电磁场 边值问题 唯一性定理(完美解析)
电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
电磁场理论课件 2-2 唯一性定理
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2
2
n
S
1
1
n
S
导体表面上的边值关系
|s 常数
n s
唯一性定理： 必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一.
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 有限V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ， V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2 ' - 2″
则有，22 0 （在V2区内）
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0
n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n2 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;
而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值
根据唯一性定理，它是腔内的解，
n S
s
dS
s
n
dS
0
2 dV 0
V
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,
即Φ= C ,或 ' - '' =C，
以上说明 ' 和 ''顶多差一个常数,而电势的附加常数对 电场没有影响,这就证明了 ' 和 ''在物理上是同一个解,
于是,唯一性定理得证.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
工程电磁场第6章电磁场边值问题的解析方法
h
h
为零， q 和 q 使半球面电位为零。四个电荷共同作
用下，半球面的电位为零。
50
四个电荷共同产生的电场，其电位 在无限大平面和半球面上为零，满足边 界条件。镜象电荷得以确定。
51
52
直流线路产生电场的镜像法
1. 输电线路电场计算模型
实际输电线路的每条相导线(对应于 交流输电线路)或极导线(对应于直流输电 线路)一般采用分裂导线结构，即每条相 导线或极导线一般是指一个导线束。导 线束中的每条导线称为子导线，每条相 导线或极导线中子导线的个数称为此条 相导线或极导线的分裂数，每条相导线 或极导线中相距最近的两条子导线之间 的距离称为此条相导线或极导线的分裂 间距。
得方程组
q q q
1
2
解上述方程组，得
q q q
q 1 2 q ； q 2 2 q
1 2
1 2
44
确定了镜象电荷的位置和电荷量。 由 q 和 q 计算上半空间的电场，由 q 可计算下半空间的 电场。
45
例 6-3-1 计算无限大导体平面上方点电荷 q 在导体平面
当位函数u 在坐标系中只随一个坐标变化时， 问题可以用一维模型表示。 当右端项 f 函数表达式 不复杂时，一维泊松方程一般可以用解析积分方法 求解。根据问题的性质，选择合适的坐标系。
2
直角坐标系
如图6-1-1, 在直角坐标系中， 若u 只与坐标x 有关，不随 y 、z 变化，则一维泊松方 程为
两边积分一次
q 和距离 b 。
31
P
q 4r
q 4r
根据前面要求的条件， P 0 ，有
q q ； 4r 4r
《电磁场理论》3.1 唯一性定理
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
静态电磁场边值问题
49
确定分离变量： 边界y = 0：x = 0与x = a处电位均为零，即沿x方向为周 期性边界条件，因此kx为实数，ky为虚数 kx = k
k y = jk
50
常微分方程的解：
X (x ) = a1 cos kx + a2 sin kx Y ( y ) = b1chky + b2 shky
34
等效电荷密度：
′ = ε1 ε 2 ρ ρ ε1 + ε 2
″ = ε 2 ε1 ρ ρ ε1 + ε 2
由ρ、ρ'、ρ"直接求解电场与电位
35
分离变量法
概述
分离变量法是求解数学物理方程最广泛的解析方 法之一； 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变 量函数的乘积，从而将求解偏微分方程转化为求 解常微分方程； 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面 相重合，或分段重合，使坐标变量成为单变量函 数的自变量
52
由边界条件(1)、(2)可得a1 = 0，b1 = 0
(x, y ) = a2b2 sin kxshky = A sin kxshky
由边界条件(3)
(a, y ) = A sin kashky = 0
sin ka = 0
k= mπ a m = 1,2,
53
电位：
mπ (x, y ) = A sin a mπ x sh y a m = 1,2,
28
镜像法（介质二）：
q的位置再放置点电荷q″； 移去分界面； 同一介质（介质二）； q与q"共同产生电场与电位 q"的值待定 q+q" h r3
ε2 ε2
29
求解：
3.边界关系和唯一性定理
例六． 一圆环状磁介质与一无穷长直导线共轴，设 磁介质磁导率为 µ r ，直导线电流强度为I，求介质内外空 间的磁感应强度的分布和介质表面的磁化面电流。 解： B外 本例显然属于介质界面 与磁感应线重合的情况，无 B内 穷长直导线电流在真空中产 生的磁感应强度与以该直线 µr 为轴的圆形环路相切，大小 i ' i' 为 B = µ 0 I ，式中r为离
0 0
i
L
ri
ri
0
µ ri L
0
r1
r2
µ 0 µ r1 µ r 2 I B 所以： = π ( µ + µ )r r1 r2
B
再利用
Hi =
B
µ ri µ 0
可得：
介质1中的磁场强度为：
M线
n1
B线
⊙ I0
µr2 I H1 = = µ r1 µ 0 π ( µ r1 + µ r 2 ) r
B
介质2中的磁场强度为：
B
H = B µ0 − M
下面来求 i ' 和 i0 。
M1 =
B
µ0
− H1 =
µ r 2 I ( µ r1 − 1) π ( µ r1 + µ r 2 ) r
度 i01 时要用到 i '1 = M × n1 ，以及假定电流在表面上流动 ，则由 i01 = n1 × ( H 2 − H 1 ) 和r < r1时，因为 ∑ I = 0 ， 所以
L L内
L L内
0i
∫ E ⋅ dl
L
S
=0
i
∫ M ⋅ dl = ∑ I '
M ×n = i'
i
唯一性定理
j t
Re P Re
r e jt M r e jt
介质在电磁场 作用下建立起 P和M有时延
J
r
,t
Re
J r e jt
Re E r e jt
D r E r
B
r
H
r
D r B r
E H
r r
J r E r J r E r
5.4.2 谐变电磁场
任何时刻区域V 内存在唯一电磁场。
5.4.1 时变电磁场唯一性定理
证明 仍用反证方法，假设有两组解
E1r,t，H1r,t E2r,t，H2r,t
在闭合区域V 内满足条件①和②，但在t t 0 后
两者在区域V 内不相等。应用Poynting定理： E r,t E1 r,t E2 r,t
t、 t
Er ,t H r ,t
5.4.2 谐变电磁场
对于确定波动频率的电磁场，理论和实验都证明介质的特性
参数 |， | 是与时间无关的确定常数，场或势函数的波动方
为：
1/m2
2
E r ,t
2 E r ,t1/s2
t 2
J r ,t
t
r
,t
2H
r , t
2 H r , t
Re E rejt Erejt
5.4.2 谐变电磁场
2）谐变电磁场中的介质特性
实验和理论都证明，对于谐变电磁场，线性均匀各向同性介质的极
化强度、磁化强度和传导电流密度也是谐变量，即：
P r , M r
t ,
Re t Re
0
ee j 0 me
e E
j m
r e jt H r e
3)谐变电磁场的Maxwell方程
时变电磁场唯一性定理
时变电磁场唯一性定理下面我们讨论由多种媒质所组成的场域V 。
为叙述方便，先引入内边界面和外边界面的概念。
内边界面是指边界面两侧区域都是场域的边界面，内边界面位于场域V 内。
外边界面是指边界面两侧区域中有一侧属于场域V 而另一侧不属于场域V 的边界面，外边界面是场域最外侧的边界面。
内边界面的两侧区域都是未知的待求场域；而外边界面的两侧区域中有一侧是待求场域而另一侧是常量为已知的场域。
唯一性定理 假设：1)形状不随时间t 变化的场域V 是由m 个线性媒质1V , 2V ,...,m V 所组成，i V 的边界面i Γ是由分片光滑曲面所组成的闭曲面，V 的外表面是Γ，1,2,...,i m =。
2）外部电流源s J 和K 分布在有限区域内，矢量,,,,,s e h e h J K G G F F 和标量ρ是不全为零的有界的已知量。
3）媒质i V 的介电常量0i ε>，磁导率0i μ>，电导率0i γ≥，1,2,...i m =。
4) i V 中的电场强度i E 和磁场强度H i 在闭如果区间i i V +Γ上存在连续偏导数，1,2,...,i m =。
在上述条件下，如果由以下初边值（2.79）—（2.90）所确定的场量E 和H 存在，那么它们分别有唯一的有界非零解。
1. 约束方程()()()(),(),,s M t M M M t M t t γε∂⎛⎫∇⨯-+= ⎪∂⎝⎭H E J (2.79)()()(),,0M t M M t tμ∂∇⨯+=∂E H (2.80) M V ∈, 0t >2．初始条件 ()()0,|t e M t M ==E G , M V ∈ (2.81)()()0,|t h M t M ==H G , M V ∈ (2.82)()0,|0t M t μ=∇=⎡⎤⎣⎦H ， M V ∈ (2.83)()()0,|t M t M ερ=∇=⎡⎤⎣⎦E , M V ∈ (2.84)3.内边界面上得边界条件在内边界面ij Γ上场量应同时满足以下两式：()()(),,0ij j i p p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n E E (2.85)()()()(),,,ij j i ij p p t p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n H H K (2.86)以上两式中，各个场量的含义为()(),,lim j j j p p p t p t →=E E ， ()(),,lim i i i p pp t p t →=E E()(),,lim j j j p p p t p t →=H H ，()(),,lim i i i p pp t p t →=H Hi i p V ∈，j j p V ∈， ij p ∈Γ, i j <, 0t >1,2,...,1i m =-;2,3,...,j m =4.外边界面上的边界条件在外变截面out Γ上，场量仅需满足以下两式的其中之一：()()(),,e Q Q t Q t ⨯=n E F (2.87)或()()(),,h Q Q t Q t ⨯=n H F (2.88)以上两式中，场量的含义为()(),,lim M Q Q t M t →=E E ，()(),,lim M QQ t M t →=H HM V ∈, out Q ∈Γ， t o >5. 无限远条件当场域是无界区域时，在无限远处场量应同时满足以下两式: lim er r →∞=E D (2.89) lim h r r →∞=H D(2.90)符号说明：ij Γ是i V 和j V 的公共变截面，由于ij Γ位于V 内，所以ij Γ为内边界面；Γ是整个区域V 的外表面，当V 是有界区域时Γ就是外边界面out Γ，当V 是无界区域时out in Γ=Γ+Γ，这里in Γ是无界区域中无限假想的光滑曲面；ij n 是ij Γ上从i V 指向j V 的单位法向矢量；s J 和ij K 分别是外源的电流密度和电流面密度；n 是外边界面out Γ上得单位法向矢量；e G ，h G ，e F ，h F 均为已知的矢量函数；ρ是分布在有限区域内的外源电荷密度；r 是坐标原点o 到场点p 之间的距离；e D 和h D 分别是与坐标无关的有界常矢量。
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（＋ ) f 3 ( s) n S
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第 一 章
静 电 场
实验法 边 值 问 题 计算法
实测法
模拟法 解析法
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
数值法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法
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第 一 章
静 电 场
1.4 边值问题、惟一性定理
Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem
1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程
(Poisson’s Equation and Laplace’s Equation)
E 0
D
E
E E E 2 泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 2 2 2 2 2 2 x y z
当 =0时
2
—拉普拉斯算子
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第 一 章
静 电 场
1.4.2 边值问题（Boundary Problem)
第 一 章
静 电 场
例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布的对称性
确定计算场域，边值问题
2 2 2 0 2 2 x y （阴影区域）
图1.4.1 缆心为正方形的 同轴电缆
( x b , 0 y b及y b , 0 x b )
2
(r a) ( a r )
图1.4.2 体电荷分布的球体
1 d 2 d 2 2 2 (r )0 r dr dr
2
r 2 1 通解 1(r ) C1 C2 6 0 r
边界条件1 r a 2 r a
1 2 0 r a 0 r a r r
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第 一 章
静 电 场
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet) 已知边界上导体的电位
|s f1(s)
2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann) 已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线) f 2 ( s) n S 3）第三类边界条件 已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
U
( x 2 y 2 a 2 , x 0, y 0 )
0
0
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x
( x 0 ,b y a )
0
y
( y 0 ,b x a )
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第 一 章
静 电 场
例1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。
解：采用球坐标系,分区域建立方程
1 d 2 d1 1 2 (r ) r dr dr 0
2 a 2 E2 (r ) 2 er e ar 2 r r 3 0 r
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第 一 章
静 电 场
1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theor程的解是惟一的。
例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
U0 2 A. 1 x d U0 B. 2 x U0 d U0 C. 3 x U0 d 答案:（C ）
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图1.4.4 平板电容器外加电源U0
微分 方程 泊松方程 2＝－ / 拉普拉斯方程 2＝0 场域边界条件(待讲）
边值 问题
边界 条件
分界面衔 接条件
1＝ 2
1 2 1 2 n n
r
初始 条件
自然边界条件 lim r 有限值 强制边界条件
lim
r 0
有限值
上 页 下 页
C3 2 (r ) C4 r
1 r 0 有限值
2
r 0 参考电位
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第 一 章
静 电 场
得到
1 (r ) (3a 2 r 2 ) 6 0 a 3 2 (r ) 3 0 r
0r a ar
1 1 电场强度（球坐标梯度公式）： ＝ er e e r r rsin E1(r ) 1 1 er r er 0 r a 图1.4.3 ，E 随r变 r 3 0 化曲线