7-3 多元函数的全微分
高数7-3(全微分及其应用)
全微分
xy
f
(
x,
y
)
x2 y2
x2 y2 0 .
在点(0,0)处有
0
x2 y2 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点 P(x,y) 沿直线 y x趋近于(0,0),
x y
则
(x)2 (y)2
4
全微分
dz Ax By z Ax By o( )
注 全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比 高阶无穷小.
可微与偏导数存在，连续有何关系呢？ 微分系数 A=? B=?
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
5
全微分
由下面的定理来回答：
x0
(x)2
sin x
1 (x)2
同样, f y (0,0) 0
z Ax By o( ),
其中A、B仅与x 、y有关, 而不依赖于x、y,
(x)2 (y)2 , 则称函数 z f ( x, y)在点
( x, y)处 可微分,Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)处的 全微分.记作 dz, 即
dz Ax By.
函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 这函数在D内的 可微函数.
令f x ( x 1x, y y) f x ( x, y) 1 其中1 0(x 0, y 0)
12
全微分
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时,2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
全微分的定义(精)
e t cos t e t sin t cos t
e t (cos t sin t ) cos t .
下一页
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
z z u z v u v 1 2 t u t v t t t
当t 0 时， u 0 ，v 0
u du , t dt
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v dv , t dt
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
下一页
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课堂练习与习题 6-4 1、选一 7 6-5 2 4 6、选一
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
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由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
0
f ( x, y)
下一页
故函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
多元函数微分及其应用
1 f1 xyf 2 f1 yzf 2 z x 1 f1 xyf 2
三、
多元函数微分学的应用
空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线
(1) 几何应用
(2) 方向导数与梯度 (3) 求极值与最值
例1 设 f ( u ) 可微,证明曲面 上任一点处的切平面都通过原点.
P P0
则称 f ( P ) 在点 P0 处连续.
偏导数定义
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y 0 而 x 在 x 0 处有增量 x 时，相应地函数有偏增量 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) ， f ( x0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 处对 x 的 偏导数，记为
2 2
多元函数的全微分的计算方法
(1)微分的计算公式，如
dz z x dx z y dy .
(2)利用微分的形式不变性
不论 u , v 是自变量还是因变量,
dz
du
dv
问题3.如何求复合函数的偏导数？
例 3 设 z arctan( xy ), y e , 求
x
dz dx
设 xy u, 则链式结构如图
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 x0 x y x0 x k x 1 k2 y 0 y kx
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
(2)可偏导性
d f x (0,0) f ( x,0) x0 dx d f y (0,0) f (0, y ) y0 dy
多元函数全微分
∆z = f ( x0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 )
(∆x ) + (∆y ) 上式仍成立， 当∆y = 0时，上式仍成立， 此时 ρ =| ∆x |, f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A⋅ ∆x + o(| ∆x |),
4 例 试 函 证 数
1 , ( x, y) ≠ (0,0) xy sin 2 2 x +y f ( x, y) = 0, ( x, y) = (0,0)
在 (0,0)(1)连 ; (2)偏 数 在 (3)偏 数 点 连 续 偏 导 存 ; 偏 导 在 点(0,0)不 续 连 ; (4)f 在 (0,0)可 . 点 微
∂z = xe xy , ∂y
∂z ∂z 2 2 =e , = 2e , ∂x ( 2 , 1 ) ∂y ( 2 , 1 )
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
π 例 2 求 数z = y cos( x − 2 y)， x = ，y = π， 函 当 4
dx = ，dy = π时的 微分. 全 4
∆x → 0 ∆y → 0
∴ f x′ ( x0 + θ 1 ∆x , y0 + ∆y ) = f x′ ( x0 , y0 ) + ε 1
（无穷小） 且当 ∆x → 0, ∆ y → 0 时，ε 1 → 0 . 无穷小） 同理 f ( x 0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f y′ ( x 0 , y 0 )∆ y + ε 2 ∆ y ,
7-3全微分与偏导数
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
例3.7 求函数在点（0，0）处的偏导数
z
f (x, y)
xy
x2
y
2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
解
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0) 不连续! 可导不一定连续.
z2
)
0
*四、全微分的应用
由全微分定义
z fx (x, y)x f y (x, y)y o()
可知当 及
dz
较小时, 有近似等式:
z d z fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算; 误差分析)
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x f y (x, y)y
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz x n1
y
例.设 Z x3 y2 2 xy3 x2 y 5
2Z 2Z 2Z 2Z 3Z
求:
x 2
,
,
,
xy yx
y 2
,
x 3
解: Z 3x2 y2 2 y3 2xy,
fx x(x,
y);
y
( z ) x
2z x y
fx
y ( x,
y)
x
z
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算高中数学备课教案：多元函数的偏导数与全微分的计算一、引言在微积分中，多元函数的偏导数与全微分是重要的概念和计算方法。
它们在解决实际问题和优化函数时起着关键作用。
本教案将重点介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握这一内容。
二、多元函数的偏导数2.1 一元函数的导数回顾我们首先回顾一下一元函数的导数概念。
对于函数 $y = f(x)$，其在点 $x_0$ 处的导数 $f(x_0)$ 定义为：$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$2.2 多元函数的偏导数定义对于多元函数 $z = f(x, y)$，我们可以将其变为一元函数的形式来定义偏导数。
偏导数是指在某一点上，对其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
具体地，对于函数 $z = f(x, y)$，其关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$，表示在点 $(x, y)$ 处，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$同样地，我们可以定义关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，需要注意将其他自变量视为常数。
2.3 偏导数的求解示例现在我们通过一个实例来计算多元函数的偏导数。
考虑函数 $z =x^2 + 2xy + y^2$，计算其关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们将 $y$ 视为常数，所以可以直接对 $x$ 求导。
7-3全微分及其应用2-PPT精选文档
3. 多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导存在
函数可微 偏导数连续
三、全微分的计算
方法： （1）先求fx(x,y)、fy(x,y),判断f (x,y)的可微性。 (利用充分条件） （2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy 几类微分：(i) P(x,y)处的微分；
0 y 0 时 ， , f ( x ,y ) y y ,当 2 y 2
f ( x ,y ) y y z f ( x , y ) x x y 2 x 1
x y 1 2 0 1 2 0,
f (x，y)在点P0处偏导存在，但 f(x，y)在点P0处 不连续。所以f (x，y)在点P0处一定不可微。
2. 函数可微的充分条件
定理 2（函数可微的充分条件）如果函数 z f ( x , y )
z z 的偏导数 、 在点( x , y )连续，则该函数在点( x , y ) x y
可微分．
(1) 习惯上，记全微分为
说 明
z z dz dx dy . x y (2) 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz . x y z
z z 函数 z f ( x , y )的偏导数 、 在点( x , y )连续， x y
f ( x x , y ) f ( x , y ) fx(x ,y ) x
二 元 函 数 x y的 对 和 对 偏 微 分
(1)
⊿z=f (x+⊿x，y+⊿y)－f (x，y)
第十七章多元函数的微分学
第十七章 多元函数的微分学 §1 可微性教学目的 掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件． 教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、 可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性） 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B 是仅与点0P 有关的常数，22,()x y ρρ=∆+∆是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。
全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二 、 偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三 、 可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。
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如果函数z f ( x , y )在点( x , y ) 可微分, 则该函数 z 在点( x , y )的 偏导数 z 、 必存在,且函数z f ( x , y ) x y z z 在点( x , y )的全微分为 dz x y x y
证 如果函数 z f ( x , y )在点P ( x , y ) 可微分, 则
y x 解 设z f ( x , y ) ,
取x=1, y=2, x 0.04 y 0.02 由于
f (1,2) 1 f x ( x, y) yx
y 1
y f ( x , y ) x ln x, , y
f x (1,2) 2, f y (1,2) 0,
(1.04)2.02 f (1, 2) f x (1, 2)x f y (1, 2)y
z Ax By o( )
当y 0时， 上式仍成立, 此时 | x |,
x z f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |), xz z li m A x 0 x x
同理可得 B
z . y
函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 这函数在D内的 可微函数.
4
全 微 分
dz Ax By
注
z Ax By o( )
全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
1. dz是x与y 的线性函数;
2. z与dz之差是 的 高阶无穷小.
一元函数在某点可导 可微． 多元函数在某点可导 可微．
域内有定义, x x x, y y y , 函数取得的增量
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
称为f ( x , y )在点( x , y )的全增量.
3
全 微 分
全微分的定义 如果函数 z f ( x, y )在点 ( x, y)的全增量 z f ( x x, y y ) f ( x, y )可表示为
10
全 微 分
例 求函数 z y cos(x 2 y ),当x , y , 4 dx , dy 时 的 全 微 分 . 4
解
z y sin( x 2 y ), x
z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
dz ( , )
4
z z 2 dx dy (4 7 ). x ( , ) y ( , ) 8
4 4
11
全 微 分
x 求u y 的全微分.
答案
z
z x du y y
z 1
x z x x dx dy ln dz y y y y
第三节
全 微 分
total differentiation
全微分的定义 可微的条件
第七章 多元函数微分法及其应用
1
全 微 分
偏导数讨论的只是某一自变量变化时
函数的变化率. 现在来讨论当各个自变量同时变化时 函数的变化情况.
2
全 微 分
一、全微分的定义
全增量的概念
设二元函数z f ( x , y ) 在点P( x, y )的某邻
9
全 微 分
例 计算函数 z x 2 e xy 在点 (1,2) 的全微分.
z z xy xy 解 xe , 所以 2 x ye , y x z z dz dx dy 1 x 1 x x y y2
y2
2(1 e 2 )dx e 2dy.
0
0
显然, 多元函数可微必连续
连续的定义
13
全 微 分
对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：
可微
可导 连续 有极限
对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系： 可微
连续 有极限
有偏导
14
函数的微分
三、全微分在近似计算中的应用
1.公式
z dz o()
) z dz . ( x , y 充分小
x2 y2 0
. 可导 x2 y2 0
可微
在点(0,0)处有, f x (0,0) f y (0,0) 0
当 0时, z [ f x (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
因此, 函数在点(0,0)处不可微.
x y , z [ f x (0,0) x f y (0,0) y] 2 2 ( x ) ( y ) 若点 P ( x , y ) 沿 y x 趋近于 (0,0), x y ( x ) 2 ( y ) 2 1 x x 则 0, 2 2 ( x ) ( x ) 2
1x B Gy o( ), z A
其中A、B仅与x 、y有关, 而不依赖于x、y , ( x ) 2 ( y ) 2 , 则称函数 z f ( x, y )在点
( x , y )处 可微分,Ax By 称为函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处的 全微分.记作 dz , 即 dz Ax By .5Fra bibliotek全 微 分
二、可微的条件
1. 可微的必要条件
( 可微必可导).
定理1 如果函数 z f ( x , y )在点 ( x , y ) 可微分,
z z 则该函数在点 ( x , y )的偏导数 、 必存在, 且 x y z z dz x y . x y
6
全 微 分
1 2 0.04 0 0.02 1.08.
16
全 微 分
四、小结
全微分的定义
全微分的计算
可微分的充分条件 可微分的必要条件、 (注意：与一元函数有很大的区别) 多元函数极限、连续、偏导、可微的关系
17
z
z
12
全 微 分
多元函数在某点可微是否保证函数在该点连续
定理3 如果函数 z f ( x , y )在点( x , y ) 可微分, 则函数在该点连续. 由全微分的定义有 z Ax By o( ) 可得 lim z lim Ax By o( ) 0
f ( x x, y y ) f ( x , y) f x ( x, y)x f y ( x, y)y.
f ( x x, y y ) f ( x , y) f x ( x, y)x f y ( x, y)y.
15
全 微 分
例 计算 (1.04)2.02 的近似值.
7
全 微 分
z z 习惯上, 记全微分为 dz dx dy . x y 可推广到二元以上函数
如三元函数 u f ( x , y , z ), 则
u u u d u dx dy d z . x y z
8
全 微 分
xy 2 2 x y f ( x , y ) 例 0