《大学物理AI》作业 No.07 电势(参考解答)

3.带电量 Q 相同，半径 R 相同的均匀带电球面和非均匀带电球面。其球心处的电势是否相等（以无穷 远为电势零点）？二者球内空间的 E、U 分布是否相同？ 答：均匀带电球面，球心处的电势 U 0
Q 4 0 R
，球内空间 E 处处为零，球内空间电势等于
3
U0
Q 4 0 R
。
非均匀带电球面，球心处的电势： U 0
零电势点
答：（1）不正确。根据电势定义 U P 定，而不是仅由该点的场强决定。
E dr 可知，电势是由场点位置到零电势点间的场强决
P


（2）不正确。由场强与电势的关系 E U 可知，某点的 E 应由该点附近电势分布求得。仅 仅知道某一点的 U 是无法求出 E 的，必须知道 U 的分布才行。 （3）不正确。比如，无限大均匀带电平面的一侧，电场强度处处相等，但是距带电平面垂直距 离不同的地方电势不等。 （4）正确。比如，无限大均匀带电平面的一侧，任取一平面，在该面上 E 值相等，但 U 显然不 一定相等。而在电荷均匀分布的球面的电场中，在与它同心的球面上 E 值相等，且 U 值也相等。因此 E 值相等的曲面上，U 值不一定相等。 （５）正确。U 值相等的曲面是等势面，在等势面上的场强不一定是相等的。这要看某点附近的 电势分布。比如，电偶极子的电场中，在偶极子连线的中垂面是一等势面，但是中垂面上各点场强不 相等；但在电荷均匀分布的球面的电场中，等势面上各点的场强大小相等。因此 U 值相等的曲面上， E 值不一定相等。
电场力将+q0 从内球面移到外球面做功 A q0 (U内 U 外 )
1
6.如图所示，电量为 q 的试验电荷，在电量为+Q 的点电荷产生的电场中，沿半径 为 R 的 3/4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点，电场力做功为（0），再从 d 点移到无穷远
qQ 4 π 0 R ）。 处的过程中，电场力做功为（
U U 6 x 2 14 y 6 2 2 14 3 66 ， 0 y z
8.一半径为 R 的均匀带电球面，带电量为 Q，若规定该球面上电势为零，则球面外距球心为 r 的 P 点 处，其电势 U P =（
R
Q 4 0 r

Q 4 0 R
）。
解： U P
ｘ
计算题 3 图
（提示：考虑电势零点选在哪儿最方便？能不能选无穷远？怎样选积分路径最方便？）
解：带电圆筒是无限长，因此电势零点不能选在无穷远。考虑到电荷分布的对称性，以两圆筒轴线间的 中点为势能零点和座标原点，如图所示。设 P 点座标为ｘ，利用高斯定理可求得则两圆柱筒内侧二表
5
面 b,c 两点连线之间任一 P 点的场强 E 为：
0
r
(r ＜R)
由高斯定理得 2 rhE 2 Ahr / 3 0 解出
3
E Ar 2 / 3 0
当 r＞R 包围在高斯面内的总电荷为
R
R r h
(r＜R)
r

由高斯定理得
V
d V 2 Ah r 2 d r 2 AhR 3 / 3
0
2rhE 2AhR 3 / 3 0 解出 E AR 3 / 3r 0
E

2 0 ( d x )

， 2 0 ( x d ) 2 0 ( d x ) 2 0 ( d x )
则 P 点电势： U P （
x

0

2 0 (d x )


2 0 (d x )
）dx ＝
dx ln 2 0 d x
（２） U U b U c
d (d a ) d (d a ) 2d - a ＝ ln ln ln 2 0 d ( d a ) 2 0 d ( d a ) 0 a
r

Q 4 0 r
2
dr
Q 4 0 R

Q 4 0 r
9.已知某电场的电场线分布情况如图所示。现观察到一负电荷从 M 点移到 N 点的轨迹如图所示，则： 电场强度 EM（>）EN，电势 UM （>）UN ，电势能 WM（<）WN 。（选填：>，<，=） 解：从图中电场线的疏密可知电场强度 EM EN ； 沿着电场方向沿电势降低，即有U M U N ； 对于负电荷，从 M 到 N，电势能增加。
d q 4r 2 d r
q 4 0 R 由典型电荷均匀带电球面电势分布规律 U q 4 0 r
和电势叠加原理可得： 以 r 为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势
计算题 2 图
(r R)
（R 为球面半径）
(r R)
U1 d U1
填空题 9 图
10.一质量为 m、电量为 q 的小球，在电场力作用下，从电势为 U 的 a 点，移动到电势为零的 b 点。若
已知小球在 b 点的速率为 Vb , 则小球在 a 点的速率 Va =（ 解：根据动能定理 q(U 0)
Vb2
2qU m ）。
2qU 1 1 mVb2 mVa2 ，得 Va Vb2 2 2 m
1、理解静电力做功的特点，理解静电场的保守性； 2、掌握静电场的环路定理； 3、理解电势、电势差的概念，掌握利用场强积分和叠加原理求电势的方法； 4、理解电势梯度的意义，并能利用它求电场强度； 5、掌握点电荷、均匀带电球面、均匀带电球体等典型带电体的电势分布。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题 1.静电力做功与（路径）无关，只与（初未位置）有关，因此静电力是一种保守力，静电场是一种
(r＞R)
（２）由场强积分法计算电势分布 r≤R 时： U
Edr
r
R

R
r
A 2 r dr 3 0

r＞R 时： U
A R 3 r 3 9 0

R
r
3 R AR d r AR 3 R E d r ln r 3 r 3 0 r 0
4
2.图示一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 R1，外表面半径为 R2。设无穷远 处为电势零点，求球层中半径为 r 处的电势。 （利用电势叠加原理解此题） 解：r 处的电势等于以 r 为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势 U1 和球面以外 的电荷产生的电势 U2 之和，即 U= U1 + U2 。 在球层中半径为 r 的球面内、外分别取 r → r ＋d r 的薄层，其电荷为
二、简答题
1.下列有关电场强度 E 和电势 U 的关系的说法是否正确，试举例说明。 （1）已知某点的 E 就可以确定该点的 U； （2）已知某点的 U 就可以确定该点的 E；
2
（3）E 不变的空间，U 也一定不变； （4）E 值相等的曲面上，U 值不一定相等； （5）U 值相等的曲面上，E 值不一定相等。
（保守）场。任何一种保守力都可以引入一种相关的势能，与静电力相对应的势能称为（电势能）， 单位电荷所具有的电势能定义为（电势）；电势的大小与（场源电荷）、（场点位置）、（零势点位 置）有关，与检验电荷无关。 2.静电场中电场线与等势面（处处正交），沿着电场线电势总是（降低）。已知电场强度分布可利用 （场强积分）法求出电势分布；已知电势分布的情况下，对电势求（梯度的负值）可得电场强度分 布。 3.电势零点的选择原则上可以是（任意）的，通常对有限大带电体都选（无穷远处或地）为零势点， 对无限大的带电体通常不能选（无穷远处）为电势零点。 4.把一个均匀带电量+Q 的球形肥皂泡由半径 r1 吹胀到 r2 ，则半径为 R( r1 R r2 ) 的高斯球面上任一
E d S 2rhE
S
q
S
内
0
为求高斯面内的电荷，r＜R 时，取一半径为 r，厚 d r、高 h 的薄圆筒，其电荷为 d V 2 Ah r 2 d r ，则 r＜R 包围在高斯面内的总电荷为

V
d V 2 Ah r 2 d r 2 Ahr 3 / 3
dQ 4 0 R

Q 4 0 R
，这与均匀带电球面球心电势相等；但球
Q
内空间各点 E 与球面上 Q 的分布有关，各点的 E 不一定相等，各点的 U 也不一定相等。
三、计算题
1、一半径为 R 的 “ 无限长 ” 圆柱形带电体，其电荷体密度为 =Ar (r≤R) ，式中 A 为常量。试求： 圆柱体内、外各点的电势分布。（利用场强积分法解此题，以圆柱体表面为零电势面） 解：（１）先求圆柱体内、外场强分布 取半径为 r、高为 h 的高斯圆柱面(如图所示)。面上各点场强大小为 E 并垂直于柱面， r
R2
R1
dq
dq
r
r
R1
4r2 d r
4 0 r
R2

2 R13 r 3 0 r
以 r 为半径的球面外电荷产生的电势
U 2 d U 2
r
4 0 r
r
4r 2 d r R22 r 2 4 0 r 2 0
解：内球面和外球面的电势分别为：
q
R
3q
q0
U内 U外
q 4 0 R

3q 1 q (U 0) 4 0 ( 2 R ) 2 4 0 R
2R
q 3q q 4 0 ( 2 R ) 4 0 R
q0 q Ek 0 Ek 8 0 R