，认真掌握莫记混.
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”,重心性质要明了,
重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一,灵活运用掌握好．
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线,三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混,内切外接是关键.
垂心
三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形，出现直角三对整,
直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有，细心分析可找清．
内心
三角对应三顶点,角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混,做起题来真是好。