第二章作业参考解答
电路分析基础作业参考解答
对于第二个分解电路，由分流公式有
由叠加定理得
4-8 题4-8图所示电路中 ， ，当开关 在位置1时，毫安表的读数为 ；当开关 合向位置2时，毫安表的读数为 。如果把开关 合向位置3，则毫安表的读数为多少
题4-8图
解：将上图可知，产生毫安表所在支路电流的原因有电流源和电压源，电流源一直保持不变，只有电压源在变化，由齐次定理和叠加定理，可以将毫安表所在支路电流 表示为
题3-20图
解：选取参考节点如图所示，其节点电压方程为
整理得
因为
， ，
所以
，
故
3-21 用节点电压法求解题3-21图所示电路中电压 。
解：选取参考节点如图所示，其节点电压方程为
其中
解得 。
故
题3-21图
3-22 用节点电压法求解题3-13。
题3-22图
解：（1）选取参考节点如图（a）所示，其节点电压方程为
，
故电压源的功率为
（发出）
电流源的功率为
（发出）
电阻的功率为
（吸收）
1-8 试求题1-8图中各电路的电压 ，并分别讨论其功率平衡。
（b）解：标注电流如图（b）所示。
由 有
故
由于电流源的功率为
电阻的功率为
外电路的功率为
且
所以电路的功率是平衡的，及电路发出的功率之和等于吸收功率之和。
1-10 电路如题1-10图所示，试求：
1. 求电感电流初始值
由换路前电路可得
换路后，将电感开路，求其戴维宁等效电路
2.求开路电压
如下图所示，有
所以
3. 求等效电阻
如上图所示
因为
所以
故
4. 求电感电流终值 及时间常数
运筹学 刁在筠 部分作业的参考答案线性规划部分
第二章 线性规划73P 4. 将下面的线性规划问题化成标准形式12312312312max 2..236230316x x x s t x x x x x x x x −+⎧⎪−+≥⎪⎪+−≤⎨⎪≤≤⎪⎪−≤≤⎩解：将max 化为 min ， 3x 用45x x −代替，则1245124512451245min 2()..23()62()30316,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x −+−−⎧⎪−+−≥⎪⎪+−−≤⎪⎨≤≤⎪⎪−≤≤⎪≥⎪⎩令221x x ′=+，则1245124512451245min12()..2(1)3()62(1)()30307,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x ′−+−−−⎧⎪′−−+−≥⎪⎪′+−−−≤⎪⎨≤≤⎪⎪′≤≤⎪≥⎪⎩将线性不等式化成线性等式，则可得原问题的标准形式12451245612457182912456789min221..23342437,,,,,,,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ′−+−+−⎧⎪′−+−−=⎪⎪′+−++=⎪⎨+=⎪⎪′+=⎪′≥⎪⎩73P 5、用图解法求解下列线性规划问题：(1) 121212min 3..206122x x s t x x x x +⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩解：图2.1的阴影部分为此问题的可行区域.将目标函数的等值线123x x c +=(c 为常数)沿它的负法线方向()13T−−，移动到可行区域的边界上.于是交点T），（812就是该问题的最优解，其最优值为36.75P 16. 用单纯形法求解下列线性规划问题：(1) 123123123123min 2..360210200,1,2,3j z x x x s t x x x x x x x x x x j ⎧=−−+⎪++≤⎪⎪−+≤⎨⎪+−≤⎪⎪≥=⎩解：将此问题化成标准形式123123412351236min 2..360210200,1,2,3,4,5,6j z x x x s t x x x x x x x x x x x x x j ⎧=−−+⎪+++=⎪⎪−++=⎨⎪+−+=⎪⎪≥=⎩以456,,x x x 为基变量，可得第一张单纯形表为以1x 为进基变量，5x 为离基变量旋转得以2x 为进基变量，6x 为离基变量旋转得1x 2x 3x 4x 5x 6x RHS z2 1 -1 0 000 4x 31 1 1 0060 5x 1-121010 6x 11 -1 0 01201x 2x 3x 4x 5x 6x RHS z0 3 -5 0 -20-204x 0 4 -5 1 -3030 1x 1-1 2 0 1010 6x 02-3-11101 注意单纯形表的格式！2 要用记号把转轴元标出来 3要记住在单纯形表的左边，用进基变量代替离基变量注（零行元素的获得）：先将目标函数化成求最小值的形式，再把所有变量移到等式左边，常数移到等式右边。
第2章拉压作业参考解答
aEADj + 4.5aEADj = 2aF ， Dj = 2F 5.5EA
4. 再由 Hooke 定律：
FN1
=
EADj
=
2F 5.5
=
0.3636F
FN 2
= 1.5EADj
=
1.5´ 2F 5.5
2
（1）图（a）为开槽拉杆，两端受力 F=14kN，b=20mm，b0＝10mm，δ=4mm。 （2）图（b）为阶梯形杆，AB 段杆横截面面积为 80mm2，BC 段杆横截面面积为 20mm2， CD 段杆横截面面积为 120mm2。 （3）图（c）为变截面拉杆，上段 AB 的横截面面积为 40mm2，下段 BC 的横截面面积为
DG
=
Dl2
-
2 3
Dl1
-
1 3
Dl3＝6.89 ´10-4
m
5
2-15 求附图示圆锥形杆在轴向力 F 作用下的伸长量。弹性模量为 E。
解答 对于截面缓变的圆锥形杆可假设横截面上正应力均匀分布。横截面面积为
A(x)
=
1 4
p [d1l
-
(d1
-
d2 )x]2
/l2
ò ò ò Dl =
l
edx =
FN1
FN3
FN2
D
(2)
（b） 整体分析，示力图见附图（3）。
å M Ai = 0 : FN1 ´1 + 3´ 3´1.5 = 0
FN1 = -13.5kN
FAx A
FAy FN1
B
s1
=
FN 1 A1
=
-13.5 ´103 850 ´10-6
=
-15.88MPa
第二章作业题解答
第二章静电场习题解答2-1.已知半径为F = Cl的导体球面上分布着面电荷密度为A = p s0 cos的电荷，式中的炖0为常数，试计算球面上的总电荷量。
解取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。
由球面积分，得到2用打Q =护= J j p50cos OrsmOd Od(p(S) 0 0In x=j j psQSefsinGded00 0In n=PsF j J cos ageded(p0 0丸=sin20d0 = 0o2-2.两个无限人平面相距为d,分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及两平面间的电场强度。
解对于单一均匀带电无限人平面，根据对称性分析，计算可得上半空间和卞半空间的电场为常矢量，且大小相等方向相反。
由高斯定理，可得电场大小为E = ^-2e0对于两个相距为的d无限大均匀带电平面，同样可以得到E] = E“耳=E3题2-2图因此，有2-3.两点电荷q、= 8C和q2 = -4C ,分别位于z = 4和),=4处，求点P(4,0,0)处的电场强度。
解根据点电荷电场强度叠加原理，P点的电场强度矢量为点Si和Si处点电荷在P处产生的电场强度的矢量和，即E r = Qi 弘 | ① R?4T V£0/?/ 4TT£0R] = r — r L = 4e v — 4e., R 、= J 4-0 " + 0-4 ~ = 4>/2 R 2 =r —r 2 =4e v -4e v , R 2 = J 4-0 ' + 0-4 ' = 4>/22-7. 一个点电荷+q 位于（-a, 0,0）处，另一点电荷-2q 位于（a,0,0）处，求电位等于零的 面；空间有电场强度等于零的点吗？解根据点电荷电位叠加原理，有々)=丄]鱼+鱼4矶丄忌」式中Rj =r-r L = x-\-a e v + ye v +e. R i = yl x + a 2 + r+^2 R 2 =r-r 2 = x ~a e v + )，e y+e r R? — yj x — ci + )r +代入得到式中代入得到心孟 _______ 1^x + a)2+ y 2+ z 22JaS+b+z 2（3x+d ）（x+3a ） + 3），+3z ，=0根据电位与电场强度的关系，有电位为零，即令简化可得零电位面方程为要是电场强度为零，必有E x = 0, E y = 0, E : = 0一 (x+ d)[(x + d)2 + y 2 + ^2p + 2(—d)[(—d)2+ y 2 + 疋 -)^(x+n)2 + y 2 + z 2 2 +2y^(x-a)2 + y 2+ z 2丄-z[(x + d)2 + + 疋 2+2z[(x-d)2 +)*此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。
【物理】新编基础物理学第二版第二章习题解答供参考
【关键字】物理习题二2-1．两质量分别为m和M 的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F作用在物体m上，使两物体一起向右运动，如题图2-1所示，求两物体间的相互作用力。
若水平力F作用在M上，使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生变化？解：以m、M整体为研究对象，有…①以m为研究对象，如解图2-1（a），有…②由①、②两式，得相互作用力大小若F作用在M上，以m为研究对象，如题图2-1（b）有…………③由①、③两式，得相互作用力大小发生变化。
2-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M1和M2 ，在M2上再放一质量为m的小物体，如题图2-2所示，若M1=M2= ，求m和M2之间的相互作用力，若M1=，M2=，则m与M2之间的作用力是否发生变化？解：受力图如解图2-2，分别以M1、M2和m为研究对象，有又，则=当时当时，发生变化。
2-3.质量为M的气球以加速度匀加速上升，突然一只质量为m的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。
若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？解：设为空气对气球的浮力，取向上为正。
分别由解图2-3（a）、(b)可得由此解得2-4．如题图2-4所示，人的质量为，底板的质量为。
人若想站在底板上静止不动，则必须以多大的力拉住绳子？解：设底板和人的质量分别为M，m，以向上为正方向，受力图如解图2-4（a）、(b)所示，分别以底板、人为研究对象，则有F为人对底板的压力，为底板对人的弹力。
有又因为则人对绳的拉力为245N。
2-5．一质量为m的物体静置于倾角为的固定斜面上。
已知物体与斜面间的摩揩系数为。
试问：至少要用多大的力作用在物体上，才能使它运动？并指出该力的方向。
解：如解图2-5建立坐标系，设x 方向沿斜面向上为正方向。
在与所在的平面上加一外力，且（若，此时F 偏大）则 解出要求F 最小，则分母取极大值，所以对求导为零=0 得 带入上式则即 此时2-6. 一木块恰好能在倾角的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率沿这一斜面上滑，问它在斜面上停止前，可向上滑动多少距离？当它停止滑动时，是否能再从斜面上向下滑动？ 解：匀速下滑时 则① 向上滑动时②③联立求解得当它停止滑动时，会静止，不再下滑．2-7. 的物体放在地面上，若物体与地面之间的摩揩系数为0.30，至少要多大的力才能拉动该物体？解：受力分析如解图2-7所示 则要求F 最小，则分母cos sin θμθ+取极大值所以 cos sin θμθ+ 对θ求导为零，类似题2-5解得tan θμ= 带入F 公式，则2-8. 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等．证 如解图2-7所示，设两个摆的摆线长度分别为1l 和2l ，摆线与竖直轴之间的夹角分别为1θ和2θ，摆线中的张力分别为1F 和2F ，则 0cos 111=-g m F θ ①2111111sin sin m F l θθ=v ②解得1111sin cos gl θθ=v第一只摆的周期为 同理可得第二只摆的周期由已知条件知所以这两个摆的周期相等2-9. 质量分别为M 和M +m 的两个人，分别拉住定滑轮两边的绳子往上爬，开始时两人与滑轮的距离都是h 。
电机与拖动基础课后习题答案(部分)
第一章作业解答参考1—8．解：)(630230101453A U P I N N N =⨯==)(1619.0145KW P P NN===ηλ 1—20．解：（1）U V n a pN E a <=⨯⨯⨯⨯==)(186150001.0160372260φ 是电动机状态。
∴（2）)(46.163208.0186220A R E U I a a a =-=-=)(63.19315002604.30)(4.3046.163186m N P T KW I E P M a a M ⋅=⨯⨯⨯=Ω==⨯==π （3）)(6.5208.046.16322KW R I p a a cua =⨯==)(79.292403624.30)(366.54.3021KW p p P P KW p P P Fa M cua M =--=--==+=+=Ω%823679.2912===P P η 1—23．解：（1）)(112.54300014.326010172603m N n P P T N N N N N ⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯=Ω=π%2.82942201017)(812.557.1112.54)(7.1344014.32608.2)316.08.2220(26030'00000=⨯⨯==⋅=+=+=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯=Ω=N N N N N a a M I U P m N T T T m N n I E P T ηπ（2）N e e C C Φ=Φ∴0忽略电枢反应影响， 恒定。
0'0Φ-=e a a N C R I U n ， 0636,03440316.08.22200=⨯-=Φe C)min (34590636.022000r C U n e N ==Φ=（3） Φ=Φe M C C 55.9)min (27860636.0)15.0316.0(89.91220)()(89.910636.055.9812.55r C R R I U n I T T A C T I e a a N a Z M a =+⨯-=Φ+-=→==⨯=Φ=Ω不变不变，第二章 习题解答参考2—6．解：（1）T T T n C C R R C U n Nm e a N e N 64.1115819.055.94.006.01158202-=⨯+-='-=Φ+-Φ=Ωβ （2）T T T n C C R C U n N m e a N e 21.057921.019.011002-=-=-'=Φ-Φ=β （3）T T T n C C R C U n m e a e N 35.0146717.006.015.022002-=-=''-''=Φ-Φ=β 19.0=ΦN e C N Φ=Φ8.0 15.019.08.0=⨯=Φ∴e C2N m e C C Φ=()255.9N e C Φ=219.055.9⨯=0.28 2Φm e C C =17.028.08.02=⨯2—16．解：（1）[]V R I U E a N N a 20425.064220=⨯-=-=[]A R R E U I Z a a N a 84.67625.0204220max -=+--=---=29.0700204==-=ΦN a N N N e n R I U C 76.229.055.955.9=⨯=Φ=ΦN e N m C C[]m N I C T anax N m ⋅-=-⨯=Φ=23.187)84.67(76.2max停机时 n=0 0=Φ=n C E N e a[]A R R U I Z a N a 2.35625.0220-=+-=+-=[]m N I C T a N m ⋅-=-⨯=Φ=15.97)2.35(76.2此时反抗性负载 []m N I C T N N m Z⋅-=⨯-=Φ-='64.1766476.2 由于 T T Z>' 故系统不会反向起动。
七年级数学上第2-5章分层作业参考答案
参考答案第二章 有理数的运算2.1 有理数的加法（1）1. ＜,＜,=；2.+,+,+；3.1,-8,-3；4.143，150，165；5.0；6. +4、(-6)+(+10)=+4.7.D ；8.A ；9.B ；10.C. 11.（1）-60；（2）+3.6；（3）－12712.(+50)+(-40)=+10答:该桌子相对于原来的位置向前移动10㎝.13.+2,-2数轴略； 14. a 与b 的和是8或-8或+2或-2.2.1 有理数的加法（2）1. 加法交换律,加法结合律；2.-7；3.略；4.1,251；5.0.6.C ；7.D ；8.C ；9.B. 10.-4,-4； 11.550； 12.(1)(+6)+(-3)+(+10)+(-5)+(-7)+(+13)+(-10)=4 没有；(2)在出发点O 右13㎝处;(3)︳+6︳+︳-3︳+︳+10︳+︳-5︳+︳-7︳+︳+13︳+︳-10︳=54 答:蚂蚁一共得到54粒芝麻.2.2 有理数的减法（1）1. 加上,相反数；2.-8,-7,-23；3.-47；4.-5；5.10；6.-9. 7B ；8A ；9D ；10B. 11.5，-7，9，7. 12.（1）－21－11=－32 (-43)； （2）（－73）－（－27）=（－73）+27=－46 （3）-(-87)=+44答:此时潜艇上升了44米. 13.∵b a b a -=-∴a ≥b,∴a=2008或a=-2008,b=-2009∴a-b=4017或12.2 有理数的减法（2）1. -6+3-2-6+7；2.-6；3. 5,-0.75,-9,2.8；4.3.75；5.4；6.-100. 7A ； 8D ； 9C ； 10B. 11.（1）-26；（2）21；（3）421.. 12.规定向甲队移动为正,-0.2+0.5-0.4+1.3+0.9=2.1＞2,所以甲队获胜. 13.小彬:-21+(-23)-(-5)+4=7 ; 小丽:- 31-(-67)-0+5=565，最后小彬获胜.2.3 有理数的乘法（1）1. 30,-0.125,0；2.-52,310,±1；3.0；4.1个或3个或5个；5.-4；6.-63.7C ； 8C ； 9B ；10D. 11.（1）6；（2）-71；（3）0；（4）-34.12.35-6×10=-25答: 10000 m 高空的气温大约是-25℃.13.∵6=1×（－1）×（－6）=1×2×3=（－1）×（－2）×3=（－1）×（－3.）×2=（－2）×（－3.）×1.∴1+（－1）+（－6）=－5；1+2+3=6；（－1）+（－2）+3=0；（－1）+（－3.）+2=－2（－2）+（－3.）+1=－4.2.3 有理数的乘法（2）1. -8500；2.-518；3.23);127(),92(,61--；4.4；5.4.99；6.1. 7B ； 8A ； 9C ； 10D. 11.（1）-7；（2）-1000000；（3）-314. 12.9919998433221=⨯⨯⨯⨯Λ； 13.60)615141311(----⨯=3 2.4 有理数的除法1.-4,8,0；2.-32；3.21-,；4.-1；5.-3.5；6.-8. 7C ； 8A ； 9A ；10B.11.（1）0；（2）6；（3）9595;(4);(5)737---.12.3×(4+10+(-6))；10-4-（-6）×3；4-（-6）＋3×10等. 13.212,1,21,220094321=∴=-===a a a a a Θ2.5 有理数的乘方（1）1.5)5(-； 2.-0.7,9,8,3,-512；3.0,1;0,±1；4.＜,＜,＞；5.奇数,偶数；6. 7B ； 8D ； 9A ； 10C. 11（1.-125；（2）-16；（3）494；（4）272；（5）36；（6）40；（7）41. 12.40962,642126==；13.23200(110%)2592-=.2.5 有理数的乘方（2）1.31051.3⨯，64107,1006.8⨯⨯；2.10000000，3400，-704000；3.11104.5⨯；4.21025.2⨯； 5.6； 6.81，243； 7D ；8B ；9A ；10B .11.()()()()312451074,107.23,1035.32,104.71⨯⨯⨯-⨯.12.=⨯⨯⨯⨯365243600103815104608.9⨯米=12104608.9⨯ 千米13..200.222....20.22⨯⨯⨯⨯=⨯144244320个2.6 有理数的混合运算1.15；2.- 3；3.9；4.-1；5.7678.8；6.8. 7B ；8D ； 9B ；10D. 11.（1）2；（2）-4；（3）-30. 12.（1）114433+= 2.；（2）231931285244⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭； 13.%101300%5500⨯+⨯=155.2.7准确数和近似数1.0.36,2,3、6；2.千分，2，3、0；3.万，2，3、5；4.54105.2,051.0,100.6⨯⨯；5.11103.7⨯6.3.2395,3.2405. 7C ；8B ；9C ；10C .11.（1）1.23；（2）88；（3）0.040；（4）41080.8⨯. 12.g 066.00000011.010603=⨯⨯ ＜0.12g,所以有中毒； 13.7条2.8计算器的使用1. 键盘和显示器；2.ON ；3.128；；6.0.0493.7B ；8A ； 9C ；10B . 11（1）-2.3712；（2）89.8979；（3）2.04. 12.（1）100；（2）10000；（3）1000000；（4）108；（5）101013. 0.04×12×10×30＝144（千瓦时）；0.75×144=108（元）第三章实数3.1平方根1.±５ ５2.233.正 相反数4. ±105. 166. 97. D8. B9.D 10. D11．1 12. 75厘米13. 设这个正方形的边长为x 米，于是x 2=10． ∵x>0，∴∵32=9，42=16，∴．又∵3.12=9.61，3.22=10.24，∴．又∵3.112=9.672，3.222=10.3684， ∴<3.22．．3.2米．3.2实数1.无理数2. 23. ±5 4. <5 . a <.2a < -a 6. 7 7. C 8. B 9 .B 10. C11．23.002514.3＞－＞－＞＞•； 12..肇事汽车当时已经超速．13. 3.3立方根1.-4 , -4, -42. -1, 0 ,23-3. 0.14. -25. -26.347. A 8. A 9.D 10. B 11．３cm 12. 2， 3，10 13. -25．3.4用计算器进行数的开方1. 略2. 6.303. ＜4. 0.6185.910---πππ；6. ＞7. C 8. D 9.C 10. C 11．1.35 12. 5个13. ①3.736;②0.3736;③37.36;④373.6,被开方数小数点向左或向右移两位，算术平方根的小数点相应的向左或向右移动一位.①61.73,0.1952;②±19.52.3.5实数的运算1. 177.2，±0.78612. 23. 0.734. －10.255. 56. 107. B8. B9.D 10. B 11．6.3倍 12. 12cm 13. 0.134第四章 代数式4.1用字母表示数1. 2a+52. 10m+50n3. a+2x-24. 502822nm + 5. a a -=（a ＜0）6.10n+3 3000+n7.C 8. D 9. C 10. A 11. 1.018x 12. （1） 4.2x （2） 14.7元 13. （1）4 7 10 13 16 （2）3n+1 （3）669 4.2代数式 1.)(21b a - 2. 20-a 3. x 5 4. 2n-4 5. 略 6.12+n n7. B 8. C 9.A 10. C 11. （8a+3b ）元 12.面积为（ab b +28π）平方米 材料为b a )12(2++π米 13.（1）略 （2）20992009x - （3）11)1()1(+++-n n x n4.3代数式的值1. 72. 203. n(pn-k) 24964. 215. 5126. 1312 7. A 8. C 9. C 10. D 三、解答题11. （1） -7 （2）49-12. （1）)15(10003000x y -+元 （2）0.875元13.222y x + 1，81，21，817 4.4整1. 略2. 略3. 34. 332xy -32- 5. 2，31，π32-6.π,3,32,0,22,,232x abb ab a m y x -+--7. B 8. B 9. D 10. B 11. （1）2)(tt L - （2）1050平方米 12.082.0164.0+=x c ， 13.20213. （1）198222-n ， （2）多项式，一次二项式； （3）当n=3时，最大值是468 4.5合并同类项 1. 略 2.225x -3. b a 24. -35. 1 ，16. -27. B8. D9. D 10. A 11. 116322---ab b a12.122-x 17 13.x 92 4.6整式的加减（1） 1. 6x-9y 23x x +- 2. — 3. -6x+4y 4. 7452++-x x5.4962-+-x x 6. －1 7. D 8. B 9. D 10. C11. x 12.b ab 342-- 19 13. 2c4.6整式的加减（2） 1.b a 2- 2. 8x 3. -2 4. 2632++-x x 5. -17 6. 1.2x-247. B 8. B 9. A 10. D 11. 1042-+x x12.b a 12112+ 56 13.225第五章 一元一次方程5.1一元一次方程1. 略2. m=3，不是方程的解；m=2是方程的解3. 3（x-5）=154. -15. 5x ；等式性质16. 737. D 8. D 9. B 10. D 11. x=1 12.1421-=+x x ，x=10 13. （1）13 （2） 3n+1 （3） 230 5.2一元一次方程的解法（1）1. 符合； 的一边移到另一边2. 等式性质 13.23 4. -6 5.187=a 6.21=m 7. D 8. B 9. A 10. B 11. t=4 12. 211-=a ; x=9 13. （1） 12 （2） x=25.2一元一次方程的解法（2）1. x=192. x=7.43. 74. 3（4x-8）-7（5x-6）=215.3)4510(515202630++--=-x x x 6. -4 7. C 8. C 9. B 10. A 11. 34=y 12. x=53 13. 1=*5.3一元一次方程的应用（1）1. 1.5（x+1.5x ）=102. 143. 8，15，224. 8x=7.5（x+1）5. 100m6. 4.8km/h7. A8. D9. D 10. B 11. 略12. （1） 设快车行驶x 小时两车相遇，根据题意，得400140)6024(100=++x x ，得23=x （2） 设两车出发x 小时后快车追上慢车，根据题意，得 140x-100x=400，x=10 13. 设列车提速后从A 地到B 地需x 小时，根据题意，得 264)444264(=+x ，x=2.4; 到站时刻4：24 历时2.4小时. 5.3一元一次方程的应用（2） 1. 17， 3 2. 5.625 3.36)2(2=+x x 4. 2)8(2182++=-x x5.27cm 6. 20：24 7. C 8. C 9. C 10. B11. （1） 设60座客车为x 辆，由题意得 60x+30=45(x+2) x=2 七年级有270人（2）租3辆60座客车，2辆45座客车，最少租金1400元 12. 设分配x 人生产螺栓，由题意得 )100(242118x x -⨯=，x=40，生产螺栓40人，生产螺母60人13. （1）设书包的单价为x 元，由题意得45284=+-xx ，x=92，4x-8=360（2）在A 超市购买需现金452×80%=361.6（元）＜400（元），可以在A 超市购买；在B 超市先花360元购买随身听，再用90元返券加2元现金买书包，共计362（元）＜400元，所以也可在B 超市购买，但361.6＜362，所以在A 超市购买更省钱.5.3一元一次方程的应用（3） 1. 120 2. 16， 14 3. x %)101(409009.0+=-⨯ 4. 20%5.4036. 115)300(3.055.0=-+x x7. C8. D9. C 10. B 11. 解：设乙、丙合作还需x 才能完成这项任务， 1)241121(3)10181(=++⨯+x ，x=312. （1）设需要x 天铺好 12030=+xx ， x=12（2）方案（一）：甲队单独施工需费用：30×200=600（元）；方案（二）：乙队单独施工需费用：20×280=5600（元）； 方案（三）：两队同时施工需费用：12×（200+280）=5760（元） 选方案二（即由乙队单独施工）花钱少.13. 解：方案一：将9吨鲜奶全部生产酸奶，则可获利9×1200=10800（元）； 方案二：4天内全部生产奶粉，共加工4吨鲜奶，可获利4×2000=8000（元）； 方案三：设用x 天生产酸奶，则（4-x ）天生产奶粉，由题意得：3x+（4-x ）=9， 解得x=2.5，所以4-x=1.5. 可获利：3×2.5×1200+1.5×2000=12000（元）.所以用2.5天生产酸奶，1.5天生产奶粉能使工厂获利最大，即方案三可获最大利润，最大利润是12000元.5.4问题解决的基本步骤1. 2（11-x ）-x=162. 2.53. 224. 155. 466. 667. D8. A9. A 10. B11. 68人 12.)52510(9.0)10(51025x x +⨯=-+⨯，x=5013. 经过分析，同时购买乙、丙两种型号的电视机是不可能的.因此只能购买甲、乙或甲、丙两种情况.（1）设购买甲种电视机x 台，购买乙种电视机（50-x ）台，由题意得 1500x+2100（50-x ）=90000，解得x=25，50-25=25.（2）设购买甲种电视机x 台，购买丙种电视机（50-x ）台，由题意得 1500x+2500（50-x ）=90000，解得x=35，50-x=15.所以方案一：甲、乙各25台；方案二：甲35台，乙15台.。
高中数学必修2第二章知识点+习题+答案
第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法与表示 〔1〕平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长〔如图〕〔2〕平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等. 3 三个公理：〔1〕公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内〔2〕公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α,使A ∈α、B ∈α、C ∈α.公理2作用：确定一个平面的依据.〔3〕公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L,且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内,没有公共点. 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用. 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈<0, >；③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；D C B A α A·α C ·B· A · α P · α Lβ 共面直线=>a ∥c 2⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.— 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：〔1〕直线在平面内——有无数个公共点〔2〕直线与平面相交——有且只有一个公共点〔3〕直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2.2.直线、平面平行的判定与其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简记为：线线平行,则线面平行.符号表示：a αb β => a∥αa∥b平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.符号表示：a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：〔1〕用定义；〔2〕判定定理；〔3〕垂直于同一条直线的两个平面平行.— 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行则线线平行.符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题.2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定与其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面.如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足.Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.注意点： a>定理中的"两条相交直线〞这一条件不可忽视；b>定理体现了"直线与平面垂直〞与"直线与直线垂直〞互相转化的数学思想.平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.2性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.第二章点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题1．设,为两个不同的平面,l,m为两条不同的直线,且l⊂,m⊂β,有如下的两个命题：①若∥,则l∥m；②若l⊥m,则⊥．那么< >．A．①是真命题,②是假命题B．①是假命题,②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题2．如图,ABCD－A1B1C1D1为正方体,下面结论错误．．的是< >．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°<第2题> 3．关于直线m,n 与平面,,有下列四个命题：①m ∥,n ∥且∥,则m∥n；②m ⊥,n ⊥且⊥,则m⊥n；③m ⊥,n ∥且∥,则m⊥n；④m ∥,n ⊥且⊥,则m∥n．其中真命题的序号是< >．A．①②B．③④C．①④D．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是<>．A．1B．2C．3D．45．下列命题中正确的个数是< >．①若直线l 上有无数个点不在平面内,则l ∥②若直线l 与平面平行,则l 与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l 与平面平行,则l 与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面,过l1作平面与l2平行,这样的平面< >．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为< >．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是<>．A．空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是<>．A ．4B ．3C ．2D ．110．异面直线a ,b 所成的角60°,直线a ⊥c ,则直线b 与c 所成的角的X 围为<>． A ．[30°,90°] B．[60°,90°] C．[30°,60°]D．[30°,120°] 二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ,PB ,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为S 1,S 2,S 3,则这个三棱锥的体积为．12．P 是△ABC 所在平面外一点,过P 作PO ⊥平面,垂足是O ,连PA ,PB ,PC ．<1>若PA ＝PB ＝PC ,则O 为△ABC 的心； <2>PA ⊥PB ,PA ⊥PC ,PC ⊥PB ,则O 是△ABC 的心；<3>若点P 到三边AB ,BC ,CA 的距离相等,则O 是△ABC 的心； <4>若PA ＝PB ＝PC ,∠C ＝90º,则O 是AB 边的点； <5>若PA ＝PB ＝PC ,AB ＝AC ,则点O 在△ABC 的线上． 13．如图,在正三角形ABC 中,D ,E ,F 分别为各边的中点,G ,H ,I ,J 分别为AF ,AD ,BE ,DE 的中点,将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为．14．直线l 与平面所成角为30°,l ∩＝A ,直线m∈,则m 与l 所成角的取值X 围是．15．棱长为1的正四面体内有一点P ,由点P 向各面引垂线,垂线段长度分别为d 1,d 2,d 3,d 4,J<第13题>则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为．16．直二面角－l －的棱上有一点A ,在平面,内各有一条射线AB ,AC与l 成45°,AB ⊂,AC ⊂,则∠BAC ＝．三、解答题17．在四面体ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． <1>求证：BC ⊥AD ；<2>若点D 到平面ABC 的距离等于3,求二面角A －BC －D 的正弦值；<3>设二面角A －BC －D 的大小为,猜想为何值时,四面体A －BCD 的体积最大．<不要求证明>18． 如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,BB 1＝BC ＝1,E 为D 1C 1的中点,连结ED ,EC ,EB 和DB ．<1>求证：平面EDB ⊥平面EBC ； <2>求二面角E －DB －C 的正切值.19*．如图,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC ＝90°,SA ⊥面ABCD ,SA ＝AB ＝BC ＝１,AD ＝21．<1>求四棱锥S —ABCD 的体积；<2>求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． <提示：延长 BA ,CD 相交于点 E ,则直线 SE 是 所求二面角的棱.><第19题>20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积．<提示：在 AA 1 上取一点 P ,过 P 作棱柱的截面,使 AA 1 垂直于这个截面.><第20题>第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案<第18题><第17题>一、选择题1．D 解析：命题②有反例,如图中平面∩平面＝直线n ,l ⊂,m ⊂,且l ∥n ,m ⊥n ,则m ⊥l ,显然平面不垂直平面,<第1题>故②是假命题；命题①显然也是假命题, 2．D 解析：异面直线AD 与CB 1角为45°．3．D 解析：在①、④的条件下,m ,n 的位置关系不确定．4．D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案D ． 5．B 解析：学会用长方体模型分析问题,A 1A 有无数点在平面ABCD 外,但AA 1与平面ABCD 相交,①不正确；A 1B 1∥平面ABCD ,显然A 1B 1不平行于BD ,②不正确；A 1B 1∥AB ,A 1B 1∥平面ABCD ,但AB ⊂平面ABCD 内,③不正确；l 与平面α平行,则l 与无公共点,l 与平面内的所有直线都没有公共点,④正确,应选B ． <第5题>6．B 解析：设平面 过l 1,且 l 2∥,则 l 1上一定点 P 与 l 2 确定一平面,与的交线l 3∥l 2,且 l 3 过点 P . 又过点 P 与 l 2 平行的直线只有一条,即 l 3 有唯一性,所以经过 l 1 和 l 3 的平面是唯一的,即过 l 1 且平行于 l 2 的平面是唯一的.7．C 解析：当三棱锥D －ABC 体积最大时,平面DAC ⊥ABC ,取AC 的中点O ,则△DBO 是等腰直角三角形,即∠DBO ＝45°．8．D 解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B ．同一平面的两条垂线互相平行,因而共面；C ．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D ．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确,故选B ．10．A 解析：异面直线a ,b 所成的角为60°,直线c ⊥a ,过空间任一点 P ,作直线 a ’∥a , b ’∥b , c ’∥c . 若a ’,b ’,c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30°角,否则b ’与c ’所成的角的X 围为<30°,90°],所以直线b 与c 所成角的X 围为[30°,90°]．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为a ,b ,c ．则21ab ＝S 1,21bc ＝S 2,21ca ＝S 3 三式相乘：∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3,∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直,∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外,垂,内,中,BC 边的垂直平分．解析：<1>由三角形全等可证得O 为△ABC 的外心；<2>由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心； <3>由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心； <4>由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点；<5>由<1>知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说O 在∠BAC 的平分线上．13．60°．解析：将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为60°． 14．[30°,90°]．解析：直线l 与平面所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值,当m 在内适当旋转就可以得到l ⊥m ,即m 与l 所成角的的最大值为90°． 15．36．解析：作等积变换：4331⨯×<d 1＋d 2＋d 3＋d 4>＝4331⨯·h ,而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ,则AC 有两种可能． 三、解答题17．证明：<1>取BC 中点O ,连结AO ,DO ． ∵△ABC ,△BCD 都是边长为4的正三角形, ∴AO ⊥BC ,DO ⊥BC ,且AO ∩DO ＝O, ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD , ∴BC ⊥AD ．<第17题>解：<2>由<1>知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角,设∠AOD ＝,则过点D 作DE ⊥AD ,垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ,且BC ⊂平面ABC ,∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO , ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离,即DE ＝3．又DO ＝23BD ＝23, 在Rt △DEO 中,sin ＝DODE ＝23,故二面角A －BC －D 的正弦值为23． <3>当＝90°时,四面体ABCD 的体积最大．18．证明：<1>在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,BB 1＝BC ＝1,E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形,∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ,即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中,BC ⊥平面11DCC D ,又DE ⊂平面11DCC D ,∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ,∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ,∴平面DEB ⊥平面EBC ． <2>解：如图,过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中,∵面ABCD⊥面11DCC D ,∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ,连结EF ,∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51,<第18题> 又OE ＝1,所以,tan ∠EFO ＝5．19*．解：<1>直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯, ∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41．<2>如图,延长BA ,CD 相交于点E ,连结SE ,则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ,BC ＝2AD , ∴EA ＝AB ＝SA ,∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ,得面SEB ⊥面EBC ,EB 是交线． 又BC ⊥EB ,∴BC ⊥面SEB ,故SB 是SC 在面SEB 上的射影,∴CS ⊥SE ,∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2,BC ＝1,BC ⊥SB ,∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ,<第19题> 即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图,设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10,A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6,在AA 1上取一点P 作截面PQR ,使AA 1⊥截面PQR ,AA 1∥CC 1,∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ,过P 作PO ⊥QR 于O ,则PO ⊥侧面BB 1C 1C ,且PO ＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1 ＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．<第20题>。