2014山东省济南市一模试卷理科数学及答案
2014年山东省实验中学高考数学一模试卷(理科)
2014年山东省实验中学高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={x|-1＜x＜1}，N={x|log2x＜1}，则M∩N等于（）A.{x|0＜x＜1}B.{x|-1＜x＜2}C.{x|-1＜x＜0}D.{x|-1＜x＜1}【答案】A【解析】解：由N中的不等式变形得：log2x＜1=log22，即0＜x＜2，∴N={x|0＜x＜2}，∵M={x|-1＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}．故选：A．求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设f（n）=+（n∈Z），则f（2014）（）A.2B.-2C.2iD.-2i【答案】C【解析】解：∵，，且f（n）=+（n∈Z），∴f（2014）=i2013+（-i）2015=（i2）1006•i+（-1）2015•（i2）1007•i=2i．故选：C．首先利用复数的除法运算化简，，然后代入f（2014），最后利用虚数单位i的性质求值．本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础的计算题．3.下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的函数是（）A.f（x）=|tan2x|B.f（x）=-|x+1|C.f（x）=（2-x-2x）D.f（x）=【答案】C【解析】解：A，f（x）=|tan2x|为偶函数，不满足第一个条件．B，f（x）=-|x+1|为非奇非偶函数，不满足第一个条件．C，若f（x）=（2-x-2x），则f（-x）=（2x-2-x）=-f（x）为奇函数，∵f（x）=[（）x-2x]，y=（）x为减函数，y=2x，为增函数，y=-2x为减函数，∴根据函数单调性的性质可知，函数f（x）在R上单调递减，满足条件．D，若f（x）=，则由＞得-2＜x＜2，f（-x）=为奇函数，∵f（x）==，∴由复合函数的单调性可知函数f（x）在定义域上为增函数，不满足条件，故选：C．分别根据函数的奇偶性和单调性的定义进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B.“m=1”是“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D.命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题【答案】D【解析】解：对于A，根据否命题的意义可得：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；对于B，“m=1”是“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m2=1，即m=±1．对于命题C：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确对于D，根据正弦定理，∵x=y⇔sinx=siny”，所以逆命题为真命题是正确的．故答案选：D．对于A根据否命题的意义即可得出；对于B按照垂直的条件判断；对于C按照含有一个量词的命题的否定形式判断；对于D按照正弦定理和大角对大边原理判断．本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定，属于基础题．5.已知正三棱锥V-ABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA=4，AC=，则该三棱锥的左视图的面积为（）A.9B.6C.3D.【答案】B【解析】解：正三棱锥V-ABC的侧面是等腰三角形，底面是正三角形，底面上的高是3，所以V到底面的距离：；该三棱锥的左视图的面积：故选B．由题意可知，几何体的侧面是等腰三角形，要该三棱锥的左视图的面积，必须求出VA 在左视图的射影的长度，即求V到底面的距离．本题考查三视图求面积，空间想象能力，是中档题．6.已知x、y的取值如下表从所得的散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）A.2.1B.2.2C.2.4D.2.6【答案】D【解析】解：点，在回归直线上，计算得，；代入得a=2.6；故选D．本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知，在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．统计也是高考新增的考点，回归直线方程的求法，又是统计中的一个重要知识点，其系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用．7.定义行列式运算=a1a4-a2a3，将函数f（x）=的图象向右平移m（m ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由定义行列式运算=a1a4-a2a3，得f（x）====．将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数解析式为：g（x）=f（x-m）=，∵函数g（x）为奇函数，∴，，即，，取k=-1时，正数m的最小值为．故选：C．由定义的行列式运算得到函数f（x），化简后利用函数图象的平移得到，再由该函数为奇函数得到，，由此求得最小正数m的值．本题考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数的图象平移问题，训练了三角函数为奇函数的条件，是中档题．8.已知函数f（x）=x+2x，g（x）=x+lnx，的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A.x1＜x2＜x3B.x2＜x1＜x3C.x1＜x3＜x2D.x3＜x2＜x1【答案】A【解析】解：f（x）=x+2x的零点必定小于零，g（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，函数的零点必定大于1．因此，这三个函数的零点依次增大，故x1＜x2＜x3．故选A．利用估算方法，将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较问题是解决本题的关键．必要时结合图象进行分析．本题考查函数零点的定义，函数零点就是相应方程的根，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置，进而比较出各零点的大小．9.八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个连续的小球涂红色的涂法共有（）A.24种B.30种C.20种D.36种【答案】A【解析】解：先把3个涂红色的小球捆绑，作为一体，再把3个涂白色的小球排起来第一步：把捆绑的小球插入3个涂白色的小球中有4种选择第二步：把剩下的2个红色小球插入：2个红色小球分开有3种插法，在一起也有3种插法即：涂法有4×（3+3）=24种故选A．先把3个涂红色的小球捆绑，作为一体，再把3个涂白色的小球排起来，利用乘法原理可得结论．本题考查乘法原理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10.若A i（i=1，2，3，…，n）是△AOB所在平面内的点，且•=•，给出下列说法：（1）||=||=||=…=|（2）||的最小值一定是||（3）点A和点A i一定共线（4）向量及在向量方向上的投影必定相等其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：根据两个向量的数量积的定义，为定值，而•=||•||cos＜，＞，故①不一定成立，②也不一定成立．根据两个向量的数量积的定义，结合条件，可得向量及在向量的方向上的投影必相等，故④正确．再结合④可得点A、A i在一条直线上，故③正确．故选：B．根据两个向量的数量积的定义，为定值，可得③、④正确，而①、②不一定成立，从而得到答案．本题主要考查两个向量的数量积的定义，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.阅读如图的程序框图，执行相应的程序，则输出k的结果是______【答案】4【解析】解：第一次运行，S=0，满足S＜100，S=2°=1，k=1，第二次运行，S=1，满足S＜100，S=1+21=3，k=2，第三次运行，S=3，满足S＜100，S=3+23=11，k=3，第四次运行，S=11，满足S＜100，S=11+211=1，k=4，此时S＞100，不满足条件，输出k=4，故答案为：4根据程序框图进行运行，直到不满足条件时，即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和运行，根据运行条件进行判断即可．12.设函数f（x）=|x+3|-|x-a|（a≠-3）的图象关于点（1，0）中心对称，则a的值为______ ．【答案】5【解析】解：f（x）=|x-m|-|x-n|的图象关于点（，0）对称，又∵函数f（x）=|x+3|-|x-a|=|x-（-3）|-|x-a|的图象关于点（1，0）中心对称，故1=，解得a=5，故答案为：5根据f（x）=|x-m|-|x-n|的图象关于点（，0）对称，结合已知条件，可得a的值．本题考查的知识点是绝对值函数的对称性，其中熟练掌握f（x）=|x-m|-|x-n|的图象关于点（，0）对称，是解答的关键．13.在（a＞0）的展开式中含常数项的系数是60，则sinxdx的值为______ ．【答案】1-cos2【解析】解：展开式的通项a r C6r，令6-3r=0得r=2．∴常数项为15a2=60，a=2，∴sinxdx=sinxdx=（-cosx）=1-cos2．故答案为：1-cos2．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项，列出方程求出a，代入定积分求出值．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、求定积分值．14.已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k= ______ ．【答案】-6【解析】解：画出可行域将z=x+3y变形为y=，画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，联立方程得，代入，∴k=-6．故答案为-6画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大．本题考查画不等式组的可行域；利用可行域求出目标函数的最值．15.双曲线-=1的左右焦点为F1，F2，P是双曲线左支上一点，满足||=||，直线PF2与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率e为______ ．【答案】【解析】解：设PF2与圆相切于点M，∵||=||，∴△PF1F2为等腰三角形，∴|F2M|=|PF2|，又在直角△F2MO中，|F2M|2=|F2O|2-a2=c2-a2，∴|F2M|=b=|PF2|①又|PF2|=|PF1|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2③由①②③解得e==．故答案为：．先设PF2与圆相切于点M，利用||=||，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=-2sin2+sin（ωx+）-cos（ωx+）（ω＞0，x∈R），且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1，•=，且a+c=4，试求b2的值．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+）-1，∵T=π，∴ω=2，则f（x）=2sin（2x+）-1；（Ⅱ）f（B）=2sin（2B+）-1=1，即sin（2B+）=1，∴2B+=2kπ+（k∈Z），解得：B=kπ+（k∈Z），∵B为△ABC的内角，∴B=，∵•=cacos B=，∴ac=3，∵a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2-2ac=16-6=10，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B=10-3．【解析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式化简，整理后化为一个角的正弦函数，根据周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，由f（B）=1，求出B的度数，再利用平面向量的数量积运算法则化简•=，求出ac的值，进而确定出a2+c2的值，利用余弦定理即可求出b2的值．此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角函数的周期性及其运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17.在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（1）最多取两次就结束的概率；（2）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）取球次数的分布列和数学期望．【答案】解：（1）由题意知，任取一球，取到红球的概率为=任取一球，取到白球的概率为=任取一球，取到蓝球的概率为=∵如果取出蓝色球则不再取球，∴最多取两次就结束的概率为++=（2）设A={整个过程中恰好取到2个白球}，B i={第i次取到白球}H i={第i次取到红球}L i={第i次取到蓝球}则P（A）=P（B1B2）+P（H1B2B2）+P（B1H2B3）=×++=（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==随机变量X的分布列如下从而E（X）=1×+2×+3×=【解析】（1）先分别求出任取一球，取到每种颜色的球的概率，因为取出蓝色球则不再取球，所以最多取两次就结束有两种情况，第一种，第一次取球，取到蓝球，第二种情况，第一次取球，取到红球或白球，第二次取球，取到蓝球，把两种情况的概率求出，再相加即可．（2）由（1）知任取一球，取到白球的概率为，取到蓝球的概率为，取到红球的概率为，而恰好取到2个白球包括三个互斥事件，即（白，白，非白），（白，红，白），（红，白，白），分别计算它们的概率，最后相加即可（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3，X=1即第一次就抓到蓝球，X=2即第一次不是蓝球，第二次是蓝球，X=3即第一次不是蓝球，第二次不是蓝球；分别计算它们的概率，列出分布列，由期望公式计算X的期望本题考察了古典概型概率的求法，互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及其期望的求法18.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a，P为线段A1B上的动点．（Ⅰ）试确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小．【答案】解：【法一】（Ⅰ）当PC⊥AB时，作P在AB上的射影D，连接CD，则AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD，∴D是AB的中点，又PD∥AA1，∴P也是A1B的中点，即A1P：PB=1．反之当A1P：PB=1时，取AB的中点D'，连接CD'、PD'．∵△ABC为正三角形，∴CD'⊥AB．由于P为A1B的中点时，PD'∥A1A∵A1A⊥平面ABC，∴PD'⊥平面ABC，∴PC⊥AB．…6′（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，作P在AB上的射影D，则PD⊥底面ABC．作D在AC上的射影E，连接PE，则PE⊥AC，∴∠DEP为二面角P-AC-B的平面角．又∵PD∥AA1，∴，∴．∴°，又∵，∴，∴∠，∴P-AC-B的大小为∠PED=60°．…12【法二】以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y 轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A1（0，0，a）、，，．（Ⅰ）由得，，，，，即，∴，即P为A1B的中点，也即A1P：PB=1时，PC⊥AB．…4′（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，P点的坐标是，，．取，，．则，，，，，，，，，．∴是平面PAC的一个法向量．又平面ABC的一个法向量为，，．∴＜，＞，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…（12分）【解析】【法一】（Ⅰ）利用三角形的中位线，可确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）先作出二面角P-AC-B的平面角，再进行计算；【法二】建立空间直角坐标系，（Ⅰ）由，可确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）确定平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．本题考查线线垂直，考查面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．19.已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）-c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n-S n-1=+（n≥2）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？【答案】解：（1）∵点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上一点，∴f（1）=a=，∴f（x）=（）x．，，，又数列{a n}是等比数列，∴，解得c=1，又公比，∴=-2（）n，n∈N*．∵S n-S n-1=（）（）=，n≥2，又＞，＞，∴，数列{}构成一个首相为1公差为1的等差数列，=1+（n-1）=n，∴．当n≥2时，，∴，．（2）∵==，∴T n===．∵T n=＞，∴n＞，满足＞的最小正整数为72．【解析】（1）由已知条件得f（x）=（）x．所以，，，由数列{a n}是等比数列，得到c=1，，由此能求出数列{a n}的通项公式；S n-S n-1=（）（）=，得到数列{}构成一个首相为1公差为1的等差数列，由此能求出{b n}的通项公式．（2）==，由此利用裂项求和法能求出满足＞的最小正整数．本题考查数列的通项公式的求法，考查满足不等式的最小正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵F（，0）为椭圆的右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．∴c=，=1，∵a2=b2+c2∴a2=4，b2=2．故椭圆C的方程为；（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±，∴|OP|=；当k≠0时，直线方程代入椭圆方程，消y化简整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-4）=8（4k2-m2-2＞0①设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则x0=x1+x2=-，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．由于点P在椭圆C上，∴．从而，化简得2m2=1+2k2，经检验满足①式，又|OP|==，∵0＜|k|≤，∴1＜1+2k2≤2，∴1≤＜2，∴＜|OP|≤，综上，所求|OP|的取值范围是[，]．【解析】（Ⅰ）先由已知F（，0）为椭圆的右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，可得c=，=1，结合a2=b2+c2，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）先对k分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±，所以|OP|=；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．21.已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2-x，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）是否存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）当时，f（x）=，则′，化简得′，（x＞-1）∴函数在（-1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=，∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为ln2-，在x=0处取到极大值为0．（Ⅱ）由题意f′（x）=，（1）当a≤0时，函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，此时，不存在实数b∈（1，2）使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）；（2）当a＞0时，令f′（x）=0，有x=0或x=，①当a=时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，显然符合题意；②当＞0即＜＜时，函数f（x）在（-1，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，此时由题，只需f（1）＞0，解得a＞1-ln2，又1-ln2＜，∴此时实数a的取值范围是＜＜③当＜0即＞时，函数f（x）在（-1，）和（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），则f（）＜f（1），代入化简得＞（*）令＞，因′＞0恒成立，故恒有＞＞，∴＞时，（*）式恒成立．综上，实数a的取值范围是（1-ln2，+∞）．【解析】（Ⅰ）将代入到f（x）的表达式中并求导，计算其单调区间从而确定其极值．（Ⅱ）f′（x）=，注意到分子中x前的系数为2a，则分成a≤0和a＞0两种情况讨论．其中，当a＞0时，′，（x＞-1）再分成＞0和＜0两种情况分别讨论计算．本题主要运用了分类讨论的方法，由条件逐层分析，逐步确定分类条件，一步一步讨论，直至将问题解决，在用分类讨论的方法解决问题时，要记住做到“不重不漏”．。
2014年高考山东理科数学试题及答案(精校版)
高三 数 学（理）期末模拟（六）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->，2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x （万元）42 3 5 销售额y （万元） 4926 39 54根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为A.63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元解析：由题意可知 3.5,42x y ==，则429.43.5,9.1,a a =⨯+=9.469.165.5y =⨯+=，答案应选B 。
5、不等式5310x x -++≥的解集是A.[5,7]-B. [4,6]C. (,5][7,)-∞-+∞D.(,4][6,)-∞-+∞解析：当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D 。
山东省济南一中2014届高三12月月考数学(理)试题
济南一中2014届高三12月月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 若全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则= ( )A ．1(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞2. 若O 为平行四边形ABCD 的中心，14AB e =, 2216,32BC e e e =-等于 （ ）A ．AOB ．BOC ．COD ．DO3. 下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 4. 已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a = （ ）A. 31-B ．31C ．3-D ．3 5. 若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1tan ,sin 47παα⎛⎫+==⎪⎝⎭则（ ） A.35 B ．45 C ．35- D ．45- 6. 函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是 （ ）A. )1,0( B ．)2,1( C ．),2(e D ．)4,3(7. 在等比数列{n a }中，若232a a +=，12133a a +=，则2223a a +的值是 （ ） A ．94 B ．49 C ．92 D ． 298. 已知实数,x y 满足y x z m y x x y y -=⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥如果目标函数,121的最小值为-1，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．39. 已知0a b <<，且1a b +=，则下列不等式中，正确的是 （ ） A ．2log 0a > B ．122a b-< C ．12a b b aa+<D ．22log log 2a b +<-10. 已知12F F 、是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 （ ） A ．324+B ．213+ C ．13- D ．13+11. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像 （ ） A.向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度12. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3)f x f x f ++=，(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，则=)2013(f ( )A ．0B ．4-C ．8-D ．16-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
山东省济南市2014届高三3月考模拟考试理科数学试卷(带解析)
山东省济南市2014届高三3月考模拟考试理科数学试卷（带解析）1．已知集合A={||1|2x x -<}，B={2|lg()x y x x =+}，设U=R ，则A (U ðB)等于( )(A) [3，+∞) (B) (-1，0] (C) (3，+∞) (D) [-1，0] 【答案】B 【解析】试题分析：解：{}{}=1213A x x x x -<=-<<(){}{}{}22lg 01,0B x y x x x x x x x x ==+=+>=<->{}10U B x x =-≤≤ð (){}{}{}131010UAB x x x x x x =-<<-≤≤=-<≤ð所以应选B考点：1、不等式的解法；2、集合的运算.2．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)12 【答案】B 【解析】试题分析：解：由三视图可知该几何体是四棱锥，其底面是长为3，宽为2的矩形，高为2， 所以11322433V sh ==⨯⨯⨯= 故应选B.考点：1、空间几何体的三视图与直观图；2、棱锥的体积.3．已知复数z 满足z(1+i)=1(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 是( )(A)1122i + (B) 1122i - (C) 1122i -+ (D) 1122i -- 【答案】A 【解析】试题分析：解：因为()z 1+i =1，所以，()()111111122i z i i i i -===-++-,11=+22z i故选：A考点：1、共轭复数的概念；2、复数的运算. 4．函数sin sin x x x x -+sin ln sin x x y x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致是( )【答案】A 【解析】试题分析：解：因为()()sin()sin sin ln ln ln sin()sin sin x x x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫----+-⎛⎫⎛⎫-====⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，函数()y f x =是偶函数,其图象关y 于轴对称；应排除B 、D 又因为，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0sin x x << ,sin 01sin x x x x -<<+,sin ln 0sin x xx x-<+故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、 正弦函数的性质；3、对数函数的性质量. 5．执行右面的程序框图，输出的S 的值为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】C 【解析】试题分析:解：运行第一次：3log 4,4,27S k k ==< 成立； 运行第二次：343log 4log 5log 5,5,27S k k =⋅==< 成立； 运行第三次：353log 5log 6log 6,6,27S k k =⋅==< 成立； ……………………………………………………………………运行第23次：3253log 25log 26log 26,26,27S k k =⋅==< 成立； 运行第24次：3263log 26log 27log 273,27,27S k k =⋅===< 不成立； 输出S 的值为3. 考点：循环结构.6．在△AB C 中，若22sin 53,sin 2C b a ac A =-=，则cosB 的值为( ) (A) 13 (B) 12 (C) 15 (D) 14【答案】D 【解析】试题分析：解：由正弦定理：sin 3,sin c C a A== 由余弦定理：22225153512cos 2224244c ac a c b c B ac ac a -+-===⨯-=-= 故应选D.考点：1、正弦定理；2、余弦定理.7．如图，设抛物线21y x =-+的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ， 则点P 落在∆AOB 内的概率是( )(A)56 (B)45 (C)34 (D)23【答案】C 【解析】试题分析：解：设抛物线21y x =-+与x 轴正半轴及y 轴的正半轴所围成的区域的面积为S 则1231012=(-1)|33S x dx x x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭⎰111122AOB S ∆=⨯⨯=设事件N =“随机往M 内投一点P ，则点P 落在∆AOB 内”则,()132243AOB S P N S∆===故选:C.考点：1、定积分；2、几何概型.8．已知221,02(),(),20x x g x ax a f x x x ⎧-≤≤=+=⎨--≤<⎩，对12[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使12()()g x f x =成立，则a 的取值范围是( )(A)[-1，+∞) (B)[-1，1] (C)(0，1] (D)(-∞，l]【答案】B 【解析】试题分析：解：由题意知函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集； 因为当[]0,2x ∈时，2113x -≤-≤当[)2,0x ∈-时,240x -≤-<所以函数()f x 的值域是[][)[]1,34,04,3--=-所以，423423a a a a -≤-+≤⎧⎨-≤+≤⎩解得：413x -≤≤故选B.考点：1、分段函数；2、函数的值域；3、等价转化的思想.9．已知点M(x ，y)是平面区域0010240x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值是( )(A)10 (B)495【答案】D【解析】试题分析：解：点M(x ，y)所在的平面区域0010240x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩如下图中的阴影部分，设点P 的坐标为(1,1)--222(1)(1)PM x y =+++由图可知当最大时，点M 应在线段AB 上；而()()222112113PB =+++=()()222210110PA =+++=22(1)(1)x y +++的最大值是13.故应选D.考点：1、二元一次不等式（组）所表示的平面区域；2、两点间的距离公式.10．已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( ) (A)(19，+∞) (B)(15，+∞) (C)(13，+∞) (D)(0，+∞) 【答案】C 【解析】 试题分析：解：椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c根据题意：22PF c =,1122222PF a c a c =-=+因为在等腰三角形21F PF 中,1221F F PF PF +>,所以，12422,422c a c c a c >->+ 所以，11113ce a <=<,21e > 所以，1213e e >故选C.考点：1、椭圆定义与简单几何性质；2、双曲线的定义与简单几何性质.11．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有 辆．【答案】20 【解析】试题分析：解：()500.01100.031020n =⨯⨯+⨯= 故答案应填：20考点：频率分布直方图.12．设圆C ：22(3)(5)5x y -+-=，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为 ． 【答案】210x y --=或2110x y +-= 【解析】试题分析：解：设圆C ：22(3)(5)5x y -+-=，过圆心C 的坐标为()35，,设P点的坐标为()0,b ,因为A 是线段BP 的中点，2AP AB r ==,3CP r ==即：()()(2223-0+5-b =,解得：1b =-或11b =当1b =-时，直线l 的方程为：105130y x +-=+-,即210x y --= 当11b =时，直线l 的方程为：11051130y x --=--,即2110x y +-= 所以答案应填：210x y --=或2110x y +-=考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程.13．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为 (用数字作答)． 【答案】300 【解析】试题分析：解：因为0号实验不能放在第一项，所以第一步是从1，2，3，4，5的五项实验任选一个放在第一项，有15A ;第二步：从剩下的五实验中任取三个放在第二、三、四项，有35A 种不同的方法；第三步：最后剩下两个实验，标号较大的放在第五项，较小的放在第六项，只有这一种方法；根据分步乘法计数原理，实验顺序的编排方法种数为：13551300A A ⋅⋅=所以答案应填：300考点：分步乘法计数原理与排列组合.14．在△ABC 中，E 为AC 上一点，且4A C A E =，P 为BE 上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则11m n+取最小值时，向量(),a m n =的模为 ．【解析】试题分析:解：14BE AE AB AC AB =-=-,()1BP AP AB m AB nAC =-=-+ 因为,,B P E 三点共线，设AP BE λ=,则()11=4m AB nAC AC AB λ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，其中01λ<<所以14m n λλ-=-⎧⎪⎨=⎪⎩1111414m m n n λλλλ=-⎧⎪⇒⇒+=+=⎨-=⎪⎩()431λλλ--, ()()431f λλλλ-=-令，则()()()()224311f λλλλλλ''-⋅--'=-⎡⎤⎣⎦（）（）=()()22-3-8+41λλλλ-⎡⎤⎣⎦=()()()2-23-2-1λλλλ-⎡⎤⎣⎦当2=3λ时，()0f λ'= 当203λ<<时，()0f λ'<, ()f λ在区间203⎛⎫⎪⎝⎭，上是减函数 当213λ<<时，()0f λ'>，()f λ在区间213⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数所以当2=3λ时，()f λ取得最小值，从而11m n +取得最小值，此时，11,36m n ==所以，2a m =+==故答案应填6考点：1、向量的几何运算；2、共线向量；3、导数在研究函数性质中的应用. 15．已知下列命题：①设m 为直线，,αβ为平面，且m β⊥，则“m//α”是“αβ⊥”的充要条件； ②351()x x+的展开式中含x 3的项的系数为60； ③设随机变量ξ～N(0，1)，若P(ξ≥2)=p ，则P(-2<ξ<0)=1-2p ； ④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则m 的取值范围是(-∞，2)；⑤已知奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，且0<x<2π时()f x x =，则函数()()s i n g x f x x =-在[2π-，2π]上有5个零点．其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号)． 【答案】③ 【解析】试题分析：解：①因为m β⊥,所以，由//m ααβ⇒⊥成立，但由m αββ⊥⊥，,可得到//m α或m α⊂,所以//m αβα⊥⇒不成立，故该命题为假命題；②351()x x+的展开式中第1r +项()531541551rrrr r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭， 令15-43r =，解得3r =，所以有3345T C x ==310x ，351()x x+的展开式中含x 3的项的系数为10而不是60；故该命题是假命题.③由随机变量ξ～N(0，1)，若P(ξ≥2)=p ，则()()22P P p ξξ≤-=≥=, 所以，()2212P p ξ-<<=- 所以()()12002p 2P P ξξ-<<=<<=-；该命题是真命题； ④因为()32325x x x x ++-≥+--= 所以有，215m +≤,解得2m ≤由此可知④是假命.⑤因为奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，所以，()(2)(+)=f x f x f x ππ+=-,故函数()f x 是周期函数，且2T π=；同样由奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，()()()()f x f x f x f x ππ+=-⇒-=所以函数()f x 的图象关于直线2x π=对称；因为奇函数()f x 满足当0<x<2π时()f x x =得当-02x π<<时, ()f x x =,又因为()00f =由以上条件在同一坐标系中画出函数()y f x =和sin y x =的图象如下图,则两图象在区间[]-22ππ，内交点的个数就是函数()()sin g x f x x =-在区间[]-22ππ，内的零点的个数；但由于33,,,2222f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值不能确定，故零点的个数不能确定， 所以该命题是假命题.所以答案应填③考点：1、命题；2、直线与平面的位置关系；3、二项式定理；4、正态密度曲线的性质；5、函数的性质与函数的零点.16．已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π．(1)求()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值．【答案】(1) (),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 最大值2【解析】试题分析：(1)首先利用三角恒等变换将函数解析式()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>化为()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据周期公式确定ω的值.最后利用正弦函数的单调性求出()f x 的单调递增区间(2)由3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦⇒72,61212x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 216x π⎛⎫⇒≤-≤ ⎪⎝⎭()22f x ⇒≤≤ 试题解析：解：(1)()24cos sin 1cos 2cos 16f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭2cos 22sin 26x x x πωωω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3分 最小正周期是22ππω= 所以，1ω=从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5分 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+ 7分所以函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦8分(2)当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,61212x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 9分()2sin 2262f x x π⎤⎛⎫=-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦11分所以()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2、2分 考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数()sin y A x ωϕ=+的性质；17．如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=2，M 为棱PB 的中点．(1)证明：DM ⊥平面PBC ；(2)求二面角A —DM —C 的余弦值． 【答案】(1) (2) 13-【解析】试题分析：(1) 连接BD ，取DC 的中点G ，连接BG ，要证DM ⊥平面PBC ，只要证DM PB ⊥，BC DM ⊥即可，由题设可得DM 是等腰PDB ∆的底边上的中线，所以DM PB ⊥；另一方面由1DG GC BG ===又可得出90DBC ∠=BC BD ⇒⊥考虑到PD ⊥平面ABCD ⇒ BC PD ⊥⇒ BC ⊥平面BDP ，BC DM ⊥；问题得证. (2)根据空间图形中已知的垂直关系，可以D 为坐标原点，射线DA 为x 正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，写出点,,,A C D M ,分别求出平面ADM 的一个法向量1n 和平面CDM 的一个法向量2n ，利用向的夹公式求二面角A —DM —C 的余弦值 试题解析：证明：连接BD ，取DC 的中点G ，连接BG ，由此知1DG GC BG ===，即DBC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥ 又PD ⊥平面ABCD ，故BC PD ⊥所以，BC ⊥平面BDP ，BC DM ⊥ 2分又PD BD PD BD ==⊥，M 为PB 的中点DM PB ∴⊥ 4分 PB BC B = 5分DM ∴⊥平面PBC 6分以D 为坐标原点，射线DA 为x 正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 7分则()()()(1,0,0,1,1,0,0,2,0,,A B C P从而11,,222M ⎛ ⎝⎭设(),,n x y z =是平面ADM的一个法向量，则110000222x n DA x y z n DM =⎧⎧⋅=⎪⎪⇔⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩ ∴可取()11n =- 8分同理，设()2,,n u v w =是平面CDM 的一具法向量,则22000022y n DC x y z n DM =⎧⎧⋅=⎪⎪⇔⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ∴可取()22,0,1n =- 9分121cos ,3n n <>= 2分显然二面角A DM C --的大小为钝角，所以二面角A DM C --的余弦值为13-. 12分考点：1、直线与直线、直线与平面垂直的判定与性质；2、空间直角坐标系；3、空间向量的夹角公式；4、二面角的概念与法向量的求法.18．一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出．．．．3．次红球即停止．．．．．．．． (1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P 1； (2)从袋中有放回地取球．①求恰好取5次停止的概率P 2；②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】(1) 128(2) ①881②13181【解析】试题分析：(1)从袋中不放回地取球，连续取4次，有49A 个不同的结果，由于是随机取的，每个结果出现的可能性是相等的，恰好取4次停止，说明前三次有一次是白球，共有113363C C A 个不同的结果，所以，根据古典概型的概率公式得113363149C C A P A =； (2) 从袋中有放回地取球，每次取到红球的概率()13P A =，取到白球的概率是()23P A = 连续有放回地取n 次，相当于n 次独立重复试验；①求恰好取5次停止的概率P 2；说明前四次有两次发生，第五次一定发生；22224121333P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，随机变量ξ的所以可能取值集合是{}0,1,2,3 由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-即可求出随机变量ξ分布列，并由数学期望的公式计算出E ξ. 试题解析：解：(1)113363149128C C A P A == 4分 (2)①22224121833381P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6分 ②随机变量ξ的取值为0,1,2,3;由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭ ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()231511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()328080173124381P ξ++==-=随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是3280801713101232432432438181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 12分 考点：1、古典概型；2、独立重复试验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=49，a 4和a 8的等差中项为2. (1)求a n 及S n ；(2)证明：当n ≥2时，有121117 (4)n S S S +++<． 【答案】(1) 221,n n a n S n =-=； (2)见解析 【解析】试题分析：(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设列方程组，解出1,a d ，进而求出n a 和n S ;(2)放缩法裂项求和并证不等式：思路一：()21111111n S n n n n n=<=--- 思路二：()()221111*********n S n n n n n n ⎛⎫=<==- ⎪--+-+⎝⎭试题解析：解：(1)解法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，74849,22S a a =+=所以有，117214921022a d a d +=⎧⎨+=⎩ 2分解得，11,2a d == 4分 所以221,n n a n S n =-= 6分 解法二：744749,7S a a ==∴= 1分48822,15a a a +=∴= 2分8424a a d -∴== 3分 1431a a d =-= 4分所以221,n n a n S n =-= 6分 (2)证明：方法一：由（Ⅰ）知，2*,n S n n N =∈ ①当2n =时，1211171,44S S +=+<∴原不等式亦成立 7分 ②当3n ≥时，()21n n n >-，()2111111n n n n n ∴<=--- 9分 ()222121111111111124231n S S S n n n ∴+++=+++<++++⨯-＝11111111423211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝111142n ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦＝714n - 2分 74< 12分 方法二：由（Ⅰ）知，2*,n S n n N =∈ 当2n ≥时，()()()()221111111,11211n n n n n n n n ⎡⎤>-+∴<=-⎢⎥-+-+⎣⎦ 8分 ()()()2221211111111111121324211n S S S n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯--+ ＝1111111111112132435211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝1111112121n n ⎡⎤++--⎢⎥+⎣⎦＝7111421n n ⎡⎤+--⎢⎥+⎣⎦2分74<12分 考点：1、等差数列；2、裂项求和；3、放缩法证明不等式.20．已知椭圆22221x y a b +=(a>b>0)经过点1)，离心率为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足2PA PB ⋅=-，试问直线AB 是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．【答案】(1)22184x y += (2) 直线AB经过定点⎫⎪⎪⎝⎭【解析】试题分析：(1) 椭圆22221x y a b +=(a>b>0)经过点M(，1)22611a b ⇒+=,c e a =⇒= 且有222a b c =+ ，通过解方程可得222,,a b c 从而得椭圆的标准方程.(2) 设()()1122,,,,A x y B x y 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为,y kx m =+由()22222214280184y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩⇒2121222428,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++另一方面：(21222PA PB x x y y ⋅=-⇒+=-⇒()(()221212162kx x km x x m +++++=-通过以上两式就不难得到关于,k m 的等式，从而探究直线,y kx m =+是否过定点； 至于直线AB 斜率不存在的情况，只需对上面的定点进行检验即可. 试题解析： 解：(1)由题意得2c a =①因为椭圆经过点)M ，所以22611a b +=② 又222a b c =+③由①②③解得2228, 4.a b c ===所以椭圆方程为22184x y +=. 4分 (2)解：①当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为,y kx m =+代入22184x y +=，消去y 整理得()222214280k x kmx m +++-= 6分 由0∆>得22840k m +->（*）设()()1122,,,,A x y B x y 则2121222428,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++所以，((()()212212PA PB x x y y x x kx m kxm ⋅=+=-+++=()(()221212162k x x km x x m +++++=- 8分得()(()221212180k x x km x x m ++-+++=()(222222841802121m km k km m k k --+⋅+⋅++=++整理得)20+=从而3m k =-且满足（*）所以直线AB 的方程为3y k x ⎛=-⎝⎭10分故直线AB 经过定点3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2分②当直线AB 与x 轴垂直时，若直线为x =，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎭ 、⎝⎭，亦有2PA PB ⋅=- 12分综上，直线AB 经过定点3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 13分考点：1、椭圆的标准方程；2、向量的数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 21．已知函数2()(1)xf x k x e x =-+．(1)当时1k e=-，求函数()f x 在点(1，1)处的切线方程；(2)若在y 轴的左侧，函数2()(2)g x x k x =++的图象恒在()f x 的导函数'()f x 图象的上方，求k 的取值范围；(3)当k≤-l 时，求函数()f x 在[k ，l]上的最小值m 。
数学_2014年山东省济南市高考数学一模试卷(理科)_(含答案)
2014年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z满足z(1+i)=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数z¯是（）A 12+12i B 12−12i C −12+12i D −12−12i2. 已知集合A={x||x−1|<2}，B={x|y=lg(x2+x)}，则A∩(∁R B)=（）A [3, +∞)B (−1, 0]C (3, +∞)D [−1, 0]3. 某几何体三视图如图所示，则该几何几的体积等于（）A 2B 4C 8D 124. 函数y＝ln(x−sinxx+sinx)的图象大致是（）A B C D5. 执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A 1B 2C 3D 46. 在△ABC中，若sinCsinA =3，b2−a2=52ac，则cosB的值为（）A 13B 12C 15D 147. 如图，设抛物线y =−x 2+1的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是（ ）A 56 B 45 C 34 D 23 8. 已知g(x)=ax +1，f(x)={2x −1，0≤x ≤2−x 2，−2≤x <0，对∀x 1∈[−2, 2]，∃x 2∈[−2, 2]，使g(x 1)=f(x 2)成立，则a 的取值范围是（ ） A [−1, +∞) B [−1, 1] C (0, 1] D (−∞, 1]9. 已知点M(x, y)是平面区域{x ≥0y ≥0x −y +1≥02x +y −4≤0内的动点，则(x +1)2+(y +1)2的最大值是（ ）A 10B 495 C √13 D 1310. 已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1⋅e 2的取值范围是（ ） A (19, +∞) B (15, +∞) C (13, +∞) D (0, +∞)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11. 某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70km/ℎ以下的汽车有________辆．12. 设圆C ：(x −3)2+(y −5)2=5，过圆心C 作直线l 交圆于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．13. 航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________（用数字作答）．14.在△ABC 中，E 为AC 上一点，且AC →=4AE →，P 为BE 上一点，且满足AP →=mAB →+nAC →(m >0, n >0)，则1m +1n 取最小值时，向量a →=(m,n)的模为________． 15. 已知下列命题：①设m 为直线，α，β为平面，且m ⊥β，则“m // α”是“α⊥β”的充要条件； ②(x 3+1x )5的展开式中含x 3的项的系数为60；③设随机变量ξ∼N(0, 1)，若P(ξ≥2)=p ，则P(−2<ξ<0)=12−p ；④若不等式|x +3|+|x −2|≥2m +1恒成立，则m 的取值范围是(−∞, 2)；⑤已知奇函数f(x)满足f(x +π)=−f(x)，且0<x <π2时f(x)=x ，则函数g(x)=f(x)−sinx 在[−2π, 2π]上有5个零点．其中真命题的序号是________（写出全部真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题；共75分．16. 已知函数f(x)=4cosωx ⋅sin(ωx −π6)+1(ω>0)的最小正周期是π． （1）求f(x)的单调递增区间；（2）求f(x)在[π8, 3π8]上的最大值和最小值．17. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB // DC ，AD ⊥DC ，AB =AD =1，DC =2，PD =√2，M 为棱PB 的中点． （1）证明：DM ⊥平面PBC ；（2）求二面角A −DM −C 的余弦值．18. 一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．(Ⅰ)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P 1； (Ⅱ)从袋中有放回地取球． ①求恰好取5次停止的概率P 2；②记5次之内（含5次）取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=49，a 4和a 8的等差中项为11． （1）求a n 及S n ；（2）证明：当n ≥2时，有1S 1+1S 2+...+1S n<74．20. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点M(√6, 1)，离心率为√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P(√6, 0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足PA →⋅PB →=−2，试问直线AB 是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由． 21. 已知函数f(x)=k(x −1)e x +x 2．（1）当时k =−1e ，求函数f(x)在点(1, 1)处的切线方程；（2）若在y 轴的左侧，函数g(x)=x 2+(k +2)x 的图象恒在f(x)的导函数f′(x)图象的上方，求k 的取值范围；（3）当k ≤−l 时，求函数f(x)在[k, 1]上的最小值m ．2014年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. B3. B4. A5. C6. D7. C8. B9. D 10. C 11. 2012. y =2x −1或y =−2x +11 13. 300 14. √56 15. ③16. 解：（1）f(x)=4cosωxsin(ωx −π6)+1=2√3sinωxcosωx −2cos 2ωx +1 =√3sin2ωx −cos2ωx =2sin(2ωx −π6)，∵ 函数f(x)的最小正周期是π， ∴ T =2π2ω=π，∴ ω=1， ∴ f(x)=2sin(2x −π6)，令−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，∴ −π6+kπ≤x ≤π3+kπ，∴ f(x)的单调递增区间[−π6+kπ, π3+kπ]，(k ∈z)；（2）∵ x ∈[π8, 3π8]， ∴ (2x −π6)∈[π12, 7π12]，∴ f(x)=2sin(2x −π6)∈[√6−√22, 2]， ∴ f(x)在[π8, 3π8]上的最大值2，最小值√6−√22． 17. （1）证明：连结BD ，取DC 的中点G ，连结BG ，由题意知DG =GC =BG =1，即△DBC 是直角三角形，∴ BC ⊥BD ， 又PD ⊥平面ABCD ，∴ BC ⊥PD ， ∴ BC ⊥平面BDP ，BC ⊥DM ，又PD =BD =√2，PD ⊥BD ，M 为PB 的中点，∴ DM ⊥PB ，∵ PB ∩BC =B ， ∴ DM ⊥平面SDC ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 2, 0)， P(0, 0, √2)，M(12,12,√22)， 设平面ADM 的法向量n 1→=(x,y,z)，则{n 1→⋅DM →=−x2+y2+√2z 2=0˙，取y =√2，得n 1→=(0,√2,−1)，同理，设平面ADM 的法向量n 2→=(x 1,y 1,z 1)，则{n 2→⋅DM →=x 12−y 12+√2z 12=0˙，取x 1=√2，得n 2→=(√2,0,1)， cos <n 1→，n 2→>=−13，∵ 二面角A −DM −C 的平面角是钝角， ∴ 二面角A −DM −C 的余弦值为−13．18. (Ⅰ)恰好取4次停止的概率：P 1=(69×38×27+39×68×27+39×28×67)×16=128．(Ⅱ)①恰好取5次停止的概率P 2=C 42×(13)2×(23)2×13=881．②由题意知随机变量ξ的取值为0，1，2，3，由n 次独立重复试验概率公式P n (k)=C n k p k(1−p)n−k ，得P(ξ=0)=C 50×(1−13)5=32243，P(ξ=1)=C 51×13×(1−13)4=80243， P(ξ=2)=C 52×(13)2(1−13)3=80243，ξ=3这个事件包括了三种情况，第一种取三次取到全是红球，第二种取四次取到三次红球，此时，第四次一定取到红球，前三次两次取到红球，第三种取五次取到三个红球，第五次取到的是红球，前四次取到两次红球，故有P(ξ=3)=(13)3+C 31×(13)3×(1−13)+C 42×(13)3×(1−13)2=51243，∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=0×32243+1×80243+2×80243+3×51243=13181．19. （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵ S 7=49，a 4和a 8的等差中项为11， ∴ {7a 1+21d =492a 1+10d =22，解得a 1=1，d =2，∴ a n =2n −1，S n =n 2．（2）证明：由（1）知S n =n 2，n ∈N ∗，①n =2时，1S 1+1S 2=1+14<74，∴ 原不等式也成立．②当n ≥3时，∵ n 2>(n −1)n ， ∴ 1n 2<1n−1−1n ，∴ 1S 1+1S 2+⋯+1S n=112+122+⋯+1n 2<1+14+12×3+⋯+1(n −1)n=1+14+[(12−13)+...+(1n −2−1n −1)+(1n −1−1n )]=1+14+(12−1n )=74−1n <74．20. 解：（1）∵ 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为√22，∴ ca =√22，① ∵ 椭圆经过点M(√6, 1)，∴ 6a 2+1b 2=1，② 又a 2=b 2+c 2，③∴ 由①②③联立方程组解得a 2=8，b 2=c 2=4， ∴ 椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）①当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y =kx +m ， 代入x 28+y 24=1，消去y 整理，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−8=0，由△>0，得8k 2+4−m 2>0，(∗)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1，∵ 点P(√6, 0)，A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足PA →⋅PB →=−2， ∴ PA →⋅PB →=(x 1−√6)(x 2−√6)+y 1y 2=(x 1−√6)(x 2−√6)+(kx 1+m)(kx 2+m)=(k 2+1)x 1x 2+(km −√6)(x 1+x 2)+6+m 2=−2， ∴ (k 2+1)⋅2m 2−82k 2+1+(km −√6)⋅−4km2k 2+1+8+m 2=0，整理，得(√3m +2√2k)2=0， 解得m =−2√63k ，满足(∗) ∴ 直线AB 的方程为y =k(x −2√63)， ∴ 直线AB 经过定点(2√63, 0)． ②当直线AB 与x 轴垂直时，直线方程为x =2√63， 此时A(2√63, 2√63)，B(2√63, −2√63)，也有PA→⋅PB →=−2，综上，直线AB 一定过定点(2√63, 0)． 21. 解：（1）k =−1e 时，f(x)=−1e (x −1)e x +x 2， ∴ f′(x)=x(2−e x−1 )，∴ f′(1)=1，f(1)=1，∴ 函数f(x)在(1, 1)处的切线方程为y=x，（2）f′(x)=kx(e x+2k)<x2+(k+2)x，即：kxe x−x2−kx<0，∵ x<0，∴ ke x−x−k>0，令ℎ(x)=ke x−x−k，∴ ℎ′(x)=ke x−1，当k≤0时，ℎ(x)在x<0时递减，ℎ(x)>ℎ(0)=0，符合题意，当0<k≤1时，ℎ(x)在x<0时递减，ℎ(x)>ℎ(0)=0，符合题意，当k>1时，ℎ(x)在(−∞, −lnk)递减，在(−lnk, 0)递增，∴ ℎ(−lnk)<ℎ(0)=0，不合题意，综上：k≤1．（3）f′(x)=kx(e x+2k)，令f′(x)=0，解得：x1=0，x2=ln(−2k)，令g(k)=ln(−2k )−k，则g′(k)=−1k−1≤0，g(k)在k=−1时取最小值g(−1)=1+ln2>0，∴ x2=ln(−2k)>k，当−2<k≤−1时，x2=ln(−2k)>0，f(x)的最小值为m=min{f(0), f(1)}=min{−k, 1}=1，当k=−2时，函数f(x)在区间[k, 1]上递减，m=f(10=1，当k<−2时，f(x)的最小值为m=min{f(x2 ), f(1)}，f(x2 )=−2[ln(−2k )−1]+[ln(−2k)]2=x22−2x2+2>1，f(1)=1，此时m=1，综上：m=1．。
2014山东高考数学(理)真题及答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案新东方在线举国瞩目的2014高考数学科目的考试已结束，新东方在线高考名师团队第一时间对2014高考数学真题进行了解析，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。
以下是济南新东方高考名师团队老师提供的2014高考山东卷理科数学真题及参考答案，供广大考生参考。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
2014全国高考山东卷数学真题及答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根(C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f=有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
山东省济南市2014届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
山东省济南市2014届高三上学期期末质量调研考试数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,考试时间120分钟,满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若ibi a 4325+=+(a 、b 都是实数,i 为虚数单位）,则a +b = A ．1B ． -1C ．7D ．-72．已知集合}1|{2+==x y y M ,}1|{22=+=y x y N ,则=N M A ．)}1,0{(B ．}2,1{-C ．}1{D ．),1[+∞-3．设,2.0e P =2.0ln =Q ,715sin π=R ,则 A ．Q R P << B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<4．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ,若63=a ,xdx s 433⎰=,则公比q 的值为A ．1B ．21-C ．l 或21-D ．-1或21-5．将函数x x y cos sin +=的图象向左平移)0(>m m 个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则m 的最小值是A ．4πB .6π C ．43π D ．65π6．“m =3”是“直线057)3()1(21=-+-++m y m x m l ：与直线052)3(2=-+-y x m l ：垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤-1210y x y x y x ,则目标函数y x z 5+=的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．58．函数)(22R ∈-=x x y x的图象大致为9．已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ；②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//．其中正确命题的序号是A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③10．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,若AC AB AN μ+λ=,则λ+μ的值为 A ．21B ．31 C .41 D ．111．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个交点,且x AF ⊥轴,则双曲线的离心率为A ．2B ．31+C .22+D ．21+12．设)(x f 是定义在R 上的可导函数,当x ≠0时,0)()(>+xx f x f ＇,则关于x 的函数)(x g xx f 1)(+=的零点个数为 A ．lB ．2C ．0D ．0或 2第Ⅱ卷（非选择题,共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上． 2．答卷将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（本题共4小题,共16分）13．执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．14．一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．15．已知定点)1,2(-Q ,F 为抛物线x y 42=的焦点,动点P 为抛物线上任意一点,当||||PF PQ +取最小值时P 的坐标为________．16．已知0>m ,0>n ,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切,则n m +的取值范围是________．三、解答题（本题共6小题,共74分） 17．（本小题满分12分）已知)cos sin ,sin 2(x x x -=,)cos sin ,cos 3(x x x +=,函数.)(x f ⋅= (1)求函数)(x f 的解析式；(2)在ABC ∆中,角C B A 、、的对边为c b a ,,,若2)2(=Af ,1=b ,ABC ∆的面积为23,求a 的值．18．（本小题满分12分）已知函数xx mx f 24)(+=是奇函数．(1)求m 的值：(2)设a x g x -=+12)(．若函数错误！未找到引用源。
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2014山东省济南市一模试卷
理科数学
本试卷分为第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
训练时间l20分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么P(A B)=P(A)十P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P(A B)=P(A)·P(B)．
第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
(1)已知复数z 满足z(1+i )=1(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 是
(A)1122i + (B) 1122i - (C) 1122i -+ (D) 1122
i -- (2)已知集合A={||1|2x x -<}，B={2|lg()x y x x =+}，设U=R ，则A (U ðB)等于
(A) [3，+∞) (B) (-1，0]
(C) (3，+∞) (D) [-1，0]
(3)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于
(A)2
(B)4
(C)8
(D)12
(4)函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭
的图象大致是
(5)执行右面的程序框图，输出的S 的值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(6)在△ABC 中，若
22sin 53,sin 2
C b a ac A =-=，则cosB 的值为 (A) 13 (B) 12 (C) 15 (D) 14 (7)如图，设抛物线2
1y x =-+的顶点为A ，与
x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正
半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，
则点P 落在∆AOB 内的概率是 (A)
56
(B) 45 (C) 34 (D) 23
(8)已知221,02(),(),20x x g x ax a f x x x ⎧-≤≤=+=⎨--≤<⎩，对
12[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使12()()g x f x =成立，则a 的取值范围是
(A)[-1，+∞) (B)[-1，1] (C) (0，1] (D)(-∞，l]
(9)已知点M(x ，y )是平面区域0010
240
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值是
(A)10 (B) 495
(C) 13 (D)13 (10)已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是
(A)(19，+∞) (B)(15，+∞) (C) (13
，+∞) (D)(0，+∞) 第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
(11)某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，
得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有
辆．
(12)设圆C ：22
(3)(5)5x y -+-=，过圆心C 作直线l
交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP
的中点，则直线l 的方程为 ．
(13)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，
4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0
号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻
一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为 (用数字
作答)． (14)在△ABC 中，E 为AC 上一点，且4AC AE = ，P 为
BE 上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>> ，则11m n
+取最小值时，向量的模为 ．
(15)已知下列命题：
①设m 为直线，,αβ为平面，且m β⊥，则“m//α”
是“αβ⊥”的充要条件；
②35
1
()x x +的展开式中含x 3的项的系数为60； ③设随机变量ξ～N(0，1)，若P(ξ≥2)=p ，则P(-2<ξ<0)=
1-2
p ； ④若不等式|x +3|+|x -2|≥2m+1恒成立，则m 的取值范围是(-∞，2)；
⑤已知奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，且0<x <2π时()f x x =，则函数()()sin g x f x x =-在[2π-，2π]上有5个零点．
其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号)．
三、解答题：本大题共6小题；共75分．
(16)(本小题满分12分)
已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-
+> 的最小正周期是π． (I)求()f x 的单调递增区间；
(Ⅱ)求()f x 在[8
π，38π]上的最大值和最小值． (17)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，
AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=2，PD=2，M 为棱PB 的中点．
(I)证明：DM ⊥平面PBC ；
(II)求二面角A —DM —C 的余弦值．
(18)(本小题满分12分)
一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出．．．．3．次红球即停止．．．．．．．．
(I)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P 1；
(II)从袋中有放回地取球．
①求恰好取5次停止的概率P 2；
②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
(19)(本小题满分12分)
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=49，a 4和a 8的等差中项为11.
(I)求a n 及S n ；
(II)证明：当n ≥2时，有
121117 (4)
n S S S +++<． (20)(本小题满分l3分) 已知椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0)经过点M(6，1)，离心率为22． (I)求椭圆的标准方程；
(II)已知点P(6，0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足2PA PB =- ，试问直线
AB 是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．
(21)(本小题满分14分)
已知函数2()(1)x f x k x e x =-+．
(I)当时1k e
=-，求函数()f x 在点(1，1)处的切线方程；
(II)若在y 轴的左侧，函数2()(2)g x x k x =++的图象恒在()f x 的导函数'()f x 图象的上方，求k 的取值范围；
(III)当k≤-l 时，求函数()f x 在[k ，l]上的最小值m 。