2013--2020年安徽省中考数学分类汇编13---二次函数压轴题22题 (含解析)
2013--2020年年年年年年年年---年年年年年年年22年一、解答题（本大题共8小题，共92.0分）1.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示．(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？2.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x的二次函数y1=2x2−4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A(1,1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．3.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？4.如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．5.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润=收入−成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？6.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？7.一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1)求k，a，c的值；(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．8.在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,1)，直线y=x+m经过点A，抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y=x+m上，并说明理由；(2)求a，b的值；(3)平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y=x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．答案和解析1.【答案】解：(1)当1≤x ≤20时，令30+12x =35，得x =10，当21≤x ≤40时，令20+525x =35，得x =35，经检验得x =35是原方程的解且符合题意，即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．(2)当1≤x ≤20时，y =(30+12x −20)(50−x)=−12x 2+15x +500，当21≤x ≤40时，y =(20+525x −20)(50−x)=26250x −525， 即y ={−12x 2+15x +500(1≤x ≤20)26250x−525(21≤x ≤40)， (3)当1≤x ≤20时，y =−12x 2+15x +500=−12(x −15)2+612.5，∵−12<0，∴当x =15时，y 有最大值y 1，且y 1=612.5，当21≤x ≤40时，∵26250>0，∴26250x 随x 的增大而减小，当x =21时，26250x 最大，于是，x =21时，y =26250x −525有最大值y 2，且y 2=2625021−525=725，∵y 1<y 2， ∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．【解析】本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．(1)在每个x 的取值范围内，令q =35，分别解出x 的值即可；(2)利用利润=售价−成本，分别求出在1≤x ≤20和21≤x ≤40时，求出y 与x 的函数关系式；(3)当1≤x ≤20时，y =−12x 2+15x +500=−12(x −15)2+612.5，求出一个最大值y 1，当21≤x ≤40时，求出一个最大值y 2，然后比较两者的大小即可得解．2.【答案】解：(1)设顶点为(ℎ,k)的二次函数的关系式为y =a(x −ℎ)2+k ，当a =2，ℎ=3，k =4时，二次函数的关系式为y =2(x −3)2+4．∵2>0，∴该二次函数图象的开口向上．当a =3，ℎ=3，k =4时，二次函数的关系式为y =3(x −3)2+4．∵3>0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y =2(x −3)2+4与y =3(x −3)2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y =2(x −3)2+4与y =3(x −3)2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y =2(x −3)2+4与y =3(x −3)2+4．(2)∵y 1的图象经过点A(1,1)，∴2×12−4×m ×1+2m 2+1=1．整理得：m 2−2m +1=0．解得：m 1=m 2=1．∴y 1=2x 2−4x +3=2(x −1)2+1．∴y 1+y 2=2x 2−4x +3+ax 2+bx +5=(a +2)x 2+(b −4)x +8∵y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，∴y 1+y 2=(a +2)(x −1)2+1=(a +2)x 2−2(a +2)x +(a +2)+1．其中a +2>0，即a >−2．∴{b −4=−2(a +2)8=(a +2)+1． 解得：{a =5b =−10． ∴函数y 2的表达式为：y 2=5x 2−10x +5．∴y 2=5x 2−10x +5=5(x−1)2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5>0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×(0−1)2=5，②当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5(3−1)2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．【解析】(1)只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．(2)由y1的图象经过点A(1,1)可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质(开口方向、增减性)，考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．3.【答案】解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80，∴a=−14x+10，3a=−34x+30，∴y=(−34x+30)x=−34x2+30x，∵a=−14x+10>0，∴x<40，则y =−34x 2+30x(0<x <40)；(2)∵y =−34x 2+30x =−34(x −20)2+300(0<x <40)，且二次项系数为−34<0， ∴当x =20时，y 有最大值，最大值为300平方米．【解析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．(1)根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，可得出AE =2BE ，设BE =a ，则有AE =2a ，表示出a 与2a ，进而表示出y 与x 的关系式，并求出x 的范围即可；(2)利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可．4.【答案】【解析】(1)把A 与B 坐标代入二次函数解析式求出a 与b 的值即可；(2)如图，过A 作x 轴的垂直，垂足为D(2,0)，连接CD ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，分别表示出三角形OAD ，三角形ACD ，以及三角形BCD 的面积，之和即为S ，确定出S 关于x 的函数解析式，并求出x 的范围，利用二次函数性质即可确定出S 的最大值，以及此时x 的值．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．5.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数解析式为y =kx +b(k ≠0)，则{50k +b =10060k +b =80，得{k =−2b =200， 即y 与x 之间的函数表达式是y =−2x +200；(2)由题意可得，W =(x −40)(−2x +200)=−2x 2+280x −8000，即W 与x 之间的函数表达式是W =−2x 2+280x −8000；(3)∵W =−2x 2+280x −8000=−2(x −70)2+1800，40≤x ≤80，∴当40≤x ≤70时，W 随x 的增大而增大，当70<x ≤80时，W 随x 的增大而减小，当x =70时，W 取得最大值，此时W =1800，答：当40≤x ≤70时，W 随x 的增大而增大，当70<x ≤80时，W 随x 的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．【解析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．(1)根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；(2)根据题意可以写出W与x之间的函数表达式；(3)根据(2)中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，即可得到利润W随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少．6.【答案】解：(1)培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有(50+x)盆，花卉有(50−x)盆，所以W1=(50+x)(160−2x)=−2x2+60x+8000，W2=19(50−x)=−19x+950；(2)根据题意，得：W=W1+W2=−2x2+60x+8000−19x+950=−2x2+41x+8950=−2(x−414)2+732818，因为−2<0，且x为整数，所以当x=10时，W取得最大值，最大值为9160，答：当x=10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．【解析】本题主要考查二次函数的应用及二次函数的性质，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式，属于中档题．(1)培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有(50+x)盆，花卉有(50−x)盆，根据“总利润=盆数×每盆的利润”可得函数解析式；(2)将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．7.【答案】解：(1)由题意得，k+4=2，解得k=−2，又∵二次函数顶点为(0,4)，∴c=4，把(1,2)带入二次函数表达式得a +c =2，解得a =−2，(2)由(1)得二次函数解析式为y =−2x 2+4，令y =m ，得2x 2+m −4=0∴x =±√4−m 2，设B ，C 两点的坐标分别为(x 1,m)(x 2,m)，则|x 1|+|x 2|=2√4−m 2， ∴W =OA 2+BC 2=m 2+4×4−m 2=m 2−2m +8=(m −1)2+7，∴当m =1时，W 取得最小值7．【解析】(1)由交点为(1,2)，代入y =kx +4，可求得k ，由y =ax 2+c 可知，二次函数的顶点在y 轴上，即x =0，则可求得顶点的坐标，从而可求c 值，最后可求a 的值(2)由(1)得二次函数解析式为y =−2x 2+4，令y =m ，得2x 2+m −4=0，可求x 的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可．8.【答案】解：(1)点B 是在直线y =x +m 上，理由如下：∵直线y =x +m 经过点A(1,2)，∴2=1+m ，解得m =1，∴直线为y =x +1，把x =2代入y =x +1得y =3，∴点B(2,3)在直线y =x +m 上；(2)∵直线y =x +1与抛物线y =ax 2+bx +1都经过点(0,1)，且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A(1,2)，C(2,1)代入y =ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1， 解得a =−1，b =2；(3)由(2)知，抛物线为y =−x 2+2x +1，设平移后的抛物线为y =−x 2+px +q ，其顶点坐标为(p 2,p 24+q)，∵顶点仍在直线y =x +1上，∴p 24+q =p 2+1，∴q =−p 24+p 2+1， ∵抛物线y =−x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q=−p24+p2+1=−14(p−1)2+54，∴当p=1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54．【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．(1)根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B(2,3)在直线y=x+m上；(2)因为直线经过A、B和点(0,1)，所以经过点(0,1)的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；(3)设平移后的抛物线为y=−x2+px+q，其顶点坐标为(p2,p24+q)，根据题意得出p24+q=p2+1，由抛物线y=−x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=−p24+p2+1=−14(p−1)2+54，从而得出q的最大值．第11页，共11页。
2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》含答案
2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，∴﹣2＜t＜，∵MN∥x轴，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣t+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴当t＝﹣时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作PM⊥x轴交BC于M．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，∴B（4，0），C（0，2），∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣+2；（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴，∴∠PMC≠90°，当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2，∵y＝﹣+2的对称轴为x＝1，∴P点的横坐标为：2，此时P（2，2）；当∠PCM＝90°时，设P（m，），则M（m，﹣m+2），由PC2+CM2＝PM2得，＝，解得，m＝0（与C的横坐标相同，舍去），或m＝﹣6，此时P（﹣6，﹣10）；综上，P点的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）；（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KL⊥x轴于点L，如图所示，则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P'在QM上，∵y＝﹣+2，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴Q（1，0），∴BQ＝4﹣1＝3，∵∠QBN＝∠CBO，∠QNB＝∠COB＝90°，∴△BQN∽△BCO，∴，即，∴QN＝，∴QK＝2QN＝，∠BQN＝∠KQL，∠BNQ＝∠KLQ＝90°，∴△BQN∽△KQL，∴，即，∴QL＝，∴OL＝1+，∴M（，），设QM的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线QM的解析式为：y＝，联立方程组，解得，，或，∴E（，），F（，），∴EF＝．3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴C（0，﹣2），B（4，0），将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，，∴y＝x﹣2；（2）∵∴，＝，，若以C为顶点，则CE2＝CF2，∴，解得：m1＝2，m2＝4（舍去），若以E为顶点，则EC2＝EF2，∴＝，解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），综合以上得m＝2或m＝4﹣．（3）①∵AC＝，BC＝2，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②如图，当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，∴∠BMR＝∠MPH，∴△PHM∽△MRB，∴又∵AB∥HR，∴∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，令BR＝a，MR＝2a，又∵∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，∴，∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，∴HR＝4a，∴P（4﹣4a，3a），又∵点P在抛物线上，将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：（4﹣4a）﹣2＝3a，∴a（8a﹣13）＝0，a 1＝0（舍），a2＝．∴．∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b＝2，c＝3；（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得：x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；②如图2，当PC＝PH时，∵PH∥OC，∴∠PHC＝∠OCB＝45°，∴∠CPH＝90°，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+2x+3＝3，解得：x＝2或x＝0（舍去），∴P（2，3）；③当CH＝PH时，如图3，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝＝3．∵HF∥OC，∴，∴，解得：x＝3﹣，∴P（3﹣，4﹣2）．综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．（3）∵函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点E （1，4）；设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴MN 2＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，ME 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2，NE 2＝（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2，∵ME 2+NE 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2+（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2＝x 12+x 22﹣2（x 1+x 2）+2+y 12+y 22﹣8（y 1+y 2）+32＝x 12+x 22﹣2x 1x 2+2﹣4+y 12+y 22﹣2y 1•y 2+18﹣48+32 ═（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2， ∴MN 2＝ME 2+NE 2， ∴∠MEN ＝90°， 故EM ⊥EN ，即：△EMN 恒为直角三角形．5．如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4； （1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ ＝，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM的最小周长．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，∴点A的坐标为（2，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴，解得a＝，b＝﹣4，c＝6．∴抛物线的解析式为：y＝；（2）设P（4，y），∵B（6，0），C（0，6），∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3．∴P（4，3+）或P（4，3﹣）．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝，∴CH＝QH＝，∴OH＝6﹣，∴点Q的坐标为（，），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ＝＝，QG＝＝，∴AQ+QG＝，∴△AQM的最小周长为4．6．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动过程中能否存在PQ⊥AC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，∴，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴，即，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ +S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ；（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）若sin∠BCP＝，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，又∵CO＝3AO，∴OC＝3，∴C（0，3），把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．∴当时，PD有最大值．（3）存在．∵，点P在第一象限，∴∠BCP＝45°，∵B（3，0），C（0，3），∴OC＝OB，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BCP＝∠OCB＝45°，∴CP∥OB，∴P（2，3），设BQ与y轴交于点G，在△CPB和△CGB中：2，∴△CPB≌△CGB（ASA），∴CG＝CP＝2，∴OG＝1，∴点G（0，1），设直线BQ：y＝kx+1，将点B（3，0）代入y＝kx+1，∴，∴直线BQ：，联立直线BQ和二次函数解析式，解得：或（舍去），∴Q（，）．8．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴点D的坐标为（2，8）．又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），∴CD＝2，BC═＝6，BD═＝4，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴＝＝2，．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴，即，∴AQ＝20，∴点Q的坐标为（18，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD 相似．9．如图，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k为常数且a＞0）经过点C（﹣1，0），顶点为M，经过点P（0，a+4）的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n：y＝ax+c经过点C．（1）用a表示k及点M的坐标；（2）BP﹣AP的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当直线n经过点B时，求a的值及点A，B的坐标；（4）当a＝1时，设△ABC的外心为点N，则：①求点N的坐标；②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB＜∠ACB，直接写出b的取值范围．解：（1）把点C（﹣1，0）代入L，得0＝a×（1﹣）2﹣2a×（﹣1）+a+k，∴k＝﹣4a．又L：y＝ax2﹣2ax+a+k＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点M（1，﹣4a）．（2）是定值．根据图象，由抛物线的轴对称性，可知BF＝AF，又QL的对称轴为x＝1，故PF＝1，∴由图象可得，BP﹣AP＝（BF+PF）﹣（AF﹣PF），＝BF+PF﹣AF+PF＝2PF＝2．（3）当直线n经过点B时，有ax+a＝a（x﹣1）2﹣4a，化简得，ax2﹣3ax﹣4a＝0，∵a＞0，∴x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∵B在A的右侧，对称轴为x＝1，∴B（4，a+4），A（﹣2，a+4），把点B代入直线n，得a+4＝4a+a，解得a＝1，∴A（﹣2，5），B（4，5）．（4）①根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x＝1就是AB的垂直平分线，故△ABC的外心N就在直线x＝1上，则有AN＝CN．∴设N（1，c），由（3）可知A（﹣2，5），及C（﹣1，0），∴（﹣2﹣1）2+（5﹣c）2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣c）2，即32+（5﹣c）2＝22+c2，解得c＝3．∴N（1，3）．②或b．如图，对于点Q（1，b），若∠AQB＝∠ACB，根据同弧所对的圆周角相等，可得点Q为x＝1与⊙N的交点，由（4）①得，⊙N的半径为r＝NC＝（﹣1﹣1）2+（0﹣3）2＝，则b＝﹣（r﹣c）＝﹣（﹣3）＝3﹣；设点Q关于直线AB的对称点为Q'（1，d），若∠AQ'B＝∠ACB，则d＝FQ'+5＝FQ+5＝（5+|3﹣|）+5＝+7．综上，若点Q满足∠AQB＜∠ACB，则有b或b．10．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，∴E（m，），C（m，﹣m+4）．∴EC＝＝．∵点C是DE的中点，∴．解得：m＝2，m＝4（舍去）．∴ED＝OB＝4，∴四边形ODEB为矩形．（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，∴OD′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOD′＝∠M′OD′，∴△M′OD′∽△D′OB，∴．∴．∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC ＝6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标：（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），把C点的坐标代入可得6＝﹣12a，解得a＝．∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴．∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，），当点F在x轴下方时，有，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，），综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上．∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．12．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，﹣4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴A点坐标为（﹣2，0），∴，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，①作FH⊥x轴，如图，∵B（4，0），C（0，﹣4）．∴OB＝OC＝4，∴，∵FH∥BC，∴△BHF∽△BOC，∴，∴．解得：HF＝．∴＝．当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．②∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，若∠BEF＝90°，则cos∠EBF＝，解得：t＝．若∠EFB＝90°，则cos∠EFB＝．解得：t＝．综合以上可得，若△EBF 为直角三角形，t 的值为或．13．如图，在直角坐标系中，y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左），与y 轴交于C 点．（1）若△ABC 的面积为，求抛物线的解析式；（2）已知点P 为B 点右侧抛物线上一点，连PC ，PB 交y 轴于D 点，若∠BCP ＝2∠ABC ，求的值；（3）若P 为对称轴右侧抛物线上的动点，PA 交y 轴于E 点，判断的值是否为定值，说明理由．解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点，∴ax 2+4 ax +3a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），当x ＝0，y ＝3a ，∴OC ＝﹣3a ，∵S △ABC ＝， ∴， 解得a ＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣；（2）如图，过B 点作BM ⊥x 轴交CP 于M ，过点C 作CF ⊥BM 于点F ，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∵∠BCP＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠BCF＝∠FCM，∵CF＝CF，∴△CBF≌△CMF（ASA），∴BF＝FM，∴M（3，6a），又∵C（0，3a），设CP解析式y＝mx﹣3m，∴8a＝m×2，∴m＝4a，∴y＝4ax﹣12a，∴，解得：x1＝3，x2＝5，∴P（5，8a），∴直线BP的解析式为y＝4ax﹣12a，∴D（0，﹣12a），∵OC＝|3a|，OD＝|﹣12a|，∴；（3）∵A（1，0），∴设PA的解析式y＝k1x﹣k1，∴∴ax2﹣（4a+k1）x+3a+k1＝0，∴（ax﹣3a﹣k1）（x﹣1）＝0，解得，x＝1或x＝，∴x p＝3+，∵B（3，0），∴设PB的解析式y＝k2x﹣3k2，∴，∴ax2﹣（4a+k2）x+3a+3k2＝0，∴（ax﹣a﹣k2）（x﹣3）＝0，∴x p＝1+．又∵EC＝﹣k1﹣3 a，DE＝﹣3k2﹣3 a，∴＝＝．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点点A（0，1）、点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （0，1），B （9，10）代入函数解析式，得， 解得，∴抛物线的解析式y ＝x 2﹣2x +1；（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1）， ∴x 2﹣2x +1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0（舍），即C 点坐标为（6，1），∵点A （0，1），点B （9，10），∴直线AB 的解析式为y ＝x +1，设P （m ，m 2﹣2m +1），∴E （m ，m +1），∴PE ＝m +1﹣（m 2﹣2m +1）＝﹣m 2+3m ．∵AC ⊥PE ，AC ＝6，∴S 四边形AECP ＝S △AEC +S △APC ＝AC •EF +AC •PF ＝AC •（EF +PF ）＝AC •EP ＝×6×（﹣m 2+3m ）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣）2+，∵0＜m ＜6，∴当m ＝时，四边形AECP 的面积最大，此时P （，﹣）；（3）∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣3）2﹣2，∴P （3，﹣2）．∴PF＝y F﹣y p＝3，CF＝x F﹣x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可得∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，，即，解得t＝4，∴Q（4，1）；②当△CQP∽△ABC时，，即，解得t＝﹣3，∴Q（﹣3，1）．综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（﹣3，1）．15．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线的对称轴上一点，连接BP，CP，当四边形BOCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，在线段CD上是否存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，∴令x＝0，y＝3，∴C（0，3）．∴OC+OB＝3+1＝4，∴当四边形BOCP的周长最小时，则CP+BP最小，如图1，连接AC，与对称轴的交点即为所求的点P，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：．∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴为x＝＝2，∴x＝2时，y＝﹣2+3＝1，∴P（2，1）．（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1），又∵C（0，3），∴直线CD为y＝﹣2x+3，OC＝3，∵A（3，0），∴AB＝2，∠BAC＝∠OCA＝45°，∴AC＝3，∴．∵∠ABC＝90°+∠OCB，∴∠ABC为钝角，若△AMO与△ABC相似，显然∠ABC＝∠OMA，则在线段CD上存在点M使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，①若点M在x轴上方时，如图2，当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，设M（a，﹣2a+3），∴a＝﹣2a+3，解得a＝1，∴M（1，1）．此时OM＝，OA＝3，∴，∴．则△ABC∽△OMA．②若点M在x轴下方，如图3，∵M在线段CD上，∴∠AOM≠45°，∴∠OAM＝∠BAC＝45°，∴M（2，﹣1），此时点M与点D重合，AM＝，OA＝3，∴．则△ABC∽△AMO．综合以上可得，在线段CD上存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似，此时点M的坐标为（1，1）或（2，﹣1）．16．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q 作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求线段PG的长；（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求S．△OBE解：（1）一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：y＝﹣x+4；即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝QG，设点Q（m，﹣m+2），则点G（m，﹣m+4），QM•QN＝m×（﹣m+4+m﹣2）＝（﹣m2+2m），当m＝2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；（3）设：∠APE＝∠ABO＝∠α，则tan；①当PE在AP下方时，如图1，由点A（0，2）、P（2，3）知，AP＝，设AP与y轴的夹角为β，则tanβ＝2，过点H作MH⊥PA交PA的延长线于点M，设：MA＝x，则MH＝2x，tan∠APH＝＝＝tanα＝，解得：x＝，则AH＝x＝，则点H（0，），设直线PH的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线PH的解析式为y＝x+，联立抛物线的解析式和直线的解析式：，解得：x＝2（舍去）或﹣，∴点E（﹣，﹣），∴＝＝．②当PE在AP上方时，如图2，过点P作PM⊥y轴交于点M，交抛物线于点E，∵tan∠APM＝．tan∠ABO＝，∴∠APM＝∠ABO，∵PE∥x轴，∴E点的纵坐标为3，将y＝3代入抛物线解析式求得x＝1，∴E（1，3），∴＝6．综上可得△OBE的面积为或6．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得b＝2，c＝3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE＝PA．由y＝﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，∴DF＝CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝45°，∴∠EDP＝∠EPD＝45°，∴DE＝EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2＝（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA＝90°，∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8＝0解得，m＝﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图2，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，∴∠CBQ＝∠CDM．∴△DCM与△BQC相似有两种情况．当时，∴，解得DM＝．∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．∴M（1，）．1当时，∴，解得DM＝3，∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．∴M（1，1）．2综上，点M的坐标为或（1，1）．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC 于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，∴点C（0，﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝3k﹣3∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQ∥OC，∴∠PQB＝45°，若BP＝PQ，∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，∴m＝1，若BP＝QB，∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，∴∠QBP＝90°，∴BP解析式为：y＝﹣x+3，∴解得：，∴点P（2，1）∴m＝2；若PQ＝QB，∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，综上所述：m＝1或2或±．19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S＝3，请求出点P的坐标．△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．20．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），（3）①当点P在x轴上方时，如图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，则PB＝PA＝a，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，则PB2＝2a2＝16+8．②当点P在x轴下方时，同理可得．综合以上可得，PB2的值为16+8．。
2020年中考数学二次函数压轴题(含答案40页)
2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
2020年九年级数学备战中考：二次函数压轴题(含答案)
二次函数压轴题中考真题集合1.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD.（1）用含a的代数式表示点C的坐标.（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式.（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1S2=23，求a的值.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.（1）求抛物线的解析式.（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.（3）当PH＝2时，求点P的坐标.3.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E.（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.4.如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A.点P以每秒√2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQNQ =12时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值.5.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C.（1）求这个抛物线的函数表达式.（2）点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值. （3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式.（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=√2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标.（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出ΔPCE与ΔACD全等时点P的坐标.x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12＝﹣1x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交2于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7.（1）求此抛物线的解析式.（2）求点N的坐标.时，求点F的坐标.（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝12（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤ √5），请直接写出S与t的函数关系式.8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y=−2x2+ bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B.（1）求抛物线的解析式.BF时，求（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=12sin∠EBA的值.（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.9.在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D.（1）求抛物线的解析式.（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ 时，求点P的坐标.（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH.请直接写出线段BH的最小值.x2+bx+c与x轴交于A（−1,0），B（5,0）两点，顶点为C，对称轴交10.抛物线y=−29x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C,D重合）.过点C作直线PB 的垂线交PB于点E，交x轴于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点.（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2 √2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标.12.如图，在平面直角坐标系中，RtΔABC的边BC在x轴上，∠ABC=90∘，以A为顶点的抛物线y=−x2+bx+c经过点C(3,0)，交y轴于点E(0,3)，动点P在对称轴上.（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ,CQ，当t为何值时，ΔACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.13.如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=14x2+bx+c经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.14.在平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.15.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．答案解析部分1.【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，即c=−3a，则点C(0,−3a)（2）解：过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，∵∠CDP+∠PDC=90°，∠PDC+∠Q DB=90°，∴∠QDB=∠DCP，设：D(1,n)，点C(0,−3a)，∠CPD=∠BQD=90°，∴△CPD∽△DQB，∴CPDQ =PDBQ=CDBD，其中：CP=n+3a，DQ=3−1=2，PD=1，BQ=n，CD=−3a，BD=3，将以上数值代入比例式并解得：a=±√55，∵a<0，故a=−√55，故抛物线的表达式为：y=−√55x2+2√55x+3√55（3）解：如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，设：OC=m=−3a，S1=SΔOBD=12×OB×DM=32DM，S2=SΔOAC=12×1×m，而S1S2=23，则DM=2m9，HN=12DM=m9=19OC，∴BN=19BO=13，则ON=3−13=83，则DO⊥BC，HN⊥OB，则∠BHN=∠HON，则tan∠BHN=tan∠HON，则HN2=ON×BN=89=(m9)2，解得：m=±6√2（舍去负值），CO=|−3a|=6√2，解得：a=−2√2（不合题意值已舍去），故：a=−2√2.当点C在x轴下方时，同理可得：a=2√2；故：a=−2√2或a=2√2 2.【答案】（1）解：点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4（2）解：tan∠ACO＝AOCO ＝14，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝14或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则a4−a =14或a4−a=4，解得：a＝165或45（3）解：令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN +∠BFN ＝90°，∠FPN +∠PFN ＝90°， ∴∠FPN ＝∠NFB ，∵GN ∥x 轴，∴∠FPN ＝∠NFB ＝∠FBE ， ∵∠PNF ＝∠BEF ＝90°，FP ＝FB ， ∴△PNF ≌△BEF （AAS ）， ∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4﹣a ，∴点P （2a ，4），点H （2a ，﹣4a 2+6a +4）， ∵PH ＝2，即：﹣4a 2+6a +4﹣4＝|2|， 解得：a ＝1或12或3+√174或3−√174（舍去），故：点P 的坐标为（2，4）或（1，4）或（3+√172，4）.3.【答案】 （1）解：在 y =−34x +3 中，令 x =0 ，得 y =3 ，令 y =0 ，得 x =4 ，∴A(4,0) ， B(0,3) ，将 A(4,0) ， B(0,3) 分别代入抛物线 y =−x 2+bx +c 中，得： {−42+4b +c =0c =3，解得：{b =134c =3， ∴ 抛物线的函数表达式为： y =−x 2+134x +3（2）解：存在.如图1，过点 B 作 BH ⊥CD 于 H ，设 C(t,0) ，则 D(t,−t 2+134t +3) ，E(t,−34t +3) ， H(t,3) ；∴EC=−34t+3，AC=4−t，BH=t，DH=−t2+134t，DE=−t2+4t∵ΔBDE和ΔACE相似，∠BED=∠AEC∴ΔBDE∽ΔACE或ΔDBE∽ΔACE①当ΔBDE∽ΔACE时，∠BDE=∠ACE=90°，∴BDDE =ACCE，即：BD·CE=AC·DE∴t(−34t+3)=(4−t)×(−t2+4t)，解得：t1=0（舍去），t2=4（舍去），t3=134，∴D(134，3)②当ΔDBE∽ΔACE时，∠BDE=∠CAE ∵BH⊥CD∴∠BHD=90°，∴BHDH =tan∠BDE=tan∠CAE=CEAC，即：BH·AC=CE·DH∴t(4−t)=(−34t+3)(−t2+134t)，解得：t1=0（舍)，t2=4（舍)，t3=2312，∴D(2312，509)；综上所述，点D的坐标为(134，3)或(2312，509)（3）解：如图3，∵四边形DEGF是平行四边形∴DE//FG，DE=FG设D(m,−m2+134m+3)，E(m,−34m+3)，F(n,−n2+134n+3)，G(n,−34n+3)，则：DE=−m2+4m，FG=−n2+4n，∴−m2+4m=−n2+4n，即：(m−n)(m+n−4)=0，∵m−n≠0∴m+n−4=0，即：m+n=4过点G作GK⊥CD于K，则GK//AC∴∠EGK=∠BAO∴GKEG =cos∠EGK=cos∠BAO=AOAB，即：GK·AB=AO·EG∴5(n−m)=4EG，即：EG=54(n−m)∴DEGF周长=2(DE+EG)=2[(−m2+4m)+54(n−m)]=−2(m−34)2+898∵−2<0，∴当m=34时，∴▱DEGF周长最大值=898，∴G(134，916).4.【答案】（1）解：直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4 ∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点∴{−16+4b+c=00+0+c=4解得：{b=3c=4∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）解：∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x轴于点E，PB＝√2t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP中，sin∠PBE＝PEPB =√22∴BE＝PE＝√22PB＝t，∴x M＝x P＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，y P＝PE＝t ∵点M在抛物线上∴y M＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t，∴MP＝y M﹣y P＝﹣t2+4t，∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴MPNC =MQNQ=12∴−t 2+4t4−t =12解得：t1＝12，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）∴t的值为12（3）解：∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°∵∠AEM＝90°∴AE＝ME∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4∴A（﹣1，0）∵由（2）得，x M＝4﹣t，ME＝y M＝﹣t2+5t∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t＝﹣t2+5t解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF∴CF＝CD∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m∴{−a+m=0a(4−t)+m=−t2+5t解得：{a=tm=t，∴直线AM：y＝tx+t∴F（0，t）∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t∵tx+t＝﹣x+4，解得：x=4−tt+1，∴DG＝x D＝=4−tt+1，∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°∴CD＝√2DG＝√2(4−t)t+1，∴4﹣t＝√2(4−t) t+1解得：t＝√2﹣1综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝√2﹣1.5.【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，解得：a=- 23，故抛物线的表达式为：y=- 23x2- 43x+2，则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1（2）解：连接OP，设点P(x，- 23x2- 43x+2)，则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC= 12×AO×y P+ 12×OC×|x P|- 12×CO×OD= 12×3×(- 23x2- 43x+2) +12×2×(-x)- 12×2×1=-x2-3x+2，∵-1＜0，故S有最大值，当x=- 32时，S的最大值为174（3）解：存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况(△M1N1O)：设点N1的坐标为(x，- 23x2- 43x+2)，则M1E=x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，即：x+1=- 23x2- 43x+2，解得：x=−7±√734(舍去负值)，则点N1( −7+√734，−3+√734)；N2的情况(△M2N2O)：同理可得：点N2( −1−√734，−3+√734)；②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，同理可得：点N3、N4的坐标分别为：( −7−√734，−3−√734)、(−1+√734，−3−√734)；综上，点N的坐标为：( −7+√734，−3+√734)或(−1−√734，−3+√734)或(−7−√734，−3−√734)或(−1+√734，−3−√734).6.【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,0)，B(3,0)两点，∴{a−b−3=09a+3b−3=0，解得：{a=1b=−2，∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3（2）解：如图1，设对称轴与x轴交于点H，∵MN平分∠OMD，∴∠OMN=∠DMN，又∵DM//ON，∴∠DMN=∠MNO，∴∠MNO=∠OMN，∴OM =ON =√2 .在 Rt ΔOHM 中， ∠OHM =90° ， OH =1 .∴ HM =√OM 2−OH 2=√(√2)2−1=1 ， ∴M 1(1,1) ； M 2(1,−1) .①当 M 1(1,1) 时，直线 OM 解析式为： y =x ， 依题意得： x =x 2−2x −3 . 解得： x 1=3+√212， x 2=3−√212，∵ 点 Q 在对称轴右侧的抛物线上运动， ∴Q 点纵坐标 y =x 1=3+√212.∴ Q 1(3+√212,3+√212) ，②当 M 2(1,−1) 时，直线 OM 解析式为： y =−x ， 同理可求： Q 2(1+√132,−1+√132) ，综上所述：点 Q 的坐标为： Q 1(3+√212,3+√212) ， Q 2(1+√132,−1+√132)（3）解：由题意可知： A(−1,0) ， C(0,−3) ， D (1,−4) ，∴AC =√(−1−0)2+(0+3)2=√10 ， AD =√(−1−1)2+(0+4)2=2√5 ， CD =√(0−1)2+(−3+4)2=√2 ， ∵ 直线 BC 经过 B(3,0) ， C(0,−3) ， ∴ 直线 BC 解析式为 y =x −3 ，∵ 抛物线对称轴为 x =1 ，而直线 BC 交对称轴于点 E ， ∴E 坐标为 (1,−2) ；∴CE =√(0−1)2+(−2+3)2=√2 ，设 P 点坐标为 (x,y) ，则CP2=(x−0)2+(y+3)2，则EP2=(x−1)2+(y+2)2，∵CE=CD，若ΔPCE与ΔACD全等，有两种情况，Ⅰ. PC=AC，PE=AD，即ΔPCE≅ΔACD.∴{(x−0)2+(y+3)2=10 (x−1)2+(y+2)2=20，解得：{x1=−3y1=−4，{x2=−1y2=−6，即P点坐标为P1(−3,−4)，P2(−1,−6).Ⅱ. PC=AD，PE=AC，即ΔPCE≅ΔACD.∴{(x−0)2+(y+3)2=20 (x−1)2+(y+2)2=10，解得：{x3=2y3=1，{x4=4y4=−1，即P点坐标为P3(2,1)，P4(4,−1).故若ΔPCE与ΔACD全等，P点有四个，坐标为P1(−3,−4)，P2(−1,−6)，P3(2,1)，P4(4,−1).7.【答案】（1）解：直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣12x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝32，故抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+ 32x+2…①（2）解：抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：32+72=5，故点N的坐标为（5，3）（3）解：∵tan∠ACO＝AOCO =24=12＝tan∠FAC＝12，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝32，即点R的坐标为：（32，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：{n=232m+n=0，解得：{m=−43n=2，故直线AR的表达式为：y＝﹣43x+2…②，联立①②并解得：x＝173，故点F（173，﹣509）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）（4）解：如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝AOCO =12，则sinα＝√5，cosα＝√5；①当0≤t≤ 3√55时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ， 则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α， 则DT ＝LT cosα=HH′cosα=t√5=√52t ，DS ＝ DTtanα ，S ＝S △DST ＝ 12× DT ×DS ＝ 52t 2 ；②当3√55＜t ≤ √5 时（右侧图），同理可得：S ＝ S 梯形DGS′T′ ＝ 12× DG ×（GS ′+DT ′）＝ 12× 3+（√52t +√52t ﹣ 32 ）＝3√52t −94 ；综上，S ＝ {52t 2,(0≤t ≤3√55)3√52t −94,(3√55<t ≤√5).8.【答案】 （1）解：在 y =2x +6 中，当 x =0 时 y =6 ，当 y =0 时 x =−3 ， ∴ C(0,6) 、 A(−3,0) ，∵抛物线 y =−2x 2+bx +c 的图象经过A 、C 两点， ∴ {−18−3b +c =0c =6，解得 {b =−4c =6，∴抛物线的解析式为 y =−2x 2−4x +6（2）解：令 −2x 2−4x +6=0 ，解得 x 1=−3 ， x 2=1 ，∴ B(1,0) ， 设点E 的横坐标为t ，则 E(t,−2t 2−4t +6) ，如图，过点E 作 EH ⊥x 轴于点H ，过点F 作 FG ⊥x 轴于点G ，则 EH ∥FG ，∴△BFG ∽△BEH ，∵EF=12BF，∴BFBE =BGBH=FGEH=23，∵BH=1−t，∴BG=23BH=23−23t，∴点F的横坐标为13+23t，∴F(13+23t,203+43t)，∴−2t2−4t+6=32(203+43t)，∴t2+3t+2=0，解得t1=−2，t2=−1，当t1=−2时，−2t2−4t+6=6，当t2=−1时，−2t2−4t+6=8，∴E1(−2,6)，E2(−1,8)，当点E的坐标为(−2,6)时，在Rt△EBH中，EH=6，BH=3，∴BE=√EH2+BH2=√62+32=3√5，∴sin∠EBA=EHBE =3√5=2√55；同理，当点E的坐标为(−1,8)时，sin∠EBA=EHBE =4√1717，∴sin∠EBA的值为2√55或4√1717（3）解：∵点N在对称轴上，∴x N=−3+12=−1，∵点E 位于对称轴左侧，∴ E(−2,6) . ①当EB 为平行四边形的边时，分两种情况： （Ⅰ）点M 在对称轴右侧时，BN 为对角线，∵ E(−2,6) ， x N =−1 ， −1−(−2)=1 ， B(1,0) ，∴ x M =1+1=2 ，当 x =2 时， y =−2×22−4×2+6=−10 ， ∴ M(2,−10) ；（Ⅱ）点M 在对称轴左侧时，BM 为对角线，∵ x N =−1 ， B(1,0) ， 1−(−1)=2 ， E(−2,6) ， ∴ x M =−2−2=−4 ，当 x =−4 时， y =−2×(−4)2−4×(−4)+6=−10 ， ∴ M(−4,−10) ；②当EB 为平行四边形的对角线时， ∵ B(1,0) ， E(−2,6) ， x N =−1 ， ∴ 1+(−2)=−1+x M ， ∴ x M =0 ，当 x =0 时， y =6 ， ∴ M(0,6) ；综上所述，M 的坐标为 (2,−10) 或 (−4,−10) 或 (0,6) .9.【答案】 （1）解：将点A （3，4），B （﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx +4，得： {9a +3b +4=4a −b +1=0 ，解得 {a =−1b =3，∴y ＝﹣x 2+3x +4（2）解：如图1，过点P 作PE ∥x 轴，交AB 于点E ，∵A （3，4），AD ⊥x 轴，∴D（3，0），∵B（﹣1，0），∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，∴PQDQ =12，∵PE∥x轴，∴△PQE∽△DQB，∴PEDB =PQDQ=12，∴PE4=12，∴PE＝2，∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4，得：﹣（x-2）2+3（x-2）+4＝x+1，解得x1＝3+ √2，x2＝3﹣√2，当x＝3+ √2时，x﹣2＝3+ √2﹣2＝1+ √2，x+1＝3+ √2+1＝4+ √2，∴点P（1+ √2，4+ √2）；当x＝3﹣√2时，x﹣2＝3﹣√2﹣2＝1﹣√2，x+1＝3﹣√2+1＝4﹣√2，∴P（1﹣√2，4﹣√2），∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，∴﹣1＜x﹣2＜3，∴点P的坐标为（1+ √2，4+ √2）或（1﹣√2，4﹣√2）（3）解：由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），∵A（3，4），∴AC∥x轴，∴∠OCA＝90°，∴GH⊥MN，∴∠GHM＝90°，在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，∴点C、G、H、M共圆，如图2，连接CH，则∠GCH＝∠GMH＝60°，∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，∵∠GCH＝60°，∴∠HCM＝30°，又BH⊥CH，∴∠BHC＝90°，∴∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，则CQ＝a，∴QH＝√33a，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴BP＝1+a，在Rt△BPH中，HP＝BPtan30°＝√3（a+1），BH＝BPsin30°＝2（1+a），∵QH+HP＝AD＝4，∴√33a+ √3（a+1）＝4，解得a＝4√3−34，∴BH最小＝2（1+a）＝4√3+12.10.【答案】（1）解：将抛物线化为交点式：y=−29x2+bx+c=−29（x+h）(x+k)将 A （−1,0），B （5,0） 代入可得y =−29（x +1）(x -5) =−29(x 2−4x −5)=−29x 2+89x +109.故抛物线解析式为 y =−29x 2+89x +109（2）解：抛物线的对称轴为 x =2 ，则点 C （2，2）， 设点 P （2，m ），将点 P,B 的坐标代入一次函数表达式： y =sx +t 并解得： 函数 PB 的表达式为： y =−13mx +5m3…①， ∵CE ⊥PE ， 故直线 CE 表达式中的 k 值为 3m ，将点 C 的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线 CE 的表达式为： y =3mx +(2−6m )⋅⋅⋅②联立①②并解得： x =2−2m3故点 F(2−2m3,0) S △PCF ＝12×PC ×DF ＝12（2−m)(2−2m 3−2)=5，解得： m =5 或 −3 （舍去 5 ）， 故点 P （2,−3）;（3）解：由 (2) 确定的点 F 的坐标得：CP 2＝（2−m ）2，CF2＝（2m3）2+4,PF2＝（2m3）2+m 2，①当 CP ＝CF 时，即： (2−m)=(2m 3)2+4 ，解得 m =0 ：或365（均舍去），②当 CP ＝PF 时， (2−m)2=(2m 3)2+m 2 ，解得： m =32或 3 （舍去 3 ），③当 CF ＝PF 时，同理可得： m =±2 （舍去 2 ）， 故点 P(2,32) 或 (2,−2)11.【答案】 （1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得： {−3=4a −2b +29a +3b +2=2 ，解得：{a =−12b =32，故抛物线的表达式为：y ＝ −12 x 2+ 32 x +2，同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：y＝−14x+1，设点P（x，−12x2+32x+2），则点H（x，−14x+1），S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝12×4×1+ 12×PH×BO＝2+2（−12x2+32x+2+14x−1）＝7，解得：x＝2或32，故点P（2，3）或（32，258）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，∵MN＝2 √2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线AP ″的表达式为：y ＝﹣3x +9…③， 联立①③并解得：x ＝ 52，即点M （ 52， 32）， 点M 沿BD 向下平移2 √2 个单位得：N （ 12， −12）.12.【答案】 （1）解：将点 C,E 的坐标代入二次函数表达式得： {−9+3b +c =0c =3 ，解得： {b =2c =3，故抛物线的表达式为： y =−x 2+2x +3 ， 则点 A(1,4)（2）解：将点 A,C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 AC 的表达式为： y =−2x +6 ， 点 P(1,t) ，则点D(6−t2,t)，设点Q(6−t 2,−t 2+20t−244)，S △ACQ =12×DQ ×BC =−t 2+20t−244−t =−14t 2+4t −6 ，∵ −14<0 ，故 S ΔACQ 有最大值，当 t =8 时，其最大值为10（3）解：设点 P(1,m) ，点 M(x,y) ， ①当 EC 是菱形一条边时， 当点 M 在 x 轴下方时，点 E 向右平移3个单位、向下平移3个单位得到 C ， 则点 P 平移3个单位、向下平移3个单位得到 M ， 则 1+3=x ， m −3=y ，而 MP =EP 得： 1+(m −3)2=(x −1)2+(y −m)2 ， 解得： y =m −3=√17 ， 故点 M(4,√17) ； 当点 M 在 x 轴上方时， 同理可得：点 M(−2,3+√14) ； ②当 EC 是菱形一对角线时， 则 EC 中点即为 PM 中点， 则 x +1=3 ， y +m =3 ，而 PE =PC ，即 1+(m −3)2=4+(m −2)2 ，解得：m=1，故x=2，y=3−m=3−1=2，故点M(2,2)；综上，点M(4,√17)或M(−2,3+√14)或M(2,2)13.【答案】（1）解：直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，-3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y= 14x2-x-3…①，则：C（6，0）；（2）解：符合条件的有M和M′，如下图所示，当∠MBE=75°时，∵OA=OB，∴∠MBO=30°，此时符合条件的M只有如图所示的一个点，MB直线的k为- √3，所在的直线方程为：y=- √3x-3…②，联立方程①、②可求得：x=4-4 √3，即：点M的横坐标4-4 √3；当∠M′BE=75°时，∠OBM′=120°，直线MB的k值为- √33，其方程为y=-√33x-3，将MB所在的方程与抛物线表达式联立，解得：x= 12−4√33，故：即：点M的横坐标4-4 √3或12−4√33．（3）解：存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n=- 14m2-m-3…③，P′C所在直线的k1= nm−6，P′B所在的直线k2= n+3m，则：k1•k2=-1…④，③、④联立解得：m=2 √6，则P′（2 √6，3-2 √6），则Q′（6-2 √6，2 √6-3）；②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y= 12x-3，则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，联立①⑤解得点P（-4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其指标为：（-10，32）．．故：存在矩形，点Q的坐标为：（6-2 √6，2 √6-3）或（2，8）或（-10，32）．14.【答案】（1）解：直线y=12x−2，当x=0时，y=−2；当y=0时，x=4，∴B(4,0)，C(0,−2).∵二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，∴{c=−2,12×42+4b+c=0.解得{b=−32,c=−2.∴二次函数的表达式为：y=12x2−32x−2（2）解：过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点C作CG⊥DE于点G，依题意设D(a,12a2−32a−2)，则F(a,12a−2).其中0<a<4，∴FD=12a−2−(12a2−32a−2)=12a2+2a，∴S=SΔBFD+SΔFCD=12FD⋅BE+12FD⋅CG =12FD⋅(BE+CG)=12FD⋅OB=12×4(−12a2+2a) =−a2+4a=−（a−2）2+4∵−1<0，∴抛物线开口向下．又∵0<a<4，∴当a=2时，S有最大值，S最大值=4（3）解：2或2911在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC.过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，设点K的坐标为(m,0)，则OK=m，CK=BK=4−m.在RtΔOKC中，(4−m)2=m2+22，解得m=32.∴CK=52.当∠DCM=∠QCB=2∠ABC=∠OKC时，∴tan∠QCB=BQBC =2√5=MDCM=OCOK=43.∴BQ=8√5 3.易证ΔQHB∽ΔBOC.∴BHOC =BQBC.∴BH=83, HQ=163.∴Q(203,16 3).∵C(0,−2)，∴直线QC的函数表达式为：y=−12x−2.由12x2−32x−2=−12x−2，解得：x1=2，x2=0（舍）.∴D点的横坐标为2.②当∠CDM=∠CQB=2∠ABC时，方法同①，可确定点D的横坐标为2911 15.【答案】（1）解：设y=a(x+1)(x−3)，把C(0，3)代入，得a=−1，∴抛物线的解析式为：y=−x 2+2x+3，顶点D的坐标为(1，4)（2）解：设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，得{3k+b=0，k+b=4.解得k=−2，b=6，∴直线AD解析式为y=−2x+6，s=12PE·OE=12xy=12x(−2x+6)=−x2+3x，∴s=−x 2+3x(1<x<3)，s=−(x 2−3x+94)+94=−(x−32)2+94，∴当x=32时，s取得最大值，最大值为94（3）解：当s取得最大值，x=32，y=3，∴P(32，3)，∴四边形PEOF是矩形，作点P关于直线EF的对称点P '，连接P 'E、P 'F，法一：过P '作P 'H⊥y轴于H，P 'F交y轴于点M，设MC=m，则MF=m，P 'M=3−m，P 'E=32，在Rt△P 'MC中，由勾股定理，(32)2+(3−m)2=m2，解得m=158，∵CM·P 'H=P 'M·P 'E，∴P 'H=910，由△EHP '∽△EP 'M，可得EHEP '=EP 'EM，EH=65，∴OH=3−65=95，∴P '坐标(−910，95)；法二：连接PP '，交CF于点H，分别过点H、P '作PC的垂线，垂足为M、N，易证△CMH∽△HMP，∴CMMH =MHPM=12，设CM=k，则MH=2k，PM=4k，∴PC=5k=32，k=310，由三角形中位线定理，PN=8k=125，P 'N=4k=65，∴CN=PN−PC=125−32=910，即x=−910，y=PF−P 'N=3−65=95，∴P '坐标(−910，95)．把P '坐标(−910，95)代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上．。
专题13 二次函数解答压轴题(共30道)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题13二次函数解答压轴题（30道）一、解答题(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求(1)求抛物线的解析式．(1)求这个二次函数的表达式．AC y=(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线:点，求MCD△面积的最大值．(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在平面直角坐标系中，2(1)求a，b的值；(2)如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图②，在（2）的条件下，当63S=时，连接BE交y轴于点在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠点B的右侧，12 PBM GBM FRB DEG∠-∠=∠+∠，过点M作MN⊥上，连接MV，使12BL NV BV-=，若EBF VMN∠=∠，求直线5．（2023·湖南益阳·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线(1)求A点的坐标；(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点的值；(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是围．6．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线过点(4,2)，直线112y x=+与抛物线交于B，D对称轴右侧的点(,1)M t，直线m上每一点的纵坐标都等于(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C与x轴相切；4MF (1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当3m AB =时，求矩形框架ABCD 的面积1S 并比较8．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图（1），二次函数25y ax =-两点，与y 轴交于点()0,4C -．(1)求二次函数的解析式和b的值．(2)在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接的动点（点E'不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合）E'，线段AE的对应线段为A E''，连接E C'，9．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，抛物线()C，顶点为D．0,33(1)求抛物线的表达式；(2)若点E在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为(3)在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在6，如果存在，请直接写出点(1)如图1，若抛物线过点C ，求抛物线的表达式和点F 的坐标；(2)如图2，在（1）的条件下，连接CF ，作直线CE ，平移线段F 的对应点Q 落在抛物线上，求点Q 的坐标；(3)若抛物线()220y ax ax c a =-+<与正方形ABCD 恰有两个交点，求素材2根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离问题解决任务1计算投掷距离建立合适的直角坐标系，求素材任务2探求高度变化求素材2和素材任务3提出训练建议为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．12．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线8(1)求抛物线的解析式；(2)当BEF △的周长是线段(3)当点P 运动到抛物线顶点时，点交直线l 于点M ．当BQ 13．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线(1)求b ，c 的值．(2)点()(000,05P x y x <<①当0x 取何值时，PBC ②过点P 作PE x ⊥轴，交P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点14．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数()0,2A ，与x 轴的交点为点10(1)求这个二次函数的表达式；(2)点E ，G 在y 轴正半轴上，2OG OE =，点D 在线段OC 上，3OD OE =ODFE ，连接GD ，设OE a =．①连接FC ，当GOD 与FDC △相似时，求a 的值；②当点D 与点C 重合时，将线段GD 绕点G 按逆时针方向旋转60︒后得到线段绕点F 按顺时针方向旋转(0180)αα︒<≤︒后得到G FH ''V ，点G ，H 的对应点分别为G FH ''V 的边与线段DE 垂直时，请直接写出点H '的横坐标．15．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与变量x 的部分取值与对应函数值y 如下表：x L1-01234L y L 03-4-3-05L (1)求二次函数2y ax bx c =++的表达式；(2)若将线段AB 向下平移，得到的线段与二次函数(1)直接写出点B的坐标；+的值最小．求点P(2)在对称轴上找一点P，使PA PC(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN补全图形，当2+的值最大时，求点M的坐标．MQ CQ17．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与C-．与y轴交于点(0,4)12(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求(3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若2DF HG=18．（2023·四川雅安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线是直线2x =．(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M 的坐标；(2)若点B 在抛物线上，过点B 作x 轴的平行线交抛物线于点的边长；(3)已知点E 在抛物线的对称轴上，点D 的坐标为边形为菱形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图1，二次函数(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 在二次函数对称轴上，当BCP 面积为5时，求(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D ，使DAB ∠正确，请求出D 的坐标；如果不正确，请说明理由．20．（2023·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系与y 轴交于点A ，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ．(1)如图，若()0,3A ，抛物线的对称轴为3x =．求抛物线的解析式，并直接写出(2)在（1）的条件下，若P 为y 轴上的点，C 为x 轴上方抛物线上的点，当C 的坐标；(3)若抛物线212y x bx c =-++经过点(),2D m ，(),2E n ，()1,1F -，且21．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，抛物线(21y ax bx =+-交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥14(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点(3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()20y ax bx c a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为x =(1)若对于11x =，22x =有12y y =，求t 的值；(2)若对于101x <<，212x <<，都有12y y <，求t 的取值范围．(1)求点C ，D 的坐标；(2)当13a =时，如图1，该抛物线与x 轴交于A ，B 上一点，将直线PD 沿直线AD 翻折，交x 轴于点(3)坐标平面内有两点()1,1,5,1E a F a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，以线段①若1a =，求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到16(1)连接EF ，求线段EF 的长；(2)点()17,M d -在抛物线1L 上，点()216,N d 在抛物线2L 上．比较大小：(3)若点()()123,,21,P n f Q n f +-在抛物线1L 上，12f f <，求26．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数(1)求点,A B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，27．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线()04C ，，点E 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH x 轴，交抛物线于点H ，点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形EFGH 的周长为11时，求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点N 的坐标．28．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C 处，对称轴OC 与水平线OA 垂直，9OC =，点A 在抛物线上，且点A 到对称轴的距离3OA =，点B 在抛物线上，点B 到对称轴的距离是1．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在OC 上找一点P ，加装拉杆,PA PB ，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P 的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为221(0)y x bx b b =-++->，当46x ≤≤时，函数y 的值总大于等于9．求b 的取值范围．29．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．18(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；(3)该抛物线与x 轴的左交点为P 的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．(4)当点B 在x 轴上方时，过点B 作交点（不包括四边形AOBC 的顶点）E 、O 、D （或以点C 、F 、O 有满足条件的m 的值．30．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线123y x =-+交抛物线于,B C 两点（点(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,AF DF ①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan 1PFK ∠=时，求点P 的坐标．。
中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案]
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中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案](总11页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-中考数学专题训练 二次函数压轴题一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-).（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；2. 如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． OABP EQ FxyEN MDCBAOyx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP（3）在（2）的条件下，在x 轴上找一点M ，使得△APM 条件的点M 的坐标．2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线12 x=-（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．3. 如图，已知抛物线于x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
2020年中考数学二次函数压轴题专题复习 (含答案)
2020年中考数学二次函数压轴题专题复习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）.（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.3.如图，二次函数错误!未找到引用源。
的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b= ，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．4.综合与探究：如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示,M是线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线y=0.5x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，抛物线顶点D的坐标为，OE= ；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．7.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒错误!未找到引用源。
2020安徽省中考数学专题复习课件 二次函数性质题(共68张PPT)
二次函数性质题
类型之一 二次函数与几何图形简单综合
[2019·莱芜区节选]如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(－3,0)，B(1,0)，C(0,3) 三点．
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(1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 的面积为 3，求点 P 的坐 标．
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4．[2019·金堂县模拟节选]如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋ c(a<0)经过点 A(－1,0)，B(4,0)，与 y 轴交于点 C，tan∠ABC＝12.
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(1)求抛物线的解析式； (2)点 M 在第一象限的抛物线上，ME 平行于 y 轴交直线 BC 于点 E，连接 AC，AE， 当 ME 取值最大值时，求△ACE 的面积．
∵MN∥y 轴，
∴点 N 的坐标为(m，－m＋3)．
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∵抛物线的解析式为 y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴点(1,0)在抛物线的图象上， ∴1<m<3. ∵线段 MN＝－m＋3－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m＝－m－322＋94， ∴当 m＝32时，线段 MN 取最大值，最大值为94.
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3．[2019·东兰县三模节选]如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A 和点 B(3,0)， 与 y 轴交于点 C(0,3)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 是抛物线上在 x 轴下方的动点，过点 M 作 MN∥y 轴交直线 BC 于点 N，求线段 MN 的最大值．
2020年中考数学试题二次函数分类汇编及答案详解
由“左加右减”的原则可知，将抛物线 向右平移5个单位所得抛物线的解析式为： ；
故选： ．
5．(2020杭州)（3分）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
∴选项B正确，
故选：B．
7．(2020天津)已知抛物线 （ ， ， 是常数 ， ）经过点 ，其对称轴是直线 ．有下列结论：
①
②关于 的方程 有两个不等的实数根；
③ ．
其中，正确结论的个数是（）
A． B． C． D．
答案:C
8.（2020河北）如图，现要在抛物线 上找点 ，针对 的不同取值，所找点 的个数，三人的说法如下，
A． B．
C． D．
【解答】解：如图1所示：当 时，过点 作 于 ．
和 均为等边三角形，
为等边三角形．
，
．
当 时， ，且抛物线的开口向上．
如图2所示： 时，过点 作 于 ．
，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选： ．
2.（2020福建）已知 ， 是抛物线 上的点，下列命题正确的是（）
A.若 ，则 B.若 ，则
A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0
解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得： ，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
当h＝4，则a＝1，故A错误；
当h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
当h＝6，则a ，故C正确；
10.（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米。若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）.
安徽省中考数学压轴题专练(二次函数综合)
安徽省中考数学压轴题专练（二次函数综合）1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB＝3，BC＝，直线y＝经过点C，交y轴于点G．（1）点C、D的坐标分别是C，D；（2）求顶点在直线y＝上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y＝平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．3．如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA＝OD＝2，OC＝OE＝4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．4．如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC 于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．求：（1）C的坐标为；（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时S 的值．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知B（8，0），tan∠ABC＝，△ABC的面积为8．（1）求抛物线的解析式；（2）若动直线EF（EF∥x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．连接FP，设运动时间t秒．当t为何值时，的值最大，求出最大值；（3）在满足（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠BAD＝60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm 的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒．（1）当点P在线段AO上运动时．①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x＝0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；（3）在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？8．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4，另有一等腰梯形DEFG（GF ∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．（1）求等腰梯形DEFG的面积；（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．9．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与反比例函数的图象相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B（t，q）在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求反比例函数的解析式；（2）用含t的代数式表示直线AB的解析式；（3）求抛物线的解析式；（4）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，把△AOB绕点O顺时针旋转90°，请在图②中画出旋转后的三角形，并直接写出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．10．已知如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC．（1）求∠PCB的度数；（2）若P，A两点在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．。
2020中考数学压轴题汇编 二次函数专题(含答案)
2020中考数学 九年级 压轴题汇编 二次函数专题（含答案）1. 如图，抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B (3，0)两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，3)，已知对称轴x ＝1.(1)求抛物线L 的解析式；(2)将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求h 的取值范围；(3)设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x ＝－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．第1题图解：(1)把C (0，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得c ＝3， 把B (3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3， 得9a ＋3b ＋3＝0，又∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴联立⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2，∴抛物线L 的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋3； 设所求抛物线L 的解析式为y ＝m (x －1)2＋n ，把B (3，0)，C (0，3)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝0m ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝4，∴抛物线L 的解析式是y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得抛物线的顶点D (1，4)， 如解图①，过点D 作y 轴的平行线分别交CB ，OB 于点E 、F ， 则△BEF ∽△BCO ， ∴EF OC ＝BFBO ， ∴EF ＝2，∴4－2≤h ≤4，即2≤h ≤4；第1题解图①(3)能．设P (x ，－x 2＋2x ＋3)，如解图②，过点P 分别作x 轴、直线l 的垂线，垂足分别是点M ，N ，第1题解图②∴∠NPM ＝∠QPB ＝90°，即∠NPQ ＝∠MPB ， 又∵PB ＝PQ 且∠PMB ＝∠PNQ ＝90°， ∴△PMB ≌△PNQ (AAS)， ∴PM ＝PN .①当点P 在x 轴上方时，－x 2＋2x ＋3＝x ＋3， 即x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1， ∴P 1(0，3)，P 2(1，4)；②当点P 在x 轴下方，直线l 右侧时，－(－x 2＋2x ＋3)＝x ＋3， 即x 2－3x －6＝0，解得x ＝3±332，分别代入y ＝－x 2＋2x ＋3得P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)，当点P 在x 轴下方，直线l 左侧时，－(－x 2＋2x ＋3)＝－3－x ， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝1(舍去)，综上所述，满足条件的点P 有四个点，分别是P 1(0，3)，P 2(1，4)，P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)．2. 如图，直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点．第2题图(1)求A 、B 两点的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，作MD ∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点， ∴B (3，0)，C (0，3)， ∴OB ＝3，OC ＝3， ∴t an ∠BCO ＝33＝3， ∴∠BCO ＝60°， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACO ＝30°，∴t an30°＝AO CO ＝33，即AO 3＝33，解得AO ＝1，∴A (－1，0)；(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33b ＝233，∴抛物线解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴，MH ⊥BC ， ∴∠MDH ＝∠BCO ＝60°， 则∠DMH ＝30°，∴DH ＝12DM ，MH ＝32DM ，∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋32DM ， ∴当DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点， ∴可设M (t ，－33t 2＋233t ＋3)，。