最新北师大版八年级数学下册第二章 小结与复习
北师大版八年级数学下册_第2章_总结
第二章分解因式一．分解因式1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
2．因式分解与整式乘法是互逆关系：（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。
二．提公因式法1．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
如，ab+ac=a(b+c).2．概念内涵：（1）因式分解的最后结果应当是“积”；（2）公因式可能是单项式，也可能是多项式；（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配率。
3．易错点：（1）注意项的符号与幂指数是否搞错，如，-ab+ac=-a(b-c), a3b+ab3=ab(a2+b2);（2）公因式是否提“干净”；（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉，如，ab+a=a(b+1)。
三．运用公式法1．如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．主要公式：（1）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)21.易错点：因式分解要分解到底：如，x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)，就没有分解到底1．因式分解的解题步骤：（1）先看各项有没有公因式，若有，先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
四．分组分解法：1．分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
如，am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)2．概念内涵：分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可以继续分解，分组后是否可以利用公式法继续分解因式。
北师大版八年级数学下册 第二章 复习课 课件 (共42张PPT)
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− ������
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，
②
解：由①得：x≥- 2
3
由②得：x＜1
∴- 2≤x＜1
3
【特别提醒】 口诀
同大取大, 同小取小, 大小小大中间找, 大大小小无法找.
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������
【变式】1-1、不等式组ቐ������������������������������+≤������������> ������②①,的整数解有 (
)
A.3个 B.4个 C.5个
D.6个
2、不等式组ቊ−������
+ ������＜������ ������＞������
−
小的分类.支干线条要细于主干.它们连接的是关 于主要观点和内容的细节.
（5）.画细节：用单词或短语描述即可.
一元一次不等式与一元一次不等式组 复习课
回忆本章知识点, 画出本章思维导图
（1）.画中心主题：在白纸正中央的位置画上
主题，并用文字标出.
（2）.画主干：主干是从中心主题延伸出来的
几条分支，是大的分类.主干线条要粗，它们连 接的是关于中心主题的若干主要观点和内容.
超载.有__2___种租车方案.
【解析】设租用8座和4座客车分别为x辆和y辆,依题意,得 8x+4y=20, 整理得:y=5-2x≥1, ∵y为正整数, ∴ x=1或x=2， ∴当x=1时,y=3; 当x=2时,y=1. 所以有两种租车方案.
模块二综合建模
1、一元一次不等式的定义：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 2、解一元一次不等式步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同 类项；（5）系数化1. 注意:在（1）和（5）中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变. 3、将不等式的解集表示在数轴上时,要注意: 1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈. 4、研究不等式的解集，数形结合（数轴），整体思想（方程组变形）.
数学：2.4《第二章复习》课件(北师大版八年级下)
八年级数学（下册）第二章分解因式回顾与思考复习建议•分解因式这一概念有如下几个特点：(l)结果一定是积的形式； (2)每个因式必须是整式； (3)各因式要分解到不能再分解为止．分解因式与多项式乘法是互逆的关系．这一点是本章教学的关键． • 其次，可以利用分解因式与整式乘法这种互逆关系来检验分解因式的结果是否正确．• 首先，分解因式与整式乘法这种互逆关系是分解因式各种方法的理论基础，教材中几种分解因式基本方法的引入都紧扣这一关键．多项式的乘法公式与分解因式公式实际上是同一个公式，只是用法不同，如果乘法公式掌握得好，分解因式也就容易了．教材中讲的因式分解的两种基本方法是本章的重点．要做到掌握并会运用．•教学中是按不同方法以及多项式的不同形式来分节学习多项式因式分解的，但是，这些方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就固定只能用一种方法来分解因式．例如：a2－2ab＋b2，它是一个完全平方式，但是它又可以看成a(或b)的二次三项式，可按十字相乘法来分解因式，此外还可改写成为a2－ab－ab+b2，用分组分解法来分解因式．因此，不要把学过的方法孤立地死记，而应该学会具体问题具体分析．学过的方法掌握得越熟练，就越有可能在研究具体问题的基础上，加以灵活运用．关于分解因式的结果•教材中结合例题指出：“分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止”，这是指在指定的数系范围内不能再分解为止．一般是指在有理数范围分解因式．如果要求在实数范围内分解因式，还可以把多项式x2－3进行分解.多项式分解因式题目类型较多，方法灵活，技巧性高．一要按照课标的学习要求进行学习，有些同学如果学有余力，可利用教材的“弹性”内容（B、C组和读一读以及练习册），激发对学习这部分内容的兴趣，以此来提高自己的解决问题的能力．关于分解因式的方法和步骤•把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式.•1、当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式；•2、当一个多项式是两项（或可以化成两项）的平方差形式时，就选用平方差公式；•3、当一个多项式是完全平方式（或可以转化为完全平方式）时，就选用完全平方公式；•4、当一个多项式两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号；•4、当多项式是二次三项式（或可以看作是二次三项式）时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式.结束寄语•同学们：•通过对分解因式的探索和研究，你能与同学们交流一下对的认识、理解和感受吗？•祝同学们学习愉快！。
北师大版八年级(下)数学知识点归纳总结
第一章 三角形的证明第1节 等腰三角形一、全等三角形的性质与判定1、全等三角形的性质定理1 全等三角形的对应边相等。
定理2 全等三角形的对应角相等。
推论1 全等三角形的面积相等。
推论2 全等三角形的周长相等。
2、全等三角形的判定公理1 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）公理2 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）公理3 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）定理1 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）定理2 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
（HL ）二、等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）推论1 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
（三线合一） 推论 2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。
【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，周长为C ，则2b＜a ＜2C④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C ，底角为∠A 、∠B ，则∠C ＝180°—2∠A ＝180°—2∠B ，∠A ＝∠B ＝2180A∠-︒2、等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）三、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质定理1 等边三角形的三条边都相等。
定理2 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。
2、等边三角形的判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》小结与复习-八年级数学下册课件(北师大版)
巩固练习 拓展提高
6. 某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞,
甲
乙
现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生 价格(万元/台) 7
5
产活塞的数量如下表所示,经过预算,本次购买机器所耗资金不能
每台日产量(个) 100 60
超过34万元,则按该公司的要求可以有几种购买方案?
＞ 大于,高出 大于
小于或等于 号
≤
不大于, 小于或 不超过 等于
大于或等于 号
≥
不小于, 大于或
至少
等于
不等号
≠
不相等 不等于
Hale Waihona Puke 创设情境 引入新课比较不等式与等式的基本性质：
变形 两边都加上（或减去）同一个整式 两边都乘以（或除以）同一个正数 两边都乘以（或除以）同一个负数
等式 仍成立 仍成立 仍成立
解不等式的应用问题的步骤包括审、设、列、解、 找、答这几个环节，而在这些步骤中，最重要的是 利用题中的已知条件，列出不等式（组），然后通 过解出不等式（组）确定未知数的范围，利用未知 数的特征（如整数问题），依据条件，找出对应的 未知数的确定数值，以实现确定方案的解答.
巩固练习 拓展提高
7. 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家 旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的 优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅 行社？
创设情境 引入新课
一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用
实际问题
写出两个函数表达式
画出图象
分析图象
最新北师大版八年级下册数学各章知识要点总结
最新北师大版八年级下册数学各章知识要点总结___版八年级数学下册各章知识点总结第一章三角形的证明全等三角形判定定理：1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等(定义)；两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。
等腰三角形的判定：1.有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法。
直角三角形：1.直角三角形的性质：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2.直角三角形判定：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.互逆命题、互逆定理：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
北师大版八年级数学下册各章知识点汇总
第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。
数学：2.4《第二章复习》课件(北师大版八年级下)
八年级数学（下册）第二章分解因式回顾与思考复习建议•分解因式这一概念有如下几个特点：(l)结果一定是积的形式； (2)每个因式必须是整式； (3)各因式要分解到不能再分解为止．分解因式与多项式乘法是互逆的关系．这一点是本章教学的关键．• 其次，可以利用分解因式与整式乘法这种互逆关系来检验分解因式的结果是否正确．• 首先，分解因式与整式乘法这种互逆关系是分解因式各种方法的理论基础，教材中几种分解因式基本方法的引入都紧扣这一关键．多项式的乘法公式与分解因式公式实际上是同一个公式，只是用法不同，如果乘法公式掌握得好，分解因式也就容易了．教材中讲的因式分解的两种基本方法是本章的重点．要做到掌握并会运用．•教学中是按不同方法以及多项式的不同形式来分节学习多项式因式分解的，但是，这些方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就固定只能用一种方法来分解因式．例如：a2－2ab＋b2，它是一个完全平方式，但是它又可以看成a(或b)的二次三项式，可按十字相乘法来分解因式，此外还可改写成为a2－ab－ab+b2，用分组分解法来分解因式．因此，不要把学过的方法孤立地死记，而应该学会具体问题具体分析．学过的方法掌握得越熟练，就越有可能在研究具体问题的基础上，加以灵活运用．关于分解因式的结果•教材中结合例题指出：“分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止”，这是指在指定的数系范围内不能再分解为止．一般是指在有理数范围分解因式．如果要求在实数范围内分解因式，还可以把多项式x2－3进行分解.多项式分解因式题目类型较多，方法灵活，技巧性高．一要按照课标的学习要求进行学习，有些同学如果学有余力，可利用教材的“弹性”内容（B、C组和读一读以及练习册），激发对学习这部分内容的兴趣，以此来提高自己的解决问题的能力．关于分解因式的方法和步骤•把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式.•1、当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式；•2、当一个多项式是两项（或可以化成两项）的平方差形式时，就选用平方差公式；•3、当一个多项式是完全平方式（或可以转化为完全平方式）时，就选用完全平方公式；•4、当一个多项式两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号；•4、当多项式是二次三项式（或可以看作是二次三项式）时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式.结束寄语•同学们：•通过对分解因式的探索和研究，你能与同学们交流一下对的认识、理解和感受吗？•祝同学们学习愉快！。
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C．x＜3
D．x＞3
【解析】一次函数y=kx+b经过点（3， 2），且函数值y随x的增大而增大， ∴当y＜2时，x的取值范围是x＜3．
针对训练
5.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一 家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主 收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象 可知，当x_＞__1_5_0_0__时，选用个体车较合算．
7.使不等式x-1≥2与3x-7<8同时成立的x的整数值是 3,4 .
8.若关于x不等式组
x x
2m 0 m2
有解，则m的取值范围为(
C
)
A.m> 2
3
B.m≤ 2
3
C.m> 2
3
D.m≤ 2
3
考点五 不等式、不等式组的实际应用
例4 某小区计划购进甲、乙两种树苗，已知甲、乙两种
树苗每株分别为8元、6元.若购买甲、乙两种树苗共360株，
向左画，含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈”的原 则在数轴上表示解集.
针对训练
3.不等式2x-1≤6的正整数解是1,2,3 .
4.已知关于x的方程2x+4=m- x的解为负数，则m
的取值范围是 m<4 .
考点三 一元一次不等式与一次函数关系
例3 如图是一次函数y=kx+b的图象，当y＜2时，x
的取值范围是 （ C ） A．x＜1 B．x＞1
2.性质2：如果a > b，c > 0，那么 ac > bc ，ac > bc .
3.性质3：如果a > b，c < 0，那么 ac < bc ，ac
<
b c
.
4.不等式还具有传递性：如果a > b，b > c，那么a > c.
三、解一元一次不等式 解一元一次不等式和解一元一次方程类似,有
去分母
去括号
移项
系数化为一等步骤.
合并同类项
四、一元一次不等式与一次函数的关系
从数的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
从形的角度看
函数y= ax+b的函数值 大于0（或小于0）时x 的取值范围
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
直线y= ax+b在x轴上方或 下方时自变量的取值范围
3
6
轴上.
解：去分母，得 2(2x-1)-(9x+2)≤6， 去括号，得 4x-2-9x-2≤6， 移项，得 4x-9x≤6+2+2， 合并同类项，得 -5x≤10，
系数化1，得 如图所示.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
方法总结 先求出不等式的解集，然后根据“大于向右画，小于
五、解一元一次不等式组
1.分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2.利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分.
六、用数轴表示一元一次不等式（组）的解集(a<b）
x a x b
x>b
x a x b
x<a
a
b
同大取大
x a
x b a<x<b
a
b
同小取小
x a x b
无解
a
b
大小小大中间找
八年级数学下（BS） 教学课件
第二章 一元一次不等式与 一元一次不等式组
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、不等式的有关概念 不等号 一元一次不等式 不等式 不等式的解集
一元一次不等式组 不等式组的解集
二、不等式的基本性质
1.性质1：如果a>b，那么 a + c > b + c ，且 a-c> b-c .
不等式
一元一次 不等式
一元一次 不等式组
不等式的解集
不等式的基本性质
与一次函数关系
解集
解法 数轴表示 实
际
应
解集
用
解法
数轴表示
课后作业
见章末练习
针对训练
1.已知a<b，则下列各式不成立的是
A.3a<3b
B.-3a<-3b
（B ）
C.a-3<b-3
D.3+a<3+b
2.已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为 x 2 ,
1 a
则a的取值范围是（ B ）
A.a>0
B.a>1
C.a<0
D.a<1
考点二 解一元一次不等式
例2 解不等式：2x 1 9x 2 1 .并把解集表示在数
并且甲树苗的数量不少于乙树苗的一半，请你设计一种费
用最少的购买方案. 解：设购买甲树苗的数量为x株，依题意得
x 1 (360 x), 2
解得 x≥120.
∵甲树苗比乙树苗每株多2元，
∴要节省费用，则要尽量少买甲树苗.
又x最小为120，
∴购买甲树苗120株，乙树苗240株，此时费用最省.
方法总结
a
b
大大小小无处找
七、利用一元一次不等式（组）解决实际问题
1.根据题意，适当设出未知数 2.找出题中能概括数量间关系的不等关系 3.用未知数表示不等关系中的数量 4.列出不等式(组)并求出其解集
5.检验并根据实际问题的要求写出符合题意 的解或解集，并写出答案
考点讲练
考点一 运用不等式的基本性质求解
解不等式的应用问题的步骤包括审、设、列、 解、找、答这几个环节，而在这些步骤中，最重 要的是利用题中的已知条件，列出不等式（组）， 然后通过解出不等式（组）确定未知数的范围， 利用未知数的特征（如整数问题），依据条件， 找出对应的未知数的确定数值，以实现确定方案 的解答.
课堂小结
一 元 一 次 不 等 式 (组)
6. 已知直线y=2x－b经过点(2,－2),求关于x的不等 式2x－b≥0的解集.
解：把点(2,－2)代入直线y=2x－b， 得－2=4－b， 解得 b=6. 故直线表达式为y=2x－6， 解得x≥3.
考点四 解一元一次不等式组
例4
解不等式组
2x 3 x 6,
2
x 3
5
4
x,
把解集在数轴上表示出来，
并将解集中的整数解写出来.
解：解不等式，得 x≤3,
解不等式，得 x 7 ,
5
所以这个不等式组的解集是
7
x
3,
5
在数轴上表示如下：
解集
通过观察数轴可
知该不等式组的整数 解为2,3.
0
1 72
3
4
5
方法总结 解一元一次不等式组，在找“公共部分”的过
程中，可借助数轴或口诀确定不等式组的解集.
针对训练
例1 下列命题正确的是 （ D ） A.若a>b,b<c,则a>c B.若a>b,则ac>bc C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2>bc2,则a>b
【解析】选项A，由a>b,b<c，不能根据不等式的性质确 定a>c ；选项B，a>b,当c=0时，ac=bc，不能根据不等式 的性质确定ac>bc ；选项C，a>b,当c=0时，ac2=bc2，不 能根据不等式的性质确定ac2>bc2；选项D，ac2>bc2,隐含 c≠0 ，可以根据不等式的性质在不等式的两边同时除以 正数c2，从而确定a>b.