电磁场理论课件 2-2 唯一性定理
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chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-28
n n
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上 的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是 我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯 一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若
i）区域 V 内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我 们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的
解，那么这个解一定就是该问题的严格解。 b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以 猜测出一些问题的解，此时唯一性定理保证了其 正确性 c)如果我们针对这类边值问题， 找到一个试探的解， 但若我们验证这个试探的解满足上述的几个条件， 包括验证它是否满足微分方程，是否满足内部的 边值关系，以及在外边界上是否满足边值关系， 如果都满足，那这个试探解就是这个问题的解； d)有时，我们在给出一个试探解的时候，可以在一 开始保留 1-2 个未知的系数（但并不影响所满足 的微分方程） ， 然后根据边值关系， 来确定这些系 数。 2、有导体存在时的唯一性定理 对于导体存在的静电问题，每个导体上的总电荷 Q 与电势φ实际上是一对共轭量， 通常求解这类问题时不 可能同时预先设定每个导体上的总电荷和电势。 因此，当有导体存在时，为了确定电场，我们可以 根据这一对共轭量，将导体的静电问题设置为以下两 类问题： 第一类问题：给定每个导体上的电势 i ;
f x ；
b)在 V 的外边界 S 上给定 S ，或者电势的法向导数
n S ；
c) 势 i 亦给定， 则 V ' 内的电场唯一确定。
每个导体 i 的电
由于当给定了导体的电势后相当于给定了体系完 备的外边界条件，那么给定导体的唯一性定理就退化 成了一般形式，因此此定理的证明方法同上。 2）第二类问题的唯一性定理：
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上 的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是 我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯 一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若
i）区域 V 内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我 们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的
解，那么这个解一定就是该问题的严格解。 b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以 猜测出一些问题的解，此时唯一性定理保证了其 正确性 c)如果我们针对这类边值问题， 找到一个试探的解， 但若我们验证这个试探的解满足上述的几个条件， 包括验证它是否满足微分方程，是否满足内部的 边值关系，以及在外边界上是否满足边值关系， 如果都满足，那这个试探解就是这个问题的解； d)有时，我们在给出一个试探解的时候，可以在一 开始保留 1-2 个未知的系数（但并不影响所满足 的微分方程） ， 然后根据边值关系， 来确定这些系 数。 2、有导体存在时的唯一性定理 对于导体存在的静电问题，每个导体上的总电荷 Q 与电势φ实际上是一对共轭量， 通常求解这类问题时不 可能同时预先设定每个导体上的总电荷和电势。 因此，当有导体存在时，为了确定电场，我们可以 根据这一对共轭量，将导体的静电问题设置为以下两 类问题： 第一类问题：给定每个导体上的电势 i ;
f x ；
b)在 V 的外边界 S 上给定 S ，或者电势的法向导数
n S ；
c) 势 i 亦给定， 则 V ' 内的电场唯一确定。
每个导体 i 的电
由于当给定了导体的电势后相当于给定了体系完 备的外边界条件，那么给定导体的唯一性定理就退化 成了一般形式，因此此定理的证明方法同上。 2）第二类问题的唯一性定理：
《电动力学第三版》chapter2_2唯一性定理
E2t E1t
D
2n
D1n
如果我们假设 E仍保持球对称性,即
E1
A r3
r
E2
A r3
r
(左半部) (右半部)
(A为待定常数),分界面两侧电场与界面相切,并有相同数值,因 而边值关系得到满足.
球对称的E在球面上处处与球面垂直,保证导体球面为等
势面. 为了满足内导体总电荷等于Q,我们计算内导体球面上
对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，将导 体看成是区域边界之一，即可证明电场被唯一确定.
对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表 面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定.
设区域V 内有一些导体,给定导体之外的电荷分布x 给定
各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的或/n值,则V内的电
有球对称性. 试解释之.
子区域 2
子区域 4
子区域 3
i ( S i i )d S i V i i d V(1)
i
V ii( )2dVV i(i 2)dV
i
i 2dV
Vi
i S i(i )d S i S i(i n i)d S 0 (2)(3)
i S i i d S i V i i 2 d V 0
场唯一地确定. 存在唯一的解,它在导体以外满足泊松方程
2/
在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件
Si ndSQ i, |Sii 常量
以及在V的边界S上具有给定的|s 或/n|s值.
证明: 设有 和 同时满足上述条件. 令 '''
2 0
|si 0,
dS 0 Si n
|s 0 或
第二章 静电场
电磁场理论课件 2-2 唯一性定理
（1）要具备什么条件才能求解静电问题 （2）所求的解是否唯一
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2
2
n
S
1
1
n
S
导体表面上的边值关系
|s 常数
n s
唯一性定理： 必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一.
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 有限V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ， V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2 ' - 2″
则有，22 0 （在V2区内）
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0
n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n2 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;
而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值
根据唯一性定理，它是腔内的解，
n S
s
dS
s
n
dS
0
2 dV 0
V
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,
即Φ= C ,或 ' - '' =C，
以上说明 ' 和 ''顶多差一个常数,而电势的附加常数对 电场没有影响,这就证明了 ' 和 ''在物理上是同一个解,
于是,唯一性定理得证.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2
2
n
S
1
1
n
S
导体表面上的边值关系
|s 常数
n s
唯一性定理： 必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一.
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 有限V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ， V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2 ' - 2″
则有，22 0 （在V2区内）
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0
n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n2 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;
而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值
根据唯一性定理，它是腔内的解，
n S
s
dS
s
n
dS
0
2 dV 0
V
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,
即Φ= C ,或 ' - '' =C，
以上说明 ' 和 ''顶多差一个常数,而电势的附加常数对 电场没有影响,这就证明了 ' 和 ''在物理上是同一个解,
于是,唯一性定理得证.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
电动力学课件2-2-唯一性定理1
壳内中心放置一个点电荷 Q，
Q
求壳内场强。
解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地 0 S
2 0 (R 0) 因而腔内场唯一确定。
已知点电荷产生的电势为
1
Q
4 0 R
但它在边界上
1
Q
S 4 0a
不满足 0 S
要使边界上任何一点电势为0 ，
设 Q Q
4 0 R 4 0a
它满足 2 0 0 S
2. 实用价值:无论采用什么方法得到解，只要该解 满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯 一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题， 可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是 通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边 界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加 以修改。
四、应用举例
1. 半 径 为 a 的 导 体 球 壳 接 地
2 , , 2 0
i
i
在两均匀区界面上有
i j , i j , i j
i
i
n
j
j
n
,
i
i
n
j
j
n
i
i
n
j
j
n
在整个区域V的边界S上有
或者
S
S
0
0
S
S
S
0
n S n S n S
i ds = i ( )2 dV
Si
Vi
i ds i ( )2 dV
2i
i
两类边界条件：① 边界S上，
S 为已知，若为导体
S =常数。② 边界S上，
n S 为已知， 若是导体要给
定总电荷Q。它相当于 给定（ Q dS ）
n S
S n S
经典电磁场理论
达朗泊方程
1 2 2 2 c t 0 1 2 A 2 A 2 2 0 J c t 1 A c2 0 t
2
w S E J 洛仑兹力 t g f E J B 能量守恒 f T t 电磁场 麦克斯韦方程组 的基本 规律 A 2 E E t E 0 B 静电 E t D E W 1 dV 场 D 0E e D 2 D
洛仑兹力
w S E J t 动量守恒： g f T 能量守恒: t
第一章
D D H J t B 0
第二章
第二章 静电场（Electrostatic Field)
静电场的 性质和求 解静电场 问题的各 种方法。
泊松方程
静电场的理论基础
边值关系
唯一性定理
[例1]
有一半径为a的导体球，它的中心恰位 于两种均匀无限大介质的分界面上， 介质的介电常数分别是 1 与
2
。
若导体球总电荷为Q，求导体球表面 处自由电荷分布。
[例2]两同心导体球壳之间充 以两种介质，左半球介电常数 为 1 ，右半球介电常数为 2 。
1在均匀区域满足唯一性定理uniquenesstheorem给定区域v内每个导体上的电势或电荷总量以及导体外介质中的自由电荷分布对于一个满足唯一性条件的静电场问题它保证了不论用什么方法得到的问题的解都是真正的解泊松方程边值关系唯一性定理有一半径为a的导体球它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上介质的介电常数分别是若导体球总电荷为q求导体球表面处自由电荷分布
洛仑兹力
ZJH_2-2 唯一性定理_p18
体上满足： 体上满足： 等势面条件 ϕ |s = ϕi = Const i ∂ϕ 以及在V的边界S上具有给定的 ϕ S 或 值。
∂n
S
V
Qi ∂n
∫
证明( 证明(反证法) 反证法)：设有两个不同的电势均满足泊松方程 令 Φ = ϕ '−ϕ " ∂ϕ ' Qi − dS = Laplace Eq. ∇2Φ = 0 对每个导体 ∫S ∂Φ i ∂n −∫ dS = 0 ε P276 (I.7) Si ∂n ∂ϕ " Qi 面积分 −∫ dS = →体积分 对于扣除导体的空间体积，考虑积分 Si ∂n ε 对于扣除导体的空间体积V内给定自由电荷分布 ρ（ ρ ϕ 满足∇2ϕ = − V ρ（ x） ε ∂ϕ 在V边界S上给定 电势 ϕ S 或电势的法向导数 ,
则V内的电场(静电场)唯一地确定。 唯一地确定。 (1) 在区域V中每个均匀的子区域Vi内满 ρ 2 足泊松方程 ∇ϕ = (i = 1,2,......)
§2-2-1 均匀单一介质情形的唯一性定理 x） 对均匀单一介质, 区域V内给定自由电荷分布 ρ（ ϕS ρ 2 ϕ 满足∇ ϕ = − V ρ（ x） ε ∂ϕ ∂ϕ 在V边界S上给定 电势 ϕ S 或电势的法向导数 , ∂n S 则V内的电场(静电场)唯一地确定。 唯一地确定。 ∂n S 或： 若给定求解区域V内自由电荷ρ 内自由电荷ρ分布和介质的性质ε 分布和介质的性质ε， 以及在边界面上的 （1）电势值（ 电势值（第一类边界条件）， 第一类边界条件）， 或（2）电势法向导数（ 电势法向导数（第二类边界条件）， 第二类边界条件）， 或（3）一部分的电势值， 一部分的电势值，其余部分的电势法向导数值 （第三类边界条件）， 第三类边界条件）， （则在区域V内Possion方程（ 方程（或Laplace方程） 方程）的解是惟一的。 的解是惟一的。
∂n
S
V
Qi ∂n
∫
证明( 证明(反证法) 反证法)：设有两个不同的电势均满足泊松方程 令 Φ = ϕ '−ϕ " ∂ϕ ' Qi − dS = Laplace Eq. ∇2Φ = 0 对每个导体 ∫S ∂Φ i ∂n −∫ dS = 0 ε P276 (I.7) Si ∂n ∂ϕ " Qi 面积分 −∫ dS = →体积分 对于扣除导体的空间体积，考虑积分 Si ∂n ε 对于扣除导体的空间体积V内给定自由电荷分布 ρ（ ρ ϕ 满足∇2ϕ = − V ρ（ x） ε ∂ϕ 在V边界S上给定 电势 ϕ S 或电势的法向导数 ,
则V内的电场(静电场)唯一地确定。 唯一地确定。 (1) 在区域V中每个均匀的子区域Vi内满 ρ 2 足泊松方程 ∇ϕ = (i = 1,2,......)
§2-2-1 均匀单一介质情形的唯一性定理 x） 对均匀单一介质, 区域V内给定自由电荷分布 ρ（ ϕS ρ 2 ϕ 满足∇ ϕ = − V ρ（ x） ε ∂ϕ ∂ϕ 在V边界S上给定 电势 ϕ S 或电势的法向导数 , ∂n S 则V内的电场(静电场)唯一地确定。 唯一地确定。 ∂n S 或： 若给定求解区域V内自由电荷ρ 内自由电荷ρ分布和介质的性质ε 分布和介质的性质ε， 以及在边界面上的 （1）电势值（ 电势值（第一类边界条件）， 第一类边界条件）， 或（2）电势法向导数（ 电势法向导数（第二类边界条件）， 第二类边界条件）， 或（3）一部分的电势值， 一部分的电势值，其余部分的电势法向导数值 （第三类边界条件）， 第三类边界条件）， （则在区域V内Possion方程（ 方程（或Laplace方程） 方程）的解是惟一的。 的解是惟一的。
2-2 唯一性定理
对第i 个均匀介质分区，运用高斯定理，有
si vi vi
2 2 d s dv dv i i i i i i i dvi
vi
i dvi
2
2 d s dvi i i i i Si i vi
令在每个均匀分区内有在每个均匀分区内有在两均匀介质分区的分界面上在两均匀介质分区的分界面上个均匀介质分区运用高斯定理有个均匀介质分区运用高斯定理有dvdvdvdv对于上式左端积分在分界面两边有对于上式左端积分在分界面两边有所以在内部分界面上的积分为所以在内部分界面上的积分为00dsds第一种情形
§2.2 唯一性定理
0
1 2 常数，1 , 2 相差一个常数， 虽不唯一，但电场 E 是唯一确定的。
(反证法 ) 2. 介质分区均匀（不包含导体） 假设存在两个不同的解
,
满足方程和边界条件。令 ，在每个均匀分区内有 2 3 1 2 i 0 v 2 i 2 s 在两均匀介质分区的分界面上 , i i j j
给定
或
（i）电势 S
（ii）电势的法向导数 n
S
则V内的电场唯一地确定。
也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区 域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足 边值关系，并在V的边界S上满足给定的 S 或 n S 值。
1．均匀单一介质
2 区域内 分布已知， 满足 S 已知，或V边界上 已知，则 V
2 2
则
S
S
由于 () 2 0
电动力学 chp2-2唯一性定理
2 0 分析:壳外电势满足 s Q 0 i
+
不论壳内电荷位置怎样变化,上述边界条件不变,故壳外 电场与电荷在壳内位置无关.
例2.如图两同心导体球壳之间充以两种介质,左半部 分电容率为 右半部分电容率为 2 ,设内球壳带总 1 电荷Q,外球壳接地,求电场和球壳上的电荷分布. 解:设两种介质内电势、电场、位移分别为
对内导体面： D dS 1E1 dS 2 E2 dS Q
S
2 1 2 A Q
S1
S2
Q A 2 1 2
E1 E2
左半部：
Qr 2 1 2 r 3
1 , E1 , D1和2 , E2 , D2
由电势的边界条件，假设介质1、2中 E 仍保持球 对称，即设 1 A A Q E1 3 r , E2 3 r , r r Q 此尝试解在介质1，2分界面上满足 E1t E2t
2
且D1n D2 n 0，（界面上 0 ）
2 0 Q 2 p p2 r 2 1 2 a 2
但可验证 1 1p 2 2 p
0Q 2 1 2 a 2
可见内球面上总电荷(自由,极化电荷)是均匀分布的,故 总场仍为球对称.
[例3] 有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均 匀无限大介质的分界面上，介质的介电常数分别是
1Q 1 D1n D1r 1E1r 2 1 2 a 2
2Q 右半部： 2 D2n D2r 2 E2r 2 1 2 a 2 1p p1r 1 0 E1r 1 0 Q 2 2 1 2 a
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（1）要具备什么条件才能求解静电问题 （2）所求的解是否唯一
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2
2
n
S
1
1
n
S
导体表面上的边值关系
|s 常数
n s
唯一性定理： 必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一.
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 有限V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ， V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知
等式两端对V1 作体积分
111 dV1 1 1 2 dV1 1121dV
V1
V1
V1
式中 21 0
111 dV 111 dS 由高斯公式
V
s1
111 dS 1 1 2 dV1
s1
V1
111 dS 1 1 2 dV1
s1
V1
其中S1 为V1 的边界面,它由外边界1 和内边界两部分组成,即
以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称 为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是 区域V 中静电场分布的唯一解.
下面是对唯一性定理的证明。 首先证明区域V 中只有一种均匀介质的情况，然后再把它 推广到多种介质分区分布的情形。 a)区域V 中只有一种均匀介质的情形
利用反证法证明:假设区域V 中存在两个不同的解 '和''它
n S
s
dS
s
n
dS
0
2 dV 0
V
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,
即Φ= C ,或 ' - '' =C，
以上说明 ' 和 ''顶多差一个常数,而电势的附加常数对 电场没有影响,这就证明了 ' 和 ''在物理上是同一个解,
于是,唯一性定理得证.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
下面将证明,每一个区域的解都是唯一的.
对V1 区,设有两个解1 ' 、1 ' ' 都满足V1 区的场方程和边
界条件
令Φ1 = 1 ' - 1″ 则有，21 0 （在V1区内）
在V1区的外边界1上
1 外1 0
给定第一类边界条件
或 1 0
n1 外1
给定第二类边界条件
约定, n1 为V1 区边界的法向单位矢量,指向V1 外部;
dS
2 V2
2
2
dV2
11
内边界
1
n1
dS
11
1
n
dS
n1
n,
n2 n
22
内边界
2
n2
dS
22
2
n
dS
两式分别相加得
内边界11
1
n
2 2
2
n
dS
1
V1
1
2
dV1
2
V2
2
2
dV2
内边界11
1
n
2 2
2
n
dS
1
V1
1
2
dV1
2
V2
2
2
dV2
由电势的边值关系,在内边界上
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2 ' - 2″
则有，22 0 （在V2区内）
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0
n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n2 为V2 区共界面(即内边界) 上,由电势的边值
2 1
2
2
n
1
1
n
1 1 2 dV1 2 2 2 dV2 0
V1
V2
欲使上式成立,只有 1 0 , 2 0 ,即1'和1'', 2'和2''顶多差一个常数,这说明,在每一个均匀小区内的
电场分布都是唯一的.
c）以上证明自然推广到含有两种以上均匀介质的情况
此时
1 1 2 dV1 2 2 2 dV2
关系
1 2 1 2
两式左右分别相减,得Φ1 = Φ2
又
2 2
2
n
2
n
1 1
两n11式 左 右相减，得：
n
2
2
n
1
1
n
n 为内边界上的法向单位矢,按约定由介质1 指向介质2
下面我们要证明, 1'和1 '', 2'和2''顶多都只能差一个常数
先看V1 区,利用微分恒等式
111 1 1 2 1121
V1
V2
n n 2 dVn 0 Vn
其中 V V1 V1 Vn
用类似的方法可以证明: 1 0,2 0,,从而区n 域 V0
中各处的电场分布一定是唯一的. 这样,关于绝缘介质静 电问题的唯一性定理得到了证明.
2）有导体存在的情况
设区域V 中有若干导体，其余部分都是一
种均匀介质ε,将扣除导体后的区域称为V′，V′的
111 dS 111 dS 111 dS
s1
外边界1
内边界
由前所述,外边界1 上的面积分为零
11
内边界
1
n1
dS
1
V1
1
2
dV1
同理,对区域V2 ,重复以上过程,可得到
22 内边界
2
n2
dS
2
V2
2
2
dV2
11
内边界
1
n1
dS
1
V1
1
2
dV1
22 内边界
2 n2
E
总结：
(P2 )
(P1)
P2 P1
E
dl
泊松方程 2
(
x)
( x)dV
4 0 r
,
()
0
介质： 导体：
1 S 2 S |s 常数
2
2
n
S
1
1
n
S
n s
总能量
W 1 E DdV 2
W
1 2
dV
§2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem
本节内容将回答两个问题：
们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明 它们只能是同一个解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
2 0 dV dS
V
s
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
n
0
S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的'和
''顶多只能差一个常数.
利用矢量的微分运算公式:
2 2 2
等式两端对V 作体积分
dV 2 dV 2dV
V
V
V
dV 2 dV 2dV
V
V
V
式中 2 0
dV dS
V
s
在边界面S 上,无论 S 0 还是 ， 都0 使
当V 的边界面S 上的电势 (或电势法向导数)给定，
则V 内的电场有唯一确定的解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
i j
(在两种绝缘介质的分界面上)
i
i
n
j
j
n
分界面法向单位矢量 n由 j指向i )
或 S n S
(在整个区域V 的边界面S上给定,按
约定,边界面法线 n指向V 外)
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2
2
n
S
1
1
n
S
导体表面上的边值关系
|s 常数
n s
唯一性定理： 必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一.
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 有限V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ， V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知
等式两端对V1 作体积分
111 dV1 1 1 2 dV1 1121dV
V1
V1
V1
式中 21 0
111 dV 111 dS 由高斯公式
V
s1
111 dS 1 1 2 dV1
s1
V1
111 dS 1 1 2 dV1
s1
V1
其中S1 为V1 的边界面,它由外边界1 和内边界两部分组成,即
以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称 为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是 区域V 中静电场分布的唯一解.
下面是对唯一性定理的证明。 首先证明区域V 中只有一种均匀介质的情况，然后再把它 推广到多种介质分区分布的情形。 a)区域V 中只有一种均匀介质的情形
利用反证法证明:假设区域V 中存在两个不同的解 '和''它
n S
s
dS
s
n
dS
0
2 dV 0
V
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,
即Φ= C ,或 ' - '' =C，
以上说明 ' 和 ''顶多差一个常数,而电势的附加常数对 电场没有影响,这就证明了 ' 和 ''在物理上是同一个解,
于是,唯一性定理得证.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
下面将证明,每一个区域的解都是唯一的.
对V1 区,设有两个解1 ' 、1 ' ' 都满足V1 区的场方程和边
界条件
令Φ1 = 1 ' - 1″ 则有，21 0 （在V1区内）
在V1区的外边界1上
1 外1 0
给定第一类边界条件
或 1 0
n1 外1
给定第二类边界条件
约定, n1 为V1 区边界的法向单位矢量,指向V1 外部;
dS
2 V2
2
2
dV2
11
内边界
1
n1
dS
11
1
n
dS
n1
n,
n2 n
22
内边界
2
n2
dS
22
2
n
dS
两式分别相加得
内边界11
1
n
2 2
2
n
dS
1
V1
1
2
dV1
2
V2
2
2
dV2
内边界11
1
n
2 2
2
n
dS
1
V1
1
2
dV1
2
V2
2
2
dV2
由电势的边值关系,在内边界上
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2 ' - 2″
则有，22 0 （在V2区内）
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0
n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n2 为V2 区共界面(即内边界) 上,由电势的边值
2 1
2
2
n
1
1
n
1 1 2 dV1 2 2 2 dV2 0
V1
V2
欲使上式成立,只有 1 0 , 2 0 ,即1'和1'', 2'和2''顶多差一个常数,这说明,在每一个均匀小区内的
电场分布都是唯一的.
c）以上证明自然推广到含有两种以上均匀介质的情况
此时
1 1 2 dV1 2 2 2 dV2
关系
1 2 1 2
两式左右分别相减,得Φ1 = Φ2
又
2 2
2
n
2
n
1 1
两n11式 左 右相减，得：
n
2
2
n
1
1
n
n 为内边界上的法向单位矢,按约定由介质1 指向介质2
下面我们要证明, 1'和1 '', 2'和2''顶多都只能差一个常数
先看V1 区,利用微分恒等式
111 1 1 2 1121
V1
V2
n n 2 dVn 0 Vn
其中 V V1 V1 Vn
用类似的方法可以证明: 1 0,2 0,,从而区n 域 V0
中各处的电场分布一定是唯一的. 这样,关于绝缘介质静 电问题的唯一性定理得到了证明.
2）有导体存在的情况
设区域V 中有若干导体，其余部分都是一
种均匀介质ε,将扣除导体后的区域称为V′，V′的
111 dS 111 dS 111 dS
s1
外边界1
内边界
由前所述,外边界1 上的面积分为零
11
内边界
1
n1
dS
1
V1
1
2
dV1
同理,对区域V2 ,重复以上过程,可得到
22 内边界
2
n2
dS
2
V2
2
2
dV2
11
内边界
1
n1
dS
1
V1
1
2
dV1
22 内边界
2 n2
E
总结：
(P2 )
(P1)
P2 P1
E
dl
泊松方程 2
(
x)
( x)dV
4 0 r
,
()
0
介质： 导体：
1 S 2 S |s 常数
2
2
n
S
1
1
n
S
n s
总能量
W 1 E DdV 2
W
1 2
dV
§2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem
本节内容将回答两个问题：
们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明 它们只能是同一个解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
2 0 dV dS
V
s
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
n
0
S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的'和
''顶多只能差一个常数.
利用矢量的微分运算公式:
2 2 2
等式两端对V 作体积分
dV 2 dV 2dV
V
V
V
dV 2 dV 2dV
V
V
V
式中 2 0
dV dS
V
s
在边界面S 上,无论 S 0 还是 ， 都0 使
当V 的边界面S 上的电势 (或电势法向导数)给定，
则V 内的电场有唯一确定的解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
i j
(在两种绝缘介质的分界面上)
i
i
n
j
j
n
分界面法向单位矢量 n由 j指向i )
或 S n S
(在整个区域V 的边界面S上给定,按
约定,边界面法线 n指向V 外)