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高二数学竞赛模拟试题及答案
高二数学竞赛模拟试题考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ）(A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．162．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）(A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于( )﹙A﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C﹚ ﹙D ﹚2008.6.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（ ）（A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）(A)．100 (B). 101 (C).200 (D).2018．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）(A)．()f x 的图像关于x ＝2对称 (B)．()f x 的图像关于点(4,0)-对称 (C)．()f x 的周期为4 (D)．()f x 的周期为8 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分42分． 9．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，5|1,2Px x Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则P M 等于 10．在区间[]1,1-上随机任取两个数y x ,，则满足4122<+y x 的概率等于11.已知函数()()()()()2110,11xa x x f x a a a x -+<⎧⎪=>≠⎨≥⎪⎩且是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 .12．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430,35250,0.x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩||OA （O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是13．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += .14．已知函数()2xf x =,等差数列{}n a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅=15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形， ∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤C 1B 1A16. (本小题12分) 在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若1=∙=∙BC BA AC AB . (1)求证：A=B ； (2)求边长c 的值；(3)6=+，求⊿ABC 的面积。
高二数学竞赛题
高二数学竞赛题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，5a =673a +=，则5S 的值为( )2、在等差数列{}n a 中，31124a a +=，则678a a a ++的值是( ) A.36B.48C.72D.243、数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A.103B.10818C.11038D.1084、两直线1:10l ax y ++=和22:10l x a y --=互相垂直，则a 的值是( ) A.0B.1C.0或1D.1或1-5、直线10ax y +-=平分圆2224130x y x y +-+-=的面积，则a =( ) A.1B.3C.3D.26、如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，点N 在BC 上，且2OM MA =，2BN NC =，则MN =( )A.212333a b c -++B.22133b c -+C.212333a b c --+D.22133b c --7、若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.230x y +-=B.210x y -+=C.230x y +-=D.210x y --=8、直线1y x =+被圆221x y +=截得的弦长为( )A.1C.2D.9、已知直线:3l x =+与圆22:430C x y x my +-++=相切，则m 的值为( )A.-B.C.3D.3-10、判断圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=的位置关系为( ) A.相交B.内切C.外切D.内含11、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，b =2a c =，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的周长为( ) A.4B.8C.16D.3212、已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线与直线23y x =-平行，则双曲线的离心率为( ) A.2D.5二、填空题13、已知数列{}n a 的前n 项和为2223n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.14、圆22:2O x y +=上点P 到直线34:10x l y +=距离的最小值为__________.15、双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则双曲线C 的焦距为__________.16、已知函数()ln x f x e x =,()'f x 为()f x 的导函数,则()'1f 的值为__________三、解答题17、已知圆C 经过原点和点(2,1)A ，并且圆心在直线:210l x y --=上，求圆C 的标准方程.18、数列{}n b 的前n 项和21n n S =-，数列{}n a 为等差数列，且11a b =，43a b = （1）求数列{}n b 的通项公式. （2）求证数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.19、在四棱锥A BCFE -中，底面BCFE 为梯形﹐BC BE ⊥，//EF BC ，1BC BE ==，3AE =，34EF =，AB ⊥平面BCFE .（1）证明：平面AEF ⊥平面ABE ； （2）求直线AE 与平面AFC 所成角的正弦值.20、在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，////AD EF EF BC ，，24BC AD ==，32EF AE BE ===，，G 是BC 的中点．(1)求证：//AB 平面DEG ； (2)求二面角C DF E --的余弦值． 21、已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.22、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为4，直线2y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点且AOB ∠为直角，O 为坐标原点(1)求椭圆C 的方程 (2)求AB 的长度参考答案1、答案：C解析：设公比为q ，由题意知0q >，65a a q =⋅=22752q a q =⋅=，2322q q ∴+=，化简得260q q +-=， 解得2q =，514a a q ==()5511213132(31)123232S ⨯-==-⨯-=-.故选：C. 2、答案：A解析：由题设，1137224a a a +==，则712a =， 所以6787336a a a a =++=. 故选：A.3、答案：D解析：把22293n a n n =-++看成二次函数，对称轴为291744n ==，7n ∴=时7a 最大，最大项的值是27272973108a =-⨯+⨯+=.故选D.4、答案：C解析：直线1:10l ax y ++=l 1:ax +y +1=0和直线22:10l x a y --=x -a 2y -1=0互相垂直，则20a a -=a -a 2=0，解得：0a =或1a =a =1，故选：C. 5、答案：B解析：根据题意，圆的方程为2224130x y x y +-+-=x 2+y 2-2x +4y -13=0，其圆心为()1,2-(1,-2)，若直线10ax y +-=ax +y -1=0平分圆2224130x y x y +-+-=x 2+y 2-2x +4y -13=0的面积，则圆心在直线10ax y +-=ax +y -1=0上，则有210a --=a -2-1=0，解可得3a =a =3；故选B. 6、答案：A解析：连接MB ，如图所示：()222333MN MB BN OB OM BC OB OA OC OB =+=-+=-+-()2221233333b ac b a b c =-+-=-++.故选：A 7、答案：D解析：圆的标准方程为()2239x y +=-，圆心()3,0A .因为点()1,1P 为弦MN 的中点，所以AP MN ⊥.又AP 的斜率101132k -==-，直线MN 的斜率为2，弦MN 所在直线的方程为(11)2y x -=-，即210x y --=. 8、答案：B解析：圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，则圆心(0,0)O 到直线1y x =+的距离2d ==，所以直线1y x =+被圆221x y +=所截得的弦长为== 故选：B. 9、答案：A解析：第一步：将圆的方程化为标准形式，得到圆心和半径由22430x y x my +-++=，得222(2)124m m x y ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭，所以圆心2,2m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =. 第二步：结合点到直线的距离公式列关于m 的方程并求解因为直线:3l x =+与圆22:430C x y x my +-++=相切，所以=m =- A. 10、答案：B解析：因为圆2264120x y x y +-++=的圆心为(3,2)-，半径11r =， 圆22142140x y x y +--+=的圆心为(7,1)，半径26r =，215r r ==-， 所以两圆内切. 故选：B. 11、答案：C解析：23b =2a c =，222a b c =+，22212a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，216a ∴=，4a ∴=，2ABF ∴△的周长为121222416AF AF BF BF a a a +++=+==.故选：C. 12、答案：B解析：由双曲线的渐近线与直线23y x =-y =2x -3平行知，双曲线的一条渐近线方程为20x y -=Error! Digit expected.，2b a ∴=， 2b a ∴=， c ∴=，∴离心率ce a==. 故选：B.13、答案：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩解析：2223n S n n =-+，故当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()2121212n S n n -=---+，144n n n a S S n -∴=-=-113a S ==不适合上式，3,144,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故答案为：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩.14、答案：22解析：圆O 的圆心为()0,0，()0,0到直线l的距离为1025=> 所以圆22:2O x y +=上点P 到直线34:10x l y +=距离的最小值为2.故答案为：215、答案：解析：根据题意，双曲线222:1(0)4x y C b b -=>C :x 24-y 2b 2=1(b >0)的焦点在x轴上，则其渐近线方程为2by x =±，又由该双曲线的一条渐近线方程为320xy +=，即32y =-=3=；所以2c ==16、答案：e解析：函数()ln x f x e x =, 则()1'ln x x f x e x e x=+;()'1ln11f e e e ∴=⋅+⋅=.故答案为: e 根据导数的运算法则求出函数()f x 的导函数,再计算()'1f 的值.17、答案：22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：(方法一)设所求圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=.由题设，得222222,(2)(1), 210.a b r a b r a b ⎧+=⎪-+-=⎨⎪--=⎩解此方程组，得26,51,1029.20a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以，所求圆C的标准方程是2261510x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(方法二)因为圆心在直线210x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(21,)b b +. 因为圆C 经过原点和点(2,1)A ，所以||||CO CA r ==.==所以圆心坐标为2261,,||510r CO ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以圆C的标准方程为2261510x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18、答案：（1）12n n b -= （2）证明见解析解析：（1）当1n =时，111b S ==当2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S ---=-=---=11121b -==∴数列{}n b 的通项公式为12n n b -=（2）{}n a 为等差数列，111a b ==，434a b == n a n ∴=设111(1)n n n c a a n n +==⋅+ {}n c ∴的前n 项和为n T 123n n T c c c c =++++1111122334(1)n n =++++⨯⨯⨯+11111111223341n n =-+-+-++-+ 111n =-+19、（1）答案：证明见解析解析：由题意知BC BE ⊥，//EF BC ，所以EF BE ⊥，AB ⊥平面BCFE ， AB EF ∴⊥，又知ABBE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以EF ⊥平面ABE ， 又因为EF ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面ABE . （2解析：由题可知AB =由（1）知BA ，BC ，BE 两两互相垂直，分别以EB ，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,1,0C，(A ，()1,0,0E ，31,,04F ⎛⎫⎪⎝⎭.则31,,4AF ⎛=- ⎝，11,04,CF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，(1,0,AE =-.设平面ACF 的法向量为(),,m x y z =，则0m AF m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即304104x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1x =，则(m =，所以1cos ,m AE -==所以直线AE 与平面AFC .20、答案： (1)见解析（2） 解析： (1)证明：因为////AD EF EF BC ，， 所以/AD BC ，又2BC AD =，G 是BC 的中点，所以//AD BG 且AD BG =，所以四边形ADGB 是平行四边形，所以//AB DG . 因为AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， 所以//AB 平面DEG .(2)因为EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， 所以EF AE EF BE ⊥⊥，，又AE EB ⊥， 所以EB EF EA ，，两两垂直．以点E 为坐标原点，EB EF EA ，，所在的直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．则0,0,02,0,02,4()()()(,00,3,)()00,2,2E B C F D ，，，，． 由已知得()2,0,0EB =是平面EFDA 的一个法向量． 设平面DCF 的法向量为,(),n x y z =，则00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩因为(0,1,2)FD =-，(2,1,0)FC =，所以2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩令1z =，得21y x ==-，，所以可取1,(1)2,n -=．设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,n EB θ=〈〉==. 易知二面角C DF E --为钝二面角，所以二面角C DF E --的余弦值为. 21、（1）答案：ln 1x +解析：(ln )ln (ln )ln 1y x x x x x x x ''''==⋅+=+； （2）答案：1y x =-解析：1ln111x k y ='==+=.∴切线方程为1y x =-.22、答案：(1) 2214x y +=解析：(1)由题意22224a c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆的方程为2214x y += (2)设()()1122,,,,A x y B x y 把2y kx =+代入2214x y +=得 ()2212122216124116120,,4141k kx kx x x x x k k +++=∴+=⋅=++ AOB ∠为直角，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=（或斜率乘积为1-） ()()1212220OA OB x x kx kx ∴⋅=+++= 解得24k =AB ∴=AB ∴。
河北高二高中数学竞赛测试带答案解析
河北高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列各点中，在曲线x2-xy+2y+1=0上的点是（）A．（2，-2）B．（4，-3）C．（3，10）D．（-2，5）2.若点M到x轴的距离和它到直线y=8的距离相等，则点M的轨迹方程是（）A．x=-4B．x=4C．y=-4D．y=43.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（）．A．B．C．D．4.动点P到x轴，y轴的距离之比等于非零常数k，则动点P的轨迹方程是（）A．B．y=kx（x≠0）C．D．y=±kx（x≠0）5.把11化为二进制数为（）．A．1 011（2）B．11 011（2）C．10 110（2）D．0 110（2）6.已知x可以在区间[－t，4t]（t＞0）上任意取值，则x∈[－t，t]的概率是（）．A．B．C．D．7.执行下图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（）A．B．2C．±2或－4D．2或－48.如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是（）．A．31，26B．36，23C．36，26D．31，239.按照程序框图（如图）执行，第3个输出的（）．A．3B．4C．5D．6 10.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是（）A．一个点B．两条互相平行的直线C．两条互相垂直的直线D．两条相交但不垂直的直线11.如图执行的程序的功能是（）．A．求两个正整数的最大公约数B．求两个正整数的最大值C．求两个正整数的最小值D．求圆周率的不足近似值12.已知n次多项式f（x）＝an x n＋an－1x n－1＋…＋a1x＋a，用秦九韶算法求f（x）的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）．A．n，n B．2n，n C．，n D．n＋1，n＋1二、填空题1.Rt△ABC的斜边AB的长度等于定值c，顶点A、B在x轴，y轴上滑动，则斜边AB的中点M的轨迹方程为。
高二数学竞赛试题及答案
高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。
______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。
______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。
______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。
______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。
高二数学竞赛试题附答案(1)
大学区高二数学竞赛试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共计50分）1、设P,Q 是两个非空数集，定义集合P+Q=｛a+b|a ∈P ,b ∈Q ｝,若P=｛0，2，5｝，,Q=｛1，2，6｝，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A 6B 7C 8D 9 2、一个几何体的三视图如图1所示，则此几何体的全面积是 （ ）A 102659+．B 84142+．C 8412017+．D 150.3、 如果 (0,)a π∈, 1lg(1cos ),lg()1cos m nαα-==+, 那么 lgsin α=( )A m n -.B 1m n +． C 1()2m n -． D 11()2m n +． 4、对任意的函数()y f x =，在同一个直角坐标系中，函数()-1y f x =与函数()-+1y f x = 的图像 （ ）A 关于x 轴对称.B 关于直线1x =对称．C 关于直线-1x =对称．D 关于y 轴对称5、若11x F x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则下列等式中正确的是 （ ）A ()()22F x F x --=--.B ()1-1x F x F x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭． C ()1F F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． D ()F F x x =-⎡⎤⎣⎦6、 已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y 十2=0平行，则tan 2α的值为（ ）A ．45B ．43C ．34D ．237、 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8、若圆222)5(3r y x =++-）（有且仅有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A 、［4,6］B 、[4, 6 ）C 、（4,6 ］D 、（4,6）9、等比数列{}n a的前n 项和为n s ，若1030=1070s =，s ，则40s 等于（ ） A 150. B -200． C 150或-200． D 400或-5010、．已知()1122,,(,)A x yB x y 是函数2()12xf x x =-图像上不同的两点，若AB 的中点落在x 轴上，则2212x x +的取值范围为 （ ）A ．1(,)16+∞ B ．1(,)8+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1(,)2+∞二、填空题（本题共5个小题，每题5分，共计25分）11、已知1+sin 1cos 2x x=-，那么cos sin 1xx -的值是 。
高二阶段性竞赛数学试题
阶 段 性 竞 赛数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下面给出的四个点中,位于210,30.x y x y +->⎧⎨-+<⎩表示的平面区域内的点是 A ．()4,1- B ．()2,2 C ．()0,4 D ．()2,1--2. 下列四个不等式中，解集为∅的是A ．210x x -++≤B ．04322<+-x xC ．23100x x ++>D ．2430x x --+>3. 在1与3之间插入8个数，使这十个数成等比数列，则插入的这8个数之积为A. 3B. 9C. 27D. 814. 已知234,a b +=则48a b +的最小值为A. 2B. 4C. 8D. 16 5. 设()2,0,2,0.x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩ ，则不等式2)(x x f <的解集是 A. R B. ]0,(),2(-∞⋃+∞ C. )2,0[ D. )0,(-∞6. 若110,a b <<则下列不等式:①a b ab +<;②a b >;③a b <;④2b a a b+>中正确的是 A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④7. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为a 米和b 米，测得灯塔A 在观察站C 西偏北60 ，灯塔B 在观察站C 北偏东60 ，则两灯塔A 、B 间的距离为A. B. 米C. 米D.8. 在等差数列{}n a 中, 11a =,n S 为其前n 项和.若191761917S S -=,则10S 的值等于 A. 246 B. 258 C. 270 D. 2809. 在等比数列{}n a 中,对任意的n N *∈,1221n n a a a +++=- ,则22212na a a +++ 为 A. ()1413n - B. ()1213n - C. ()221n - D. 41n -10. 若变量,x y 满足240,250,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩则32z x y =+的最大值是A. 90B. 80C. 70D. 4011. 若不等式20x ax b -+<的解集为()1,2,则不等式1b x a<的解集为 A. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. ()3,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 12. 如果数列{}n a 满足11a =,当n 为奇数时,12n n a a +=;当n 为偶数时,12n n a a +=+,则下列结论成立的是A. 该数列的奇数项成等比数列,偶数项成等差数列B. 该数列的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列C. 该数列的奇数项各项分别加4后构成等比数列D ．该数列的偶数项各项分别加4后构成等比数列二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在横线上.13. 一元二次不等式2230kx kx +-<对一切实数x 成立，则k 的取值范围是 .14. 在ABC ∆中,4,2,a b a c b -=+=最大角为120 ,则最大边的长度为 .15. 一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为保障交通安全,法律规定,驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08mg/ml.那么此人至少过 小时才能开车(精确到1小时).16. 在下列函数中: ①1222++=x x y ；②24-+=x x y ；③24-+=x x y ； ④|1|xx y +=；⑤2log log 2,x y x =+其中0x >且1x ≠；⑥x x y -+=33.其中最小值为2的函数是 （填入序号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）解关于x 的不等式:022<-+-a a x x .18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知45,a b B == 求,A C c 和.19.（本小题满分12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和,对于任意的(),m n N m n *∈≠,都有222m n m n S S S ++<,若632S S <,求1a d的取值范围. 20.（本小题满分12分） 已知公差大于零的等差数列{}n a ，前n 项和为n S .且满足34117,a a ⋅=2522a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若,12nn S b n =-求()()()136n n b f n n N n b *+=∈+的最大值. 21.（本小题满分12分）某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m 2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m 2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m 2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m 2的损失为250元.现在共派去x 名工人,抢修完成共用n 天. （Ⅰ）写出n 关于x 的函数关系式;（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).22.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且121,n n a S n N *+=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项均为正数,其前n 项和为n T ,且315,T =又1122,,a b a b ++ 33a b +成等比数列,求n T ;（III ）求数列{}n n a b 的前n 项和n P .。
丽水高二数学竞赛试题及答案
丽水高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. 0.1010010001...D. 22/72. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是？A. (3/4, -1/8)B. (-3/4, 1/8)C. (3/2, -1/4)D. (-3/2, 1/4)3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果。
A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，第10项a10的值是多少？A. 29B. 32C. 35D. 425. 直线y = 2x - 4与x轴的交点坐标是？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (4, 0)D. (0, -4)二、填空题（每题4分，共20分）6. 圆的半径为5，圆心到直线x + 2y - 3 = 0的距离是_________。
7. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x) = ________。
8. 已知等比数列的首项a1=8，公比q=2，求第5项a5的值是_________。
9. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是_________。
10. 已知正弦函数y = sin(x)，求其在x=π/4处的导数值是_________。
三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
12. 已知椭圆的方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，求椭圆的长轴和短轴长度。
13. 解不等式：|2x - 1| + |x + 2| ≥ 5。
14. 已知函数f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x + 6，求其极值点。
15. 已知向量a = (2, -1)，b = (-1, 3)，求向量a在向量b上的投影。
四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。
遵义数学竞赛高二试题及答案
遵义数学竞赛高二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(1) \)的值。
A. 1B. -1C. 3D. 52. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，该三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 包含4. 若\( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \)，且\( \alpha \)和\( \beta \)均不为0，求\( \beta \)的值。
A. \( \frac{\pi}{2} \)B. \( -\frac{\pi}{2} \)C.\( \frac{\pi}{4} \) D. \( -\frac{\pi}{4} \)二、填空题（每题4分，共16分）5. 若\( \cos(\theta) = \frac{1}{3} \)，求\( \sin(\theta) \)的值（结果保留根号）。
6. 将\( 8^3 \)写成\( 2 \)的幂次形式。
7. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
8. 已知\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值。
三、解答题（每题14分，共40分）9. 证明：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是正数，且\( a + b + c =1 \)，则\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \)。
10. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 4 \)。
11. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，C(3, 6)，求三角形ABC的面积。
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高二数学竞赛试题及答案
高二数学竞赛模拟试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
AF
1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点
A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE
同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量
OA共线的向量共有( )
A.2个
B. 3个
C.6个
D. 7个
213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )
A.4
B.5
C. 6
D. 8
3. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )
3311
A. 20
B. 10
C. 20
D. 10
4.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )
A.(3，0)
B.(2，0)
C.(1，0)
D.(-1，0)
5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为
( )
A.(a，-b)
B.(-a，b)
C.(b，-a)
D.(-b，-a)
6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上
的射影可能是( )
D
C
AB A B③
②①
④111
A.①④
B.②③
C.②④
D.①②
7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A.36种
B.48种
C.72种
D.96种
8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;
(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )
A.4
B.1
C.3
D.2
9.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞，4)
B.(-4，4]
C.(-∞，-4)∪[2，+∞)
D.[-4，2)
10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。
假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )
A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.
11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7
数的概率为。
12.在等差数列{an｝中，a1=1,第10项开始比1大，则公差d的取值范围是___________.; 25
13.已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB1与CA1
所成的角为。
14.已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则
f2(1)?f(2)f2(2)?f(4)f2(3)?f(6)f2(4)?f(8). ???f(1)f(3)f(5)f(7)
15.下面是关于三棱锥的四个命题：
⑴底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
⑵底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。
⑶底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。
⑷侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相
等的三棱锥是正三棱锥。
其中，真命题的编号是_____________。
(写出所有真命题的编号)。